Teorema e Vietës. Shembuj zgjidhjesh. Teorema e Vietës për ekuacionet kuadratike dhe ekuacionet e tjera Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike duke përdorur shembuj të teoremës së Vietës

Formulimi dhe vërtetimi i teoremës së Vietës për ekuacionet kuadratike. Teorema e anasjelltë Vieta. Teorema e Vietës për ekuacionet kubike dhe ekuacionet e rendit arbitrar.

përmbajtja

Shiko gjithashtu: Rrënjët e një ekuacioni kuadratik

Ekuacionet kuadratike

Teorema e Vietës

Le të shënojmë dhe shënojmë rrënjët e ekuacionit kuadratik të reduktuar
(1) .
Atëherë shuma e rrënjëve është e barabartë me koeficientin në të marrë me shenjën e kundërt. Produkti i rrënjëve është i barabartë me termin e lirë:
;
.

Një shënim për rrënjët e shumta

Nëse diskriminuesi i ekuacionit (1) është zero, atëherë ky ekuacion ka një rrënjë. Por, për të shmangur formulimet e rënda, përgjithësisht pranohet se në këtë rast, ekuacioni (1) ka dy rrënjë të shumëfishta ose të barabarta:
.

Prova një

Le të gjejmë rrënjët e ekuacionit (1). Për ta bërë këtë, aplikoni formulën për rrënjët e ekuacionit kuadratik:
;
;
.

Gjetja e shumës së rrënjëve:
.

Për të gjetur produktin, ne aplikojmë formulën:
.
Pastaj

.

Teorema është vërtetuar.

Prova dy

Nëse numrat dhe janë rrënjët e ekuacionit kuadratik (1), atëherë
.
Hapim kllapat.

.
Kështu, ekuacioni (1) do të marrë formën:
.
Duke krahasuar me (1) gjejmë:
;
.

Teorema është vërtetuar.

Teorema e anasjelltë Vieta

Le të ketë numra arbitrar. Pastaj dhe janë rrënjët e ekuacionit kuadratik
,
ku
(2) ;
(3) .

Vërtetimi i teoremës së kundërt të Vietës

Merrni parasysh ekuacionin kuadratik
(1) .
Ne duhet të vërtetojmë se nëse dhe , atëherë dhe janë rrënjët e ekuacionit (1).

Zëvendësoni (2) dhe (3) në (1):
.
Ne grupojmë termat e anës së majtë të ekuacionit:
;
;
(4) .

Zëvendësimi në (4):
;
.

Zëvendësimi në (4):
;
.
Ekuacioni është përmbushur. Kjo do të thotë, numri është rrënja e ekuacionit (1).

Teorema është vërtetuar.

Teorema e Vietës për ekuacionin e plotë kuadratik

Tani merrni parasysh ekuacionin e plotë kuadratik
(5) ,
ku , dhe janë disa numra. Dhe .

Ne e ndajmë ekuacionin (5) me:
.
Kjo do të thotë, ne kemi marrë ekuacionin e mësipërm
,
ku ; .

Atëherë teorema Vieta për ekuacionin e plotë kuadratik ka formën e mëposhtme.

Le të shënojmë dhe shënojmë rrënjët e ekuacionit të plotë kuadratik
.
Pastaj shuma dhe produkti i rrënjëve përcaktohen nga formula:
;
.

Teorema e Vietës për një ekuacion kub

Në mënyrë të ngjashme, ne mund të vendosim lidhje midis rrënjëve të një ekuacioni kub. Merrni parasysh ekuacionin kub
(6) ,
ku , , , janë disa numra. Dhe .
Le ta ndajmë këtë ekuacion me:
(7) ,
ku , , .
Le të jenë , , rrënjët e ekuacionit (7) (dhe ekuacionit (6)). Pastaj

.

Duke krahasuar me ekuacionin (7) gjejmë:
;
;
.

Teorema e Vietës për një ekuacion të shkallës së n-të

Në të njëjtën mënyrë, ju mund të gjeni lidhje midis rrënjëve , , ... , , për ekuacionin e shkallës së n-të
.

Teorema e Vieta-s për një ekuacion të shkallës së n-të ka formën e mëposhtme:
;
;
;

.

Për të marrë këto formula, ne shkruajmë ekuacionin në formën e mëposhtme:
.
Pastaj barazojmë koeficientët në , , , ... dhe krahasojmë termin e lirë.

Referencat:
NË. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual i Matematikës për Inxhinierë dhe Studentë të Institucioneve të Arsimit të Lartë, Lan, 2009.
CM. Nikolsky, M.K. Potapov et al., Algjebra: një libër shkollor për klasën e 8-të të institucioneve arsimore, Moskë, Arsimi, 2006.

Shiko gjithashtu:

Teorema e Vietës (më saktë, teorema e kundërt me teoremën e Vietës) na lejon të zvogëlojmë kohën për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike. Thjesht duhet të dini se si ta përdorni. Si të mësoni të zgjidhni ekuacionet kuadratike duke përdorur teoremën e Vietës? Është e lehtë nëse mendoni pak.

Tani do të flasim vetëm për zgjidhjen e ekuacionit kuadratik të reduktuar duke përdorur teoremën Vieta.Ekuacioni kuadratik i reduktuar është një ekuacion në të cilin a, pra koeficienti përballë x², është i barabartë me një. Ekuacionet kuadratike jo të dhëna mund të zgjidhen gjithashtu duke përdorur teoremën Vieta, por tashmë të paktën një nga rrënjët nuk është një numër i plotë. Ata janë më të vështirë të hamendësohen.

Teorema e kundërt me teoremën e Vietës thotë: nëse numrat x1 dhe x2 janë të tillë që

atëherë x1 dhe x2 janë rrënjët e ekuacionit kuadratik

Kur zgjidhet një ekuacion kuadratik duke përdorur teoremën Vieta, janë të mundshme vetëm 4 opsione. Nëse e mbani mend rrjedhën e arsyetimit, mund të mësoni të gjeni rrënjë të tëra shumë shpejt.

I. Nëse q është një numër pozitiv,

kjo do të thotë se rrënjët x1 dhe x2 janë numra me të njëjtën shenjë (sepse vetëm kur shumëzohen numrat me shenja të njëjta, fitohet një numër pozitiv).

I.a. Nëse -p është një numër pozitiv, (përkatësisht, f<0), то оба корня x1 и x2 — положительные числа (поскольку складывали числа одного знака и получили положительное число).

I.b. Nëse -p është një numër negativ, (përkatësisht, p>0), atëherë të dy rrënjët janë numra negativë (ata kanë shtuar numra të së njëjtës shenjë, kanë marrë një numër negativ).

II. Nëse q është një numër negativ,

kjo do të thotë se rrënjët x1 dhe x2 kanë shenja të ndryshme (kur shumëzohen numrat, një numër negativ fitohet vetëm kur shenjat e faktorëve janë të ndryshëm). Në këtë rast, x1 + x2 nuk është më një shumë, por një ndryshim (në fund të fundit, kur mbledhim numra me shenja të ndryshme, ne zbresim më të voglin nga moduli më i madh). Prandaj, x1 + x2 tregon se sa ndryshojnë rrënjët x1 dhe x2, domethënë sa më shumë është njëra rrënjë se tjetra (modulo).

II.a. Nëse -p është një numër pozitiv, (dmth fq<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.

II.b. Nëse -p është një numër negativ, (p>0), atëherë rrënja më e madhe (modulo) është një numër negativ.

Shqyrtoni zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike sipas teoremës së Vietës duke përdorur shembuj.

Zgjidheni ekuacionin e dhënë kuadratik duke përdorur teoremën e Vietës:

Këtu q=12>0, pra rrënjët x1 dhe x2 janë numra me të njëjtën shenjë. Shuma e tyre është -p=7>0, pra të dy rrënjët janë numra pozitivë. Ne zgjedhim numra të plotë prodhimi i të cilëve është 12. Këto janë 1 dhe 12, 2 dhe 6, 3 dhe 4. Shuma është 7 për çiftin 3 dhe 4. Prandaj, 3 dhe 4 janë rrënjët e ekuacionit.

Në këtë shembull, q=16>0, që do të thotë se rrënjët x1 dhe x2 janë numra me të njëjtën shenjë. Shuma e tyre -p=-10<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.

Këtu q=-15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0, atëherë numri më i madh është pozitiv. Pra, rrënjët janë 5 dhe -3.

q=-36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.

François Vieta (1540-1603) - matematikan, krijuesi i formulave të famshme Vieta

Teorema e Vietës nevojiten për të zgjidhur shpejt ekuacionet kuadratike (në terma të thjeshtë).

Më në detaje, t Teorema e Vieta - kjo është shuma e rrënjëve të këtij ekuacioni kuadratik është e barabartë me koeficientin e dytë, i cili merret me shenjën e kundërt, dhe produkti është i barabartë me termin e lirë. Kjo veti ka çdo ekuacion të caktuar kuadratik që ka rrënjë.

Duke përdorur teoremën Vieta, ju mund të zgjidhni lehtësisht ekuacionet kuadratike me përzgjedhje, kështu që le t'i themi "faleminderit" këtij matematikani me një shpatë në duar për klasën tonë të lumtur të 7-të.

Vërtetimi i teoremës së Vietës

Për të vërtetuar teoremën, mund të përdorni formulat e njohura të rrënjës, falë të cilave do të përpilojmë shumën dhe produktin e rrënjëve të ekuacionit kuadratik. Vetëm pas kësaj ne mund të sigurohemi që ato janë të barabarta dhe, në përputhje me rrethanat, .

Le të themi se kemi një ekuacion: . Ky ekuacion ka këto rrënjë: dhe . Le të vërtetojmë se,.

Sipas formulave të rrënjëve të ekuacionit kuadratik:

1. Gjeni shumën e rrënjëve:

Le të analizojmë këtë ekuacion, pasi e kemi marrë pikërisht kështu:

= .

Hapi 1. Ne i zvogëlojmë thyesat në një emërues të përbashkët, rezulton:

= = .

Hapi 2. Ne morëm një fraksion ku duhet të hapni kllapat:

Ne e zvogëlojmë thyesën me 2 dhe marrim:

Ne kemi vërtetuar lidhjen për shumën e rrënjëve të një ekuacioni kuadratik duke përdorur teoremën e Vietës.

2. Gjeni prodhimin e rrënjëve:

= = = = = .

Le të vërtetojmë këtë ekuacion:

Hapi 1. Ekziston një rregull për shumëzimin e thyesave, sipas të cilit ne shumëzojmë këtë ekuacion:

Tani kujtojmë përkufizimin e rrënjës katrore dhe marrim parasysh:

= .

Hapi 3. Kujtojmë diskriminuesin e ekuacionit kuadratik: . Prandaj, në vend të D (diskriminues), ne zëvendësojmë në thyesën e fundit, atëherë marrim:

= .

Hapi 4. Hapni kllapat dhe shtoni terma të ngjashëm me thyesat:

Hapi 5. Ne zvogëlojmë "4a" dhe marrim.

Pra, ne kemi vërtetuar lidhjen për prodhimin e rrënjëve sipas teoremës së Vietës.

E RËNDËSISHME!Nëse diskriminuesi është zero, atëherë ekuacioni kuadratik ka vetëm një rrënjë.

Teorema e kundërt me teoremën e Vietës

Sipas teoremës, anasjellta e teoremës së Vietës, mund të kontrollojmë nëse ekuacioni ynë është zgjidhur saktë. Për të kuptuar vetë teoremën, duhet ta konsiderojmë atë më në detaje.

Nëse numrat janë:

Dhe pastaj ato janë rrënjët e ekuacionit kuadratik.

Vërtetimi i teoremës së kundërt të Vietës

Hapi 1.Le të zëvendësojmë shprehjet për koeficientët e tij në ekuacion:

Hapi 2Le të transformojmë anën e majtë të ekuacionit:

Hapi 3. Le të gjejmë rrënjët e ekuacionit dhe për këtë përdorim vetinë që produkti është i barabartë me zero:

Ose . Nga vjen: ose.

Shembuj me zgjidhje nga teorema e Vietës

Shembulli 1

Ushtrimi

Gjeni shumën, prodhimin dhe shumën e katrorëve të rrënjëve të një ekuacioni kuadratik pa gjetur rrënjët e ekuacionit.

Zgjidhje

Hapi 1. Kujtoni formulën diskriminuese. Ne i zëvendësojmë numrat tanë nën shkronja. Kjo është, , është një zëvendësim për , dhe . Kjo nënkupton:

Rezulton:

Title="(! LANG: Rendered by QuickLaTeX.com" height="13" width="170" style="vertical-align: -1px;">. Если дискриминант больше нуля, тогда у уравнения есть корни. По теореме Виета их сумма , а произведение . !}

Shprehim shumën e katrorëve të rrënjëve përmes shumës dhe prodhimit të tyre:

Përgjigju

7; 12; 25.

Shembulli 2

Ushtrimi

Zgjidhe ekuacionin. Në këtë rast, mos përdorni formulat e ekuacionit kuadratik.

Zgjidhje

Ky ekuacion ka rrënjë që janë më të mëdha se zero për sa i përket diskriminuesit (D). Prandaj, sipas teoremës Vieta, shuma e rrënjëve të këtij ekuacioni është 4, dhe prodhimi është 5. Së pari, ne përcaktojmë pjesëtuesit e numrit, shuma e të cilit është 4. Këta janë numrat "5" dhe "-1". Prodhimi i tyre është i barabartë me - 5, dhe shuma - 4. Prandaj, sipas teoremës, e kundërta e teoremës së Vietës, ato janë rrënjët e këtij ekuacioni.

Përgjigju

Dhe Shembulli 4

Ushtrimi

Shkruani një ekuacion ku secila rrënjë është dyfishi i rrënjës përkatëse të ekuacionit:

Zgjidhje

Sipas teoremës së Vietës, shuma e rrënjëve të këtij ekuacioni është 12, dhe prodhimi = 7. Prandaj, të dy rrënjët janë pozitive.

Shuma e rrënjëve të ekuacionit të ri do të jetë e barabartë me:

Dhe puna.

Nga një teoremë e kundërt me teoremën e Vietës, ekuacioni i ri ka formën:

Përgjigju

Rezultati ishte një ekuacion, secila rrënjë e të cilit është dy herë më e madhe:

Pra, ne shikuam se si të zgjidhim një ekuacion duke përdorur teoremën e Vieta-s. Është shumë i përshtatshëm për të përdorur këtë teoremë nëse zgjidhen detyra që lidhen me shenjat e rrënjëve të ekuacioneve kuadratike. Kjo do të thotë, nëse termi i lirë në formulë është një numër pozitiv, dhe nëse ka rrënjë reale në ekuacionin kuadratik, atëherë të dy mund të jenë negativ ose pozitiv.

Dhe nëse termi i lirë është një numër negativ, dhe nëse ka rrënjë reale në ekuacionin kuadratik, atëherë të dy shenjat do të jenë të ndryshme. Kjo do të thotë, nëse njëra rrënjë është pozitive, atëherë rrënja tjetër do të jetë vetëm negative.

Burime të dobishme:

1. Dorofeev G. V., Suvorova S. B., Bunimovich E. A. Algjebra Klasa 8: Moskë "Iluminizmi", 2016 - 318 f.
2. Rubin A. G., Chulkov P. V. - tekst shkollor Algjebra Klasa 8: Moskë "Balass", 2015 - 237 f.
3. Nikolsky S. M., Potopav M. K., Reshetnikov N. N., Shevkin A. V. - Algjebër Klasa 8: Moskë "Iluminizmi", 2014 - 300

Teorema e Vietës, formula e anasjelltë e Vieta-s dhe shembuj me zgjidhje për dummies përditësuar: 22 nëntor 2019 nga: Artikuj shkencorë.Ru

Në klasën e tetë nxënësit njihen me ekuacionet kuadratike dhe mënyrën e zgjidhjes së tyre. Në të njëjtën kohë, siç tregon përvoja, shumica e studentëve përdorin vetëm një metodë kur zgjidhin ekuacione të plota kuadratike - formulën për rrënjët e një ekuacioni kuadratik. Për studentët me aftësi të mira të numërimit me gojë, kjo metodë është qartësisht irracionale. Nxënësve u duhet shpesh të zgjidhin ekuacionet kuadratike në shkollë të mesme dhe aty është thjesht për të ardhur keq të kalosh kohë duke llogaritur diskriminuesin. Sipas mendimit tim, gjatë studimit të ekuacioneve kuadratike, duhet t'i kushtohet më shumë kohë dhe vëmendje zbatimit të teoremës Vieta (sipas programit të A.G. Mordkovich Algjebra-8, janë planifikuar vetëm dy orë për të studiuar temën "Teorema Vieta. Zbërthimi i një trinom katror në faktorë linearë”).

Në shumicën e teksteve shkollore të algjebrës, kjo teoremë është formuluar për një ekuacion kuadratik të reduktuar dhe thotë se nëse ekuacioni ka rrënjë dhe , atëherë ato plotësojnë barazitë , . Më pas formulohet një pohim i kundërt me teoremën e Vietës dhe ofrohen një sërë shembujsh për të punuar në këtë temë.

Le të marrim shembuj specifikë dhe të gjurmojmë logjikën e zgjidhjes mbi to duke përdorur teoremën e Vietës.

Shembulli 1. Zgjidheni ekuacionin.

Supozoni se ky ekuacion ka rrënjë, domethënë, dhe . Pastaj, sipas teoremës së Vietës, barazitë

Vini re se prodhimi i rrënjëve është një numër pozitiv. Pra, rrënjët e ekuacionit kanë të njëjtën shenjë. Dhe duke qenë se shuma e rrënjëve është gjithashtu një numër pozitiv, arrijmë në përfundimin se të dy rrënjët e ekuacionit janë pozitive. Le të kthehemi te produkti i rrënjëve. Supozojmë se rrënjët e ekuacionit janë numra të plotë pozitivë. Atëherë barazia e parë e saktë mund të merret vetëm në dy mënyra (deri në renditjen e faktorëve): ose . Le të kontrollojmë për çiftet e propozuara të numrave realizueshmërinë e pohimit të dytë të teoremës Vieta: . Kështu, numrat 2 dhe 3 i plotësojnë të dyja barazitë, dhe si rrjedhim janë rrënjët e ekuacionit të dhënë.

Përgjigje: 2; 3.

Ne veçojmë fazat kryesore të arsyetimit kur zgjidhim ekuacionin e dhënë kuadratik duke përdorur teoremën Vieta:

shkruani pohimin e teoremës së Vietës

(*)

• përcaktoni shenjat e rrënjëve të ekuacionit (Nëse prodhimi dhe shuma e rrënjëve janë pozitive, atëherë të dy rrënjët janë numra pozitivë. Nëse prodhimi i rrënjëve është numër pozitiv, dhe shuma e rrënjëve është negative, atëherë të dy rrënjët janë numra negativë.Nëse prodhimi i rrënjëve është numër negativ, atëherë rrënjët kanë shenja të ndryshme.Për më tepër, nëse shuma e rrënjëve është pozitive, atëherë rrënja me modul më të madh është numër pozitiv, dhe nëse shuma e rrënjëve është më e vogël se zero, atëherë rrënja me një modul më të madh është një numër negativ);
• zgjidhni çifte numrash të plotë prodhimi i të cilëve jep barazinë e parë të saktë në shënimin (*);
• nga çiftet e gjetura të numrave, zgjidhni çiftin që, kur zëvendësohet në barazinë e dytë në shënimin (*), do të japë barazinë e saktë;
• tregoni në përgjigje rrënjët e gjetura të ekuacionit.

Le të japim disa shembuj të tjerë.

Shembulli 2: Zgjidheni ekuacionin .

Zgjidhje.

Le të jenë dhe rrënjët e ekuacionit të dhënë. Pastaj nga teorema e Vieta-s Vini re se produkti është pozitiv dhe shuma është negative. Pra, të dy rrënjët janë numra negativë. Zgjedhim çifte faktorësh që japin prodhimin 10 (-1 dhe -10; -2 dhe -5). Çifti i dytë i numrave mblidhet deri në -7. Pra, numrat -2 dhe -5 janë rrënjët e këtij ekuacioni.

Përgjigje: -2; -5.

Shembulli 3. Zgjidheni ekuacionin .

Zgjidhje.

Le të jenë dhe rrënjët e ekuacionit të dhënë. Pastaj nga teorema e Vieta-s Vini re se produkti është negativ. Pra, rrënjët janë të shenjave të ndryshme. Shuma e rrënjëve është gjithashtu një numër negativ. Prandaj, rrënja me modulin më të madh është negative. Ne zgjedhim çifte faktorësh që i japin produktit -10 (1 dhe -10; 2 dhe -5). Çifti i dytë i numrave mblidhet deri në -3. Pra, numrat 2 dhe -5 janë rrënjët e këtij ekuacioni.

Përgjigje: 2; -5.

Vini re se teorema Vieta në parim mund të formulohet për ekuacionin e plotë kuadratik: nëse ekuacioni kuadratik ka rrënjë dhe , pastaj plotësojnë barazitë , . Sidoqoftë, zbatimi i kësaj teoreme është mjaft problematik, pasi në ekuacionin e plotë kuadratik të paktën një nga rrënjët (nëse ka, sigurisht) është një numër thyesor. Dhe puna me përzgjedhjen e fraksioneve është e gjatë dhe e vështirë. Por ende ka një rrugëdalje.

Merrni parasysh ekuacionin e plotë kuadratik . Shumëzoni të dyja anët e ekuacionit me koeficientin e parë a dhe shkruani ekuacionin në formë . Ne prezantojmë një ndryshore të re dhe marrim një ekuacion kuadratik të reduktuar, rrënjët e të cilit dhe (nëse ka) mund të gjenden duke përdorur teoremën Vieta. Atëherë rrënjët e ekuacionit origjinal do të jenë . Vini re se është shumë e lehtë të shkruhet ekuacioni i reduktuar ndihmës: koeficienti i dytë ruhet dhe koeficienti i tretë është i barabartë me produktin asi. Me një aftësi të caktuar, nxënësit hartojnë menjëherë një ekuacion ndihmës, gjejnë rrënjët e tij duke përdorur teoremën Vieta dhe tregojnë rrënjët e ekuacionit të plotë të dhënë. Le të japim shembuj.

Shembulli 4. Zgjidheni ekuacionin .

Le të bëjmë një ekuacion ndihmës dhe nga teorema e Vietës gjejmë rrënjët e saj. Pra, rrënjët e ekuacionit origjinal .

Përgjigje: .

Shembulli 5. Zgjidheni ekuacionin .

Ekuacioni ndihmës ka formën . Nga teorema e Vieta-s, rrënjët e saj janë . Gjejmë rrënjët e ekuacionit origjinal .

Përgjigje: .

Dhe një rast tjetër kur zbatimi i teoremës së Vieta ju lejon të gjeni verbalisht rrënjët e një ekuacioni të plotë kuadratik. Është e lehtë ta vërtetosh këtë numri 1 është rrënja e ekuacionit , nese dhe vetem nese. Rrënja e dytë e ekuacionit gjendet nga teorema Vieta dhe është e barabartë me . Edhe një deklaratë: në mënyrë që numri -1 të jetë rrënja e ekuacionit të nevojshme dhe të mjaftueshme për të. Atëherë rrënja e dytë e ekuacionit sipas teoremës së Vietës është e barabartë me . Pohime të ngjashme mund të formulohen për ekuacionin kuadratik të reduktuar.

Shembulli 6. Zgjidheni ekuacionin.

Vini re se shuma e koeficientëve të ekuacionit është zero. Pra, rrënjët e ekuacionit .

Përgjigje: .

Shembulli 7. Zgjidheni ekuacionin.

Koeficientët e këtij ekuacioni plotësojnë vetinë (në të vërtetë, 1-(-999)+(-1000)=0). Pra, rrënjët e ekuacionit .

Përgjigje: ..

Shembuj për zbatimin e teoremës së Vietës

Detyra 1. Zgjidheni ekuacionin e dhënë kuadratik duke përdorur teoremën e Vietës.

1.	6.	11.	16.
2.	7.	12.	17.
3.	8.	13.	18.
4.	9.	14.	19.
5.	10.	15.	20.

Detyra 2. Zgjidheni ekuacionin e plotë kuadratik duke përdorur kalimin në ekuacionin kuadratik të reduktuar ndihmës.

1.	6.	11.	16.
2.	7.	12.	17.
3.	8.	13.	18.
4.	9.	14.	19.
5.	10.	15.	20.

Detyra 3. Zgjidh një ekuacion kuadratik duke përdorur vetinë.

Kur studioni mënyra për të zgjidhur ekuacionet e rendit të dytë në një kurs algjebër shkollore, merrni parasysh vetitë e rrënjëve të marra. Tani ato njihen si teoremat e Vieta-s. Shembuj të përdorimit të tij janë dhënë në këtë artikull.

Ekuacioni kuadratik

Ekuacioni i rendit të dytë është një barazi, e cila tregohet në foton më poshtë.

Këtu simbolet a, b, c janë disa numra që quhen koeficientë të ekuacionit në shqyrtim. Për të zgjidhur një barazi, duhet të gjeni vlerat x që e bëjnë atë të vërtetë.

Vini re se meqenëse vlera maksimale e fuqisë në të cilën rritet x është dy, atëherë numri i rrënjëve në rastin e përgjithshëm është gjithashtu dy.

Ka disa mënyra për të zgjidhur këtë lloj barazie. Në këtë artikull, ne do të shqyrtojmë një prej tyre, i cili përfshin përdorimin e të ashtuquajturës teorema Vieta.

Deklarata e teoremës së Vietës

Në fund të shekullit të 16-të, matematikani i famshëm Francois Viet (francez) vuri re, duke analizuar vetitë e rrënjëve të ekuacioneve të ndryshme kuadratike, se disa kombinime të tyre plotësojnë marrëdhënie specifike. Në veçanti, këto kombinime janë produkti dhe shuma e tyre.

Teorema e Vieta-s përcakton si më poshtë: rrënjët e një ekuacioni kuadratik, kur përmblidhen, japin raportin e koeficientëve linearë me kuadratikë të marrë me shenjën e kundërt, dhe kur ato shumëzohen, ato çojnë në raportin e termit të lirë me koeficientin kuadratik. .

Nëse forma e përgjithshme e ekuacionit shkruhet siç tregohet në foto në pjesën e mëparshme të artikullit, atëherë matematikisht kjo teoremë mund të shkruhet si dy barazi:

• r 2 + r 1 \u003d -b / a;
• r 1 x r 2 \u003d c / a.

Ku r 1 , r 2 është vlera e rrënjëve të ekuacionit të konsideruar.

Këto dy barazime mund të përdoren për të zgjidhur një numër problemesh matematikore shumë të ndryshme. Përdorimi i teoremës Vieta në shembuj me zgjidhje është dhënë në seksionet vijuese të artikullit.