Lojëra

Kufiri dhe vazhdimësia e një funksioni të një ndryshoreje - dokumenti. Kufiri i një funksioni të një argumenti të vazhdueshëm Koncepti i vazhdimësisë së një funksioni

Kufiri dhe vazhdimësia

funksionet e një ndryshoreje

3.1.1. Përkufizimi. Numri A x duke u përpjekur për x 0 nëse për ndonjë numër
ka një numër
(
), dhe kushti do të plotësohet:

Nëse
, Kjo
.

(Simbolizmi:
).

Nëse grafiku tregon G funksione

, Kur i afrohet pikës pafundësisht afër (ato.
), (shih Fig. 3.1), atëherë kjo rrethanë është ekuivalenti gjeometrik i faktit që funksioni
në
ka një vlerë kufi (kufi) A(simbolizmi:
).

Grafiku i funksionit,

Oriz. 3.1

Duhet theksuar se në përcaktimin e vlerës kufitare (kufirit) të një funksioni në x duke u përpjekur për x 0 nuk thotë asgjë për sjelljen e funksionit në pikë x 0 . Pikërisht në pikën x Funksioni 0 mund të mos jetë i përcaktuar, mund të jetë
, ndoshta
.

Nëse
, atëherë funksioni quhet infinitimal për
.

Intervali quhet  - lagja e një pike x 0 me një qendër të copëtuar. Duke përdorur këtë emër, mund të themi këtë: nëse për ndonjë numër ka një numër, dhe kushti do të plotësohet: nëse
, Kjo
.

3.1.2. Përkufizimi. , nëse për ndonjë konvergjent me x 0 sekuenca
pasues
konvergon në A.

3.1.3. Le të provojmë ekuivalencën e përkufizimeve të seksioneve 3.1.1 dhe 3.1.2

Le të parë në kuptimin e përkufizimit të parë dhe le
(
), pastaj të gjitha , përveç numrit të tyre të fundëm plotësojnë pabarazinë
, Ku  zgjedhur nga  në kuptimin e përkufizimit të parë, d.m.th.
, d.m.th. përkufizimi i parë nënkupton të dytin. Lëreni tani
në kuptimin e përkufizimit të dytë dhe le të supozojmë se në kuptimin e përkufizimit të dytë
, d.m.th. për disa për arbitrarisht të vogla (për shembull, për
) u gjet sekuenca
, por në të njëjtën kohë
. Kemi arritur në një kontradiktë, pra, i pari rrjedh nga përkufizimi i dytë.

3.1.4. Ekuivalenca e këtyre përkufizimeve është veçanërisht e përshtatshme, pasi të gjitha teoremat e provuara më parë mbi vetitë e kufijve për sekuencat barten pothuajse automatikisht në rast i ri. Është e nevojshme vetëm të sqarohet koncepti i kufizimit. Teorema përkatëse ka formulimin e mëposhtëm:

Nëse
, atëherë kufizohet në disa  - lagje të pikës x 0 me një qendër të copëtuar.

3.2.1.Teorema. Le
,
,

Pastaj,
,

3.2.2. Le

- arbitrare, konvergjente në x 0 sekuenca e vlerave të argumentit të funksionit dhe
. Përputhja e sekuencave
Dhe
vlerat e këtyre funksioneve kanë kufij A Dhe B. Por më pas, në bazë të teoremës së seksionit 2.13.2, sekuencat
,
Dhe
kanë kufij përkatësisht të barabartë A +B,
Dhe
. Sipas përcaktimit të kufirit të një funksioni në një pikë (shih seksionin 2.5.2), kjo do të thotë se

,
,

3.2.3. Teorema. Nëse
,
, dhe në disa afërsi

ndodh

3.2.4. Me përcaktimin e kufirit të një funksioni në një pikë x 0 për çdo sekuencë
sikurse

sekuenca e vlerave të funksionit ka një kufi të barabartë me A. Kjo do të thotë për këdo
ka një numër
kryer . Po kështu, për sekuencën
ka një numër
të tillë që për çdo numër
kryer . Zgjedhja
, ne e gjejmë atë për të gjithë
kryer . Nga ky zinxhir pabarazish kemi për çdo , që do të thotë se
.

3.2.5. Përkufizimi. Numri A quhet vlera kufi (kufi) i funksionit në x duke u përpjekur për x 0 në të djathtë (simbolikë:
), nëse për ndonjë numër ka një numër () dhe kushti është i plotësuar: nëse
, Kjo
.

Bashkësia quhet e drejta  - fqinjësia e pikës x 0 . Koncepti i vlerës kufi (kufi) në të majtë është përcaktuar në mënyrë të ngjashme (
).

3.2.6. Teorema. Funksioni në ka një vlerë kufi (kufi) të barabartë me A atëherë dhe vetëm kur

3.3.1. Përkufizimi. Numri A quhet vlera kufi (kufi) i funksionit në x prirja drejt pafundësisë, nëse për ndonjë numër ka një numër
(
) dhe do të plotësohet kushti i mëposhtëm:

Nëse
, Kjo .

(Simbolizmi:
.)

Një tufë me
thirrur D- lagja e pafundësisë.

3.3.2. Përkufizimi. Numri A quhet vlera kufi (kufi) i funksionit në x duke tentuar në plus pafundësinë, nëse për ndonjë numër ka një numër D() dhe kushti do të plotësohet:

Nëse
, Kjo .

(Simbolizmi:
).

Nëse grafiku tregon G funksione
me rritje të pakufizuar
afrohen pafundësisht në një vijë të vetme horizontale
(shih Fig. 3.2), atëherë kjo rrethanë është ekuivalenti gjeometrik i faktit që funksioni
në
ka një vlerë kufi (kufi) të barabartë me numrin A(simbolizmi:
).

Grafiku i një funksioni
,

Një tufë me
thirrur D-lagje plus pafundësi.

Koncepti i limitit në
.

Ushtrime.

Paraqitni të gjitha teoremat për kufijtë siç zbatohen në rastet:

1)
, 2)
, 3)
, 4)
, 5)
.

3.4.1. Përkufizimi. Funksioni thirret pafundësisht funksion i madh(ose thjesht pafundësisht i madh) në , nëse për ndonjë numër

, duke kënaqur pabarazinë, pabarazia është e kënaqur
.

(Simbolizmi:
.)

Nëse plotësohet
, pastaj shkruajnë
.

3.4.2. Teorema. Le
Dhe
në
.

Pastaj
është një funksion pafundësisht i madh për .

3.4.3. Le të jetë një numër arbitrar. Pasi që është një funksion infinitimal për , atëherë për numrin
ka një numër të tillë që për të gjithë x të tillë që pabarazia qëndron
, por pastaj për të njëjtën gjë x pabarazia do të plotësohet
. Ato. është një funksion pafundësisht i madh për .

3.4.4.Teorema. Lë të jetë një funksion pafundësisht i madh për dhe për .

Atëherë është një funksion infinitimal për .

(Kjo teoremë vërtetohet në mënyrë të ngjashme me teoremën në seksionin 3.8.2.)

3.4.5. Funksioni
quhet e pakufizuar kur
, nëse për ndonjë numër
dhe çdo δ-lagje e pikës ju mund të specifikoni një pikë x nga kjo lagje e tillë që
.

3.5.1. PËRKUFIZIM. Funksioni thirret të vazhdueshme në pikën , Nëse
.

Kushti i fundit mund të shkruhet kështu:

Ky shënim do të thotë që për funksionet e vazhdueshme shenja e kufirit dhe shenja e funksionit mund të ndërrohen

Ose si kjo:. Ose përsëri, si në fillim.

Le të shënojmë
. Pastaj
dhe =
dhe formulari i fundit i regjistrimit do të marrë formën

Shprehja nën shenjën e kufirit paraqet rritjen e pikës së funksionit të shkaktuar nga rritja
argument x në pikën, që zakonisht shënohet si
. Si rezultat, marrim formën e mëposhtme të shkrimit të kushtit për vazhdimësinë e një funksioni në një pikë

që quhet “përkufizimi i punës” i vazhdimësisë së një funksioni në një pikë.

Funksioni thirret të vazhdueshme në pikën majtas, Nëse
.

Funksioni thirret të vazhdueshme në pikën në të djathtë, Nëse
.

3.5.2. Shembull.
. Ky funksion është i vazhdueshëm për çdo . Duke përdorur teorema mbi vetitë e kufijve, marrim menjëherë: çdo funksion racional është i vazhdueshëm në çdo pikë në të cilën është përcaktuar, d.m.th. funksioni i formës
.

USHTRIME.

3.6.1. Teksti shkollor vërteton (në nivel të lartë ashpërsia) që
(kufiri i parë i shquar). Nga konsideratat gjeometrike vizuale rrjedh menjëherë se
. Vini re se nga pabarazia e majtë rrjedh gjithashtu se
, d.m.th. cili është funksioni
e vazhdueshme në zero. Nga këtu nuk është aspak e vështirë të vërtetohet vazhdimësia e të gjithëve funksionet trigonometrike në të gjitha pikat ku janë përcaktuar. Në fakt, kur
si një produkt është i pafund funksion i vogël
në funksion të kufizuar
.

3.6.2. (kufiri i dytë i mrekullueshëm). Siç e dimë tashmë

Ku kalon nëpër numra natyrorë. Mund të tregohet se
. Për më tepër
.

USHTRIME.

3.7.1. TEOREMA (mbi vazhdimësinë e një funksioni kompleks).

Nëse funksioni
është i vazhdueshëm në një pikë dhe
, dhe funksionin
e vazhdueshme në një pikë , pastaj një funksion kompleks
është e vazhdueshme në pikë.

3.7.2. Vlefshmëria e kësaj deklarate rrjedh menjëherë nga përkufizimi i vazhdimësisë, i shkruar si:

3.8.1. TEOREMA. Funksioni është e vazhdueshme në çdo pikë (
).

3.8.2. Nëse e konsiderojmë të arsyeshme që funksioni
është përcaktuar për çdo dhe është rreptësisht monotonike (rreptësisht në rënie për
, duke u rritur rreptësisht me
), atëherë prova nuk është e vështirë.

Në
ne kemi:

ato. kur kemi
, që do të thotë se funksioni është e vazhdueshme në .

Në
gjithçka zbret në të mëparshmen:

Në
.

Në
funksionin
është konstante për të gjithë, pra e vazhdueshme.

3.9.1. TEOREMA (mbi bashkëjetesën dhe vazhdimësinë e funksionit të anasjelltë).

Le të zvogëlohet rreptësisht një funksion i vazhdueshëm (rritur rreptësisht) në disa δ - lagje të pikës,
. Pastaj në disa ε - lagje të pikës ka një funksion të anasjelltë
, e cila zvogëlohet rreptësisht (rritët rritet) dhe është e vazhdueshme në ε - lagjen e pikës.

3.9.2. Këtu vërtetojmë vetëm vazhdimësinë e funksionit të anasjelltë në pikën .

Le ta marrim, pikë y ndodhet midis pikave
Dhe
, pra, nëse
, Kjo
, Ku.

3.10.1. Pra, çdo veprim aritmetik i lejueshëm në funksione të vazhdueshme përsëri çon në funksione të vazhdueshme. Formimi i funksioneve komplekse dhe të anasjellta prej tyre nuk e prish vazhdimësinë. Prandaj, me njëfarë përgjegjësie, mund të pohojmë se të gjitha funksionet elementare janë të vazhdueshme për të gjitha vlerat e pranueshme të argumentit.

USHTRIMI.

Vërtetoni këtë
në
(një formë tjetër e kufirit të dytë të mrekullueshëm).

3.11.1. Llogaritja e kufijve thjeshtohet shumë nëse përdorim konceptin e infinitezimaleve ekuivalente. Është e përshtatshme të përgjithësohet koncepti i ekuivalencës në rastin e funksioneve arbitrare.

Përkufizimi. Funksionet dhe thuhet se janë ekuivalente për nëse
(në vend të ti mund te shkruash
,
,
,
,
).

Shënimi i përdorur f ~ g.

Ekuivalenca ka vetitë e mëposhtme

Lista e mëposhtme e infinitesimals ekuivalente duhet të mbahet parasysh:

~
në
; (1)

~ në ; (2)

~
në ; (3)

~ në ; (4)

~ në ; (5)

~ në ; (6)

~ në ; (7)

~ fq në ; (8)

~ në
; (9)

~
në . (10)

Këtu dhe mund të mos jenë variabla të pavarur, por funksione
Dhe
duke u prirur në zero dhe një, përkatësisht, për disa sjellje x. Për shembull,

~
në
,

~
në
.

Ekuivalenca (1) është një formë tjetër e shkrimit të kufirit të parë të shquar. Ekuivalencat (2), (3), (6) dhe (7) mund të vërtetohen drejtpërdrejt. Ekuivalenca (4) merret nga (1) duke marrë parasysh vetinë 2) të ekuivalencave:

~
.

Në mënyrë të ngjashme, (5) dhe (7) janë marrë nga (2) dhe (6). Me të vërtetë

~
,

~
.

Ekuivalenca e (8) vërtetohet me aplikimin sekuencial të (7) dhe (6):

dhe (9) dhe (10) janë marrë nga (6) dhe (8) duke zëvendësuar
.

3.11.2. Teorema. Kur llogaritni kufijtë në një produkt dhe raport, mund t'i ndryshoni funksionet në ato ekuivalente. Domethënë, nëse ~
, atëherë ose të dy kufijtë nuk ekzistojnë njëkohësisht, dhe
, ose të dyja këto kufij nuk ekzistojnë njëkohësisht.

Le të vërtetojmë barazinë e parë. Le të thotë një nga kufijtë,
ekziston. Pastaj

3.11.3. Le të jetë një numër ose simbol,
ose
). Do të shqyrtojmë sjelljen e b.m. funksionet (kështu do ta shkurtojmë termin infinitimal).

PËRKUFIZIMET.
dhe quhen ekuivalente b.m. funksionet për , nëse
(në ).

do ta quajmë b.m. më shumë rendit të lartë se b.m. funksionin
, Nëse
(në ).

3.11.4. Nëse dhe ekuivalente b.m. funksionet, atëherë
ka b.m. funksion të rendit më të lartë se
dhe ç'farë. - b.m. funksioni at, në të cilin për të gjitha x dhe, nëse në këtë pikë funksioni quhet pikë ndërprerjeje e lëvizshme. ka një ndërprerje të llojit të dytë. Vetë pika Test

Tek kolokiumi. Seksionet: " Kufiri Dhe vazhdimësifunksione e vlefshme e ndryshueshme" funksionenjëe ndryshueshme", “Llogaritja diferenciale funksione disa variabla"

Temat dhe shembujt e testeve dhe pyetjeve (testet e kolokiumit të llogaritjeve standarde individuale) Testi i semestrit të parë nr. 1 seksioni “kufiri dhe vazhdimësia e një funksioni të një ndryshoreje reale”

Test

Tek kolokiumi. Seksionet: " Kufiri Dhe vazhdimësifunksione e vlefshme e ndryshueshme", “Llogaritja diferenciale funksionenjëe ndryshueshme", “Llogaritja diferenciale funksione disa variabla". Sekuenca e numrave...

Test

Temat dhe shembujt e detyrave dhe pyetjeve të testit (punë testimi kolokiume llogaritjet standarde individuale) Seksioni i punës së testit të semestrit të parë “kufiri dhe vazhdimësia e një funksioni të një ndryshoreje reale”

Test

Leksioni 19 kufiri dhe vazhdimësia e një funksioni të disa ndryshoreve

Ligjërata

... Kufiri Dhe vazhdimësifunksione disa variablave. 19.1. Koncepti funksione disa variablave. Duke rishikuar funksione disa variablave... Vetitë funksionenjëe ndryshueshme, të vazhdueshme në segment. Shihni Vetitë funksione, të vazhdueshme në...

Vazhdimësia e funksionit. Pikat e thyerjes.

Demi ecën, lëkundet, psherëtin ndërsa shkon:
- Oh, dërrasa po mbaron, tani do të rrëzohem!

Në këtë mësim do të shqyrtojmë konceptin e vazhdimësisë së një funksioni, klasifikimin e pikave të ndërprerjes dhe të përbashkët problem praktik studimet e vazhdimësisë së funksioneve. Nga vetë emri i temës, shumë mendojnë në mënyrë intuitive se çfarë do të diskutohet dhe mendojnë se materiali është mjaft i thjeshtë. Kjo eshte e vertetë. Por janë detyra të thjeshta që më së shpeshti dënohen për neglizhencë dhe një qasje sipërfaqësore për zgjidhjen e tyre. Prandaj, ju rekomandoj që të studioni artikullin me shumë kujdes dhe të kapni të gjitha hollësitë dhe teknikat.

Çfarë duhet të dini dhe të jeni në gjendje të bëni? Jo shumë. Për të mësuar mirë mësimin, duhet të kuptoni se çfarë është kufiri i një funksioni. Për lexuesit me nivel të ulët përgatitjeje, mjafton të kuptojnë artikullin Kufijtë e funksionit. Shembuj zgjidhjesh dhe për të parë kuptimi gjeometrik limit në manual Grafikët dhe vetitë e funksioneve elementare. Këshillohet gjithashtu që të njiheni me shndërrimet gjeometrike të grafikëve, pasi praktika në shumicën e rasteve përfshin ndërtimin e një vizatimi. Perspektivat janë optimiste për të gjithë, dhe madje edhe një kazan i plotë do të jetë në gjendje të përballojë detyrën më vete në një ose dy orë të ardhshme!

Vazhdimësia e funksionit. Pikat e ndërprerjes dhe klasifikimi i tyre

Koncepti i vazhdimësisë së funksionit

Le të shqyrtojmë një funksion që është i vazhdueshëm në të gjithë vijën numerike:

Ose, për ta thënë më shkurt, funksioni ynë është i vazhdueshëm në (seti numra realë).

Cili është kriteri “filist” i vazhdimësisë? Natyrisht, grafiku i një funksioni të vazhdueshëm mund të vizatohet pa e hequr lapsin nga letra.

Në këtë rast, është e nevojshme të dallohen qartë të dyja koncepte të thjeshta: domeni i një funksioni Dhe vazhdimësia e funksionit. Në përgjithësi nuk eshte e njejta gje. Për shembull:

Ky funksion të përcaktuara në të gjithë vijën numerike, domethënë për të gjithë Kuptimi i "x" ka kuptimin e vet të "y". Në veçanti, nëse , atëherë . Vini re se pika tjetër është e pikëzuar, sepse me përcaktimin e një funksioni, vlera e argumentit duhet të korrespondojë me e vetmja gjë vlera e funksionit. Kështu, domain funksioni ynë: .

Megjithatë ky funksion nuk është i vazhdueshëm aktiv!Është mjaft e qartë se në atë moment ajo po vuan boshllëk. Termi është gjithashtu mjaft i kuptueshëm dhe vizual me të vërtetë, këtu lapsi do të duhet të griset gjithsesi. Pak më vonë do të shikojmë klasifikimin e pikave të ndërprerjes.

Vazhdimësia e një funksioni në një pikë dhe në një interval

Në një problem të veçantë matematikor, mund të flasim për vazhdimësinë e një funksioni në një pikë, vazhdimësinë e një funksioni në një interval, një gjysmë-interval ose vazhdimësinë e një funksioni në një segment. Kjo eshte, nuk ka "thjesht vazhdimësi"– funksioni mund të jetë i vazhdueshëm DIKU. Dhe "blloku ndërtues" themelor i gjithçkaje tjetër është vazhdimësia e funksionit në pikën .

Teoria e analizës matematikore jep një përkufizim të vazhdimësisë së një funksioni në një pikë duke përdorur lagjet "delta" dhe "epsilon", por në praktikë ka një përkufizim të ndryshëm në përdorim, të cilit do t'i kushtojmë vëmendje.

Së pari le të kujtojmë kufizime të njëanshme që shpërtheu në jetën tonë në mësimin e parë rreth grafikëve të funksioneve. Konsideroni një situatë të përditshme:

Nëse i afrohemi boshtit në pikën majtas(shigjeta e kuqe), atëherë vlerat përkatëse të "lojërave" do të shkojnë përgjatë boshtit deri në pikën (shigjeta e kuqe). Matematikisht, ky fakt është fiksuar duke përdorur kufiri i dorës së majtë:

Kushtojini vëmendje hyrjes (lexon "x tenton të ka në të majtë"). "Aditiv" "minus zero" simbolizon , në thelb kjo do të thotë se ne po i afrohemi numrit nga ana e majtë.

Në mënyrë të ngjashme, nëse i afroheni pikës "ka" në të djathtë (shigjeta blu), atëherë "lojërat" do të vijnë në të njëjtën vlerë, por përgjatë shigjetës së gjelbër, dhe kufiri i dorës së djathtë do të formatohet si më poshtë:

"Aditiv" simbolizon , dhe hyrja lexon: "x tenton të ka në të djathtë."

Nëse kufijtë e njëanshëm janë të fundëm dhe të barabartë(si në rastin tonë): , atëherë do të themi se ka një kufi të PËRGJITHSHËM. Është e thjeshtë, kufiri i përgjithshëm është "i zakonshëm" ynë kufiri i një funksioni, e barabartë me një numër të fundëm.

Vini re se nëse funksioni nuk është përcaktuar në (nxjerr pikën e zezë në degën e grafikut), atëherë llogaritjet e mësipërme mbeten të vlefshme. Siç është vërejtur tashmë disa herë, veçanërisht në artikull mbi funksionet infiniteminale, shprehjet nënkuptojnë se "x" pafundësisht afër i afrohet pikës, ndërsa NUK KA RËNDËSI, nëse vetë funksioni është përcaktuar në një pikë të caktuar apo jo. Një shembull i mirë do të gjendet në paragrafin tjetër, kur të analizohet funksioni.

Përkufizimi: një funksion është i vazhdueshëm në një pikë nëse kufiri i funksionit në një pikë të caktuar është i barabartë me vlerën e funksionit në atë pikë: .

Përkufizimi është i detajuar në termat e mëposhtëm:

1) Funksioni duhet të përcaktohet në pikën, domethënë vlera duhet të ekzistojë.

2) Duhet të ketë një kufi të përgjithshëm të funksionit. Siç u përmend më lart, kjo nënkupton ekzistencën dhe barazinë e kufijve të njëanshëm: .

3) Kufiri i funksionit në një pikë të caktuar duhet të jetë i barabartë me vlerën e funksionit në këtë pikë: .

Nëse shkelet të paktën një nga tre kushtet, atëherë funksioni humbet vetinë e vazhdimësisë në pikën .

Vazhdimësia e një funksioni gjatë një intervaliështë formuluar në mënyrë gjeniale dhe shumë thjesht: një funksion është i vazhdueshëm në interval nëse është i vazhdueshëm në çdo pikë të intervalit të caktuar.

Në veçanti, shumë funksione janë të vazhdueshme në një interval të pafund, domethënë në grupin e numrave realë. Ky është një funksion linear, polinom, eksponencial, sinus, kosinus, etj. Dhe në përgjithësi, çdo funksioni elementar e vazhdueshme në të fusha e përkufizimit, për shembull, funksioni logaritmikështë e vazhdueshme në interval. Shpresojmë që deri tani të keni një ide mjaft të mirë se si duken grafikët e funksioneve bazë. Më shumë informacion i detajuar për vazhdimësinë e tyre mund të nxirret nga një njeri i sjellshëm i quajtur Fichtenholtz.

Me vazhdimësinë e një funksioni në një segment dhe gjysmë-intervale, gjithçka gjithashtu nuk është e vështirë, por është më e përshtatshme të flasim për këtë në klasë për gjetjen e vlerave minimale dhe maksimale të një funksioni në një segment, por tani për tani le të mos shqetësohemi për këtë.

Klasifikimi i pikave të thyerjes

Jeta magjepsëse e funksioneve është e pasur me të gjitha llojet e pikave të veçanta, dhe pikat e pushimit janë vetëm një nga faqet e biografisë së tyre.

shënim : për çdo rast, do të ndalem në një pikë elementare: pika e thyerjes është gjithmonë pikë e vetme- nuk ka "disa pika pushimi me radhë", domethënë nuk ka gjë të tillë si "interval pushimi".

Këto pika, nga ana tjetër, ndahen në dy grupe të mëdha: këputje të llojit të parë Dhe këputje të llojit të dytë. Çdo lloj boshllëku ka të vetin karakteristikat të cilën do ta shikojmë tani:

Pika e ndërprerjes së llojit të parë

Nëse në një pikë cenohet kushti i vazhdimësisë dhe kufizime të njëanshme të fundme , atëherë quhet pika e ndërprerjes së llojit të parë.

Le të fillojmë me rastin më optimist. Sipas idesë origjinale të mësimit, doja të tregoja teorinë "në pamje e përgjithshme”, por për të demonstruar realitetin e materialit, u vendosa në opsionin me karaktere specifike.

E trishtuar, si një foto e porsamartuarve në sfond Flaka e përjetshme, por korniza e mëposhtme është përgjithësisht e pranuar. Le të përshkruajmë grafikun e funksionit në vizatim:

Ky funksion është i vazhdueshëm në të gjithë vijën numerike, përveç pikës. Dhe në fakt, emëruesi nuk mund të jetë i barabartë me zero. Sidoqoftë, në përputhje me kuptimin e kufirit, ne mundemi pafundësisht afër afrohuni "zeros" si nga e majta ashtu edhe nga e djathta, domethënë ekzistojnë kufij të njëanshëm dhe, padyshim, përkojnë:
(Kushti nr. 2 i kontinuitetit është i plotësuar).

Por funksioni nuk është i përcaktuar në pikë, prandaj, cenohet gjendja nr. 1 e vazhdimësisë dhe funksioni pëson një ndërprerje në këtë pikë.

Një thyerje e këtij lloji (me ekzistuesin kufiri i përgjithshëm) quhen boshllëk i riparueshëm. Pse e lëvizshme? Sepse funksioni mund ripërcaktoje në pikën e thyerjes:

A duket e çuditshme? Ndoshta. Por një shënim i tillë funksioni nuk kundërshton asgjë! Tani hendeku është mbyllur dhe të gjithë janë të lumtur:

Le të bëjmë një kontroll zyrtar:

2) – ekziston një kufi i përgjithshëm;
3)

Kështu, të tre kushtet plotësohen, dhe funksioni është i vazhdueshëm në një pikë nga përcaktimi i vazhdimësisë së një funksioni në një pikë.

Megjithatë, ata që urrejnë matan mund ta përcaktojnë funksionin në një mënyrë të keqe, për shembull :

Është interesante se këtu plotësohen dy kushtet e para të vazhdimësisë:
1) - funksioni përcaktohet në një pikë të caktuar;
2) – ka një kufi të përgjithshëm.

Por kufiri i tretë nuk është kaluar: , pra kufiri i funksionit në pikë jo të barabartë vlera e një funksioni të caktuar në një pikë të caktuar.

Kështu, në një pikë funksioni pëson një ndërprerje.

Rasti i dytë, më i trishtuar quhet këputje e llojit të parë me një kërcim. Dhe trishtimi ngjallet nga kufijtë e njëanshëm që të fundme dhe të ndryshme. Një shembull tregohet në vizatimin e dytë të mësimit. Një hendek i tillë zakonisht ndodh në funksionet e përcaktuara pjesë-pjesë, të cilat tashmë janë përmendur në artikull rreth transformimeve të grafikut.

Merrni parasysh funksionin pjesë-pjesë dhe ne do të plotësojmë vizatimin e saj. Si të ndërtoni një grafik? Shume e thjeshte. Në një gjysmë interval vizatojmë një fragment të një parabole ( ngjyrë jeshile), në interval - një segment i drejtë (e kuqe) dhe në një gjysmë interval - një vijë e drejtë (blu).

Për më tepër, për shkak të pabarazisë, vlera përcaktohet për funksionin kuadratik (pika e gjelbër), dhe për shkak të pabarazisë, vlera përcaktohet për funksion linear(pika blu):

Në rastin më të vështirë, duhet të drejtoheni në ndërtimin pikë për pikë të secilës pjesë të grafikut (shih të parën mësim rreth grafikëve të funksioneve).

Tani do të na interesojë vetëm pika. Le ta shqyrtojmë atë për vazhdimësi:

2) Le të llogarisim kufijtë e njëanshëm.

Në të majtë kemi një segment të vijës së kuqe, kështu që kufiri në anën e majtë është:

Në të djathtë është vija e drejtë blu dhe kufiri në të djathtë:

Si rezultat, ne morëm numrat e fundëm, dhe ata jo të barabartë. Meqenëse kufijtë e njëanshëm të fundme dhe të ndryshme: , atëherë funksioni ynë toleron ndërprerje e llojit të parë me kërcim.

Është logjike që hendeku nuk mund të eliminohet - funksioni me të vërtetë nuk mund të përcaktohet më tej dhe të "ngjitet së bashku", si në shembullin e mëparshëm.

Pikat e ndërprerjes së llojit të dytë

Zakonisht, të gjitha rastet e tjera të këputjes klasifikohen me zgjuarsi në këtë kategori. Nuk do të rendis gjithçka, sepse në praktikë, në 99% të problemeve do të hasni hendek i pafund– kur është mëngjarash apo djathtas, dhe më shpesh, të dy kufijtë janë të pafund.

Dhe, sigurisht, fotografia më e dukshme është hiperbola në pikën zero. Këtu të dy kufijtë e njëanshëm janë të pafund: , pra, funksioni pëson një ndërprerje të llojit të dytë në pikën .

Përpiqem t'i mbush artikujt e mi me përmbajtje sa më të larmishme, kështu që le të shohim grafikun e një funksioni që ende nuk është hasur:

sipas skemës standarde:

1) Funksioni nuk është përcaktuar në këtë pikë sepse emëruesi shkon në zero.

Natyrisht, mund të konkludojmë menjëherë se funksioni pëson një ndërprerje në pikën , por do të ishte mirë të klasifikohej natyra e ndërprerjes, e cila shpesh kërkohet nga kushti. Për këtë:

Më lejoni t'ju kujtoj se me regjistrim nënkuptojmë pafundësisht i vogël një numër negativ , dhe nën hyrje - numër pozitiv pafundësisht i vogël.

Kufijtë e njëanshëm janë të pafund, që do të thotë se funksioni pëson një ndërprerje të llojit të dytë në pikën . Boshti y është asimptotë vertikale për grafikun.

Nuk është e pazakontë që të ekzistojnë të dy kufijtë e njëanshëm, por vetëm njëri prej tyre është i pafund, për shembull:

Ky është grafiku i funksionit.

Ne shqyrtojmë pikën për vazhdimësi:

1) Funksioni nuk është i përcaktuar në këtë pikë.

2) Le të llogarisim kufijtë e njëanshëm:

Ne do të flasim për metodën e llogaritjes së kufijve të tillë të njëanshëm në dy shembujt e fundit të leksionit, megjithëse shumë lexues tashmë kanë parë dhe hamendësuar gjithçka.

Kufiri i majtë është i fundëm dhe i barabartë me zero (ne "nuk shkojmë në vetë pikën"), por kufiri i djathtë është i pafund dhe dega portokalli e grafikut i afrohet pafundësisht afër saj. asimptotë vertikale, dhënë nga ekuacioni(vijë me pika të zeza).

Pra funksioni vuan ndërprerje e llojit të dytë në pikën.

Për sa i përket një ndërprerjeje të llojit të parë, funksioni mund të përcaktohet në vetë pikën e ndërprerjes. Për shembull, për një funksion pjesë-pjesë Mos ngurroni të vendosni një pikë të zezë të theksuar në origjinën e koordinatave. Në të djathtë është një degë e një hiperbole, dhe kufiri në të djathtë është i pafund. Unë mendoj se pothuajse të gjithë kanë një ide se si duket ky grafik.

Ajo që të gjithë prisnin me padurim:

Si të ekzaminohet një funksion për vazhdimësi?

Studimi i një funksioni për vazhdimësi në një pikë kryhet sipas një skeme rutinë të vendosur tashmë, e cila konsiston në kontrollimin e tre kushteve të vazhdimësisë:

Shembulli 1

Funksioni i eksplorimit

Zgjidhje:

1) E vetmja pikë brenda fushës së veprimit është ajo ku funksioni nuk është i përcaktuar.

2) Le të llogarisim kufijtë e njëanshëm:

Kufijtë e njëanshëm janë të fundëm dhe të barabartë.

Kështu, në pikën funksioni pëson një ndërprerje të lëvizshme.

Si duket grafiku i këtij funksioni?

Do të doja të thjeshtoja , dhe duket sikur është marrë një parabolë e zakonshme. POR funksioni origjinal nuk është përcaktuar në pikën, kështu që kërkohet klauzola e mëposhtme:

Le të bëjmë vizatimin:

Përgjigju: funksioni është i vazhdueshëm në të gjithë vijën numerike, përveç pikës në të cilën pëson një ndërprerje të lëvizshme.

Funksioni mund të përcaktohet më tej në një mënyrë të mirë ose jo aq të mirë, por sipas kushtit kjo nuk kërkohet.

Ju thoni se ky është një shembull i largët? Aspak. Kjo ka ndodhur dhjetëra herë në praktikë. Pothuajse të gjitha detyrat e faqes vijnë nga puna dhe testet e vërteta të pavarura.

Le të heqim qafe modulet tona të preferuara:

Shembulli 2

Funksioni i eksplorimit për vazhdimësi. Përcaktoni natyrën e ndërprerjeve të funksionit, nëse ato ekzistojnë. Ekzekutoni vizatimin.

Zgjidhje: Për disa arsye, studentët kanë frikë dhe nuk u pëlqejnë funksionet me një modul, megjithëse nuk ka asgjë të komplikuar në to. Këto gjëra tashmë i kemi prekur pak në mësim. Shndërrimet gjeometrike të grafikëve. Meqenëse moduli është jo-negativ, ai zgjerohet si më poshtë: , ku "alfa" është një shprehje. Në këtë rast, dhe funksioni ynë duhet të shkruhet pjesë-pjesë:

Por fraksionet e të dy pjesëve duhet të reduktohen me . Reduktimi, si në shembullin e mëparshëm, nuk do të bëhet pa pasoja. Funksioni origjinal nuk është përcaktuar në pikë pasi emëruesi shkon në zero. Prandaj, sistemi duhet të specifikojë gjithashtu kushtin dhe të bëjë të rreptë pabarazinë e parë:

Tani në lidhje me një teknikë vendimmarrjeje shumë të dobishme: para përfundimit të detyrës në një draft, është e dobishme të bëni një vizatim (pavarësisht nëse kërkohet nga kushtet apo jo). Kjo do të ndihmojë, së pari, për të parë menjëherë pikat e vazhdimësisë dhe pikat e ndërprerjes, dhe së dyti, do t'ju mbrojë 100% nga gabimet kur gjeni kufij të njëanshëm.

Le të bëjmë vizatimin. Në përputhje me llogaritjet tona, në të majtë të pikës është e nevojshme të vizatoni një fragment të një parabole (ngjyrë blu), dhe në të djathtë - një pjesë të një parabole (ngjyra e kuqe), ndërsa funksioni nuk është përcaktuar në pikë vetë:

Nëse keni dyshime, merrni disa vlera x dhe futini ato në funksion (duke kujtuar se moduli shkatërron shenjën e mundshme minus) dhe kontrolloni grafikun.

Le të shqyrtojmë funksionin për vazhdimësi në mënyrë analitike:

1) Funksioni nuk është i përcaktuar në pikë, kështu që menjëherë mund të themi se nuk është i vazhdueshëm në të.

2) Le të përcaktojmë natyrën e ndërprerjes për ta bërë këtë, ne llogarisim kufijtë e njëanshëm:

Kufijtë e njëanshëm janë të fundëm dhe të ndryshëm, që do të thotë se funksioni pëson një ndërprerje të llojit të parë me një kërcim në pikën . Vini re përsëri se gjatë gjetjes së kufijve, nuk ka rëndësi nëse funksioni në pikën e ndërprerjes është i përcaktuar apo jo.

Tani mbetet vetëm të transferoni vizatimin nga drafti (u bë sikur me ndihmën e kërkimit ;-)) dhe të përfundoni detyrën:

Përgjigju: funksioni është i vazhdueshëm në të gjithë vijën numerike me përjashtim të pikës në të cilën pëson një ndërprerje të llojit të parë me një kërcim.

Ndonjëherë ato kërkojnë tregues shtesë të kërcimit të ndërprerjes. Llogaritet thjesht - nga kufiri i djathtë duhet të zbritni kufirin e majtë: , domethënë, në pikën e pushimit funksioni ynë u hodh 2 njësi poshtë (siç na tregon shenja minus).

Shembulli 3

Funksioni i eksplorimit për vazhdimësi. Përcaktoni natyrën e ndërprerjeve të funksionit, nëse ato ekzistojnë. Bëni një vizatim.

Ky është një shembull për vendim i pavarur, mostër zgjidhjeje në fund të orës së mësimit.

Le të kalojmë në versionin më të njohur dhe më të përhapur të detyrës, kur funksioni përbëhet nga tre pjesë:

Shembulli 4

Shqyrtoni një funksion për vazhdimësi dhe vizatoni një grafik të funksionit .

Zgjidhje: është e qartë se të tre pjesët e funksionit janë të vazhdueshme në intervalet përkatëse, kështu që mbetet të kontrollohen vetëm dy pika të "bashkimit" midis pjesëve. Së pari, le të bëjmë një draft vizatim që komentova teknikën e ndërtimit në detaje të mjaftueshme në pjesën e parë të artikullit. E vetmja gjë është që ne duhet të ndjekim me kujdes pikat tona njëjës: për shkak të pabarazisë, vlera i përket vijës së drejtë (pika e gjelbër), dhe për shkak të pabarazisë, vlera i përket parabolës (pika e kuqe):

Epo, në parim, gjithçka është e qartë =) E vetmja gjë që mbetet është të zyrtarizohet vendimi. Për secilën nga dy pikat "bashkuese", ne kontrollojmë standardisht 3 kushte vazhdimësie:

Unë) Ne shqyrtojmë pikën për vazhdimësi

Kufijtë e njëanshëm janë të fundëm dhe të ndryshëm, që do të thotë se funksioni pëson një ndërprerje të llojit të parë me një kërcim në pikën .

Le të llogarisim kërcimin e ndërprerjes si diferencë midis kufirit të djathtë dhe të majtë:
, domethënë, grafiku u ngrit një njësi.

II) Ne shqyrtojmë pikën për vazhdimësi

1) – funksioni përcaktohet në një pikë të caktuar.

2) Gjeni kufijtë e njëanshëm:

– kufijtë e njëanshëm janë të fundëm dhe të barabartë, që do të thotë se ka një kufi të përgjithshëm.

3) – kufiri i një funksioni në një pikë është i barabartë me vlerën e këtij funksioni në një pikë të caktuar.

Në fazën përfundimtare, ne e transferojmë vizatimin në versionin përfundimtar, pas së cilës vendosim akordin përfundimtar:

Përgjigju: funksioni është i vazhdueshëm në të gjithë vijën numerike, me përjashtim të pikës në të cilën pëson një ndërprerje të llojit të parë me një kërcim.

Shembulli 5

Shqyrtoni një funksion për vazhdimësinë dhe ndërtoni grafikun e tij .

Ky është një shembull për zgjidhje të pavarur, një zgjidhje e shkurtër dhe një mostër e përafërt e problemit në fund të mësimit.

Mund të keni përshtypjen se në një moment funksioni duhet të jetë i vazhdueshëm, dhe në një tjetër duhet të ketë një ndërprerje. Në praktikë, kjo nuk është gjithmonë rasti. Mundohuni të mos neglizhoni shembujt e mbetur - do të ketë disa veçori interesante dhe të rëndësishme:

Shembulli 6

Jepet një funksion . Hulumtoni funksionin për vazhdimësinë në pika. Ndërtoni një grafik.

Zgjidhje: dhe përsëri ekzekutoni menjëherë vizatimin në draft:

E veçanta e këtij grafiku është se funksioni pjesë-pjesë jepet nga ekuacioni i boshtit të abshisës. Këtu kjo zonë vizatohet me ngjyrë të gjelbër, por në një fletore zakonisht theksohet me shkronja të zeza me një laps të thjeshtë. Dhe, natyrisht, mos harroni për deshët tanë: vlera i përket degës tangjente (pika e kuqe), dhe vlera i përket vijës së drejtë.

Gjithçka është e qartë nga vizatimi - funksioni është i vazhdueshëm përgjatë gjithë vijës së numrave, gjithçka që mbetet është të zyrtarizohet zgjidhja, e cila është sjellë në automatizimin e plotë fjalë për fjalë pas 3-4 shembujve të ngjashëm:

Unë) Ne shqyrtojmë pikën për vazhdimësi

1) - funksioni përcaktohet në një pikë të caktuar.

2) Le të llogarisim kufijtë e njëanshëm:

, që do të thotë se ka një kufi të përgjithshëm.

Për çdo rast, më lejoni t'ju kujtoj një fakt të parëndësishëm: kufiri i një konstante është i barabartë me vetë konstantën. Në këtë rast, kufiri i zeros është i barabartë me vetë zeron (kufiri i dorës së majtë).

3) – kufiri i një funksioni në një pikë është i barabartë me vlerën e këtij funksioni në një pikë të caktuar.

Kështu, një funksion është i vazhdueshëm në një pikë sipas përcaktimit të vazhdimësisë së një funksioni në një pikë.

II) Ne shqyrtojmë pikën për vazhdimësi

1) - funksioni përcaktohet në një pikë të caktuar.

2) Gjeni kufijtë e njëanshëm:

Dhe këtu - kufiri i një është i barabartë me vetë njësinë.

– ka një kufi të përgjithshëm.

3) – kufiri i një funksioni në një pikë është i barabartë me vlerën e këtij funksioni në një pikë të caktuar.

Kështu, një funksion është i vazhdueshëm në një pikë sipas përcaktimit të vazhdimësisë së një funksioni në një pikë.

Si zakonisht, pas hulumtimit ne e transferojmë vizatimin tonë në versionin përfundimtar.

Përgjigju: funksioni është i vazhdueshëm në pika.

Ju lutemi vini re se në gjendjen nuk na pyetën asgjë për studimin e të gjithë funksionit për vazhdimësi dhe konsiderohet formë e mirë matematikore për të formuluar i saktë dhe i qartë përgjigjen e pyetjes së parashtruar. Meqë ra fjala, nëse kushtet nuk ju kërkojnë të ndërtoni një grafik, atëherë keni të drejtë të mos e ndërtoni (edhe pse më vonë mësuesi mund t'ju detyrojë ta bëni këtë).

Një "përdredhës i gjuhës" i vogël matematikor për ta zgjidhur vetë:

Shembulli 7

Jepet një funksion . Hulumtoni funksionin për vazhdimësinë në pika. Klasifikoni pikat e ndërprerjes, nëse ka. Ekzekutoni vizatimin.

Mundohuni të "shqiptoni" saktë të gjitha "fjalët" =) Dhe vizatoni grafikun më saktë, saktësinë, nuk do të jetë e tepërt kudo;-)

Siç e mbani mend, unë rekomandova të plotësoni menjëherë vizatimin si draft, por herë pas here hasni shembuj ku nuk mund të kuptoni menjëherë se si duket grafiku. Prandaj, në një numër rastesh, është e dobishme që së pari të gjenden kufijtë e njëanshëm dhe vetëm atëherë, bazuar në studimin, të përshkruhen degët. Në dy shembujt e fundit do të mësojmë gjithashtu një teknikë për llogaritjen e disa kufijve të njëanshëm:

Shembulli 8

Shqyrtoni funksionin për vazhdimësi dhe ndërtoni grafikun e tij skematik.

Zgjidhje: pikat e këqija janë të dukshme: (zvogëlon emëruesin e eksponentit në zero) dhe (zvogëlon emëruesin e të gjithë thyesës në zero). Nuk është e qartë se si duket grafiku i këtij funksioni, që do të thotë se është më mirë të bëni disa kërkime së pari.

Topologjia– një degë e matematikës që merret me studimin e kufijve dhe vazhdimësisë së funksioneve. Në kombinim me algjebrën, topologjia përbën bazën e përgjithshme të matematikës.

Hapësira ose figura topologjike - një nëngrup i hapësirës sonë homogjene Euklidiane, midis pikave të së cilës është dhënë një lidhje e caktuar afërsie. Këtu figurat konsiderohen jo si trupa të ngurtë, por si objekte të bëra si prej gome shumë elastike, duke lejuar deformim të vazhdueshëm që ruan vetitë e tyre cilësore.

Një hartë e vazhdueshme një-për-një e figurave quhet homeomorfizmi. Me fjalë të tjera, shifrat homeomorfike, nëse njëra mund të transferohet në një tjetër me deformim të vazhdueshëm.

Shembuj. Shifrat e mëposhtme janë homeomorfe (figurat nga grupe të ndryshme nuk janë homeomorfe), të paraqitura në Fig. 2.

1. Një segment dhe një kurbë pa vetëprerje.

2. Rreth, brenda katrorit, fjongo.

3. Sfera, sipërfaqja e kubit dhe tetraedrit.

4. Rrethi, elipsi dhe rrethi me nyjë.

5. Një unazë në një plan (një rreth me një vrimë), një unazë në hapësirë, një unazë dy herë e përdredhur, sipërfaqja anësore e një cilindri.

6. Rrip Möbius, d.m.th. një unazë e përdredhur një herë dhe një unazë e përdredhur tre herë.

7. Sipërfaqja e një torusi (donuti), një sferë me vegjë dhe një torus me nyjë.

8. Një sferë me dy doreza dhe një gjevrek me dy vrima.

NË analiza matematikore funksionet studiohen me metodën e limiteve. Variabli dhe kufiri janë koncepte bazë.

Në dukuri të ndryshme, disa sasi ruajnë vlerën e tyre numerike, të tjera ndryshojnë. Bashkësia e të gjitha vlerave numerike të një ndryshoreje quhet zona e ndryshimit të kësaj variabli.

Nga mënyrat e ndryshme në të cilat sillet një variabël, më e rëndësishmja është ajo në të cilën ndryshorja priret në një kufi të caktuar.

Numër konstant a thirrur kufi i ndryshueshëm, nëse vlera absolute e diferencës ndërmjet x Dhe a() bëhet në procesin e ndryshimit të një vlere të ndryshueshme x i vogël sa të dëshironi:

Çfarë do të thotë "aq i vogël sa të duash"? Vlera e ndryshueshme X priret në kufi A, nëse për ndonjë numër arbitrarisht të vogël (arbitrarisht të vogël) ka një moment të tillë në ndryshimin e ndryshores X, duke u nisur nga e cila qëndron pabarazia .

Përkufizimi i kufirit ka një kuptim të thjeshtë gjeometrik: pabarazinë do të thotë se Xështë në -lagjen e pikës a, ato. në interval .

Kështu, përkufizimi i kufirit mund të jepet në formë gjeometrike:

Numri Aështë kufiri i ndryshores X, nëse për ndonjë arbitrarisht të vogël (arbitrarisht të vogël) -lagja e numrit A mund të specifikoni një moment të tillë në ndryshimin e ndryshores X, duke filluar nga e cila të gjitha vlerat e saj bien në lagjen e specifikuar të pikës A.

Komentoni. Vlera e ndryshueshme X mund t'i afrohet kufirit të tij në mënyra të ndryshme: duke mbetur më pak se ky kufi (në të majtë), më shumë (në të djathtë), duke u luhatur rreth vlerës së kufirit.

Kufiri i sekuencës

Funksioni quhet ligji (rregulli) sipas të cilit çdo element x disa grupe X përputhet me një element të vetëm y grupe Y.

Funksioni mund të përcaktohet në bashkësinë e të gjithë numrave natyrorë: . Ky funksion quhet funksioni i argumentit natyror ose sekuencë numerike.

Meqenëse një sekuencë, si çdo grup i pafundëm, nuk mund të specifikohet me numërim, ai specifikohet nga një term i zakonshëm: , ku është termi i përgjithshëm i sekuencës.

Një ndryshore diskrete është një term i zakonshëm i një sekuence.

Për konsistencë, fjalët "duke filluar në një moment" nënkuptojnë fjalët "duke filluar nga një numër".

Numri A quhet kufiri i sekuencës , nëse për ndonjë numër arbitrarisht të vogël (arbitrarisht të vogël) ekziston një numër i tillë N, e cila për të gjithë anëtarët e vargut me numër n>N qëndron pabarazia .

ose në .

Gjeometrikisht, përcaktimi i kufirit të një sekuence nënkupton sa më poshtë: për çdo arbitrarisht të vogël (arbitrarisht të vogël) - fqinjësi e numrit A ka një numër të tillë që të gjithë termat e sekuencës me më të madhe se N, numrat, bien në këtë afërsi. Vetëm një numër i kufizuar i termave fillestarë të sekuencës shfaqen jashtë lagjes. Numri natyror N varet nga : .