Raste të veçanta të sjelljes në qendër të një sistemi hapësinor arbitrar të forcave. Sjellja e sistemit të forcave në formën e tij më të thjeshtë Qendra e forcave paralele

Nëse, pas sjelljes së sistemit hapësinor të forcave në qendrën e zgjedhur O, vektori kryesor dhe momenti kryesor janë të barabartë me zero, d.m.th.

Sistemi i forcave është i balancuar. Nën ndikimin e një sistemi të tillë forcash, trupi i ngurtë do të jetë në ekuilibër. Është e qartë se në rastin e përgjithshëm, dy ekuacione vektoriale (4.1) korrespondojnë me gjashtë ekuacione skalare, duke reflektuar barazinë në zero të projeksioneve të këtyre vektorëve në boshtet e sistemit të koordinatave të zgjedhur (për shembull, Kartezian).

Nëse, pas sjelljes së sistemit hapësinor të forcave në qendrën e zgjedhur O, vektori kryesor është i barabartë me zero, dhe momenti kryesor nuk është i barabartë me zero, d.m.th.

Një palë forcash që rezulton veprojnë në trup, duke u prirur ta rrotullojnë atë. Vini re se në këtë rast zgjedhja e qendrës së reduktimit nuk ndikon në rezultatin.

Nëse, pas sjelljes së sistemit hapësinor të forcave në qendrën e zgjedhur O, vektori kryesor nuk është i barabartë me zero, dhe momenti kryesor është i barabartë me zero, d.m.th.

Mbi trupin vepron sistemi rezultant i forcave që kalojnë nëpër qendrën e reduktimit dhe tentojnë të lëvizin trupin përgjatë vijës së veprimit të tij. Është e qartë se relacionet (4.3.) janë të vlefshme për të gjitha pikat e vijës së veprimit të rezultantes.

Vini re se veprimi i një sistemi forcash konvergjente reduktohet në këtë rast nëse pika e kryqëzimit të vijave të veprimit të forcave të sistemit merret si qendër e reduktimit (pasi momentet e forcave në lidhje me këtë pikë janë të barabarta në zero).

Nëse, pas sjelljes së sistemit hapësinor të forcave në qendrën e zgjedhur O, vektori kryesor dhe momenti kryesor nuk janë të barabartë me zero, dhe drejtimet e tyre bëjnë një kënd të drejtë, d.m.th.

atëherë një sistem i tillë forcash gjithashtu mund të reduktohet në një rezultante, por duke kaluar nëpër një qendër tjetër reduktimi - pikën. Për të kryer këtë operacion, së pari marrim parasysh sistemet e forcës ekuivalente të paraqitura në Fig. 4.2.b dhe fig. 4.1. Natyrisht, nëse ndryshojmë shënimin (pika B quhet qendra O, pika A quhet qendër), detyra me të cilën përballemi kërkon kryerjen e veprimit të kundërt me atë të kryer në lemë për transferimin paralel të forcës. Duke marrë parasysh sa më sipër, pika duhet, së pari, të jetë e vendosur në një rrafsh pingul me vektorin e momentit kryesor që kalon nëpër qendrën O, dhe së dyti, të shtrihet në një vijë paralele me vijën e veprimit të vektorit kryesor të forcat dhe ndahen prej tij në një distancë h të barabartë me

Nga dy linjat e gjetura, duhet të zgjidhni atë për pikat e të cilave vektori i momentit kryesor është i barabartë me zero (momenti i vektorit kryesor të forcave në lidhje me qendrën e re duhet të jetë i barabartë në madhësi dhe i kundërt në drejtim me momenti kryesor i sistemit të forcave në lidhje me pikën O).

Në rastin e përgjithshëm, pas sjelljes së sistemit hapësinor të forcave në qendrën e zgjedhur O, vektori kryesor dhe momenti kryesor, të cilët nuk janë të barabartë me zero, nuk formojnë një kënd të drejtë me njëri-tjetrin (Fig. 4.5.a).

Nëse momenti kryesor zbërthehet në dy komponentë - përgjatë vektorit kryesor të forcave dhe pingul me të, atëherë, në përputhje me (4.5), mund të gjendet një qendër reduktimi për të cilën përbërësi pingul i momentit kryesor bëhet i barabartë me zero, dhe madhësitë dhe drejtimet e vektorit kryesor dhe përbërësve të parë të momentit kryesor mbeten të njëjta (Fig. 4.5.b). Mbledhja e vektorëve quhet vidë e fuqisë ose dinamo.

Thjeshtimi i mëtejshëm nuk është i mundur.

Meqenëse me një ndryshim të tillë në qendrën e reduktimit, vetëm projeksioni i momentit kryesor ndryshon në drejtimin pingul me vektorin kryesor të sistemit të forcave, vlera e produktit skalar të këtyre vektorëve mbetet e pandryshuar, d.m.th.

Kjo shprehje quhet invariant i dytë

statike.

Shembulli 4.1. Kulmet e një paralelepipedi drejtkëndor me brinjë dhe mbi të cilat veprojnë forcat dhe (shih Fig. 4.6). Duke marrë origjinën e koordinatave të sistemit të koordinatave karteziane të treguara në figurë si qendra e reduktimit të sistemit të forcës, shkruani shprehjet për projeksionet e vektorit kryesor dhe momentit kryesor.

Le të shkruajmë marrëdhëniet trigonometrike për të përcaktuar këndet:

Tani mund të shkruajmë shprehje për projeksionet e vektorit kryesor dhe momentin kryesor të forcave të sistemit:

Shënim: njohja e projeksioneve vektoriale në boshtet e koordinatave do të lejojë, nëse është e nevojshme, llogaritjen e madhësisë dhe kosinusit të drejtimit të tij.

Një sistem i rrafshët forcash reduktohet gjithashtu në një forcë të barabartë me të dyja të aplikuara në një qendër O të zgjedhur në mënyrë arbitrare dhe një çift me një moment

në këtë rast, vektori mund të përcaktohet ose gjeometrikisht duke ndërtuar një poligon të forcës (shih paragrafin 4), ose në mënyrë analitike. Kështu, për një sistem të rrafshët të forcave

R x =F kx, R y =F ky,

ku të gjitha momentet në barazinë e fundit janë algjebrike dhe shuma është gjithashtu algjebrike.

Le të gjejmë se në çfarë forme më të thjeshtë mund të reduktohet një sistem i caktuar i sheshtë i forcave që nuk është në ekuilibër. Rezultati varet nga vlerat e R dhe M O.

• 1. Nëse për një sistem të caktuar forcash R=0, a M O ?0, atëherë ai reduktohet në një çift me një moment M O, vlera e të cilit nuk varet nga zgjedhja e qendrës O.
• 2. Nëse për një sistem të caktuar forcash R?0, atëherë ai reduktohet në një forcë, d.m.th., në rezultante. Në këtë rast, dy raste janë të mundshme:
  • a) R?0, M O =0. Në këtë rast, sistemi, siç është menjëherë e dukshme, reduktohet në R rezultante që kalon nëpër qendrën O;
  • b) R?0, M O?0. Në këtë rast, një çift me një moment M O mund të përfaqësohet nga dy forca R" dhe R", duke marrë R"=R, dhe R"= - R. Për më tepër, nëse d=OC është krahu i çiftit, atëherë ai duhet të jetë Rd=|M O |.

Pasi i kemi hedhur poshtë forcat R dhe R" si të balancuara, gjejmë se i gjithë sistemi i forcave zëvendësohet nga rezultanti R" = R që kalon nëpër pikën C. Pozicioni i pikës C përcaktohet nga dy kushte: 1) distanca OC = d () duhet të plotësojë barazinë Rd = |. 2) shenja e momentit në lidhje me qendrën O të forcës R" të aplikuar në pikën C, d.m.th., shenja e m O (R") duhet të përkojë me shenjën e M O.

Sjellja e një sistemi forcash në qendër

Pyetje

Leksioni 6

3. Kushtet e ekuilibrit për një sistem arbitrar forcash

1. Konsideroni një sistem arbitrar forcash. Le të zgjedhim një pikë arbitrare RRETH prapa qendrës së reduktimit dhe, duke përdorur teoremën mbi transferimin paralel të forcës, ne transferojmë të gjitha forcat e sistemit në një pikë të caktuar, duke mos harruar të shtojmë një palë forcash të lidhura kur transferojmë secilën forcë.

Le të zëvendësojmë sistemin që rezulton i forcave konvergjente me një forcë të barabartë me vektorin kryesor të sistemit origjinal të forcave. Sistemi i çifteve të forcave të formuara gjatë transferimit do të zëvendësohet nga një çift me një moment të barabartë me shumën gjeometrike të momenteve të të gjitha çifteve të forcave (d.m.th., shuma gjeometrike e momenteve të sistemit fillestar të forcës në lidhje me qendrën RRETH).

Ky moment quhet momenti kryesor i sistemit të forcës në lidhje me qendrën O (Fig. 1.30).

Oriz. 1.30. Sjellja e një sistemi forcash në qendër

Pra, çdo sistem forcash gjithmonë mund të zëvendësohet nga vetëm dy faktorë të forcës - vektori kryesor dhe momenti kryesor në lidhje me një qendër reduktimi të zgjedhur në mënyrë arbitrare . Natyrisht, vektori kryesor i sistemit të forcës nuk varet nga zgjedhja e qendrës së reduktimit (vektori kryesor thuhet se është i pandryshueshëm në lidhje me zgjedhjen e qendrës së reduktimit). Është gjithashtu e qartë se momenti kryesor nuk e ka këtë pronë, kështu që është gjithmonë e nevojshme të tregohet se në cilën qendër përcaktohet momenti kryesor.

2. Sjellja e sistemit të forcave në formën e tij më të thjeshtë

Mundësia e thjeshtimit të mëtejshëm të sistemeve të forcës arbitrare varet nga vlera e vektorit të tyre kryesor dhe momentit kryesor, si dhe nga zgjedhja e suksesshme e qendrës së reduktimit. Rastet e mëposhtme janë të mundshme:

a), . Në këtë rast, sistemi reduktohet në një palë forcash me një moment, vlera e të cilave nuk varet nga zgjedhja e qendrës së reduktimit.

b), . Sistemi reduktohet në një rezultante të barabartë me , linja e veprimit e së cilës kalon nëpër qendër RRETH.

c) dhe janë reciproke pingule. Sistemi reduktohet në një rezultante të barabartë me por jo duke kaluar nëpër qendër RRETH(Fig. 1.31).

Oriz. 1.31. Sjellja e një sistemi forcash në një rezultat

Le të zëvendësojmë momentin kryesor me një palë forcash, siç tregohet në Fig. 1.31. Le të përcaktojmë R nga kushti që M 0 = R h. Pastaj, bazuar në aksiomën e dytë të statikës, le të hedhim poshtë një sistem të balancuar të dy forcave të aplikuara në një pikë. RRETH.

d) dhe paralele. Sistemi drejtohet nga një vidë dinamike, me një bosht që kalon nëpër qendër RRETH(Fig. 1.32).

Oriz. 1.32. Vidë dinamike

e) dhe nuk janë të barabartë me zero, dhe në të njëjtën kohë vektori kryesor dhe momenti kryesor nuk janë paralel dhe jo pingul me njëri-tjetrin. Sistemi drejtohet nga një vidë dinamike, por boshti nuk kalon nëpër qendër RRETH(Fig. 1.33).

Oriz. 1.33. Rasti më i përgjithshëm i reduktimit të një sistemi forcash

Rastet e reduktimit në formën më të thjeshtë

Duke sjellë në një palë

Le, si rezultat i sjelljes së forcave në qendrën O, rezulton se vektori kryesor është i barabartë me zero, dhe momenti kryesor është i ndryshëm nga zero: . Pastaj, në bazë të teoremës themelore të statikës, ne mund të shkruajmë

Kjo do të thotë se sistemi origjinal i forcave në këtë rast është i barabartë me një palë forcash me një moment.

Momenti i një çifti nuk varet se cila pikë zgjidhet si qendër e momenteve kur llogaritet momenti i një çifti. Rrjedhimisht, në këtë rast pika kryesore nuk duhet të varet nga zgjedhja e qendrës së reduktimit. Por ky është pikërisht konkluzioni në të cilin çon marrëdhënia

duke lidhur pikat kryesore në lidhje me dy qendra të ndryshme. Kur termi shtesë është gjithashtu i barabartë me zero, marrim

Reduktimi në rezultante

Le të mos jetë tani vektori kryesor i barabartë me zero, dhe momenti kryesor është i barabartë me zero: . Në bazë të teoremës themelore të statikës, ne kemi

domethënë, sistemi i forcave rezulton të jetë i barabartë me një forcë - vektorin kryesor. Rrjedhimisht, në këtë rast, sistemi origjinal i forcave reduktohet në një rezultante dhe kjo rezultante përkon me vektorin kryesor të aplikuar në qendër të reduktimit: .

Sistemi i forcave reduktohet në një rezultante në rastin kur vektori kryesor dhe momenti kryesor nuk janë të dy të barabartë me zero, por reciprokisht pingul: . Prova kryhet duke përdorur sekuencën e mëposhtme të veprimeve.

Përmes qendrës së reduktimit O vizatojmë një plan pingul me momentin kryesor (Fig. 50, a). Në figurë, ky plan është i kombinuar me rrafshin e vizatimit, dhe vektori kryesor ndodhet në të. Në këtë plan ndërtojmë një çift me një moment dhe zgjedhim forcat e çiftit të jenë të barabarta në madhësi me vektorin kryesor; atëherë leva e çiftit do të jetë e barabartë me . Më pas, ne e lëvizim çiftin në rrafshin e tij në mënyrë që njëra nga forcat e çiftit të zbatohet në qendër të reduktimit O përballë asaj kryesore; forca e dytë e çiftit do të zbatohet në pikën C, larg qendrës O në drejtimin e dëshiruar, të përcaktuar nga drejtimi, në një distancë OS të barabartë me krahun e çiftit h (Fig. 50, b). Tani duke hedhur poshtë forcat e balancuara R dhe - të aplikuara në pikën O, arrijmë në një forcë të aplikuar në pikën C (Fig. 50, c). Ai do të shërbejë si rezultat i këtij sistemi forcash.

Mund të shihet se forca e reagimit është ende e barabartë me vektorin kryesor, por ndryshon nga vektori kryesor në pikën e aplikimit të tij. Nëse vektori kryesor zbatohet në qendrën e reduktimit O, atëherë rezultanta është në pikën C, pozicioni i së cilës kërkon një përcaktim të veçantë. Metoda gjeometrike e gjetjes së pikës C është e dukshme nga ndërtimi i bërë më sipër.

Për momentin e rezultantit në lidhje me qendrën e reduktimit O, mund të shkruajmë (shih Fig. 50):

ose, duke hequr vlerat e ndërmjetme:

Nëse e projektojmë këtë barazi vektoriale në çdo bosht që kalon nga pika O, marrim barazinë përkatëse në projeksione:

Duke kujtuar se projeksioni i momentit të forcës në lidhje me një pikë në një bosht që kalon nga kjo pikë është momenti i forcës në lidhje me boshtin, ne e rishkruajmë këtë barazi si më poshtë:

Barazitë që rezultojnë shprehin teoremën e Varignon-it në formën e saj të përgjithshme (në leksionin 2 teorema u formulua vetëm për forcat konvergjente): nëse një sistem forcash ka një rezultante, atëherë momenti i kësaj rezultante (në lidhje me një pikë, në lidhje me një bosht) është e barabartë me shumën e momenteve të të gjitha forcave të dhëna - komponentëve (në lidhje me të njëjtën pikë, të njëjtin bosht). Është e qartë se në rastin e një pike përmbledhja e momenteve është vektoriale, në rastin e një boshti është algjebrike.

Reduktimi në dinamizëm

Dinamia ose vidha dinamike është kombinimi i një çifti forcash dhe një force të drejtuar pingul me planin e veprimit të çiftit. Mund të tregohet se në rastin e përgjithshëm të reduktimit, kur dhe nuk është pingul, sistemi origjinal i forcave është i barabartë me njëfarë dinamizmi.

Lërini disa palë forcash me momente që veprojnë në plane të ndryshme të zbatohen njëkohësisht në një trup të ngurtë. A është e mundur të reduktohet ky sistem çiftesh në një formë më të thjeshtë? Rezulton se është e mundur, dhe përgjigja sugjerohet nga teorema e mëposhtme për mbledhjen e dy çifteve.

Teorema. Dy çifte forcash që veprojnë në plane të ndryshme janë të barazvlefshme me një palë forcash me një moment të barabartë me shumën gjeometrike të momenteve të çifteve të dhëna.

Le të përcaktohen çiftet nga momentet e tyre dhe (Fig. 36,a). Le të ndërtojmë dy plane pingul me këta vektorë (rrafshin e veprimit të çifteve) dhe, duke zgjedhur një segment të caktuar AB në vijën e kryqëzimit të planeve për shpatullën e përbashkët për të dy çiftet, do të ndërtojmë çiftet përkatëse: (Fig. 36, b).

Në përputhje me përcaktimin e momentit të një çifti, mund të shkruajmë

Në pikat A dhe B kemi forca konverguese. Duke zbatuar rregullën e paralelogramit të forcave (aksioma 3), do të kemi:

Çiftet e dhëna rezultojnë të barazvlefshme me dy forca, të cilat gjithashtu formojnë një çift. Kështu, pjesa e parë e teoremës vërtetohet. Pjesa e dytë e teoremës vërtetohet me llogaritjen e drejtpërdrejtë të momentit të çiftit që rezulton:

Nëse ka një numër çiftesh, atëherë duke i shtuar ato në çifte në përputhje me këtë teoremë, çdo numër çiftesh mund të reduktohet në një çift. Si rezultat, arrijmë në përfundimin e mëposhtëm: një grup (sistemi) çiftesh forcash të aplikuara në një trup absolutisht të ngurtë mund të reduktohet në një çift me një moment të barabartë me shumën gjeometrike të momenteve të të gjitha çifteve të dhëna.

Matematikisht, kjo mund të shkruhet si më poshtë:

Në Fig. Figura 37 jep një ilustrim gjeometrik të përfundimit që rezulton.

Për ekuilibrin e çifteve të forcave, kërkohet që momenti i çiftit që rezulton të jetë i barabartë me zero, gjë që çon në barazinë

Kjo gjendje mund të shprehet në formë gjeometrike dhe analitike. Kushti gjeometrik për ekuilibrin e çifteve të forcave: që një sistem çiftesh forcash të jetë në ekuilibër, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që shumëkëndëshi vektorial i ndërtuar nga momentet e të gjitha çifteve të jetë i mbyllur.

Kushti analitik për ekuilibrin e çifteve të forcave: që një sistem i çifteve të forcave të jetë në ekuilibër, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që shumat algjebrike të projeksioneve të vektorëve të momentit të të gjitha çifteve në akset e koordinatave të zgjedhura në mënyrë arbitrare Oxyz të jenë të barabarta me zero:

Nëse të gjitha çiftet shtrihen në të njëjtin rrafsh, domethënë ata formojnë një sistem të sheshtë çiftesh, fitohet vetëm një kusht ekuilibri analitik - shuma e momenteve algjebrike të çifteve është e barabartë me zero.

Pyetje vetë-testimi

1. Cila është rregulla e poligonit të forcës? Për çfarë përdoret poligoni i forcës?

2. Si të gjendet rezultanta e forcave konvergjente në mënyrë analitike?

3. Cili është kushti gjeometrik për ekuilibrin e forcave konvergjente? Si formulohet në mënyrë analitike kjo gjendje e njëjtë?

4. Tregoni teoremën e tre forcave.

5. Cilat probleme statike quhen të përcaktuara statikisht dhe cilat të papërcaktuara statikisht? Jepni një shembull të një problemi statikisht të papërcaktuar.

6. Çfarë quhet çift forcash?

7. Si quhet momenti (vektor-moment) i një çifti forcash? Cili është drejtimi, madhësia dhe pika e zbatimit të momentit?

8. Si quhet momenti algjebrik i një çifti?

9. Formuloni një rregull për shtimin e çifteve të vendosura në mënyrë arbitrare në hapësirë.

10. Cilat janë kushtet vektoriale, gjeometrike dhe analitike për ekuilibrin e një sistemi çiftesh forcash?