Zona nën grafikun antiderivativ. Integral i caktuar. Si të llogarisni sipërfaqen e një figure. Shembuj të llogaritjes së sipërfaqes së një figure të kufizuar nga vijat y=f(x) ose x=g(y)
Në pjesën e mëparshme, kushtuar analizës së kuptimit gjeometrik të një integrali të caktuar, morëm një numër formulash për llogaritjen e sipërfaqes së një trapezi lakor:
S (G) = ∫ a b f (x) d x për një funksion të vazhdueshëm dhe jo negativ y = f (x) në segmentin [ a ; b],
S (G) = - ∫ a b f (x) d x për një funksion të vazhdueshëm dhe jo pozitiv y = f (x) në segmentin [ a ; b] .
Këto formula janë të zbatueshme për zgjidhjen relative detyra të thjeshta. Në fakt, shpesh duhet të punojmë me forma më komplekse. Në këtë drejtim, ne do t'i kushtojmë këtë pjesë analizës së algoritmeve për llogaritjen e sipërfaqes së figurave, të cilat janë të kufizuara nga funksionet në një formë të qartë, d.m.th. si y = f(x) ose x = g(y) .
TeoremaLe të jenë të përcaktuara dhe të vazhdueshme funksionet y = f 1 (x) dhe y = f 2 (x) në segmentin [ a ; b ] , dhe f 1 (x) ≤ f 2 (x) për çdo vlerë x nga [ a ; b] . Pastaj formula për llogaritjen e sipërfaqes së figurës G, të kufizuara me vija x = a , x = b , y = f 1 (x) dhe y = f 2 (x) do të duket si S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x.
Një formulë e ngjashme do të zbatohet për zonën e figurës së kufizuar nga linjat y \u003d c, y \u003d d, x \u003d g 1 (y) dhe x \u003d g 2 (y): S (G) \u003d ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y) d y .
Dëshmi
Ne do të analizojmë tre raste për të cilat formula do të jetë e vlefshme.
Në rastin e parë, duke marrë parasysh vetinë e aditivitetit të zonës, shuma e sipërfaqeve të figurës origjinale G dhe trapezoidit lakor G 1 është e barabartë me sipërfaqen e figurës G 2. Do të thotë se
Prandaj, S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x.
Mund të kryejmë tranzicionin e fundit duke përdorur vetinë e tretë të integralit të caktuar.
Në rastin e dytë, barazia është e vërtetë: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) d x
Ilustrimi grafik do të duket si ky:
Nëse të dy funksionet janë jopozitive, marrim: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x. Ilustrimi grafik do të duket si ky:
Le të kalojmë në shqyrtimin e rastit të përgjithshëm kur y = f 1 (x) dhe y = f 2 (x) presin boshtin O x.
Pikat e kryqëzimit do t'i shënojmë si x i , i = 1 , 2 , . . . , n - 1 . Këto pika thyejnë segmentin [a; b] në n pjesë x i-1; x i, i = 1, 2, . . . , n , ku α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n
Prandaj,
S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x
Mund të bëjmë kalimin e fundit duke përdorur vetinë e pestë të integralit të caktuar.
Le të ilustrojmë rastin e përgjithshëm në grafik.
Formula S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x mund të konsiderohet e provuar.
Dhe tani le të kalojmë në analizën e shembujve të llogaritjes së sipërfaqes së figurave që kufizohen nga linjat y \u003d f (x) dhe x \u003d g (y) .
Duke marrë parasysh cilindo nga shembujt, do të fillojmë me ndërtimin e një grafiku. Imazhi do të na lejojë të përfaqësojmë forma komplekse si kombinime të formave më të thjeshta. Nëse vizatimi i grafikëve dhe formave mbi to është i vështirë për ju, mund të studioni seksionin mbi funksionet themelore elementare, transformimin gjeometrik të grafikëve të funksioneve, si dhe vizatimin gjatë studimit të një funksioni.
Shembulli 1
Është e nevojshme të përcaktohet zona e figurës, e cila kufizohet nga parabola y \u003d - x 2 + 6 x - 5 dhe linjat e drejta y \u003d - 1 3 x - 1 2, x \u003d 1, x \u003d 4.
Zgjidhje
Le të vizatojmë linjat në grafik në sistemin koordinativ kartezian.
Në intervalin [1; 4] grafiku i parabolës y = - x 2 + 6 x - 5 ndodhet mbi drejtëzën y = - 1 3 x - 1 2 . Në këtë drejtim, për të marrë një përgjigje, ne përdorim formulën e marrë më parë, si dhe metodën për llogaritjen e një integrali të caktuar duke përdorur formulën Newton-Leibniz:
S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13
Përgjigje: S (G) = 13
Le të shohim një shembull më kompleks.
Shembulli 2
Është e nevojshme të llogaritet sipërfaqja e figurës, e cila kufizohet nga linjat y = x + 2, y = x, x = 7.
Zgjidhje
Në këtë rast, kemi vetëm një drejtëz paralele me boshtin x. Kjo është x = 7. Kjo kërkon që ne ta gjejmë vetë kufirin e dytë të integrimit.
Le të ndërtojmë një grafik dhe të vendosim linjat e dhëna në kushtin e problemit.
Duke pasur një grafik para syve tanë, mund të përcaktojmë lehtësisht se kufiri i poshtëm i integrimit do të jetë abshisa e pikës së kryqëzimit të grafikut me një vijë të drejtë y \u003d x dhe një gjysmëparabolë y \u003d x + 2. Për të gjetur abshisën, përdorim barazitë:
y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O D G x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O D G
Rezulton se abshisa e pikës së kryqëzimit është x = 2.
Ne tërheqim vëmendjen tuaj për faktin se në shembullin e përgjithshëm në vizatim, drejtëzat y = x + 2 , y = x kryqëzohen në pikën (2 ; 2), kështu që llogaritjet e tilla të detajuara mund të duken të tepërta. Ne kemi dhënë një zgjidhje kaq të detajuar këtu vetëm sepse në raste më komplekse zgjidhja mund të mos jetë aq e dukshme. Kjo do të thotë se është më mirë që gjithmonë të llogariten në mënyrë analitike koordinatat e kryqëzimit të vijave.
Në intervalin [2; 7 ] grafiku i funksionit y = x ndodhet mbi grafikun e funksionit y = x + 2 . Zbatoni formulën për të llogaritur sipërfaqen:
S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6
Përgjigje: S (G) = 59 6
Shembulli 3
Është e nevojshme të llogaritet zona e figurës, e cila është e kufizuar nga grafikët e funksioneve y \u003d 1 x dhe y \u003d - x 2 + 4 x - 2.
Zgjidhje
Le të vizatojmë vija në grafik.
Le të përcaktojmë kufijtë e integrimit. Për ta bërë këtë, ne përcaktojmë koordinatat e pikave të kryqëzimit të vijave duke barazuar shprehjet 1 x dhe - x 2 + 4 x - 2 . Me kusht që x të mos jetë e barabartë me zero, barazia 1 x \u003d - x 2 + 4 x - 2 bëhet ekuivalente me ekuacionin e shkallës së tretë - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 \u003d 0 me koeficientë të plotë . Ju mund të rifreskoni kujtesën e algoritmit për zgjidhjen e ekuacioneve të tilla duke iu referuar seksionit "Zgjidhja e ekuacioneve kubike".
Rrënja e këtij ekuacioni është x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.
Duke e pjesëtuar shprehjen - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 me binomin x - 1, marrim: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0
Mund të gjejmë rrënjët e mbetura nga ekuacioni x 2 - 3 x - 1 = 0:
x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 1 (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 \u003d 3 - 13 2 ≈ - 0. 3
Kemi gjetur një interval x ∈ 1; 3 + 13 2 , ku G është mbyllur mbi vijën blu dhe nën vijën e kuqe. Kjo na ndihmon të përcaktojmë zonën e formës:
S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2
Përgjigje: S (G) \u003d 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2
Shembulli 4
Është e nevojshme të llogaritet zona e figurës, e cila kufizohet nga kthesat y \u003d x 3, y \u003d - log 2 x + 1 dhe boshti x.
Zgjidhje
Le të vendosim të gjitha rreshtat në grafik. Grafikun e funksionit y = - log 2 x + 1 mund ta marrim nga grafiku y = log 2 x nëse e vendosim në mënyrë simetrike rreth boshtit x dhe e lëvizim një njësi lart. Ekuacioni i boshtit x y \u003d 0.
Le të shënojmë pikat e kryqëzimit të drejtëzave.
Siç shihet nga figura, grafikët e funksioneve y \u003d x 3 dhe y \u003d 0 kryqëzohen në pikën (0; 0) . Kjo është për shkak se x \u003d 0 është e vetmja rrënjë reale e ekuacionit x 3 \u003d 0.
x = 2 është rrënja e vetme e ekuacionit - log 2 x + 1 = 0 , pra grafikët e funksioneve y = - log 2 x + 1 dhe y = 0 priten në pikën (2 ; 0) .
x = 1 është rrënja e vetme e ekuacionit x 3 = - log 2 x + 1 . Në këtë drejtim, grafikët e funksioneve y \u003d x 3 dhe y \u003d - log 2 x + 1 kryqëzohen në pikën (1; 1) . Deklarata e fundit mund të mos jetë e qartë, por ekuacioni x 3 \u003d - log 2 x + 1 nuk mund të ketë më shumë se një rrënjë, pasi funksioni y \u003d x 3 po rritet rreptësisht, dhe funksioni y \u003d - log 2 x + 1 është rreptësisht në rënie.
Hapi tjetër përfshin disa opsione.
Opsioni numër 1
Figurën G mund ta paraqesim si shumën e dy trapezoidëve lakor të vendosur mbi boshtin e abshisave, i pari prej të cilëve ndodhet poshtë vijës së mesit në segmentin x ∈ 0; 1 , dhe e dyta është nën vijën e kuqe në segmentin x ∈ 1 ; 2. Kjo do të thotë se sipërfaqja do të jetë e barabartë me S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x .
Opsioni numër 2
Figura G mund të paraqitet si diferencë e dy figurave, e para prej të cilave ndodhet mbi boshtin x dhe nën vijën blu në segmentin x ∈ 0; 2, dhe e dyta është midis vijave të kuqe dhe blu në segmentin x ∈ 1; 2. Kjo na lejon të gjejmë zonën si kjo:
S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x
Në këtë rast, për të gjetur zonën, do të duhet të përdorni një formulë të formës S (G) \u003d ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. Në fakt, linjat që lidhin formën mund të përfaqësohen si funksione të argumentit y.
Le të zgjidhim ekuacionet y = x 3 dhe - log 2 x + 1 në lidhje me x:
y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y
Ne marrim zonën e kërkuar:
S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4
Përgjigje: S (G) = 1 ln 2 - 1 4
Shembulli 5
Është e nevojshme të llogaritet zona e figurës, e cila është e kufizuar nga linjat y \u003d x, y \u003d 2 3 x - 3, y \u003d - 1 2 x + 4.
Zgjidhje
Vizatoni një vijë në tabelë me një vijë të kuqe, të dhënë nga funksioni y = x. Vizato vijën y = - 1 2 x + 4 me ngjyrë blu dhe shëno vijën y = 2 3 x - 3 me të zezë.
Vini re pikat e kryqëzimit.
Gjeni pikat e kryqëzimit të grafikëve të funksioneve y = x dhe y = - 1 2 x + 4:
x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 \u003d 144 x 1 \u003d 20 + 144 2 \u003d 16; x 2 = 20 - 144 2 = 4 i është zgjidhja e ekuacionit x 2 = 4 = 2 , - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 është zgjidhja e ekuacionit ⇒ (4 ; 2) pika e prerjes i y = x dhe y = - 1 2 x + 4
Gjeni pikën e kryqëzimit të grafikëve të funksioneve y = x dhe y = 2 3 x - 3:
x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Kontrollo: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 \u003d 2 3 9 - 3 \u003d 3 ⇒ x 1 \u003d 9 është zgjidhja e ekuacionit ⇒ (9; 3) pika dhe kryqëzimi y = x dhe y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2 , 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 nuk është zgjidhje e ekuacionit
Gjeni pikën e prerjes së drejtëzave y = - 1 2 x + 4 dhe y = 2 3 x - 3:
1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 1) pika e prerjes y = - 1 2 x + 4 dhe y = 2 3 x - 3
Metoda numër 1
Ne përfaqësojmë sipërfaqen e figurës së dëshiruar si shumën e sipërfaqeve të figurave individuale.
Atëherë sipërfaqja e figurës është:
S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3
Metoda numër 2
Sipërfaqja e figurës origjinale mund të përfaqësohet si shuma e dy figurave të tjera.
Pastaj zgjidhim ekuacionin e linjës për x, dhe vetëm pas kësaj aplikojmë formulën për llogaritjen e sipërfaqes së figurës.
y = x ⇒ x = y 2 vijë e kuqe y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 vijë e zezë y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i i l i n i i
Pra, zona është:
S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3
Siç mund ta shihni, vlerat përputhen.
Përgjigje: S (G) = 11 3
Rezultatet
Për të gjetur sipërfaqen e një figure që është e kufizuar linjat e dhëna duhet të vizatojmë vija në një plan, të gjejmë pikat e tyre të kryqëzimit, të zbatojmë formulën për të gjetur sipërfaqen. Në këtë seksion, ne kemi shqyrtuar opsionet më të zakonshme për detyrat.
Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter
Ne fillojmë të shqyrtojmë procesin aktual të llogaritjes së integralit të dyfishtë dhe të njihemi me kuptimin e tij gjeometrik.
Integral i dyfishtë numerikisht e barabartë me sipërfaqen figurë e rrafshët (rajonet e integrimit). Kjo është forma më e thjeshtë e integralit të dyfishtë, kur funksioni i dy ndryshoreve është i barabartë me një: .
Le të shqyrtojmë së pari problemin në terma të përgjithshëm. Tani do të habiteni se sa e thjeshtë është me të vërtetë! Le të llogarisim sipërfaqen e një figure të sheshtë të kufizuar me vija. Për definicion, supozojmë se në intervalin . Sipërfaqja e kësaj figure është numerikisht e barabartë me:
Le të përshkruajmë zonën në vizatim:
Le të zgjedhim mënyrën e parë për të anashkaluar zonën:
Kështu:
Dhe menjëherë një truk i rëndësishëm teknik: integralet e përsëritura mund të konsiderohen veçmas. Së pari integrali i brendshëm, pastaj integrali i jashtëm. Kjo metodë rekomandohet shumë për fillestarët në temën e çajnikëve.
1) Llogaritni integralin e brendshëm, ndërsa integrimi kryhet mbi ndryshoren "y":
Integrali i pacaktuar këtu është më i thjeshti dhe më pas përdoret formula banale Njuton-Leibniz, me të vetmin ndryshim që kufijtë e integrimit nuk janë numrat, por funksionet. Së pari, ne zëvendësuam kufirin e sipërm në "y" (funksioni antiderivativ), pastaj kufirin e poshtëm
2) Rezultati i marrë në paragrafin e parë duhet të zëvendësohet në integralin e jashtëm:
Një shënim më kompakt për të gjithë zgjidhjen duket si ky:
Formula që rezulton është pikërisht formula e punës për llogaritjen e sipërfaqes së një figure të sheshtë duke përdorur integralin e caktuar "të zakonshëm"! Shihni mësimin Llogaritja e sipërfaqes duke përdorur një integral të caktuar, ja ku ajo është në çdo hap!
Kjo eshte, problemi i llogaritjes së sipërfaqes duke përdorur një integral të dyfishtë pak ndryshe nga problemi i gjetjes së zonës duke përdorur një integral të caktuar! Në fakt, ata janë një dhe e njëjta gjë!
Prandaj, nuk duhet të lindin vështirësi! Unë nuk do të shqyrtoj shumë shembuj, pasi ju, në fakt, e keni hasur vazhdimisht këtë problem.
Shembulli 9
Zgjidhja: Le të përshkruajmë zonën në vizatim:
Le të zgjedhim rendin e mëposhtëm të kalimit të rajonit:
Këtu dhe më poshtë, nuk do të hyj në mënyrën se si të përshkohet një zonë, sepse paragrafi i parë ishte shumë i detajuar.
Kështu:
Siç e kam vërejtur tashmë, është më mirë që fillestarët të llogarisin integrale të përsëritura veçmas, unë do t'i përmbahem të njëjtës metodë:
1) Së pari, duke përdorur formulën Newton-Leibniz, kemi të bëjmë me integralin e brendshëm:
2) Rezultati i marrë në hapin e parë zëvendësohet në integralin e jashtëm:
Pika 2 është në të vërtetë gjetja e sipërfaqes së një figure të sheshtë duke përdorur një integral të caktuar.
Përgjigje:
Këtu është një detyrë kaq e trashë dhe naive.
Një shembull interesant për zgjidhje e pavarur:
Shembulli 10
Duke përdorur integralin e dyfishtë, llogaritni sipërfaqen e një figure të rrafshët të kufizuar nga vijat, ,
Një shembull i një zgjidhjeje përfundimtare në fund të mësimit.
Në Shembujt 9-10, është shumë më fitimprurëse të përdoret mënyra e parë për të anashkaluar zonën, lexuesit kureshtarë, nga rruga, mund të ndryshojnë rendin e anashkalimit dhe të llogarisin zonat në mënyrën e dytë. Nëse nuk bëni një gabim, atëherë, natyrisht, merren të njëjtat vlera të zonës.
Por në disa raste, mënyra e dytë për të anashkaluar zonën është më efektive, dhe në përfundim të kursit të budallait të ri, le të shohim disa shembuj të tjerë për këtë temë:
Shembulli 11
Duke përdorur integralin e dyfishtë, llogaritni sipërfaqen e një figure të rrafshët të kufizuar me vija.
Zgjidhja: ne po presim me padurim dy parabola me një fllad që shtrihen në anën e tyre. Nuk ka nevojë të buzëqeshni, gjëra të ngjashme në integrale të shumta hasen shpesh.
Cila është mënyra më e lehtë për të bërë një vizatim?
Le ta paraqesim parabolën si dy funksione:
- dega e sipërme dhe - dega e poshtme.
Në mënyrë të ngjashme, ne përfaqësojmë parabolën si degët e sipërme dhe të poshtme.
Sipërfaqja e figurës llogaritet duke përdorur integralin e dyfishtë sipas formulës:
Çfarë ndodh nëse zgjedhim mënyrën e parë për të anashkaluar zonën? Së pari, kjo zonë duhet të ndahet në dy pjesë. Dhe së dyti, do të vëzhgojmë këtë pamje të trishtueshme: . Integralet, natyrisht, nuk janë të një niveli super kompleks, por ... ekziston një thënie e vjetër matematikore: kush është miqësor me rrënjët, nuk ka nevojë për një ndarje.
Prandaj, nga keqkuptimi që jepet në kusht, shprehim funksionet e anasjellta:
Funksionet e anasjellta në këtë shembull kanë avantazhin që vendosin menjëherë të gjithë parabolën pa asnjë gjethe, lis, degë dhe rrënjë.
Sipas metodës së dytë, përshkimi i zonës do të jetë si më poshtë:
Kështu:
Siç thonë ata, ndjeni ndryshimin.
1) Kemi të bëjmë me integralin e brendshëm:
Ne e zëvendësojmë rezultatin në integralin e jashtëm:
Integrimi mbi variablin "y" nuk duhet të jetë i turpshëm, nëse do të kishte një shkronjë "zyu" - do të ishte mirë të integrohej mbi të. Edhe pse kush e lexoi paragrafin e dytë të mësimit Si të llogarisni vëllimin e një trupi rrotullues, nuk përjeton më as sikletin më të vogël me integrimin mbi “y”.
Kushtojini vëmendje edhe hapit të parë: integrani është çift, dhe segmenti i integrimit është simetrik rreth zeros. Prandaj, segmenti mund të përgjysmohet, dhe rezultati mund të dyfishohet. Kjo teknikë komentohet hollësisht në mësim. Metodat efektive llogaritja e një integrali të caktuar.
Çfarë të shtoni…. Të gjitha!
Përgjigje:
Për të testuar teknikën tuaj të integrimit, mund të provoni të llogaritni . Përgjigja duhet të jetë saktësisht e njëjtë.
Shembulli 12
Duke përdorur integralin e dyfishtë, llogaritni sipërfaqen e një figure të rrafshët të kufizuar me vija
Ky është një shembull bëjeni vetë. Është interesante të theksohet se nëse përpiqeni të përdorni mënyrën e parë për të anashkaluar zonën, atëherë figura nuk do të ndahet më në dy, por në tre pjesë! Dhe, në përputhje me rrethanat, marrim tre palë integrale të përsëritura. Ndonjëherë ndodh.
Klasa master ka përfunduar, dhe është koha për të kaluar në nivelin e mjeshtrit të madh - Si të llogaritet integrali i dyfishtë? Shembuj zgjidhjesh. Do të përpiqem të mos jem kaq maniak në artikullin e dytë =)
Ju uroj suksese!
Zgjidhje dhe përgjigje:
Shembulli 2:Zgjidhja:
Vizatoni një zonë në vizatim:
Le të zgjedhim rendin e mëposhtëm të kalimit të rajonit:
Kështu:
Le të kalojmë te funksionet e anasjellta:
Kështu:
Përgjigje:
Shembulli 4:Zgjidhja:
Le të kalojmë te funksionet e drejtpërdrejta:
Le të ekzekutojmë vizatimin:
Le të ndryshojmë rendin e kalimit të zonës:
Përgjigje:
Rendi i kalimit të zonës:
Kështu:
1)
2)
Përgjigje:
Zbatimi i integralit në zgjidhjen e problemeve të aplikuara
Llogaritja e sipërfaqes
Integrali i caktuar i një funksioni të vazhdueshëm jo negativ f(x) është numerikisht i barabartë me zona e një trapezi lakor të kufizuar nga kurba y \u003d f (x), boshti O x dhe vijat e drejta x \u003d a dhe x \u003d b. Prandaj, formula e zonës shkruhet si më poshtë:
Shqyrtoni disa shembuj të llogaritjes së sipërfaqeve të figurave të rrafshët.
Numri i detyrës 1. Llogaritni zonën e kufizuar nga vijat y \u003d x 2 +1, y \u003d 0, x \u003d 0, x \u003d 2.
Zgjidhje. Le të ndërtojmë një figurë, sipërfaqen e së cilës do të duhet të llogarisim.
y \u003d x 2 + 1 është një parabolë, degët e së cilës janë të drejtuara lart, dhe parabola zhvendoset lart me një njësi në lidhje me boshtin O y (Figura 1).
Figura 1. Grafiku i funksionit y = x 2 + 1
Numri i detyrës 2. Llogaritni zonën e kufizuar nga linjat y \u003d x 2 - 1, y \u003d 0 në rangun nga 0 në 1.
 |
Zgjidhje. Grafiku i këtij funksioni është parabola e degës, e cila drejtohet lart, dhe parabola zhvendoset me një njësi poshtë në lidhje me boshtin O y (Figura 2).
Figura 2. Grafiku i funksionit y \u003d x 2 - 1
Detyra numër 3. Bëni një vizatim dhe llogarisni sipërfaqen e figurës së kufizuar me vija
y = 8 + 2x - x 2 dhe y = 2x - 4.
Zgjidhje. E para nga këto dy vija është një parabolë me degë të drejtuara nga poshtë, pasi koeficienti në x 2 është negativ, dhe vija e dytë është një vijë e drejtë që kalon të dy boshtet koordinative.
Për të ndërtuar një parabolë, le të gjejmë koordinatat e kulmit të saj: y'=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – abshisa e kulmit; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 është ordinata e saj, N(1;9) është kulmi i saj.
Tani gjejmë pikat e kryqëzimit të parabolës dhe drejtëzës duke zgjidhur sistemin e ekuacioneve:
Barazimi i anëve të djathta të një ekuacioni, anët e majta të të cilit janë të barabarta.
Ne marrim 8 + 2x - x 2 \u003d 2x - 4 ose x 2 - 12 \u003d 0, nga ku 
.
Pra, pikat janë pikat e kryqëzimit të parabolës dhe vijës së drejtë (Figura 1).
Figura 3 Grafikët e funksioneve y = 8 + 2x – x 2 dhe y = 2x – 4
Të ndërtojmë një drejtëz y = 2x - 4. Ajo kalon nëpër pikat (0;-4), (2; 0) në boshtet koordinative.
Për të ndërtuar një parabolë, mund të keni edhe pikat e saj të kryqëzimit me boshtin 0x, domethënë rrënjët e ekuacionit 8 + 2x - x 2 = 0 ose x 2 - 2x - 8 = 0. Nga teorema Vieta, është lehtë për të gjetur rrënjët e saj: x 1 = 2, x 2 = 4.
Figura 3 tregon një figurë (segment parabolik M 1 N M 2) të kufizuar nga këto vija.
Pjesa e dytë e problemit është gjetja e zonës së kësaj figure. Zona e saj mund të gjendet duke përdorur një integral të caktuar duke përdorur formulën 
.
Në lidhje me këtë kusht, marrim integralin: 
2 Llogaritja e vëllimit të një trupi rrotullues
Vëllimi i trupit të marrë nga rrotullimi i kurbës y \u003d f (x) rreth boshtit O x llogaritet me formulën:
Kur rrotullohet rreth boshtit O y, formula duket si kjo:
Detyra numër 4. Përcaktoni vëllimin e trupit të marrë nga rrotullimi i një trapezi lakor të kufizuar nga vija të drejta x \u003d 0 x \u003d 3 dhe një kurbë y \u003d rreth boshtit O x.
Zgjidhje. Le të ndërtojmë një vizatim (Figura 4).
Figura 4. Grafiku i funksionit y =
Vëllimi i dëshiruar është i barabartë me 
Detyra numër 5. Njehsoni vëllimin e trupit të përftuar nga rrotullimi i një trapezi lakor të kufizuar nga një kurbë y = x 2 dhe drejtëza y = 0 dhe y = 4 rreth boshtit O y.
Zgjidhje. Ne kemi:
Rishikoni pyetjet
Në këtë artikull, do të mësoni se si të gjeni sipërfaqen e një figure të kufizuar nga linjat duke përdorur llogaritjet integrale. Formulimin e një problemi të tillë e hasim për herë të parë në shkollën e mesme, kur sapo ka përfunduar studimi i integraleve të përcaktuar dhe është koha për të vazhduar me interpretimi gjeometrik njohuritë e marra në praktikë.
Pra, çfarë kërkohet për të zgjidhur me sukses problemin e gjetjes së zonës së një figure duke përdorur integrale:
- Aftësia për të vizatuar saktë vizatimet;
- Aftësia për të zgjidhur një integral të caktuar duke përdorur formulën e njohur Newton-Leibniz;
- Aftësia për të "shikuar" një zgjidhje më fitimprurëse - d.m.th. për të kuptuar se si në këtë apo atë rast do të jetë më i përshtatshëm për të kryer integrimin? Përgjatë boshtit x (OX) apo boshtit y (OY)?
- Epo, ku pa llogaritjet e sakta?) Kjo përfshin të kuptuarit se si të zgjidhet ai lloj tjetër i integraleve dhe llogaritjet e sakta numerike.
Algoritmi për zgjidhjen e problemit të llogaritjes së sipërfaqes së një figure të kufizuar me vija:
1. Ne ndërtojmë një vizatim. Këshillohet ta bëni këtë në një copë letre në një kafaz, në një shkallë të gjerë. Ne nënshkruajmë me laps mbi çdo grafik emrin e këtij funksioni. Nënshkrimi i grafikëve bëhet vetëm për lehtësinë e llogaritjeve të mëtejshme. Pasi të keni marrë grafikun e figurës së dëshiruar, në shumicën e rasteve do të jetë menjëherë e qartë se cilët kufij integrimi do të përdoren. Kështu, ne e zgjidhim problemin grafikisht. Sidoqoftë, ndodh që vlerat e kufijve të jenë të pjesshme ose të paarsyeshme. Prandaj, mund të bëni llogaritje shtesë, shkoni në hapin e dytë.
2. Nëse kufijtë e integrimit nuk janë vendosur në mënyrë eksplicite, atëherë gjejmë pikat e kryqëzimit të grafikëve me njëri-tjetrin dhe shohim nëse zgjidhja jonë grafike përputhet me atë analitike.
3. Tjetra, ju duhet të analizoni vizatimin. Varësisht se si janë vendosur grafikët e funksionit, ekzistojnë qasje të ndryshme për të gjetur sipërfaqen e një figure. Konsideroni shembuj të ndryshëm për të gjetur sipërfaqen e një figure duke përdorur integrale.
3.1. Versioni më klasik dhe më i thjeshtë i problemit është kur ju duhet të gjeni zonën e një trapezi lakor. Çfarë është një trapez lakor? Kjo është një figurë e sheshtë e kufizuar nga boshti x (y=0), drejt x = a, x = b dhe çdo kurbë e vazhdueshme në intervalin nga a përpara b. Në të njëjtën kohë, kjo shifër është jo negative dhe ndodhet jo më e ulët se boshti x. Në këtë rast, zona e trapezit lakor është numerikisht e barabartë me integralin e caktuar të llogaritur duke përdorur formulën Newton-Leibniz:
Shembulli 1 y = x2 - 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.
Cilat rreshta përcaktojnë figurën? Ne kemi një parabolë y = x2 - 3x + 3, i cili ndodhet mbi bosht Oh, është jo negative, sepse të gjitha pikat e kësaj parabole janë pozitive. Tjetra, jepen linjat e drejta x = 1 Dhe x = 3 që shkojnë paralel me boshtin OU, janë vijat kufizuese të figurës majtas dhe djathtas. Epo y = 0, ajo është boshti x, i cili kufizon figurën nga poshtë. Figura që rezulton është e hijezuar, siç shihet në figurën në të majtë. Në këtë rast, menjëherë mund të filloni të zgjidhni problemin. Para nesh është një shembull i thjeshtë i një trapezi lakor, të cilin më pas e zgjidhim duke përdorur formulën Newton-Leibniz.
3.2. Në paragrafin e mëparshëm 3.1, është analizuar rasti kur trapezi lakor ndodhet mbi boshtin x. Tani merrni parasysh rastin kur kushtet e problemit janë të njëjta, përveç se funksioni shtrihet nën boshtin x. Një minus i shtohet formulës standarde të Newton-Leibniz. Si ta zgjidhim një problem të tillë, ne do të shqyrtojmë më tej.
Shembulli 2 . Llogaritni sipërfaqen e një figure të kufizuar me vija y=x2+6x+2, x=-4, x=-1, y=0.
Në këtë shembull, ne kemi një parabolë y=x2+6x+2, e cila buron nga nën bosht Oh, drejt x=-4, x=-1, y=0. Këtu y = 0 kufizon figurën e dëshiruar nga lart. Direkt x = -4 Dhe x = -1 këto janë kufijtë brenda të cilëve do të llogaritet integrali i caktuar. Parimi i zgjidhjes së problemit të gjetjes së zonës së një figure pothuajse plotësisht përkon me shembullin numër 1. I vetmi ndryshim është se funksioni i dhënë nuk është pozitiv, dhe është gjithashtu i vazhdueshëm në interval [-4; -1] . Çfarë do të thotë jo pozitive? Siç shihet nga figura, figura që shtrihet brenda x-it të dhënë ka ekskluzivisht koordinata "negative", që është ajo që duhet të shohim dhe të kujtojmë kur zgjidhim problemin. Ne jemi duke kërkuar për zonën e figurës duke përdorur formulën Newton-Leibniz, vetëm me një shenjë minus në fillim.
Artikulli nuk është i plotësuar.
Tani i drejtohemi shqyrtimit të aplikimeve të llogaritjes integrale. Në këtë mësim, ne do të analizojmë një detyrë tipike dhe më të zakonshme. llogaritja e sipërfaqes së një figure të sheshtë duke përdorur një integral të caktuar. Më në fund, të gjithë ata që kërkojnë kuptim në matematikën e lartë - le ta gjejnë atë. Ju kurrë nuk e dini. Në jetën reale, do t'ju duhet të përafroni një vilë verore me funksione elementare dhe të gjeni zonën e saj duke përdorur një integral të caktuar.
Për të zotëruar me sukses materialin, duhet:
1) Kuptoni integralin e pacaktuar të paktën në një nivel të ndërmjetëm. Kështu, dummies duhet së pari të lexojnë mësimin Jo.
2) Të jetë në gjendje të zbatojë formulën Njuton-Leibniz dhe të llogarisë integralin e caktuar. Mund të krijoni marrëdhënie të ngrohta miqësore me integrale të caktuara në faqe Integral i caktuar. Shembuj zgjidhjesh. Detyra "llogaritja e zonës duke përdorur një integral të caktuar" përfshin gjithmonë ndërtimin e një vizatimi Prandaj, njohuritë dhe aftësitë tuaja në vizatim do të jenë gjithashtu një çështje urgjente. Së paku, duhet të jetë në gjendje të ndërtojë një vijë të drejtë, një parabolë dhe një hiperbolë.
Le të fillojmë me një trapezoid lakor. Një trapez lakor është një figurë e sheshtë e kufizuar nga grafiku i një funksioni y = f(x), boshti OK dhe linjat x = a; x = b.
Zona e një trapezi lakor është numerikisht e barabartë me një integral të caktuar
Çdo integral i caktuar (që ekziston) ka një kuptim shumë të mirë gjeometrik. Në mësim Integral i caktuar. Shembuj zgjidhjesh thamë se një integral i caktuar është një numër. Dhe tani është koha për të theksuar një tjetër fakt të dobishëm. Nga pikëpamja e gjeometrisë, integrali i caktuar është SIPËRMARRJA. Kjo eshte, integrali i caktuar (nëse ekziston) korrespondon gjeometrikisht me sipërfaqen e një figure. Merrni parasysh integralin e caktuar
Integrand
përcakton një kurbë në aeroplan (mund të vizatohet nëse dëshironi), dhe vetë integrali i caktuar është numerikisht i barabartë me sipërfaqen e trapezoidit lakor përkatës.
Shembulli 1
, , , .
Kjo është një deklaratë tipike e detyrës. Pika më e rëndësishme e vendimit është ndërtimi i një vizatimi. Për më tepër, vizatimi duhet të ndërtohet E DREJTË.
Kur ndërtoni një plan, unë rekomandoj rendin e mëposhtëm: ne fillimështë më mirë të ndërtohen të gjitha linjat (nëse ka) dhe vetëm Pastaj- parabola, hiperbola, grafikë të funksioneve të tjera. Teknika e ndërtimit pikë për pikë mund të gjendet në materialin referues Grafikët dhe vetitë e funksioneve elementare. Aty mund të gjeni edhe material që është shumë i dobishëm në lidhje me mësimin tonë - si të ndërtoni shpejt një parabolë.
Në këtë problem, zgjidhja mund të duket kështu.
Le të bëjmë një vizatim (vini re se ekuacioni y= 0 specifikon boshtin OK):
Ne nuk do të çelim trapezin lakor, është e qartë se për cilën zonë po flasim këtu. Zgjidhja vazhdon kështu:
Në intervalin [-2; 1] grafiku i funksionit y = x 2 + 2 ndodhet mbi boshtOK, Kjo është arsyeja pse:
Përgjigje: .
Kush ka vështirësi në llogaritjen e integralit të caktuar dhe zbatimin e formulës Njuton-Leibniz
,
referojuni ligjëratës Integral i caktuar. Shembuj zgjidhjesh. Pas përfundimit të detyrës, është gjithmonë e dobishme të shikoni vizatimin dhe të kuptoni nëse përgjigja është e vërtetë. Në këtë rast, "me sy" ne numërojmë numrin e qelizave në vizatim - mirë, rreth 9 do të shtypen, duket të jetë e vërtetë. Është shumë e qartë se nëse do të kishim, të themi, përgjigjen: 20 njësi katrore, atëherë, padyshim, diku është bërë një gabim - 20 qeliza nuk përshtaten qartë në figurën në fjalë, më së shumti një duzinë. Nëse përgjigja doli të jetë negative, atëherë detyra u zgjidh gjithashtu gabimisht.
Shembulli 2
Llogaritni sipërfaqen e një figure të kufizuar me vija xy = 4, x = 2, x= 4 dhe boshti OK.
Ky është një shembull bëjeni vetë. Zgjidhje e plotë dhe përgjigja në fund të orës së mësimit.
Çfarë duhet të bëni nëse ndodhet trapezi lakor nën boshtOK?
Shembulli 3
Llogaritni sipërfaqen e një figure të kufizuar me vija y = e-x, x= 1 dhe boshtet e koordinatave.
Zgjidhja: Le të bëjmë një vizatim:
Nëse një trapez lakor plotësisht nën bosht OK , atëherë zona e saj mund të gjendet me formulën:
Në këtë rast:
.
Kujdes! Dy llojet e detyrave nuk duhet të ngatërrohen:
1) Nëse ju kërkohet të zgjidhni vetëm një integral të caktuar pa ndonjë kuptim gjeometrik, atëherë ai mund të jetë negativ.
2) Nëse ju kërkohet të gjeni sipërfaqen e një figure duke përdorur një integral të caktuar, atëherë zona është gjithmonë pozitive! Kjo është arsyeja pse minus shfaqet në formulën e sapo shqyrtuar.
Në praktikë, më shpesh figura është e vendosur në të dy rrafshët e sipërm dhe të poshtëm, dhe për këtë arsye, nga problemet më të thjeshta të shkollës, kalojmë në shembuj më kuptimplotë.
Shembulli 4
Gjeni sipërfaqen e një figure të rrafshët të kufizuar me vija y = 2x – x 2 , y = -x.
Zgjidhja: Së pari ju duhet të bëni një vizatim. Kur ndërtojmë një vizatim në problemet e zonës, ne jemi më të interesuar në pikat e kryqëzimit të vijave. Gjeni pikat e kryqëzimit të parabolës y = 2x – x 2 dhe drejt y = -x. Kjo mund të bëhet në dy mënyra. Mënyra e parë është analitike. Ne zgjidhim ekuacionin:
Pra, kufiri i poshtëm i integrimit a= 0, kufiri i sipërm i integrimit b= 3. Shpesh është më fitimprurëse dhe më e shpejtë ndërtimi i linjave pikë për pikë, ndërsa kufijtë e integrimit zbulohen sikur "vetë". Megjithatë, metoda analitike e gjetjes së kufijve ende ndonjëherë duhet të përdoret nëse, për shembull, grafiku është mjaft i madh, ose ndërtimi i filetuar nuk zbulon kufijtë e integrimit (ato mund të jenë të pjesshëm ose të paarsyeshëm). Ne i kthehemi detyrës sonë: është më racionale që së pari të ndërtojmë një vijë të drejtë dhe vetëm më pas një parabolë. Le të bëjmë një vizatim:
Përsërisim se në ndërtimin pikësor, kufijtë e integrimit më së shpeshti zbulohen "automatikisht".
Dhe tani formula e punës:
Nëse në intervalin [ a; b] disa funksione të vazhdueshme f(x) më i madh ose i barabartë disa funksione të vazhdueshme g(x), atëherë zona e figurës përkatëse mund të gjendet me formulën:
Këtu nuk është më e nevojshme të mendosh se ku ndodhet figura - mbi bosht ose nën bosht, por ka rëndësi se cili grafik është SIPER(në lidhje me një grafik tjetër), dhe cila është POSHTË.
Në shembullin në shqyrtim, është e qartë se në segment parabola ndodhet mbi vijën e drejtë, dhe për këtë arsye nga 2 x – x 2 duhet të zbritet - x.
Përfundimi i zgjidhjes mund të duket si ky:
Shifra e dëshiruar është e kufizuar nga një parabolë y = 2x – x 2 lart dhe drejt y = -x nga poshtë.
Në segmentin 2 x – x 2 ≥ -x. Sipas formulës përkatëse:
Përgjigje: .
Në fakt, formula e shkollës për sipërfaqen e një trapezi lakor në gjysmëplanin e poshtëm (shih shembullin nr. 3) është një rast i veçantë i formulës
.
Që nga boshti OK jepet nga ekuacioni y= 0, dhe grafiku i funksionit g(x) ndodhet poshtë boshtit OK, Kjo
.
Dhe tani disa shembuj për një zgjidhje të pavarur
Shembulli 5
Shembulli 6
Gjeni sipërfaqen e një figure të kufizuar me vija
Gjatë zgjidhjes së problemeve për llogaritjen e zonës duke përdorur një integral të caktuar, ndonjëherë ndodh një incident qesharak. Vizatimi ishte bërë saktë, llogaritjet ishin të sakta, por, për shkak të pavëmendjes, ... gjeti zonën e figurës së gabuar.
Shembulli 7
Le të vizatojmë së pari:
Figura, zona e së cilës duhet të gjejmë është e hijezuar me ngjyrë blu.(shikoni me kujdes gjendjen - si është e kufizuar shifra!). Por në praktikë, për shkak të pavëmendjes, ata shpesh vendosin që duhet të gjejnë zonën e figurës që është e hijezuar në të gjelbër!
Ky shembull është gjithashtu i dobishëm në atë që në të sipërfaqja e figurës llogaritet duke përdorur dy integrale të përcaktuara. Vërtet:
1) Në segmentin [-1; 1] mbi bosht OK grafiku është i drejtë y = x+1;
2) Në segmentin mbi bosht OK gjendet grafiku i hiperbolës y = (2/x).
Është mjaft e qartë se zonat mund (dhe duhet) të shtohen, prandaj:
Përgjigje:
Shembulli 8
Llogaritni sipërfaqen e një figure të kufizuar me vija
Le t'i paraqesim ekuacionet në formën "shkollë".
dhe bëni vizatimin e vijës:
Mund të shihet nga vizatimi se kufiri ynë i sipërm është "i mirë": b = 1.
Por cili është kufiri i poshtëm? Është e qartë se ky nuk është një numër i plotë, por çfarë?
Ndoshta, a=(-1/3)? Por ku është garancia që vizatimi është bërë me saktësi të përsosur, mund të rezultojë se kjo a= (-1/4). Po sikur të mos e merrnim fare grafikun si duhet?
Në raste të tilla, njeriu duhet të shpenzojë kohë shtesë dhe të përsosë kufijtë e integrimit në mënyrë analitike.
Gjeni pikat e kryqëzimit të grafikëve
Për ta bërë këtë, ne zgjidhim ekuacionin:
.
Prandaj, a=(-1/3).
Zgjidhja e mëtejshme është e parëndësishme. Gjëja kryesore është të mos ngatërroheni në zëvendësime dhe shenja. Llogaritjet këtu nuk janë më të lehtat. Në segmentin
, 
,
sipas formulës përkatëse:
Përgjigje: 
Në përfundim të mësimit, ne do të konsiderojmë dy detyra më të vështira.
Shembulli 9
Llogaritni sipërfaqen e një figure të kufizuar me vija
Zgjidhje: Vizatoni këtë figurë në vizatim.
Për të nxjerrë një vizatim pikë për pikë, duhet të dini pamjen e sinusoidit. Në përgjithësi, është e dobishme të njihni grafikët e të gjitha funksioneve elementare, si dhe disa vlera të sinusit. Ato mund të gjenden në tabelën e vlerave funksionet trigonometrike. Në disa raste (për shembull, në këtë rast), lejohet të ndërtohet një vizatim skematik, në të cilin grafikët dhe kufijtë e integrimit duhet të shfaqen në parim në mënyrë korrekte.
Këtu nuk ka probleme me kufijtë e integrimit, ato rrjedhin drejtpërdrejt nga kushti:
- "x" ndryshon nga zero në "pi". Ne marrim një vendim të mëtejshëm:
Në segment, grafiku i funksionit y= mëkat 3 x ndodhet mbi bosht OK, Kjo është arsyeja pse:
(1) Mund të shihni se si sinuset dhe kosinuset janë integruar në fuqi teke në mësim Integrale të funksioneve trigonometrike. Ne heqim një sinus.
(2) Ne përdorim identitetin bazë trigonometrik në formë
(3) Le të ndryshojmë variablin t= cos x, atëherë: ndodhet mbi boshtin , pra:
.
.
Shënim: vini re se si merret integrali i tangjentes në kub, këtu përdoret pasoja e identitetit bazë trigonometrik
.
