Praktika e studimit të fenomeneve të rastësishme tregon se megjithëse rezultatet e vëzhgimeve individuale, edhe ato të kryera në të njëjtat kushte, mund të ndryshojnë shumë, në të njëjtën kohë, rezultatet mesatare për një numër mjaft të madh vëzhgimesh janë të qëndrueshme dhe varen dobët nga rezultatet e vëzhgimeve individuale.

Baza teorike për këtë veti të jashtëzakonshme të fenomeneve të rastësishme është ligji i numrave të mëdhenj. Emri "ligji i numrave të mëdhenj" kombinon një grup teoremash që përcaktojnë qëndrueshmërinë e rezultateve mesatare të një numri të madh fenomenesh të rastësishme dhe shpjegojnë arsyen e këtij stabiliteti.

Forma më e thjeshtë e ligjit të numrave të mëdhenj dhe historikisht teorema e parë e këtij seksioni është Teorema e Bernulit, i cili thotë se nëse probabiliteti i një ngjarjeje është i njëjtë në të gjitha provat, atëherë me rritjen e numrit të provave, frekuenca e ngjarjes priret në probabilitetin e ngjarjes dhe pushon së qeni e rastësishme.

Teorema e Poisson-it thotë se frekuenca e një ngjarjeje në një seri provash të pavarura priret drejt mesatares aritmetike të probabiliteteve të saj dhe pushon së qeni e rastësishme.

Teoremat kufitare të teorisë së probabilitetit, teorema Moivre-Laplace të shpjegojë natyrën e qëndrueshmërisë së shpeshtësisë së shfaqjes së një ngjarjeje. Kjo natyrë qëndron në faktin se shpërndarja kufizuese e numrit të ndodhive të një ngjarjeje me një rritje të pakufizuar të numrit të provave (nëse probabiliteti i ngjarjes është i njëjtë në të gjitha provat) është shpërndarje normale.

Teorema e kufirit qendror shpjegon përhapjen ligj normal shpërndarjet. Teorema thotë se sa herë që formohet një ndryshore e rastësishme si rezultat i shtimit të një numri të madh të ndryshoreve të rastësishme të pavarura me varianca të fundme, ligji i shpërndarjes së kësaj ndryshoreje të rastësishme rezulton praktikisht normale me ligj.

Teorema e dhënë më poshtë me titull " Ligji i numrave të mëdhenj" thotë se në kushte të caktuara, mjaft të përgjithshme, me një rritje të numrit të variablave të rastësishëm, mesatarja aritmetike e tyre priret në mesataren aritmetike të pritjeve matematikore dhe pushon së qeni i rastësishëm.

Teorema e Lyapunov shpjegon përhapjen ligj normal shpërndarjen dhe shpjegon mekanizmin e formimit të tij. Teorema na lejon të pohojmë se sa herë që formohet një ndryshore e rastësishme si rezultat i shtimit të një numri të madh ndryshoresh të rastësishme të pavarura, variancat e të cilave janë të vogla në krahasim me variancën e shumës, ligji i shpërndarjes së kësaj ndryshoreje të rastësishme kthehet. të jetë praktikisht normale me ligj. Dhe duke qenë se variablat e rastësishëm gjenerohen gjithmonë nga një numër i pafund shkaqesh dhe më shpesh asnjëri prej tyre nuk ka një shpërndarje të krahasueshme me shpërndarjen e vetë ndryshores së rastësishme, shumica e ndryshoreve të rastësishme që hasen në praktikë i nënshtrohen ligjit të shpërndarjes normale.

Pohimet cilësore dhe sasiore të ligjit të numrave të mëdhenj bazohen në pabarazia e Chebyshev. Ai përcakton kufirin e sipërm të probabilitetit që devijimi i vlerës së një ndryshoreje të rastësishme nga pritshmëria e tij matematikore të jetë më i madh se një numër i caktuar i caktuar. Është e jashtëzakonshme që pabarazia e Chebyshev jep një vlerësim të probabilitetit të një ngjarjeje për një ndryshore të rastësishme shpërndarja e së cilës është e panjohur, dihen vetëm pritshmëria dhe varianca e saj matematikore.

Pabarazia e Chebyshev. Nëse një ndryshore e rastësishme x ka variancë, atëherë për çdo e > 0 vlen pabarazia e mëposhtme: , Ku M x dhe D x - pritshmëria matematikore dhe varianca e ndryshores së rastësishme x.

Teorema e Bernulit. Le të jetë m n numri i sukseseve në n prova Bernoulli dhe p probabiliteti i suksesit në një provë individuale. Atëherë për çdo e > 0 është e vërtetë .

Teorema e kufirit qendror. Nëse variablat e rastësishëm x 1 , x 2 , …, x n , … janë të pavarura në çift, të shpërndara identike dhe kanë variancë të fundme, atëherë për n ® në mënyrë të njëtrajtshme në x (- ,)

Cili është sekreti i shitësve të suksesshëm? Nëse vëzhgoni shitësit më të mirë në çdo kompani, do të vini re se ata kanë një gjë të përbashkët. Secili prej tyre takohet me më shumë njerëz dhe bën më shumë prezantime sesa shitës më pak të suksesshëm. Këta njerëz e kuptojnë se shitjet janë një lojë me numra dhe sa më shumë njerëz të tregojnë për produktet ose shërbimet e tyre, aq më shumë oferta do të mbyllin - kjo është e gjitha. Ata e kuptojnë se nëse komunikojnë jo vetëm me ata pak që do t'u thonë po patjetër, por edhe me ata që interesi për ofertën e tyre nuk është aq i madh, atëherë ligji i mesatareve do të funksionojë në favor të tyre.

Të ardhurat tuaja do të varen nga numri i shitjeve, por në të njëjtën kohë, do të jenë drejtpërdrejt proporcionale me numrin e prezantimeve që bëni. Pasi të kuptoni dhe praktikoni ligjin e mesatareve, ankthi që lidhet me fillimin e një biznesi të ri ose punën në një fushë të re do të fillojë të ulet. Si rezultat, një ndjenjë kontrolli dhe besimi në aftësinë tuaj për të fituar para do të fillojë të rritet. Nëse thjesht bëni prezantime dhe përmirësoni aftësitë tuaja në këtë proces, do të vijnë marrëveshje.

Në vend që të mendoni për numrin e marrëveshjeve, mendoni më mirë për numrin e prezantimeve. Nuk ka kuptim të zgjoheni në mëngjes ose të ktheheni në shtëpi në mbrëmje dhe të pyesni veten se kush do ta blejë produktin tuaj. Në vend të kësaj, është më mirë të planifikoni se sa telefonata duhet të bëni çdo ditë. Dhe pastaj, pa marrë parasysh se çfarë - bëni të gjitha ato thirrje! Kjo qasje do ta bëjë punën tuaj më të lehtë - sepse është një qëllim i thjeshtë dhe specifik. Nëse e dini se keni një qëllim specifik dhe të arritshëm, do ta keni më të lehtë të kryeni numrin e planifikuar të telefonatave. Nëse dëgjoni "po" disa herë gjatë këtij procesi, aq më mirë!

Dhe nëse "jo", atëherë në mbrëmje do të ndjeni se keni bërë me ndershmëri gjithçka që mundeni dhe nuk do të mundoheni nga mendimet se sa para keni fituar ose sa shokë keni fituar në një ditë.

Le të themi se në kompaninë ose biznesin tuaj, shitësi mesatar mbyll një marrëveshje për katër prezantime. Tani imagjinoni se po vizatoni letra nga një kuvertë. Çdo kartë nga tre kostumet - lopata, diamante dhe shkopinj - është një prezantim në të cilin ju prezantoni në mënyrë profesionale një produkt, shërbim ose mundësi. Ju e bëni atë sa më mirë që mundeni, por ende nuk e mbyllni marrëveshjen. Dhe çdo kartë zemre është një marrëveshje që ju lejon të merrni para ose të blini një shok të ri.

Në një situatë të tillë, a nuk do të dëshironit të tërhiqnit sa më shumë letra nga kuverta? Le të themi se ju ofrohet të vizatoni sa më shumë letra që dëshironi, ndërkohë që ju paguajnë ose ju ofrojnë një shoqërues të ri sa herë që tërheqni një kartë zemre. Do të filloni të vizatoni letra me entuziazëm, duke vënë re mezi se çfarë përshtatje është karta që sapo keni nxjerrë.

Ju e dini se në një kuvertë me pesëdhjetë e dy letra ka trembëdhjetë zemra. Dhe në dy kuvertë ka njëzet e gjashtë letra zemre, e kështu me radhë. A do të zhgënjeheni kur të vizatoni lopata, diamante apo shkopinj? Sigurisht që jo! Do të mendoni vetëm se çdo "miss" i tillë ju afron më shumë me çfarë? Në kartën e zemrës!

Por e dini çfarë? Tashmë ju është dhënë një ofertë e tillë. Ju jeni në një pozicion unik për të fituar aq sa dëshironi dhe për të tërhequr sa më shumë zemra që dëshironi të vizatoni në jetën tuaj. Dhe nëse thjesht "tërhiqni letra" me ndërgjegje, përmirësoni aftësitë tuaja dhe duroni pak lopata, diamante dhe shkopinj, do të bëheni një shitës i shkëlqyer dhe do të arrini sukses.

Një nga gjërat që i bën shitjet kaq argëtuese është se sa herë që përzieni kuvertën, letrat përzihen ndryshe. Ndonjëherë të gjitha zemrat përfundojnë në fillim të kuvertës, dhe pas një brezi me fat (kur na duket se nuk do të humbasim kurrë!) na pret një rresht i gjatë letrash me një kostum tjetër. Dhe herë të tjera, për të arritur në zemrën e parë, do t'ju duhet të kaloni nëpër një numër të pafund lopatash, shkopinjsh dhe diamantesh. Dhe ndonjëherë kartat me kostume të ndryshme shfaqen në mënyrë rigoroze. Por në çdo rast, në çdo kuvertë prej pesëdhjetë e dy letrash, në një rend të caktuar, ka gjithmonë trembëdhjetë zemra. Thjesht nxirrni kartat derisa t'i gjeni.

Nga: Leylya,  

Fjalët për numra të mëdhenj i referohen numrit të testeve - merret parasysh një numër i madh vlerash të një ndryshoreje të rastësishme ose efekti kumulativ i një numri të madh ndryshoresh të rastësishme. Thelbi i këtij ligji është si vijon: megjithëse është e pamundur të parashikohet se çfarë vlere do të marrë një ndryshore e rastësishme individuale në një eksperiment të vetëm, megjithatë, rezultati i përgjithshëm i veprimit të një numri të madh variablash të rastësishëm të pavarur humbet natyrën e tij të rastësishme dhe mund të të parashikohen pothuajse në mënyrë të besueshme (d.m.th. me probabilitet të lartë). Për shembull, është e pamundur të parashikohet se në cilën mënyrë do të zbresë një monedhë. Megjithatë, nëse hidhni 2 ton monedha, atëherë me shumë besim mund të themi se pesha e monedhave që ranë me stemën lart është e barabartë me 1 ton.

Ligji i numrave të mëdhenj i referohet kryesisht të ashtuquajturës pabarazi Chebyshev, e cila vlerëson në një test të vetëm probabilitetin që një ndryshore e rastësishme të pranojë një vlerë që devijon nga vlera mesatare jo më shumë se një vlerë e caktuar.

Pabarazia e Chebyshev. Le X– ndryshore arbitrare e rastësishme, a=M(X) , A D(X) - varianca e saj. Pastaj

Shembull. Vlera nominale (d.m.th. e kërkuar) e diametrit të mëngës së ndezur në makinë është e barabartë me 5 mm, dhe shpërndarja nuk është më 0.01 (kjo është toleranca e saktësisë së makinës). Vlerësoni probabilitetin që gjatë prodhimit të një tufe, devijimi i diametrit të tij nga ai nominal të jetë më i vogël se 0.5 mm .

Zgjidhje. Le të r.v. X– diametri i tufave të prodhuara. Sipas kushtit, pritshmëria e tij matematikore është e barabartë me diametrin nominal (nëse nuk ka dështim sistematik në cilësimet e makinës): a=M(X)=5 , dhe shpërndarjen D(X)≤0.01. Zbatimi i pabarazisë së Chebyshev në ε = 0,5, marrim:

Kështu, probabiliteti i një devijimi të tillë është mjaft i lartë, prandaj mund të konkludojmë se në një prodhim të vetëm të një pjese, është pothuajse e sigurt që devijimi i diametrit nga ai nominal nuk do të kalojë 0.5 mm .

Në kuptimin e tij, devijimi standard σ karakterizon mesatare devijimi i një ndryshoreje të rastësishme nga qendra e saj (d.m.th. nga pritshmëria e saj matematikore). Sepse kjo mesatare devijimi, atëherë gjatë testimit janë të mundshme devijime të mëdha (theksi në o). Sa devijime të mëdha janë praktikisht të mundshme? Kur studiojmë variabla të rastësishme të shpërndara normalisht, kemi nxjerrë rregullin "tre sigma": një ndryshore e rastësishme e shpërndarë normalisht X në një test të vetëm praktikisht nuk devijon nga mesatarja e tij më shumë se 3σ, Ku σ= σ(X)– devijimi standard i r.v. X. Këtë rregull e kemi nxjerrë nga fakti që kemi marrë pabarazinë

.

Le të vlerësojmë tani probabilitetin për arbitrare ndryshore e rastësishme X pranoni një vlerë që ndryshon nga mesatarja jo më shumë se trefishi i devijimit standard. Zbatimi i pabarazisë së Chebyshev në ε = 3σ dhe duke pasur parasysh se D(Х)= σ 2 , marrim:

.

Kështu, në përgjithësi ne mund të vlerësojmë probabilitetin që një ndryshore e rastësishme të devijojë nga mesatarja e saj me jo më shumë se tre devijime standarde sipas numrit 0.89 , ndërsa për një shpërndarje normale kjo mund të garantohet me probabilitet 0.997 .

Pabarazia e Chebyshev mund të përgjithësohet në një sistem variablash të rastësishëm të pavarur të shpërndarë në mënyrë identike.

Pabarazia e përgjithësuar e Chebyshev. Nëse variabla të rastësishme të pavarura X 1 , X 2 , …, X n M(X i )= a dhe variancat D(X i )= D, Kjo

Në n=1 kjo pabarazi shndërrohet në pabarazinë Chebyshev të formuluar më sipër.

Pabarazia e Chebyshev, që ka një rëndësi të pavarur për zgjidhjen e problemeve përkatëse, përdoret për të vërtetuar të ashtuquajturën teoremë të Chebyshev. Fillimisht do të flasim për thelbin e kësaj teoreme dhe më pas do të japim formulimin e saj formal.

Le X 1 , X 2 , …, X n– një numër i madh variablash të rastësishëm të pavarur me pritshmëri matematikore M(X 1 )=a 1 , … , M(X n )=a n. Megjithëse secila prej tyre, si rezultat i një eksperimenti, mund të marrë një vlerë larg mesatares së saj (d.m.th., pritshmëria matematikore), megjithatë, një ndryshore e rastësishme
, e barabartë me mesataren e tyre aritmetike, ka shumë të ngjarë të marrë një vlerë afër një numri fiks
(kjo është mesatarja e të gjitha pritjeve matematikore). Kjo do të thotë në vijim. Lërini, si rezultat i testit, variabla të rastësishme të pavarura X 1 , X 2 , …, X n(ka shumë prej tyre!) mori vlera në përputhje me rrethanat X 1 , X 2 , …, X n përkatësisht. Atëherë nëse vetë këto vlera mund të rezultojnë të jenë larg vlerave mesatare të variablave të rastit përkatës, vlera mesatare e tyre
me shumë gjasa do të jetë afër numrit
. Kështu, mesatarja aritmetike e një numri të madh të ndryshoreve të rastit tashmë e humb karakterin e saj të rastësishëm dhe mund të parashikohet me saktësi të madhe. Kjo mund të shpjegohet me faktin se devijimet e rastësishme të vlerave X i nga a i mund të jenë të shenjave të ndryshme, prandaj në total këto devijime me shumë mundësi kompensohen.

Terema Chebyshev (ligji i numrave të mëdhenj në formën Chebyshev). Le X 1 , X 2 , …, X n … – një sekuencë e variablave të rastësishme të pavarura në çift, variancat e të cilave janë të kufizuara në të njëjtin numër. Atëherë, sado i vogël të marrim numrin ε, probabiliteti i pabarazisë

do të jetë aq afër një sa të dëshirohet nëse numri n merrni variabla të rastësishme mjaftueshëm të mëdha. Formalisht, kjo do të thotë se në kushtet e teoremës

Ky lloj konvergjence quhet konvergjencë sipas probabilitetit dhe shënohet:

Kështu, teorema e Chebyshev thotë se nëse ka një numër mjaft të madh të ndryshoreve të rastësishme të pavarura, atëherë mesatarja e tyre aritmetike në një test të vetëm do të marrë pothuajse në mënyrë të besueshme një vlerë afër mesatares së pritjeve të tyre matematikore.

Më shpesh, teorema e Chebyshev zbatohet në situata ku ndryshore të rastësishme X 1 , X 2 , …, X n … kanë të njëjtën shpërndarje (d.m.th. të njëjtin ligj të shpërndarjes ose të njëjtën densitet probabiliteti). Në fakt, është thjesht një numër i madh i rasteve të së njëjtës ndryshore të rastësishme.

Pasoja(pabarazia e përgjithësuar e Chebyshev). Nëse variabla të rastësishme të pavarura X 1 , X 2 , …, X n … kanë të njëjtën shpërndarje me pritshmëritë matematikore M(X i )= a dhe variancat D(X i )= D, Kjo

, d.m.th.
.

Prova rrjedh nga pabarazia e përgjithësuar e Chebyshev duke kaluar në kufirin në n→∞ .

Le të vërejmë edhe një herë se barazitë e shkruara më sipër nuk garantojnë vlerën e sasisë
përpiqet për A në n→∞. Kjo sasi mbetet ende një ndryshore e rastësishme dhe vlerat e saj individuale mund të jenë mjaft larg A. Por probabiliteti i një të tillë (larg nga A) vlerat me rritje n tenton në 0.

Koment. Përfundimi i konkluzionit është padyshim i vlefshëm edhe në rastin më të përgjithshëm, kur variabla të rastësishme të pavarura X 1 , X 2 , …, X n … kanë shpërndarje të ndryshme, por të njëjtat pritshmëri matematikore (të barabarta A) dhe variancat bashkërisht të kufizuara. Kjo na lejon të parashikojmë saktësinë e matjes së një sasie të caktuar, edhe nëse këto matje janë bërë nga instrumente të ndryshme.

Le të shqyrtojmë në mënyrë më të detajuar zbatimin e kësaj përfundimi gjatë matjes së sasive. Le të përdorim një pajisje n matje të së njëjtës sasi, vlera e vërtetë e së cilës është e barabartë me A dhe ne nuk e dimë. Rezultatet e matjeve të tilla X 1 , X 2 , …, X n mund të ndryshojnë ndjeshëm nga njëri-tjetri (dhe nga vlera e vërtetë A) për shkak të faktorëve të ndryshëm të rastësishëm (ndryshimet e presionit, temperatura, dridhjet e rastësishme, etj.). Konsideroni r.v. X– lexim instrumenti për një matje të vetme të një sasie, si dhe një grup r.v. X 1 , X 2 , …, X n– leximi i instrumentit në matjen e parë, të dytë, ..., të fundit. Kështu, secila nga sasitë X 1 , X 2 , …, X n ekziston vetëm një nga rastet e s.v. X, dhe për këtë arsye të gjithë kanë të njëjtën shpërndarje si r.v. X. Meqenëse rezultatet e matjes nuk varen nga njëra-tjetra, atëherë r.v. X 1 , X 2 , …, X n mund të konsiderohet i pavarur. Nëse pajisja nuk prodhon një gabim sistematik (për shembull, zeroja në shkallë nuk është "e fikur", susta nuk është e shtrirë, etj.), atëherë mund të supozojmë se pritshmëria matematikore M(X) = a, dhe për këtë arsye M(X 1 ) = ... = M(X n ) = a. Kështu, kushtet e konkluzionit të mësipërm plotësohen, dhe për rrjedhojë, si një vlerë e përafërt e sasisë A ne mund të marrim një “realizim” të një ndryshoreje të rastësishme
në eksperimentin tonë (që konsiston në kryerjen e një serie të n matjet), d.m.th.

.

Me një numër të madh matjesh, saktësia e mirë e llogaritjes duke përdorur këtë formulë është praktikisht e sigurt. Kjo është arsyeja për parimin praktik që me një numër të madh matjesh, mesatarja aritmetike e tyre praktikisht nuk ndryshon shumë nga vlera e vërtetë e vlerës së matur.

Metoda e "kampionimit", e përdorur gjerësisht në statistikat matematikore, bazohet në ligjin e numrave të mëdhenj, i cili lejon që dikush të marrë karakteristikat e tij objektive me saktësi të pranueshme nga një mostër relativisht e vogël e vlerave të një ndryshoreje të rastësishme. Por kjo do të diskutohet në pjesën tjetër.

Shembull. Një sasi e caktuar matet në një pajisje matëse që nuk bën shtrembërime sistematike A një herë (vlera e marrë X 1 ), dhe pastaj 99 herë të tjera (vlerat e marra X 2 , …, X 100 ). Për vlerën e vërtetë të matjes A së pari merret rezultati i matjes së parë
, dhe pastaj mesatarja aritmetike e të gjitha matjeve
. Saktësia e matjes së pajisjes është e tillë që devijimi standard i matjes σ nuk është më shumë se 1 (prandaj varianca D=σ 2 gjithashtu nuk kalon 1). Për secilën metodë matjeje, vlerësoni probabilitetin që gabimi i matjes të mos kalojë 2.

Zgjidhje. Le të r.v. X– lexim i instrumentit për një matje të vetme. Pastaj me kusht M(X)=a. Për t'iu përgjigjur pyetjeve të parashtruara, ne zbatojmë pabarazinë e përgjithësuar Chebyshev

në ε =2 së pari për n=1 dhe më pas për n=100 . Në rastin e parë marrim
, dhe në të dytën. Kështu, rasti i dytë praktikisht garanton saktësinë e specifikuar të matjes, ndërsa i pari lë dyshime të mëdha në këtë kuptim.

Le të zbatojmë pohimet e mësipërme për variablat e rastësishëm që dalin në skemën Bernoulli. Le të kujtojmë thelbin e kësaj skeme. Le të prodhohet n gjykime të pavarura, secila prej të cilave përmban disa ngjarje A mund të shfaqet me të njëjtën probabilitet R, A q=1–r(në kuptimin, kjo është probabiliteti i ngjarjes së kundërt - ngjarja të mos ndodhë A) . Le të shpenzojmë një numër n teste të tilla. Le të shqyrtojmë variablat e rastësishëm: X 1 – numri i dukurive të ngjarjes A V 1 -testi, ..., X n– numri i dukurive të ngjarjes A V n-testi. Të gjithë hynë s.v. mund të marrë vlera 0 ose 1 (ngjarje A mund ose nuk mund të shfaqet në test), dhe vlera 1 sipas kushtit pranohet në çdo gjykim me probabilitet fq(probabiliteti i ndodhjes së ngjarjes A në çdo provë), dhe vlerën 0 me probabilitet q= 1 – fq. Prandaj, këto sasi kanë të njëjtat ligje të shpërndarjes:

X 1

X n

Prandaj, vlerat mesatare të këtyre sasive dhe variancat e tyre janë gjithashtu të njëjta: M(X 1 )=0 ∙ q+1 ∙ p= p, …, M(X n )= fq ; D(X 1 )=(0 2 ∙ q+1 2 ∙ fq)− fq 2 = fq∙(1− fq)= fq ∙ q,…, D(X n )= fq ∙ q. Duke i zëvendësuar këto vlera në pabarazinë e përgjithësuar Chebyshev, marrim

.

Është e qartë se r.v. X=X 1 +…+X nështë numri i dukurive të ngjarjes A ne te gjithe n teste (siç thonë ata - "numri i sukseseve" në n teste). Lëreni të kryerën n ngjarje testuese A u shfaq në k prej tyre. Atëherë pabarazia e mëparshme mund të shkruhet si

.

Por madhësia
, e barabartë me raportin e numrit të dukurive të ngjarjes A V n provat e pavarura, ndaj numrit të përgjithshëm të provave, më parë quhej frekuenca relative e ngjarjes A V n testet. Prandaj ka një pabarazi

.

Duke u kthyer tani në kufirin në n→∞, marrim
, d.m.th.
(sipas probabilitetit). Kjo përbën përmbajtjen e ligjit të numrave të mëdhenj në formën e Bernulit. Nga kjo rrjedh se me një numër mjaft të madh testesh n devijime të vogla arbitrare të frekuencës relative
ngjarje nga probabiliteti i saj R- ngjarje pothuajse të besueshme, dhe devijime të mëdha - pothuajse të pamundura. Përfundimi që rezulton në lidhje me një stabilitet të tillë të frekuencave relative (për të cilën kemi folur më parë si eksperimentale fakt) justifikon përkufizimin statistikor të paraqitur më parë të probabilitetit të një ngjarjeje si një numër rreth të cilit luhatet frekuenca relative e një ngjarjeje.

Duke pasur parasysh se shprehja fq∙ q= fq∙(1− fq)= fq− fq 2 nuk kalon në intervalin e ndryshimit
(kjo verifikohet lehtë duke gjetur minimumin e këtij funksioni në këtë segment), nga pabarazia e mësipërme
lehtë për ta marrë atë

,

i cili përdoret në zgjidhjen e problemeve përkatëse (njëra prej tyre do të jepet më poshtë).

Shembull. Monedha u hodh 1000 herë. Vlerësoni probabilitetin që devijimi i frekuencës relative të paraqitjes së stemës nga probabiliteti i saj të jetë më i vogël se 0.1.

Zgjidhje. Aplikimi i pabarazisë
në fq= q=1/2 , n=1000 , ε=0.1, do të marrim .

Shembull. Vlerësoni probabilitetin që, në kushtet e shembullit të mëparshëm, numri k emblemat e rënë do të jenë në rangun nga 400 para 600 .

Zgjidhje. gjendja 400< k<600 do të thotë se 400/1000< k/ n<600/1000 , d.m.th. 0.4< W n (A)<0.6 ose
. Siç e kemi parë vetëm nga shembulli i mëparshëm, probabiliteti i një ngjarjeje të tillë nuk është më i vogël 0.975 .

Shembull. Për të llogaritur probabilitetin e ndonjë ngjarjeje A Janë kryer 1000 eksperimente në të cilat ngjarja A u shfaq 300 herë. Vlerësoni probabilitetin që frekuenca relative (e barabartë me 300/1000 = 0.3) është larg nga probabiliteti i vërtetë R jo më larg se 0.1.

Zgjidhje. Zbatimi i pabarazisë së mësipërme
për n=1000, ε=0.1, marrim .

Dukuria e stabilizimit të frekuencave të shfaqjes së ngjarjeve të rastësishme, e zbuluar në një material të madh dhe të larmishëm, fillimisht nuk kishte asnjë justifikim dhe u perceptua si një fakt thjesht empirik. Rezultati i parë teorik në këtë fushë ishte teorema e famshme e Bernulit, e botuar në 1713, e cila hodhi themelet për ligjet e numrave të mëdhenj.

Teorema e Bernulit në përmbajtjen e saj është një teoremë kufitare, d.m.th., një deklaratë e kuptimit asimptotik që thotë se çfarë do të ndodhë me parametrat probabilistë me një numër të madh vëzhgimesh. Paraardhësi i të gjitha pohimeve të shumta moderne të këtij lloji është pikërisht teorema e Bernulit.

Sot duket se ligji matematikor i numrave të mëdhenj është një pasqyrim i disa vetive të përgjithshme të shumë proceseve reale.

Duke pasur dëshirën për t'i dhënë ligjit të numrave të mëdhenj shtrirjen më të madhe të mundshme, që korrespondon me mundësitë e mundshme jo të shterura për zbatimin e këtij ligji, një nga matematikanët më të mëdhenj të shekullit tonë A. N. Kolmogorov formuloi thelbin e tij si më poshtë: ligji i numrave të mëdhenj është "Parimi i përgjithshëm në bazë të të cilit veprimi total i një numri të madh faktorësh të rastësishëm çon në një rezultat pothuajse të pavarur nga rastësia."

Kështu, ligji i numrave të mëdhenj ka dy interpretime. Njëra është matematikore, e lidhur me modele, formulime, teori specifike matematikore dhe e dyta është më e përgjithshme, duke shkuar përtej këtij kuadri. Interpretimi i dytë shoqërohet me fenomenin e formimit të një veprimi pak a shumë të drejtuar, i vërejtur shpesh në praktikë, në sfondin e një numri të madh faktorësh të fshehtë ose të dukshëm operativë që nga jashtë nuk kanë një vazhdimësi të tillë. Shembuj të lidhur me interpretimin e dytë janë çmimi në një treg të lirë dhe formimi i opinionit publik për një çështje të caktuar.

Pasi të kemi vërejtur këtë interpretim të përgjithshëm të ligjit të numrave të mëdhenj, le t'i drejtohemi formulimeve specifike matematikore të këtij ligji.

Siç thamë më lart, e para dhe në thelb më e rëndësishmja për teorinë e probabilitetit është teorema e Bernulit. Përmbajtja e këtij fakti matematikor, duke pasqyruar një nga ligjet më të rëndësishme të botës përreth, zbret në vijim.

Konsideroni një sekuencë testesh të palidhura (d.m.th., të pavarura), kushtet e të cilave riprodhohen vazhdimisht nga testi në test. Rezultati i çdo testi është shfaqja ose mosndodhja e ngjarjes me interes për ne A.

Kjo procedurë (skema e Bernoulli) padyshim mund të konsiderohet tipike për shumë fusha praktike: "djalë - vajzë" në sekuencën e të porsalindurve, vëzhgimet e përditshme meteorologjike ("ra shi - nuk ra"), kontrolli i fluksit të produkteve të prodhuara ( “normale - me defekt”) etj.

Frekuenca e ndodhjes së ngjarjeve A në P teste ( t A -

frekuenca e ngjarjeve A V P teste) ka me rritjen P tendenca për të stabilizuar vlerën e saj është një fakt empirik.

Teorema e Bernulit. Le të zgjedhim çdo numër pozitiv arbitrarisht të vogël e. Pastaj

Theksojmë se fakti matematik i vendosur nga Bernoulli në një model të caktuar matematikor (në skemën Bernoulli) nuk duhet të ngatërrohet me rregullsinë e vendosur empirikisht të qëndrueshmërisë së frekuencës. Bernoulli nuk u mjaftua vetëm me deklarimin e formulës (9.1), por, duke marrë parasysh nevojat e praktikës, dha një vlerësim të pabarazisë së pranishme në këtë formulë. Ne do t'i drejtohemi këtij interpretimi më poshtë.

Ligji i numrave të mëdhenj i Bernulit ka qenë objekt i kërkimit nga një numër i madh matematikanësh që kanë kërkuar ta përsosin atë. Një nga këto përmirësime u mor nga matematikani anglez Moivre dhe aktualisht quhet teorema Moivre-Laplace. Në skemën Bernoulli, merrni parasysh sekuencën e sasive të normalizuara:

Teorema integrale e Moivre - Laplace. Le të zgjedhim çdo dy numra X ( Dhe x 2. Në këtë rast x, x 7, pastaj në P -» °°

Nëse në anën e djathtë të formulës (9.3) ndryshorja x x priren në pafundësi, atëherë kufiri që rezulton, në varësi vetëm nga x 2 (indeksi 2 mund të hiqet në këtë rast), do të jetë një funksion shpërndarjeje, quhet shpërndarje normale standarde, ose Ligji i Gausit.

Ana e djathtë e formulës (9.3) është e barabartë me y = F(x 2) - F(x x). F(x 2)-> 1 në x 2-> °° dhe F(x,) -> 0 në x, -> Për shkak të zgjedhjes së një mjaftueshëm të madhe

X] > 0 dhe X]n është mjaftueshëm i madh në vlerë absolute, marrim pabarazinë e mëposhtme:

Duke marrë parasysh formulën (9.2), ne mund të nxjerrim vlerësime praktikisht të besueshme:

Nëse niveli i besimit y = 0,95 (d.m.th., një probabilitet gabimi prej 0,05) mund t'i duket i pamjaftueshëm dikujt, ju mund të "luani të sigurt" dhe të ndërtoni një interval besimi pak më të gjerë duke përdorur rregullin tre-sigma të përmendur më sipër:

Ky interval korrespondon me një nivel besimi shumë të lartë y = 0,997 (shih tabelat e shpërndarjes normale).

Merrni parasysh një shembull që përfshin hedhjen e një monedhe. Le të hedhim një monedhë n = 100 herë. A mund të ndodhë që frekuenca R do të jetë shumë i ndryshëm nga probabiliteti R= 0.5 (duke supozuar se monedha është simetrike), për shembull, a do të jetë e barabartë me zero? Për ta bërë këtë, është e nevojshme që stema të mos bjerë as edhe një herë. Një ngjarje e tillë është teorikisht e mundur, por ne kemi llogaritur tashmë probabilitete të ngjashme; për këtë ngjarje do të jetë e barabartë me Kjo vlerë

jashtëzakonisht i vogël, rendi i tij është një numër me 30 zero pas presjes dhjetore. Një ngjarje me një probabilitet të tillë mund të konsiderohet praktikisht e pamundur. Cilat devijime të frekuencës nga probabiliteti janë praktikisht të mundshme me një numër të madh eksperimentesh? Duke përdorur teoremën Moivre-Laplace, kësaj pyetjeje i përgjigjemi si më poshtë: me probabilitet në= 0,95 frekuencë stema R përshtatet brenda intervalit të besimit:

Nëse një gabim prej 0.05 duket jo i vogël, duhet të rrisni numrin e eksperimenteve (hedhje monedhash). Kur rritet P gjerësia e intervalit të besimit zvogëlohet (për fat të keq, jo aq shpejt sa do të donim, por në përpjesëtim të zhdrejtë me -Gjoni). Për shembull, kur P= 10,000 e marrim atë R qëndron në intervalin e besimit me probabilitetin e besimit në= 0,95: 0,5 ± 0,01.

Kështu, ne kemi kuptuar në mënyrë sasiore çështjen e përafrimit të frekuencës me probabilitetin.

Tani le të gjejmë probabilitetin e një ngjarjeje bazuar në frekuencën e saj dhe të vlerësojmë gabimin e këtij përafrimi.

Le të bëjmë një numër të madh eksperimentesh P(hedh një monedhë), gjeni shpeshtësinë e ngjarjes A dhe ne duam të vlerësojmë probabilitetin e tij R.

Nga ligji i numrave të mëdhenj P vijon se:

Tani le të vlerësojmë gabimin praktikisht të mundshëm të barazisë së përafërt (9.7). Për ta bërë këtë, ne përdorim pabarazinë (9.5) në formën:

Per te gjetur R Nga R ne duhet të zgjidhim pabarazinë (9.8), për ta bërë këtë duhet ta vendosim atë në katror dhe të zgjidhim ekuacionin kuadratik përkatës. Si rezultat marrim:

Ku

Për një vlerësim të përafërt R Nga R mund të jetë në formulën (9.8) R në të djathtë zëvendëso me R ose në formulat (9.10), (9.11) supozojmë se

Pastaj marrim:

Lere brenda P= 400 eksperimente është marrë vlera e frekuencës R= 0.25, atëherë me një nivel besimi y = 0.95 gjejmë:

Po sikur të na duhet të dimë probabilitetin më saktë, me një gabim, të themi, jo më shumë se 0.01? Për ta bërë këtë, është e nevojshme të rritet numri i eksperimenteve.

Duke supozuar në formulën (9.12) probabilitetin R= 0.25, ne e barazojmë vlerën e gabimit me vlerën e dhënë 0.01 dhe marrim një ekuacion për P:

Duke zgjidhur këtë ekuacion, marrim n~ 7500.

Le të shqyrtojmë tani një pyetje tjetër: a mund të shpjegohet devijimi i frekuencës nga probabiliteti i marrë në eksperimente me shkaqe të rastësishme, apo ky devijim tregon se probabiliteti nuk është ai që prisnim të ishte? Me fjalë të tjera, a konfirmon përvoja hipotezën e pranuar statistikore apo, anasjelltas, kërkon që ajo të refuzohet?

Le të hedhim, për shembull, një monedhë P= 800 herë, marrim frekuencën e paraqitjes së stemës R= 0,52. Dyshuam se monedha ishte asimetrike. A është i justifikuar ky dyshim? Për t'iu përgjigjur kësaj pyetjeje, ne do të vazhdojmë nga supozimi se monedha është simetrike (p = 0.5). Le të gjejmë intervalin e besimit (me probabilitet besimi në= 0,95) për frekuencën e paraqitjes së stemës. Nëse vlera e fituar në eksperiment R= 0,52 përshtatet në këtë interval - gjithçka është normale, hipoteza e pranuar për simetrinë e monedhës nuk bie në kundërshtim me të dhënat eksperimentale. Formula (9.12) në R= 0,5 jep një interval prej 0,5 ± 0,035; vlerën e marrë p = 0.52 përshtatet në këtë interval, që do të thotë se monedha do të duhet të "pastrohet" nga dyshimet për asimetri.

Metoda të ngjashme përdoren për të gjykuar nëse devijimet e ndryshme nga pritshmëria matematikore e vërejtur në fenomene të rastësishme janë të rastësishme ose "të rëndësishme". Për shembull, është gjetur rastësisht nënpesha në disa mostra mallrash të paketuara, apo tregon mashtrim sistematik të klientëve? A është rritur rastësisht shkalla e rikuperimit te pacientët që përdorin ilaçin e ri, apo kjo është për shkak të efektit të barit?

Ligji normal luan një rol veçanërisht të rëndësishëm në teorinë e probabilitetit dhe aplikimet e saj praktike. Ne kemi parë tashmë më lart se një ndryshore e rastësishme - numri i dukurive të disa ngjarjeve në skemën Bernoulli - me P-» °° është reduktuar në ligjin normal. Megjithatë, ka një rezultat shumë më të përgjithshëm.

Teorema e kufirit qendror. Shuma e një numri të madh të ndryshoreve të rastësishme të pavarura (ose pak të varura), të krahasueshme me njëri-tjetrin në rendin e variancave të tyre, shpërndahet sipas një ligji normal, pavarësisht se cilat ishin ligjet e shpërndarjes së termave. Deklarata e mësipërme është një formulim i përafërt cilësor i teorisë së kufirit qendror. Kjo teoremë ka shumë forma, të ndryshme nga njëra-tjetra në kushtet që duhet të plotësojnë variablat e rastësishëm në mënyrë që shuma e tyre të "normalizohet" me një rritje të numrit të termave.

Dendësia normale e shpërndarjes Dx) shprehet me formulën:

Ku A - pritshmëria matematikore e një ndryshoreje të rastësishme X s= V7) është devijimi standard i tij.

Për të llogaritur probabilitetin që x të bjerë brenda intervalit (x 1? x 2), përdoret integrali:

Meqenëse integrali (9.14) me dendësi (9.13) nuk shprehet në funksion të funksioneve elementare ("nuk merret"), atëherë për të llogaritur (9.14) ata përdorin tabelat e funksionit të shpërndarjes integrale të shpërndarjes normale standarde, kur a = 0, a = 1 (tabela të tilla janë të disponueshme në çdo libër shkollor mbi teorinë e probabilitetit):

Probabiliteti (9.14) duke përdorur ekuacionin (10.15) shprehet me formulën:

Shembull. Gjeni probabilitetin që ndryshorja e rastit X, duke pasur një shpërndarje normale me parametra A, a, do të devijojë nga moduli i pritshmërisë së tij matematikore me jo më shumë se 3.

Duke përdorur formulën (9.16) dhe tabelën e funksionit të shpërndarjes së ligjit normal, marrim:

Shembull. Në secilin nga 700 eksperimentet e pavarura ngjarja A ndodh me probabilitet konstant R= 0,35. Gjeni probabilitetin që ngjarja A do të ndodhë:

• 1) saktësisht 270 herë;
• 2) më pak se 270 dhe më shumë se 230 herë;
• 3) më shumë se 270 herë.

Gjetja e pritshmërisë matematikore A = etj dhe devijimi standard:

ndryshore e rastësishme - numri i dukurive të ngjarjes A:

Gjetja e vlerës së përqendruar dhe të normalizuar X:

Nga tabelat e densitetit të shpërndarjes normale gjejmë f(x):

Le ta gjejmë tani R w (x,> 270) = P 700 (270 F (1,98) = = 1 - 0,97615 = 0,02385.

Një hap serioz në kërkimin e problemeve të një numri të madh u bë në 1867 nga P. L. Chebyshev. Ai konsideroi një rast shumë të përgjithshëm kur asgjë nuk kërkohet nga variablat e pavarur të rastësishëm përveç ekzistencës së pritjeve dhe variancave matematikore.

Pabarazia e Chebyshev. Për një numër pozitiv arbitrarisht të vogël e, vlen pabarazia e mëposhtme:

Teorema e Chebyshev. Nëse x x, x 2, ..., x p - variabla të rastësishme të pavarura në çift, secila prej të cilave ka një pritje matematikore E(Xj) = ci dhe variancë D(x,) =), dhe variancat janë të kufizuara në mënyrë uniforme, d.m.th. 1,2 ..., atëherë për çdo numër pozitiv arbitrarisht të vogël e qëndron lidhja e mëposhtme:

Pasoja. Nëse a,= aio, -o 2, i= 1.2 ..., atëherë

Detyrë. Sa herë duhet të hidhet një monedhë në mënyrë që probabiliteti të mos jetë më i vogël se y - 0,997, mund të argumentohet se frekuenca e rënies së stemës do të jetë në intervalin (0,499; 0,501)?

Le të supozojmë se monedha është simetrike, p - q - 0.5. Le të zbatojmë teoremën e Chebyshev në formulën (9.19) në ndryshoren e rastësishme X- frekuenca e paraqitjes së stemës në P hedhje monedhash. Këtë e kemi treguar tashmë më lart X = X x + X 2 + ... +X", Ku X t - një ndryshore e rastësishme që merr vlerën 1 nëse monedha është një kokë, dhe vlerën 0 nëse është një bisht. Kështu që:

Le të shkruajmë pabarazinë (9.19) për ngjarjen e kundërt me ngjarjen e treguar nën shenjën e probabilitetit:

Në rastin tonë [e = 0.001, cj 2 = /?-p)]t është numri i shfaqjeve të stemës në P duke hedhur. Duke i zëvendësuar këto sasi në pabarazinë e fundit dhe duke marrë parasysh që, sipas kushteve të problemit, pabarazia duhet të plotësohet, marrim:

Shembulli i dhënë ilustron mundësinë e përdorimit të pabarazisë së Chebyshev për të vlerësuar probabilitetet e devijimeve të caktuara të variablave të rastësishëm (si dhe probleme të tilla si ky shembull në lidhje me llogaritjen e këtyre probabiliteteve). Avantazhi i pabarazisë së Chebyshev është se nuk kërkon njohuri të ligjeve të shpërndarjes së ndryshoreve të rastit. Sigurisht, nëse dihet një ligj i tillë, atëherë pabarazia e Chebyshev jep vlerësime shumë të përafërta.

Le të shohim të njëjtin shembull, por duke përdorur faktin se hedhja e një monedhe është një rast i veçantë i skemës së Bernulit. Numri i sukseseve (në shembull - numri i stemave) i bindet ligjit binomial, dhe me një P ky ligj mund të përfaqësohet nga një ligj normal me pritshmëri matematikore për shkak të teoremës integrale të Moivre - Laplace a = pr = n? 0,5 dhe me devijim standard a = yfnpq - 25=0,5l/l. Ndryshorja e rastësishme - frekuenca e rënies së stemës - ka një pritje matematikore = 0.5 dhe një devijim standard

Atëherë kemi:

Nga pabarazia e fundit marrim:

Nga tabelat e shpërndarjes normale gjejmë:

Shohim se përafrimi normal jep numrin e hedhjeve të monedhës që jep një gabim të caktuar në vlerësimin e probabilitetit të një steme, i cili është 37 herë më i vogël në krahasim me vlerësimin e marrë duke përdorur pabarazinë e Chebyshev (por pabarazia e Chebyshev bën të mundur llogaritje të ngjashme në rastin kur nuk kemi informacion për ligjin e shpërndarjes së ndryshores së rastit që studiohet).

Le të shqyrtojmë tani një problem të aplikuar të zgjidhur duke përdorur formulën (9.16).

Problemi i konkurrencës. Dy kompani konkurruese hekurudhore kanë secila nga një tren që qarkullon midis Moskës dhe Shën Petersburgut. Këta trena janë të pajisur afërsisht njësoj, dhe nisen dhe mbërrijnë afërsisht në të njëjtën kohë. Le të pretendojmë se P= 1000 pasagjerë në mënyrë të pavarur dhe të rastësishme zgjedhin trenin e tyre, prandaj, si një model matematikor për zgjedhjen e trenit nga pasagjerët, ne përdorim skemën Bernoulli me P sfidat dhe gjasat për sukses R= 0,5. Kompania duhet të vendosë se sa vende do të sigurojë në tren, duke marrë parasysh dy kushte reciproke kontradiktore: nga njëra anë, nuk dëshironi të keni vende bosh, nga ana tjetër, nuk dëshironi që njerëzit të jenë të pakënaqur me mungesa e vendeve (herën tjetër do të preferojnë kompanitë konkurruese). Sigurisht, mund të sigurohet në tren P= 1000 vende, por atëherë padyshim do të ketë vende boshe. Një variabël i rastësishëm - numri i pasagjerëve në një tren - brenda kornizës së modelit matematikor të miratuar duke përdorur teorinë integrale të Moivre - Laplace i bindet ligjit normal me pritshmëri matematikore a = pr = p/2 dhe varianca a 2 = npq = p/4 në mënyrë sekuenciale. Probabiliteti që më shumë se s pasagjerë, përcaktohet nga raporti:

Vendosni nivelin e rrezikut A, pra probabiliteti që do të vijnë më shumë s pasagjerët:

Nga këtu:

Nëse Aështë rrënja e rrezikut të ekuacionit të fundit, i cili gjendet nga tabelat e funksionit të shpërndarjes së ligjit normal, atëherë fitojmë:

Nëse, për shembull, P = 1000, A= 0.01 (ky nivel rreziku do të thotë se numri i vendeve s do të jetë e mjaftueshme në 99 raste nga 100), atëherë x a ~ 2.33 dhe s = 537 vende. Për më tepër, nëse të dyja kompanitë pranojnë të njëjtat nivele rreziku A= 0.01, atëherë dy trenat do të kenë gjithsej 1074 vende, 74 prej të cilave do të jenë bosh. Në mënyrë të ngjashme, mund të llogaritet se 514 vende do të ishin të mjaftueshme në 80% të të gjitha rasteve dhe 549 vende do të mjaftonin në 999 nga 1000 raste.

Konsiderata të ngjashme vlejnë për problemet e tjera konkurruese të shërbimit. Për shembull, nëse T kinematë konkurrojnë për të njëjtën gjë P spektatorë, atëherë duhet pranuar R= -. marrim,

sa është numri i vendeve s në një kinema duhet të përcaktohet nga raporti:

Numri i përgjithshëm i hapësirave boshe është i barabartë me:

Për A = 0,01, P= 1000 dhe T= 2, 3, 4 vlerat e këtij numri janë afërsisht të barabarta me 74, 126, 147, përkatësisht.

Le të shohim një shembull tjetër. Lëreni trenin të përbëhet nga P - 100 karroca. Pesha e çdo makine është një ndryshore e rastësishme me pritshmëri matematikore A - 65 ton dhe pritshmëria mesatare katrore o = 9 ton Një lokomotivë mund të mbajë një tren nëse pesha e tij nuk i kalon 6600 tonë; përndryshe, ju duhet të lidhni një lokomotivë të dytë. Ju duhet të gjeni probabilitetin që nuk do t'ju duhet ta bëni këtë.

peshat e veturave individuale: , duke pasur të njëjtën pritshmëri matematikore A - 65 dhe e njëjta variancë d- o 2 = 81. Sipas rregullit të pritjeve matematikore: E(x) - 100 * 65 = 6500. Sipas rregullit të mbledhjes së variancave: D(x) = 100 x 81 = 8100. Duke nxjerrë rrënjën, gjejmë devijimin standard. Në mënyrë që një lokomotivë të tërheqë një tren, pesha e trenit duhet të jetë X doli të ishte kufizuese, d.m.th. ra brenda intervalit (0; 6600). Ndryshorja e rastësishme x - shuma e 100 termave - mund të konsiderohet e shpërndarë normalisht. Duke përdorur formulën (9.16) marrim:

Nga kjo rrjedh se lokomotiva do të "përballojë" trenin me një probabilitet afërsisht 0.864. Tani le të zvogëlojmë numrin e makinave në tren me dy, d.m.th., marrim P= 98. Tani duke llogaritur probabilitetin që lokomotiva të "përballojë" trenin, marrim një vlerë të rendit prej 0.99, d.m.th., një ngjarje pothuajse e sigurt, megjithëse për këtë duhej të hiqeshin vetëm dy makina.

Pra, nëse kemi të bëjmë me shuma të një numri të madh të ndryshoreve të rastit, atëherë mund të përdorim ligjin normal. Natyrisht, kjo ngre pyetjen: sa variabla të rastësishëm duhet të shtohen në mënyrë që ligji i shpërndarjes së shumës tashmë të "normalizohet"? Varet se cilat janë ligjet e shpërndarjes së termave. Ka ligje kaq të ndërlikuara që normalizimi ndodh vetëm me një numër shumë të madh termash. Por këto ligje janë shpikur nga matematikanët; natyra, si rregull, nuk krijon qëllimisht telashe të tilla. Zakonisht në praktikë, që të mund të përdorësh ligjin normal, mjaftojnë pesë ose gjashtë terma.

Shpejtësia me të cilën "normalizohet" ligji i shpërndarjes së një shume variablash të rastësishëm të shpërndarë në mënyrë identike mund të ilustrohet me shembullin e ndryshoreve të rastësishme me një shpërndarje uniforme në intervalin (0, 1). Kurba e një shpërndarjeje të tillë ka formën e një drejtkëndëshi, i cili nuk është më i ngjashëm me ligjin normal. Le të shtojmë dy ndryshore të tilla të pavarura - marrim një ndryshore të rastësishme të shpërndarë sipas të ashtuquajturit ligj të Simpsonit, paraqitja grafike e së cilës ka formën e një trekëndëshi dykëndësh. Gjithashtu nuk duket si një ligj normal, por është më mirë. Dhe nëse shtoni tre ndryshore të tilla të rastësishme të shpërndara në mënyrë uniforme, ju merrni një kurbë të përbërë nga tre segmente parabolash, shumë të ngjashme me një kurbë normale. Nëse mbledhni gjashtë ndryshore të tilla të rastësishme, ju merrni një kurbë që nuk ndryshon nga normalja. Kjo është baza për një metodë të përdorur gjerësisht për marrjen e një ndryshoreje të rastësishme të shpërndarë normalisht, dhe të gjithë kompjuterët modernë janë të pajisur me sensorë për numra të rastësishëm të shpërndarë në mënyrë uniforme (0, 1).

Metoda e mëposhtme rekomandohet si një mënyrë praktike për ta kontrolluar këtë. Ne ndërtojmë një interval besimi për frekuencën e një ngjarjeje me një nivel në= 0,997 sipas rregullit tre sigma:

dhe nëse të dy skajet e tij nuk shtrihen përtej segmentit (0, 1), atëherë mund të përdoret ligji normal. Nëse ndonjë nga kufijtë e intervalit të besimit është jashtë segmentit (0, 1), atëherë ligji normal nuk mund të përdoret. Megjithatë, në disa kushte, ligji binom për frekuencën e ndonjë ngjarjeje të rastësishme, nëse nuk priret drejt asaj normale, atëherë mund të priret në një ligj tjetër.

Në shumë aplikime, skema e Bernoulli përdoret si një model matematikor i një eksperimenti të rastësishëm, në të cilin numri i provave Pështë i madh, një ngjarje e rastësishme është mjaft e rrallë, d.m.th. R = etj jo i vogël, por as i madh (luhatet në intervalin O -5-20). Në këtë rast, lidhja kufizuese qëndron:

Formula (9.20) quhet përafrim Poisson për ligjin binomial, pasi shpërndarja e probabilitetit në anën e djathtë të saj quhet ligji i Poisson-it. Shpërndarja Poisson thuhet se është një shpërndarje probabiliteti për ngjarje të rralla sepse ndodh kur plotësohen kufijtë: P -»°°, R-»0, por X = pr oo.

Shembull. Ditëlindjet. Sa është probabiliteti R t (k) që në një shoqëri prej 500 vetësh te njerëzit kanë lindur në ditën e Vitit të Ri? Nëse këta 500 persona zgjidhen në mënyrë të rastësishme, atëherë skema e Bernoulli-t mund të zbatohet me probabilitetin e suksesit. P = 1/365. Pastaj

Llogaritjet e probabilitetit për të ndryshme te jepni vlerat e mëposhtme: RU = 0,3484...; R 2 = 0,2388...; R 3 = 0,1089...; P 4 = 0,0372...; R 5 = 0,0101...; R 6= 0,0023... Përafrimet përkatëse duke përdorur formulën Poisson për X = 500 1/365 = 1,37

jepni vlerat e mëposhtme: Ru = 0,3481...; R 2 = 0,2385...; P ъ = 0,1089; R 4 = 0,0373...; P 5 = 0,0102...; P 6 = 0,0023... Të gjitha gabimet janë vetëm në numrin e katërt dhjetor.

Këtu janë shembuj të situatave ku mund të përdorni ligjin e Poisson-it për ngjarje të rralla.

Në një central telefonik, një lidhje e gabuar ndodh me një probabilitet të ulët R, zakonisht R~ 0.005. Atëherë formula e Poisson-it na lejon të gjejmë probabilitetin e lidhjeve të pasakta për një numër total të caktuar lidhjesh n~ 1000 kur X = pr =1000 0,005 = 5.

Kur piqni simite, shtoni rrush të thatë në brumë. Për shkak të përzierjes, frekuenca e simiteve me rrush të thatë duhet të pritet të ndjekë afërsisht një shpërndarje Poisson R p (k, X), Ku X- dendësia e rrushit të thatë në brumë.

Një substancë radioaktive lëshon grimca π. Ngjarja që numri i d-grimcave arrin me kalimin e kohës t zonë e caktuar e hapësirës, ​​merr një vlerë fikse te, i bindet ligjit të Poisson-it.

Numri i qelizave të gjalla me kromozome të ndryshuara kur ekspozohen ndaj rrezeve X ndjek një shpërndarje Poisson.

Pra, ligjet e numrave të mëdhenj bëjnë të mundur zgjidhjen e problemit të statistikave matematikore të lidhura me vlerësimin e probabiliteteve të panjohura të rezultateve elementare të një eksperimenti të rastësishëm. Falë kësaj njohurie, ne i bëjmë metodat e teorisë së probabilitetit praktikisht kuptimplotë dhe të dobishme. Ligjet e numrave të mëdhenj gjithashtu bëjnë të mundur zgjidhjen e problemit të marrjes së informacionit për probabilitete elementare të panjohura në një formë tjetër - formën e testimit të hipotezave statistikore.

Le të shqyrtojmë më në detaje formulimin dhe mekanizmin probabilistik për zgjidhjen e problemeve të testimit të hipotezave statistikore.

Ligji i numrave të mëdhenj në teorinë e probabilitetit pohon se mesatarja empirike (mesatarja aritmetike) e një kampioni të fundëm mjaftueshëm të madh nga një shpërndarje fikse është afër mesatares teorike (pritshmërisë matematikore) të kësaj shpërndarjeje. Në varësi të llojit të konvergjencës, bëhet dallimi midis ligjit të dobët të numrave të mëdhenj, kur konvergjenca ndodh sipas probabilitetit, dhe ligjit të fortë të numrave të mëdhenj, kur konvergjenca ndodh pothuajse kudo.

Gjithmonë ekziston një numër i kufizuar provash në të cilat, me çdo probabilitet të dhënë përpara, ka më pak 1 frekuenca relative e shfaqjes së ndonjë ngjarjeje do të ndryshojë sa më pak të jetë e mundur nga probabiliteti i saj.

Kuptimi i përgjithshëm i ligjit të numrave të mëdhenj: veprimi i përbashkët i një numri të madh faktorësh të rastësishëm identikë dhe të pavarur çon në një rezultat që, në kufi, nuk varet nga rastësia.

Metodat për vlerësimin e probabilitetit bazuar në analizën e mostrës së fundme bazohen në këtë veti. Një shembull i qartë është parashikimi i rezultateve të zgjedhjeve bazuar në një anketë të një kampioni votuesish.

YouTube enciklopedik

1 / 5

✪ Ligji i numrave të mëdhenj

✪ 07 - Teoria e probabilitetit. Ligji i numrave të mëdhenj

✪ 42 Ligji i numrave të mëdhenj

✪ 1 - Ligji i numrave të mëdhenj i Chebyshev

✪ Klasa 11, mësimi 25, kurba Gaussian. Ligji i numrave të mëdhenj

Titra

Le të shohim ligjin e numrave të mëdhenj, i cili është ndoshta ligji më intuitiv në matematikë dhe teorinë e probabilitetit. Dhe për shkak se vlen për shumë gjëra, ndonjëherë përdoret dhe keqkuptohet. Më lejoni së pari ta përcaktoj për saktësi, dhe më pas do të flasim për intuitën. Le të marrim një ndryshore të rastësishme, për shembull X. Le të themi se e dimë pritshmërinë e saj matematikore ose mesataren për popullsinë. Ligji i numrave të mëdhenj thotë thjesht se nëse marrim një shembull të numrit të n-të të vëzhgimeve të një ndryshoreje të rastësishme dhe marrim mesataren e të gjitha atyre vëzhgimeve... Le të marrim një ndryshore. Le ta quajmë X me një nënshkrim n dhe një shirit në krye. Kjo është mesatarja aritmetike e numrit të n-të të vëzhgimeve të ndryshores sonë të rastësishme. Këtu është vëzhgimi im i parë. Unë bëj eksperimentin një herë dhe bëj këtë vëzhgim, pastaj e bëj përsëri dhe bëj këtë vëzhgim, dhe e bëj përsëri dhe e marr këtë. Unë e kryej këtë eksperiment numrin e n-të herë, dhe më pas pjesëtoj me numrin e vëzhgimeve të mia. Këtu është mesatarja ime e mostrës. Këtu është mesatarja e të gjitha vëzhgimeve që bëra. Ligji i numrave të mëdhenj na thotë se mesatarja e mostrës time do t'i afrohet vlerës së pritur të ndryshores së rastësishme. Ose mund të shkruaj gjithashtu se mesatarja ime e mostrës do t'i afrohet mesatares së popullsisë për sasinë e n-të që priret në pafundësi. Unë nuk do të bëj një dallim të qartë midis "përafrimit" dhe "konvergjencës", por shpresoj që ju të kuptoni intuitivisht se nëse marr një mostër mjaft të madhe këtu, do të marr vlerën e pritur për popullsinë në tërësi. Unë mendoj se shumica prej jush e kuptoni intuitivisht se nëse bëj teste të mjaftueshme me një mostër të madhe shembujsh, përfundimisht testet do të më japin vlerat që pres, duke marrë parasysh vlerën dhe probabilitetin e pritur dhe gjithë atë xhaz. Por unë mendoj se shpesh është e paqartë pse ndodh kjo. Dhe para se të filloj të shpjegoj pse është kështu, më lejoni të jap një shembull specifik. Ligji i numrave të mëdhenj na thotë se... Le të themi se kemi një ndryshore të rastësishme X. Është e barabartë me numrin e kokave në 100 hedhje të një monedhe të drejtë. Para së gjithash, ne e dimë pritshmërinë matematikore të kësaj ndryshoreje të rastësishme. Ky është numri i hedhjeve ose provave të monedhës shumëzuar me shanset e suksesit të çdo prove. Pra kjo është e barabartë me 50. Dmth, ligji i numrave të mëdhenj thotë që nëse marrim një mostër, ose nëse mesatarizoj këto prova, do të marr. .. Herën e parë që bëj një provë, do të hedh një monedhë 100 herë, ose do të marr një kuti me njëqind monedha, do ta tund dhe pastaj do të numëroj sa koka do të marr dhe do të marr, le të themi, numrin 55. Kjo do të ishte X1. Pastaj e tund sërish kutinë dhe marr numrin 65. Pastaj përsëri dhe marr 45. Dhe e bëj këtë n numër herë, dhe pastaj e ndaj me numrin e provave. Ligji i numrave të mëdhenj na thotë se kjo mesatare (mesatarja e të gjitha vëzhgimeve të mia) do t'i afrohet 50 ndërsa n i afrohet pafundësisë. Tani do të doja të flisja pak se pse ndodh kjo. Shumë njerëz besojnë se nëse pas 100 provash rezultati im është mbi mesataren, atëherë sipas ligjeve të probabilitetit duhet të marr më shumë ose më pak koka në mënyrë që, si të thuash, të kompensoj ndryshimin. Kjo nuk është pikërisht ajo që do të ndodhë. Kjo shpesh quhet "gabimi i kumarxhinjve". Më lejoni t'ju tregoj ndryshimin. Unë do të përdor shembullin e mëposhtëm. Më lejoni të vizatoj një grafik. Le të ndryshojmë ngjyrën. Ky është n, boshti im x është n. Ky është numri i testeve që do të bëj. Dhe boshti im Y do të jetë mesatarja e mostrës. Ne e dimë se pritshmëria matematikore e kësaj ndryshoreje arbitrare është 50. Më lejoni ta vizatoj. Kjo është 50. Le të kthehemi te shembulli ynë. Nëse n është... Gjatë testit tim të parë mora 55, kjo është mesatarja ime. Unë kam vetëm një pikë futje të të dhënave. Pastaj pas dy testeve marr 65. Pra mesatarja ime do të ishte 65+55 pjesëtuar me 2. Kjo është 60. Dhe mesatarja ime është rritur pak. Pastaj mora 45, gjë që uli përsëri mesataren time aritmetike. Unë nuk do të bëj komplotin 45. Tani më duhet të vlerësoj mesataren e gjithë kësaj. Me çfarë është 45+65? Më lejoni të llogaris këtë vlerë për të përfaqësuar pikën. Kjo është 165 pjesëtuar me 3. Kjo është 53. Jo, 55. Pra mesatarja zbret në 55. Ne mund të vazhdojmë këto teste. Pasi kemi bërë tre prova dhe kemi marrë atë mesatare, shumë njerëz mendojnë se perënditë e probabilitetit do të sigurohen që ne të marrim më pak koka në të ardhmen, që provat e ardhshme do të kenë rezultate më të ulëta për të ulur mesataren. Por nuk është gjithmonë kështu. Në të ardhmen, probabiliteti mbetet gjithmonë i njëjtë. Gjithmonë do të ketë 50% shanse që të marr koka. Nuk është se në fillim marr një numër të caktuar kokash, më shumë nga sa pres, dhe më pas befas më duhet të marr bisht. Ky është gabimi i kumarxhinjve. Vetëm për shkak se ju merrni një numër në mënyrë disproporcionale të madhe të kokave nuk do të thotë se në një moment do të filloni të merrni një numër disproporcionalisht të madh të bishtave. Kjo nuk është plotësisht e vërtetë. Ligji i numrave të mëdhenj na thotë se nuk ka rëndësi. Le të themi se pas një numri të caktuar të caktuar testesh, mesatarja juaj... Probabiliteti për këtë është mjaft i vogël, por, megjithatë... Le të themi se mesatarja juaj ka arritur këtë pikë - 70. Ju mendoni, "Uau, ne jemi larguar nga vlera e pritur." Por ligji i numrave të mëdhenj thotë se nuk i intereson sa teste bëjmë. Ne kemi ende një numër të pafund sfidash përpara. Pritshmëria matematikore e këtij numri të pafund provash, veçanërisht në një situatë si kjo, do të ishte si më poshtë. Kur arrini te një numër i fundëm që shpreh një vlerë të madhe, një numër i pafundëm që konvergon me të do të çojë përsëri në vlerën e pritur. Ky është, natyrisht, një interpretim shumë i lirë, por këtë na thotë ligji i numrave të mëdhenj. Është e rëndësishme. Nuk na thotë se nëse marrim shumë koka, atëherë disi probabiliteti për të marrë bishta do të rritet për të kompensuar. Ky ligj na thotë se nuk ka rëndësi se cili është rezultati për një numër të kufizuar provash për sa kohë që ju kanë mbetur ende një numër i pafund provash. Dhe nëse bëni mjaft prej tyre, do të përfundoni përsëri në vlerën e pritur. Kjo është një pikë e rëndësishme. Mendoni për këtë. Por kjo nuk përdoret çdo ditë në praktikë me llotaritë dhe kazinotë, edhe pse dihet që nëse bëni teste të mjaftueshme... Mund ta llogarisim edhe... sa është probabiliteti që të devijojmë seriozisht nga norma? Por kazinotë dhe llotaritë punojnë çdo ditë mbi parimin që nëse merrni mjaft njerëz, natyrisht, në një kohë të shkurtër, me një mostër të vogël, atëherë disa njerëz do të arrijnë çmimin e parë. Por për një periudhë të gjatë kohore, kazinoja do të fitojë gjithmonë për shkak të parametrave të lojërave që ju ftojnë të luani. Ky është një parim i rëndësishëm i probabilitetit që është intuitiv. Edhe pse ndonjëherë kur ju shpjegohet zyrtarisht me ndryshore të rastësishme, gjithçka duket pak konfuze. Gjithçka që thotë ky ligj është se sa më shumë mostra të ketë, aq më shumë mesatarja aritmetike e atyre mostrave do të priret në mesataren e vërtetë. Dhe për të qenë më specifik, mesatarja aritmetike e kampionit tuaj do të konvergojë me pritshmërinë matematikore të ndryshores së rastësishme. Kjo eshte e gjitha. Shihemi në videon e radhës!

Ligji i dobët i numrave të mëdhenj

Ligji i dobët i numrave të mëdhenj quhet gjithashtu teorema e Bernulit, sipas Jacob Bernoulli, i cili e vërtetoi atë në 1713.

Le të ketë një sekuencë të pafundme (numërim sekuencial) të ndryshoreve të rastësishme të shpërndara identike dhe të pakorreluara. Kjo është, kovarianca e tyre c o v (X i , X j) = 0 , ∀ i ≠ j (\displaystyle \mathrm (cov) (X_(i),X_(j))=0,\;\për të gjitha i\jo =j). Le . Le të shënojmë me mesataren e mostrës së të parës n (\displaystyle n) anëtarët:

.

Pastaj X ¯ n → P μ (\shfaqje stili (\bar (X))_(n)\në ^(\!\!\!\!\!\!\mathbb (P) )\mu ).

Kjo është, për çdo pozitiv ε (\displaystyle \varepsilon)

lim n → ∞ Pr (| X ¯ n − μ |< ε) = 1. {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\Pr \!\left(\,|{\bar {X}}_{n}-\mu |<\varepsilon \,\right)=1.}

Ligji i përforcuar i numrave të mëdhenj

Le të ketë një sekuencë të pafundme variablash të rastësishme të pavarura të shpërndara identike ( X i ) i = 1 ∞ (\displaystyle \(X_(i)\)_(i=1)^(\infty )), e përcaktuar në një hapësirë ​​probabiliteti (Ω , F , P) (\style ekrani (\Omega ,(\mathcal (F)),\mathbb (P))). Le E X i = μ , ∀ i ∈ N (\displaystyle \mathbb (E) X_(i)=\mu ,\;\forall i\in \mathbb (N) ). Le të shënojmë me X ¯ n (\style ekrani (\bar (X))_(n)) mostra mesatare e parë n (\displaystyle n) anëtarët:

X ¯ n = 1 n ∑ i = 1 n X i , n ∈ N (\displaystyle (\bar (X))_(n)=(\frac (1)(n))\sum \ limitet _(i= 1)^(n)X_(i),\;n\në \mathbb (N)).

Pastaj X ¯ n → μ (\stili i shfaqjes (\bar (X))_(n)\në \mu) pothuajse gjithmonë.

Pr (lim n → ∞ X ¯ n = μ) = 1. (\displaystyle \Pr \!\left(\lim _(n\to \infty )(\bar (X))_(n)=\mu \ djathtas) = ​​1.) .

Ashtu si çdo ligj matematikor, ligji i numrave të mëdhenj mund të zbatohet në botën reale vetëm nën supozime të caktuara që mund të përmbushen vetëm me një shkallë saktësie. Për shembull, kushtet e njëpasnjëshme të provës shpesh nuk mund të mbahen për një kohë të pacaktuar dhe me saktësi absolute. Për më tepër, ligji i numrave të mëdhenj flet vetëm për pamundësi devijimi i konsiderueshëm i vlerës mesatare nga pritshmëria matematikore.