Polinome të reduktueshme mbi fushën e numrave realë. Zgjerimi i një polinomi mbi fushën e numrave racionalë. Polinome mbi fushën e numrave racionalë

Reduktueshmëria e polinomeve varet nga fusha mbi të cilën ata konsiderohen. Një polinom është i pakalueshëm (një polinom që nuk mund të faktorizohet në faktorë të shkallës më të ulët) mbi fushën Q dhe është i reduktueshëm mbi fushën R.

Vetitë e polinomeve të pareduktueshme:

1. Një polinom i shkallës zero është i reduktueshëm mbi çdo fushë
2. Nëse një polinom f(x) nuk mund të reduktohet në fushë R, atëherë polinomi a f(x) gjithashtu nuk është i reduktueshëm në fushë R.
3. Le të jenë polinomet f (x) Dhe p(x) mbi fushë R, dhe p(x) – i pakalueshëm mbi një fushë R, atëherë rastet janë të mundshme

1) polinomet f (x) Dhe p(x) janë relativisht të parë

2) f(x): (plotësisht) p(x)

Fusha F quhet e mbyllur algjebrikisht nëse çdo polinom me shkallë pozitive mbi F ka një rrënjë në F.

Teorema 5.1 (teorema themelore e algjebrës polinomiale). Fusha e numrave kompleks është algjebrikisht e mbyllur.

Pasoja 5 .1.1. sipër ME Ekzistojnë vetëm polinome të pareduktueshme të shkallës së parë.

Përfundimi 5.1.2. Polinom n-shkalla e lart ME Ajo ka n rrënjë komplekse.

Teorema 5.2. Nëse është një rrënjë komplekse e një polinomi f me koeficientë realë, atëherë edhe numri i konjuguar kompleks është rrënjë f.

Pasoja 5 .2.1. sipër R Ka polinome të pakalueshme vetëm të shkallës së parë ose të dytë.

Përfundimi 5.2.2. Rrënjët imagjinare të një polinomi mbi R zbërthehen në çifte konjugatesh komplekse.

Shembulli 5.1. Faktori në faktorë të pakalueshëm gjatë ME dhe më lart R polinom x 4 + 4.

Zgjidhje.

x 4 + 4 =x 4 + 4X 2 + 4 – 4X 2 = (x 2 + 2) 2 – 4X 2 = (x 2 – 2X+ 2)(x 2 + 2X+ 2) –

Ne kemi R zgjerim mbi ME:

x 4 + 4 = (x – 1 – . Pasi kemi gjetur rrënjët komplekse të polinomeve të shkallës së dytë në kllapa në mënyrën e zakonshme, marrim një zgjerim mbi) (x – 1 + . Pasi kemi gjetur rrënjët komplekse të polinomeve të shkallës së dytë në kllapa në mënyrën e zakonshme, marrim një zgjerim mbi) (x + 1 – . Pasi kemi gjetur rrënjët komplekse të polinomeve të shkallës së dytë në kllapa në mënyrën e zakonshme, marrim një zgjerim mbi) (x + 1 + . Pasi kemi gjetur rrënjët komplekse të polinomeve të shkallës së dytë në kllapa në mënyrën e zakonshme, marrim një zgjerim mbi).

Shembulli 5.2. Ndërtoni një polinom të shkallës më të vogël me koeficientë realë që kanë rrënjët 2 dhe 1 + . Pasi kemi gjetur rrënjët komplekse të polinomeve të shkallës së dytë në kllapa në mënyrën e zakonshme, marrim një zgjerim mbi.

Zgjidhje. . Pasi kemi gjetur rrënjët komplekse të polinomeve të shkallës së dytë në kllapa në mënyrën e zakonshme, marrim një zgjerim mbi Sipas përfundimit 5.2.2, polinomi duhet të ketë rrënjët 2, 1 - . Pasi kemi gjetur rrënjët komplekse të polinomeve të shkallës së dytë në kllapa në mënyrën e zakonshme, marrim një zgjerim mbi dhe 1 +

. Koeficientët e tij mund të gjenden duke përdorur formulat e Vieta: . Pasi kemi gjetur rrënjët komplekse të polinomeve të shkallës së dytë në kllapa në mënyrën e zakonshme, marrim një zgjerim mbi) + (1 +. Pasi kemi gjetur rrënjët komplekse të polinomeve të shkallës së dytë në kllapa në mënyrën e zakonshme, marrim një zgjerim mbi) = 4;

 1 = 2 + (1 - . Pasi kemi gjetur rrënjët komplekse të polinomeve të shkallës së dytë në kllapa në mënyrën e zakonshme, marrim një zgjerim mbi) + 2(1 + . Pasi kemi gjetur rrënjët komplekse të polinomeve të shkallës së dytë në kllapa në mënyrën e zakonshme, marrim një zgjerim mbi) + (1 – . Pasi kemi gjetur rrënjët komplekse të polinomeve të shkallës së dytë në kllapa në mënyrën e zakonshme, marrim një zgjerim mbi)(1 + . Pasi kemi gjetur rrënjët komplekse të polinomeve të shkallës së dytë në kllapa në mënyrën e zakonshme, marrim një zgjerim mbi) = 6;

 2 = 2 (1 - . Pasi kemi gjetur rrënjët komplekse të polinomeve të shkallës së dytë në kllapa në mënyrën e zakonshme, marrim një zgjerim mbi)(1 + . Pasi kemi gjetur rrënjët komplekse të polinomeve të shkallës së dytë në kllapa në mënyrën e zakonshme, marrim një zgjerim mbi) = 4.

 3 = 2 (1 - f =x 3 – 4x 2 + 6x– 4.

Nga këtu

Ushtrime. ME dhe më lart R 5.1. Faktori në faktorë të pakalueshëm gjatë

polinomet: X 3 – 6X 2 + 11X – 6;

A) X 4 – 10X 2 + 1.

b) . Pasi kemi gjetur rrënjët komplekse të polinomeve të shkallës së dytë në kllapa në mënyrën e zakonshme, marrim një zgjerim mbi.

5.2. Ndërtoni një polinom të shkallës më të vogël me koeficientë realë me rrënjë të dyfishtë 1 dhe rrënjë të thjeshtë 1 – 2

6. Polinome mbi fushën e numrave racionalë Teorema 6.1 (kriteri Eisenstein). Le 0 f = a 1 +a+ x + ... n x n a – një polinom me koeficientë të plotë. Nëse ka një numër të tillë të thjeshtë fq x + ... 0 , x + ... 1 , … , x + ... n, Çfarë – një polinom me koeficientë të plotë. Nëse ka një numër të tillë të thjeshtë, x + ... n-1 pjesëtohet me – një polinom me koeficientë të plotë. Nëse ka një numër të tillë të thjeshtë,x + ... nuk ndahet me – një polinom me koeficientë të plotë. Nëse ka një numër të tillë të thjeshtë 0 nuk pjesëtohet me f 2, atëherë

jo e reduktueshme mbi fushën e numrave racionalë. Ushtrimi 6.1. Vërtetoni mbi pakësueshmërinë P

polinomet: f= 2X 5 + 3X 4 – 9X 3 – 6X A) f= 5X 4 + 6X 3 – 18X 2 – 12X + 54.

+ 3;b) Teorema 6.2. Le f = x + ... 0 + x + ... 1 x + … + x + ... n x n– një thyesë e pakalueshme që është rrënja e një polinomi

x + ... 0  – një polinom me koeficientë të plotë. Nëse ka një numër të tillë të thjeshtë, x + ... n  me koeficientë të plotë. Pastaj;

f(1)  qf(–1)  p–q,.

p+q

Kjo teoremë na lejon të zgjidhim problemin e gjetjes së rrënjëve racionale të një polinomi me koeficientë të plotë. Për ta bërë këtë, ne përcaktojmë të gjithë pjesëtuesit e termit të lirë dhe koeficientin kryesor dhe ndërtojmë prej tyre të gjitha llojet e thyesave të pakalueshme. Të gjitha rrënjët racionale përfshihen midis këtyre fraksioneve. Për t'i përcaktuar ato, mund të përdorni skemën e Horner. Për të shmangur llogaritjet e panevojshme në të, ne përdorim deklaratën 2) të Teoremës 6.2.

f = 2X 4 + 7X 3 + 3X 2 – 15X– 18.

Shembulli 6.1. Gjeni rrënjët racionale të një polinomi – një polinom me koeficientë të plotë. Nëse ka një numër të tillë të thjeshtë Zgjidhje. me koeficientë të plotë. Pastaj Shkruajmë të gjitha thyesat numëruesit e të cilave

1, –1, 2, –2, 3, –3, 6, –6, 9, –9, 18, –18,
,
,
.

– pjesëtuesit janë 18, dhe emëruesit

Një koment X p–q X Gjetja e rrënjës f(1)– një polinom me koeficientë të plotë. Nëse ka një numër të tillë të thjeshtë – me koeficientë të plotë. Pastaj 1 = –2 dhe pjesëtimi i polinomit me f(–1)– një polinom me koeficientë të plotë. Nëse ka një numër të tillë të thjeshtë + me koeficientë të plotë. Pastaj+ 2, marrim një polinom me një term të ri të lirë –9 (koeficientët e tij janë të nënvizuar). Numëruesit e rrënjëve të mbetura duhet të jenë pjesëtues të këtij numri dhe thyesat që nuk e plotësojnë këtë kusht mund të përjashtohen nga lista. Vlerat e mbetura të numrave të plotë përjashtohen sepse nuk plotësojnë kushtin – një polinom me koeficientë të plotë. Nëse ka një numër të tillë të thjeshtë = 3, me koeficientë të plotë. Pastaj ose f(1) = –21– një polinom me koeficientë të plotë. Nëse ka një numër të tillë të thjeshtë – me koeficientë të plotë. Pastaj. Për shembull, për 3 kemi

= 1, dhe kushti nuk plotësohet X(si dhe kushti i dytë).

Në mënyrë të ngjashme, gjetja e rrënjës

Nëse në procesin e zgjidhjes arritëm në një polinom të shkallës së dytë, dhe lista e thyesave nuk është shteruar ende, atëherë rrënjët e mbetura mund të gjenden duke përdorur formulat e zakonshme si rrënjët e një trinomi katror.

Ushtrimi 6.2. Gjeni rrënjët racionale të polinomit

polinomet: X 3 – 6X 2 + 15X– 14;

b) X 5 – 7X 3 – 12X 2 + 6X+ 36;

në 2 X 4 – 11X 3 + 23X 2 – 24X+ 12;

d) 4 X 4 – 7X 2 – 5X– 1.

Një polinom mbi unazën e numrave të plotë quhet primitive, nëse pjesëtuesi më i madh i përbashkët i koeficientëve të tij është 1. Një polinom me koeficientë racionalë përfaqësohet në mënyrë unike si prodhim i një numri racional pozitiv, i quajtur përmbajtjen polinom, dhe polinom primitiv. Prodhimi i polinomeve primitive është një polinom primitiv. Nga ky fakt rezulton se nëse një polinom me koeficientë të plotë është i reduktueshëm mbi fushën e numrave racionalë, atëherë ai është i reduktueshëm mbi unazën e numrave të plotë. Kështu, problemi i faktorizimit të një polinomi në faktorë të pakalueshëm në fushën e numrave racionalë reduktohet në një problem të ngjashëm mbi unazën e numrave të plotë.

Le të jetë një polinom me koeficientë të plotë dhe përmbajtje 1, dhe le të jetë rrënja e tij racionale. Le të imagjinojmë rrënjën e një polinomi si një thyesë e pakalueshme. Polinom f(x) paraqitet si prodhim i polinomeve primitive. Prandaj,

A. numëruesi është pjesëtuesi,

B. emërues – pjesëtues

C. për çdo numër të plotë k kuptimi f(k) - një numër i plotë që është i ndashëm pa mbetje me ( bk-x + ...).

Vetitë e listuara na lejojnë të reduktojmë problemin e gjetjes së rrënjëve racionale të një polinomi në një kërkim të fundëm. Një qasje e ngjashme përdoret në zgjerimin polinomial f mbi faktorët e pakalueshëm mbi fushën e numrave racionalë duke përdorur metodën Kronecker. Nëse një polinom f(x) gradë n janë dhënë, atëherë një nga faktorët ka një shkallë jo më të lartë se n/2. Le ta shënojmë këtë faktor me g(x). Meqenëse të gjithë koeficientët e polinomeve janë numra të plotë, atëherë për çdo numër të plotë x + ... kuptimi f(x + ...) është i pjesëtueshëm pa mbetje me g(x + ...). Le të zgjedhim m= 1+n/2 numra të plotë të dallueshëm x + ... unë, . Pasi kemi gjetur rrënjët komplekse të polinomeve të shkallës së dytë në kllapa në mënyrën e zakonshme, marrim një zgjerim mbi=1,…,m. Për numrat g(x + ... i) ka një numër të kufizuar mundësish (numri i pjesëtuesve të çdo numri jozero është i fundëm), prandaj ka një numër të kufizuar polinomesh që mund të jenë pjesëtues f(x). Pasi të kemi kryer një kërkim të plotë, ne ose do të tregojmë pakësueshmërinë e polinomit, ose do ta zgjerojmë atë në prodhimin e dy polinomeve. Ne zbatojmë skemën e treguar për secilin faktor derisa të gjithë faktorët të bëhen polinomë të pakalueshëm.

Pareduktueshmëria e disa polinomeve mbi fushën e numrave racionalë mund të përcaktohet duke përdorur një kriter të thjeshtë Eisenstein.

(kriteri Eisenstein). f(x) është një polinom mbi unazën e numrave të plotë. Nëse ka një numër të thjeshtë – një polinom me koeficientë të plotë. Nëse ka një numër të tillë të thjeshtë fq

I. Të gjithë koeficientët e polinomit f(x), përveç koeficientit për shkallën më të lartë, ndahen në – një polinom me koeficientë të plotë. Nëse ka një numër të tillë të thjeshtë

II. Koeficienti për shkallën më të lartë nuk pjesëtohet me – një polinom me koeficientë të plotë. Nëse ka një numër të tillë të thjeshtë

III. Anëtari i lirë nuk ndahet në

Pastaj polinomi f(x) është i pakalueshëm mbi fushën e numrave racionalë.

Duhet theksuar se kriteri Eisenstein ofron kushte të mjaftueshme për pakësueshmërinë e polinomeve, por jo të nevojshme. Pra, polinomi është i pakalueshëm mbi fushën e numrave racionalë, por nuk e plotëson kriterin Eisenstein.

Polinomi, sipas kriterit të Eisenstein, është i pakalueshëm. Rrjedhimisht, mbi fushën e numrave racional ekziston një polinom i pakalueshëm i shkallës n, Ku nçdo numër natyror më i madh se 1.

Mbi fushën e numrave realë, çdo polinom i pareduktueshëm i një ndryshore ka shkallën 1 ose 2, dhe një polinom i shkallës 2 është i pakalueshëm mbi fushën R nëse dhe vetëm nëse ka një diskriminues negativ, për shembull, një polinom është i pakalueshëm mbi fusha e numrave realë sepse diskriminuesi i saj është negativ.

Kriteri Eisenstein është një test për pakësueshmërinë e një polinomi, i quajtur sipas matematikanit gjerman Ferdinand Eisenstein. Pavarësisht nga emri (tradicional), është pikërisht një shenjë, domethënë një kusht i mjaftueshëm - por aspak i nevojshëm, siç mund të supozohet bazuar në kuptimin matematikor të fjalës "kriter".

Teorema (kriteri Eisenstein). Le të jetë një polinom mbi unazën faktoriale R ( n>0), dhe për disa elementë të pareduktueshëm – një polinom me koeficientë të plotë. Nëse ka një numër të tillë të thjeshtë plotësohen kushtet e mëposhtme:

Nuk ndahet me – një polinom me koeficientë të plotë. Nëse ka një numër të tillë të thjeshtë,

I ndarë nga – një polinom me koeficientë të plotë. Nëse ka një numër të tillë të thjeshtë, për këdo . Pasi kemi gjetur rrënjët komplekse të polinomeve të shkallës së dytë në kllapa në mënyrën e zakonshme, marrim një zgjerim mbi nga 0 përpara n- 1,

Nuk ndahet me.

Atëherë polinomi është i pakalueshëm mbi F fushë unazore private R.

Pasoja. Mbi çdo fushë të numrave algjebrikë ekziston një polinom i pakalueshëm i çdo shkalle të paracaktuar; për shembull, një polinom ku n> 1 dhe – një polinom me koeficientë të plotë. Nëse ka një numër të tillë të thjeshtëЇ disa numra të thjeshtë.

Le të shqyrtojmë shembuj të zbatimit të këtij kriteri kur R është një unazë numrash të plotë dhe F është një fushë e numrave racionalë.

Shembuj:

Polinomi është i pakalueshëm mbi Q.

Polinomi i pjesëtimit të një rrethi është i pakalueshëm. Në fakt, nëse është i reduktueshëm, atëherë e zvogëlojmë edhe polinomin, dhe meqenëse të gjithë koeficientët e tij, përveç të parit, janë binom, pra janë të pjesëtueshëm me – një polinom me koeficientë të plotë. Nëse ka një numër të tillë të thjeshtë, dhe koeficienti i fundit `amin – një polinom me koeficientë të plotë. Nëse ka një numër të tillë të thjeshtë dhe përveç kësaj, nuk është i pjesëtueshëm me kriterin e Eisenstein-it, në kundërshtim me supozimin.

Pesë polinomet e mëposhtme demonstrojnë disa veti elementare të polinomeve të pareduktueshme:

Mbi unazën Z të numrave të plotë, dy polinomet e parë janë të reduktueshëm, dy të fundit janë të pareduktueshëm. (I treti nuk është aspak një polinom mbi numrat e plotë).

Mbi fushën Q të numrave racionalë, tre polinomet e parë janë të reduktueshëm, dy të tjerët janë të pareduktueshëm.

Mbi fushën R të numrave realë, katër polinomet e parë janë të reduktueshëm, por janë të pareduktueshëm. Në fushën e numrave realë, polinomet lineare dhe polinomet kuadratike pa rrënjë reale janë të pakalueshëm. Për shembull, zgjerimi i një polinomi në fushën e numrave realë ka formën. Të dy faktorët në këtë zgjerim janë polinome të pareduktueshme.

Mbi fushën C të numrave kompleksë, të pesë polinomet janë të reduktueshëm. Në fakt, çdo polinom jo konstant mbi C mund të faktorizohet në formën:

Ku n- shkalla e polinomit, x + ...- koeficienti kryesor, - rrënjët e polinomit. Prandaj, të vetmet polinome të pareduktueshme mbi C janë polinomet lineare (teorema themelore e algjebrës).

Polinom i pareduktueshëm- një polinom që nuk mund të zbërthehet në polinome jo të parëndësishme. Polinomët e pareduktueshëm janë elementë të pareduktueshëm të unazës polinomiale.

Një polinom i pakalueshëm mbi një fushë është një polinom i variablave mbi një fushë është një element i thjeshtë i unazës , domethënë, nuk mund të përfaqësohet si produkt , ku dhe janë polinome me koeficientë nga , përveç konstanteve.

Një polinom f mbi një fushë F thuhet se është i pakalueshëm (i thjeshtë) nëse ka një shkallë pozitive dhe nuk ka pjesëtues jo të parëndësishëm (d.m.th., çdo pjesëtues ose është i lidhur me të ose me një)

Fjalia 1

(kriteri Eisenstein). R– i pareduktueshëm dhe A– çdo polinom i unazës F[x]. Pastaj ose R ndan A, ose R Dhe A- e thjeshtë reciprokisht.

Fjalia 2

(kriteri Eisenstein). f∈ F[x], dhe shkalla f = 1, që do të thotë f është një polinom i pakalueshëm.

Për shembull: 1. Merrni një polinom x+1 mbi fushën Q. Shkalla e saj është 1, që do të thotë se është e pareduktueshme.

2. x2 +1 – i pakalueshëm, sepse nuk ka rrënjë

SLU. Zgjidhja e sistemit. Sistemet bashkëpunuese, jobashkëpunuese, të përcaktuara dhe të pacaktuara. Sistemet ekuivalente

Një sistem ekuacionesh lineare mbi një fushë F me ndryshore x1,...xn është një sistem i formës

A 11 X 1 + … + a 1n x n= b 1

………………………..

a m1 x 1 + … + a mn x n= b m

ku a ik, b . Pasi kemi gjetur rrënjët komplekse të polinomeve të shkallës së dytë në kllapa në mënyrën e zakonshme, marrim një zgjerim mbi∈ F, m është numri i ekuacioneve, dhe n është numri i të panjohurave. Shkurtimisht, ky sistem mund të shkruhet si më poshtë: ai1x1 + … + a në x n= b . Pasi kemi gjetur rrënjët komplekse të polinomeve të shkallës së dytë në kllapa në mënyrën e zakonshme, marrim një zgjerim mbi (i = 1,…m.)

Kjo SLU është një kusht me n variabla të lirë x 1,….hn.

SLN-të ndahen në të papajtueshme (nuk kanë zgjidhje) dhe të pajtueshme (të përcaktuara dhe të pacaktuara). Një sistem konsistent i një lloji quhet i caktuar nëse ka një zgjidhje unike; nëse ka të paktën dy zgjidhje të ndryshme, atëherë quhet e pasigurt.

Për shembull: sipër fushës Q

x + y = 2 - sistem jokonsistent

x – y = 0 - e përcaktuar e përbashkët (x, y = ½)

2x + 2y = 2 - e pacaktuar e përbashkët

Dy sisteme l.u janë ekuivalente nëse bashkësitë e zgjidhjeve të këtyre sistemeve përkojnë, domethënë çdo zgjidhje e një sistemi është njëkohësisht zgjidhje e një tjetri. Një sistem ekuivalent me këtë mund të merret:

1. duke zëvendësuar një nga ekuacionet me këtë ekuacion të shumëzuar me ndonjë numër jozero.

2. duke zëvendësuar një nga ekuacionet me shumën e këtij ekuacioni me një ekuacion tjetër të sistemit.

Zgjidhja e SLE kryhet me metodën Gaussian.

45* Shndërrimet elementare të sistemeve të ekuacioneve lineare (slu). Metoda e Gausit.

Def.Transformimet elementare të S.L.U janë transformimet e mëposhtme:

1. Shumëzimi i njërit prej sistemit të ekuacioneve të sistemit me një element jozero të fushës.

2. Shtimi i njërit prej ekuacioneve të sistemit një ekuacion tjetër të shumëzuar me elementin e fushës.

3. Shtesa në sistem ose përjashtim nga sistemi i ekuacionit jozero 0*x1+0*x2+…+0*xn=0

4. Përmbysja e ekuacioneve

SugjerimLe të merret sistemi (**) ose sistemi (*) duke përdorur një numër të fundëm. Transformimet elementare. Pastaj sistemi (**)~ sistemi (*). (pa dokument)

zv Kur shkruajmë një sistem ekuacionesh lineare, do të përdorim shënimin e matricës.

a11 a12 … a1n b1

a21 a22 ... a2n b2

………………….... …

Am1 am2 ... amn вn

Shembuj: 1) 2x1 – x3 = 1 2 0 -1 1

x1 – x2 – x3 = 0 1 -1 -1 0

3x1 + 2x2 + 4x3 = 2 3 2 4 2

2) 1 0 1 x1=1

0 1 2 x2=2

3) 1 0 1 2 x1+x3=2 x1=2-x3

0 1 -1 3 x2-x3=3 x2=3+x3

Metoda e Gausit

Sugjerim Le të ketë sistemi (*).

(a) nëse të gjithë termat e lirë janë të barabartë me 0 të gjithë vk=0 shumë zgjidhje = F n

(b) k vk=0 0x1+0x2+…+0xn= vk=0 (pa zgjidhje)

2. jo te gjitha aij=0

(a) nëse sistemi ka një ekuacion të formës 0x1+0x2+…+0xn= vk=0 0

(b) nëse nuk ka ekuacione të tilla b1. Le të përjashtojmë ekuacionet jo zero. Le të gjejmë indeksin më të vogël i1, i tillë që jo të gjithë koeficientët të jenë xij=0.

0……0……….. …. Kolona e dytë me zero është i1.

0……0…..*=0….. ….

0……0 ...……… …

1.duke rirregulluar ekuacionet do të arrijmë që a1i1 = 0

0 ..... 0… a1i1 = 0 .... .... (1). :=(detyrë) (1) 1/ a1i1 (2). :=(2)-(1)* а2i1

A2i1........... .... 0…. 0…1…. …. 0…. 0..1…..….. ( shkeli

0…. 0… а2i1… 0…..0..0… …. Matricë)

0 ........... 0 .... ami1.. ... …………………. ………………………….

0 ….0 ..ami1 ... 0……0…………0 ….

Pas një numri të caktuar hapash, marrim ose sistemi përmban një ekuacion të formës 0x1+0x2+…+0xn= vk=0 0ose

0……0 1…………….. L1 “goditje Gaussian përpara” 0....0 1...0..0 .....0........0.... .. “insulti i kundërt

0......0 0......1..... L2 0....0 0.....1.........0.... . .....0.... ..Gauss”

0 .......00.......0....1 L2 0....0 0......0........1... . .....0... ..

.............................. .... ............................................ ..

0........0 0 ............0..1 Lk 0....0 0.......0....... ..0.....0.......1 ..

Variablat xi1, ...... xik do t'i quajmë kryesore, pjesa tjetër janë të lira.

k=n => c-a e përcaktuar

k c-a e papërcaktuar. Variablave të lirë mund t'u jepen vlera të prejardhura dhe mund të llogariten vlerat e variablave kryesore.

2 0 -1 1 8 (-3) 1 -1 -1 0 *(-2) 1 -1 -1 0

1 -1 -1 0 ~ 2 0 -1 1 ~ 0 2 1 1

3 2 4 2 3 2 4 2 0 5 7 2