Vijë e drejtë. Konceptet bazë. Vijat paralele. Udhëzues vizual (2020) Çfarë janë linjat paralele

Ky artikull ka të bëjë me linjat paralele dhe linjat paralele. Së pari jepet përkufizimi i drejtëzave paralele në rrafsh dhe në hapësirë, paraqiten shënimet, jepen shembuj dhe ilustrime grafike të drejtëzave paralele. Më pas diskutohen shenjat dhe kushtet për paralelizmin e drejtëzave. Si përfundim, tregohen zgjidhjet e problemeve tipike të vërtetimit të paralelizmit të drejtëzave, të cilat jepen me ekuacione të caktuara të drejtëzës në një sistem koordinativ drejtkëndor në rrafsh dhe në hapësirën tredimensionale.

Navigimi i faqes.

Vijat paralele - informacioni bazë.

Përkufizimi.

Dy rreshta në një rrafsh quhen paralele, nëse nuk kanë pika të përbashkëta.

Përkufizimi.

Quhen dy vija në hapësirën tredimensionale paralele, nëse shtrihen në të njëjtin rrafsh dhe nuk kanë pika të përbashkëta.

Ju lutemi vini re se klauzola "nëse ato shtrihen në të njëjtin rrafsh" në përkufizimin e drejtëzave paralele në hapësirë ​​është shumë e rëndësishme. Le ta sqarojmë këtë pikë: dy drejtëza në hapësirën tredimensionale që nuk kanë pika të përbashkëta dhe nuk shtrihen në të njëjtin rrafsh nuk janë paralele, por të kryqëzuara.

Këtu janë disa shembuj të drejtëzave paralele. Skajet e kundërta të fletës së fletores shtrihen në vija paralele. Vijat e drejta përgjatë të cilave rrafshi i murit të shtëpisë kryqëzon rrafshet e tavanit dhe dyshemesë janë paralele. Binarët hekurudhor në tokë të sheshtë mund të konsiderohen gjithashtu si linja paralele.

Për të treguar vija paralele, përdorni simbolin "". Kjo do të thotë, nëse drejtëzat a dhe b janë paralele, atëherë mund të shkruajmë shkurtimisht një b.

Ju lutemi vini re: nëse drejtëzat a dhe b janë paralele, atëherë mund të themi se drejtëza a është paralele me drejtëzën b, dhe gjithashtu se drejtëza b është paralele me drejtëzën a.

Le të shprehim një deklaratë që luan një rol të rëndësishëm në studimin e drejtëzave paralele në një rrafsh: përmes një pike që nuk shtrihet në një vijë të caktuar, kalon e vetmja drejtëz paralele me atë të dhënë. Ky pohim pranohet si fakt (nuk mund të vërtetohet në bazë të aksiomave të njohura të planimetrisë) dhe quhet aksioma e drejtëzave paralele.

Për rastin në hapësirë, teorema vlen: përmes çdo pike të hapësirës që nuk shtrihet në një drejtëz të caktuar, kalon një drejtëz e vetme paralele me atë të dhënë. Kjo teoremë vërtetohet lehtësisht duke përdorur aksiomën e mësipërme të drejtëzave paralele (provimin e saj mund ta gjeni në tekstin shkollor të gjeometrisë për klasat 10-11, i cili është renditur në fund të artikullit në listën e referencave).

Për rastin në hapësirë, teorema vlen: përmes çdo pike të hapësirës që nuk shtrihet në një drejtëz të caktuar, kalon një drejtëz e vetme paralele me atë të dhënë. Kjo teoremë mund të vërtetohet lehtësisht duke përdorur aksiomën e mësipërme të vijës paralele.

Paralelizmi i drejtëzave - shenjat dhe kushtet e paralelizmit.

Një shenjë e paralelizmit të vijaveështë kusht i mjaftueshëm që vijat të jenë paralele, pra kusht përmbushja e të cilit garanton që vijat të jenë paralele. Me fjalë të tjera, plotësimi i këtij kushti është i mjaftueshëm për të vërtetuar faktin se vijat janë paralele.

Ekzistojnë gjithashtu kushte të nevojshme dhe të mjaftueshme për paralelizmin e drejtëzave në një plan dhe në hapësirën tredimensionale.

Le të shpjegojmë kuptimin e shprehjes "kusht i domosdoshëm dhe i mjaftueshëm për vijat paralele".

Tashmë jemi marrë me kushtin e mjaftueshëm për vijat paralele. Cili është "kushti i domosdoshëm për vijat paralele"? Nga emri “i domosdoshëm” del qartë se plotësimi i këtij kushti është i nevojshëm për vijat paralele. Me fjalë të tjera, nëse nuk plotësohet kushti i nevojshëm që vijat të jenë paralele, atëherë vijat nuk janë paralele. Kështu, kusht i domosdoshëm dhe i mjaftueshëm për vijat paraleleështë kusht përmbushja e të cilit është edhe e nevojshme edhe e mjaftueshme për drejtëzat paralele. Kjo është, nga njëra anë, kjo është një shenjë e paralelizmit të drejtëzave, dhe nga ana tjetër, kjo është një veti që kanë drejtëzat paralele.

Para se të formuloni një kusht të domosdoshëm dhe të mjaftueshëm për paralelizmin e vijave, këshillohet të kujtoni disa përkufizime ndihmëse.

Linja sekanteështë një drejtëz që pret secilën prej dy drejtëzave të dhëna që nuk përputhen.

Kur dy vija të drejta kryqëzohen me një tërthore, formohen tetë të pazhvilluara. Në formulimin e kushtit të nevojshëm dhe të mjaftueshëm për paralelizmin e drejtëzave, të ashtuquajturat i shtrirë kryq, përkatës Dhe kënde të njëanshme. Le t'i tregojmë ato në vizatim.

Teorema.

Nëse dy drejtëza në një rrafsh priten nga një transversal, atëherë që ato të jenë paralele është e nevojshme dhe e mjaftueshme që këndet kryqëzuese të jenë të barabarta, ose këndet përkatëse të jenë të barabarta, ose shuma e këndeve të njëanshme të jetë e barabartë me 180. gradë.

Le të tregojmë një ilustrim grafik të këtij kushti të nevojshëm dhe të mjaftueshëm për paralelizmin e vijave në një rrafsh.

Provat e këtyre kushteve për paralelizmin e drejtëzave mund t'i gjeni në tekstet e gjeometrisë për klasat 7-9.

Vini re se këto kushte mund të përdoren gjithashtu në hapësirën tre-dimensionale - gjëja kryesore është që dy linjat e drejta dhe sekanti shtrihen në të njëjtin plan.

Këtu janë disa teorema të tjera që përdoren shpesh për të vërtetuar paralelizmin e drejtëzave.

Teorema.

Nëse dy drejtëza në një rrafsh janë paralele me një drejtëz të tretë, atëherë ato janë paralele. Vërtetimi i këtij kriteri rrjedh nga aksioma e drejtëzave paralele.

Ekziston një kusht i ngjashëm për linjat paralele në hapësirën tredimensionale.

Teorema.

Nëse dy drejtëza në hapësirë ​​janë paralele me një vijë të tretë, atëherë ato janë paralele. Vërtetimi i këtij kriteri diskutohet në mësimet e gjeometrisë në klasën e 10-të.

Le të ilustrojmë teoremat e deklaruara.

Le të paraqesim një teoremë tjetër që na lejon të vërtetojmë paralelizmin e drejtëzave në një rrafsh.

Teorema.

Nëse dy drejtëza në një rrafsh janë pingul me një drejtëz të tretë, atëherë ato janë paralele.

Ekziston një teoremë e ngjashme për linjat në hapësirë.

Teorema.

Nëse dy drejtëza në hapësirën tredimensionale janë pingul me të njëjtin rrafsh, atëherë ato janë paralele.

Le të nxjerrim figura që korrespondojnë me këto teorema.

Të gjitha teoremat, kriteret dhe kushtet e nevojshme dhe të mjaftueshme të formuluara më sipër janë të shkëlqyera për të vërtetuar paralelizmin e drejtëzave duke përdorur metodat e gjeometrisë. Kjo do të thotë, për të vërtetuar paralelizmin e dy drejtëzave të dhëna, duhet të tregoni se ato janë paralele me një vijë të tretë, ose të tregoni barazinë e këndeve të shtrira në mënyrë tërthore, etj. Shumë probleme të ngjashme zgjidhen në mësimet e gjeometrisë në shkollën e mesme. Megjithatë, duhet theksuar se në shumë raste është e përshtatshme të përdoret metoda e koordinatave për të vërtetuar paralelizmin e vijave në një plan ose në hapësirën tredimensionale. Le të formulojmë kushtet e nevojshme dhe të mjaftueshme për paralelizmin e drejtëzave që specifikohen në një sistem koordinativ drejtkëndor.

Paralelizmi i drejtëzave në një sistem koordinativ drejtkëndor.

Në këtë paragraf të artikullit do të formulojmë kushtet e nevojshme dhe të mjaftueshme për vija paralele në një sistem koordinativ drejtkëndor, në varësi të llojit të ekuacioneve që përcaktojnë këto vija, dhe do të japim gjithashtu zgjidhje të detajuara për problemet karakteristike.

Le të fillojmë me kushtin e paralelizmit të dy drejtëzave në një rrafsh në sistemin koordinativ drejtkëndor Oxy. Vërtetimi i tij bazohet në përcaktimin e vektorit të drejtimit të një drejtëze dhe në përcaktimin e vektorit normal të një drejtëze në një rrafsh.

Teorema.

Që dy drejtëza që nuk përputhen të jenë paralele në një rrafsh, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që vektorët e drejtimit të këtyre drejtëzave të jenë kolinear, ose vektorët normalë të këtyre drejtëzave të jenë kolinear, ose vektori i drejtimit të njërës drejtëze të jetë pingul me normalen. vektori i vijës së dytë.

Natyrisht, kushti i paralelizmit të dy drejtëzave në një rrafsh reduktohet në (vektorët e drejtimit të vijave ose vektorët normalë të drejtëzave) ose në (vektori i drejtimit të një drejtëze dhe vektori normal i vijës së dytë). Kështu, nëse dhe janë vektorë të drejtimit të drejtëzave a dhe b, dhe Dhe janë vektorë normalë të drejtëzave a dhe b përkatësisht, atëherë kushti i nevojshëm dhe i mjaftueshëm për paralelizmin e drejtëzave a dhe b do të shkruhet si , ose , ose , ku t është një numër real. Nga ana tjetër, koordinatat e udhëzuesve dhe (ose) vektorëve normalë të linjave a dhe b gjenden duke përdorur ekuacionet e njohura të linjave.

Në veçanti, nëse drejtëza a në sistemin e koordinatave drejtkëndëshe Oxy në aeroplan përcakton një ekuacion të përgjithshëm drejtvizor të formës , dhe drejtëza b - , atëherë vektorët normalë të këtyre drejtëzave kanë koordinata dhe, përkatësisht, dhe kushti për paralelizmin e drejtëzave a dhe b do të shkruhet si .

Nëse drejtëza a korrespondon me ekuacionin e një drejtëze me një koeficient këndor të formës dhe drejtëzës b - , atëherë vektorët normalë të këtyre drejtëzave kanë koordinata dhe , dhe kushti për paralelizmin e këtyre drejtëzave merr formën . Rrjedhimisht, nëse vijat në një plan në një sistem koordinativ drejtkëndor janë paralele dhe mund të specifikohen nga ekuacionet e drejtëzave me koeficientë këndorë, atëherë koeficientët këndorë të vijave do të jenë të barabartë. Dhe anasjelltas: nëse linjat që nuk përputhen në një plan në një sistem koordinativ drejtkëndor mund të specifikohen nga ekuacionet e një drejteje me koeficientë të barabartë këndorë, atëherë linja të tilla janë paralele.

Nëse një drejtëz a dhe një drejtëz b në një sistem koordinativ drejtkëndor përcaktohen nga ekuacionet kanonike të një drejtëze në një rrafsh të formës Dhe , ose ekuacionet parametrike të një drejtëze në një rrafsh të formës Dhe në përputhje me rrethanat, vektorët e drejtimit të këtyre drejtëzave kanë koordinata dhe , dhe kushti për paralelizmin e drejtëzave a dhe b shkruhet si .

Le të shohim zgjidhjet për disa shembuj.

Shembull.

A janë vijat paralele? Dhe ?

Zgjidhje.

Le të rishkruajmë ekuacionin e një rreshti në segmente në formën e një ekuacioni të përgjithshëm të një rreshti: . Tani mund të shohim se është vektori normal i vijës , a është vektori normal i drejtëzës. Këta vektorë nuk janë kolinearë, pasi nuk ka numër real t për të cilin barazia ( ). Rrjedhimisht, kushti i nevojshëm dhe i mjaftueshëm për paralelizmin e drejtëzave në një rrafsh nuk plotësohet, prandaj drejtëzat e dhëna nuk janë paralele.

Përgjigje:

Jo, linjat nuk janë paralele.

Shembull.

A janë vijat e drejta dhe paralele?

Zgjidhje.

Le të reduktojmë ekuacionin kanonik të një drejtëze në ekuacionin e një drejtëze me një koeficient këndor: . Natyrisht, ekuacionet e drejtëzave nuk janë të njëjta (në këtë rast, vijat e dhëna do të ishin të njëjta) dhe koeficientët këndorë të vijave janë të barabartë, prandaj, vijat origjinale janë paralele.

Në një rrafsh, drejtëzat quhen paralele nëse nuk kanë pika të përbashkëta, domethënë nuk kryqëzohen. Për të treguar paralelizmin, përdorni një ikonë të veçantë || (drejtëza paralele a || b).

Për linjat që shtrihen në hapësirë, kërkesa që të mos ketë pika të përbashkëta nuk është e mjaftueshme - që ato të jenë paralele në hapësirë, ato duhet t'i përkasin të njëjtit rrafsh (përndryshe ato do të kryqëzohen).

Ju nuk duhet të shkoni larg për shembuj të linjave paralele; ato na shoqërojnë kudo, në një dhomë - këto janë linjat e kryqëzimit të murit me tavanin dhe dyshemenë, në një fletë fletore - skajet e kundërta, etj.

Është mjaft e qartë se, duke pasur dy drejtëza paralele dhe një vijë të tretë paralele me njërën nga dy të parat, ajo do të jetë gjithashtu paralele me të dytën.

Drejtëzat paralele në një rrafsh lidhen me një pohim që nuk mund të vërtetohet duke përdorur aksiomat e planimetrisë. Pranohet si fakt, si aksiomë: për çdo pikë të rrafshit që nuk shtrihet në një vijë, ekziston një vijë unike që kalon nëpër të paralelisht me atë të dhënë. Çdo nxënës i klasës së gjashtë e di këtë aksiomë.

Përgjithësimi hapësinor i tij, domethënë pohimi se për çdo pikë në hapësirë ​​që nuk shtrihet në një drejtëz, ekziston një vijë unike që kalon nëpër të paralelisht me atë të dhënë, vërtetohet lehtësisht duke përdorur aksiomën tashmë të njohur të paralelizmit në aeroplan.

Vetitë e drejtëzave paralele

• Nëse ndonjë nga dy drejtëzat paralele është paralele me të tretën, atëherë ato janë paralele reciprokisht.

Vijat paralele si në rrafsh ashtu edhe në hapësirë ​​e kanë këtë veti.
Si shembull, merrni parasysh justifikimin e tij në stereometri.

Le të supozojmë se drejtëza b dhe drejtëza a janë paralele.

Rasti kur të gjitha drejtëzat shtrihen në të njëjtin rrafsh do t'i lihet planimetrisë.

Supozoni se a dhe b i përkasin rrafshit beta, dhe gama është rrafshi të cilit i përkasin a dhe c (sipas përkufizimit të paralelizmit në hapësirë, drejtëzat duhet t'i përkasin të njëjtit rrafsh).

Nëse supozojmë se plani beta dhe gama janë të ndryshëm dhe shënojmë një pikë të caktuar B në vijën b nga rrafshi beta, atëherë rrafshi i tërhequr përmes pikës B dhe vijës c duhet të presë rrafshin beta në një vijë të drejtë (le ta shënojmë b1) .

Nëse vija e drejtë që rezulton b1 pret rrafshin gama, atëherë, nga njëra anë, pika e kryqëzimit do të duhej të shtrihej në a, pasi b1 i përket planit beta, dhe nga ana tjetër, duhet t'i përkasë gjithashtu c, pasi b1 i përket rrafshit të tretë.
Por drejtëzat paralele a dhe c nuk duhet të kryqëzohen.

Pra, drejtëza b1 duhet t'i përkasë rrafshit betta dhe në të njëjtën kohë të mos ketë pika të përbashkëta me a, prandaj, sipas aksiomës së paralelizmit, përkon me b.
Ne kemi marrë një drejtëz b1 që përkon me drejtëzën b, e cila i përket të njëjtit rrafsh me drejtëzën c dhe nuk e pret atë, domethënë b dhe c janë paralele.

• Përmes një pike që nuk shtrihet në një drejtëz të caktuar, vetëm një drejtëz e vetme mund të kalojë paralelisht me drejtëzën e dhënë.

• Dy drejtëza të shtrira në një rrafsh pingul me të tretën janë paralele.

• Nëse rrafshi pret njërën nga dy drejtëzat paralele, drejtëza e dytë gjithashtu pret të njëjtin rrafsh.

• Këndet e brendshme përkatëse dhe të kryqëzuara të formuara nga kryqëzimi i dy drejtëzave paralele të një të tretës janë të barabartë, shuma e këndeve të brendshme të njëanshme të formuara është 180°.

Janë të vërteta edhe pohimet e kundërta, të cilat mund të merren si shenja të paralelizmit të dy drejtëzave.

Kushti për drejtëza paralele

Vetitë dhe karakteristikat e formuluara më sipër përfaqësojnë kushtet për paralelizmin e vijave dhe ato mund të vërtetohen duke përdorur metodat e gjeometrisë. Me fjalë të tjera, për të vërtetuar paralelizmin e dy drejtëzave ekzistuese, mjafton të vërtetohet paralelizmi i tyre me një drejtëz të tretë ose barazia e këndeve, qofshin ato korresponduese apo tërthore etj.

Për provë, ata përdorin kryesisht metodën "me kontradiktë", domethënë, me supozimin se linjat nuk janë paralele. Bazuar në këtë supozim, mund të tregohet lehtësisht se në këtë rast janë shkelur kushtet e specifikuara, për shembull, këndet e brendshme që shtrihen mbi njëri-tjetrin rezultojnë të pabarabarta, gjë që dëshmon jo korrektësinë e supozimit të bërë.

1. Nëse dy drejtëza janë paralele me një drejtëz të tretë, atëherë ato janë paralele:

Nëse a||c Dhe b||c, Kjo a||b.

2. Nëse dy drejtëza janë pingul me drejtëzën e tretë, atëherë ato janë paralele:

Nëse a⊥c Dhe b⊥c, Kjo a||b.

Shenjat e mbetura të paralelizmit të vijave bazohen në këndet e formuara kur dy drejtëza kryqëzohen me një të tretën.

3. Nëse shuma e këndeve të brendshme të njëanshme është 180°, atëherë drejtëzat janë paralele:

Nëse ∠1 + ∠2 = 180°, atëherë a||b.

4. Nëse këndet përkatëse janë të barabarta, atëherë drejtëzat janë paralele:

Nëse ∠2 = ∠4, atëherë a||b.

5. Nëse këndet e brendshme tërthore janë të barabarta, atëherë drejtëzat janë paralele:

Nëse ∠1 = ∠3, atëherë a||b.

Vetitë e drejtëzave paralele

Deklaratat e kundërta me vetitë e drejtëzave paralele janë vetitë e tyre. Ato bazohen në vetitë e këndeve të formuara nga kryqëzimi i dy drejtëzave paralele me një vijë të tretë.

1. Kur dy drejtëza paralele kryqëzojnë një drejtëz të tretë, shuma e këndeve të brendshme të njëanshme të formuara prej tyre është e barabartë me 180°:

Nëse a||b, pastaj ∠1 + ∠2 = 180°.

2. Kur dy drejtëza paralele kryqëzojnë një drejtëz të tretë, këndet përkatëse të formuara prej tyre janë të barabarta:

Nëse a||b, atëherë ∠2 = ∠4.

3. Kur dy drejtëza paralele kryqëzojnë një drejtëz të tretë, këndet tërthore që ato formojnë janë të barabarta:

Nëse a||b, atëherë ∠1 = ∠3.

Vetia e mëposhtme është një rast i veçantë për çdo të mëparshme:

4. Nëse një drejtëz në një rrafsh është pingul me njërën prej dy drejtëzave paralele, atëherë ajo është edhe pingul me tjetrën:

Nëse a||b Dhe c⊥a, Kjo c⊥b.

Vetia e pestë është aksioma e drejtëzave paralele:

5. Përmes një pike që nuk shtrihet në një drejtëz të caktuar, vetëm një drejtëz mund të tërhiqet paralelisht me drejtëzën e dhënë.

Udhëzimet

Përpara se të filloni provën, sigurohuni që linjat shtrihen në të njëjtin plan dhe mund të vizatohen mbi të. Mënyra më e thjeshtë për ta vërtetuar këtë është duke matur me vizore. Për ta bërë këtë, përdorni një vizore për të matur distancën midis vijave të drejta në disa vende sa më larg të jetë e mundur. Nëse distanca mbetet e pandryshuar, vijat e dhëna janë paralele. Por kjo metodë nuk është mjaft e saktë, prandaj është më mirë të përdoren metoda të tjera.

Vizatoni një vijë të tretë në mënyrë që ajo të presë të dy drejtëzat paralele. Me to formon katër qoshe të jashtme dhe katër të brendshme. Konsideroni qoshet e brendshme. Ato që shtrihen përmes vijës sekante quhen të kryqëzuara. Ato që shtrihen në njërën anë quhen të njëanshme. Duke përdorur një raportor, matni dy këndet e brendshme të kryqëzimit. Nëse ato janë të barabarta me njëra-tjetrën, atëherë vijat do të jenë paralele. Nëse keni dyshime, matni këndet e brendshme të njëanshme dhe shtoni vlerat që rezultojnë. Drejtëzat do të jenë paralele nëse shuma e këndeve të brendshme të njëanshme është e barabartë me 180º.

Nëse nuk keni raportues, përdorni një katror 90º. Përdoreni atë për të ndërtuar një pingul me një nga vijat. Pas kësaj, vazhdoni këtë pingul në mënyrë që të kryqëzojë një vijë tjetër. Duke përdorur të njëjtin katror, ​​kontrolloni në cilin kënd e pret atë pingul. Nëse ky kënd është gjithashtu 90º, atëherë drejtëzat janë paralele me njëra-tjetrën.

Nëse vijat janë dhënë në sistemin koordinativ kartezian, gjeni drejtimin e tyre ose vektorët normalë. Nëse këta vektorë, përkatësisht, janë kolinear me njëri-tjetrin, atëherë vijat janë paralele. Zvogëloni ekuacionin e drejtëzave në një formë të përgjithshme dhe gjeni koordinatat e vektorit normal të secilës drejtëz. Koordinatat e tij janë të barabarta me koeficientët A dhe B. Nëse raporti i koordinatave përkatëse të vektorëve normalë është i njëjtë, ato janë kolineare dhe drejtëzat janë paralele.

Për shembull, drejtëzat jepen nga ekuacionet 4x-2y+1=0 dhe x/1=(y-4)/2. Ekuacioni i parë është i formës së përgjithshme, i dyti është kanonik. Sillni ekuacionin e dytë në formën e tij të përgjithshme. Përdorni rregullin e konvertimit të proporcionit për këtë, rezultati do të jetë 2x=y-4. Pas reduktimit në formën e përgjithshme, ju merrni 2x-y+4=0. Meqenëse barazimi i përgjithshëm për çdo drejtëz shkruhet Ax+By+C=0, atëherë për rreshtin e parë: A=4, B=2, kurse për drejtëzën e dytë A=2, B=1. Për koordinatën e parë të drejtpërdrejtë të vektorit normal (4;2), dhe për të dytën - (2;1). Gjeni raportin e koordinatave përkatëse të vektorëve normalë 4/2=2 dhe 2/1=2. Këta numra janë të barabartë, që do të thotë se vektorët janë kolinear. Meqenëse vektorët janë kolinear, vijat janë paralele.

Ato nuk kryqëzohen, sado të vazhdojnë. Paralelizmi i vijave të drejta në shkrim shënohet si më poshtë: AB|| MEE

Mundësia e ekzistencës së linjave të tilla vërtetohet nga teorema.

Teorema.

Përmes çdo pike të marrë jashtë një vije të caktuar, mund të vizatoni një pikë paralele me këtë drejtëz.

Le AB kjo vijë e drejtë dhe ME një pikë e marrë jashtë saj. Kërkohet të vërtetohet kjo përmes ME mund të vizatoni një vijë të drejtë paraleleAB. Le ta ulim atë në AB nga pika ME pingulMED dhe pastaj do të kryejmë MEE^ MED, çfarë është e mundur. Drejt C.E. paralele AB.

Për ta vërtetuar këtë, le të supozojmë të kundërtën, pra atë C.E. kryqëzohet AB në disa pika M. Pastaj nga pika M në një vijë të drejtë MED do të kishim dy pingule të ndryshme MD Dhe ZNJ, gjë që është e pamundur. Do të thotë, C.E. nuk mund të kalojë me AB, d.m.th. MEE paralele AB.

Pasoja.

Dy pingule (CEDheD.B.) në një vijë të drejtë (CD) janë paralele.

Aksioma e drejtëzave paralele.

Në të njëjtën pikë është e pamundur të vizatohen dy drejtëza të ndryshme paralele me të njëjtën drejtëz.

Pra, nëse drejt MED, vizatuar përmes pikës ME paralel me vijën AB, pastaj çdo rresht tjetër MEE, të tërhequr në të njëjtën pikë ME, nuk mund të jetë paralel AB, d.m.th. ajo është në vazhdim do të kryqëzohen Me AB.

Vërtetimi i kësaj të vërtete jo plotësisht të dukshme rezulton të jetë e pamundur. Pranohet pa prova, si supozim i domosdoshëm (postulatum).

Pasojat.

1. Nëse drejt(MEE) kryqëzohet me një nga paralele(NE), pastaj kryqëzohet me një tjetër ( AB), sepse përndryshe përmes të njëjtës pikë ME do të kishte dy drejtëza të ndryshme që kalonin paralelisht AB, gjë që është e pamundur.

2. Nëse secili nga të dyja e drejtpërdrejtë (ADheB) janë paralele me të njëjtën linjë të tretë ( ME) , më pas ata paralele mes tyre.

Në të vërtetë, nëse supozojmë se A Dhe B kryqëzohen në një moment M, atëherë do të kalonin dy drejtëza të ndryshme paralele me këtë pikë ME, gjë që është e pamundur.

Teorema.

Nëse vija është pingul në njërën nga drejtëzat paralele, atëherë ajo është pingul me tjetrën paralele.

Le AB || MED Dhe E.F. ^ AB.Kërkohet të vërtetohet se E.F. ^ MED.

pingulEF, duke u kryqëzuar me AB, me siguri do të kalojë dhe MED. Le të jetë pika e kryqëzimit H.

Le ta supozojmë tani këtë MED jo pingul me E.H.. Pastaj një vijë tjetër e drejtë, për shembull H.K., do të jetë pingul me E.H. dhe për këtë arsye përmes së njëjtës pikë H do të jenë dy drejt paralele AB: një MED, sipas kushtit, dhe tjetra H.K. siç është vërtetuar më parë. Meqenëse kjo është e pamundur, nuk mund të supozohet se NE nuk ishte pingul me E.H..