Krijim

Një trekëndësh barabrinjës është një paralelogram. Teoremat e paralelogramit. Diagonalet ndahen në gjysmë

Ashtu si në gjeometrinë Euklidiane pika dhe drejtëza janë elementet kryesore të teorisë së planeve, ashtu edhe paralelogrami është një nga figurat kryesore katërkëndësha konveks. Prej tij, si fijet nga një top, rrjedhin konceptet e "drejtkëndëshit", "katrorit", "rombit" dhe sasive të tjera gjeometrike.

Në kontakt me

Përkufizimi i paralelogramit

katërkëndësh konveks, i përbërë nga segmente, secila palë e të cilave është paralele, në gjeometri njihet si paralelogram.

Si duket një paralelogram klasik përshkruhet nga një katërkëndësh ABCD. Brinjët quhen baza (AB, BC, CD dhe AD), pingulja e tërhequr nga çdo kulm në anën e kundërt me këtë kulm quhet lartësi (BE dhe BF), vijat AC dhe BD quhen diagonale.

Kujdes! Sheshi, rombi dhe drejtkëndëshi janë raste të veçanta të paralelogramit.

Anët dhe këndet: tiparet e marrëdhënies

Karakteristikat kryesore, në përgjithësi, të paracaktuara nga vetë emërtimi, vërtetohen me teoremë. Këto karakteristika janë si më poshtë:

Anët që janë përballë janë identike në çifte.
Këndet përballë njëri-tjetrit janë të barabartë në çifte.

Vërtetim: Konsideroni ∆ABC dhe ∆ADC, të cilat fitohen duke pjesëtuar katërkëndëshin ABCD me drejtëzën AC. ∠BCA=∠CAD dhe ∠BAC=∠ACD, pasi AC është e zakonshme për to (kënde vertikale për BC||AD dhe AB||CD, respektivisht). Nga kjo rrjedh: ∆ABC = ∆ADC (shenja e dytë e barazisë së trekëndëshave).

Segmentet AB dhe BC në ∆ABC korrespondojnë në çift me drejtëzat CD dhe AD në ∆ADC, që do të thotë se ato janë identike: AB = CD, BC = AD. Kështu, ∠B korrespondon me ∠D dhe ato janë të barabarta. Meqenëse ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, të cilat janë gjithashtu identike në çift, atëherë ∠A = ∠C. Prona eshte e vertetuar.

Karakteristikat e diagonaleve të një figure

Karakteristika kryesore të këtyre drejtëzave të një paralelogrami: pika e kryqëzimit i ndan ato përgjysmë.

Vërtetim: Le të jetë d.m.th. pika e kryqëzimit të diagonaleve AC dhe BD të figurës ABCD. Ata formojnë dy trekëndësha proporcionalë - ∆ABE dhe ∆CDE.

AB=CD meqenëse janë të kundërta. Sipas rreshtave dhe sekanteve, ∠ABE = ∠CDE dhe ∠BAE = ∠DCE.

Sipas kriterit të dytë të barazisë, ∆ABE = ∆CDE. Kjo do të thotë se elementet ∆ABE dhe ∆CDE: AE = CE, BE = DE dhe në të njëjtën kohë janë pjesë proporcionale të AC dhe BD. Prona eshte e vertetuar.

Karakteristikat e qosheve ngjitur

Brinjët ngjitur kanë një shumë këndesh të barabartë me 180°, pasi ato shtrihen në të njëjtën anë të vijave paralele dhe një tërthore. Për katërkëndëshin ABCD:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

Vetitë e përgjysmuesit:

, të ulura në njërën anë, janë pingul;
kulmet e kundërta kanë përgjysmues paralelë;
trekëndëshi i përftuar duke vizatuar një përgjysmues do të jetë dykëndësh.

Përcaktimi i veçorive karakteristike të një paralelogrami duke përdorur teoremën

Karakteristikat e kësaj figure rrjedhin nga teorema e saj kryesore, e cila thotë si më poshtë: një katërkëndësh konsiderohet paralelogram në rast se diagonalet e tij kryqëzohen, dhe kjo pikë i ndan ato në segmente të barabarta.

Vërtetim: le të priten drejtëzat AC dhe BD të katërkëndëshit ABCD në d.m.th. Meqenëse ∠AED = ∠BEC, dhe AE+CE=AC BE+DE=BD, atëherë ∆AED = ∆BEC (sipas kriterit të parë për barazinë e trekëndëshave). Kjo është, ∠EAD = ∠ECB. Ato janë gjithashtu këndet e brendshme kryq të AC sekant për linjat AD dhe BC. Kështu, sipas përkufizimit të paralelizmit - AD || B.C. Një veti e ngjashme e linjave BC dhe CD rrjedh gjithashtu. Teorema është e vërtetuar.

Llogaritja e sipërfaqes së një figure

Zona e kësaj figure gjendet me disa metoda një nga më të thjeshtat: shumëzimi i lartësisë dhe bazës në të cilën është tërhequr.

Vërtetim: vizatoni pingulet BE dhe CF nga kulmet B dhe C. ∆ABE dhe ∆DCF janë të barabarta, pasi AB = CD dhe BE = CF. ABCD është e barabartë në madhësi me drejtkëndëshin EBCF, pasi ato përbëhen nga shifra proporcionale: S ABE dhe S EBCD, si dhe S DCF dhe S EBCD. Nga kjo rezulton se zona e kësaj figura gjeometrike ndodhet në të njëjtën mënyrë si një drejtkëndësh:

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

Për të përcaktuar formulën e përgjithshme për sipërfaqen e një paralelogrami, le të shënojmë lartësinë si hb, dhe anash - b. Përkatësisht:

Mënyra të tjera për të gjetur zonën

Llogaritjet e sipërfaqes nëpër brinjët e paralelogramit dhe këndit, që ata formojnë, është metoda e dytë e njohur.

Spr-ma - zonë;

a dhe b janë anët e tij

α është këndi ndërmjet segmenteve a dhe b.

Kjo metodë praktikisht bazohet në të parën, por në rast se nuk dihet. gjithmonë ndërpret trekëndësh kënddrejtë, parametrat e të cilit gjenden me identitete trigonometrike, pra . Duke transformuar lidhjen, marrim . Në ekuacionin e metodës së parë, ne zëvendësojmë lartësinë me këtë produkt dhe marrim një provë të vlefshmërisë së kësaj formule.

Përmes diagonaleve të një paralelogrami dhe këndit, të cilat i krijojnë kur kryqëzohen, mund të gjesh edhe zonën.

Vërtetim: AC dhe BD kryqëzohen për të formuar katër trekëndësha: ABE, BEC, CDE dhe AED. Shuma e tyre është e barabartë me sipërfaqen e këtij katërkëndëshi.

Zona e secilës prej këtyre ∆ mund të gjendet me shprehjen , ku a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Meqenëse , llogaritjet përdorin një vlerë të vetme sinus. Kjo eshte . Meqenëse AE+CE=AC= d 1 dhe BE+DE=BD= d 2, formula e zonës zvogëlohet në:

Zbatim në algjebër vektoriale

Veçoritë e pjesëve përbërëse të këtij katërkëndëshi kanë gjetur zbatim në algjebër vektoriale, përkatësisht shtimi i dy vektorëve. Rregulli i paralelogramit thotë se nëse jepen vektorëDheJojanë kolineare, atëherë shuma e tyre do të jetë e barabartë me diagonalen e kësaj figure, bazat e së cilës i përgjigjen këtyre vektorëve.

Vërtetim: nga një fillim i zgjedhur në mënyrë arbitrare - d.m.th. - të ndërtojë vektorë dhe . Më pas, ndërtojmë një paralelogram OASV, ku segmentet OA dhe OB janë brinjë. Kështu, OS shtrihet në vektor ose shumë.

Formulat për llogaritjen e parametrave të një paralelogrami

Identiteti jepet në kushtet e mëposhtme:

a dhe b, α - brinjët dhe këndi ndërmjet tyre;
d 1 dhe d 2, γ - diagonalet dhe në pikën e kryqëzimit të tyre;
h a dhe h b - lartësitë e ulura në anët a dhe b;

Parametri	Formula
Gjetja e anëve
përgjatë diagonaleve dhe kosinusit të këndit ndërmjet tyre
përgjatë diagonaleve dhe anëve
përmes lartësisë dhe kulmit të kundërt
Gjetja e gjatësisë së diagonaleve
në anët dhe madhësia e majës ndërmjet tyre
përgjatë anëve dhe njërës nga diagonalet	konkluzioni Paralelogrami, si një nga figurat kryesore të gjeometrisë, përdoret në jetë, për shembull, në ndërtim kur llogaritet sipërfaqja e një vendi ose matje të tjera. Prandaj, njohuritë për veçoritë dalluese dhe metodat e llogaritjes së parametrave të ndryshëm të tij mund të jenë të dobishme në çdo kohë të jetës.

Tema e mësimit

Vetitë e diagonaleve të një paralelogrami.

Objektivat e mësimit

Njihuni me përkufizimet e reja dhe mbani mend disa të studiuara tashmë.
Tregoni dhe vërtetoni vetinë e diagonaleve të një paralelogrami.
Mësoni të zbatoni vetitë e formave gjatë zgjidhjes së problemeve.
Zhvillimore - për të zhvilluar vëmendjen, këmbënguljen, këmbënguljen e studentëve, të menduarit logjik, fjalim matematikor.
Edukative - përmes mësimit, kultivoni një qëndrim të vëmendshëm ndaj njëri-tjetrit, rrënjosni aftësinë për të dëgjuar shokët, ndihmën e ndërsjellë dhe pavarësinë.

Objektivat e mësimit

Testoni aftësitë e nxënësve për zgjidhjen e problemeve.

Plani i mësimit

Prezantimi.
Përsëritja e materialit të studiuar më parë.
Paralelogrami, vetitë dhe veçoritë e tij.
Shembuj detyrash.
Vetëkontroll.

Prezantimi

"E madhe zbulim shkencor ofron një zgjidhje për një problem madhor, por në zgjidhjen e çdo problemi ka një kokërr zbulimi.”

Vetia e brinjëve të kundërta të një paralelogrami

Një paralelogram ka brinjë të kundërta që janë të barabarta.

Dëshmi.

Le të jetë ABCD paralelogrami i dhënë. Dhe le të kryqëzohen diagonalet e tij në pikën O.
Meqenëse Δ AOB = Δ COD sipas kriterit të parë të barazisë së trekëndëshave (∠ AOB = ∠ COD, si vertikalë, AO=OC, DO=OB, nga vetia e diagonaleve të një paralelogrami), atëherë AB=CD. Në të njëjtën mënyrë, nga barazia e trekëndëshave BOC dhe DOA, rezulton se BC = DA. Teorema është e vërtetuar.

Vetia e këndeve të kundërta të një paralelogrami

Në një paralelogram, këndet e kundërta janë të barabarta.

Dëshmi.

Le të jetë ABCD paralelogrami i dhënë. Dhe le të kryqëzohen diagonalet e tij në pikën O.
Nga ajo që u provua në teoremën për vetitë e brinjëve të kundërta të një paralelogrami Δ ABC = Δ CDA në tri brinjë (AB=CD, BC=DA nga ajo që u vërtetua, AC – e përgjithshme). Nga barazia e trekëndëshave del se ∠ ABC = ∠ CDA.
Është vërtetuar gjithashtu se ∠ DAB = ∠ BCD, që rrjedh nga ∠ ABD = ∠ CDB. Teorema është e vërtetuar.

Vetia e diagonaleve të një paralelogrami

Diagonalet e një paralelogrami priten dhe përgjysmohen në pikën e prerjes.

Dëshmi.

Le të jetë ABCD paralelogrami i dhënë. Le të vizatojmë diagonalen AC. Le të shënojmë mesin O në të Në vazhdim të segmentit DO, do ta lëmë mënjanë segmentin OB 1 të barabartë me DO.
Sipas teoremës së mëparshme, AB 1 CD është një paralelogram. Prandaj, rreshti AB 1 është paralel me DC. Por përmes pikës A mund të vizatohet vetëm një drejtëz paralele me DC. Kjo do të thotë se drejt AB 1 përkon me drejt AB.
Është vërtetuar gjithashtu se 1 para Krishtit përkon me para Krishtit. Kjo do të thotë se pika C përkon me C 1. paralelogrami ABCD përkon me paralelogramin AB 1 CD. Rrjedhimisht, diagonalet e paralelogramit priten dhe përgjysmohen në pikën e prerjes. Teorema është e vërtetuar.

Në tekstet shkollore për shkollat e rregullta (për shembull, në Pogorelovo) vërtetohet kështu: diagonalet ndajnë një paralelogram në 4 trekëndësha. Le të shqyrtojmë një palë dhe të zbulojmë - ato janë të barabarta: bazat e tyre janë anët e kundërta, këndet përkatëse ngjitur me të janë të barabarta, si kënde vertikale me vija paralele. Kjo do të thotë, segmentet e diagonaleve janë të barabarta në çifte. Të gjitha.

A është kjo e gjitha?
Më sipër u vërtetua se pika e kryqëzimit i përgjysmon diagonalet - nëse ekziston. Arsyetimi i mësipërm nuk vërteton në asnjë mënyrë vetë ekzistencën e tij. Kjo do të thotë, një pjesë e teoremës "ndërpriten diagonalet e një paralelogrami" mbetet e paprovuar.

Gjëja qesharake është se kjo pjesë është shumë më e vështirë për t'u provuar. Kjo rrjedh, meqë ra fjala, nga një rezultat më i përgjithshëm: çdo katërkëndësh konveks do të ketë diagonale të kryqëzuara, por çdo katërkëndësh jo konveks nuk do të ketë.

Mbi barazinë e trekëndëshave përgjatë një brinjë dhe dy këndeve ngjitur (shenja e dytë e barazisë së trekëndëshave) dhe të tjera.

Thales gjeti një teoremë të rëndësishme mbi barazinë e dy trekëndëshave përgjatë një brinje dhe dy këndeve ngjitur përdorim praktik. Në portin e Miletit u ndërtua një distancues për të përcaktuar distancën nga një anije në det. Ai përbëhej nga tre kunja të shtyra A, B dhe C (AB = BC) dhe një vijë e drejtë e shënuar SC, pingul me CA. Kur një anije u shfaq në vijën e drejtë SK, ne gjetëm pikën D të tillë që pikat D, .B dhe E ishin në të njëjtën vijë të drejtë. Siç është e qartë nga vizatimi, distanca CD në tokë është distanca e dëshiruar nga anija.

Pyetje

A ndahen diagonalet e një katrori përgjysmë me pikën e kryqëzimit?
A janë të barabarta diagonalet e një paralelogrami?
A janë të barabartë këndet e kundërta të një paralelogrami?
Tregoni përkufizimin e një paralelogrami?
Sa shenja të një paralelogrami?
A mund të jetë një romb paralelogram?

Lista e burimeve të përdorura

Kuznetsov A.V., mësues i matematikës (klasat 5-9), Kiev
"Beqare Provimi i shtetit 2006. Matematikë. Materiale edukative dhe trajnuese për përgatitjen e studentëve / Rosobrnadzor, ISOP - M.: Intellect-Center, 2006"
Mazur K. I. “Zgjidhja e problemeve kryesore të konkursit në matematikë të koleksionit të redaktuar nga M. I. Skanavi”
L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, E. G. Poznyak, I. I. Yudina "Gjeometria, 7 - 9: tekst shkollor për institucionet arsimore"

Ne kemi punuar në mësim

Kuznetsov A.V.

Poturnak S.A.

Evgeniy Petrov

Bëj një pyetje rreth arsimi modern, shprehni një ide ose zgjidhni një problem urgjent, mundeni forum arsimor, ku me radhë nivel ndërkombëtar po mblidhet një këshill edukativ mendimi dhe veprimi i freskët. Duke krijuar blog, Ju jo vetëm që do të përmirësoni statusin tuaj si mësues kompetent, por gjithashtu do të jepni një kontribut të rëndësishëm në zhvillimin e shkollës së së ardhmes. Guildi i Drejtuesve Arsimor hap dyert për specialistë të rangut më të lartë dhe i fton ata të bashkëpunojnë për krijimin e shkollave më të mira në botë.

Lëndët > Matematikë > Matematikë klasa e 8-të

Dëshmi

Para së gjithash, le të vizatojmë diagonalen AC. Marrim dy trekëndësha: ABC dhe ADC.

Meqenëse ABCD është një paralelogram, sa vijon është e vërtetë:

pas Krishtit || BC \Shigjeta djathtas \këndi 1 = \këndi 2 si gënjeshtër kryq.

AB || CD\Rightarrow\angle3 =\angle 4 si gënjeshtër kryq.

Prandaj, \trekëndëshi ABC = \trekëndëshi ADC (sipas kriterit të dytë: dhe AC është i zakonshëm).

Dhe, pra, \trekëndëshi ABC = \trekëndësh ADC, pastaj AB = CD dhe AD = BC.

E provuar!

2. Këndet e kundërta janë identike.

Dëshmi

Sipas provës vetitë 1 Ne e dimë atë \këndi 1 = \këndi 2, \këndi 3 = \këndi 4. Kështu, shuma e këndeve të kundërta është: \këndi 1 + \këndi 3 = \këndi 2 + \këndi 4. Duke marrë parasysh që \trekëndëshi ABC = \trekëndëshi ADC marrim \kënd A = \këndi C , \këndi B = \këndi D .

E provuar!

3. Diagonalet ndahen përgjysmë me pikën e kryqëzimit.

Dëshmi

Le të vizatojmë një diagonale tjetër.

Nga pronë 1 ne e dimë se anët e kundërta janë identike: AB = CD. Edhe një herë, vini re këndet e barabarta të shtrira në mënyrë tërthore.

Kështu, është e qartë se \trekëndësh AOB = \trekëndësh COD sipas kriterit të dytë për barazinë e trekëndëshave (dy kënde dhe brinja ndërmjet tyre). Kjo do të thotë, BO = OD (përballë këndeve \këndi 2 dhe \këndi 1) dhe AO = OC (përballë këndeve \këndi 3 dhe \këndi 4, respektivisht).

E provuar!

Shenjat e një paralelogrami

Nëse vetëm një veçori është e pranishme në problemin tuaj, atëherë figura është një paralelogram dhe ju mund të përdorni të gjitha vetitë e kësaj figure.

Për memorizimin më të mirë, vini re se shenja paralelogrami do t'i përgjigjet pyetjes së mëposhtme - "si ta zbuloni?". Kjo është, si e dini se çfarë figurë e vendosur ky është një paralelogram.

1. Paralelogrami është katërkëndëshi, dy brinjët e të cilit janë të barabarta dhe paralele.

AB = CD; AB || CD \Rightarrow ABCD është një paralelogram.

Dëshmi

Le të hedhim një vështrim më të afërt. Pse AD || para Krishtit?

\trekëndëshi ABC = \trekëndëshi ADC nga pronë 1: AB = CD, AC - e zakonshme dhe \këndi 1 = \këndi 2 i shtrirë në mënyrë tërthore me AB dhe CD paralele dhe AC sekante.

Por nëse \trekëndëshi ABC = \trekëndëshi ADC , atëherë \këndi 3 = \këndi 4 (shtrihet përkatësisht përballë AB dhe CD). Dhe prandaj pas Krishtit || BC (\këndi 3 dhe \këndi 4 - ato që shtrihen në mënyrë tërthore janë gjithashtu të barabarta).

Shenja e parë është e saktë.

2. Paralelogrami është një katërkëndësh, brinjët e kundërta të të cilit janë të barabarta.

AB = CD, AD = BC \Rightarrow ABCD është një paralelogram.

Dëshmi

Le të shqyrtojmë këtë shenjë. Le të vizatojmë përsëri diagonalen AC.

Nga pronë 1\trekëndësh ABC = \trekëndësh ACD .

Nga kjo rezulton se: \këndi 1 = \këndi 2 \Rightarrow AD || B.C. Dhe \këndi 3 = \këndi 4 \Djathtas shigjetë AB || CD, domethënë, ABCD është një paralelogram.

Shenja e dytë është e saktë.

3. Paralelogrami është katërkëndëshi, këndet e kundërta të të cilit janë të barabartë.

\këndi A = \këndi C, \këndi B = \këndi D \Djathtas ABCD- paralelogram.

Dëshmi

2 \alfa + 2 \beta = 360^(\circ)(pasi ABCD është katërkëndësh, dhe \këndi A = \këndi C , \këndi B = \këndi D sipas kushtit).

Rezulton se \alfa + \beta = 180^(\circ) . Por \alfa dhe \beta janë të brendshme të njëanshme në sekantin AB.

Dhe fakti që \alfa + \beta = 180^(\circ) do të thotë gjithashtu se AD || B.C.

Për më tepër, \alfa dhe \beta janë të brendshme të njëanshme në sekantin AD. Dhe kjo do të thotë AB || CD.

Shenja e tretë është e saktë.

4. Paralelogrami është një katërkëndësh, diagonalet e të cilit ndahen përgjysmë me pikën e prerjes.

AO = OC; BO = OD\paralelogram me shigjetë djathtas.

Dëshmi

BO = OD; AO = OC , \këndi 1 = \këndi 2 si vertikal \Shigjeta djathtas \trekëndëshi AOB = \trekëndëshi COD, \Shigjeta djathtas \këndi 3 = \këndi 4, dhe \Rightarrow AB || CD.

Në mënyrë të ngjashme BO = OD; AO = OC, \këndi 5 = \këndi 6 \Shigjeta djathtas \trekëndëshi AOD = \trekëndësh BOC \Shigjeta djathtas \këndi 7 = \këndi 8, dhe \Rightarrow AD || B.C.

Shenja e katërt është e saktë.

Një paralelogram është një katërkëndësh, anët e kundërta të të cilit janë paralele në çift (Fig. 233).

Për një paralelogram arbitrar vlejnë vetitë e mëposhtme:

1. Brinjët e kundërta të një paralelogrami janë të barabarta.

Dëshmi. Në paralelogramin ABCD vizatojmë diagonalen AC. Trekëndëshat ACD dhe AC B janë të barabartë, sikur të kenë anën e përbashkët AC dhe dy palë kënde të barabarta ngjitur me të:

(si kënde tërthore me drejtëza paralele AD dhe BC). Kjo do të thotë, dhe si brinjët e trekëndëshave të barabartë që shtrihen përballë këndeve të barabarta, gjë që duhej vërtetuar.

2. Këndet e kundërta të një paralelogrami janë të barabartë:

3. Këndet ngjitur të një paralelogrami, d.m.th., këndet ngjitur me njërën anë, mbledhja etj.

Vërtetimi i vetive 2 dhe 3 merret menjëherë nga vetitë e këndeve për drejtëza paralele.

4. Diagonalet e një paralelogrami përgjysmojnë njëra-tjetrën në pikën e tyre të kryqëzimit. Me fjale te tjera,

Dëshmi. Trekëndëshat AOD dhe BOC janë kongruentë, pasi brinjët e tyre AD dhe BC janë të barabarta (vetia 1) dhe këndet ngjitur me ta (si kënde tërthore për drejtëzat paralele). Kjo nënkupton barazinë e brinjëve përkatëse të këtyre trekëndëshave: AO, që është ajo që duhej vërtetuar.

Secila nga këto katër veti karakterizon një paralelogram, ose, siç thonë ata, është vetia e tij karakteristike, d.m.th., çdo katërkëndësh që ka të paktën një nga këto veti është një paralelogram (dhe, për rrjedhojë, ka të tre vetitë e tjera).

Le të bëjmë vërtetimin për secilën pronë veç e veç.

1". Nëse anët e kundërta të një katërkëndëshi janë të barabarta në çifte, atëherë ai është paralelogram.

Dëshmi. Le të ketë katërkëndëshi ABCD brinjët AD dhe BC, përkatësisht AB dhe CD të barabarta (Fig. 233). Le të vizatojmë diagonalen AC. Trekëndëshat ABC dhe CDA do të jenë kongruentë pasi kanë tre palë brinjë të barabarta.

Por atëherë këndet BAC dhe DCA janë të barabarta dhe . Paralelizmi i brinjëve BC dhe AD rrjedh nga barazia e këndeve CAD dhe ACB.

2. Nëse një katërkëndësh ka dy palë kënde të kundërta të barabarta, atëherë ai është paralelogram.

Dëshmi. Le . Që atëherë të dyja anët AD dhe BC janë paralele (bazuar në paralelizmin e drejtëzave).

3. Formulimin dhe provën ia lëmë lexuesit.

4. Nëse diagonalet e një katërkëndëshi përgjysmojnë njëra-tjetrën në pikën e prerjes, atëherë katërkëndëshi është paralelogram.

Dëshmi. Nëse AO = OS, BO = OD (Fig. 233), atëherë trekëndëshat AOD dhe BOC janë të barabartë, pasi kanë kënde të barabarta (vertikale!) në kulmin O, të mbyllur midis çifteve të brinjëve të barabarta AO dhe CO, BO dhe DO. Nga barazia e trekëndëshave konkludojmë se brinjët AD dhe BC janë të barabarta. Brinjët AB dhe CD janë gjithashtu të barabarta, dhe katërkëndëshi rezulton të jetë paralelogram sipas vetive karakteristike G.

Kështu, për të vërtetuar se një katërkëndësh i dhënë është paralelogram, mjafton të verifikohet vlefshmëria e njërës prej katër vetive. Lexuesi ftohet të provojë në mënyrë të pavarur një veçori tjetër karakteristike të paralelogramit.

5. Nëse një katërkëndësh ka një palë brinjë të barabarta paralele, atëherë ai është paralelogram.

Ndonjëherë çdo palë brinjë paralele të një paralelogrami quhet baza e tij, atëherë dy të tjerat quhen brinjë anësore. Një segment i drejtëz pingul me dy anët e një paralelogrami, i mbyllur midis tyre, quhet lartësia e paralelogramit. Paralelogrami në Fig. 234 ka një lartësi h të tërhequr në anët AD dhe BC, lartësia e tij e dytë përfaqësohet nga segmenti .

Institucion arsimor buxhetor komunal

Savinskaya mesatare shkollë gjithëpërfshirëse

Hulumtimi

Paralelogrami dhe vetitë e tij të reja

Plotësuar nga: nxënës i klasës 8B

Shkolla e mesme MBOU Savinskaya

Kuznetsova Svetlana, 14 vjeç

Drejtues: mësues i matematikës

Tulchevskaya N.A.

fq Savino

Rajoni i Ivanovo, Rusi

2016

I. Hyrje __________________________________________________faqja 3

II. Nga historia e paralelogramit _________________________________faqe 4

III Vetitë shtesë të paralelogramit _________________________________faqe 4

IV. Vërtetimi i vetive _____________________________________ faqe 5

V. Zgjidhja e problemeve duke përdorur veçori shtesë __________faqe 8

VI. Zbatimi i vetive të paralelogramit në jetë ___________________faqe 11

VII. Përfundim __________________________________________________faqe 12

VIII. Literatura _________________________________________________faqe 13

Prezantimi

"Mes mendjeve të barabarta

në barazia e kushteve të tjera

Ai që njeh gjeometrinë është më i lartë"

(Blaise Pascal).

Gjatë studimit të temës "Parallelogrami" në mësimet e gjeometrisë, ne shikuam dy vetitë e një paralelogrami dhe tre veçori, por kur filluam të zgjidhnim probleme, rezultoi se kjo nuk mjaftonte.

Kisha një pyetje: a ka një paralelogram veti të tjera dhe si do të ndihmojnë në zgjidhjen e problemeve?

Dhe vendosa të studioj vetitë shtesë të një paralelogrami dhe të tregoj se si ato mund të zbatohen për të zgjidhur problemet.

Lënda e studimit : paralelogrami

Objekti i studimit : vetitë e një paralelogrami
Qëllimi i punës:

formulimi dhe vërtetimi i vetive shtesë të një paralelogrami që nuk studiohen në shkollë;

aplikimi i këtyre vetive për zgjidhjen e problemeve.

Detyrat:

Të studiojë historinë e shfaqjes së paralelogramit dhe historinë e zhvillimit të vetive të tij;

Gjeni literaturë shtesë për çështjen në studim;

Të studiojë vetitë shtesë të paralelogramit dhe t'i vërtetojë ato;

Tregoni zbatimin e këtyre vetive për zgjidhjen e problemeve;

Merrni parasysh zbatimin e vetive të një paralelogrami në jetë.
Metodat e hulumtimit:

Puna me literaturë edukative dhe shkencore popullore, burime në internet;

Studimi i materialit teorik;

Identifikimi i një sërë problemash që mund të zgjidhen duke përdorur vetitë shtesë të një paralelogrami;

Vëzhgim, krahasim, analizë, analogji.

Kohëzgjatja e studimit : 3 muaj: Janar-Mars 2016

Në një tekst shkollor të gjeometrisë lexojmë përkufizimin e mëposhtëm të një paralelogrami: Një paralelogram është një katërkëndësh, anët e kundërta të të cilit janë paralele në çifte.

Fjala "paralelogram" përkthehet si " vijat paralele"(nga fjalët greke Parallelos - paralel dhe gram - vijë), ky term u prezantua nga Euklidi. Në librin e tij Elementet, Euklidi vërtetoi vetitë e mëposhtme të një paralelogrami: anët dhe këndet e kundërta të një paralelogrami janë të barabarta, dhe diagonalja e përgjysmon atë. Euklidi nuk e përmend pikën e kryqëzimit të një paralelogrami. Ajo u zhvillua vetëm nga fundi i mesjetës teori e plotë paralelogramet Dhe vetëm në shekullin e 17-të u shfaqën teorema rreth paralelogrameve në tekstet shkollore, të cilat u vërtetuan duke përdorur teoremën e Euklidit mbi vetitë e një paralelogrami.

III Vetitë shtesë të një paralelogrami

Në tekstin e gjeometrisë jepen vetëm 2 veti të paralelogramit:

Këndet dhe brinjët e kundërta janë të barabarta

Diagonalet e një paralelogrami priten dhe përgjysmohen nga pika e kryqëzimit.

Në burime të ndryshme mbi gjeometrinë mund të gjeni vetitë e mëposhtme shtesë:

Shuma e këndeve ngjitur të një paralelogrami është 180 0

Përgjysmuesja e këndit të një paralelogrami pret një trekëndësh dykëndësh prej tij;

Përgjysmuesit e këndeve të kundërta të një paralelogrami shtrihen në drejtëza paralele;

Përgjysmuesit e këndeve fqinjë të një paralelogrami priten në kënde të drejta;

Kur përgjysmuesit e të gjitha këndeve të një paralelogrami kryqëzohen, ato formojnë një drejtkëndësh;

Distancat nga këndet e kundërta të një paralelogrami në të njëjtën diagonale janë të barabarta.

Nëse lidhni kulme të kundërta në një paralelogram me pikat e mesit të anëve të kundërta, ju merrni një paralelogram tjetër.

Shuma e katrorëve të diagonaleve të një paralelogrami është e barabartë me dyfishin e shumës së katrorëve të brinjëve të tij ngjitur.

Nëse vizatoni lartësi nga dy kënde të kundërta në një paralelogram, ju merrni një drejtkëndësh.

IV Vërtetimi i vetive të paralelogramit

Shuma e këndeve ngjitur të një paralelogrami është 180 0

E dhënë:

ABCD – paralelogram

Provoj:

A+
B=

Dëshmi:

A dhe
B – kënde të brendshme të njëanshme me drejtëza paralele BC AD dhe sekanti AB, që do të thotë
A+
B=

E dhënë: ABCD - paralelogrami,

AK përgjysmues
A.

Provoj: AVK – dykëndësh

Dëshmi:

1)
1=
3 (shtrirë tërthore në BC AD dhe sekanti AK),

2)
2=
3 sepse AK është një përgjysmues,

do të thotë 1=
2.

3) ABC - dykëndësh, sepse 2 kënde të një trekëndëshi janë të barabartë

. Përgjysmuesja e këndit të një paralelogrami pret një trekëndësh dykëndësh prej tij

E dhënë: ABCD është një paralelogram,

AK – përgjysmues A,

CP - përgjysmues C.

Provoj: AK ║ SR

Dëshmi:

1) 1=2 sepse AK është një përgjysmues

2) 4=5 sepse CP – përgjysmues

3) 3=1 (këndet e shtrira tërthore në

BC ║ AD dhe AK-sekant),

4) A =C (nga vetia e një paralelogrami), që do të thotë 2=3=4=5.

4) Nga paragrafët 3 dhe 4 rrjedh se 1 = 4, dhe këto kënde u korrespondojnë drejtëzave AK dhe CP dhe sekantit BC,

kjo do të thotë AK ║ CP (bazuar në paralelizmin e vijave)

. Përgjysmuesit e këndeve të kundërta të një paralelogrami shtrihen në drejtëza paralele

Përgjysmuesit e këndeve fqinjë të një paralelogrami priten në kënde të drejta

E dhënë: ABCD - paralelogram,

AK-përgjysmues A,

Përgjysmuesja e PD-së D

Provoj: PD AK.

Dëshmi:

1) 1=2, sepse AK - përgjysmues

Le të jetë 1=2=x, pastaj A=2x,

2) 3=4, sepse D Р – përgjysmues

Le të jetë 3=4=y, pastaj D=2y

3) A + D =180 0, sepse shuma e këndeve ngjitur të një paralelogrami është 180

2) Konsideroni Një OD

1+3=90 0, atëherë
<5=90 0 (сумма углов треугольников равна 180 0)

5. Përgjysmorët e të gjitha këndeve të një paralelogrami kur kryqëzohen formojnë një drejtkëndësh

E dhënë: ABCD - paralelogram, AK-përgjysmues A,

PD-përgjysmues D,

përgjysmues CM C,

BF - përgjysmues B .

Provoj: KRNS - drejtkëndësh

Dëshmi:

Bazuar në vetinë e mëparshme 8=7=6=5=90 0 ,

do të thotë KRNS është një drejtkëndësh.

Distancat nga këndet e kundërta të një paralelogrami në të njëjtën diagonale janë të barabarta.

E dhënë: ABCD-paralelogram, AC-diagonal.

QV AC, D.P. A.C.

Provoj: BC=PD

Dëshmi: 1) DCP = KAB, si kryqe të brendshme që shtrihen me AB ║ CD dhe AC sekante.

2) AKB= CDP (përgjatë brinjës dhe dy këndeve ngjitur AB=CD CD P=AB K).

Dhe në trekëndëshat e barabartë brinjët përkatëse janë të barabarta, që do të thotë DP=BK.

Nëse lidhni kulme të kundërta në një paralelogram me pikat e mesit të anëve të kundërta, ju merrni një paralelogram tjetër.

E dhënë: Paralelogrami ABCD.

Provoj: VKDR është një paralelogram.

Dëshmi:

1) BP=KD (AD=BC, pikat K dhe P

ndani këto anë në gjysmë)

2) BP ║ KD (shtrihet në AD para Krishtit)

Nëse anët e kundërta të një katërkëndëshi janë të barabarta dhe paralele, atëherë katërkëndëshi është një paralelogram.

Nëse vizatoni lartësi nga dy kënde të kundërta në një paralelogram, ju merrni një drejtkëndësh.

Shuma e katrorëve të diagonaleve të një paralelogrami është e barabartë me dyfishin e shumës së katrorëve të brinjëve të tij ngjitur.

E dhënë: ABCD është një paralelogram. BD dhe AC janë diagonale.

Provoj: AC 2 +VD 2 =2(AB 2 + Pas Krishtit 2 )

Dëshmi: 1)PYETJE: A.C. ²=
+

2)B RD : BD 2 = B R 2 + RD 2 (sipas teoremës së Pitagorës)

3) A.C. ²+ BD ²=SK²+A K²+B Р²+РD ²

4) SC = BP = N(lartësia )

5) AC 2 +BD 2 = H 2 + A TE 2 + H 2 +PD 2

6) Le D K=A P=x, Pastaj C TED : H 2 = CD 2 - X 2 sipas teoremës së Pitagorës )

7) AC²+BD ² = CD 2 - x²+ AK 1 ²+ CD 2 -X 2 +PD 2 ,

AC²+BD ²=2СD 2 -2x 2 + A TE 2 +PD 2

8) A TE=AD+ X, RD=AD- X,

AC²+BD ² = 2CD 2 -2x 2 +(pas Krishtit +x) 2 +(pas Krishtit -X) 2 ,

AC²+ NËD²=2 MED²-2 X² + AD 2 +2 pas Krishtit X+ X 2 +AD 2 -2 pas Krishtit X+ X 2 ,
AC²+ NËD²=2CD 2 +2 pas Krishtit 2 =2(CD 2 +AD 2 ).

V . Zgjidhja e problemeve duke përdorur këto veçori

Pika e prerjes së përgjysmuesve të dy këndeve të një paralelogrami ngjitur me njërën anë i përket anës së kundërt. Ana më e shkurtër e një paralelogrami është 5 . Gjeni anën e saj të madhe.

E dhënë: ABCD është një paralelogram,

AK – përgjysmues
A,

D K – përgjysmues
D, AB=5

Gjej: Dielli

vendim

Zgjidhje

Sepse AK - përgjysmues
Dhe atëherë ABC është izosceles.

Sepse D K – përgjysmues
D, atëherë DCK - izosceles

DC =C K= 5

Pastaj, BC=VC+SC=5+5 = 10

Përgjigje: 10

2. Gjeni perimetrin e një paralelogrami nëse përgjysmuesja e njërit prej këndeve të tij ndan brinjën e paralelogramit në segmente 7 cm dhe 14 cm.

1 rast

E dhënë:
A,

VK=14 cm, KS=7 cm

Gjej: P paralelogrami

Zgjidhje

VS=VK+KS=14+7=21 (cm)

Sepse AK – përgjysmues
Dhe atëherë ABC është izosceles.

AB=BK= 14 cm

Pastaj P=2 (14+21) =70 (cm)

duke ndodhur

E dhënë: ABCD është një paralelogram,

D K – përgjysmues
D

VK=14 cm, KS=7 cm

Gjej: P paralelogram

Zgjidhje

VS=VK+KS=14+7=21 (cm)

Sepse D K – përgjysmues
D, atëherë DCK - izosceles

DC =C K= 7

Pastaj, P= 2 (21+7) = 56 (cm)

Përgjigje: 70 cm ose 56 cm

3. Brinjët e një paralelogrami janë 10 cm dhe 3 cm Përgjysmuesit e dy këndeve ngjitur me anën më të madhe ndajnë anën e kundërt në tre segmente. Gjeni këto segmente.

1 rast: përgjysmorët priten jashtë paralelogramit

E dhënë: ABCD – paralelogram, AK – përgjysmues
A,

D K – përgjysmues
D , AB=3 cm, BC=10 cm

Gjej: VM, MN, NC

Zgjidhje

Sepse AM - përgjysmues
Dhe atëherë AVM është izosceles.

Sepse DN – përgjysmues
D, atëherë DCN - isosceles

DC=CN=3

Pastaj, MN = 10 – (BM +NC) = 10 – (3+3)=4 cm

Rasti 2: përgjysmorët priten brenda një paralelogrami

Sepse AN - përgjysmues
Dhe, atëherë ABN është izosceles.

AB=BN = 3 D

Dhe grila rrëshqitëse duhet të zhvendoset në distancën e kërkuar në hyrje

Mekanizmi paralelogram- një mekanizëm me katër shirita, lidhjet e të cilit formojnë një paralelogram. Përdoret për të zbatuar lëvizjen përkthimore me mekanizma të varur.

Paralelogram me lidhje fikse- njëra lidhje është e palëvizshme, e kundërta bën një lëvizje lëkundëse, duke mbetur paralele me atë të palëvizshme. Dy paralelogramë të lidhur njëri pas tjetrit i japin lidhjes fundore dy shkallë lirie, duke e lënë atë paralel me lidhjen e palëvizshme.

Shembuj: fshirëset e xhamit të autobusit, pirunët, trekëmbëshat, varëse rrobash, varëse makinash.

Paralelogram me nyje fikse- përdoret vetia e një paralelogrami për të mbajtur një raport konstant të distancave ndërmjet tri pikave. Shembull: vizatim pantograf - një pajisje për shkallëzimin e vizatimeve.

Rombi- të gjitha lidhjet kanë të njëjtën gjatësi, afrimi (tkurrja) e një çifti menteshash të kundërta çon në largimin e dy menteshave të tjera. Të gjitha lidhjet punojnë në kompresim.

Shembuj - fole automobilistike në formë diamanti, pantograf tramvaji.

Gërshërë ose Mekanizmi në formë X, i njohur edhe si Gërshërë të Nurembergut- versioni romb - dy lidhje të lidhura në mes nga një menteshë. Përparësitë e mekanizmit janë kompaktësia dhe thjeshtësia, disavantazhi është prania e dy palëve rrëshqitëse. Dy (ose më shumë) mekanizma të tillë të lidhur në seri formojnë një diamant(a) në mes. Përdoret në ashensorë dhe lodra për fëmijë.

VII konkluzioni

Kush ka studiuar matematikë që nga fëmijëria?

ai zhvillon vëmendjen, stërvit trurin e tij,

vullnetin e vet, kultivon këmbënguljen

dhe këmbëngulje në arritjen e qëllimeve

A. Markushevich

Gjatë punës, vërtetova vetitë shtesë të paralelogramit.

Isha i bindur se duke përdorur këto veti, ju mund t'i zgjidhni problemet më shpejt.

Unë tregova se si zbatohen këto veti duke përdorur shembuj të zgjidhjes së problemeve specifike.

Mësova shumë për paralelogramin, i cili nuk gjendet në tekstin tonë të gjeometrisë

Unë u binda se njohuritë e gjeometrisë janë shumë të rëndësishme në jetë përmes shembujve të zbatimit të vetive të një paralelogrami.

Qëllimi i punës sime kërkimore është përfunduar.

Rëndësia e njohurive matematikore dëshmohet nga fakti se u vendos një çmim për personin që boton një libër për një person që jetoi tërë jetën e tij pa ndihmën e matematikës. Asnjë person i vetëm nuk e ka marrë ende këtë çmim.

VIII Letërsia