Zgjidhja e përgjithshme e një sistemi heterogjen. Sistemet homogjene të ekuacioneve lineare Zgjidhja e sistemeve homogjene 0
Ekuacioni linear quhet homogjene, nëse termi i lirë i tij është i barabartë me zero, dhe johomogjen ndryshe. Një sistem i përbërë nga ekuacione homogjene quhet homogjen dhe ka formë e përgjithshme:
Është e qartë se çdo sistem homogjen është konsistent dhe ka një zgjidhje zero (të parëndësishme). Prandaj, në lidhje me sistemet homogjene ekuacionet lineare shpesh duhet kërkuar një përgjigje për pyetjen e ekzistencës së zgjidhjeve jo zero. Përgjigja për këtë pyetje mund të formulohet si teorema e mëposhtme.
Teorema . Një sistem homogjen ekuacionesh lineare ka një zgjidhje jozero nëse dhe vetëm nëse rangu i tij është më i vogël se numri i të panjohurave .
Dëshmi: Le të supozojmë se një sistem rangu i të cilit është i barabartë ka një zgjidhje jo zero. Është e qartë se nuk e kalon. Në rast se sistemi ka një zgjidhje unike. Meqenëse një sistem ekuacionesh lineare homogjene ka gjithmonë një zgjidhje zero, atëherë zgjidhja zero do të jetë kjo zgjidhje unike. Kështu, zgjidhjet jo zero janë të mundshme vetëm për .
Përfundimi 1 : Një sistem homogjen ekuacionesh, në të cilin numri i ekuacioneve është më i vogël se numri i të panjohurave, ka gjithmonë një zgjidhje jo zero.
Dëshmi: Nëse një sistem ekuacionesh ka , atëherë rangu i sistemit nuk e kalon numrin e ekuacioneve, d.m.th. . Kështu, kushti është i kënaqur dhe, për rrjedhojë, sistemi ka një zgjidhje jo zero.
Përfundimi 2 : Një sistem homogjen ekuacionesh me të panjohura ka një zgjidhje jozero nëse dhe vetëm nëse përcaktorja e tij është zero.
Dëshmi: Le të supozojmë se një sistem ekuacionesh homogjene lineare, matrica e të cilit me përcaktorin , ka një zgjidhje jo zero. Pastaj, sipas teoremës së provuar, dhe kjo do të thotë se matrica është njëjës, d.m.th. .
Teorema Kronecker-Capelli: Një SLU është konsistente nëse dhe vetëm nëse rangu i matricës së sistemit është i barabartë me gradën e matricës së zgjeruar të këtij sistemi. Një sistem ur quhet konsistent nëse ka të paktën një zgjidhje.Sistemi homogjen linear ekuacionet algjebrike .
Një sistem m ekuacionesh lineare me n ndryshore quhet sistem ekuacionesh lineare homogjene nëse të gjithë termat e lirë janë të barabartë me 0. Një sistem ekuacionesh lineare homogjene është gjithmonë konsistent, sepse gjithmonë ka të paktën një zgjidhje zero. Një sistem ekuacionesh homogjene lineare ka një zgjidhje jo zero nëse dhe vetëm nëse rangu i matricës së tij të koeficientëve për ndryshoret është më i vogël se numri i ndryshoreve, d.m.th. për gradën A (n. Çdo kombinim linear
Zgjidhjet e sistemit Lin. homogjene. ur-ii është gjithashtu një zgjidhje për këtë sistem.
Një sistem zgjidhjesh të pavarura lineare e1, e2,...,еk quhet themelor nëse secila zgjidhje e sistemit është një kombinim linear i zgjidhjeve. Teorema: nëse rangu r i matricës së koeficientëve për ndryshoret e një sistemi ekuacionesh homogjene lineare është më i vogël se numri i ndryshoreve n, atëherë çdo sistem themelor i zgjidhjeve të sistemit përbëhet nga zgjidhjet n-r. Kjo është arsyeja pse vendim të përbashkët sistemet lin një ditë ur-th ka formën: c1e1+c2e2+...+skek, ku e1, e2,..., ek është çdo sistem themelor zgjidhjesh, c1, c2,...,ck janë numra arbitrar dhe k=n-r. Zgjidhja e përgjithshme e një sistemi m ekuacionesh lineare me n ndryshore është e barabartë me shumën
e zgjidhjes së përgjithshme të sistemit që i përgjigjet është homogjene. ekuacionet lineare dhe një zgjidhje e veçantë arbitrare e këtij sistemi.
7. Hapësirat lineare. Nënhapësirat. Baza, dimensioni. Predha lineare. Hapësira lineare quhet n-dimensionale, nëse përmban një sistem linear vektorë të pavarur, dhe çdo sistem nga më shumë vektorët janë të varur në mënyrë lineare. Numri thirret dimensioni (numri i dimensioneve) hapësirë lineare dhe shënohet me . Me fjalë të tjera, dimensioni i një hapësire është numri maksimal i vektorëve linearisht të pavarur të kësaj hapësire. Nëse ekziston një numër i tillë, atëherë hapësira quhet dimensionale e fundme. Nëse për dikë numri natyror n në hapësirë ekziston një sistem i përbërë nga vektorë linearisht të pavarur, atëherë një hapësirë e tillë quhet infinite-dimensionale (e shkruar: ). Në vijim, përveç rasteve kur përcaktohet ndryshe, do të merren parasysh hapësirat me dimensione të fundme.
Baza e një hapësire lineare n-dimensionale është një koleksion i renditur i vektorëve linearisht të pavarur ( vektorët bazë).
Teorema 8.1 mbi zgjerimin e një vektori në terma të një baze. Nëse është baza e një hapësire lineare n-dimensionale, atëherë çdo vektor mund të përfaqësohet si një kombinim linear i vektorëve bazë:
V=v1*e1+v2*e2+…+vn+en
dhe, për më tepër, në të vetmen mënyrë, d.m.th. koeficientët përcaktohen në mënyrë unike. Me fjalë të tjera, çdo vektor i hapësirës mund të zgjerohet në një bazë dhe, për më tepër, në një mënyrë unike.
Në të vërtetë, dimensioni i hapësirës është . Sistemi i vektorëve është linearisht i pavarur (kjo është një bazë). Pas shtimit të ndonjë vektori në bazë, marrim një sistem të varur linearisht (pasi ky sistem përbëhet nga vektorë të hapësirës n-dimensionale). Duke përdorur vetinë e 7 vektorëve të varur linearisht dhe të pavarur linearisht, marrim përfundimin e teoremës.
Dega Kaluga e institucionit arsimor buxhetor federal të shtetit të arsimit të lartë profesional
"Universiteti Teknik Shtetëror i Moskës me emrin N.E. Bauman"
(KB MSTU me emrin N.E. Bauman)
Vlaykov N.D.
Zgjidhja e SLAE-ve homogjene
Udhëzime për kryerjen e ushtrimeve
në rrjedhën e gjeometrisë analitike
Kaluga 2011
Objektivat e mësimit, faqe 4
Plani i mësimit, faqe 4
Informacioni i nevojshëm teorik f.5
Pjesa praktike f.10
Monitorimi i zotërimit të materialit të mbuluar f
Detyrë shtëpie fq.14
Numri i orëve: 2
Objektivat e mësimit:
Sistematizoni njohuritë e fituara teorike për llojet e SLAE dhe metodat e zgjidhjes së tyre.
Të fitojnë aftësi në zgjidhjen e SLAE homogjene.
Plani i mësimit:
Përshkruani shkurtimisht materialin teorik.
Zgjidh një SLAE homogjene.
Gjeni sistemin themelor të zgjidhjeve të një SLAE homogjene.
Gjeni një zgjidhje të veçantë të një SLAE homogjene.
Formuloni një algoritëm për zgjidhjen e një SLAE homogjene.
Kontrolloni detyrat tuaja aktuale të shtëpisë.
Kryeni punë verifikimi.
Prezantoni temën e seminarit të ardhshëm.
Paraqisni detyrat aktuale të shtëpisë.
Informacioni i nevojshëm teorik.
Rangu i matricës.
Def. Renditja e një matrice është numri që është i barabartë me rendin maksimal midis minoreve të saj jozero. Rangu i matricës shënohet me .
Nëse një matricë katrore është josingulare, atëherë radha e saj është e barabartë me rendin e saj. Nëse një matricë katrore është njëjës, atëherë renditja e saj është më e vogël se rendi i saj.
Renditja e një matrice diagonale është e barabartë me numrin e elementeve të saj diagonale jo zero.
Teor. Kur një matricë transpozohet, rangu i saj nuk ndryshon, d.m.th. 
.
Teor. Rangu i një matrice nuk ndryshon me transformimet elementare të rreshtave dhe kolonave të saj.
Teorema mbi bazën e vogël.
Def. Të mitur 
matricat 
quhet bazë nëse plotësohen dy kushte:
a) nuk është e barabartë me zero;
b) rendi i tij është i barabartë me gradën e matricës 
.
Matricë 
mund të ketë disa të mitur bazë.
Rreshtat dhe kolonat e matricës 
, në të cilën ndodhet minorja bazë e zgjedhur, quhen bazë.
Teor. Teorema mbi bazën e vogël. Rreshtat (kolonat) bazë të matricës 
, që korrespondon me ndonjë prej të miturve bazë të saj 
, janë të pavarura në mënyrë lineare. Çdo rresht (kolona) të matricës 
, nuk përfshihet në 
, janë kombinime lineare të rreshtave (kolonave) bazë.
Teor. Për çdo matricë, rangu i saj është i barabartë me numrin maksimal të rreshtave (kolonave) të saj linearisht të pavarur.
Llogaritja e renditjes së një matrice. Metoda e shndërrimeve elementare.
Duke përdorur transformimet elementare të rreshtave, çdo matricë mund të reduktohet në formë shkalle. Rangu i një matrice hapi është i barabartë me numrin e rreshtave jo zero. Baza në të është minori, i vendosur në kryqëzimin e rreshtave jo zero me kolonat që korrespondojnë me elementët e parë jozero nga e majta në secilën prej rreshtave.
SLAU. Përkufizimet bazë.
Def. Sistemi 
(15.1)
Numrat 
quhen koeficientë SLAE. Numrat 
quhen terma të lirë të ekuacioneve.
Hyrja SLAE në formën (15.1) quhet koordinatë.
Def. Një SLAE quhet homogjene nëse 
. Përndryshe quhet heterogjen.
Def. Një zgjidhje për një SLAE është një grup vlerash të panjohura të tilla që, pas zëvendësimit, çdo ekuacion i sistemit kthehet në një identitet. Çdo zgjidhje specifike e një SLAE quhet gjithashtu zgjidhje e veçantë e saj.
Zgjidhja e SLAE nënkupton zgjidhjen e dy problemeve:
Zbuloni nëse SLAE ka zgjidhje;
Gjeni të gjitha zgjidhjet nëse ekzistojnë.
Def. Një SLAE quhet nyje nëse ka të paktën një zgjidhje. Përndryshe, ajo quhet e papajtueshme.
Def. Nëse SLAE (15.1) ka një zgjidhje, dhe një unike, atëherë ajo quhet e caktuar, dhe nëse zgjidhja nuk është unike, atëherë quhet e pacaktuar.
Def. Nëse në ekuacionin (15.1) 
,SLAE quhet katror.
SLAU formularët e regjistrimit.
Përveç formës së koordinatave (15.1), të dhënat SLAE përdoren shpesh në paraqitje të tjera të saj.
(15.2)
Lidhja quhet forma vektoriale e shënimit SLAE.
Nëse marrim si bazë produktin e matricave, atëherë SLAE (15.1) mund të shkruhet si më poshtë:
(15.3)
ose 
.
Shënimi i SLAE (15.1) në formën (15.3) quhet matricë.
SLAE homogjene.
Sistemi homogjen 
ekuacionet algjebrike lineare me 
e panjohura është një sistem i formës
SLAE homogjene janë gjithmonë konsistente, pasi ka gjithmonë një zgjidhje zero.
Kriteri për ekzistencën e një zgjidhjeje jo zero. Që një zgjidhje jozero të ekzistojë për një SLAE katrore homogjene, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që matrica e tij të jetë njëjës.
Teor. Nëse kolonat 
,
,
…,
- zgjidhjet e një SLAE homogjene, atëherë çdo kombinim linear i tyre është gjithashtu një zgjidhje për këtë sistem.
Pasoja. Nëse një SLAE homogjene ka një zgjidhje jo zero, atëherë ai ka një numër të pafund zgjidhjesh.
Është e natyrshme të përpiqemi të gjejmë zgjidhje të tilla 
,
,
…,
sisteme në mënyrë që çdo zgjidhje tjetër të përfaqësohet si një kombinim linear i tyre dhe, për më tepër, në një mënyrë unike.
Def.Çdo grup i 
kolona të pavarura në mënyrë lineare 
,
,
…,
, të cilat janë tretësira të një SLAE homogjene 
, Ku 
- numri i të panjohurave, dhe 
- rangu i matricës së tij 
, quhet sistemi themelor i zgjidhjeve të kësaj SLAE homogjene.
Kur studiojmë dhe zgjidhim sisteme homogjene të ekuacioneve lineare, ne do të fiksojmë bazën minore në matricën e sistemit. Baza e vogël do të korrespondojë me kolonat bazë dhe, për rrjedhojë, me të panjohurat bazë. Të panjohurat e mbetura do t'i quajmë të lira.
Teor. Mbi strukturën e zgjidhjes së përgjithshme të një SLAE homogjene. Nëse 
,
,
…,
- sistemi themelor arbitrar i zgjidhjeve të një SLAE homogjene 
, atëherë çdo zgjidhje e tij mund të paraqitet në formë
Ku 
,
…,
- disa janë të përhershme.
Se. zgjidhja e përgjithshme e një SLAE homogjene ka formën
Pjesa praktike.
Konsideroni grupet e mundshme të zgjidhjeve të llojeve të mëposhtme të SLAE-ve dhe interpretimin e tyre grafik.
;
;
.
Konsideroni mundësinë e zgjidhjes së këtyre sistemeve duke përdorur formulat e Cramer-it dhe metodën e matricës.
Shpjegoni thelbin e metodës së Gausit.
Zgjidh problemet e mëposhtme.
Shembull 1. Zgjidh një SLAE homogjene. Gjeni FSR.
.
Le të shkruajmë matricën e sistemit dhe ta zvogëlojmë atë në formë hap pas hapi.
.
sistemi do të ketë pafundësisht shumë zgjidhje. FSR do të përbëhet nga 
kolonat.
Le të hedhim poshtë vijat zero dhe të shkruajmë sistemin përsëri:
.
Ne do ta konsiderojmë minorin bazë të jetë në këndin e sipërm të majtë. Se. 
- të panjohurat themelore, dhe 
- falas. Le të shprehemi 
përmes falas 
:
;
Le të vendosim 
.
Më në fund kemi:
- forma koordinative e përgjigjes, ose
- forma matricore e përgjigjes, ose
- forma vektoriale e përgjigjes (vektori - kolonat janë kolona FSR).
Algoritmi për zgjidhjen e një SLAE homogjene.
Gjeni FSR dhe zgjidhjen e përgjithshme të sistemeve të mëposhtme:
№2.225(4.39)
. Përgjigje: 
№2.223(2.37)
. Përgjigje:
№2.227(2.41)
. Përgjigje: 
Zgjidh një SLAE homogjene:
. Përgjigje: 
Zgjidh një SLAE homogjene:
. Përgjigje: 
Prezantimi i temës së seminarit të radhës.
Zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve lineare johomogjene.
Monitorimi i zotërimit të materialit të mbuluar.
Puna testuese 3-5 minuta. 4 nxënës marrin pjesë me numra tek në ditar, duke filluar nga numri 10
|
Ndiqni këto hapa:
|
Ndiqni këto hapa:
|
|
|
Llogaritni përcaktorin:
|
;
;
|
Ndiqni këto hapa:
|
Ndiqni këto hapa:
|
|
Gjeni matricën e kundërt të kësaj:
|
Llogaritni përcaktorin:
|
të papërcaktuara
Detyre shtepie:
1. Zgjidh problemet:
№ 2.224, 2.226, 2.228, 2.230, 2.231, 2.232.
2. Punoni përmes leksioneve në temat e mëposhtme:
Sistemet e ekuacioneve algjebrike lineare (SLAE). Format koordinative, matricore dhe vektoriale të regjistrimit. Kriteri Kronecker-Capelli për përputhshmërinë e SLAE-ve. SLAE heterogjene. Një kriter për ekzistencën e një zgjidhjeje jozero të një SLAE homogjene. Vetitë e tretësirave të një SLAE homogjene. Sistemi themelor i zgjidhjeve të një SLAE homogjene, teorema mbi ekzistencën e tij. Sistemi normal themelor i zgjidhjeve. Teorema mbi strukturën e zgjidhjes së përgjithshme të një SLAE homogjene. Teorema mbi strukturën e zgjidhjes së përgjithshme të një SLAE johomogjene.
Quhet një sistem ekuacionesh lineare në të cilin të gjithë termat e lirë janë të barabartë me zero homogjene :
Çdo sistem homogjen është gjithmonë konsistent, pasi gjithmonë ka zero (i parëndësishëm ) zgjidhje. Shtrohet pyetja në cilat kushte një sistem homogjen do të ketë një zgjidhje jo të parëndësishme.
Teorema 5.2.Një sistem homogjen ka një zgjidhje jo të parëndësishme nëse dhe vetëm nëse rangu i matricës bazë është më i vogël se numri i të panjohurave të tij.
Pasoja. Një sistem homogjen katror ka një zgjidhje jotriviale nëse dhe vetëm nëse përcaktorja e matricës kryesore të sistemit nuk është e barabartë me zero.
Shembulli 5.6. Përcaktoni vlerat e parametrit l në të cilin sistemi ka zgjidhje jo të parëndësishme dhe gjeni këto zgjidhje:
Zgjidhje. Ky sistem do të ketë një zgjidhje jo të parëndësishme kur përcaktori i matricës kryesore është i barabartë me zero:
Kështu, sistemi është jo i parëndësishëm kur l=3 ose l=2. Për l=3, rangu i matricës kryesore të sistemit është 1. Pastaj, duke lënë vetëm një ekuacion dhe duke supozuar se y=a Dhe z=b, marrim x=b-a, d.m.th.
Për l=2, rangu i matricës kryesore të sistemit është 2. Pastaj, duke zgjedhur minorin si bazë:
marrim një sistem të thjeshtuar
Nga këtu e gjejmë atë x=z/4, y=z/2. Duke besuar z=4a, marrim
Grupi i të gjitha zgjidhjeve të një sistemi homogjen ka një shumë të rëndësishme veti lineare : nëse kolonat X 1 dhe X 2 - zgjidhje për një sistem homogjen AX = 0, atëherë ndonjë kombinim linear i tyre a X 1 + b X 2 do të jetë gjithashtu një zgjidhje për këtë sistem. Në të vërtetë, që nga sëpata 1 = 0 Dhe sëpata 2 = 0 , Kjo A(a X 1 + b X 2) = a sëpata 1 + b sëpata 2 = a · 0 + b · 0 = 0. Është për shkak të kësaj vetie që nëse një sistem linear ka më shumë se një zgjidhje, atëherë do të ketë një numër të pafund të këtyre zgjidhjeve.
Kolona të pavarura në mënyrë lineare E 1 , E 2 , Ek, të cilat janë zgjidhje të një sistemi homogjen, quhen sistemi themelor i zgjidhjeve sistem homogjen i ekuacioneve lineare nëse zgjidhja e përgjithshme e këtij sistemi mund të shkruhet si një kombinim linear i këtyre kolonave:
Nëse një sistem homogjen ka n variablave, dhe rangu i matricës kryesore të sistemit është i barabartë me r, Kjo k = n-r.
Shembulli 5.7. Gjeni sistemin themelor të zgjidhjeve të sistemit të mëposhtëm të ekuacioneve lineare:
Zgjidhje. Le të gjejmë rangun e matricës kryesore të sistemit:
Kështu, grupi i zgjidhjeve të këtij sistemi ekuacionesh formon një nënhapësirë lineare të dimensionit n-r= 5 - 2 = 3. Le të zgjedhim minoren si bazë
Më pas, duke lënë vetëm ekuacionet bazë (pjesa tjetër do të jetë një kombinim linear i këtyre ekuacioneve) dhe variablat bazë (pjesën tjetër, të ashtuquajturat variabla të lira e zhvendosim djathtas), marrim një sistem të thjeshtuar ekuacionesh:
Duke besuar x 3 = a, x 4 = b, x 5 = c, ne gjejme
Duke besuar a= 1, b = c= 0, marrim zgjidhjen e parë bazë; duke besuar b= 1, a = c= 0, marrim zgjidhjen e dytë bazë; duke besuar c= 1, a = b= 0, marrim zgjidhjen e tretë bazë. Si rezultat, sistemi normal themelor i zgjidhjeve do të marrë formën
Duke përdorur sistemin themelor, zgjidhja e përgjithshme e një sistemi homogjen mund të shkruhet si
X = aE 1 + beE 2 + cE 3. a
Le të vëmë re disa veti të zgjidhjeve të një sistemi johomogjen të ekuacioneve lineare AX=B dhe lidhjen e tyre me sistemin homogjen përkatës të ekuacioneve AX = 0.
Zgjidhja e përgjithshme e një sistemi johomogjenështë e barabartë me shumën e zgjidhjes së përgjithshme të sistemit homogjen përkatës AX = 0 dhe një zgjidhje arbitrare të veçantë të sistemit johomogjen. Në të vërtetë, le Y 0 është një zgjidhje e veçantë arbitrare e një sistemi johomogjen, d.m.th. AY 0 = B, Dhe Y- zgjidhje e përgjithshme e një sistemi heterogjen, d.m.th. AY=B. Duke zbritur një barazi nga tjetra, marrim
A(Y-Y 0) = 0, d.m.th. Y-Y 0 është zgjidhja e përgjithshme e sistemit homogjen përkatës sëpata=0. Prandaj, Y-Y 0 = X, ose Y = Y 0 + X. Q.E.D.
Sistemi johomogjen le të ketë formën AX = B 1 + B 2 . Atëherë zgjidhja e përgjithshme e një sistemi të tillë mund të shkruhet si X = X 1 + X 2 , ku AX 1 = B 1 dhe AX 2 = B 2. Kjo veti shpreh vetinë universale të çdo sistemet lineare(algjebrike, diferenciale, funksionale etj.). Në fizikë kjo veti quhet parimi i mbivendosjes, në inxhinieri elektrike dhe radio - parimi i mbivendosjes. Për shembull, në teorinë e qarqeve elektrike lineare, rryma në çdo qark mund të merret si shuma algjebrike e rrymave të shkaktuara nga secili burim energjie veç e veç.
Sistemi homogjen i ekuacioneve lineare AX = 0 gjithmonë bashkë. Ka zgjidhje jo të parëndësishme (jo zero) nëse r= gradë A< n .
Për sistemet homogjene, variablat bazë (koeficientët e të cilëve formojnë minorin bazë) shprehen përmes ndryshoreve të lira me relacione të formës:
Pastaj n-r Zgjidhjet e vektorit të pavarur linearisht do të jenë:
dhe çdo zgjidhje tjetër është një kombinim linear i tyre. Zgjidhje vektoriale 
formojnë një sistem themelor të normalizuar.
Në një hapësirë lineare, grupi i zgjidhjeve të një sistemi homogjen ekuacionesh lineare formon një nënhapësirë të dimensionit n-r; 
- baza e kësaj nënhapësire.
Sistemi m ekuacionet lineare me n i panjohur(ose, sistemi linear
 |
Këtu x 1 , x 2 , …, x n a 11 , a 12 , …, një min- koeficientët e sistemit - dhe b 1 , b 2 , … b m një iji) dhe e panjohur ( j
Sistemi (1) quhet homogjeneb 1 = b 2 = … = b m= 0), përndryshe - heterogjene.
Sistemi (1) quhet katrore, nëse numri m ekuacione të barabarta me numrin n i panjohur.
Zgjidhje sistemet (1) - grup n numrat c 1 , c 2 , …, c n, i tillë që zëvendësimi i secilit c i në vend të x i në sistemin (1) i kthen të gjitha ekuacionet e tij në identitete.
Sistemi (1) quhet të përbashkët jo të përbashkët
Zgjidhjet c 1 (1) , c 2 (1) , …, c n(1) dhe c 1 (2) , c 2 (2) , …, c n të ndryshme
| c 1 (1) = c 1 (2) , c 2 (1) = c 2 (2) , …, c n (1) = c n (2) . |
të caktuara i pasigurt. Nëse ka më shumë ekuacione se të panjohura, quhet ripërcaktuar.
Zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve lineare
Zgjidhja e ekuacioneve të matricës ~ Metoda e Gausit
Metodat për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve lineare ndahen në dy grupe:
1. metoda të sakta, të cilat janë algoritme të fundme për llogaritjen e rrënjëve të një sistemi (zgjidhja e sistemeve duke përdorur një matricë të kundërt, rregulla e Cramer-it, metoda e Gausit, etj.),
2. metodat përsëritëse, të cilat bëjnë të mundur marrjen e një zgjidhjeje të sistemit me një saktësi të caktuar nëpërmjet proceseve përsëritëse konvergjente (metoda e përsëritjes, metoda Seidel etj.).
Për shkak të rrumbullakosjes së pashmangshme, rezultatet edhe të metodave të sakta janë të përafërta. Kur përdorni metoda përsëritëse, përveç kësaj, shtohet gabimi i metodës.
Përdorimi efektiv i metodave përsëritëse varet ndjeshëm nga zgjedhja e suksesshme e përafrimit fillestar dhe shpejtësia e konvergjencës së procesit.
Zgjidhja e ekuacioneve të matricës
Konsideroni sistemin n ekuacionet algjebrike lineare në lidhje me n i panjohur X 1 , X 2 , …, x n:
 .
| (15) |
Matricë A, kolonat e të cilave janë koeficientët për të panjohurat përkatëse, dhe rreshtat janë koeficientët për të panjohurat në ekuacionin përkatës, quhet matricës së sistemit; matricë-kolona b, elementet e të cilit janë anët e djathta të ekuacioneve të sistemit, quhet matrica e krahut të djathtë ose thjesht anën e djathtë sistemeve. Matrica e kolonës X, elementet e të cilit janë të panjohurat e panjohura, quhet zgjidhje sistemi.
Nëse matrica A- jo e veçantë, pra det Një n e është e barabartë me 0, atëherë sistemi (13), ose ekuacioni i matricës (14) ekuivalent me të, ka një zgjidhje unike.
Në fakt, me kusht det A nuk është e barabartë 0 ekziston matricë e anasjelltë A-1. Duke shumëzuar të dyja anët e ekuacionit (14) me matricën A-1 marrim:
| (16) |
Formula (16) i jep një zgjidhje ekuacionit (14) dhe është unike.
Është i përshtatshëm për të zgjidhur sistemet e ekuacioneve lineare duke përdorur funksionin zgjidh.
zgjidh ( A, b)
Kthehet vektori i zgjidhjes x sikurse Oh= b.
Argumentet:
A- matricë katrore, jo njëjës.
b- një vektor që ka të njëjtin numër rreshtash sa ka rreshta në matricë A .
Figura 8 tregon zgjidhjen e një sistemi me tre ekuacione lineare në tre të panjohura.
Metoda e Gausit
Metoda Gaussian, e quajtur edhe metoda e eliminimit Gaussian, konsiston në faktin se sistemi (13) reduktohet nga eliminimi sekuencial i të panjohurave në një sistem ekuivalent me një matricë trekëndore:
Në shënimin e matricës, kjo do të thotë që së pari (qasja e drejtpërdrejtë e metodës Gaussian), me operacione elementare në rreshta, matrica e zgjeruar e sistemit reduktohet në një formë hap pas hapi:
dhe më pas (e kundërta e metodës Gaussian) kjo matricë hapi transformohet në mënyrë që në të parën n kolonat marrim një matricë njësi:
.
E fundit, ( n+ 1) kolona e kësaj matrice përmban zgjidhjen e sistemit (13).
Në Mathcad, lëvizjet përpara dhe prapa të metodës Gaussian kryhen nga funksioni rref(A).
Figura 9 tregon zgjidhjen e një sistemi ekuacionesh lineare me metodën Gaussian, e cila përdor funksionet e mëposhtme:
rref( A)
Forma hapi e matricës është kthyer A.
shtoj( A, NË)
Kthen një grup të formuar nga vendndodhja A Dhe NË krah për krah. Vargjeve A Dhe NË duhet të ketë të njëjtin numër rreshtash.
nënmatricë ( A, ir, jr, ic, jc)
Rikthen një nënmatricë të përbërë nga të gjithë elementët me ir Nga jr dhe kolonat me Unë C Nga jc. Sigurohu ir jr Dhe
Unë C jc, përndryshe rendi i rreshtave dhe/ose kolonave do të ndryshohet.
Figura 9.
Përshkrimi i metodës
Për një sistem prej n ekuacionesh lineare me n të panjohura (mbi një fushë arbitrare)
me përcaktorin e matricës së sistemit Δ të ndryshme nga zero, zgjidhja shkruhet në formë
(kolona i-të e matricës së sistemit zëvendësohet nga një kolonë me terma të lirë).
Në një formë tjetër, rregulli i Cramer-it formulohet si më poshtë: për çdo koeficient c1, c2, ..., cn vlen barazia e mëposhtme:
Në këtë formë, formula e Cramer-it është e vlefshme pa supozimin se Δ është i ndryshëm nga zeroja, madje nuk është e nevojshme që koeficientët e sistemit të jenë elementë të një unaze integrale (përcaktori i sistemit mund të jetë edhe pjesëtues i zeros; unazë koeficienti). Mund të supozojmë gjithashtu se ose bashkësitë b1,b2,...,bn dhe x1,x2,...,xn, ose bashkësia c1,c2,...,cn, nuk përbëhen nga elementë të unazës së koeficientit. të sistemit, por disa modul mbi këtë unazë. Në këtë formë, formula e Cramer përdoret, për shembull, në vërtetimin e formulës për përcaktorin Gram dhe Lemën e Nakayama.
| 35) Teorema Kronecker-Capelli |
Që një sistem m ekuacionesh lineare johomogjene në n të panjohura të jetë konsistent, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që Vërtetimi i domosdoshmërisë. Le të jetë konsistent sistemi (1.13), domethënë ekzistojnë numra të tillë X 1 =α
1 , X 2 =α
2 , …, x n = α n,Çfarë  (1.15) Le të zbresim nga kolona e fundit e matricës së zgjeruar kolonën e saj të parë, shumëzuar me α 1, e dyta - me α 2, ..., n-të - shumëzuar me α n, domethënë nga kolona e fundit e matricës (1.14) duhet të zbresim anët e majta të barazimeve (1.15). Pastaj marrim matricën  rangu i të cilit nuk do të ndryshojë si rezultat i transformimeve elementare dhe . Por është e qartë, dhe për këtë arsye provë e mjaftueshmërisë. Le të vendoset një minor jozero i rendit r në këndin e sipërm majtas të matricës, dhe për saktësi:  Kjo do të thotë që rreshtat e mbetur të matricës mund të merren si kombinime lineare r linjat e para, domethënë linjat m-r matricat mund të paraqiten si shuma të r rreshtave të parë të shumëzuara me disa numra. Por atëherë ekuacionet e para r të sistemit (1.13) janë të pavarura, dhe pjesa tjetër janë pasojat e tyre, domethënë, zgjidhja e sistemit të ekuacioneve të para r është automatikisht një zgjidhje për ekuacionet e mbetura. Janë dy raste të mundshme. 1. r=n. Atëherë sistemi i përbërë nga ekuacionet e para r ka të njëjtin numër ekuacionesh dhe të panjohurash dhe është konsistent, dhe zgjidhja e tij është unike. 2.r |
36) siguri, pasiguri
Sistemi m ekuacionet lineare me n i panjohur(ose, sistemi linear) në algjebër lineare është një sistem ekuacionesh të formës
 |
Këtu x 1 , x 2 , …, x n- të panjohurat që duhen përcaktuar. a 11 , a 12 , …, një min- koeficientët e sistemit - dhe b 1 , b 2 , … b m- anëtarët e lirë - supozohet se janë të njohur. Indekset e koeficientit ( një ij) sistemet tregojnë numrat e ekuacionit ( i) dhe e panjohur ( j), në të cilin qëndron respektivisht ky koeficient.
Sistemi (1) quhet homogjene, nëse të gjitha kushtet e tij të lira janë të barabarta me zero ( b 1 = b 2 = … = b m= 0), përndryshe - heterogjene.
Sistemi (1) quhet të përbashkët, nëse ka të paktën një zgjidhje, dhe jo të përbashkët, nëse ajo nuk ka një zgjidhje të vetme.
Një sistem i përbashkët i tipit (1) mund të ketë një ose më shumë zgjidhje.
Zgjidhjet c 1 (1) , c 2 (1) , …, c n(1) dhe c 1 (2) , c 2 (2) , …, c n(2) quhen sisteme të përbashkëta të formës (1). të ndryshme, nëse shkelet të paktën një nga barazitë:
| c 1 (1) = c 1 (2) , c 2 (1) = c 2 (2) , …, c n (1) = c n (2) . |
Një sistem i përbashkët i formës (1) quhet të caktuara, nëse ka një zgjidhje unike; nëse ka të paktën dy zgjidhje të ndryshme, atëherë quhet i pasigurt
37) Zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve lineare duke përdorur metodën e Gausit
Lëreni sistemin origjinal të duket kështu
Matricë A quhet matrica kryesore e sistemit, b- kolona e anëtarëve të lirë.
Pastaj, sipas vetive të transformimeve elementare mbi rreshta, matrica kryesore e këtij sistemi mund të reduktohet në një formë hap pas hapi (të njëjtat transformime duhet të zbatohen në kolonën e termave të lirë):
Pastaj thirren variablat variablat kryesore. Të gjithë të tjerët thirren falas.
[redakto]Kushti i përputhshmërisë
Kushti i mësipërm për të gjithë mund të formulohet si kusht i domosdoshëm dhe i mjaftueshëm për pajtueshmërinë:
Kujtoni se rangu i një sistemi të përbashkët është rangu i matricës së tij kryesore (ose matricës së zgjeruar, pasi ato janë të barabarta).
Algoritmi
Përshkrim
Algoritmi për zgjidhjen e SLAE-ve duke përdorur metodën Gaussian ndahet në dy faza.
§ Në fazën e parë kryhet e ashtuquajtura lëvizje direkte, kur përmes shndërrimeve elementare mbi rreshta, sistemi sillet në formë shkallëzore ose trekëndore ose konstatohet se sistemi është i papajtueshëm. Gjegjësisht, midis elementeve të kolonës së parë të matricës, zgjidhni një jozero, zhvendoseni atë në pozicionin më të lartë duke riorganizuar rreshtat dhe zbritni rreshtin e parë që rezulton nga rreshtat e mbetur pas rirregullimit, duke e shumëzuar atë me një vlerë. e barabartë me raportin e elementit të parë të secilit prej këtyre rreshtave me elementin e parë të rreshtit të parë, duke zeruar kështu kolonën poshtë tij. Pasi të kenë përfunduar këto transformime, rreshti i parë dhe kolona e parë kryqëzohen mendërisht dhe vazhdojnë derisa të mbetet një matricë me madhësi zero. Nëse në çdo përsëritje nuk ka asnjë element jozero midis elementeve të kolonës së parë, atëherë shkoni në kolonën tjetër dhe kryeni një operacion të ngjashëm.
§ Në fazën e dytë, kryhet e ashtuquajtura lëvizje e kundërt, thelbi i së cilës është të shprehen të gjitha variablat bazë që rezultojnë në terma të atyre jo-bazë dhe të ndërtohet një sistem themelor zgjidhjesh, ose, nëse të gjitha variablat janë bazë, atëherë shprehni numerikisht zgjidhjen e vetme të sistemit të ekuacioneve lineare. Kjo procedurë fillon me ekuacionin e fundit, nga i cili shprehet variabla bazë përkatëse (dhe ka vetëm një) dhe zëvendësohet në ekuacionet e mëparshme, e kështu me radhë, duke shkuar lart "shkallët". Çdo rresht korrespondon saktësisht me një variabël bazë, kështu që në çdo hap përveç të fundit (më së larti), situata përsërit saktësisht rastin e rreshtit të fundit.
Metoda Gaussian kërkon rregull O(n 3) veprimet.
Kjo metodë bazohet në:
38)Teorema Kronecker-Capelli.
Një sistem është i qëndrueshëm nëse dhe vetëm nëse rangu i matricës së tij kryesore është i barabartë me gradën e matricës së tij të zgjeruar.
Qëllimi i shërbimit. Llogaritësi në internet është krijuar për të gjetur një zgjidhje jo të parëndësishme dhe themelore për SLAE. Zgjidhja që rezulton ruhet në një skedar Word (shih shembullin e zgjidhjes).
Udhëzimet. Zgjidhni dimensionin e matricës:
Vetitë e sistemeve të ekuacioneve homogjene lineare
Në mënyrë që sistemi të ketë zgjidhje jo të parëndësishme, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që rangu i matricës të jetë më i vogël se numri i të panjohurave.Teorema. Një sistem në rastin m=n ka një zgjidhje jotriviale nëse dhe vetëm nëse përcaktorja e këtij sistemi është e barabartë me zero.
Teorema. Çdo kombinim linear i zgjidhjeve të një sistemi është gjithashtu një zgjidhje për atë sistem.
Përkufizimi. Bashkësia e zgjidhjeve të një sistemi ekuacionesh homogjene lineare quhet sistemi themelor i zgjidhjeve, nëse ky grup përbëhet nga zgjidhje linearisht të pavarura dhe çdo zgjidhje e sistemit është një kombinim linear i këtyre zgjidhjeve.
Teorema. Nëse rangu r i matricës së sistemit është më i vogël se numri n i të panjohurave, atëherë ekziston një sistem themelor zgjidhjesh që përbëhet nga zgjidhje (n-r).
Algoritmi për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve lineare homogjene
- Gjetja e renditjes së matricës.
- Ne zgjedhim minorin bazë. Dallojmë të panjohurat e varura (themelore) dhe të lira.
- Ne kryqëzojmë ato ekuacione të sistemit, koeficientët e të cilëve nuk përfshihen në bazën minore, pasi janë pasoja të të tjerave (sipas teoremës mbi bazën minore).
- I zhvendosim termat e ekuacioneve që përmbajnë të panjohura të lira në anën e djathtë. Si rezultat, marrim një sistem r ekuacionesh me r të panjohura, ekuivalente me atë të dhënë, përcaktorja e të cilit është jozero.
- Ne e zgjidhim sistemin që rezulton duke eliminuar të panjohurat. Ne gjejmë marrëdhënie që shprehin ndryshore të varura përmes atyre të lira.
- Nëse rangu i matricës nuk është i barabartë me numrin e variablave, atëherë gjejmë zgjidhjen themelore të sistemit.
- Në rastin rang = n kemi një zgjidhje të parëndësishme.
Shembull. Gjeni bazën e sistemit të vektorëve (a 1, a 2,...,a m), renditni dhe shprehni vektorët në bazë të bazës. Nëse a 1 =(0,0,1,-1), dhe 2 =(1,1,2,0), dhe 3 =(1,1,1,1), dhe 4 =(3,2,1 ,4) dhe 5 =(2,1,0,3).
Le të shkruajmë matricën kryesore të sistemit:
Shumëzojeni rreshtin e tretë me (-3). Le të shtojmë rreshtin e 4-të në rreshtin e 3-të:
| 0 | 0 | 1 | -1 |
| 0 | 0 | -1 | 1 |
| 0 | -1 | -2 | 1 |
| 3 | 2 | 1 | 4 |
| 2 | 1 | 0 | 3 |
Shumëzojeni rreshtin e 4-të me (-2). Le të shumëzojmë rreshtin e 5-të me (3). Le të shtojmë rreshtin e 5-të në rreshtin e 4-të:
Le të shtojmë rreshtin e dytë në rreshtin e parë:
Le të gjejmë gradën e matricës.
Sistemi me koeficientët e kësaj matrice është i barabartë me sistemin origjinal dhe ka formën:
- x 3 = - x 4
- x 2 - 2x 3 = - x 4
2x 1 + x 2 = - 3x 4
Duke përdorur metodën e eliminimit të të panjohurave, gjejmë një zgjidhje jo të parëndësishme:
Ne morëm marrëdhënie që shprehin variablat e varur x 1 , x 2 , x 3 përmes atyre të lira x 4 , domethënë gjetëm një zgjidhje të përgjithshme:
x 3 = x 4
x 2 = - x 4
x 1 = - x 4
