Jepni përkufizimin e ekuacionit të një drejtëze në një rrafsh. Punë e bukur 04/02/12. Le të rishikojmë * Cili ekuacion quhet kuadratik? * Cilat ekuacione quhen ekuacione kuadratike jo të plota? * Cilin. Shihni se çfarë është "Ekuacioni" në fjalorë të tjerë

Zgjidhja e ekuacionit

Ilustrimi i një metode grafike për gjetjen e rrënjëve të një ekuacioni

Zgjidhja e një ekuacioni është detyra e gjetjes së vlerave të tilla të argumenteve në të cilat arrihet kjo barazi. Kushtet shtesë (numër i plotë, real, etj.) Mund të vendosen në vlerat e mundshme të argumenteve.

Zëvendësimi i një rrënjëje tjetër prodhon një deklaratë të pasaktë:

.

Kështu, rrënja e dytë duhet të hidhet poshtë si e jashtme.

Llojet e ekuacioneve

Ekzistojnë ekuacione algjebrike, parametrike, transcendentale, funksionale, diferenciale dhe lloje të tjera.

Disa klasa ekuacionesh kanë zgjidhje analitike, të cilat janë të përshtatshme sepse jo vetëm që japin vlerën e saktë të rrënjës, por gjithashtu ju lejojnë të shkruani zgjidhjen në formën e një formule, e cila mund të përfshijë parametra. Shprehjet analitike lejojnë jo vetëm llogaritjen e rrënjëve, por edhe analizimin e ekzistencës dhe sasisë së tyre në varësi të vlerave të parametrave, gjë që shpesh është edhe më e rëndësishme për përdorim praktik sesa vlerat specifike të rrënjëve.

Ekuacionet për të cilat njihen zgjidhjet analitike përfshijnë ekuacione algjebrike jo më të larta se shkalla e katërt: ekuacioni linear, ekuacioni kuadratik, ekuacioni kub dhe ekuacioni i shkallës së katërt. Ekuacionet algjebrike të shkallëve më të larta në rastin e përgjithshëm nuk kanë zgjidhje analitike, megjithëse disa prej tyre mund të reduktohen në ekuacione të shkallëve më të ulëta.

Një ekuacion që përfshin funksione transcendentale quhet transcendental. Ndër to, zgjidhjet analitike janë të njohura për disa ekuacione trigonometrike, pasi janë të njohura zerot e funksioneve trigonometrike.

Në rastin e përgjithshëm, kur nuk mund të gjendet një zgjidhje analitike, përdoren metoda numerike. Metodat numerike nuk ofrojnë një zgjidhje të saktë, por vetëm e lejojnë atë të ngushtojë intervalin në të cilin shtrihet rrënja në një vlerë të caktuar të paracaktuar.

Shembuj ekuacionesh

Shiko gjithashtu

Letërsia

• Bekarevich, A. B. Ekuacionet në një kurs të matematikës shkollore / A. B. Bekarevich. - M., 1968.
• Markushevich, L. A. Ekuacionet dhe pabarazitë në përsëritjen përfundimtare të kursit të algjebrës së shkollës së mesme / L. A. Markushevich, R. S. Cherkasov. / Matematika në shkollë. - 2004. - Nr. 1.
• Kaplan Y. V. Rivnyannya. - Kiev: Shkolla Radyanska, 1968.
• Ekuacioni- artikull nga Enciklopedia e Madhe Sovjetike
• Ekuacionet// Enciklopedia e Collier. - Shoqëria e hapur. 2000.
• Ekuacioni// Enciklopedia Rreth botës
• Ekuacioni// Enciklopedi matematikore. - M.: Enciklopedia Sovjetike. I. M. Vinogradov. 1977-1985.

Lidhjet

• EqWorld - World of Mathematical Equations - përmban informacion të gjerë rreth ekuacioneve matematikore dhe sistemeve të ekuacioneve.

Fondacioni Wikimedia. 2010.

Sinonime:

Antonimet:

• Khadzhimba, Raul Dzhumkovich
• KOMPJUTERI ES

Shihni se çfarë është "Ekuacioni" në fjalorë të tjerë:

EKUACIONI- (1) një paraqitje matematikore e problemit të gjetjes së vlerave të tilla të argumenteve (shih (2)), për të cilat vlerat e dy të dhënave (shih) janë të barabarta. Argumentet nga të cilat varen këto funksione quhen të panjohura, dhe vlerat e të panjohurave në të cilat vlerat ... ... Enciklopedia e Madhe Politeknike

EKUACIONI- EKUACIONI, ekuacionet, krh. 1. Veprimi sipas Ch. barazoj barazoj dhe kushtoj sipas kap. barazoj barazoj. Te drejta te barabarta. Ekuacioni i kohës (përkthimi i kohës së vërtetë diellore në kohën mesatare diellore, i pranuar në shoqëri dhe në shkencë;... ... Fjalori shpjegues i Ushakovit

EKUACIONI- (ekuacion) Kërkesa që një shprehje matematikore të marrë një vlerë specifike. Për shembull, një ekuacion kuadratik shkruhet si: ax2+bx+c=0. Zgjidhja është vlera e x në të cilën ekuacioni i dhënë bëhet identitet. NË… … Fjalori ekonomik

EKUACIONI- një paraqitje matematikore e problemit të gjetjes së vlerave të argumenteve për të cilat vlerat e dy funksioneve të dhëna janë të barabarta. Argumentet nga të cilat varen këto funksione quhen të panjohura, dhe vlerat e të panjohurave në të cilat vlerat e funksionit janë të barabarta... ... Fjalori i madh enciklopedik

EKUACIONI- EKUACIONI, dy shprehje të lidhura me një shenjë të barabartë; këto shprehje përfshijnë një ose më shumë ndryshore të quajtura të panjohura. Të zgjidhësh një ekuacion do të thotë të gjesh të gjitha vlerat e të panjohurave në të cilat ai bëhet identitet, ose të vendosësh... Enciklopedi moderne

1. Cili pohim quhet konkluzion? Vërtetoni se një drejtëz që pret njërën nga dy drejtëza paralele pret edhe tjetrën 2. Vërtetoni se

Nëse dy drejtëza janë paralele me një drejtëz të tretë, atëherë ato janë paralele.3. Cila teoreme quhet e kunderta e kesaj teoreme Jepni shembuj teoremash ne kundershtim me keto te dhena 4. Vërtetoni se kur dy drejtëza paralele priten me një tërthore, këndet janë të barabarta 5. Vërtetoni se nëse një drejtëz është pingul me njërën nga dy drejtëza paralele, atëherë është edhe pingul me një tjetër.6.Vërtetoni se kur dy drejtëza paralele priten me një tërthore: a) këndet përkatëse janë të barabarta; b) shuma e këndeve të njëanshme është 180°.

Ju lutem më ndihmoni me pyetje mbi gjeometrinë (klasa 9)! 2) Çfarë do të thotë të zbërthehet një vektor në dysh

ndaj këtyre vektorëve. 9) Sa është vektori i rrezes së një pike Vërtetoni se koordinatat e pikës janë të barabarta me koordinatat përkatëse të vektorëve. 10) Nxjerr formulat për llogaritjen e koordinatave të një vektori nga koordinatat e fillimit dhe mbarimit të tij. 11) Nxjerr formulat për llogaritjen e koordinatave të një vektori nga koordinatat e skajeve të tij. 12) Nxjerr një formulë për llogaritjen e gjatësisë së një vektori nga koordinatat e tij. 13) Nxjerr një formulë për llogaritjen e distancës ndërmjet dy pikave bazuar në koordinatat e tyre. 15) Cili ekuacion quhet ekuacion i kësaj drejtëze?Jep një shembull. 16) Nxjerrë ekuacionin e një rrethi me rreze të caktuar me qendër në një pikë të caktuar.

1) Tregoni dhe vërtetoni lemën për vektorët kolinearë.

3) Formuloni dhe vërtetoni një teoremë për zbërthimin e një vektori në dy vektorë jokolinearë.
4) Shpjegoni se si paraqitet një sistem koordinativ drejtkëndor.
5) Cilët janë vektorët e koordinatave?
6) Formuloni dhe vërtetoni një pohim për zbërthimin e një vektori arbitrar në vektorë koordinativë.
7) Cilat janë koordinatat vektoriale?
8) Formuloni dhe vërtetoni rregullat për gjetjen e koordinatave të shumës dhe ndryshimit të vektorëve, si dhe prodhimin e një vektori dhe një numri në koordinatat e vektorit të dhënë.
10) Nxjerr formulat për llogaritjen e koordinatave të një vektori nga koordinatat e fillimit dhe mbarimit të tij.
11) Nxjerr formulat për llogaritjen e koordinatave të një vektori nga koordinatat e skajeve të tij.
12) Nxjerr një formulë për llogaritjen e gjatësisë së një vektori nga koordinatat e tij.
13) Nxjerr një formulë për llogaritjen e distancës ndërmjet dy pikave bazuar në koordinatat e tyre.
14) Jepni një shembull të zgjidhjes së një problemi gjeometrik duke përdorur metodën e koordinatave.
16) Nxjerrë ekuacionin e një rrethi me rreze të caktuar me qendër në një pikë të caktuar.
17) Shkruani ekuacionin e një rrethi me rreze të dhënë me qendër në origjinë.
18) Nxirrni ekuacionin e kësaj drejtëze në një sistem koordinativ drejtkëndor.
19) Shkruani ekuacionin e drejtëzave që kalojnë nëpër një pikë të caktuar M0 (X0: Y0) dhe paralele me boshtet e koordinatave.
20) Shkruani ekuacionin e boshteve të koordinatave.
21) Jepni shembuj të përdorimit të ekuacioneve të rrethit dhe drejtëzës gjatë zgjidhjes së problemeve gjeometrike.

Ju lutem, kam shumë nevojë për të! Mundësisht me vizatime (ku është e nevojshme)!

GJEOMETRI KLASA IX.

1) Tregoni dhe vërtetoni lemën për vektorët kolinearë.
2) Çfarë do të thotë të zbërthehet një vektor në dy vektorë të dhënë.
3) Formuloni dhe vërtetoni një teoremë për zbërthimin e një vektori në dy vektorë jokolinearë.
4) Shpjegoni se si paraqitet një sistem koordinativ drejtkëndor.
5) Cilët janë vektorët e koordinatave?
6) Formuloni dhe vërtetoni një pohim për zbërthimin e një vektori arbitrar në vektorë koordinativë.
7) Cilat janë koordinatat vektoriale?
8) Formuloni dhe vërtetoni rregullat për gjetjen e koordinatave të shumës dhe ndryshimit të vektorëve, si dhe prodhimin e një vektori dhe një numri në koordinatat e vektorit të dhënë.
9) Cili është vektori i rrezes së një pike? Vërtetoni se koordinatat e një pike janë të barabarta me koordinatat përkatëse të vektorëve.
14) Jepni një shembull të zgjidhjes së një problemi gjeometrik duke përdorur metodën e koordinatave.
15)Cili ekuacion quhet ekuacion i kësaj drejtëze? Jep një shembull.
17) Shkruani ekuacionin e një rrethi me rreze të dhënë me qendër në origjinë.
18) Nxirrni ekuacionin e kësaj drejtëze në një sistem koordinativ drejtkëndor.
19) Shkruani ekuacionin e drejtëzave që kalojnë nëpër një pikë të caktuar M0 (X0: Y0) dhe paralele me boshtet e koordinatave.
20) Shkruani ekuacionin e boshteve të koordinatave.
21) Jepni shembuj të përdorimit të ekuacioneve të rrethit dhe drejtëzës gjatë zgjidhjes së problemeve gjeometrike.

Vijë e drejtë në aeroplan dhe në hapësirë.

Studimi i vetive të figurave gjeometrike duke përdorur algjebër quhet gjeometria analitike , dhe ne do të përdorim të ashtuquajturat metodë koordinative .

Një vijë në një rrafsh zakonisht përkufizohet si një grup pikash që kanë veti unike për to. Fakti që koordinatat (numrat) x dhe y të një pike që shtrihet në këtë drejtëz shkruhen në mënyrë analitike në formën e një ekuacioni.

Def.1 Ekuacioni i një vije (ekuacioni i një lakore) në rrafshin Oxy quhet ekuacion (*), i cili plotësohet nga koordinatat x dhe y të secilës pikë në një drejtëz të caktuar dhe nuk plotësohet nga koordinatat e asnjë pike tjetër që nuk shtrihet në këtë drejtëzë.

Nga përkufizimi 1 rrjedh se çdo vijë në plan korrespondon me një ekuacion midis koordinatave aktuale ( x, y ) pikat e kësaj drejtëze dhe anasjelltas, çdo ekuacion korrespondon, në përgjithësi, me një vijë të caktuar.

Kjo krijon dy probleme kryesore të gjeometrisë analitike në aeroplan.

1. Një vijë është dhënë në formën e një grupi pikash. Ne duhet të krijojmë një ekuacion për këtë linjë.

2. Është dhënë ekuacioni i drejtëzës. Është e nevojshme të studiohen vetitë e tij gjeometrike (forma dhe vendndodhja).

Shembull. A gënjejnë pikat A(-2;1) Dhe NË (1;1) në rreshtin 2 X +në +3=0?

Problemi i gjetjes së pikave të kryqëzimit të dy drejtëzave të dhëna nga ekuacionet dhe zbret në gjetjen e koordinatave që plotësojnë ekuacionin e të dy drejtëzave, d.m.th. për zgjidhjen e një sistemi me dy ekuacione me dy të panjohura.

Nëse ky sistem nuk ka zgjidhje reale, atëherë linjat nuk kryqëzohen.

Koncepti i një linje është futur në UCS në një mënyrë të ngjashme.

Një vijë në një aeroplan mund të përcaktohet nga dy ekuacione

Ku X Dhe në – koordinata pikash arbitrare M(x;y), shtrirë në këtë linjë, dhe t - një ndryshore e quajtur parametri , parametri përcakton pozicionin e pikës në plan.

Për shembull, nëse , atëherë vlera e parametrit t=2 i përgjigjet pikës (3;4) në rrafsh.

Nëse parametri ndryshon, pika në aeroplan lëviz, duke përshkruar këtë linjë. Kjo metodë e përcaktimit të një linje quhet parametrik, dhe ekuacioni (5.1) është një ekuacion parametrik i drejtëzës.

Për të kaluar nga ekuacionet parametrike në një ekuacion të përgjithshëm (*), duhet të eliminohet disi parametri nga dy ekuacionet. Sidoqoftë, vërejmë se një tranzicion i tillë nuk është gjithmonë i këshillueshëm dhe jo gjithmonë i mundur.

Një linjë në një aeroplan mund të specifikohet ekuacioni vektorial , ku t është një parametër variabël skalar. Çdo vlerë parametri korrespondon me një vektor specifik të planit. Kur ndryshoni parametrin, fundi i vektorit do të përshkruajë një vijë të caktuar.

Ekuacioni vektorial në DSC korrespondojnë dy ekuacione skalare

(5.1), d.m.th. ekuacioni i projeksioneve në boshtet koordinative të ekuacionit vektorial të një drejtëze është i tij

ekuacioni parametrik.

Ekuacioni i vektorit dhe ekuacionet e vijave parametrike kanë një kuptim mekanik. Nëse një pikë lëviz në një rrafsh, atëherë thirren ekuacionet e treguara ekuacionet e lëvizjes , dhe vija është trajektorja e pikës, parametri t është koha.

Përfundim: çdo rresht në rrafsh korrespondon me një ekuacion të formës.

Në rastin e përgjithshëm, ÇDO EKUACION I PAMJESË i korrespondon një vije të caktuar, vetitë e së cilës përcaktohen nga ekuacioni i dhënë (me përjashtim që asnjë imazh gjeometrik nuk i përgjigjet një ekuacioni në një rrafsh).

Le të zgjidhet një sistem koordinativ në aeroplan.

Def. 5.1. Ekuacioni i linjës ky lloj ekuacioni quhetF(x;y) =0, e cila plotësohet nga koordinatat e çdo pike që shtrihet në këtë vijë, dhe nuk plotësohet nga koordinatat e asnjë pike që nuk shtrihet në të.

Ekuacioni i formësF(x;y )=0 – quhet ekuacioni i përgjithshëm i drejtëzës ose ekuacionit në formë implicite.

Kështu, vija Г është vendndodhja e pikave që plotësojnë këtë ekuacion Г=((x, y): F(x;y)=0).

Linja quhet gjithashtu i shtrembër.

Synimi: Konsideroni konceptin e një vije në një aeroplan, jepni shembuj. Bazuar në përkufizimin e një drejtëze, prezantoni konceptin e një ekuacioni të një drejtëze në një rrafsh. Konsideroni llojet e vijave të drejta, jepni shembuj dhe metoda të përcaktimit të një vije të drejtë. Forconi aftësinë për të përkthyer ekuacionin e një vije të drejtë nga një formë e përgjithshme në një ekuacion të një vije të drejtë "në segmente", me një koeficient këndor.

1. Ekuacioni i një drejtëze në një rrafsh.
2. Ekuacioni i një vije të drejtë në një plan. Llojet e ekuacioneve.
3. Metodat për përcaktimin e një vije të drejtë.

1. Le të jenë x dhe y dy ndryshore arbitrare.

Përkufizimi: Quhet një relacion i formës F(x,y)=0 ekuacioni , nëse nuk është e vërtetë për asnjë çift numrash x dhe y.

Shembull: 2x + 7y – 1 = 0, x 2 + y 2 – 25 = 0.

Nëse barazia F(x,y)=0 vlen për çdo x, y, atëherë, pra, F(x,y) = 0 është një identitet.

Shembull: (x + y) 2 - x 2 - 2xy - y 2 = 0

Ata thonë se numrat x janë 0 dhe y janë 0 plotësojnë ekuacionin , nëse me zëvendësimin e tyre në këtë ekuacion ai kthehet në një barazi të vërtetë.

Koncepti më i rëndësishëm i gjeometrisë analitike është koncepti i ekuacionit të një drejtëze.

Përkufizimi: Ekuacioni i një drejtëze të caktuar është ekuacioni F(x,y)=0, i cili plotësohet nga koordinatat e të gjitha pikave që shtrihen në këtë drejtëz dhe nuk plotësohet nga koordinatat e asnjërës prej pikave që nuk shtrihen në këtë drejtëz.

Vija e përcaktuar me ekuacionin y = f(x) quhet grafiku i f(x). Variablat x dhe y quhen koordinata aktuale, sepse ato janë koordinatat e një pike të ndryshueshme.

Disa shembuj përkufizimet e linjave.

1) x – y = 0 => x = y. Ky ekuacion përcakton një vijë të drejtë:

2) x 2 - y 2 = 0 => (x-y)(x+y) = 0 => pikat duhet të plotësojnë ose ekuacionin x - y = 0, ose ekuacionin x + y = 0, që korrespondon në rrafshin me një çift drejtëzash të kryqëzuara që janë përgjysmues të këndeve koordinative:

3) x 2 + y 2 = 0. Ky ekuacion plotësohet vetëm me një pikë O(0,0).

2. Përkufizimi: Çdo vijë e drejtë në aeroplan mund të specifikohet nga një ekuacion i rendit të parë

Ax + Wu + C = 0,

Për më tepër, konstantet A dhe B nuk janë të barabarta me zero në të njëjtën kohë, d.m.th. A 2 + B 2 ¹ 0. Ky ekuacion i rendit të parë quhet ekuacioni i përgjithshëm i një drejtëze.

Në varësi të vlerave të konstanteve A, B dhe C, rastet e mëposhtme të veçanta janë të mundshme:

C = 0, A ¹ 0, B ¹ 0 - vija e drejtë kalon përmes origjinës

A = 0, B ¹ 0, C ¹ 0 (By + C = 0) - vijë e drejtë paralele me boshtin Ox

B = 0, A ¹ 0, C ¹ 0 (Ax + C = 0) - vijë e drejtë paralele me boshtin Oy

B = C = 0, A ¹ 0 - vija e drejtë përkon me boshtin Oy

A = C = 0, B ¹ 0 - vija e drejtë përkon me boshtin Ox

Ekuacioni i një vije të drejtë mund të paraqitet në forma të ndryshme në varësi të kushteve fillestare të dhëna.

Ekuacioni i një drejtëze me një koeficient këndor.

Nëse ekuacioni i përgjithshëm i drejtëzës Ax + By + C = 0 reduktohet në formën:

dhe shënojmë , atëherë thirret ekuacioni që rezulton ekuacioni i drejtëzës me pjerrësi k.

Ekuacioni i një drejtëze në segmente.

Nëse në ekuacionin e përgjithshëm të drejtëzës Ах + Ву + С = 0 С ¹ 0, atëherë, duke e pjesëtuar me –С, marrim: ose , ku

Kuptimi gjeometrik i koeficientëve është se koeficienti Aështë koordinata e pikës së prerjes së drejtëzës me boshtin Ox, dhe b– koordinata e pikës së prerjes së drejtëzës me boshtin Oy.

Ekuacioni normal i një drejtëze.

Nëse të dyja anët e ekuacionit Ax + By + C = 0 pjesëtohen me një numër të quajtur faktori normalizues, atëherë marrim

xcosj + ysinj - p = 0 – ekuacion normal i drejtëzës.

Shenja ± e faktorit normalizues duhet të zgjidhet në mënyrë që m×С< 0.

p është gjatësia e pingules së rënë nga origjina në drejtëz, dhe j është këndi i formuar nga kjo pingul me drejtimin pozitiv të boshtit Ox.

3. Ekuacioni i një drejtëze duke përdorur një pikë dhe pjerrësi.

Le të jetë koeficienti këndor i drejtëzës i barabartë me k, drejtëza kalon nëpër pikën M(x 0, y 0). Atëherë ekuacioni i drejtëzës gjendet me formulën: y – y 0 = k(x – x 0)

Ekuacioni i drejtëzës që kalon nga dy pika.

Le të jepen në hapësirë ​​dy pika M 1 (x 1, y 1, z 1) dhe M 2 (x 2, y 2, z 2), atëherë ekuacioni i drejtëzës që kalon nëpër këto pika është:

Nëse ndonjë prej emërtuesve është zero, numëruesi përkatës duhet të vendoset i barabartë me zero.

Në plan, ekuacioni i vijës së drejtë të shkruar më sipër është thjeshtuar:

nëse x 1 ¹ x 2 dhe x = x 1, nëse x 1 = x 2.

Thyehet thyesa = k shpat drejt.

Le të jepet një sistem koordinativ drejtkëndor kartezian Oxy dhe një vijë L në rrafshin .

Përkufizimi. Ekuacioni F(x;y)=0 (1) thirrur ekuacioni i vijësL(në lidhje me një sistem të caktuar koordinativ), nëse ky ekuacion plotësohet nga koordinatat x dhe y të çdo pike që shtrihet në drejtëzën L, dhe jo nga koordinatat x dhe y të ndonjë pike që nuk shtrihet në drejtëzën L.

Se. linjë në një avionështë vendndodhja e pikave (M(x;y)) koordinatat e të cilave plotësojnë ekuacionin (1).

Ekuacioni (1) përcakton vijën L.

Shembull. Ekuacioni i një rrethi.

Rretho– një grup pikash të barabarta nga një pikë e dhënë M 0 (x 0,y 0).

Pika M 0 (x 0, y 0) - qendra e rrethit.

Për çdo pikë M(x;y) të shtrirë në rreth, distanca MM 0 =R (R=konst)

MM 0 ==R

(x-x 0 ) 2 +(oooh 0 ) 2 =R 2 –(2) – ekuacioni i një rrethi me rreze R me qendër në pikën M 0 (x 0,y 0).

Ekuacioni parametrik i një drejtëze.

Le të shprehen koordinatat x dhe y të pikave në rreshtin L duke përdorur parametrin t:

(3) – ekuacioni parametrik i drejtëzës në DSC

ku funksionet (t) dhe (t) janë të vazhdueshme në lidhje me parametrin t (në një diapazon të caktuar variacioni të këtij parametri).

Duke përjashtuar parametrin t nga ekuacioni (3), marrim ekuacionin (1).

Le ta konsiderojmë drejtëzën L si shtegun që përshkon një pikë materiale që lëviz vazhdimisht sipas një ligji të caktuar. Lëreni variablin t të përfaqësojë kohën e numëruar nga një moment fillestar. Atëherë specifikimi i ligjit të lëvizjes paraqet specifikimin e koordinatave x dhe y të pikës lëvizëse si disa funksione të vazhdueshme x=(t) dhe y=(t) të kohës t.

Shembull. Le të nxjerrim një ekuacion parametrik për një rreth me rreze r>0 me qendër në origjinë. Le të jetë M(x,y) një pikë arbitrare e këtij rrethi dhe t të jetë këndi ndërmjet vektorit të rrezes dhe boshtit Ox, i numëruar në drejtim të kundërt të akrepave të orës.

Atëherë x=r cos x y=r sin t. (4)

Ekuacionet (4) janë ekuacione parametrike të rrethit në shqyrtim. Parametri t mund të marrë çdo vlerë, por në mënyrë që pika M(x,y) të shkojë rreth rrethit një herë, diapazoni i ndryshimit të parametrit është i kufizuar në gjysmësegmentin 0t2.

Duke i katroruar dhe mbledhur ekuacionet (4), marrim ekuacionin e përgjithshëm të rrethit (2).

2. Sistemi i koordinatave polar (psc).

Le të zgjedhim boshtin L ( boshti polar) dhe përcaktoni pikën e këtij boshti O ( shtyllë). Çdo pikë në rrafsh përcaktohet në mënyrë unike nga koordinatat polare ρ dhe φ, ku

ρ – rrezja polare, e barabartë me distancën nga pika M në polin O (ρ≥0);

φ – qoshe ndërmjet drejtimit të vektorit OM dhe boshti L ( këndi polar). M(ρ ; φ )

Ekuacioni i linjës në UCS mund të shkruhet:

ρ=f(φ) (5) ekuacioni eksplicit i drejtëzës në UCS

F=(ρ; φ) (6) ekuacioni i vijës së nënkuptuar në UCS

Lidhja ndërmjet koordinatave karteziane dhe polare të një pike.

(x;y) (ρ ; φ ) Nga trekëndëshi OMA:

tan φ=(rivendosja e kënditφ sipas të njohurveprodhohet tangjenteduke marrë parasysh se në cilin kuadrant ndodhet pika M).(ρ ; φ )(x;y). x=ρcosφ,y=ρsinφ

Shembull . Gjeni koordinatat polare të pikave M(3;4) dhe P(1;-1).

Për M:=5, φ=arctg (4/3). Për P: ρ=; φ=Π+arctg(-1)=3Π/4.

Klasifikimi i vijave të sheshta.

Përkufizimi 1. Linja quhet algjebrike, nëse në ndonjë sistem koordinativ drejtkëndor kartezian, nëse përcaktohet me ekuacionin F(x;y)=0 (1), në të cilin funksioni F(x;y) është një polinom algjebrik.

Përkufizimi 2.Çdo drejtëz joalgjebrike quhet transcendentale.

Përkufizimi 3. Vija algjebrike quhet linja e renditn, nëse në ndonjë sistem koordinativ drejtkëndor kartezian kjo drejtëz përcaktohet nga ekuacioni (1), në të cilin funksioni F(x;y) është një polinom algjebrik i shkallës së n-të.

Kështu, një vijë e rendit të n-të është një vijë e përcaktuar në një sistem drejtkëndor kartezian nga një ekuacion algjebrik i shkallës n me dy të panjohura.

Teorema e mëposhtme kontribuon në vendosjen e saktësisë së përkufizimeve 1,2,3.

Teorema(dokument në f. 107). Nëse një vijë në një sistem koordinativ drejtkëndor kartezian përcaktohet nga një ekuacion algjebrik i shkallës n, atëherë kjo vijë në çdo sistem tjetër koordinativ drejtkëndor kartezian përcaktohet nga një ekuacion algjebrik i së njëjtës shkallë n.