Kush e prezantoi derivatin? Çfarë është një derivat Përkufizimi dhe kuptimi i një funksioni derivat? Kuptimi gjeometrik i derivatit të një funksioni në një pikë
Problemi B9 jep një grafik të një funksioni ose derivati nga i cili duhet të përcaktoni një nga sasitë e mëposhtme:
- Vlera e derivatit në një pikë x 0,
- Pikat maksimale ose minimale (pikat ekstreme),
- Intervalet e funksioneve rritëse dhe zvogëluese (intervalet e monotonitetit).
Funksionet dhe derivatet e paraqitura në këtë problem janë gjithmonë të vazhdueshme, duke e bërë zgjidhjen shumë më të lehtë. Pavarësisht se detyra i përket seksionit analiza matematikore, është mjaft brenda mundësive edhe të studentëve më të dobët, pasi këtu nuk kërkohen njohuri të thella teorike.
Për të gjetur vlerën e derivatit, pikave ekstreme dhe intervaleve të monotonitetit, ekzistojnë algoritme të thjeshta dhe universale - të gjitha ato do të diskutohen më poshtë.
Lexoni me kujdes kushtet e problemit B9 për të mos bërë gabime budallaqe: ndonjëherë hasni tekste mjaft të gjata, por ka pak kushte të rëndësishme që ndikojnë në rrjedhën e zgjidhjes.
Llogaritja e vlerës së derivatit. Metoda me dy pika
Nëse problemit i jepet një grafik i një funksioni f(x), tangjent me këtë grafik në një pikë x 0, dhe kërkohet të gjendet vlera e derivatit në këtë pikë, zbatohet algoritmi i mëposhtëm:
- Gjeni dy pika "adekuate" në grafikun tangjentë: koordinatat e tyre duhet të jenë numër i plotë. Le t'i shënojmë këto pika A (x 1 ; y 1) dhe B (x 2 ; y 2). Shkruani saktë koordinatat - kjo është një pikë kyçe në zgjidhje, dhe çdo gabim këtu do të çojë në një përgjigje të pasaktë.
- Duke ditur koordinatat, është e lehtë të llogaritet rritja e argumentit Δx = x 2 − x 1 dhe rritja e funksionit Δy = y 2 − y 1 .
- Së fundi, gjejmë vlerën e derivatit D = Δy/Δx. Me fjalë të tjera, ju duhet të ndani rritjen e funksionit me rritjen e argumentit - dhe kjo do të jetë përgjigja.
Le të theksojmë edhe një herë: pikat A dhe B duhet të kërkohen pikërisht në tangjenten, dhe jo në grafikun e funksionit f(x), siç ndodh shpesh. Linja tangjente do të përmbajë domosdoshmërisht të paktën dy pika të tilla - përndryshe problemi nuk do të formulohet saktë.
Merrni parasysh pikat A (−3; 2) dhe B (−1; 6) dhe gjeni rritjet:
Δx = x 2 − x 1 = −1 − (−3) = 2; Δy = y 2 − y 1 = 6 − 2 = 4.
Le të gjejmë vlerën e derivatit: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.
Detyrë. Figura tregon një grafik të funksionit y = f(x) dhe një tangjente me të në pikën me abshisën x 0. Gjeni vlerën e derivatit të funksionit f(x) në pikën x 0 .
Merrni parasysh pikat A (0; 3) dhe B (3; 0), gjeni rritjet:
Δx = x 2 − x 1 = 3 − 0 = 3; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = −3.
Tani gjejmë vlerën e derivatit: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.
Detyrë. Figura tregon një grafik të funksionit y = f(x) dhe një tangjente me të në pikën me abshisën x 0. Gjeni vlerën e derivatit të funksionit f(x) në pikën x 0 .
Merrni parasysh pikat A (0; 2) dhe B (5; 2) dhe gjeni rritjet:
Δx = x 2 − x 1 = 5 − 0 = 5; Δy = y 2 − y 1 = 2 − 2 = 0.
Mbetet për të gjetur vlerën e derivatit: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.
Nga shembulli i fundit, mund të formulojmë një rregull: nëse tangjentja është paralele me boshtin OX, derivati i funksionit në pikën e tangjences është zero. Në këtë rast, as nuk keni nevojë të numëroni asgjë - thjesht shikoni grafikun.
Llogaritja e pikëve maksimale dhe minimale
Ndonjëherë, në vend të një grafiku të një funksioni, problemi B9 jep një grafik të derivatit dhe kërkon gjetjen e pikës maksimale ose minimale të funksionit. Në këtë situatë, metoda me dy pika është e padobishme, por ekziston një algoritëm tjetër, edhe më i thjeshtë. Së pari, le të përcaktojmë terminologjinë:
- Pika x 0 quhet pika maksimale e funksionit f(x) nëse në ndonjë fqinjësi të kësaj pike vlen pabarazia e mëposhtme: f(x 0) ≥ f(x).
- Pika x 0 quhet pika minimale e funksionit f(x) nëse në ndonjë fqinjësi të kësaj pike vlen pabarazia e mëposhtme: f(x 0) ≤ f(x).
Për të gjetur pikët maksimale dhe minimale nga grafiku derivat, thjesht ndiqni këto hapa:
- Rivizatoni grafikun e derivatit, duke hequr të gjitha informacionet e panevojshme. Siç tregon praktika, të dhënat e panevojshme ndërhyjnë vetëm në vendim. Prandaj, ne shënojmë zerot e derivatit në boshtin koordinativ - dhe kjo është ajo.
- Gjeni shenjat e derivatit në intervalet midis zerove. Nëse për një pikë x 0 dihet se f'(x 0) ≠ 0, atëherë janë të mundshme vetëm dy opsione: f'(x 0) ≥ 0 ose f'(x 0) ≤ 0. Shenja e derivatit është lehtë për t'u përcaktuar nga vizatimi origjinal: nëse grafiku i derivatit shtrihet mbi boshtin OX, atëherë f'(x) ≥ 0. Dhe anasjelltas, nëse grafiku i derivatit shtrihet nën boshtin OX, atëherë f'(x) ≤ 0.
- Përsëri kontrollojmë zerot dhe shenjat e derivatit. Ku shenja ndryshon nga minus në plus është pika minimale. Në të kundërt, nëse shenja e derivatit ndryshon nga plus në minus, kjo është pika maksimale. Numërimi bëhet gjithmonë nga e majta në të djathtë.
Kjo skemë funksionon vetëm për funksione të vazhdueshme - nuk ka të tjerë në problemin B9.
Detyrë. Figura tregon grafikun e derivatit të funksionit f(x) të përcaktuar në intervalin [−5; 5]. Gjeni pikën minimale të funksionit f(x) në këtë segment.
Le të heqim qafe informacionin e panevojshëm dhe të lëmë vetëm kufijtë [−5; 5] dhe zero të derivatit x = −3 dhe x = 2,5. Ne gjithashtu vërejmë shenjat:
Natyrisht, në pikën x = −3, shenja e derivatit ndryshon nga minus në plus. Kjo është pika minimale.
Detyrë. Figura tregon grafikun e derivatit të funksionit f(x) të përcaktuar në intervalin [−3; 7]. Gjeni pikën maksimale të funksionit f(x) në këtë segment.
Le të rivizatojmë grafikun, duke lënë vetëm kufijtë [−3; 7] dhe zero të derivatit x = −1,7 dhe x = 5. Le të shënojmë shenjat e derivatit në grafikun që rezulton. Ne kemi:
Natyrisht, në pikën x = 5, shenja e derivatit ndryshon nga plus në minus - kjo është pika maksimale.
Detyrë. Figura tregon grafikun e derivatit të funksionit f(x), të përcaktuar në intervalin [−6; 4]. Gjeni numrin e pikave maksimale të funksionit f(x) që i përkasin segmentit [−4; 3].
Nga kushtet e problemit rezulton se mjafton të merret në konsideratë vetëm pjesa e grafikut e kufizuar nga segmenti [−4; 3]. Prandaj, ne ndërtojmë një grafik të ri në të cilin shënojmë vetëm kufijtë [−4; 3] dhe zero të derivatit brenda tij. Domethënë, pikat x = −3,5 dhe x = 2. Marrim:
Në këtë grafik ka vetëm një pikë maksimale x = 2. Pikërisht në këtë pikë, shenja e derivatit ndryshon nga plus në minus.
Një shënim i vogël për pikat me koordinata jo të plota. Për shembull, në problemin e fundit është marrë parasysh pika x = -3.5, por me të njëjtin sukses mund të marrim x = -3.4. Nëse problemi është përpiluar saktë, ndryshime të tilla nuk duhet të ndikojnë në përgjigjen, pasi pikat "pa një vendbanim të caktuar" nuk marrin pjesë drejtpërdrejt në zgjidhjen e problemit. Sigurisht, ky mashtrim nuk do të funksionojë me pikë të plota.
Gjetja e intervaleve të funksioneve rritëse dhe zvogëluese
Në një problem të tillë, si pikat maksimale dhe minimale, propozohet përdorimi i grafikut derivat për të gjetur zonat në të cilat funksioni vetë rritet ose zvogëlohet. Së pari, le të përcaktojmë se çfarë janë rritja dhe zvogëlimi:
- Një funksion f(x) thuhet se është në rritje në një segment nëse për çdo dy pika x 1 dhe x 2 nga ky segment është i vërtetë pohimi i mëposhtëm: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2) . Me fjalë të tjera, sa më e madhe të jetë vlera e argumentit, aq më e madhe është vlera e funksionit.
- Një funksion f(x) thuhet se është në rënie në një segment nëse për çdo dy pika x 1 dhe x 2 nga ky segment është i vërtetë pohimi i mëposhtëm: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2) . Ato. Një vlerë më e madhe e argumentit korrespondon me një vlerë më të vogël të funksionit.
Le të formulojmë kushte të mjaftueshme për rritje dhe ulje:
- Në mënyrë që funksion të vazhdueshëm f(x) rritet në segmentin , mjafton që derivati i tij brenda segmentit të jetë pozitiv, d.m.th. f'(x) ≥ 0.
- Në mënyrë që një funksion i vazhdueshëm f(x) të zvogëlohet në segmentin , mjafton që derivati i tij brenda segmentit të jetë negativ, d.m.th. f'(x) ≤ 0.
Le t'i pranojmë këto deklarata pa prova. Kështu, marrim një skemë për gjetjen e intervaleve të rritjes dhe zvogëlimit, e cila në shumë mënyra është e ngjashme me algoritmin për llogaritjen e pikave ekstreme:
- Hiqni të gjitha informacionet e panevojshme. Në grafikun origjinal të derivatit, ne jemi të interesuar kryesisht për zerot e funksionit, kështu që do t'i lëmë vetëm ato.
- Shënoni shenjat e derivatit në intervalet ndërmjet zerove. Aty ku f'(x) ≥ 0, funksioni rritet, dhe ku f'(x) ≤ 0, zvogëlohet. Nëse problemi vendos kufizime në variablin x, ne i shënojmë ato në një grafik të ri.
- Tani që njohim sjelljen e funksionit dhe kufizimet, mbetet të llogarisim sasinë e kërkuar në problem.
Detyrë. Figura tregon grafikun e derivatit të funksionit f(x) të përcaktuar në intervalin [−3; 7.5]. Gjeni intervalet e zvogëlimit të funksionit f(x). Në përgjigjen tuaj, tregoni shumën e numrave të plotë të përfshirë në këto intervale.
Si zakonisht, le të rivizatojmë grafikun dhe të shënojmë kufijtë [−3; 7.5], si dhe zero të derivatit x = −1.5 dhe x = 5.3. Pastaj shënojmë shenjat e derivatit. Ne kemi:
Meqenëse derivati është negativ në intervalin (− 1.5), ky është intervali i funksionit në rënie. Mbetet për të mbledhur të gjithë numrat e plotë që janë brenda këtij intervali:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.
Detyrë. Figura tregon grafikun e derivatit të funksionit f(x), të përcaktuar në intervalin [−10; 4]. Gjeni intervalet e rritjes së funksionit f(x). Në përgjigjen tuaj, tregoni gjatësinë e më të madhit prej tyre.
Le të heqim qafe informacionin e panevojshëm. Le të lëmë vetëm kufijtë [−10; 4] dhe zero të derivatit, nga të cilat këtë herë ishin katër: x = −8, x = −6, x = −3 dhe x = 2. Të shënojmë shenjat e derivatit dhe të marrim figurën e mëposhtme:
Ne jemi të interesuar për intervalet e rritjes së funksionit, d.m.th. të tilla ku f’(x) ≥ 0. Ekzistojnë dy intervale të tilla në grafik: (−8; −6) dhe (−3; 2). Le të llogarisim gjatësinë e tyre:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.
Meqenëse duhet të gjejmë gjatësinë e intervalit më të madh, si përgjigje shkruajmë vlerën l 2 = 5.
Lëreni funksionin të përcaktohet në një pikë dhe disa nga fqinjësia e saj. Le t'i japim argumentit një rritje të tillë që pika të bjerë në domenin e përkufizimit të funksionit. Funksioni më pas do të rritet.
PËRKUFIZIM. Derivat i një funksioni në një pikë quhet kufiri i raportit të rritjes së funksionit në këtë pikë me rritjen e argumentit, në (nëse ky kufi ekziston dhe është i fundëm), d.m.th.
Shënoni: ,,,.
Derivati i një funksioni në një pikë në të djathtë (majtas) thirrur
(nëse ky kufi ekziston dhe është i kufizuar).
Përcaktuar nga: , – derivati në pikën në të djathtë,
, është derivati në pikën në të majtë.
Natyrisht, teorema e mëposhtme është e vërtetë.
TEOREMA. Një funksion ka një derivat në një pikë nëse dhe vetëm nëse në këtë pikë ekzistojnë derivatet e funksionit djathtas dhe majtas dhe janë të barabartë me njëri-tjetrin. Për më tepër
Teorema e mëposhtme vendos një lidhje midis ekzistencës së një derivati të një funksioni në një pikë dhe vazhdimësisë së funksionit në atë pikë.
TEOREMA (kusht i domosdoshëm për ekzistencën e një derivati të një funksioni në një pikë). Nëse një funksion ka një derivat në një pikë, atëherë funksioni në atë pikë është i vazhdueshëm.
DËSHMI
Lëreni të ekzistojë. Pastaj
,
ku është infinite vogël në.
Komentoni
derivat i një funksioni dhe shënojnë
diferencimi i funksionit .
KUPTIMI GJEOMETRIK DHE FIZIK
1) Kuptimi fizik i derivatit. Nëse një funksion dhe argumentet e tij janë sasive fizike, atëherë derivati është shkalla e ndryshimit të një ndryshoreje në raport me variablin në një pikë. Për shembull, nëse është distanca e përshkuar nga një pikë në kohë, atëherë derivati i saj është shpejtësia në momentin e kohës. Nëse është sasia e energjisë elektrike që rrjedh nëpër seksionin kryq të përcjellësit në një moment të caktuar, atëherë është shkalla e ndryshimit të sasisë së energjisë elektrike në një çast kohor, d.m.th. fuqia aktuale në një moment në kohë.
2) Kuptimi gjeometrik i derivatit.
Le të jetë një kurbë, të jetë një pikë në kurbë. 
Çdo drejtëz që kryqëzon të paktën dy pika quhet sekant .
Tangjente me një kurbë në një pikë quhet pozicioni kufitar i një sekanti nëse pika tenton të lëvizë përgjatë një kurbë.
Nga përkufizimi është e qartë se nëse një tangjente me një kurbë ekziston në një pikë, atëherë ajo është e vetmja
Konsideroni një kurbë (d.m.th., një grafik të një funksioni). Le të ketë një tangjente jo vertikale në një pikë. Ekuacioni i tij: (ekuacioni i një drejtëze që kalon nëpër një pikë dhe ka një koeficient këndor). 
Sipas përcaktimit të pjerrësisë
ku është këndi i prirjes së drejtëzës ndaj boshtit.
Le të jetë këndi i prirjes së sekantit ndaj boshtit, ku. Që është një tangjente, atëherë kur
Prandaj,
Kështu, ne e morëm atë – koeficienti këndor i tangjentes me grafikun e funksionit në pikë(kuptimi gjeometrik i derivatit të një funksioni në një pikë). Prandaj, ekuacioni i tangjentes me lakoren në një pikë mund të shkruhet në formë
Komentoni . Një vijë e drejtë që kalon nëpër një pikë pingul me tangjentën e tërhequr në kurbë në atë pikë quhet normale ndaj kurbës në pikë . Meqenëse koeficientët këndorë të drejtëzave pingule lidhen me relacionin, ekuacioni i normales me lakoren në një pikë do të ketë formën
, Nëse .
Nëse , atëherë tangjentja me lakoren në pikë do të ketë formën
dhe normale.
EKUACIONET TANGENTE DHE NORMAL
Ekuacioni tangjent
Le të jepet funksioni nga ekuacioni y=f(x), duhet të shkruani ekuacionin tangjente në pikën x 0. Nga përkufizimi i derivatit:
y/(x)=limΔ x→0Δ yΔ x
Δ y=f(x+Δ x)−f(x).
Ekuacioni tangjente në grafikun e funksionit: y=kx+b (k,b=konst). Nga kuptimi gjeometrik i derivatit: f/(x 0)=tgα= k Sepse x 0 dhe f(x 0)∈ drejtëza, pastaj ekuacioni tangjente shkruhet si: y−f(x 0)=f/(x 0)(x−x 0), ose
y=f/(x 0)· x+f(x 0)−f/(x 0)· x 0.
Ekuacioni normal
Normale- është pingul me tangjente(shih foton). Bazuar në këtë:
tgβ= tg(2π−α)= ctgα=1 tgα=1 f/(x 0)
Sepse këndi i prirjes së normales është këndi β1, atëherë kemi:
tgβ1= tg(π−β)=− tgβ=−1 f/(x).
Pika ( x 0,f(x 0))∈ normale, ekuacioni merr formën:
y−f(x 0)=−1f/(x 0)(x−x 0).
DËSHMI
Lëreni të ekzistojë. Pastaj
,
ku është infinite vogël në.
Por kjo do të thotë se është e vazhdueshme në një pikë (shih përkufizimin gjeometrik të vazhdimësisë). ∎
Komentoni . Vazhdimësia e një funksioni në një pikë nuk është kusht i mjaftueshëm për ekzistencën e një derivati të këtij funksioni në një pikë. Për shembull, një funksion është i vazhdueshëm, por nuk ka derivat në një pikë. Vërtet,
dhe për këtë arsye nuk ekziston.
Natyrisht, korrespondenca është një funksion i përcaktuar në një grup. Ata e thërrasin atë derivat i një funksioni dhe shënojnë
Operacioni i gjetjes së funksionit të funksionit derivat të tij quhet diferencimi i funksionit .
Derivati i shumës dhe diferencës
Le të jepen funksionet f(x) dhe g(x), derivatet e të cilëve janë të njohur për ne. Për shembull, mund të merrni funksionet elementare të diskutuara më sipër. Atëherë mund të gjeni derivatin e shumës dhe ndryshimit të këtyre funksioneve:
(f + g)' = f ' + g'
(f − g)' = f ' − g'
Pra, derivati i shumës (diferencës) i dy funksioneve është i barabartë me shumën (diferencën) e derivateve. Mund të ketë më shumë terma. Për shembull, (f + g + h)' = f' + g' + h'.
Në mënyrë të rreptë, nuk ka asnjë koncept të "zbritjes" në algjebër. Ekziston një koncept i "elementit negativ". Prandaj, ndryshimi f − g mund të rishkruhet si shuma f + (−1) g, dhe pastaj mbetet vetëm një formulë - derivati i shumës.
Përmbajtja e artikullit
DERIVATIV– derivat i funksionit y = f(x), dhënë në një interval të caktuar ( a, b) në pikë x i këtij intervali quhet kufiri në të cilin priret raporti i rritjes së funksionit f në këtë pikë tek rritja përkatëse e argumentit kur rritja e argumentit tenton në zero.
Derivati zakonisht shënohet si më poshtë:
Emërtime të tjera përdoren gjithashtu gjerësisht:
Shpejtësia e menjëhershme.
Lëreni pikën M lëviz në vijë të drejtë. Largësia s pikë lëvizëse, e numëruar nga një pozicion fillestar M 0 , varet nga koha t, d.m.th. s ka një funksion të kohës t: s= f(t). Lëreni në një moment në kohë t pikë lëvizëse M ishte në distancë s nga pozicioni i fillimit M 0, dhe në një moment tjetër t+D t e gjeti veten në një pozicion M 1 - në distancë s+D s nga pozicioni fillestar ( shih foton.).
Kështu, gjatë një periudhe kohore D t largësia s ndryshuar me shumën D s. Në këtë rast ata thonë se gjatë intervalit kohor D t magnitudë s mori rritje D s.
Shpejtësia mesatare në të gjitha rastet nuk mund të karakterizojë me saktësi shpejtësinë e lëvizjes së një pike M në një moment në kohë t. Nëse, për shembull, trupi në fillim të intervalit D t lëvizur shumë shpejt, dhe në fund shumë ngadalë, atëherë shpejtësia mesatare nuk do të jetë në gjendje të pasqyrojë tiparet e treguara të lëvizjes së pikës dhe të japë një ide për shpejtësinë e vërtetë të lëvizjes së saj për momentin t. Për të shprehur më saktë shpejtësinë e vërtetë duke përdorur shpejtësinë mesatare, duhet të merrni një periudhë më të shkurtër kohore D t. Karakterizon më plotësisht shpejtësinë e lëvizjes së një pike në këtë moment t kufiri në të cilin shpejtësia mesatare priret në D t® 0. Ky kufi quhet shpejtësia aktuale:
Kështu, shpejtësia e lëvizjes në një moment të caktuar quhet kufiri i raportit të rritjes së rrugës D s në rritjen e kohës D t, kur rritja e kohës tenton në zero. Sepse
Kuptimi gjeometrik i derivatit. Tangjente me grafikun e një funksioni.
Ndërtimi i vijave tangjente është një nga ato probleme që çuan në lindjen e llogaritjes diferenciale. Puna e parë e botuar në lidhje me llogaritjen diferenciale, e shkruar nga Leibniz, kishte titullin Një metodë e re e maksimumeve dhe minimumeve, si dhe tangjentet, për të cilat nuk janë pengesë as sasitë fraksionale dhe as irracionale, dhe një lloj i veçantë llogaritjeje për këtë..
Le të jetë kurba grafiku i funksionit y =f(x) në një sistem koordinativ drejtkëndor ( cm. oriz.).
Në disa vlera x funksioni ka rëndësi y =f(x). Këto vlera x Dhe y pika në kurbë korrespondon M 0(x, y). Nëse argumenti x jap rritje D x, pastaj vlera e re e argumentit x+D x korrespondon me vlerën e funksionit të ri y+ D y = f(x + D x). Pika përkatëse e kurbës do të jetë pika M 1(x+D x,y+D y). Nëse vizatoni një sekant M 0M 1 dhe shënohet me j këndi i formuar nga një transversal me drejtimin pozitiv të boshtit kau, nga figura duket menjëherë se .
Nëse tani D x tenton në zero, pastaj pika M 1 lëviz përgjatë kurbës, duke iu afruar pikës M 0, dhe këndi j ndryshon me D x. Në Dx® 0 këndi j priret në një kufi të caktuar a dhe drejtëza që kalon nëpër pikë M 0 dhe komponenti me drejtim pozitiv të boshtit x, këndi a, do të jetë tangjentja e dëshiruar. Pjerrësia e saj është:
Prandaj, f´( x) = tga
ato. vlerë derivative f´( x) për një vlerë të caktuar argumenti x barazohet me tangjenten e këndit të formuar nga tangjentja me grafikun e funksionit f(x) në pikën përkatëse M 0(x,y) me drejtim të boshtit pozitiv kau.
Diferencimi i funksioneve.
Përkufizimi. Nëse funksioni y = f(x) ka një derivat në pikë x = x 0, atëherë funksioni është i diferencueshëm në këtë pikë.
Vazhdimësia e një funksioni që ka një derivat. Teorema.
Nëse funksioni y = f(x) është i diferencueshëm në një moment x = x 0, atëherë është e vazhdueshme në këtë pikë.
Kështu, funksioni nuk mund të ketë një derivat në pikat e ndërprerjes. Përfundimi i kundërt është i pasaktë, d.m.th. nga fakti se në një moment x = x 0 funksion y = f(x) është i vazhdueshëm nuk do të thotë se është i diferencueshëm në këtë pikë. Për shembull, funksioni y = |x| të vazhdueshme për të gjithë x(–Ґ x x = 0 nuk ka derivat. Në këtë pikë nuk ka tangjente me grafikun. Ka një tangjente të djathtë dhe një të majtë, por ato nuk përkojnë.
Disa teorema mbi funksionet e diferencueshme. Teorema mbi rrënjët e derivatit (teorema e Rolles). Nëse funksioni f(x) është e vazhdueshme në segment [a,b], është i diferencueshëm në të gjitha pikat e brendshme të këtij segmenti dhe në skajet x = a Dhe x = b shkon ne zero ( f(a) = f(b) = 0), pastaj brenda segmentit [ a,b] ka të paktën një pikë x= Me, a c b, në të cilën derivati fў( x) shkon në zero, d.m.th. fў( c) = 0.
Teorema e rritjes së fundme (teorema e Lagranzhit). Nëse funksioni f(x) është e vazhdueshme në intervalin [ a, b] dhe është i diferencueshëm në të gjitha pikat e brendshme të këtij segmenti, pastaj brenda segmentit [ a, b] ka të paktën një pikë Me, a c b atë
f(b) – f(a) = fў( c)(b– a).
Teorema mbi raportin e rritjeve të dy funksioneve (teorema e Cauchy-t). Nëse f(x) Dhe g(x) – dy funksione të vazhdueshme në segment [a, b] dhe i diferencueshëm në të gjitha pikat e brendshme të këtij segmenti, dhe gў( x) nuk zhduket askund brenda këtij segmenti, pastaj brenda segmentit [ a, b] ekziston një pikë e tillë x = Me, a c b atë
Derivatet e porosive të ndryshme.
Lëreni funksionin y =f(x) është i diferencueshëm në një interval [ a, b]. Vlerat derivative f ў( x), në përgjithësi, varen nga x, d.m.th. derivat f ў( x) është gjithashtu një funksion i x. Kur diferencojmë këtë funksion, marrim të ashtuquajturin derivat të dytë të funksionit f(x), që shënohet f ўў ( x).
Derivat n- rendi i funksionit f(x) quhet derivati (i rendit të parë) i derivatit n- 1- th dhe shënohet me simbolin y(n) = (y(n– 1))ў.
Diferenciale të porosive të ndryshme.
Diferenciali i funksionit y = f(x), Ku x– ndryshore e pavarur, po dy = f ў( x)dx, disa funksione nga x, por nga x vetëm faktori i parë mund të varet f ў( x), faktori i dyte ( dx) është rritja e ndryshores së pavarur x dhe nuk varet nga vlera e kësaj variabli. Sepse dy ka një funksion nga x, atëherë mund të përcaktojmë diferencialin e këtij funksioni. Diferenciali i diferencialit të një funksioni quhet diferencial i dytë ose diferencial i rendit të dytë i këtij funksioni dhe shënohet d 2y:
d(dx) = d 2y = f ўў( x)(dx) 2 .
Diferenciale n- i rendit të parë quhet diferencial i parë i diferencialit n- 1- rendi i th:
d n y = d(d n–1y) = f(n)(x)dx(n).
Derivat i pjesshëm.
Nëse një funksion nuk varet nga një, por nga disa argumente x i(i varion nga 1 në n,i= 1, 2,… n),f(x 1,x 2,… x n), pastaj në llogaritjen diferenciale futet koncepti i derivatit të pjesshëm, i cili karakterizon shkallën e ndryshimit të një funksioni të disa ndryshoreve kur ndryshon vetëm një argument, p.sh. x i. Derivat i pjesshëm i rendit të parë në lidhje me x i përkufizohet si një derivat i zakonshëm, dhe supozohet se të gjitha argumentet përveç x i, mbani vlera konstante. Për derivatet e pjesshme, futet shënimi
Derivatet e pjesshme të rendit të parë të përcaktuar në këtë mënyrë (si funksione të të njëjtave argumente) mund të kenë, nga ana tjetër, edhe derivate të pjesshëm, këto janë derivate të pjesshme të rendit të dytë, etj. Derivatet e tilla të marra nga argumente të ndryshme quhen të përziera. Derivatet e përziera të vazhdueshme të të njëjtit rend nuk varen nga rendi i diferencimit dhe janë të barabartë me njëri-tjetrin.
Anna Chugainova
(\large\bf Derivat i një funksioni)
Merrni parasysh funksionin y=f(x), e specifikuar në interval (a, b). Le x- çdo pikë fikse e intervalit (a, b), A Δx- një numër arbitrar i tillë që vlera x+Δx i përket edhe intervalit (a, b). Ky numër Δx quhet rritje argumenti.
Përkufizimi. Rritja e funksionit y=f(x) në pikën x, që korrespondon me rritjen e argumentit Δx, le të telefonojmë numrin
Δy = f(x+Δx) - f(x).
Ne besojmë se Δx ≠ 0. Konsideroni në një pikë të caktuar fikse x raporti i rritjes së funksionit në këtë pikë me rritjen përkatëse të argumentit Δx
Ne do ta quajmë këtë relacion marrëdhënie ndryshimi. Që nga vlera x ne e konsiderojmë fikse, raporti i diferencës është funksion i argumentit Δx. Ky funksion është përcaktuar për të gjitha vlerat e argumentit Δx, që i përket një lagjeje mjaft të vogël të pikës Δx=0, me përjashtim të vetë pikës Δx=0. Kështu, ne kemi të drejtë të shqyrtojmë çështjen e ekzistencës së një kufiri të funksionit të specifikuar në Δx → 0.
Përkufizimi. Derivat i një funksioni y=f(x) në një pikë të caktuar fikse x quhet kufiri në Δx → 0 raporti i diferencës, domethënë
Me kusht që të ekzistojë ky kufi.
Emërtimi. y'(x) ose f′(x).
Kuptimi gjeometrik i derivatit: Derivat i një funksioni f(x) në këtë pikë x e barabartë me tangjenten e këndit ndërmjet boshtit kau dhe një tangjente me grafikun e këtij funksioni në pikën përkatëse:
f′(x 0) = \tgα.
Kuptimi mekanik i derivatit: Derivati i shtegut në lidhje me kohën është i barabartë me shpejtësinë e lëvizjes drejtvizore të pikës:
Ekuacioni i një tangjente në një drejtëz y=f(x) në pikën M 0 (x 0 ,y 0) merr formën
y-y 0 = f′(x 0) (x-x 0).
Normalja me një kurbë në një pikë është pingul me tangjenten në të njëjtën pikë. Nëse f′(x 0)≠ 0, pastaj ekuacioni i normales me drejtëzën y=f(x) në pikën M 0 (x 0 ,y 0)është shkruar kështu:
Koncepti i diferencibilitetit të një funksioni
Lëreni funksionin y=f(x) të përcaktuara në një interval të caktuar (a, b), x- disa vlera fikse të argumentit nga ky interval, Δx- çdo rritje e argumentit të tillë që vlera e argumentit x+Δx ∈ (a, b).
Përkufizimi. Funksioni y=f(x) quhet i diferencueshëm në një pikë të caktuar x, nëse rritet Δy këtë funksion në pikë x, që korrespondon me rritjen e argumentit Δx, mund të paraqitet në formë
Δy = A Δx +αΔx,
Ku A- disa numra të pavarur nga Δx, A α - funksioni i argumentit Δx, e cila është pafundësisht e vogël në Δx→ 0.
Meqenëse prodhimi i dy funksioneve infiniteminale αΔxështë pafundësisht më shumë rendit të lartë, si Δx(vetia e 3 funksioneve infiniteminale), atëherë mund të shkruajmë:
Δy = A Δx +o(Δx).
Teorema. Në mënyrë për funksionin y=f(x) ishte i diferencueshëm në një pikë të caktuar x, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që ai të ketë një derivat të fundëm në këtë pikë. ku A=f′(x), kjo eshte
Δy = f′(x) Δx +o(Δx).
Operacioni i gjetjes së derivatit zakonisht quhet diferencim.
Teorema. Nëse funksioni y=f(x) x, atëherë është e vazhdueshme në këtë pikë.
Komentoni. Nga vazhdimësia e funksionit y=f(x) në këtë pikë x, në përgjithësi, diferencueshmëria e funksionit nuk pason f(x) në këtë pikë. Për shembull, funksioni y=|x|- e vazhdueshme në një pikë x=0, por nuk ka derivat.
Koncepti i funksionit diferencial
Përkufizimi. Diferenciali i funksionit y=f(x) quhet prodhimi i derivatit të këtij funksioni dhe rritja e ndryshores së pavarur x:
dy = y′ Δx, df(x) = f′(x) Δx.
Për funksionin y=x marrim dy=dx=x′Δx = 1· Δx= Δx, kjo eshte dx=Δx- diferenciali i një ndryshoreje të pavarur është i barabartë me rritjen e kësaj ndryshoreje.
Kështu, ne mund të shkruajmë
dy = y′ dx, df(x) = f′(x) dx
Diferenciale dy dhe rritje Δy funksione y=f(x) në këtë pikë x, të dyja korrespondojnë me të njëjtin rritje argumenti Δx, në përgjithësi, nuk janë të barabartë me njëri-tjetrin.
Kuptimi gjeometrik i diferencialit: Diferenciali i një funksioni është i barabartë me shtimin e ordinatës së tangjentes me grafikun e këtij funksioni kur argumenti shtohet. Δx.
Rregullat e diferencimit
Teorema. Nëse secili prej funksioneve u(x) Dhe v(x) të diferencueshëm në një pikë të caktuar x, pastaj shuma, diferenca, prodhimi dhe herësi i këtyre funksioneve (herësi me kusht që v(x)≠ 0) janë gjithashtu të diferencueshme në këtë pikë, dhe formulat qëndrojnë:
Merrni parasysh funksionin kompleks y=f(φ(x))≡ F(x), Ku y=f(u), u=φ(x). Në këtë rast u thirrur argument i ndërmjetëm, x - ndryshore e pavarur.
Teorema. Nëse y=f(u) Dhe u=φ(x) janë funksione të diferencueshme të argumenteve të tyre, pastaj derivat i një funksioni kompleks y=f(φ(x)) ekziston dhe është i barabartë me produktin e këtij funksioni në lidhje me argumentin e ndërmjetëm dhe derivatin e argumentit të ndërmjetëm në lidhje me variablin e pavarur, d.m.th.
Komentoni. Për një funksion kompleks që është një mbivendosje e tre funksioneve y=F(f(φ(x))), rregulli i diferencimit ka formën
y′ x = y′ u u′ v v′ x,
ku janë funksionet v=φ(x), u=f(v) Dhe y=F(u)- funksionet e diferencueshme të argumenteve të tyre.
Teorema. Lëreni funksionin y=f(x) rritet (ose zvogëlohet) dhe është i vazhdueshëm në ndonjë lagje të pikës x 0. Le të jetë, përveç kësaj, ky funksion i diferencueshëm në pikën e treguar x 0 dhe derivati i tij në këtë pikë f′(x 0) ≠ 0. Pastaj në ndonjë lagje të pikës përkatëse y 0 =f(x 0) e kundërta është përcaktuar për y=f(x) funksionin x=f -1 (y), dhe funksioni invers i treguar është i diferencueshëm në pikën përkatëse y 0 =f(x 0) dhe për derivatin e tij në këtë pikë y formula është e vlefshme
Tabela e derivateve
Pandryshueshmëria e formës së diferencialit të parë
Le të shqyrtojmë diferencialin e një funksioni kompleks. Nëse y=f(x), x=φ(t)- funksionet e argumenteve të tyre janë të diferencueshme, pastaj derivati i funksionit y=f(φ(t)) shprehur me formulë
y′ t = y′ x x′ t.
A-parësore dy=y′ t dt, atëherë marrim
dy = y′ t dt = y′ x · x′ t dt = y′ x (x′ t dt) = y′ x dx,
dy = y′ x dx.
Pra, ne e kemi vërtetuar
Vetia e pandryshueshmërisë së formës së diferencialit të parë të një funksioni: si në rastin kur argumenti xështë variabël i pavarur, dhe në rastin kur argumenti x në vetvete është një funksion i diferencueshëm i ndryshores së re, diferencialit dy funksione y=f(x)është e barabartë me derivatin e këtij funksioni të shumëzuar me diferencialin e argumentit dx.
Zbatimi i diferencialit në llogaritjet e përafërta
Ne kemi treguar se diferenciali dy funksione y=f(x), në përgjithësi, nuk është e barabartë me rritjen Δy këtë funksion. Megjithatë, me një saktësi deri në pafundësi funksion i vogël rendit më i lartë i vogëlsisë se Δx, barazia e përafërt është e vlefshme
Δy ≈ dy.
Raporti quhet gabimi relativ i barazisë së kësaj barazie. Sepse Δy-dy=o(Δx), atëherë gabimi relativ i kësaj barazie bëhet aq i vogël sa të dëshirohet me ulje |Dh|.
Duke marrë parasysh atë Δy=f(x+δ x)-f(x), dy=f′(x)Δx, marrim f(x+δ x)-f(x) ≈ f′(x)Δx ose
f(x+δ x) ≈ f(x) + f′(x)Δx.
Kjo barazi e përafërt lejon me gabim o (Δx) funksioni i zëvendësimit f(x) në një lagje të vogël të pikës x(dmth për vlera të vogla Δx) funksion linear argument Δx, duke qëndruar në anën e djathtë.
Derivatet e rendit më të lartë
Përkufizimi. Derivati i dytë (ose derivati i rendit të dytë) i një funksioni y=f(x) quhet derivat i derivatit të parë të tij.
Shënimi për derivatin e dytë të një funksioni y=f(x):
Kuptimi mekanik i derivatit të dytë. Nëse funksioni y=f(x) përshkruan ligjin e lëvizjes së një pike materiale në një vijë të drejtë, pastaj derivatin e dytë f″(x) e barabartë me nxitimin e një pike lëvizëse në momentin e kohës x.
Derivatet e tretë dhe të katërt përcaktohen në mënyrë të ngjashme.
Përkufizimi. n derivati i th (ose derivati n-të rendit) funksionet y=f(x) quhet derivat i tij n-1 derivati i th:
y (n) =(y (n-1))', f (n) (x)=(f (n-1) (x))'.
Emërtimet: y", y IV, y V etj.
Kuptimi gjeometrik i derivatit
|
PËRKUFIZIMI I TANGENTES NË KORBË Tangjent në një kurbë y=ƒ(x) në pikën M quhet pozicioni kufizues i një sekanti të tërhequr nëpër një pikë M dhe pika ngjitur me të M 1 kurba, me kusht që pika M 1 afrohet në mënyrë të pacaktuar përgjatë kurbës deri në pikën M. KUPTIMI GJEOMETRIK I DERIVATIT Derivat i një funksioni y=ƒ(x) në pikën X 0 është numerikisht e barabartë me tangjenten e këndit të prirjes ndaj boshtit Oh tangjent ndaj kurbës y=ƒ(x) në pikën M (x 0; ƒ(x 0)). |
VARIACION DOTIC TE KURVE Pika deri në kurbë y=ƒ(x) pikërisht M quhet pozicioni kufitar i drejtëzës së tërhequr nëpër pikë M dhe pika tjetër me të M 1 shtrembër, për mendjen, çfarë pikë M 1 kurba po i afrohet në mënyrë të pashmangshme pikës M. ZMIST GJEOMETRIKE POKHIDNOI Funksione të ngjashme y=ƒ(x) pikërisht x 0 numerikisht e barabartë me tangjenten e pjerrësisë ndaj boshtit Oh dotik, i kryer në kurbë y=ƒ(x) pikërisht M (x 0; ƒ(x 0)). |
Kuptimi praktik i derivatit
Le të shqyrtojmë se çfarë do të thotë praktikisht sasia që gjetëm si derivat të një funksioni të caktuar.
Para së gjithash, derivat- ky është koncepti bazë i llogaritjes diferenciale, që karakterizon shkallën e ndryshimit të një funksioni në një pikë të caktuar.
Çfarë është "shkalla e ndryshimit"? Le të imagjinojmë funksionin f(x) = 5. Pavarësisht nga vlera e argumentit (x), vlera e tij nuk ndryshon në asnjë mënyrë. Kjo do të thotë, shkalla e ndryshimit të saj është zero.
Tani merrni parasysh funksionin f(x) = x. Derivati i x është i barabartë me një. Në të vërtetë, është e lehtë të vërehet se për çdo ndryshim në argumentin (x) me një, vlera e funksionit gjithashtu rritet me një.
Nga pikëpamja e informacionit të marrë, tani le të shohim tabelën e derivateve të funksioneve të thjeshta. Bazuar në këtë, menjëherë bëhet e qartë kuptimi fizik gjetja e derivatit të një funksioni. Ky kuptim duhet ta bëjë më të lehtë zgjidhjen e problemeve praktike.
Prandaj, nëse derivati tregon shpejtësinë e ndryshimit të një funksioni, atëherë derivati i dyfishtë tregon nxitimin.
2080.1947
