Krijim

Figurat me vija të kufizuara. Llogaritni sipërfaqen e një figure shembuj. Vëllimi i një trupi revolucioni

Në këtë artikull do të mësoni se si të gjeni sipërfaqen e një figure të kufizuar nga vija duke përdorur llogaritjet integrale. Formulimin e një problemi të tillë e hasim për herë të parë në shkollën e mesme, kur sapo kemi përfunduar studimin e integraleve të përcaktuar dhe është koha për të filluar. interpretimi gjeometrik njohuritë e fituara në praktikë.

Pra, çfarë kërkohet për të zgjidhur me sukses problemin e gjetjes së sipërfaqes së një figure duke përdorur integrale:

Aftësia për të bërë vizatime kompetente;
Aftësia për të zgjidhur një integral të caktuar duke përdorur formulën e njohur Newton-Leibniz;
Aftësia për të "shikuar" një opsion zgjidhjeje më fitimprurëse - d.m.th. kuptoni se si në një rast apo në një tjetër do të jetë më i përshtatshëm për të kryer integrimin? Përgjatë boshtit x (OX) apo boshtit y (OY)?
Epo, ku do të ishim pa llogaritjet e sakta?) Kjo përfshin të kuptuarit se si të zgjidhni atë lloj tjetër të integraleve dhe llogaritjet e sakta numerike.

Algoritmi për zgjidhjen e problemit të llogaritjes së sipërfaqes së një figure të kufizuar me vija:

1. Ne po ndërtojmë një vizatim. Këshillohet që ta bëni këtë në një copë letre me kuadrate, në shkallë të gjerë. Ne nënshkruajmë emrin e këtij funksioni me një laps mbi çdo grafik. Nënshkrimi i grafikëve bëhet vetëm për lehtësinë e llogaritjeve të mëtejshme. Pasi të keni marrë një grafik të figurës së dëshiruar, në shumicën e rasteve do të jetë menjëherë e qartë se cilat kufij të integrimit do të përdoren. Kështu, ne e zgjidhim problemin grafikisht. Sidoqoftë, ndodh që vlerat e kufijve të jenë të pjesshme ose të paarsyeshme. Prandaj, mund të bëni llogaritje shtesë, shkoni në hapin e dytë.

2. Nëse kufijtë e integrimit nuk janë specifikuar në mënyrë eksplicite, atëherë gjejmë pikat e kryqëzimit të grafikëve me njëri-tjetrin dhe shohim nëse zgjidhja jonë grafike përkon me atë analitike.

3. Tjetra, ju duhet të analizoni vizatimin. Varësisht se si janë renditur grafikët e funksionit, ekzistojnë qasje të ndryshme për të gjetur sipërfaqen e një figure. Le të shqyrtojmë shembuj të ndryshëm për gjetjen e sipërfaqes së një figure duke përdorur integrale.

3.1. Versioni më klasik dhe më i thjeshtë i problemit është kur ju duhet të gjeni zonën trapezoid i lakuar. Çfarë është një trapez i lakuar? Kjo është një figurë e sheshtë e kufizuar nga boshti x (y = 0), drejt x = a, x = b dhe çdo kurbë e vazhdueshme në intervalin nga a përpara b. Për më tepër, kjo shifër është jo negative dhe ndodhet jo nën boshtin x. Në këtë rast, zona e trapezit lakor është numerikisht e barabartë me një integral të caktuar, të llogaritur duke përdorur formulën Newton-Leibniz:

Shembulli 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Me cilat vija kufizohet figura? Kemi një parabolë y = x2 – 3x + 3, e cila ndodhet mbi bosht Oh, është jo negative, sepse të gjitha pikat e kësaj parabole kanë vlera pozitive. Tjetra, jepen linjat e drejta x = 1 Dhe x = 3, të cilat shkojnë paralelisht me boshtin OU, janë vijat kufitare të figurës majtas dhe djathtas. Epo y = 0, është edhe boshti x, i cili kufizon figurën nga poshtë. Figura që rezulton është e hijezuar, siç mund të shihet nga figura në të majtë. Në këtë rast, ju mund të filloni menjëherë zgjidhjen e problemit. Para nesh është një shembull i thjeshtë i një trapezi të lakuar, të cilin më tej e zgjidhim duke përdorur formulën Newton-Leibniz.

3.2. Në paragrafin e mëparshëm 3.1 shqyrtuam rastin kur një trapez i lakuar ndodhet mbi boshtin x. Tani merrni parasysh rastin kur kushtet e problemit janë të njëjta, përveç se funksioni shtrihet nën boshtin x. Një minus i shtohet formulës standarde të Newton-Leibniz. Ne do të shqyrtojmë se si ta zgjidhim një problem të tillë më poshtë.

Shembulli 2 . Llogaritni sipërfaqen e një figure të kufizuar me vija y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

Në këtë shembull kemi një parabolë y = x2 + 6x + 2, e cila buron nga boshti Oh, drejt x = -4, x = -1, y = 0. Këtu y = 0 kufizon figurën e dëshiruar nga lart. Direkt x = -4 Dhe x = -1 këta janë kufijtë brenda të cilëve do të llogaritet integrali i caktuar. Parimi i zgjidhjes së problemit të gjetjes së sipërfaqes së një figure pothuajse plotësisht përkon me shembullin numër 1. I vetmi ndryshim është se funksioni i dhënë nuk është pozitiv dhe është gjithashtu i vazhdueshëm në interval [-4; -1] . Çfarë do të thotë jo pozitive? Siç shihet nga figura, figura që shtrihet brenda x-ve të dhëna ka ekskluzivisht koordinata "negative", gjë që duhet të shohim dhe të mbajmë mend kur zgjidhim problemin. Ne kërkojmë sipërfaqen e figurës duke përdorur formulën Newton-Leibniz, vetëm me një shenjë minus në fillim.

Artikulli nuk është i plotësuar.

Çdo integral i caktuar (që ekziston) ka një kuptim shumë të mirë gjeometrik. Në klasë thashë se një integral i caktuar është një numër. Dhe tani është koha për të theksuar një tjetër fakt të dobishëm. Nga pikëpamja e gjeometrisë, integrali i caktuar është SIPËRMARRJA.

Kjo eshte, integrali i caktuar (nëse ekziston) korrespondon gjeometrikisht me sipërfaqen e një figure të caktuar. Për shembull, merrni parasysh integralin e caktuar. Integrandi përcakton një kurbë të caktuar në aeroplan (ajo gjithmonë mund të vizatohet nëse dëshironi), dhe vetë integrali i caktuar është numerikisht i barabartë me sipërfaqen e trapezoidit lakor përkatës.

Shembulli 1

Kjo është një deklaratë tipike e detyrës. Pika e parë dhe më e rëndësishme në vendim është ndërtimi i një vizatimi. Për më tepër, vizatimi duhet të ndërtohet E DREJTË.

Kur ndërtoni një vizatim, unë rekomandoj rendin e mëposhtëm: ne fillimështë më mirë të ndërtohen të gjitha vijat e drejta (nëse ekzistojnë) dhe vetëm Pastaj– parabola, hiperbola, grafikë të funksioneve të tjera. Është më fitimprurëse të ndërtosh grafikët e funksioneve pikë për pikë, teknika e ndërtimit pikë për pikë mund të gjendet në materialin referues.

Aty mund të gjeni gjithashtu material shumë të dobishëm për mësimin tonë - si të ndërtoni shpejt një parabolë.

Në këtë problem, zgjidhja mund të duket kështu.
Le të vizatojmë vizatimin (vini re se ekuacioni përcakton boshtin):

Nuk do ta bëj hije trapezin e lakuar, këtu është e qartë se për cilën zonë po flasim. Zgjidhja vazhdon kështu:

Në segment ndodhet grafiku i funksionit mbi bosht, Kjo është arsyeja pse:

Përgjigje:

Kush ka vështirësi në llogaritjen e integralit të caktuar dhe zbatimin e formulës Newton-Leibniz, ju lutemi referojuni ligjëratës Integral i caktuar. Shembuj zgjidhjesh.

Pas përfundimit të detyrës, është gjithmonë e dobishme të shikoni vizatimin dhe të kuptoni nëse përgjigjja është e vërtetë. Në këtë rast, ne numërojmë numrin e qelizave në vizatim "me sy" - mirë, do të jenë rreth 9, duket të jetë e vërtetë. Është plotësisht e qartë se nëse marrim, le të themi, përgjigjen: 20 njësi katrore, atëherë është e qartë se diku është bërë një gabim - 20 qeliza nuk përshtaten qartë në figurën në fjalë, më së shumti një duzinë. Nëse përgjigja është negative, atëherë edhe detyra është zgjidhur gabimisht.

Shembulli 2

Llogaritni sipërfaqen e një figure të kufizuar me vija, , dhe bosht

Ky është një shembull për vendim i pavarur. Zgjidhje e plotë dhe përgjigja në fund të orës së mësimit.

Çfarë duhet të bëni nëse ndodhet trapezi i lakuar nën bosht?

Shembulli 3

Llogaritni sipërfaqen e figurës të kufizuar nga vijat dhe boshtet e koordinatave.

Zgjidhja: Le të bëjmë një vizatim:

Nëse një trapez i lakuar të vendosura plotësisht nën bosht, atëherë zona e saj mund të gjendet duke përdorur formulën:
Në këtë rast:

Kujdes! Dy llojet e detyrave nuk duhet të ngatërrohen:

1) Nëse ju kërkohet të zgjidhni thjesht një integral të caktuar pa asnjë kuptimi gjeometrik, atëherë mund të jetë negativ.

2) Nëse ju kërkohet të gjeni sipërfaqen e një figure duke përdorur një integral të caktuar, atëherë zona është gjithmonë pozitive! Kjo është arsyeja pse minus shfaqet në formulën e sapo diskutuar.

Në praktikë, më shpesh figura është e vendosur në gjysmën e sipërme dhe të poshtme, dhe për këtë arsye, nga problemet më të thjeshta të shkollës kalojmë në shembuj më kuptimplotë.

Shembulli 4

Gjeni sipërfaqen e një figure të rrafshët të kufizuar nga vijat, .

Zgjidhja: Së pari ju duhet të bëni një vizatim. Në përgjithësi, kur ndërtojmë një vizatim në problemet e zonës, ne jemi më të interesuar në pikat e kryqëzimit të vijave. Le të gjejmë pikat e kryqëzimit të parabolës dhe vijës së drejtë. Kjo mund të bëhet në dy mënyra. Metoda e parë është analitike. Ne zgjidhim ekuacionin:

Kjo do të thotë se kufiri i poshtëm i integrimit është, kufiri i sipërm i integrimit është.
Është më mirë të mos e përdorni këtë metodë, nëse është e mundur.

Është shumë më fitimprurëse dhe më e shpejtë të ndërtosh linja pikë për pikë, dhe kufijtë e integrimit bëhen të qarta “vetëvetiu”. Teknika e ndërtimit pikë për pikë për grafikë të ndryshëm është diskutuar në detaje në ndihmë Grafikët dhe vetitë e funksioneve elementare. Sidoqoftë, metoda analitike e gjetjes së kufijve nganjëherë duhet të përdoret ende nëse, për shembull, grafiku është mjaft i madh, ose ndërtimi i detajuar nuk zbulon kufijtë e integrimit (ato mund të jenë të pjesshëm ose të paarsyeshëm). Dhe ne gjithashtu do të shqyrtojmë një shembull të tillë.

Le të kthehemi në detyrën tonë: është më racionale të ndërtojmë fillimisht një vijë të drejtë dhe vetëm më pas një parabolë. Le të bëjmë vizatimin:

E përsëris që kur ndërtohet në drejtim të pikës, kufijtë e integrimit më së shpeshti zbulohen "automatikisht".

Dhe tani formula e punës: Nëse në një segment ka ndonjë funksion të vazhdueshëm më i madh ose i barabartë me disa funksion të vazhdueshëm, atëherë zona e figurës përkatëse mund të gjendet duke përdorur formulën:

Këtu nuk keni më nevojë të mendoni se ku ndodhet figura - mbi bosht ose nën bosht, dhe, përafërsisht, ka rëndësi se cili grafik është MË I LARTË(në lidhje me një grafik tjetër), dhe cila është POSHTË.

Në shembullin në shqyrtim, është e qartë se në segment parabola ndodhet mbi vijën e drejtë, dhe për këtë arsye është e nevojshme të zbritet nga

Zgjidhja e përfunduar mund të duket si kjo:

Shifra e dëshiruar kufizohet nga një parabolë sipër dhe një vijë e drejtë poshtë.

Përgjigje:

Në fakt, formula e shkollës për sipërfaqen e një trapezi lakor në gjysmëplanin e poshtëm (shih shembullin e thjeshtë nr. 3) është rast i veçantë formulat Meqenëse boshti specifikohet nga ekuacioni dhe grafiku i funksionit ndodhet poshtë boshtit, atëherë

Dhe tani disa shembuj për zgjidhjen tuaj

Shembulli 5

Shembulli 6

Gjeni sipërfaqen e figurës të kufizuar nga vijat, .

Kur zgjidhni probleme që përfshijnë llogaritjen e sipërfaqes duke përdorur një integral të caktuar, ndonjëherë ndodh një incident qesharak. Vizatimi është bërë saktë, llogaritjet kanë qenë të sakta, por nga pakujdesia... u gjet zona e figurës së gabuar, kjo është pikërisht mënyra se si shërbëtori yt i përulur e ka prishur disa herë. Këtu është një rast real:

Shembulli 7

Llogaritni sipërfaqen e figurës së kufizuar nga vijat , , , .

Së pari le të bëjmë një vizatim:

Figura, zona e së cilës duhet të gjejmë është e hijezuar në blu(Shikoni me kujdes gjendjen - si është e kufizuar shifra!). Por në praktikë, për shkak të pavëmendjes, shpesh lind që ju duhet të gjeni zonën e një figure që është e hijezuar jeshile!

Ky shembull është gjithashtu i dobishëm sepse llogarit sipërfaqen e një figure duke përdorur dy integrale të përcaktuara. Vërtet:

1) Në segmentin mbi bosht ka një grafik të një vije të drejtë;

2) Në segmentin mbi bosht ka një grafik të një hiperbole.

Është mjaft e qartë se zonat mund (dhe duhet) të shtohen, prandaj:

Përgjigje:

Shembulli 8

Llogaritni sipërfaqen e një figure të kufizuar me vija,
Le t'i paraqesim ekuacionet në formën "shkollë" dhe të bëjmë një vizatim pikë për pikë:

Nga vizatimi duket qartë se kufiri ynë i sipërm është "i mirë": .
Por cili është kufiri i poshtëm?! Është e qartë se ky nuk është një numër i plotë, por çfarë është? Ndoshta ? Por ku është garancia që vizatimi të jetë bërë me saktësi të përsosur, mund të rezultojë se... Ose rrënjën. Po sikur ta ndërtojmë grafikun gabimisht?

Në raste të tilla, duhet të shpenzoni kohë shtesë dhe të sqaroni kufijtë e integrimit në mënyrë analitike.

Le të gjejmë pikat e kryqëzimit të një drejtëze dhe një parabole.
Për ta bërë këtë, ne zgjidhim ekuacionin:

Prandaj, .

Zgjidhja e mëtejshme është e parëndësishme, gjëja kryesore është të mos ngatërroheni në zëvendësime dhe shenja, llogaritjet këtu nuk janë më të thjeshtat.

Në segment, sipas formulës përkatëse:

Epo, për të përfunduar mësimin, le të shohim dy detyra më të vështira.

Shembulli 9

Llogaritni sipërfaqen e figurës së kufizuar nga vijat, ,

Zgjidhja: Le ta përshkruajmë këtë figurë në vizatim.

Për të ndërtuar një vizatim pikë për pikë, duhet të dini pamjen e një sinusoidi (dhe në përgjithësi është e dobishme të dini grafikët e të gjitha funksioneve elementare), si dhe disa vlera sinus, ato mund të gjenden në tabelë trigonometrike. Në disa raste (si në këtë rast), është e mundur të ndërtohet një vizatim skematik, mbi të cilin grafikët dhe kufijtë e integrimit duhet të shfaqen në themel të saktë.

Këtu nuk ka probleme me kufijtë e integrimit, ato rrjedhin drejtpërdrejt nga kushti: "x" ndryshon nga zero në "pi". Le të marrim një vendim të mëtejshëm:

Në segment, grafiku i funksionit ndodhet mbi bosht, prandaj:

(1) Mund të shihni se si sinuset dhe kosinuset janë integruar në fuqi teke në mësim Integrale nga funksionet trigonometrike . Kjo është një teknikë tipike, ne heqim një sinus.

(2) Ne përdorim identitetin kryesor trigonometrik në formë

(3) Le të ndryshojmë variablin , më pas:

Fushat e reja të integrimit:

Kushdo që është vërtet keq me zëvendësimet, ju lutemi të merrni një mësim. Metoda e zëvendësimit në integral të pacaktuar. Për ata që nuk e kuptojnë plotësisht algoritmin e zëvendësimit në një integral të caktuar, vizitoni faqen Integral i caktuar. Shembuj zgjidhjesh. Shembulli 5: Zgjidhja: , pra:

Përgjigje:

Shënim: vini re se si merret integrali i kubit tangjent këtu përdoret një rrjedhim i identitetit bazë trigonometrik.

Kthehu përpara

Kujdes! Pamjet paraprake të diapozitivëve janë vetëm për qëllime informative dhe mund të mos përfaqësojnë të gjitha tiparet e prezantimit. Nëse jeni të interesuar për këtë punë, ju lutemi shkarkoni versionin e plotë.

Fjalë kyçe: integral, trapezoid lakor, zona e figurave të kufizuara nga zambakë

Pajisjet: pllakë shënjuese, kompjuter, projektor multimedial

Lloji i mësimit: mësim-ligjëratë

Objektivat e mësimit:

arsimore: të krijojë një kulturë të punës mendore, të krijojë një situatë suksesi për secilin nxënës dhe të krijojë motivim pozitiv për të mësuar; të zhvillojë aftësinë për të folur dhe dëgjuar të tjerët.
duke zhvilluar: formimi i të menduarit të pavarur të studentit në zbatimin e njohurive në situata të ndryshme, aftësia për të analizuar dhe nxjerrë përfundime, zhvillimi i logjikës, zhvillimi i aftësisë për të bërë saktë pyetje dhe për të gjetur përgjigje për to. Përmirësimi i formimit të aftësive llogaritëse dhe llogaritëse, zhvillimi i të menduarit të studentëve gjatë përfundimit të detyrave të propozuara, zhvillimi i një kulture algoritmike.
arsimore: për të formuar koncepte për një trapez lakor, për një integral, për të zotëruar aftësitë e llogaritjes së sipërfaqeve të figurave të rrafshët.

Metoda e mësimdhënies: shpjeguese dhe ilustruese.

Gjatë orëve të mësimit

Në klasat e mëparshme mësuam të llogarisim sipërfaqet e figurave, kufijtë e të cilëve janë vija të thyera. Në matematikë, ka metoda që ju lejojnë të llogaritni zonat e figurave të kufizuara nga kthesa. Shifra të tilla quhen trapezoide lakor, dhe zona e tyre llogaritet duke përdorur antiderivativë.

trapezoid lakor ( rrëshqitje 1)

Një trapez i lakuar është një figurë e kufizuar nga grafiku i një funksioni, ( sh.m.), drejt x = a Dhe x = b dhe boshti x

Lloje të ndryshme trapezoidësh të lakuar ( rrëshqitje 2)

Ne konsiderojmë lloje të ndryshme të trapezoidëve lakor dhe vërejmë: njëra nga vijat e drejta është degjeneruar në një pikë, rolin e funksionit kufizues e luan vija e drejtë.

Zona e një trapezi të lakuar (rrëshqitje 3)

Le të rregullojmë skajin e majtë të intervalit A, dhe i duhuri X do të ndryshojmë, d.m.th., lëvizim murin e djathtë të trapezit lakor dhe marrim një figurë në ndryshim. Zona e një trapezi lakor të ndryshueshëm të kufizuar nga grafiku i funksionit është një antiderivativ F për funksion f

Dhe në segmentin [ a; b] zona e një trapezi lakor të formuar nga funksioni f,është e barabartë me rritjen e antiderivativit të këtij funksioni:

Ushtrimi 1:

Gjeni zonën e një trapezi lakor të kufizuar nga grafiku i funksionit: f(x) = x 2 dhe drejt y = 0, x = 1, x = 2.

Zgjidhja: ( sipas rrëshqitjes 3 të algoritmit)

Le të vizatojmë një grafik të funksionit dhe linjave

Le të gjejmë një nga antiderivativët e funksionit f(x) = x 2 :

Vetë-testimi me rrëshqitje

Integrale

Konsideroni një trapez lakor të përcaktuar nga funksioni f në segmentin [ a; b]. Le ta ndajmë këtë segment në disa pjesë. Sipërfaqja e të gjithë trapezit do të ndahet në shumën e zonave të trapezoidëve më të vegjël të lakuar. ( rrëshqitja 5). Çdo trapez i tillë mund të konsiderohet përafërsisht një drejtkëndësh. Shuma e sipërfaqeve të këtyre drejtkëndëshave jep një ide të përafërt të të gjithë sipërfaqes së trapezit të lakuar. Sa më i vogël ta ndajmë segmentin [ a; b], aq më saktë llogarisim sipërfaqen.

Le t'i shkruajmë këto argumente në formën e formulave.

Ndani segmentin [ a; b] në n pjesë me pika x 0 = a, x1,…, xn = b. Gjatësia k- th shënoj me xk = xk – xk-1. Le të bëjmë një shumë

Gjeometrikisht, kjo shumë përfaqëson sipërfaqen e figurës së hijezuar në figurë ( sh.m.)

Shumat e formës quhen shuma integrale për funksionin f. (sh.m.)

Shumat integrale japin një vlerë të përafërt të sipërfaqes. Vlera e saktë merret duke kaluar në kufi. Le të imagjinojmë se po përpunojmë ndarjen e segmentit [ a; b] kështu që gjatësitë e të gjithë segmenteve të vegjël priren në zero. Pastaj zona e figurës së përbërë do t'i afrohet zonës së trapezit të lakuar. Mund të themi se sipërfaqja e një trapezi të lakuar është e barabartë me kufirin e shumave integrale, Sc.t. (sh.m.) ose integrale, d.m.th.

Përkufizimi:

Integral i një funksioni f(x) nga a përpara b quhet kufiri i shumave integrale

= (sh.m.)

Formula Njuton-Leibniz.

Kujtojmë se kufiri i shumave integrale është i barabartë me sipërfaqen e një trapezi lakor, që do të thotë se mund të shkruajmë:

Sc.t. = (sh.m.)

Nga ana tjetër, zona e një trapezi të lakuar llogaritet me formulën

S k.t. (sh.m.)

Duke krahasuar këto formula, marrim:

= (sh.m.)

Kjo barazi quhet formula Njuton-Leibniz.

Për lehtësinë e llogaritjes, formula shkruhet si:

= = (sh.m.)

Detyrat: (sh.m.)

1. Llogaritni integralin duke përdorur formulën Njuton-Leibniz: ( kontrolloni rrëshqitjen 5)

2. Kompozoni integrale sipas vizatimit ( kontrolloni rrëshqitjen 6)

3. Gjeni sipërfaqen e figurës së kufizuar nga vijat: y = x 3, y = 0, x = 1, x = 2. Rrëshqitja 7)

Gjetja e sipërfaqeve të figurave të rrafshët ( rrëshqitje 8)

Si të gjeni zonën e figurave që nuk janë trapezoide të lakuar?

Le të jepen dy funksione, grafikët e të cilëve i shihni në rrëshqitje . (sh.m.) Gjeni zonën e figurës me hije . (sh.m.). A është figura në fjalë një trapez i lakuar? Si mund ta gjeni sipërfaqen e saj duke përdorur vetinë e aditivitetit të sipërfaqes? Konsideroni dy trapezoide të lakuar dhe zbritni sipërfaqen e tjetrit nga sipërfaqja e njërit prej tyre ( sh.m.)

Le të krijojmë një algoritëm për gjetjen e zonës duke përdorur animacionin në një rrëshqitje:

Funksionet e grafikut
Projektoni pikat e kryqëzimit të grafikëve në boshtin x
Hije figurën e përftuar kur kryqëzohen grafikët
Gjeni trapezoide lakorike, kryqëzimi ose bashkimi i të cilëve është figura e dhënë.
Llogaritni sipërfaqen e secilit prej tyre
Gjeni ndryshimin ose shumën e zonave

Detyrë me gojë: Si të merrni sipërfaqen e një figure me hije (tregoni duke përdorur animacion, rrëshqitja 8 dhe 9)

Detyre shtepie: Punoni me shënimet, nr. 353 (a), nr. 364 (a).

Bibliografi

Algjebra dhe fillimet e analizës: një libër shkollor për klasat 9-11 të shkollës së mbrëmjes (ndërrimit) / ed. G.D. Glaser. - M: Iluminizmi, 1983.
Bashmakov M.I. Algjebra dhe fillimet e analizës: një libër shkollor për klasat 10-11 të shkollës së mesme / Bashmakov M.I. - M: Iluminizmi, 1991.
Bashmakov M.I. Matematika: Libër mësimi për institucionet fillim. dhe të mërkurën prof. arsimi / M.I. Bashmakov. - M: Akademia, 2010.
Kolmogorov A.N. Algjebra dhe fillimet e analizës: Libër mësuesi për klasat 10-11. institucionet arsimore / A.N. - M: Arsimi, 2010.
Ostrovsky S.L. Si të bëni një prezantim për një mësim?/ S.L. Ostrovskit. – M.: 1 shtator 2010.

Llogaritni sipërfaqen e një figure të kufizuar me vija.

Zgjidhje.

Gjetja e pikave të kryqëzimit linjat e dhëna. Për ta bërë këtë, ne zgjidhim sistemin e ekuacioneve:

Për të gjetur abshisën e pikave të kryqëzimit të drejtëzave të dhëna, zgjidhim ekuacionin:

Ne gjejme: x 1 = -2, x 2 = 4.

Pra, këto drejtëza, të cilat janë një parabolë dhe një drejtëz, kryqëzohen në pika A(-2; 0), B(4; 6).

Këto rreshta formojnë një figurë të mbyllur, sipërfaqja e së cilës llogaritet duke përdorur formulën e mësipërme:

Duke përdorur formulën Newton-Leibniz gjejmë:

Gjeni zonën e rajonit të kufizuar nga elipsi.

Zgjidhje.

Nga ekuacioni i elipsës për kuadrantin e parë kemi. Nga këtu, duke përdorur formulën, marrim

Le të aplikojmë zëvendësimin x = a mëkat t, dx = a cos t dt. Kufijtë e rinj të integrimit t = α Dhe t = β përcaktohen nga ekuacionet 0 = a mëkat t, a = a mëkat t. Mund të vihet α = 0 dhe β = π /2.

Gjeni një të katërtën e zonës së kërkuar

Nga këtu S = πab.

Gjeni sipërfaqen e një figure të kufizuar me vijay = - x 2 + x + 4 dhey = - x + 1.

Zgjidhje.

Le të gjejmë pikat e kryqëzimit të drejtëzave y = -x 2 + x + 4, y = -x+ 1, duke barazuar ordinatat e rreshtave: - x 2 + x + 4 = -x+ 1 ose x 2 - 2x- 3 = 0. Gjetja e rrënjëve x 1 = -1, x 2 = 3 dhe ordinatat e tyre përkatëse y 1 = 2, y 2 = -2.

Duke përdorur formulën për sipërfaqen e një figure marrim

Përcaktoni zonën e mbyllur nga një parabolëy = x 2 + 1 dhe drejtx + y = 3.

Zgjidhje.

Zgjidhja e një sistemi ekuacionesh

gjeni abshisën e pikave të kryqëzimit x 1 = -2 dhe x 2 = 1.

Duke besuar y 2 = 3 - x Dhe y 1 = x 2 + 1, bazuar në formulën që marrim

Llogaritni sipërfaqen që përmban lemniskati i Bernulitr 2 = a 2 cos 2 φ .

Zgjidhje.

Në sistemin e koordinatave polar, zona e një figure të kufizuar nga harku i një kurbë r = f(φ ) dhe dy rreze polare φ 1 = ʅ Dhe φ 2 = ʆ , do të shprehet me integralin

Për shkak të simetrisë së lakores, fillimisht përcaktojmë një të katërtën e sipërfaqes së kërkuar

Prandaj, e gjithë zona është e barabartë me S = a 2 .

Llogaritni gjatësinë e harkut të astroiditx 2/3 + y 2/3 = a 2/3 .

Zgjidhje.

Le të shkruajmë ekuacionin e astroidit në formë

(x 1/3) 2 + (y 1/3) 2 = (a 1/3) 2 .

Le të vendosim x 1/3 = a 1/3 kost t, y 1/3 = a 1/3 e mëkatit t.

Nga këtu marrim ekuacionet parametrike të astroidit

x = a cos 3 t, y = a mëkati 3 t, (*)

ku 0 ≤ t ≤ 2π .

Për shkak të simetrisë së kurbës (*), mjafton të gjesh një të katërtën e gjatësisë së harkut L, që korrespondon me ndryshimin e parametrit t nga 0 në π /2.

marrim

dx = -3a cos 2 t mëkat t dt, dy = 3a mëkat 2 t cos t dt.

Nga këtu gjejmë

Integrimi i shprehjes që rezulton nga 0 në π /2, marrim

Nga këtu L = 6a.

Gjeni zonën e mbyllur nga spiralja e Arkimeditr = aφ dhe dy vektorë me rreze që korrespondojnë me këndet polareφ 1 Dheφ 2 (φ 1 < φ 2 ).

Zgjidhje.

Zona e mbyllur nga një kurbë r = f(φ ) llogaritet me formulën, ku α Dhe β - kufijtë e ndryshimit të këndit polar.

Kështu, marrim

(*)

Nga (*) rrjedh se zona e kufizuar nga boshti polar dhe kthesa e parë e spirales së Arkimedit ( φ 1 = 0; φ 2 = 2π ):

Në mënyrë të ngjashme, gjejmë zonën e kufizuar nga boshti polar dhe kthesa e dytë e spirales së Arkimedit ( φ 1 = 2π ; φ 2 = 4π ):

Sipërfaqja e kërkuar është e barabartë me diferencën e këtyre zonave

Llogaritni vëllimin e një trupi që fitohet duke u rrotulluar rreth një boshtikau figura të kufizuara me parabolay = x 2 Dhex = y 2 .

Zgjidhje.

Le të zgjidhim sistemin e ekuacioneve

dhe marrim x 1 = 0, x 2 = 1, y 1 = 0, y 2 = 1, prej nga vijnë pikat e kryqëzimit të kthesave O(0; 0), B(njëmbëdhjetë). Siç mund të shihet në figurë, vëllimi i kërkuar i një trupi rrotullues është i barabartë me diferencën midis dy vëllimeve të formuara nga rrotullimi rreth një boshti. kau trapezoide lakuar O.C.B.A. Dhe ODBA:

Llogaritni sipërfaqen e mbyllur nga një boshtkau dhe sinusoidy = mëkatx mbi segmentet: a) ; b) .

Zgjidhje.

a) Në segment funksioni sin x ruan shenjën, prandaj sipas formulës, duke supozuar y= mëkat x, ne gjejme

b) Në segmentin, funksioni sin x ndryshon shenjën. Për të zgjidhur problemin në mënyrë korrekte, është e nevojshme të ndani segmentin në dy dhe [ π , 2π ], në secilën prej të cilave funksioni ruan shenjën e tij.

Sipas rregullit të shenjave, në segmentin [ π , 2π ] zona merret me shenjën minus.

Si rezultat, zona e kërkuar është e barabartë me

Përcaktoni vëllimin e një trupi të kufizuar nga një sipërfaqe e marrë nga rrotullimi i një elipsirreth boshtit kryesora .

Zgjidhje.

Duke marrë parasysh që elipsa është simetrike në lidhje me boshtet e koordinatave, mjafton të gjejmë vëllimin e formuar nga rrotullimi rreth boshtit. kau zonë OAB, e barabartë me një të katërtën e sipërfaqes së elipsës dhe dyfishoni rezultatin.

Le të shënojmë vëllimin e një trupi rrotullues me V x; atëherë bazuar në formulën që kemi , ku 0 dhe a- abshisa pikash B Dhe A. Nga ekuacioni i elipsës gjejmë . Nga këtu

Kështu, vëllimi i kërkuar është i barabartë me . (Kur elipsa rrotullohet rreth boshtit të vogël b, vëllimi i trupit është i barabartë me )

Gjeni zonën e kufizuar me parabolay 2 = 2 px Dhex 2 = 2 py .

Zgjidhje.

Së pari, gjejmë koordinatat e pikave të kryqëzimit të parabolave për të përcaktuar segmentin e integrimit. Duke transformuar ekuacionet origjinale, marrim dhe . Duke barazuar këto vlera, marrim ose x 4 - 8fq 3 x = 0.

x 4 - 8fq 3 x = x(x 3 - 8fq 3) = x(x - 2fq)(x 2 + 2px + 4fq 2) = 0.

Gjetja e rrënjëve të ekuacioneve:

Duke marrë parasysh faktin se pika A kryqëzimi i parabolave është në tremujorin e parë, pastaj kufijtë e integrimit x= 0 dhe x = 2fq.

Ne gjejmë zonën e kërkuar duke përdorur formulën

Shembull 1 . Llogaritni sipërfaqen e figurës së kufizuar nga vijat: x + 2y – 4 = 0, y = 0, x = -3 dhe x = 2

Le të ndërtojmë një figurë (shih figurën) Ndërtojmë një drejtëz x + 2y – 4 = 0 duke përdorur dy pika A(4;0) dhe B(0;2). Duke shprehur y përmes x, marrim y = -0.5x + 2. Duke përdorur formulën (1), ku f(x) = -0.5x + 2, a = -3, b = 2, gjejmë

S = = [-0,25=11,25 sq. njësi

Shembulli 2. Llogaritni sipërfaqen e figurës së kufizuar nga vijat: x – 2y + 4 = 0, x + y – 5 = 0 dhe y = 0.

Zgjidhje. Le të ndërtojmë figurën.

Le të ndërtojmë një drejtëz x – 2y + 4 = 0: y = 0, x = - 4, A(-4; 0); x = 0, y = 2, B(0; 2).

Le të ndërtojmë një drejtëz x + y – 5 = 0: y = 0, x = 5, C(5; 0), x = 0, y = 5, D(0; 5).

Le të gjejmë pikën e prerjes së drejtëzave duke zgjidhur sistemin e ekuacioneve:

x = 2, y = 3; M(2; 3).

Për të llogaritur sipërfaqen e kërkuar, ne e ndajmë trekëndëshin AMC në dy trekëndësha AMN dhe NMC, pasi kur x ndryshon nga A në N, zona kufizohet nga një vijë e drejtë dhe kur x ndryshon nga N në C - me një vijë të drejtë.

Për trekëndëshin AMN kemi: ; y = 0,5x + 2, pra f(x) = 0,5x + 2, a = - 4, b = 2.

Për trekëndëshin NMC kemi: y = - x + 5, pra f(x) = - x + 5, a = 2, b = 5.

Duke llogaritur sipërfaqen e secilit trekëndësh dhe duke shtuar rezultatet, gjejmë:

sq. njësi

9 + 4, 5 = 13,5 sq. njësi Kontrollo: = 0,5AC = 0,5 sq. njësi

Shembulli 3. Llogaritni sipërfaqen e një figure të kufizuar me vija: y = x 2 , y = 0, x = 2, x = 3.

Në këtë rast, duhet të llogaritni sipërfaqen e një trapezi të lakuar të kufizuar nga parabola y = x 2 , vijat e drejta x = 2 dhe x = 3 dhe boshti Ox (shih figurën) Duke përdorur formulën (1) gjejmë sipërfaqen e trapezit lakor

= = 6 sq. njësi

Shembulli 4. Llogaritni sipërfaqen e figurës së kufizuar nga vijat: y = - x 2 + 4 dhe y = 0

Le të ndërtojmë figurën. Zona e kërkuar është e mbyllur midis parabolës y = - x 2 + 4 dhe boshti Ox.

Le të gjejmë pikat e kryqëzimit të parabolës me boshtin Ox. Duke supozuar y = 0, gjejmë x = Meqenëse kjo shifër është simetrike në lidhje me boshtin Oy, ne llogarisim sipërfaqen e figurës që ndodhet në të djathtë të boshtit Oy dhe dyfishojmë rezultatin e marrë: = +4x]sq. njësi 2 = 2 sq. njësi

Shembulli 5. Llogaritni sipërfaqen e një figure të kufizuar me vija: y 2 = x, yx = 1, x = 4

Këtu ju duhet të llogaritni sipërfaqen e një trapezi lakor të kufizuar nga dega e sipërme e parabolës 2 = x, boshti Ox dhe drejtëza x = 1 и x = 4 (shih figurën)

Sipas formulës (1), ku f(x) = a = 1 dhe b = 4, kemi = (= njësi katrore.

Shembulli 6 . Llogaritni sipërfaqen e figurës së kufizuar nga vijat: y = sinx, y = 0, x = 0, x= .

Zona e kërkuar është e kufizuar nga gjysma e valës së sinusoidit dhe boshtit Ox (shih figurën).

Kemi - cosx = - cos = 1 + 1 = 2 sq. njësi

Shembulli 7. Llogaritni sipërfaqen e figurës së kufizuar nga vijat: y = - 6x, y = 0 dhe x = 4.

Figura ndodhet nën boshtin Ox (shih figurën).

Prandaj, ne gjejmë zonën e saj duke përdorur formulën (3)

= =

Shembulli 8. Llogaritni sipërfaqen e figurës së kufizuar nga vijat: y = dhe x = 2. Ndërtoni lakoren y = nga pikat (shih figurën). Kështu, ne gjejmë sipërfaqen e figurës duke përdorur formulën (4)

Shembulli 9 .

X 2 + y 2 = r 2 .

Këtu ju duhet të llogarisni zonën e mbyllur nga rrethi x 2 + y 2 = r 2 , pra zona e një rrethi me rreze r me qendër në origjinë. Le të gjejmë pjesën e katërt të kësaj zone duke marrë kufijtë e integrimit nga 0

para; ne kemi: 1 = = [

Prandaj, 1 =

Shembulli 10. Llogaritni sipërfaqen e një figure të kufizuar me vija: y= x 2 dhe y = 2x

Kjo shifër kufizohet nga parabola y = x 2 dhe drejtëza y = 2x (shih figurën) Për të përcaktuar pikat e kryqëzimit të drejtëzave të dhëna, zgjidhim sistemin e ekuacioneve: x 2 – 2x = 0 x = 0 dhe x = 2

Duke përdorur formulën (5) për të gjetur zonën, marrim

= }