Krijim

Zgjidhja e pabarazive me modul. Mësimi jashtëshkollor - moduli numër Numrat pozitivë dhe negativë

Shefi i ShMO
mësues matematike _______Kalashnikova Zh.YuInstitucion arsimor buxhetor komunal
"Mesatare shkollë gjithëpërfshirëse nr. 89"
Teste tematike në matematikë për klasat e 6-ta
sipas tekstit shkollor nga I.I. Zubareva dhe A.G. Mordkoviç
Përpiluar nga: mësuesit e matematikës:
Kallashnikova Zhanna Yurievna
Stolbova Lyudmila Antonovna
ZATO Seversk
2016
përmbajtja
Testi nr. 1…………………………………………………………………………………….3-6
Testi nr. 2……………………………………………………………………………………….7-10
Testi nr. 3…………………………………………………………………………………………………………….11-14
Përgjigjet……………………………………………………………………………………………………………..15
Testi nr. 1 “Numrat pozitivë dhe negativë”
opsioni 1
Fut një numër thyesor negativ:
-165
38
-7.92
67 Përshkruani ngjarjen “Numri -5,5 është shënuar në rreze koordinative”
E besueshme
E pamundur
E rastësishme

Cili nga katër numrat është më i madhi?
8,035
80,35
0,8035
803,5
Cila pikë ndodhet në vijën koordinative në të djathtë të pikës O (0)?
M (-4)
E (-15)
K (15)
D(-1.2)
Temperatura e ajrit gjatë natës ishte -5°C. Gjatë ditës, termometri ishte tashmë +3 °C. Si ka ndryshuar temperatura e ajrit?
Rritur me 8o
Ulur me 2o
Rritur me 2o
Ulur me 8o
Pika x(-2) shënohet në vijën koordinative – qendra e simetrisë. Tregoni koordinatat e pikave të vendosura në këtë vijë në mënyrë simetrike me pikën x.

(-1) dhe (1)
(-1) dhe (1)
(3) dhe (-3)
(0) dhe (-4)
Cilat pika në vijën koordinative nuk janë simetrike në lidhje me origjinën - pika O (0).
B(-5) dhe C(5)
D(0.5) dhe E(-0.5)
M(-3) dhe K(13)
A(18) dhe X(-18)
Sa është shuma e numrave 0,316+0,4?
0,356
0,716
4,316
0,32
Njehsoni 25% të numrit 0.4.
0,1
0,001
10
100
Llogarit diferencën e 9100 dhe 0.03
0,05
0,6
9,03
350 Opsioni 2
Shkruani një numër thyesor negativ.
8,63
-1045
913-0,2
Përshkruani ngjarjen "Numri 7 është shënuar në rreze koordinative".
E rastësishme
E pamundur
E besueshme
Cili numër është më i vogël?
15,49
154,9
1,549
1549
Cila nga pikat ndodhet në vijën koordinative në të majtë të pikës O(0).
A (-0,5)
NE 6)
M(0,5)
K(38)
Gjatë ditës termometri tregoi +5°C, kurse në mbrëmje -2°C. Si ka ndryshuar temperatura e ajrit?
Rritur me 3o
Ulur me 7o
Ulur me 3o
Rritur me 7o
Qendra e simetrisë shënohet në vijën koordinative - pika A(-3). Tregoni koordinatat e pikave të vendosura në këtë vijë në mënyrë simetrike me pikën A.

(-2) dhe (2)
(0) dhe (-5)
(-6) dhe (1)
(-1) dhe (-5)
Cilat pika të drejtëzës koordinative nuk janë simetrike në lidhje me origjinën - pika O(0).
A(6) dhe B(-6)
C(12) dhe D(-2)
M(-1) dhe K(1)
X (-9) dhe Y (9)
Sa është shuma e numrave 0,237 dhe 0,3?
0,24
3,237
0,537
0,267
Llogaritni 20% të 0.5
10
0,1
0,2
0,01
Llogarit diferencën 0.07 dhe 31001250.5
1
425 Testi nr. 2. Vlera absolute e një numri. Numra të kundërt.
opsioni 1
Cili nga numrat e dhënë ka modulin më të vogël
-11
1013-4,196
-4,2
Specifikoni një ekuacion të pasaktë
85=-85
-1,9=1,9
35= 3558=-58 Moduli jo numër negativështë një numër jo negativ. A është e vërtetë kjo deklaratë?
po
Nr
Cili nga këta numra është i kundërt me numrin -34?43-43-3434Sa është vlera e shprehjes -(-m) nëse m = -15
+15
-15
Njehsoni vlerën e shprehjes: -2,5∙4--919
-10
1
-1
Zgjidheni ekuacionin: x=40-40
40
40 ose -40
Cilët numra të plotë ndodhen në vijën koordinative midis numrave 2.75 dhe 3.9?
-2, -1, 1, 2
-1, 0, 1, 2, 3
-1, 0, 1, 2, 3, 4
-2, -1, 0, 1, 2, 3
A është e vërtetë pabarazia -30>-50?Po
Nr
Listoni të gjithë numrat e plotë x nëse x≤30, 1, 2
0, 1, 2, 3
0, 1, 2, 3, 4
1, 2, 3
Opsioni 2
Cili numër ka modulin më të madh?
-0,6
-50,603
493550,530
Specifikoni një ekuacion të pasaktë
-1.5=1.512=12-117=117-325=-325A mund të jetë moduli i një numri negativ një numër negativ
po
Nr

Cili nga këta numra është e kundërta e 124?
-24
24
-124124Sa është vlera e shprehjes –(-k), nëse k = -9
-9
+9
Njehsoni vlerën e shprehjes: 2,5:-0,5+1,250
15
-2,5
2,5
Zgjidheni ekuacionin x=100100
-100
100 ose -100
Cilët numra të plotë ndodhen në vijën koordinative midis numrave 1 dhe - 4.5
-4, -3, -2, -1, 0
-3, -2, -1
-5, -4, -3, -2, -1
-4, -3, -2, -1, 1
A është e vërtetë pabarazia -25?<-10?
po
Nr
Listoni të gjithë numrat e plotë x nëse x≤44, 3, 2
0, 1, 2, 3
1, 2, 3, 4
0, 1, 2, 3, 4
Testi nr. 3. Krahasimi i numrave
opsioni 1
Cila nga pabarazitë është e gabuar?
-20 > 2
0 < -1
-16 > -7
-5 < -3

-320 -920>
<
=
A është e vërtetë që numri 0 është më i madh se çdo numër negativ?
po
Nr
Numri a është jo negativ. Si mund ta shkruajmë këtë deklaratë si një pabarazi?
a<0a≤0a≥0a>0 Tregoni më të madhin nga numrat e dhënë.
0,16
-3018-0,4
0,01
Për cilat vlera natyrore të x është e vërtetë pabarazia x≤44, 3, 2?
1 , 2, 3, 4
4, 3, 2, 1
0, 1, 2, 3
Për cilat vlera të plota të y është e vërtetë pabarazia y?<-2?0
-1
0, -1, 1
Nuk ka vlera të tilla
Numrat -6; -3,8; -115; 0.8 e vendosur:
Në rend zbritës
Në rend në rritje
Në rrëmujë
Në radio u transmetua parashikimi i motit: temperatura pritet të bjerë deri në -20 °C. Përshkruani këtë ngjarje:
E pamundur
E besueshme
E rastësishme
Opsioni 2
Cila nga pabarazitë është e vërtetë?
-5 > 0
6 < -17
-34 > -40
-9 < -63
Cila shenjë duhet të shkruhet midis këtyre thyesave që pabarazia të jetë e vërtetë?
-1315 -715<
>
=
A është e vërtetë që numri 0 është më i vogël se çdo numër negativ?
po
Nr
Numri x nuk është më i madh se zero. Si mund ta shkruajmë këtë deklaratë si një pabarazi?
x≥0x>0x<0x≤0Укажите наименьшее из данных чисел.
-5,92
1,7
-1000
35 Për cilat vlera natyrore të a është e vërtetë pabarazia a≤3?1, 2, 3
0, 1, 2, 3
1, 2
0, 1, 2
Për cilat vlera të plota të m është e vërtetë pabarazia m?<-4?-3, -2, -1
0, -1, -2, -3, 1, 2, 3
0
Nuk ka vlera të tilla
Numrat 1,2; -1,2; -427; -100 të vendosura:
Në rrëmujë
Në rend në rritje
Në rend zbritës
Pika A(5) është shënuar në vijën e koordinatave. Në këtë vijë u shënua rastësisht një pikë tjetër B. Koordinata e saj doli të ishte numri i kundërt me 5. Përshkruani këtë ngjarje.
E rastësishme
E besueshme
E pamundur
Përgjigjet
Testi nr. 1 Testi nr. 2
Nr. Opsioni 1 Opsioni 2
1 3 4
2 2 3
3 4 3
4 3 1
5 1 2
6 4 4
7 3 2
8 2 3
9 1 2
10 4 1
Nr. Opsioni 1 Opsioni 2
1 3 2
2 1 4
3 1 2
4 4 3
5 2 1
6 3 4
7 3 3
8 4 1
9 1 2
10 2 4

Testi nr. 3
Nr. Opsioni 1 Opsioni 2
1 4 3
2 1 2
3 1 2
4 3 4
5 1 3
6 2 1
7 4 4
8 2 3

Përbëhet nga numra pozitivë (natyrorë), numra negativë dhe zero.

Të gjithë numrat negativë dhe vetëm ata janë më pak se zero. Në vijën numerike, numrat negativë janë të vendosur në të majtë të zeros. Për ta, si për numrat pozitivë, përcaktohet një relacion i rendit, i cili lejon që dikush të krahasojë një numër të plotë me një tjetër.

Për çdo numër natyror n ka një dhe vetëm një numër negativ, të shënuar -n, e cila plotëson n në zero: n + (− n) = 0 . Të dy numrat thirren e kundërt per njeri tjetrin. Duke zbritur një numër të plotë aështë e barabartë me shtimin e tij me të kundërtën e tij: -a.

Vetitë e numrave negativë

Numrat negativ ndjekin pothuajse të njëjtat rregulla si numrat natyrorë, por kanë disa veçori të veçanta.

Skicë historike

Letërsia

Vygodsky M. Ya. Doracak i matematikës fillore. - M.: AST, 2003. - ISBN 5-17-009554-6
Glazer G.I. Historia e matematikës në shkollë. - M.: Arsimi, 1964. - 376 f.

Lidhjet

Fondacioni Wikimedia. 2010.

Duke shkaktuar dëm të pamatur
Neotropikët

Shihni se çfarë është një "numër jo negativ" në fjalorë të tjerë:

Numri real- Numri real, ose real, është një abstraksion matematik që lindi nga nevoja për të matur sasitë gjeometrike dhe fizike të botës përreth, si dhe për të kryer operacione të tilla si nxjerrja e rrënjëve, llogaritja e logaritmeve, zgjidhja... ... Wikipedia

zakonisht një numër i vogël i plotë jo negativ- Pjesë e kodimit që përfaqëson vlerat e një numri të plotë jo negativ të pakufizuar, por ku vlerat e vogla kanë më shumë gjasa të ndodhin më shpesh (ITU T X.691). Temat...... Udhëzues teknik i përkthyesit

NUMRI REAL- numër real, numër pozitiv, numër negativ ose zero. Koncepti i një numri numri lindi duke zgjeruar konceptin e një numri racional. Nevoja për këtë zgjerim vjen si pasojë e përdorimit praktik të matematikës në shprehjen... ... Enciklopedia Matematikore

Numri kryesor- Një numër i thjeshtë është një numër natyror që ka saktësisht dy pjesëtues natyrorë të dallueshëm: një dhe vetveten. Të gjithë numrat e tjerë natyrorë, përveç njërit, quhen të përbërë. Kështu, të gjithë numrat natyrorë janë më të mëdhenj se një... ... Wikipedia

numri natyror- ▲ numër i plotë shprehës, real, numër natyror numër i plotë jo negativ; shpreh numrin e objekteve të tëra individuale në atë që l. agregate; shënoni numrin e objekteve të plota reale; shprehja e numrave. katër... Fjalor ideografik i gjuhës ruse

dhjetore- Dhjetorja është një lloj thyese që është një mënyrë për të paraqitur numrat realë në formën ku shenja e thyesës është: ose, ose, një pikë dhjetore që shërben si ndarës midis numrit të plotë dhe pjesës thyesore të numrit. .. ... Wikipedia Wikipedia

Si numër i veçantë, ai nuk ka asnjë shenjë.

Shembuj të shkrimit të numrave: + 36, 6; − 273 ; 142. (\displaystyle +36(,)6;\ (-)273;\ 142.) Numri i fundit nuk ka asnjë shenjë dhe për këtë arsye është pozitiv.

Duhet të theksohet se plus dhe minus tregojnë shenjën për numrat, por jo për ndryshoret literale ose shprehjet algjebrike. Për shembull, në formula − t ; a+b; − (a 2 + b 2) (\shfaqja -t;\ a+b;\ -(a^(2)+b^(2))) Simbolet plus dhe minus nuk specifikojnë shenjën e shprehjes që paraprijnë, por shenjën e veprimit aritmetik, kështu që shenja e rezultatit mund të jetë çdo gjë; përcaktohet vetëm pasi shprehja të jetë vlerësuar.

Përveç aritmetikës, koncepti i një shenje përdoret në degë të tjera të matematikës, duke përfshirë edhe për objektet matematikore jo-numerike (shih më poshtë). Koncepti i shenjës është gjithashtu i rëndësishëm në ato degë të fizikës ku sasitë fizike ndahen në dy klasa, të quajtura konvencionalisht pozitive dhe negative - për shembull, ngarkesat elektrike, reagimet pozitive dhe negative, forcat e ndryshme të tërheqjes dhe zmbrapsjes.

Shenja e numrit

Numrat pozitivë dhe negativë

Zeros nuk i është caktuar asnjë shenjë, domethënë + 0 (\displaystyle +0) Dhe − 0 (\displaystyle -0)- ky është i njëjti numër në aritmetikë. Në analizën matematikore, kuptimi i simboleve + 0 (\displaystyle +0) Dhe − 0 (\displaystyle -0) mund të ndryshojë, shikoni për këtë zero negative dhe pozitive; në shkencat kompjuterike, kodimi kompjuterik i dy zeros (lloji i plotë) mund të ndryshojë, shih Kodi i drejtpërdrejtë.

Në lidhje me sa më sipër, prezantohen disa terma më të dobishëm:

Numri jo negative, nëse është më i madh ose i barabartë me zero.
Numri negativ, nëse është më e vogël ose e barabartë me zero.
Numrat pozitivë pa zero dhe numrat negativë pa zero ndonjëherë quhen (për të theksuar se janë jo zero) përkatësisht "rreptësisht pozitiv" dhe "rreptësisht negativ".

E njëjta terminologji përdoret ndonjëherë për funksione reale. Për shembull, thirret funksioni pozitive, nëse të gjitha vlerat e tij janë pozitive, jo negative, nëse të gjitha vlerat e tij janë jo negative, etj. Ata gjithashtu thonë se një funksion është pozitiv/negativ në një interval të caktuar të përkufizimit të tij..

Për një shembull të përdorimit të funksionit, shihni artikullin Rrënja katrore#Numrat kompleks.

Moduli (vlera absolute) e një numri

Nëse numri x (\displaystyle x) hidhni shenjën, quhet vlera që rezulton modul ose vlere absolute numrat x (\displaystyle x), është caktuar | x | . (\displaystyle |x|.) Shembuj: | 3 | = 3; | − 3 | = 3. (\style ekrani |3|=3;\ |(-3)|=3.)

Për çdo numër real a , b (\displaystyle a,b) vlejnë vetitë e mëposhtme.

Shenja për objekte jo numerike

Shenja e këndit

Vlera e një këndi në një rrafsh konsiderohet pozitive nëse matet në drejtim të kundërt të akrepave të orës, përndryshe negative. Dy raste të rrotullimit klasifikohen në mënyrë të ngjashme:

rrotullimi në një aeroplan - për shembull, rrotullimi me (–90°) ndodh në drejtim të akrepave të orës;
rrotullimi në hapësirë rreth një boshti të orientuar përgjithësisht konsiderohet pozitiv nëse plotësohet "rregulli i gimletit", përndryshe ai konsiderohet negativ.

Shenja e drejtimit

Në gjeometrinë analitike dhe fizikën, përparimet përgjatë një vije të drejtë ose kurbë të caktuar shpesh ndahen në mënyrë konvencionale në pozitive dhe negative. Një ndarje e tillë mund të varet nga formulimi i problemit ose nga sistemi i zgjedhur i koordinatave. Për shembull, kur llogaritet gjatësia e harkut të një kurbë, shpesh është e përshtatshme të caktohet një shenjë minus në këtë gjatësi në një nga dy drejtimet e mundshme.

Hyni në kompjuter

pjesa më domethënëse
0	1	1	1	1	1	1	1	=	127
0	1	1	1	1	1	1	0	=	126
0	0	0	0	0	0	1	0	=	2
0	0	0	0	0	0	0	1	=	1
0	0	0	0	0	0	0	0	=	0
1	1	1	1	1	1	1	1	=	−1
1	1	1	1	1	1	1	0	=	−2
1	0	0	0	0	0	0	1	=	−127
1	0	0	0	0	0	0	0	=	−128
Për të përfaqësuar shenjën e një numri të plotë, shumica e kompjuterëve përdorin

Ky mësim do të shqyrtojë konceptin e modulit të një numri real dhe do të prezantojë disa nga përkufizimet e tij bazë, të ndjekur nga shembuj që demonstrojnë përdorimin e këtyre përkufizimeve të ndryshme.

Tema:Numrat realë

Mësim:Moduli i një numri real

1. Përkufizimet e modulit

Le të shqyrtojmë një koncept të tillë si moduli i një numri real; ai ka disa përkufizime.

Përkufizimi 1. Distanca nga një pikë në një vijë koordinative në zero quhet numri i modulit, e cila është koordinata e kësaj pike (Fig. 1).

Shembulli 1. . Vini re se vlerat absolute të numrave të kundërt janë të barabarta dhe jo negative, pasi kjo është një distancë, por nuk mund të jetë negative, dhe distanca nga numrat simetrik rreth zero deri në origjinë janë të barabarta.

Përkufizimi 2. .

Shembulli 2. Le të shqyrtojmë një nga problemet e paraqitura në shembullin e mëparshëm për të demonstruar ekuivalencën e përkufizimeve të paraqitura. , siç e shohim, me një numër negativ nën shenjën e modulit, duke shtuar një minus tjetër përpara tij jep një rezultat jo negativ, siç vijon nga përkufizimi i modulit.

Pasoja. Distanca midis dy pikave me koordinata në një vijë koordinative mund të gjendet si më poshtë pavarësisht nga pozicioni relativ i pikave (Fig. 2).

2. Vetitë themelore të modulit

1. Moduli i çdo numri është jonegativ

2. Moduli i një produkti është prodhimi i moduleve

3. Një modul koeficient është një koeficient i moduleve

3. Zgjidhja e problemeve

Shembulli 3. Zgjidheni ekuacionin.

Zgjidhje. Le të përdorim përkufizimin e modulit të dytë: dhe shkruajmë ekuacionin tonë në formën e një sistemi ekuacionesh për opsione të ndryshme për hapjen e modulit.

Shembulli 4. Zgjidheni ekuacionin.

Zgjidhje. Ngjashëm me zgjidhjen e shembullit të mëparshëm, marrim atë.

Shembulli 5. Zgjidheni ekuacionin.

Zgjidhje. Le të zgjidhim përmes një përfundimi nga përkufizimi i parë i modulit: . Le ta përshkruajmë këtë në boshtin e numrave, duke marrë parasysh që rrënja e dëshiruar do të jetë në një distancë prej 2 nga pika 3 (Fig. 3).

Bazuar në figurë, marrim rrënjët e ekuacionit: , pasi pikat me koordinata të tilla janë në një distancë prej 2 nga pika 3, siç kërkohet në ekuacion.

Përgjigju. .

Shembulli 6. Zgjidheni ekuacionin.

Zgjidhje. Krahasuar me problemin e mëparshëm, ekziston vetëm një ndërlikim - ky është se nuk ka ngjashmëri të plotë me formulimin e konkluzionit në lidhje me distancën midis numrave në boshtin koordinativ, pasi nën shenjën e modulit ka një shenjë plus, jo një minus. shenjë. Por nuk është e vështirë për ta sjellë atë në formën e kërkuar, gjë që do të bëjmë:

Le ta përshkruajmë këtë në boshtin e numrave në mënyrë të ngjashme me zgjidhjen e mëparshme (Fig. 4).

Rrënjët e ekuacionit .

Përgjigju. .

Shembulli 7. Zgjidheni ekuacionin.

Zgjidhje. Ky ekuacion është pak më i ndërlikuar se ai i mëparshmi, sepse e panjohura është në vendin e dytë dhe ka një shenjë minus, përveç kësaj, ka edhe një shumëzues numerik. Për të zgjidhur problemin e parë, ne përdorim një nga vetitë e modulit dhe marrim:

Për të zgjidhur problemin e dytë, le të bëjmë një ndryshim të ndryshoreve: , që do të na çojë te ekuacioni më i thjeshtë . Sipas përkufizimit të dytë të modulit . Zëvendësoni këto rrënjë në ekuacionin e zëvendësimit dhe merrni dy ekuacione lineare:

Përgjigju. .

4. Rrënja katrore dhe moduli

Shumë shpesh, kur zgjidhni probleme me rrënjët, lindin module dhe duhet t'i kushtoni vëmendje situatave në të cilat ato lindin.

Në shikim të parë në këtë identitet, mund të lindin pyetje: "pse ka një modul atje?" dhe "pse identiteti është i rremë?" Rezulton se mund t'i japim një kundërshembull të thjeshtë pyetjes së dytë: nëse kjo duhet të jetë e vërtetë, e cila është ekuivalente, por ky është një identitet i rremë.

Pas kësaj mund të lindë pyetja: “a nuk e zgjidh problemin një identitet i tillë?”, por ka edhe një kundërshembull për këtë propozim. Nëse kjo duhet të jetë e vërtetë, që është ekuivalente, por ky është një identitet i rremë.

Prandaj, nëse kujtojmë se rrënja katrore e një numri jonegativ është një numër jonegativ dhe vlera e modulit është jonegative, bëhet e qartë pse pohimi i mësipërm është i vërtetë:

Shembulli 8. Llogaritni vlerën e shprehjes.

Zgjidhje. Në detyra të tilla, është e rëndësishme që të mos heqësh qafe rrënjën pa u menduar menjëherë, por të përdorësh identitetin e lartpërmendur, sepse .

Sot miq, nuk do ketë as ngërç dhe as sentimentalizëm. Në vend të kësaj, unë do t'ju dërgoj, pa pyetje, në betejë me një nga kundërshtarët më të frikshëm në kursin e algjebrës së klasës 8-9.

Po, ju e keni kuptuar gjithçka saktë: ne po flasim për pabarazi me modul. Ne do të shikojmë katër teknika bazë me të cilat do të mësoni të zgjidhni rreth 90% të problemeve të tilla. Po 10% e mbetur? Epo, ne do të flasim për to në një mësim të veçantë. :)

Megjithatë, përpara se të analizoj ndonjë nga teknikat, do të doja t'ju kujtoja dy fakte që tashmë duhet t'i dini. Përndryshe, rrezikoni të mos e kuptoni fare materialin e mësimit të sotëm.

Ajo që duhet të dini tashmë

Captain Obviousness duket se lë të kuptohet se për të zgjidhur pabarazitë me modul duhet të dini dy gjëra:

Si zgjidhen pabarazitë;
Çfarë është një modul?

Le të fillojmë me pikën e dytë.

Përkufizimi i modulit

Gjithçka është e thjeshtë këtu. Ekzistojnë dy përkufizime: algjebrike dhe grafike. Për të filluar me - algjebrike:

Përkufizimi. Moduli i një numri $x$ është ose vetë numri, nëse nuk është negativ, ose numri i kundërt me të, nëse origjinali $x$ është ende negativ.

Është shkruar kështu:

\[\majtas| x \djathtas|=\majtas\( \fillimi(rreshtoj) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\fund (rreshtoj) \djathtas.\]

Me fjalë të thjeshta, një modul është një "numër pa minus". Dhe pikërisht në këtë dualitet (në disa vende nuk duhet të bësh asgjë me numrin origjinal, por në të tjera duhet të heqësh një lloj minusi) ku qëndron e gjithë vështirësia për studentët fillestarë.

Ekziston edhe një përkufizim gjeometrik. Është gjithashtu e dobishme të dihet, por do t'i drejtohemi vetëm në raste komplekse dhe në disa raste të veçanta, ku qasja gjeometrike është më e përshtatshme se ajo algjebrike (prishje: jo sot).

Përkufizimi. Le të shënohet pika $a$ në vijën numerike. Pastaj moduli $\left| x-a \right|$ është distanca nga pika $x$ në pikën $a$ në këtë linjë.

Nëse vizatoni një foto, do të merrni diçka si kjo:

Përcaktimi i modulit grafik

Në një mënyrë apo tjetër, nga përkufizimi i një moduli, vetia kryesore e tij rrjedh menjëherë: moduli i një numri është gjithmonë një madhësi jo negative. Ky fakt do të jetë një fije e kuqe që do të përshkojë gjithë narrativën tonë sot.

Zgjidhja e pabarazive. Metoda e intervalit

Tani le të shohim pabarazitë. Ka shumë prej tyre, por detyra jonë tani është të jemi në gjendje të zgjidhim të paktën më të thjeshtat prej tyre. Ato që reduktohen në pabarazi lineare, si dhe në metodën e intervalit.

Unë kam dy mësime të mëdha për këtë temë (nga rruga, shumë, SHUMË e dobishme - unë rekomandoj t'i studioni ato):

Metoda e intervalit për pabarazitë (sidomos shikoni videon);
Pabarazitë racionale thyesore janë një mësim shumë i gjerë, por pas tij nuk do të keni fare pyetje.

Nëse i dini të gjitha këto, nëse fraza "le të kalojmë nga pabarazia në ekuacion" nuk ju bën të keni një dëshirë të paqartë për të goditur veten pas murit, atëherë jeni gati: mirë se vini në ferr në temën kryesore të mësimit. :)

1. Pabarazitë e formës “Moduli është më i vogël se funksioni”

Ky është një nga problemet më të zakonshme me modulet. Kërkohet të zgjidhet një pabarazi e formës:

\[\majtas| f\djathtas| \ltg\]

Funksionet $f$ dhe $g$ mund të jenë çdo gjë, por zakonisht ato janë polinome. Shembuj të pabarazive të tilla:

Të gjitha ato mund të zgjidhen fjalë për fjalë në një rresht sipas skemës së mëposhtme:

\[\majtas| f\djathtas| \lt g\Djathtas -g \lt f \lt g\katër \ majtas(\Djathtas \majtas\( \fillimi(rreshtoj) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\fund (rreshtoj) \drejtë.\djathtas)\]

Është e lehtë të shihet se ne heqim qafe modulin, por si kthim marrim një pabarazi të dyfishtë (ose, që është e njëjta gjë, një sistem me dy pabarazi). Por ky tranzicion merr parasysh absolutisht të gjitha problemet e mundshme: nëse numri nën modul është pozitiv, metoda funksionon; nëse është negative, ajo ende funksionon; dhe madje edhe me funksionin më të papërshtatshëm në vend të $f$ ose $g$, metoda do të vazhdojë të funksionojë.

Natyrisht, lind pyetja: a nuk mund të ishte më e thjeshtë? Fatkeqësisht, nuk është e mundur. Kjo është e gjithë pika e modulit.

Megjithatë, mjaft me filozofimin. Le të zgjidhim disa probleme:

Detyrë. Zgjidh pabarazinë:

\[\majtas| 2x+3 \djathtas| \lt x+7\]

Zgjidhje. Pra, ne kemi para nesh një pabarazi klasike të formës "moduli është më i vogël" - madje nuk ka asgjë për të transformuar. Ne punojmë sipas algoritmit:

\[\filloj(rreshtoj) & \majtas| f\djathtas| \lt g\Djathtas -g \lt f \lt g; \\ & \majtas| 2x+3 \djathtas| \lt x+7\Djathtas shigjetë -\majtas(x+7 \djathtas) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\fund (rreshtoj)\]

Mos nxitoni të hapni kllapat e paraprirë nga një "minus": është shumë e mundur që për shkak të nxitimit tuaj të bëni një gabim fyes.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\majtas\( \fillimi(rreshtoj) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \fund (rreshtoj) \djathtas.\]

\[\majtas\( \fillimi(rreshtoj) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \fund (rreshtoj) \djathtas.\]

\[\majtas\( \fillimi(rreshtoj) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \fund (rreshtoj) \djathtas.\]

Problemi u reduktua në dy pabarazi elementare. Le të shënojmë zgjidhjet e tyre në drejtëzat numerike paralele:
Kryqëzimi i shumë
Kryqëzimi i këtyre grupeve do të jetë përgjigja.

Përgjigje: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \djathtas)$

Detyrë. Zgjidh pabarazinë:

\[\majtas| ((x)^(2))+2x-3 \djathtas|+3\majtas(x+1 \djathtas) \lt 0\]

Zgjidhje. Kjo detyrë është pak më e vështirë. Së pari, le të izolojmë modulin duke lëvizur termin e dytë djathtas:

\[\majtas| ((x)^(2))+2x-3 \djathtas| \lt -3\majtas(x+1 \djathtas)\]

Natyrisht, ne përsëri kemi një pabarazi të formës "moduli është më i vogël", kështu që ne shpëtojmë nga moduli duke përdorur algoritmin tashmë të njohur:

\[-\majtas(-3\majtas(x+1 \djathtas) \djathtas) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\majtas(x+1 \djathtas)\]

Tani vëmendje: dikush do të thotë se jam pak pervers me gjithë këto kllapa. Por më lejoni t'ju kujtoj edhe një herë se qëllimi ynë kryesor është zgjidhni saktë mosbarazimin dhe merrni përgjigjen. Më vonë, kur të keni zotëruar në mënyrë të përsosur gjithçka të përshkruar në këtë mësim, mund ta shtrembëroni vetë sipas dëshirës: hapni kllapat, shtoni minuset, etj.

Për të filluar, ne thjesht do të heqim qafe minusin e dyfishtë në të majtë:

\[-\majtas(-3\majtas(x+1 \djathtas) \djathtas)=\majtas(-1 \djathtas)\cdot \majtas(-3 \djathtas)\cdot \majtas(x+1 \djathtas) =3\majtas(x+1 \djathtas)\]

Tani le të hapim të gjitha kllapat në pabarazinë e dyfishtë:

Le të kalojmë te pabarazia e dyfishtë. Këtë herë llogaritjet do të jenë më serioze:

\[\majtas\( \fillimi(rreshtoj) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \fund (rreshtoj) \djathtas.\]

\[\majtas\( \fillimi(rreshtoj) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \fund( rreshtoj)\djathtas.\]

Të dyja pabarazitë janë kuadratike dhe mund të zgjidhen duke përdorur metodën e intervalit (kjo është arsyeja pse unë them: nëse nuk e dini se çfarë është kjo, është më mirë të mos merrni ende module). Le të kalojmë te ekuacioni në pabarazinë e parë:

\[\fillim(rreshtoj) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\ majtas(x+5 \djathtas)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\fund (radhis)\]

Siç mund ta shihni, dalja është një ekuacion kuadratik jo i plotë, i cili mund të zgjidhet në mënyrë elementare. Tani le të shohim pabarazinë e dytë të sistemit. Atje do të duhet të zbatoni teoremën e Vieta:

\[\fillim(lidhoj) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \majtas(x-3 \djathtas)\majtas(x+2 \djathtas)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\fund (radhis)\]

Ne shënojmë numrat që rezultojnë në dy rreshta paralele (të ndara për pabarazinë e parë dhe të ndara për të dytën):
Përsëri, meqenëse po zgjidhim një sistem pabarazish, ne jemi të interesuar në kryqëzimin e bashkësive të hijezuara: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Kjo është përgjigja.
Përgjigje: $x\in \left(-5;-2 \djathtas)$

Unë mendoj se pas këtyre shembujve skema e zgjidhjes është jashtëzakonisht e qartë:

Izoloni modulin duke lëvizur të gjithë termat e tjerë në anën e kundërt të pabarazisë. Kështu marrim një pabarazi të formës $\left| f\djathtas| \ltg$.
Zgjidheni këtë pabarazi duke hequr qafe modulin sipas skemës së përshkruar më sipër. Në një moment, do të jetë e nevojshme të kalojmë nga pabarazia e dyfishtë në një sistem me dy shprehje të pavarura, secila prej të cilave tashmë mund të zgjidhet veçmas.
Më në fund, gjithçka që mbetet është të kryqëzojmë zgjidhjet e këtyre dy shprehjeve të pavarura - dhe kjo është ajo, ne do të marrim përgjigjen përfundimtare.

Një algoritëm i ngjashëm ekziston për pabarazitë e tipit të mëposhtëm, kur moduli është më i madh se funksioni. Sidoqoftë, ka disa "por" serioze. Ne do të flasim për këto "por" tani.

2. Pabarazitë e formës “Moduli është më i madh se funksioni”

Ata duken kështu:

\[\majtas| f\djathtas| \gtg\]

Ngjashëm me atë të mëparshmin? Duket. E megjithatë probleme të tilla zgjidhen në një mënyrë krejtësisht të ndryshme. Formalisht, skema është si më poshtë:

\[\majtas| f\djathtas| \gt g\Djathtas shigjetë \majtas[ \fillim(radhis) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\fund (rreshtoj) \djathtas.\]

Me fjalë të tjera, ne konsiderojmë dy raste:

Së pari, ne thjesht injorojmë modulin dhe zgjidhim pabarazinë e zakonshme;
Pastaj, në thelb, ne e zgjerojmë modulin me shenjën minus, dhe pastaj i shumëzojmë të dyja anët e pabarazisë me -1, ndërsa unë kam shenjën.

Në këtë rast, opsionet kombinohen me një kllapa katrore, d.m.th. Ne kemi para nesh një kombinim të dy kërkesave.

Ju lutemi vini re përsëri: ky nuk është një sistem, por një tërësi në përgjigje grupet janë të kombinuara dhe jo të kryqëzuara. Ky është një ndryshim thelbësor nga pika e mëparshme!

Në përgjithësi, shumë studentë janë plotësisht të hutuar me sindikatat dhe kryqëzimet, kështu që le ta zgjidhim këtë çështje një herë e përgjithmonë:

"∪" është një shenjë bashkimi. Në fakt, kjo është një shkronjë e stilizuar "U", e cila na erdhi nga gjuha angleze dhe është një shkurtim për "Bashkimi", d.m.th. "Shoqatat".
"∩" është shenja e kryqëzimit. Kjo katrahurë nuk erdhi nga askund, por thjesht u shfaq si një kundërvënie ndaj "∪".

Për ta bërë edhe më të lehtë të mbani mend, thjesht vizatoni këmbët në këto shenja për të bërë syze (thjesht mos më akuzoni tani për promovimin e varësisë nga droga dhe alkoolizmin: nëse po e studioni seriozisht këtë mësim, atëherë jeni tashmë një narkoman):

Dallimi midis kryqëzimit dhe bashkimit të bashkësive

E përkthyer në Rusisht, kjo do të thotë si vijon: bashkimi (tërësia) përfshin elementë nga të dy grupet, prandaj nuk është në asnjë mënyrë më pak se secili prej tyre; por kryqëzimi (sistemi) përfshin vetëm ato elemente që janë njëkohësisht në grupin e parë dhe në të dytin. Prandaj, kryqëzimi i grupeve nuk është kurrë më i madh se grupet burimore.

Pra u bë më e qartë? Kjo është e mrekullueshme. Le të kalojmë në praktikë.

Detyrë. Zgjidh pabarazinë:

\[\majtas| 3x+1 \djathtas| \gt 5-4x\]

Zgjidhje. Ne vazhdojmë sipas skemës:

\[\majtas| 3x+1 \djathtas| \gt 5-4x\Djathtas shigjeta \majtas[ \fillimi(rreshtoj) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\majtas(5-4x \djathtas) \\\fund (rreshtoj) \ drejtë.\]

Ne zgjidhim çdo pabarazi në popullatë:

\[\majtas[ \fillimi(rreshtoj) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \fund (rreshtoj) \djathtas.\]

\[\majtas[ \fillimi(rreshtoj) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \fund (rreshtoj) \djathtas.\]

\[\majtas[ \fillimi(rreshtoj) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \fund (rreshtoj) \djathtas.\]

Ne shënojmë çdo grup që rezulton në vijën numerike dhe më pas i kombinojmë:
Bashkimi i kompleteve
Është mjaft e qartë se përgjigja do të jetë $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \djathtas)$

Përgjigje: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \djathtas)$

Detyrë. Zgjidh pabarazinë:

\[\majtas| ((x)^(2))+2x-3 \djathtas| \gt x\]

Zgjidhje. Mirë? Asgjë - gjithçka është e njëjtë. Ne kalojmë nga një pabarazi me një modul në një grup prej dy pabarazish:

\[\majtas| ((x)^(2))+2x-3 \djathtas| \gt x\Djathtas shigjeta \majtas[ \fillim(radhis) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\fund (rreshtoj) \djathtas.\]

Ne zgjidhim çdo pabarazi. Fatkeqësisht, rrënjët atje nuk do të jenë shumë të mira:

\[\filloj(lidhoj) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\&D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\fund (radhis)\]

Pabarazia e dytë është gjithashtu pak e egër:

\[\fillim(lidhoj) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\&D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\fund (radhis)\]

Tani ju duhet t'i shënoni këta numra në dy boshte - një bosht për secilën pabarazi. Sidoqoftë, duhet të shënoni pikat në rendin e duhur: sa më i madh të jetë numri, aq më tej pika lëviz djathtas.

Dhe këtu na pret një organizim. Nëse gjithçka është e qartë me numrat $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (termat në numëruesin e të parës thyesa janë më të vogla se termat në numëruesin e sekondës, kështu që shuma është gjithashtu më e vogël), me numrat $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt (21)) (2)$ gjithashtu nuk do të ketë vështirësi (numri pozitiv padyshim më negativ), atëherë me çiftin e fundit gjithçka nuk është aq e qartë. Cila është më e madhe: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ ose $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? Vendosja e pikave në vijat numerike dhe, në fakt, përgjigja do të varet nga përgjigja e kësaj pyetjeje.

Pra, le të krahasojmë:

\[\fillim(matricë) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\fund (matricë)\]

Ne izoluam rrënjën, morëm numra jo negativë në të dy anët e pabarazisë, kështu që kemi të drejtën të katrorim të dy anët:

\[\fillim(matricë) ((\left(2+\sqrt(13) \djathtas))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \djathtas))^(2)) \ \ 4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\fund (matricë)\]

Unë mendoj se nuk është aspak e mirë që $4\sqrt(13) \gt 3$, kështu që $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, pikat përfundimtare në akset do të vendosen si kjo:
Një rast me rrënjë të shëmtuara
Më lejoni t'ju kujtoj se ne po zgjidhim një grup, kështu që përgjigja do të jetë një bashkim, jo një kryqëzim i grupeve me hije.

Përgjigje: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \djathtas)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty \djathtas)$

Siç mund ta shihni, skema jonë funksionon shkëlqyeshëm për problemet e thjeshta dhe shumë të vështira. E vetmja "pikë e dobët" në këtë qasje është se ju duhet të krahasoni saktë numrat irracionalë (dhe më besoni: këto nuk janë vetëm rrënjë). Por një mësim i veçantë (dhe shumë serioz) do t'i kushtohet çështjeve të krahasimit. Dhe ne vazhdojmë.

3. Pabarazitë me "bishte" jo negative

Tani kalojmë në pjesën më interesante. Këto janë pabarazitë e formës:

\[\majtas| f\djathtas| \gt\majtas| g\djathtas|\]

Në përgjithësi, algoritmi për të cilin do të flasim tani është i saktë vetëm për modulin. Ajo funksionon në të gjitha pabarazitë ku ka shprehje të garantuara jo negative në të majtë dhe në të djathtë:

Çfarë duhet bërë me këto detyra? Vetëm mbani mend:

Në pabarazitë me "bishte" jo negative, të dyja palët mund të ngrihen në çdo fuqi natyrore. Nuk do të ketë kufizime shtesë.

Para së gjithash, ne do të jemi të interesuar në katrorin - djeg modulet dhe rrënjët:

\[\fillim(lidhoj) & ((\majtas(\majtas| f \djathtas| \djathtas))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\majtas(\sqrt(f) \djathtas))^(2))=f. \\\fund (radhis)\]

Thjesht mos e ngatërroni këtë me marrjen e rrënjës së një katrori:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\majtas| f \djathtas|\ne f\]

Gabime të panumërta u bënë kur një student harroi të instalonte një modul! Por kjo është një histori krejtësisht e ndryshme (këto janë, si të thuash, ekuacione irracionale), kështu që ne nuk do të hyjmë në këtë tani. Le të zgjidhim disa probleme më mirë:

Detyrë. Zgjidh pabarazinë:

\[\majtas| x+2 \djathtas|\ge \majtas| 1-2x \djathtas|\]

Zgjidhje. Le të vëmë re menjëherë dy gjëra:

Kjo nuk është një pabarazi strikte. Pikat në vijën numerike do të shpohen.

Të dyja anët e pabarazisë janë padyshim jo negative (kjo është një veti e modulit: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

Prandaj, ne mund të sheshojmë të dy anët e pabarazisë për të hequr qafe modulin dhe për të zgjidhur problemin duke përdorur metodën e zakonshme të intervalit:

\[\fillo(rreshtoj) & ((\majtas(\majtas| x+2 \djathtas| \djathtas))^(2))\ge ((\majtas(\majtas| 1-2x \djathtas| \djathtas) )^(2)); \\ & ((\majtas(x+2 \djathtas))^(2))\ge ((\majtas(2x-1 \djathtas))^(2)). \\\fund (radhis)\]

Në hapin e fundit, mashtrova pak: ndryshova sekuencën e termave, duke përfituar nga njëtrajtshmëria e modulit (në fakt, e shumëzova shprehjen $1-2x$ me -1).

\[\fillo(rreshtoj) & ((\majtas(2x-1 \djathtas))^(2))-((\majtas(x+2 \djathtas))^(2))\le 0; \\ & \majtas(\majtas(2x-1 \djathtas)-\majtas(x+2 \djathtas) \djathtas)\cdot \majtas(\majtas(2x-1 \djathtas)+\majtas(x+2 \ djathtas)\djathtas)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \djathtas)\cdot \left(2x-1+x+2 \djathtas)\le 0; \\ & \majtas(x-3 \djathtas)\cdot \majtas(3x+1 \djathtas)\le 0. \\\fund (rreshtoj)\]

Ne zgjidhim duke përdorur metodën e intervalit. Le të kalojmë nga pabarazia në ekuacion:

\[\fillim(rreshtoj) & \left(x-3 \djathtas)\majtas(3x+1 \djathtas)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\fund (radhis)\]

Rrënjët e gjetura i shënojmë në vijën numerike. Edhe një herë: të gjitha pikat janë të hijezuara sepse pabarazia origjinale nuk është e rreptë!
Heqja e shenjës së modulit
Më lejoni t'ju kujtoj për ata që janë veçanërisht kokëfortë: marrim shenjat nga pabarazia e fundit, e cila u shkrua përpara se të kalonim në ekuacion. Dhe ne pikturojmë zonat e kërkuara në të njëjtën pabarazi. Në rastin tonë është $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \djathtas)\le 0$.

OK tani ka mbaruar. Problemi është zgjidhur.

Përgjigje: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \djathtas]$.

Detyrë. Zgjidh pabarazinë:

\[\majtas| ((x)^(2))+x+1 \djathtas|\le \majtas| ((x)^(2))+3x+4 \djathtas|\]

Zgjidhje. Ne bëjmë gjithçka njësoj. Unë nuk do të komentoj - thjesht shikoni sekuencën e veprimeve.

Sheshoni atë:

\[\fillo(rreshtoj) & ((\majtas(\majtas| ((x)^(2))+x+1 \djathtas| \djathtas))^(2))\le ((\majtas(\majtas | ((x)^(2))+3x+4 \djathtas| \djathtas))^(2)); \\ & ((\majtas(((x)^(2))+x+1 \djathtas))^(2))\le ((\majtas(((x)^(2))+3x+4 \djathtas))^(2)); \\ & ((\majtas(((x)^(2))+x+1 \djathtas))^(2))-((\majtas(((x)^(2))+3x+4 \ djathtas))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \djathtas)\herë \\ & \herë \majtas(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \djathtas)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \djathtas)\majtas(2((x)^(2))+4x+5 \djathtas)\le 0. \\\fund (rreshtoj)\]

Metoda e intervalit:

\[\fillim(rreshtoj) & \left(-2x-3 \djathtas)\majtas(2((x)^(2))+4x+5 \djathtas)=0 \\ & -2x-3=0\ Shigjeta djathtas x=-1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Djathtas shigjetë D=16-40 \lt 0\Djathtas \varnothing . \\\fund (radhis)\]

Ka vetëm një rrënjë në vijën numerike:
Përgjigja është një interval i tërë
Përgjigje: $x\in \left[ -1.5;+\infty \djathtas)$.

Një shënim i vogël për detyrën e fundit. Siç vuri në dukje me saktësi një nga studentët e mi, të dy shprehjet nënmodulare në këtë pabarazi janë padyshim pozitive, kështu që shenja e modulit mund të hiqet pa dëmtuar shëndetin.

Por ky është një nivel krejtësisht i ndryshëm i të menduarit dhe një qasje tjetër - me kusht mund të quhet metoda e pasojave. Rreth tij - në një mësim të veçantë. Tani le të kalojmë në pjesën e fundit të mësimit të sotëm dhe të shohim një algoritëm universal që funksionon gjithmonë. Edhe kur të gjitha qasjet e mëparshme ishin të pafuqishme. :)

4. Mënyra e numërimit të opsioneve

Po sikur të gjitha këto teknika të mos ndihmojnë? Nëse pabarazia nuk mund të reduktohet në bishta jo negative, nëse është e pamundur të izolohet moduli, nëse në përgjithësi ka dhimbje, trishtim, melankoli?

Pastaj "artileria e rëndë" e të gjithë matematikës del në skenë - metoda e forcës brutale. Në lidhje me pabarazitë me modul duket kështu:

Shkruani të gjitha shprehjet nënmodulare dhe vendosini ato të barabarta me zero;
Zgjidhini ekuacionet që rezultojnë dhe shënoni rrënjët e gjetura në një rresht numerik;
Vija e drejtë do të ndahet në disa seksione, brenda të cilave çdo modul ka një shenjë fikse dhe për këtë arsye zbulohet në mënyrë unike;
Zgjidheni pabarazinë në secilën pjesë të tillë (mund të merrni parasysh veçmas rrënjët-kufijtë e marrë në hapin 2 - për besueshmëri). Kombinoni rezultatet - kjo do të jetë përgjigjja. :)

Pra, si? I dobët? Lehtë! Vetëm për një kohë të gjatë. Le të shohim në praktikë:

Detyrë. Zgjidh pabarazinë:

\[\majtas| x+2 \djathtas| \lt \majtas| x-1 \djathtas|+x-\frac(3)(2)\]

Zgjidhje. Kjo mut nuk zbret në pabarazi si $\left| f\djathtas| \lt g$, $\majtas| f\djathtas| \gt g$ ose $\majtas| f\djathtas| \lt \majtas| g \right|$, kështu që ne veprojmë përpara.

Ne shkruajmë shprehje nënmodulare, i barazojmë me zero dhe gjejmë rrënjët:

\[\fillim(radhis) & x+2=0\Djathtas shigjetë x=-2; \\ & x-1=0\Djathtas shigjeta x=1. \\\fund (radhis)\]

Në total, ne kemi dy rrënjë që ndajnë vijën e numrave në tre seksione, brenda të cilave secili modul zbulohet në mënyrë unike:
Ndarja e vijës numerike me zero të funksioneve nënmodulare
Le të shohim secilin seksion veç e veç.

1. Le të $x \lt -2$. Atëherë të dyja shprehjet nënmodulare janë negative dhe pabarazia origjinale do të rishkruhet si më poshtë:

\[\fillim(rreshtoj) & -\majtas(x+2 \djathtas) \lt -\majtas(x-1 \djathtas)+x-1.5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x- 1,5 \\ & x \gt 1,5 \\\ fund (rreshtoj)\]

Kemi një kufizim mjaft të thjeshtë. Le ta kryqëzojmë me supozimin fillestar që $x \lt -2$:

\[\majtas\( \fillimi(rreshtoj) & x \lt -2 \\ & x \gt 1.5 \\\fund (rreshtoj) \djathtas.\Djathtas shigjeta x\në \varnothing \]

Natyrisht, ndryshorja $x$ nuk mund të jetë njëkohësisht më e vogël se −2 dhe më e madhe se 1.5. Nuk ka zgjidhje në këtë fushë.

1.1. Le të shqyrtojmë veçmas rastin kufitar: $x=-2$. Le ta zëvendësojmë këtë numër në pabarazinë origjinale dhe të kontrollojmë: a është e vërtetë?

\[\filloj(rreshtoj) & ((\majtas. \majtas| x+2 \djathtas| \lt \majtas| x-1 \djathtas|+x-1.5 \djathtas|)_(x=-2) ) \ \ & 0 \lt \majtas| -3\djathtas|-2-1,5; \\ & 0 \lt 3-3,5; \\ & 0 \lt -0.5\Djathtas \varnothing . \\\fund (radhis)\]

Është e qartë se zinxhiri i llogaritjeve na ka çuar në një pabarazi të gabuar. Prandaj, pabarazia origjinale është gjithashtu e rreme dhe $x=-2$ nuk përfshihet në përgjigje.

2. Le të jetë $-2 \lt x \lt 1$. Moduli i majtë tashmë do të hapet me një "plus", por i djathti do të vazhdojë të hapet me një "minus". Ne kemi:

\[\fillim(rreshtoj) & x+2 \lt -\majtas(x-1 \djathtas)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\\fund (rreshtoj)\]

Përsëri ne kryqëzohemi me kërkesën origjinale:

\[\majtas\( \fillimi(rreshtoj) & x \lt -2,5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\fund (rreshtoj) \djathtas.\Djathtas shigjeta x\në \varnothing \]

Dhe përsëri, grupi i zgjidhjeve është bosh, pasi nuk ka numra që janë më të vegjël se −2,5 dhe më të mëdhenj se −2.

2.1. Dhe përsëri një rast i veçantë: $x=1$. Ne zëvendësojmë në pabarazinë origjinale:

\[\filloj(rreshtoj) & ((\majtas. \majtas| x+2 \djathtas| \lt \majtas| x-1 \djathtas|+x-1.5 \djathtas|)_(x=1)) \\ & \majtas| 3\djathtas| \lt \majtas| 0\djathtas|+1-1,5; \\ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0.5\Djathtas \varnothing . \\\fund (radhis)\]

Ngjashëm me "rastin e veçantë" të mëparshëm, numri $x=1$ nuk është i përfshirë qartë në përgjigje.

3. Pjesa e fundit e rreshtit: $x \gt 1$. Këtu të gjitha modulet hapen me një shenjë plus:

\[\fillim(rreshtoj) & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x \gt 4,5 \\ \fund (përafrim)\ ]

Dhe përsëri ne kryqëzojmë grupin e gjetur me kufizimin origjinal:

\[\majtas\( \fillimi(rreshtoj) & x \gt 4.5 \\ & x \gt 1 \\\fund (rreshtoj) \djathtas.\Djathtas shigjeta x\në \majtas(4.5;+\infty \djathtas)\ ]

Më në fund! Ne kemi gjetur një interval që do të jetë përgjigja.

Përgjigje: $x\in \left(4,5;+\infty \djathtas)$

Së fundi, një vërejtje që mund t'ju shpëtojë nga gabimet marrëzi kur zgjidhni problemet reale:

Zgjidhjet e pabarazive me modul zakonisht paraqesin bashkësi të vazhdueshme në vijën numerike - intervale dhe segmente. Pikat e izoluara janë shumë më pak të zakonshme. Dhe akoma më rrallë, ndodh që kufiri i zgjidhjes (fundi i segmentit) përkon me kufirin e diapazonit në shqyrtim.

Rrjedhimisht, nëse kufijtë (të njëjtat "raste të veçanta") nuk përfshihen në përgjigje, atëherë zonat majtas dhe djathtas të këtyre kufijve pothuajse me siguri nuk do të përfshihen në përgjigje. Dhe anasjelltas: kufiri hyri në përgjigje, që do të thotë se disa zona rreth tij do të jenë gjithashtu përgjigje.

Mbani parasysh këtë kur rishikoni zgjidhjet tuaja.