Ndërtoni një grafik të një funksioni me shembuj të modulit. Grafikët e një funksioni linear me module. Rasti i një ndryshoreje në anën e djathtë

Erdnigoryaeva Marina

Kjo punë është rezultat i studimit të një teme me zgjedhje në klasën e 8-të. Këtu janë paraqitur transformimet gjeometrike të grafikëve dhe aplikimi i tyre në ndërtimin e grafikëve me module. Prezantohet koncepti i një moduli dhe vetitë e tij. Tregohet se si të ndërtohen grafikët me module në mënyra të ndryshme: duke përdorur transformime dhe bazuar në konceptin e një moduli Tema e projektit është një nga më të vështirat në lëndën e matematikës, lidhet me çështjet e shqyrtuara në lëndët zgjedhore. ka studiuar në klasa me matematikë të avancuar. Megjithatë, detyra të tilla jepen në pjesën e dytë të GIA, në Provimin e Unifikuar të Shtetit. Kjo punë do t'ju ndihmojë të kuptoni se si të ndërtoni grafikë me module jo vetëm lineare, por edhe të funksioneve të tjera (kuadratike, në proporcion të kundërt, etj.).

Shkarko:

Pamja paraprake:

Për të përdorur pamjet paraprake të prezantimeve, krijoni një llogari Google dhe identifikohuni në të: https://accounts.google.com

Titrat e rrëshqitjes:

Grafikët e një funksioni linear me module Punim nga Erdnigoryaeva Marina, nxënëse e klasës së 8-të të MCOU "Kamyshovskaya OOSH" Supervizore Goryaeva Zoya Erdnigoryaevna, mësuese matematike MCOU "Kamyshovskaya OOSH" f. Kamyshevo, 2013

Qëllimi i projektit: Për t'iu përgjigjur pyetjes se si të ndërtojmë grafikët e funksioneve lineare me module. Objektivat e projektit: Studioni literaturën për këtë çështje. Studimi i transformimeve gjeometrike të grafikëve dhe zbatimi i tyre në ndërtimin e grafikëve me module. Studioni konceptin e një moduli dhe vetitë e tij. Mësoni të ndërtoni grafikë me module në mënyra të ndryshme.

Proporcionaliteti i drejtpërdrejtë Proporcionaliteti i drejtpërdrejtë është një funksion që mund të specifikohet me një formulë të formës y=kx, ku x është një ndryshore e pavarur, k është një numër jo zero.

Le të paraqesim funksionin y = x x 0 2 y 0 2

Shndërrimi gjeometrik i grafikëve Rregulli nr. 1 Grafiku i funksionit y = f (x) + k - një funksion linear - fitohet nga transferimi paralel i grafikut të funksionit y = f (x) me + k njësi lart O boshti y për k> 0 ose |- k| njësitë poshtë boshtit O y në k

Le të ndërtojmë grafikë y=x+3 y=x-2

Rregulli nr. 2 Grafiku i funksionit y=kf(x) fitohet duke e shtrirë grafikun e funksionit y = f (x) përgjatë boshtit O y a herë në a>1 dhe duke e ngjeshur përgjatë boshtit O y a. herë në 0 Slide 9

Le të ndërtojmë një grafik y=x y= 2 x

Rregulli nr. 3 Grafiku i funksionit y = - f (x) fitohet duke shfaqur në mënyrë simetrike grafikun y = f (x) në lidhje me boshtin O x

Rregulli nr. 4 Grafiku i funksionit y = f (- x) fitohet duke shfaqur në mënyrë simetrike grafikun e funksionit y = f (x) në lidhje me boshtin O y

Rregulli nr. 5 Grafiku i funksionit y=f(x+c) fitohet me transferim paralel të grafikut të funksionit y=f(x) përgjatë boshtit Ox djathtas, nëse c 0.

Le të ndërtojmë grafikë y=f(x) y=f(x+2)

Përkufizimi i modulit Moduli i një numri jonegativ a është i barabartë me vetë numrin a; Moduli i një numri negativ a është i barabartë me numrin e kundërt pozitiv të tij -a. Ose, |a|=a, nëse a ≥0 |a|=-a, nëse a

Ndërtohen grafikët e funksioneve lineare me module: duke përdorur transformimet gjeometrike duke zgjeruar përkufizimin e një moduli.

Rregulli nr.6 Grafiku i funksionit y=|f(x)| fitohet si më poshtë: ruhet pjesa e grafikut y=f(x) që ndodhet mbi boshtin O x; pjesa që shtrihet nën boshtin O x shfaqet në mënyrë simetrike në lidhje me boshtin O x.

Grafikoni funksionin y=-2| x-3|+4 Ndërtoni y 1=| x | Ne ndërtojmë y₂= |x - 3 | → përkthimi paralel me +3 njësi përgjatë boshtit Ox (zhvendosja në të djathtë) Ndërtoni y ₃ =+2|x-3| → shtrihet përgjatë boshtit O y 2 herë = 2 y₂ Ndërtojmë y ₄ =-2|x-3| → simetria rreth boshtit x = - y₃ Ndërtojmë y₅ =-2|x-3|+4 → përkthim paralel me +4 njësi përgjatë boshtit O y (zhvendosje lart) = y ₄ +4

Grafiku i funksionit y =-2|x-3|+4

Grafiku i funksionit y= 3|x|+2 y1=|x| y₂=3|x|= 3 y₁ → shtrirje 3 herë y₃=3|x| +2= y₄+2 → zhvendosje lart 2 njësi

Rregulli nr. 7 Grafiku i funksionit y=f(| x |) merret nga grafiku i funksionit y=f(x) si më poshtë: Për x > 0 ruhet grafiku i funksionit dhe i njëjti një pjesë e grafikut shfaqet në mënyrë simetrike në lidhje me boshtin O y

Grafikoni funksionin y = || x-1 | -2 |

Y₁= |x| y₂=|x-1| y₃= y2-2 y₄= |y₃| Y=||x-1|-2|

Algoritmi për ndërtimin e grafikut të funksionit y=│f(│x│)│ ndërtoni një grafik të funksionit y=f(│x│) . pastaj lini të pandryshuara të gjitha pjesët e grafikut të ndërtuar që shtrihen mbi boshtin x. pjesët që ndodhen nën boshtin x shfaqen në mënyrë simetrike rreth këtij boshti.

Y=|2|x|-3| Ndërtimi: a) y=2x-3 për x>0, b) y=-2x-3 për x Slide 26

Rregulli #8 Grafiku i varësisë | y|=f(x) fitohet nga grafiku i funksionit y=f(x) nëse ruhen të gjitha pikat për të cilat f(x) > 0 dhe ato barten në mënyrë simetrike në raport me boshtin e abshisave.

Ndërtoni një grup pikash në rrafshin, koordinatat karteziane të së cilës x dhe y plotësojnë ekuacionin |y|=||x-1|-1|.

| y|=||x-1| -1| ndërtojmë dy grafikë 1) y=||x-1|-1| dhe 2) y =-|| x-1|-1| y1=|x| y₂=| x-1 | → zhvendosja përgjatë boshtit Ox djathtas me 1 njësi y₃ = | x -1 |- 1= → zhvendosje poshtë 1 njësi y ₄ = || x-1|- 1| → simetria e pikave grafike për të cilat y₃ 0 në raport me O x

Grafiku i ekuacionit |y|=||x-1|-1| fitojmë si më poshtë: 1) ndërtojmë një grafik të funksionit y=f(x) dhe lëmë të pandryshuar atë pjesë të tij ku y≥0 2) duke përdorur simetrinë rreth boshtit Ox, ndërto një pjesë tjetër të grafikut që i përgjigjet y

Grafikoni funksionin y =|x | − | 2 − x | . Zgjidhje. Këtu shenja e modulit shfaqet në dy terma të ndryshëm dhe duhet të hiqet. 1) Gjeni rrënjët e shprehjeve nënmodulare: x=0, 2-x=0, x=2 2) Vendosni shenjat në intervalet:

Grafiku i një funksioni

Përfundim Tema e projektit është një nga më të vështirat në lëndën e matematikës, ka të bëjë me çështjet e shqyrtuara në lëndët zgjedhore dhe studiohet në klasa për studimin e thelluar të lëndës së matematikës. Sidoqoftë, detyra të tilla jepen në pjesën e dytë të GIA. Kjo punë do t'ju ndihmojë të kuptoni se si të ndërtoni grafikë me module jo vetëm të funksioneve lineare, por edhe të funksioneve të tjera (kuadratike, në përpjesëtim të zhdrejtë, etj.). Puna do të ndihmojë në përgatitjen për Provimin e Shtetit dhe Provimin e Unifikuar të Shtetit dhe do t'ju lejojë të merrni rezultate të larta në matematikë.

Letërsia Vilenkin N.Ya. , Zhokhov V.I.. Matematikë.” Libër mësuesi i klasës së 6-të të Moskës. Shtëpia botuese "Mnemosyne", 2010 Vilenkin N.Ya., Vilenkin L.N., Survillo G.S. dhe të tjerat. Klasa e 8-të: arsimore. Një manual për studentët dhe klasat me studim të avancuar të matematikës. - Moskë. Iluminizmi, 2009 Gaidukov I.I. "Vlere absolute." Moska. Iluminizmi, 1968. Gursky I.P. "Funksionet dhe grafiku." Moska. Iluminizmi, 1968. Yashchina N.V. Teknika për ndërtimin e grafikëve që përmbajnë module. Revista “Matematika në shkollë”, nr.3, 1994 Enciklopedi për fëmijë. Moska. “Pedagogji”, 1990. Dynkin E.B., Molchanova S.A. Probleme matematikore. M., “Shkenca”, 1993. Petrakov I.S. Klubet e matematikës në klasat 8-10. M., "Iluminizmi", 1987. Galitsky M.L. dhe të tjera Mbledhja e problemave në algjebër për klasat 8-9: Një libër shkollor për nxënësit dhe klasat me studim të avancuar të matematikës. - botimi i 12-të. – M.: Arsimi, 2006. – 301 f. Makrychev Yu.N., Mindyuk N.G. Algjebra: Kapituj shtesë për tekstin shkollor të klasës së 9-të: Një libër shkollor për nxënësit e shkollave dhe klasave me studim të thelluar të matematikës / Redaktuar nga G.V. – M.: Arsimi, 1997. – 224 f. Sadykina N. Ndërtimi i grafikëve dhe varësive që përmbajnë shenjën e modulit / Matematikë. - Nr. 33. – 2004. – f. 19-21 .. Kostrikina N.P “Problemet e rritjes së vështirësisë në kursin e algjebrës për klasat 7-9”... Moskë: Edukimi, 2008.

Transkripti

1 Konferencë rajonale shkencore dhe praktike e punimeve edukative dhe kërkimore të studentëve në klasat 6-11 "Çështje të aplikuara dhe themelore të matematikës" Aspekte metodologjike të studimit të matematikës Ndërtimi i grafikëve të funksioneve që përmbajnë modulin Gabova Angela Yuryevna, klasa e 10-të, MOBU "Gjimnazi 3 Kudymkar, Pikuleva Nadezhda Ivanovna, mësuese e matematikës në institucionin arsimor komunal "Gymnasium 3", Kudymkar Perm, 2016

2 Përmbajtja: Hyrja...3 faqe I. Pjesa kryesore...6 faqe 1.1Sfondi historik..6 faqe 2.Përkufizimet themelore dhe vetitë e funksioneve faqe 2.1 Funksioni kuadratik..7 faqe 2.2 Funksioni linear.. .8 f. 2.3 Funksioni thyesor-racional 8 fq 3. Algoritme për ndërtimin e grafeve me modul 9 p që përmban në formulën “module të mbivendosura”.10 fq 3.4 Algoritmi për ndërtimin e grafeve të një kuadrati funksion me modul.14 fq. 15 fq. 4. Ndryshimet në grafikun e një funksioni kuadratik në varësi të vendndodhjes së shenjës së vlerës absolute..17p. II. Përfundim...26 fq III. Lista e referencave dhe burimeve...27 fq. IV. Shtojca....28 faqe. 2

3 Hyrje Ndërtimi i grafikëve të funksioneve është një nga temat më interesante në matematikën shkollore. Matematikani më i madh i kohës sonë, Israel Moiseevich Gelfand, shkroi: "Procesi i ndërtimit të grafikëve është një mënyrë për të shndërruar formulat dhe përshkrimet në imazhe gjeometrike. Ky grafik është një mjet për të parë formulat dhe funksionet dhe për të parë se si ndryshojnë ato funksione. Për shembull, nëse shkruhet y =x 2, atëherë menjëherë shihni një parabolë; nëse y = x 2-4, shihni një parabolë të ulur me katër njësi; nëse y = -(x 2 4), atëherë e shihni parabolën e mëparshme të kthyer poshtë. Kjo aftësi për të parë menjëherë një formulë dhe interpretimin e saj gjeometrik është e rëndësishme jo vetëm për studimin e matematikës, por edhe për lëndët e tjera. Është një aftësi që të mbetet me ty për gjithë jetën, si ngasja e një biçiklete, të shkruarit ose ngasja e një makine.” Bazat e zgjidhjes së ekuacioneve me module janë marrë në klasat 6-7. Zgjodha këtë temë të veçantë sepse besoj se kërkon kërkime më të thella dhe më të thella. Dua të fitoj më shumë njohuri për modulin e numrave, mënyrat e ndryshme të ndërtimit të grafikëve që përmbajnë shenjën e vlerës absolute. Kur shenja e modulit përfshihet në ekuacionet "standarde" të vijave, parabolave ​​dhe hiperbolave, grafikët e tyre bëhen të pazakontë dhe madje të bukur. Për të mësuar se si të ndërtoni grafikë të tillë, duhet të zotëroni teknikat e ndërtimit të figurave bazë, si dhe të njihni dhe kuptoni fort përcaktimin e modulit të një numri. Në kursin e matematikës shkollore, grafikët me modulin nuk diskutohen në thellësi sa duhet, prandaj desha të zgjeroj njohuritë e mia mbi këtë temë dhe të bëj kërkimin tim. Pa e ditur përkufizimin e një moduli, është e pamundur të ndërtohet edhe grafiku më i thjeshtë që përmban një vlerë absolute. Një tipar karakteristik i grafikëve të funksioneve që përmbajnë shprehje me një shenjë moduli është 3

4 është prania e kthesave në ato pika në të cilat shprehja nën shenjën e modulit ndryshon shenjën. Qëllimi i punës: të shqyrtohet ndërtimi i një grafiku të funksioneve lineare, kuadratike dhe thyesore që përmbajnë një ndryshore nën shenjën e modulit. Objektivat: 1) Të studiohet literatura për vetitë e vlerës absolute të funksioneve racionale lineare, kuadratike dhe thyesore. 2) Hulumtoni ndryshimet në grafikët e funksionit në varësi të vendndodhjes së shenjës së vlerës absolute. 3) Mësoni të grafikoni ekuacionet. Objekti i studimit: grafikët e funksioneve lineare, kuadratike dhe racionale thyesore. Lënda e hulumtimit: ndryshimet në grafikun e funksioneve lineare, kuadratike dhe thyesore në varësi të vendndodhjes së shenjës së vlerës absolute. Rëndësia praktike e punës sime qëndron në: 1) përdorimin e njohurive të marra për këtë temë, si dhe thellimin e tyre dhe zbatimin e tyre në funksione dhe ekuacione të tjera; 2) në përdorimin e aftësive kërkimore në aktivitetet e mëtejshme arsimore. Rëndësia: Detyrat grafike janë tradicionalisht një nga temat më të vështira në matematikë. Maturantët tanë janë përballur me problemin e dhënies me sukses të Provimit të Shtetit dhe Provimit të Unifikuar të Shtetit. Problemi i kërkimit: ndërtimi i grafikëve të funksioneve që përmbajnë shenjën e modulit nga pjesa e dytë e GIA. Hipoteza e kërkimit: përdorimi i një metodologjie për zgjidhjen e detyrave në pjesën e dytë të GIA, e zhvilluar në bazë të metodave të përgjithshme për ndërtimin e grafikëve të funksioneve që përmbajnë një shenjë moduli, do t'i lejojë studentët të zgjidhin këto detyra 4

5 mbi baza të vetëdijshme, zgjidhni metodën më racionale të zgjidhjes, aplikoni metoda të ndryshme zgjidhjeje dhe kaloni më me sukses Provimin e Shtetit. Metodat e kërkimit të përdorura në punim: 1. Analizë e literaturës matematikore dhe burimeve të internetit për këtë temë. 2. Riprodhimi riprodhues i materialit të studiuar. 3. Aktivitete njohëse dhe kërkimore. 4.Analiza dhe krahasimi i të dhënave në kërkim të zgjidhjeve të problemeve. 5. Paraqitja e hipotezave dhe verifikimi i tyre. 6. Krahasimi dhe përgjithësimi i fakteve matematikore. 7. Analiza e rezultateve të marra. Gjatë shkrimit të kësaj vepre u përdorën këto burime: burimet e internetit, testet OGE, literatura matematikore. 5

6 I. Pjesa kryesore 1.1 Sfondi historik. Në gjysmën e parë të shekullit të 17-të filloi të shfaqej ideja e funksionit si varësia e një ndryshoreje nga një tjetër. Kështu, matematikanët francezë Pierre Fermat () dhe Rene Descartes () imagjinuan një funksion si varësinë e ordinatës së një pike nga një kurbë në abshisën e saj. Dhe shkencëtari anglez Isaac Newton () e kuptoi një funksion si koordinata e një pike lëvizëse që ndryshon në varësi të kohës. Termi "funksion" (nga latinishtja ekzekutim i funksionit, realizim) u prezantua për herë të parë nga matematikani gjerman Gottfried Leibniz(). Ai lidhi një funksion me një imazh gjeometrik (grafiku i një funksioni). Më pas, matematikani zviceran Johann Bernoulli () dhe një anëtar i Akademisë së Shkencave të Shën Petersburgut, matematikani i famshëm i shekullit të 18-të Leonard Euler (), e konsideruan funksionin si një shprehje analitike. Euler gjithashtu ka një kuptim të përgjithshëm të një funksioni si varësia e një ndryshoreje nga një tjetër. Fjala "modul" vjen nga fjala latine "modulus", që do të thotë "masë". Kjo është një fjalë polisemantike (homonim), e cila ka shumë kuptime dhe përdoret jo vetëm në matematikë, por edhe në arkitekturë, fizikë, teknologji, programim dhe shkenca të tjera ekzakte. Në arkitekturë, kjo është njësia fillestare e matjes e krijuar për një strukturë të caktuar arkitekturore dhe e përdorur për të shprehur raporte të shumta të elementeve përbërëse të saj. Në teknologji, ky është një term i përdorur në fusha të ndryshme të teknologjisë, i cili nuk ka një kuptim universal dhe shërben për të përcaktuar koeficientët dhe sasitë e ndryshme, për shembull, modulin e angazhimit, modulin elastik, etj. 6

7 Moduli i masës (në fizikë) është raporti i stresit normal në një material ndaj zgjatjes relative. 2. Përkufizimet themelore dhe vetitë e funksioneve Funksioni është një nga konceptet më të rëndësishme matematikore. Një funksion është një varësi e ndryshores y nga ndryshorja x e tillë që çdo vlerë e ndryshores x korrespondon me një vlerë të vetme të ndryshores y. Metodat për përcaktimin e një funksioni: 1) metodë analitike (funksioni specifikohet duke përdorur një formulë matematikore); 2) metoda tabelare (funksioni specifikohet duke përdorur një tabelë); 3) metodë përshkruese (funksioni specifikohet me përshkrim verbal); 4) metodë grafike (funksioni specifikohet duke përdorur një grafik). Grafiku i një funksioni është bashkësia e të gjitha pikave të planit koordinativ, abshisat e të cilave janë të barabarta me vlerën e argumentit dhe ordinatat janë të barabarta me vlerat përkatëse të funksionit. 2.1 Funksioni kuadratik Një funksion i përcaktuar me formulën y = ax 2 + në + c, ku x dhe y janë ndryshore, dhe parametrat a, b dhe c janë çdo numër real, dhe a = 0, quhet kuadratik. Grafiku i funksionit y=ax 2 +in+c është parabolë; boshti i simetrisë së parabolës y=ax 2 +in+c është drejtëz, për a>0 “degët” e parabolës janë të drejtuara lart, për një<0 вниз. Чтобы построить график квадратичной функции, нужно: 1) найти координаты вершины параболы и отметить её в координатной плоскости; 2) построить ещё несколько точек, принадлежащих параболе; 3) соединить отмеченные точки плавной линией.,. 2.2Линейная функция функция вида 7

8 (për funksionet e një ndryshoreje). Vetia kryesore e funksioneve lineare: rritja e funksionit është proporcionale me rritjen e argumentit. Kjo do të thotë, funksioni është një përgjithësim i proporcionalitetit të drejtpërdrejtë. Grafiku i një funksioni linear është një vijë e drejtë, prej nga vjen emri i tij. Kjo ka të bëjë me një funksion real të një ndryshoreje reale. 1) Kur, vija e drejtë formon një kënd akut me drejtimin pozitiv të boshtit të abshisës. 2) Kur, vija e drejtë formon një kënd të mpirë me drejtimin pozitiv të boshtit x. 3) është treguesi i ordinatës së pikës së prerjes së drejtëzës me boshtin e ordinatës. 4) Kur, vija e drejtë kalon nëpër origjinë. , 2.3 Një funksion thyesor-racional është një thyesë numëruesi dhe emëruesi i së cilës janë polinome. Ajo ka formën ku, polinomet në çdo numër variablash. Një rast i veçantë janë funksionet racionale të një ndryshoreje:, ku dhe janë polinome. 1) Çdo shprehje që mund të merret nga variabla duke përdorur katër veprime aritmetike është një funksion racional. 8

9 2) Bashkësia e funksioneve racionale mbyllet nën veprimet aritmetike dhe operacionin e përbërjes. 3) Çdo funksion racional mund të paraqitet si një shumë e thyesave të thjeshta - kjo përdoret në integrimin analitik.. , 3. Algoritmet për ndërtimin e grafikëve me modul 3.1 Përkufizimi i modulit Moduli i një numri real a është vetë numri a, nëse është jonegativ, dhe numri përballë a, nëse a është negativ. a = 3.2 Algoritmi për ndërtimin e grafikut të një funksioni linear me modul Për të ndërtuar grafikët e funksioneve y = x duhet të dini se për x pozitiv kemi x = x. Kjo do të thotë që për vlerat pozitive të argumentit, grafiku y= x përkon me grafikun y=x, domethënë, kjo pjesë e grafikut është një rreze që del nga origjina në një kënd prej 45 gradë me boshtin e abshisës. . Në x< 0 имеем x = -x; значит, для отрицательных x график y= x совпадает с биссектрисой второго координатного угла. Впрочем, вторую половину графика (для отрицательных X) легко получить из первой, если заметить, что функция y= x чётная, так как -a = a. Значит, график функции y= x симметричен относительно оси Oy, и вторую половину графика можно приобрести, отразив относительно оси ординат часть, начерченную для положительных x. Получается график:y= x 9

10 Për të ndërtuar, marrim pikët (-2; 2) (-1; 1) (0; 0) (1; 1) (2; 2). Tani le të ndërtojmë një grafik y= x-1 Nëse A është një pikë në grafikun y= x me koordinata (a; a), atëherë pika në grafikun y= x-1 me të njëjtën vlerë të ordinatës Y. të jetë pika A1(a+1; a). Kjo pikë e grafikut të dytë mund të merret nga pika A(a; a) e grafikut të parë duke u zhvendosur paralelisht me boshtin Ox djathtas. Kjo do të thotë se i gjithë grafiku i funksionit y= x-1 merret nga grafiku i funksionit y= x duke zhvendosur paralelisht me boshtin Ox djathtas me 1. Të ndërtojmë grafikët: y= x-1 Të ndërtojmë , merrni pikët (-2; 3) (-1; 2) (0; 1) (1; 0) (2; 1). 3.3 Ndërtimi i grafikëve të funksioneve që përmbajnë "module të mbivendosur" në formulë Le të shqyrtojmë algoritmin e ndërtimit duke përdorur një shembull specifik Ndërtoni një grafik të një funksioni: 10

11 y=i-2-ix+5ii 1. Ndërtoni një grafik të funksionit. 2. Afishojmë grafikun e gjysmëplanit të poshtëm lart në mënyrë simetrike në raport me boshtin OX dhe marrim grafikun e funksionit. njëmbëdhjetë

12 3. Ne e shfaqim grafikun e funksionit në mënyrë simetrike për poshtë në lidhje me boshtin OX dhe marrim grafikun e funksionit. 4. E shfaqim grafikun e funksionit poshtë në mënyrë simetrike në raport me boshtin OX dhe marrim një grafik të funksionit 5. Paraqitim grafikun e funksionit në lidhje me boshtin OX dhe marrim një grafik. 12

13 6. Si rezultat, grafiku i funksionit duket si ky 3.4. Algoritmi për ndërtimin e grafikëve të funksioneve të formës y = a 1 x x 1 + a 2 x x a n x x n + ax + b. Në shembullin e mëparshëm, ishte mjaft e lehtë të zbuloheshin shenjat e modulit. Nëse ka më shumë shuma modulesh, atëherë është problematike të merren parasysh të gjitha kombinimet e mundshme të shenjave të shprehjeve nënmodulare. Si, në këtë rast, të ndërtohet një grafik i funksionit? Vini re se grafiku është një vijë e thyer, me kulme në pika që kanë abshisa -1 dhe 2. Në x = -1 dhe x = 2, shprehjet nënmodulare janë të barabarta me zero. Në praktikë, ne i jemi afruar rregullit për ndërtimin e grafikëve të tillë: Grafiku i një funksioni të formës y = a 1 x x 1 + a 2 x x a n x x n + ax + b është një vijë e thyer me lidhje ekstreme të pafundme. Për të ndërtuar një vijë të tillë të thyer, mjafton të njihni të gjitha kulmet e saj (abshisat e kulmeve janë zerot e shprehjeve nënmodulare) dhe një pikë kontrolli në lidhjet e pafundme majtas dhe djathtas. 13

14 Problem. Grafikoni funksionin y = x + x 1 + x + 1 dhe gjeni vlerën më të vogël të tij. Zgjidhje: 1. Zerot e shprehjeve nënmodulare: 0; -1; Kulmet e polivijës (0; 2); (-13); (1; 3 (ne zëvendësojmë zerot e shprehjeve nënmodulare në ekuacion) 3 Pika e kontrollit në të djathtë (2; 6), në të majtë (-2; 6). Ndërtojmë një grafik (Fig. 7), vlera më e vogël e funksionit është Algoritmi për ndërtimin e grafikut të një funksioni kuadratik me modulin Hartimi i algoritmeve për konvertimin e grafikëve të funksionit. 1. Hartimi i grafikut të funksionit y= f(x). Sipas përkufizimit të një moduli, ky funksion ndahet në një grup prej dy funksionesh. Rrjedhimisht, grafiku i funksionit y= f(x) përbëhet nga dy grafikë: y= f(x) në gjysmërrafshin e djathtë, y= f(-x) në gjysmërrafshin e majtë. Bazuar në këtë, mund të formulohet një rregull (algoritëm). Grafiku i funksionit y= f(x) merret nga grafiku i funksionit y= f(x) si më poshtë: në x 0 grafiku ruhet, kurse në x.< 0полученная часть графика отображается симметрично относительно оси ОУ. 2.Построение графика функции y= f(x). а). Строим график функции y= f(x). б). Часть графика y= f(x), лежащая над осью ОХ, сохраняется, часть его, лежащая под осью ОХ, отображается симметрично относительно оси ОХ. 14

15 3. Për të ndërtuar një grafik të funksionit y= f(x), fillimisht duhet të ndërtoni një grafik të funksionit y= f(x) për x> 0, pastaj për x< 0 построить изображение, симметричное ему относительно оси ОУ, а затем на интервалах, где f(x) <0,построить изображение, симметричное графику y= f(x) относительно оси ОХ. 4.Для построения графиков вида y = f(x)достаточно построить график функции y= f(x) для тех х из области определения, при которых f(х) 0, и отобразить полученную часть графика симметрично относительно оси абсцисс. Пример Построим график функции у = х 2 6х +5. Сначала построим параболу у= х 2 6х +5. Чтобы получить из неё график функции у = х 2-6х + 5, нужно каждую точку параболы с отрицательной ординатой заменить точкой с той же абсциссой, но с противоположной (положительной) ординатой. Иными словами, часть параболы, расположенную ниже оси Ох, нужно заменить линией, ей симметричной относительно оси Ох (Рис.1). Рис Алгоритм построения графика дробно рациональной функции с модулем 1. Начнем с построения графика В основе его лежит график функции и все мы знаем, как он выглядит: Теперь построим график 15

16 Për të marrë këtë grafik, ju vetëm duhet të zhvendosni grafikun e marrë më parë tre njësi djathtas. Vini re se nëse emëruesi i thyesës përmban shprehjen x + 3, atëherë ne do ta zhvendosim grafikun në të majtë: Tani duhet të shumëzojmë të gjitha ordinatat me dy për të marrë grafikun e funksionit dy njësi: Gjëja e fundit që duhet të bëjmë është , kjo është të vizatojmë një grafik të një funksioni të caktuar nëse ai është i mbyllur nën shenjën e modulit. Për ta bërë këtë, ne reflektojmë në mënyrë simetrike lart të gjithë pjesën e grafikut, ordinatat e të cilit janë negative (ajo pjesë që shtrihet poshtë boshtit x): Fig. 4 16

17 4.Ndryshimet në grafikun e një funksioni kuadratik në varësi të vendndodhjes së shenjës së vlerës absolute. Ndërtoni një grafik të funksionit y = x 2 - x -3 1) Meqenëse x = x në x 0, grafiku i kërkuar përkon me parabolën y = 0,25 x 2 - x - 3. Nëse x<0, то поскольку х 2 = х 2, х =-х и требуемый график совпадает с параболой у=0,25 х 2 + х) Если рассмотрим график у=0,25 х 2 - х - 3 при х 0 и отобразить его относительно оси ОУ мы получим тот же самый график. (0; - 3) координаты точки пересечения графика функции с осью ОУ. у =0, х 2 -х -3 = 0 х 2-4х -12 = 0 Имеем, х 1 = - 2; х 2 = 6. (-2; 0) и (6; 0) - координаты точки пересечения графика функции с осью ОХ. Если х<0, ордината точки требуемого графика такая же, как и у точки параболы, но с положительной абсциссой, равной х. Такие точки симметричны относительно оси ОУ(например, вершины (2; -4) и -(2; -4). Значит, часть требуемого графика, соответствующая значениям х<0, симметрична относительно оси ОУ его же части, соответствующей значениям х>0. b) Prandaj, e përfundoj ndërtimin për x<0 часть графика, симметричную построенной относительно оси ОУ. 17

18 Fig. 4 Grafiku i funksionit y = f (x) përkon me grafikun e funksionit y = f (x) në grupin e vlerave jo negative të argumentit dhe është simetrik me të në lidhje me boshtin e OU në grupin e vlerave negative të argumentit. Vërtetim: Nëse x 0, atëherë f (x) = f (x), d.m.th. në grupin e vlerave jo negative të argumentit, grafikët e funksioneve y = f (x) dhe y = f (x) përputhen. Meqenëse y = f (x) është një funksion çift, grafiku i tij është simetrik në lidhje me op-amp. Kështu, grafiku i funksionit y = f (x) mund të merret nga grafiku i funksionit y = f (x) si më poshtë: 1. ndërtoni një grafik të funksionit y = f (x) për x>0; 2. Për x<0, симметрично отразить построенную часть относительно оси ОУ. Вывод: Для построения графика функции у = f (х) 1. построить график функции у = f(х) для х>0; 2. Për x<0, симметрично отразить построенную часть относительно оси ОУ. Построить график функции у = х 2-2х Освободимся от знака модуля по определению Если х 2-2х 0, т.е. если х 0 и х 2, то х 2-2х = х 2-2х Если х 2-2х<0, т.е. если 0<х< 2, то х 2-2х =- х 2 + 2х Видим, что на множестве х 0 и х 2 графики функции у = х 2-2х и у = х 2-2х совпадают, а на множестве (0;2) графики функции у = -х 2 + 2х и у = х 2-2х совпадают. Построим их. График функции у = f (х) состоит из части графика функции у = f(х) при у?0 и симметрично отражённой части у = f(х) при у <0 относительно оси ОХ. Построить график функции у = х 2 - х -6 1) Если х 2 - х -6 0, т.е. если х -2 и х 3, то х 2 - х -6 = х 2 - х

19 Nëse x 2 - x -6<0, т.е. если -2<х< 3, то х 2 - х -6 = -х 2 + х +6. Построим их. 2) Построим у = х 2 - х -6. Нижнюю часть графика симметрично отбражаем относительно ОХ. Сравнивая 1) и 2), видим что графики одинаковые. Работа на тетрадях. Докажем, что график функции у = f (х) совпадает с графиком функции у = f (х) для f(х) >0 dhe pjesa e pasqyruar në mënyrë simetrike y = f(x) në y<0 относительно оси ОХ. Действительно, по определению абсолютной величины, можно данную функцию рассмотреть как совокупность двух линий: у = f(х), если f(х) 0; у = - f(х), если f(х) <0 Для любой функции у = f(х), если f(х) >0, pastaj f (x) = f (x), që do të thotë në këtë pjesë grafiku i funksionit y = f (x) përkon me grafikun e vetë funksionit y = f (x). Nëse f(x)<0, то f (х) = - f(х),т.е. точка (х; - f(х)) симметрична точке (х; f (х)) относительно оси ОХ. Поэтому для получения требуемого графика отражаем симметрично относительно оси ОХ "отрицательную" часть графика у = f(х). Вывод: действительно для построения графика функции у = f(х) достаточно: 1.Построить график функции у = f(х) ; 2. На участках, где график расположен в нижней полуплоскости, т.е., где f(х) <0, симметрично отражаем относительно оси абсцисс. (Рис.5) 19

20 Fig.5 Përfundim: Të ndërtohet një grafik i funksionit y= f(x) 1. Të ndërtohet grafiku i funksionit y=f(x) ; 2. Në zonat ku grafiku ndodhet në gjysmërrafshin e poshtëm, d.m.th., ku f(x)<0, строим кривые, симметричные построенным графикам относительно оси абсцисс. (Рис.6, 7.) 20

21 Punë kërkimore për ndërtimin e grafikëve të funksionit y = f (x) Duke përdorur përkufizimin e vlerës absolute dhe shembujt e diskutuar më parë, do të ndërtojmë grafikët e funksionit: y = 2 x - 3 y = x 2-5 x y = x 2. -2 dhe nxirrni përfundime. Për të ndërtuar një grafik të funksionit y = f (x) duhet: 1. Të ndërtoni një grafik të funksionit y = f (x) për x>0. 2. Ndërtoni pjesën e dytë të grafikut, pra pasqyroni grafikun e ndërtuar në mënyrë simetrike në lidhje me op-amp, sepse Ky funksion është i barabartë. 3. Shndërroni seksionet e grafikut që rezulton të vendosura në gjysmërrafshin e poshtëm në gjysmëplanin e sipërm në mënyrë simetrike me boshtin OX. Ndërtoni një grafik të funksionit y = 2 x - 3 (metoda e 1-rë për përcaktimin e modulit) 1. Ndërtoni y = 2 x - 3, për 2 x - 3 > 0, x >1.5 d.m.th. X< -1,5 и х>1,5 a) y = 2x - 3, për x>0 b) për x<0, симметрично отражаем построенную часть относительно оси ОУ. 2. Строим у = -2 х + 3, для 2 х - 3 < 0. т.е. -1,5<х<1,5 а) у = -2х + 3, для х>0 b) për x<0, симметрично отражаем построенную часть относительно оси ОУ. У = 2 х - 3 1) Строим у = 2х-3, для х>0. 2) Ndërtojmë një vijë të drejtë, simetrike me atë të ndërtuar në raport me boshtin e op-amp. 3) Unë shfaq seksionet e grafikut të vendosura në gjysmëplanin e poshtëm në mënyrë simetrike në lidhje me boshtin OX. Duke krahasuar të dy grafikët, shohim se janë të njëjtë. 21

22 Shembuj problemash Shembulli 1. Shqyrtoni grafikun e funksionit y = x 2 6x +5. Meqenëse x është në katror, ​​pavarësisht nga shenja e numrit x, pas katrorit do të jetë pozitiv. Nga kjo rrjedh se grafiku i funksionit y = x 2-6x +5 do të jetë identik me grafikun e funksionit y = x 2-6x +5, d.m.th. grafiku i një funksioni që nuk përmban një shenjë me vlerë absolute (Fig. 2). Fig.2 Shembulli 2. Shqyrtoni grafikun e funksionit y = x 2 6 x +5. Duke përdorur përkufizimin e modulit të një numri, ne zëvendësojmë formulën y = x 2 6 x +5 Tani kemi të bëjmë me caktimin pjesë-pjesë të varësisë që është e njohur për ne. Do të ndërtojmë një grafik si ky: 1) ndërtojmë një parabolë y = x 2-6x +5 dhe rrethojmë pjesën që është 22

23 korrespondon me vlerat jo negative të x, d.m.th. pjesa e vendosur në të djathtë të boshtit Oy. 2) në të njëjtin plan koordinativ, ndërtoni një parabolë y = x 2 +6x +5 dhe rrethoni pjesën që korrespondon me vlerat negative të x, d.m.th. pjesa e vendosur në të majtë të boshtit Oy. Pjesët e rrethuara të parabolave ​​së bashku formojnë një grafik të funksionit y = x 2-6 x +5 (Fig. 3). Fig.3 Shembulli 3. Shqyrtoni grafikun e funksionit y = x 2-6 x +5. Sepse grafiku i ekuacionit y = x 2 6x +5 është i njëjtë me grafikun e funksionit pa shenjën e modulit (diskutuar në shembullin 2), rrjedh se grafiku i funksionit y = x 2 6 x +5 është identik. në grafikun e funksionit y = x 2 6 x +5 , të shqyrtuar në shembullin 2 (Fig. 3). Shembulli 4. Të ndërtojmë një grafik të funksionit y = x 2 6x +5. Për ta bërë këtë, le të ndërtojmë një grafik të funksionit y = x 2-6x. Për të marrë një grafik të funksionit y = x 2-6x prej tij, duhet të zëvendësoni secilën pikë të parabolës me një ordinatë negative me një pikë me të njëjtën abshisë, por me ordinatë të kundërt (pozitive). Me fjalë të tjera, pjesa e parabolës e vendosur nën boshtin x duhet të zëvendësohet me një vijë simetrike me të në lidhje me boshtin x. Sepse ne duhet të ndërtojmë një grafik të funksionit y = x 2-6x +5, pastaj grafiku i funksionit që kemi konsideruar y = x 2-6x thjesht duhet të ngrihet përgjatë boshtit y me 5 njësi lart (Fig. 4 ). 23

24 Fig.4 Shembulli 5. Të vizatojmë funksionin y = x 2-6x+5. Për ta bërë këtë, ne do të përdorim funksionin e njohur pjesë-pjesë. Le të gjejmë zerot e funksionit y = 6x +5 6x + 5 = 0 at. Le të shqyrtojmë dy raste: 1) Nëse, atëherë ekuacioni do të marrë formën y = x 2 6x -5. Le të ndërtojmë këtë parabolë dhe të rrethojmë pjesën ku. 2) Nëse, atëherë ekuacioni merr formën y = x 2 + 6x +5. Le të qëndrojmë në këmbë këtë parabolë dhe të rrethojmë atë pjesë të saj që ndodhet në të majtë të pikës me koordinata (Fig. 5). 24

25 Fig.5 Shembull6. Të ndërtojmë një grafik të funksionit y = x 2 6 x +5. Për ta bërë këtë, ne do të ndërtojmë një grafik të funksionit y = x 2-6 x +5. E ndërtuam këtë grafik në shembullin 3. Meqenëse funksioni ynë është plotësisht nën shenjën e modulit, për të ndërtuar një grafik të funksionit y = x 2 6 x +5, na duhet çdo pikë e grafikut të funksionit y = x 2. 6 x + 5 me një ordinatë negative duhet të zëvendësohet me një pikë me të njëjtën abshisë, por me ordinatë të kundërt (pozitive), d.m.th. pjesa e parabolës e vendosur nën boshtin Ox duhet të zëvendësohet me një vijë simetrike ndaj saj në lidhje me boshtin Ox (Fig. 6). Fig.6 25

26 II Përfundim “Informacioni matematik mund të përdoret me shkathtësi dhe në mënyrë të dobishme vetëm nëse përvetësohet në mënyrë krijuese, në mënyrë që nxënësi të shohë vetë se si mund të arrijë vetë”. A.N. Kolmogorov. Këto probleme janë me interes të madh për nxënësit e klasës së nëntë, pasi janë shumë të zakonshme në testet e OGE. Aftësia për të ndërtuar grafikët e të dhënave të funksioneve do t'ju lejojë të kaloni provimin më me sukses. Matematikanët francezë Pierre Fermat () dhe Rene Descartes () imagjinuan një funksion si varësia e ordinatës së një pike nga një kurbë në abshisën e saj. Dhe shkencëtari anglez Isaac Newton () e kuptoi një funksion si koordinata e një pike lëvizëse që ndryshon në varësi të kohës. 26

27 III Lista e referencave dhe burimeve 1. Galitsky M. L., Goldman A. M., Zvavich L. I. Mbledhja e problemave në algjebër për klasat 8-9: Teksti mësimor. manual për nxënësit e shkollave. dhe klasa të avancuara studiuar Matematika 2nd ed. M.: Iluminizmi, Dorofeev G.V. Algjebër. Funksione. Analiza e të dhënave. Klasa e 9-të: m34 Arsimore. për studimet e arsimit të përgjithshëm. themelimi 2nd ed., stereotip. M.: Bustard, Solomonik V.S. Koleksioni i pyetjeve dhe problemeve në matematikë M.: "Shkolla e Lartë", Yashchenko I.V. GIA. Matematika: opsionet standarde të provimit: Rreth opsioneve.m.: “Arsimi Kombëtar”, f. 5. Yashchenko I.V. OGE. Matematika: opsionet standarde të provimit: Rreth opsioneve.m.: “Arsimi Kombëtar”, f. 6. Yashchenko I.V. OGE. Matematika: opsionet standarde të provimit: Rreth opsioneve.m.: “Arsimi Kombëtar”, me

28 Shtojca 28

29 Shembulli 1. Grafikoni funksionin y = x 2 8 x Zgjidhje. Le të përcaktojmë paritetin e funksionit. Vlera për y(-x) është e njëjtë me vlerën për y(x), pra ky funksion është çift. Atëherë grafiku i tij është simetrik në lidhje me boshtin Oy. Ne paraqesim funksionin y = x 2 8x + 12 për x 0 dhe shfaqim në mënyrë simetrike grafikun në lidhje me Oy për x negativ (Fig. 1). Shembulli 2. Grafiku i mëposhtëm i formës y = x 2 8x Kjo do të thotë se grafiku i funksionit fitohet si më poshtë: ndërtoni një grafik të funksionit y = x 2 8x + 12, lini pjesën e grafikut që shtrihet më sipër. boshti Ox i pandryshuar, dhe pjesa e grafikut që shtrihet nën boshtin e abshisës dhe shfaqet në mënyrë simetrike në lidhje me boshtin Ox (Fig. 2). Shembulli 3. Për të vizatuar një grafik të funksionit y = x 2 8 x + 12, kryhet një kombinim i shndërrimeve: y = x 2 8x + 12 y = x 2 8 x + 12 y = x 2 8 x Përgjigje: Figura 3. Shembulli 4 Shprehja nën shenjën e modulit, ndryshon shenjën në pikën x=2/3. Në x<2/3 функция запишется так: 29

30 Për x>2/3 funksioni do të shkruhet kështu: Domethënë, pika x=2/3 e ndan planin tonë koordinativ në dy zona, në njërën prej të cilave (djathtas) ndërtojmë një funksion dhe në tjetrën. (në të majtë) ndërtojmë një grafik të funksionit: Shembulli 5 Më tej Grafiku është gjithashtu i prishur, por ka dy pika ndërprerjeje, pasi përmban dy shprehje nën shenjat e modulit: Le të shohim se në cilat pika shprehjet nënmodulare ndryshojnë shenjën: Le të renditni shenjat për shprehjet nënmodulare në vijën koordinative: 30

31 Zgjerojmë modulet në intervalin e parë: Në intervalin e dytë: Në intervalin e tretë: Kështu, në intervalin (- ; 1.5] kemi një grafik të shkruar nga ekuacioni i parë, në interval një grafik të shkruar nga ekuacioni i dytë. , dhe në interval)