Si të zgjidhim ekuacionet me shembuj të shkallës së katërt. Ekuacioni i shkallës së katërt. Zgjidhja e ekuacioneve bikuadratike të shkallës së katërt
Menjëherë pasi Cardano publikoi një metodë për zgjidhjen e ekuacioneve kubike, studentët dhe ndjekësit e tij gjetën mënyra për të reduktuar ekuacionin e përgjithshëm të shkallës së katërt në një ekuacion kub. Le të paraqesim metodën më të thjeshtë, që i përket L. Ferrarit.
Gjatë prezantimit të metodës, do t'ju duhet të përdorni lemën elementare të mëposhtme.
Lemë. Që një trinom kuadratik të jetë katrori i një binomi linear, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që diskriminuesi i tij të jetë i barabartë me zero.
Dëshmi. Domosdoshmëri. Le . Pastaj Mjaftueshmëria. Le pastaj
Ideja e metodës së paraqitur është të paraqesë anën e majtë të ekuacionit si diferencë e dy katrorëve. Pastaj mund të zbërthehet në dy faktorë të shkallës së dytë, dhe zgjidhja e ekuacionit do të çojë në zgjidhjen e dy ekuacioneve kuadratike. Për të arritur qëllimin, le të përfaqësojmë anën e majtë në formën:
Këtu y është një e panjohur ndihmëse, e cila duhet të zgjidhet në mënyrë që shprehja në kllapa katrore të rezultojë të jetë katrori i një binomi linear. Në bazë të lemës, për këtë është e nevojshme dhe e mjaftueshme të plotësohet kushti
Ky kusht është një ekuacion i shkallës së tretë në lidhje me y. Pas hapjes së kllapave, ai shndërrohet në formë
Le të jetë një nga rrënjët e këtij ekuacioni. Atëherë kushti do të jetë i kënaqur, kështu që qëndron
për disa k dhe I. Ekuacioni origjinal merr formën
Duke barazuar secilin prej faktorëve me zero, do të gjejmë katër rrënjët e ekuacionit origjinal.
Le të bëjmë edhe një vërejtje. Le të jenë rrënjët e faktorit të parë dhe le të jenë rrënjët e të dytit. Pastaj, duke shtuar këto barazi, marrim atë
Kështu, ne kemi marrë një shprehje për rrënjën e ekuacionit kubik ndihmës për sa i përket rrënjëve të ekuacionit origjinal të shkallës së katërt.
Shembull. Zgjidhe ekuacionin. Sipas metodës së përshkruar më sipër, ne transformojmë anën e majtë:
Tani le të vendosim. Pas formimeve marrim ekuacionin
Është e lehtë të shihet se një nga rrënjët e këtij ekuacioni është numri. Duke e zëvendësuar atë në anën e majtë të transformuar të ekuacionit origjinal, marrim:
Duke barazuar faktorët me zero, marrim
Sa i përket ekuacioneve mbi shkallën e katërt, njiheshin disa klasa ekuacionesh të një forme relativisht të veçantë që lejonin zgjidhje algjebrike në radikale, domethënë në formën e rezultateve të veprimeve aritmetike dhe veprimit të nxjerrjes së rrënjës. Megjithatë, përpjekjet për të ofruar zgjidhje për ekuacionet e përgjithshme të shkallës pesë dhe më të lartë ishin të pasuksesshme deri, më në fund, në fillim të shekullit të 19-të. Ruffini dhe Abeli nuk vërtetuan se një zgjidhje e këtij lloji për ekuacionet e përgjithshme mbi shkallën e katërt është e pamundur. Më në fund, në vitin 1830, matematikani i shkëlqyer francez E. Galois arriti të gjejë kushte të nevojshme dhe të mjaftueshme (të cilat janë mjaft të vështira për t'u verifikuar) për zgjidhshmërinë në radikale posaçërisht për ekuacioni i dhënë. Në të njëjtën kohë, Galois krijoi dhe përdori teorinë e grupeve të ndërrimit, e cila ishte e re për kohën e tij.
Në rastin e përgjithshëm, zgjidhja e një ekuacioni të shkallës së katërt kryhet duke përdorur metoda për zgjidhjen e ekuacioneve për shkallë më të larta, për shembull, metodën Ferrari ose duke përdorur skemën Horner. Por disa ekuacione të shkallës së katërt kanë një zgjidhje më të thjeshtë.
Ekzistojnë disa lloje të veçanta të ekuacioneve të shkallës së katërt, metodat për zgjidhjen e të cilave do të mësoni më poshtë:
- Ekuacioni bikuadratik $ax^4+bx^2+c=0$;
- Ekuacionet reciproke të formës $ax^4+bx^3+cx^2 +bx+ a=0$;
- Ekuacionet e formës $ax^4+b=0$.
Zgjidhja e ekuacioneve bikuadratike të shkallës së katërt
Ekuacionet bikuadratike $ax^4+bx^2+c=0$ reduktohen në ekuacione kuadratike duke zëvendësuar variablin $x^2$ me një të re, për shembull, $y$. Pas zëvendësimit, zgjidhet ekuacioni i ri që rezulton, dhe më pas vlera e ndryshores së gjetur zëvendësohet në ekuacionin $x^2=y$. Rezultati i zgjidhjes do të jenë rrënjët e ekuacionit $x^2=y$.
Shembulli 1
Zgjidheni ekuacionin $x(x-1)(x-2)(x-3)=24$:
Le të zgjerojmë kllapat në polinom:
$(x^2-3x)(x^2-3x+2)=24$
Në këtë formë, bëhet e qartë se ne mund të zgjedhim shprehjen $y=x^2-3x$ si një variabël të ri; le ta zëvendësojmë atë:
$y\cdot (y+2)=24$
Tani le të zgjidhim dy ekuacione kuadratike $x^2-3x=-4$ dhe $x^2-3x=-6$.
Rrënjët e ekuacionit të parë janë $x_1(1,2)=4;-1$, i dyti nuk ka zgjidhje.
Zgjidhja e ekuacioneve reciproke të shkallës 4
Këto ekuacione të formës $ax^4+bx^3+cx^2 +bx+ a=0$ përsërisin me koeficientët e tyre për termat e rendit më të ulët koeficientët për polinomet me gradë më të lartë. Për të zgjidhur një ekuacion të tillë, së pari ndajeni atë me $x^2$:
$ax^4+bx^3+cx^2 +bx+ a=0|:x^2$
$ax^2+bx+c+\frac(b)(x) + \frac(a)(x^2)=0$
$a(x^2+\frac(1)(x^2))+b(x+\frac(1)(x)) + c=0$
Më pas zëvendësoni $(x+\frac(1)(x))$ me një ndryshore të re, pastaj $(x^2+\frac(1)(x^2))=y^2-2$, pas zëvendësimit marrim në vijim ekuacioni kuadratik:
$a(y^2-2)+nga+c=0$
Pas kësaj, kërkojmë rrënjët e ekuacioneve $x+\frac(1)(x)=y_1$ dhe $x+\frac(1)(x)=y_2$.
Një metodë e ngjashme përdoret për zgjidhjen e ekuacioneve reciproke të formës $ax^4+bx^3+cx^2 +kbx+ k^2a=0$.
Shembulli 2
Zgjidhe ekuacionin:
$3x^4-2x^3-9x^2-4x+12=0$
Ky ekuacion është një ekuacion reciprok i formës $ax^4+bx^3+cx^2 +kbx+ k^2a=0$. Prandaj, ne e ndajmë të gjithë ekuacionin me $x^2$:
$3x^2-2x-9 \cdot \frac(2 \cdot 2)(x)+3 \cdot (\frac(2)(x))^2=0$
$3(x^2+\frac(4)(x^2))-2(x+\frac(2)(x)-9=0$
Le të zëvendësojmë shprehjen $x+\frac(2)(x)$: $3(y^2-4)-2y-9=0$
Le të llogarisim rrënjët e këtij ekuacioni, ato janë të barabarta me $y_1=3$ dhe $y_2=-\frac(7)(3)$.
Prandaj, tani është e nevojshme të zgjidhen dy ekuacione $x+\frac(2)(x)=3$ dhe $x+\frac(2)(x)=-\frac(7)(3)$. Zgjidhja e ekuacionit të parë është $x_1=1, x_2=2$, ekuacioni i dytë nuk ka rrënjë.
Prandaj, rrënjët e ekuacionit origjinal janë $x_1=1, x_2=2$.
Ekuacionet e formës $ax^4+b=0$
Rrënjët e një ekuacioni të këtij lloji gjenden duke përdorur formulat e shkurtuara të shumëzimit.
2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = 0
Së pari ju duhet të gjeni një rrënjë duke përdorur metodën e përzgjedhjes. Zakonisht është pjesëtues i termit të lirë. Në këtë rast, pjesëtuesit e numrit 12 janë ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12. Le të fillojmë t'i zëvendësojmë ato një nga një:
1: 2 + 5 - 11 - 20 + 12 = -12 ⇒ numri 1
-1: 2 - 5 - 11 + 20 + 12 = 18 ⇒ numri -1 nuk është rrënjë e një polinomi
2: 2 ∙ 16 + 5 ∙ 8 - 11 ∙ 4 - 20 ∙ 2 + 12 = 0 ⇒ numri 2 është rrënja e polinomit
Kemi gjetur 1 nga rrënjët e polinomit. Rrënja e polinomit është 2, që do të thotë se polinomi origjinal duhet të jetë i pjesëtueshëm me x - 2. Për të kryer ndarjen e polinomeve, ne përdorim skemën e Hornerit:
| 2 | 5 | -11 | -20 | 12 | |
| 2 |
Koeficientët e polinomit origjinal shfaqen në vijën e sipërme. Rrënja që gjetëm vendoset në qelizën e parë të rreshtit të dytë 2. Rreshti i dytë përmban koeficientët e polinomit që rezulton nga pjesëtimi. Ato numërohen si kjo:
| Në qelizën e dytë të rreshtit të dytë shkruajmë numrin 2, thjesht duke e zhvendosur atë nga qeliza përkatëse e rreshtit të parë. | ||||||||||||
| 2 ∙ 2 + 5 = 9 | ||||||||||||
| 2 ∙ 9 - 11 = 7 | ||||||||||||
| 2 ∙ 7 - 20 = -6 | ||||||||||||
| 2 ∙ (-6) + 12 = 0 |
Numri i fundit është pjesa e mbetur e pjesëtimit. Nëse është e barabartë me 0, atëherë ne kemi llogaritur gjithçka saktë.
2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = (x - 2)(2x 3 + 9x 2 + 7x - 6)
Por ky nuk është fundi. Mund të përpiqeni të zgjeroni polinomin në të njëjtën mënyrë 2x 3 + 9x 2 + 7x - 6.
Përsëri ne po kërkojmë një rrënjë midis pjesëtuesve të termit të lirë. Pjesëtuesit e numrave -6 janë ±1, ±2, ±3, ±6.
1: 2 + 9 + 7 - 6 = 12 ⇒ numri 1 nuk është rrënjë e një polinomi
-1: -2 + 9 - 7 - 6 = -6 ⇒ numër -1 nuk është rrënjë e një polinomi
2: 2 ∙ 8 + 9 ∙ 4 + 7 ∙ 2 - 6 = 60 ⇒ numri 2 nuk është rrënjë e një polinomi
-2: 2 ∙ (-8) + 9 ∙ 4 + 7 ∙ (-2) - 6 = 0 ⇒ numri -2 është rrënja e polinomit
Le të shkruajmë rrënjën e gjetur në skemën tonë Horner dhe të fillojmë të plotësojmë qelizat boshe:
| Në qelizën e dytë të rreshtit të tretë shkruajmë numrin 2, thjesht duke e zhvendosur nga qeliza përkatëse e rreshtit të dytë. | ||||||||||||||||||
| -2 ∙ 2 + 9 = 5 | ||||||||||||||||||
| -2 ∙ 5 + 7 = -3 | ||||||||||||||||||
| -2 ∙ (-3) - 6 = 0 |
Kështu, ne faktorizuam polinomin origjinal:
2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = (x - 2)(x + 2)(2x 2 + 5x - 3)
Polinom 2x 2 + 5x - 3 mund të faktorizohet edhe. Për ta bërë këtë, ju mund të zgjidhni ekuacionin kuadratik përmes diskriminuesit, ose mund të kërkoni rrënjën midis pjesëtuesve të numrit -3. Në një mënyrë apo tjetër, do të arrijmë në përfundimin se rrënja e këtij polinomi është numri -3
| Në qelizën e dytë të rreshtit të katërt shkruajmë numrin 2, thjesht duke e zhvendosur nga qeliza përkatëse e rreshtit të tretë. | ||||||||||||||||||||||||
| -3 ∙ 2 + 5 = -1 | ||||||||||||||||||||||||
| -3 ∙ (-1) - 3 = 0 |
Kështu, ne e zbërthejmë polinomin origjinal në faktorë linearë.
Zgjidhja Descartes-Euler
Pasi kemi bërë zëvendësimin, marrim një ekuacion në formën e mëposhtme (quhet "i paplotë"):
y 4 + fqy 2 + qy + r = 0 .Rrënjët y 1 , y 2 , y 3 , y 4 të një ekuacioni të tillë janë të barabartë me një nga shprehjet e mëposhtme:
në të cilat kombinimet e karaktereve zgjidhen në mënyrë të tillë që të përmbushet marrëdhënia e mëposhtme:
,
dhe z 1 , z 2 dhe z 3 janë rrënjët e ekuacionit kub
Zgjidhja e Ferrarit
Artikulli kryesor: Metoda Ferrari
Le të paraqesim ekuacionin e shkallës së katërt në formën:
Ax 4 + Bx 3 + Cx 2 + Dx + E = 0,Zgjidhja e saj mund të gjendet nga shprehjet e mëposhtme:
nëse β = 0, zgjidhja u 4 + α u 2 + γ = 0 dhe duke bërë zëvendësimin 
, le të gjejmë rrënjët: . 
, (çdo shenjë e rrënjës katrore do të bëjë) , (tre rrënjë komplekse, njëra prej të cilave do të bëjë) 
Dy ± s duhet të kenë të njëjtën shenjë, ± t - janë të pavarura. Për të gjetur të gjitha rrënjët, duhet të gjeni x për kombinimet me shenjë ± s ,± t = +,+ për +,− për −,+ për −,−. Rrënjët e dyfishta do të shfaqen dy herë, rrënjët e trefishta tre herë dhe rrënjët kuaternare katër herë. Renditja e rrënjëve varet nga ajo rrënjë kubike U të zgjedhura. Shiko gjithashtu
- Llojet lehtësisht të zgjidhura të ekuacioneve të shkallës së katërt: Ekuacioni bikuadratik, ekuacioni reciprok i shkallës së katërt
Letërsia
- Korn G., Korn T. (1974) Manual i Matematikës.
Lidhjet
- Vendimi i Ferrarit
Fondacioni Wikimedia. 2010.
Shihni se çfarë është një "ekuacion i shkallës së katërt" në fjalorë të tjerë:
ekuacioni i shkallës së katërt- - [L.G. Sumenko. Fjalor anglisht-rusisht për teknologjinë e informacionit. M.: Ndërmarrja Shtetërore TsNIIS, 2003.] Temat Teknologjia e informacionit në përgjithësi ekuacioni kuartik EN… Udhëzues teknik i përkthyesit
Grafiku i një polinomi të shkallës 4 me katër rrënjë dhe tre pika kritike. Një ekuacion i shkallës së katërt në matematikë është një ekuacion algjebrik i formës: Shkalla e katërt për ekuacionet algjebrikeështë më i larti në të cilin... ... Wikipedia
Një ekuacion i formës: anxn + an − 1xn − 1 + ... + a1x + a0 = 0 quhet reciprok nëse koeficientët e tij në pozicionet simetrike janë të barabartë, domethënë nëse an - k = ak, për k = 0, 1, ..., n. Përmbajtja 1 Ekuacioni i shkallës së katërt ... Wikipedia
Në të cilën termi i panjohur është në fuqinë e katërt. Një fjalor i plotë i fjalëve të huaja që kanë hyrë në përdorim në gjuhën ruse. Popov M., 1907. EKUACIONI BIKUADRATE nga lat. bis, dy herë, dhe kuadrat, katror. Ekuacioni në të cilin shkalla më e madhe... ... Fjalori i fjalëve të huaja të gjuhës ruse
Së bashku me aritmetikën ekziston shkenca e numrave dhe, përmes numrave, e sasive në përgjithësi. Pa studiuar vetitë e ndonjë sasie të caktuar, konkrete, të dyja këto shkenca hetojnë vetitë e madhësive abstrakte si të tilla, pavarësisht nga... ... fjalor enciklopedik F. Brockhaus dhe I.A. Efron
Një grup njohurish të aplikuara që i lejon inxhinierët e aviacionit të studiojnë në fushën e aerodinamikës, problemeve të forcës, ndërtimit të motorit dhe dinamikës së fluturimit të avionit (d.m.th. teoria) për të krijuar një avion të ri ose për të përmirësuar... ... Enciklopedia e Collier
Aktiviteti më i vjetër matematik ishte numërimi. Një llogari ishte e nevojshme për të mbajtur gjurmët e bagëtive dhe për të kryer tregti. Disa fise primitive numëronin numrin e objekteve duke i përshtatur me pjesë të ndryshme të trupit, kryesisht... ... Enciklopedia e Collier
Historia e teknologjisë sipas periudhës dhe rajonit: Revolucioni neolitik Teknologjia e lashtë e Egjiptit Shkenca dhe Teknologjia e Indisë së Lashtë Shkenca dhe Teknologjia Kinën e lashtë teknologjitë Greqia e lashte teknologjitë Roma e lashtë Teknologjitë e botës islame... ... Wikipedia
Një ekuacion është një marrëdhënie matematikore që shpreh barazinë e dy shprehjeve algjebrike. Nëse një barazi është e vërtetë për çdo vlerë të pranueshme të të panjohurave të përfshira në të, atëherë quhet identitet; për shembull, një raport i formës... ... Enciklopedia e Collier
Teorema e Abel Ruffinit thotë se ekuacioni i përgjithshëm kompetencat në nuk është e zgjidhshme në radikale. Përmbajtja 1 Detajet... Wikipedia
Përdorimi i ekuacioneve është i përhapur në jetën tonë. Ato përdoren në shumë llogaritje, ndërtime strukturash dhe madje edhe sporte. Njeriu përdorte ekuacione në kohët e lashta, dhe që atëherë përdorimi i tyre vetëm është rritur. Zgjidhjet e këtij lloji ekuacionesh mund të kryhen sipas skemës së përgjithshme për zgjidhjen e ekuacioneve të shkallëve më të larta. Këto lloj ekuacionesh kanë zgjidhje në radikale falë metodës Ferrari, e cila lejon që zgjidhjet të reduktohen në një ekuacion kub. Sidoqoftë, në shumicën e rasteve, duke faktorizuar një polinom, mund të gjeni shpejt një zgjidhje për ekuacionin.
Supozoni se na është dhënë një ekuacion binomial i shkallës së katërt:
Le të faktorizojmë polinomin:
Ne përcaktojmë rrënjët e trinomit të parë kuadratik:
Ne përcaktojmë rrënjët e trinomit të dytë:
Si rezultat, ekuacioni origjinal ka katër rrënjë komplekse:
Ku mund të zgjidh ekuacionet e shkallës së 4-të në internet?
Ju mund ta zgjidhni ekuacionin në faqen tonë të internetit https://site. Zgjidhësi falas në internet do t'ju lejojë të zgjidhni ekuacionet në internet të çdo kompleksiteti në disa sekonda. E tëra çfarë ju duhet të bëni është thjesht të futni të dhënat tuaja në zgjidhës. Ju gjithashtu mund të shikoni udhëzimet e videos dhe të zbuloni se si të zgjidhni ekuacionin në faqen tonë të internetit. Dhe nëse keni ndonjë pyetje, mund t'i bëni ato në grupin tonë VKontakte http://vk.com/pocketteacher. Bashkohuni me grupin tonë, ne jemi gjithmonë të lumtur t'ju ndihmojmë.
