Zona e figurës e kufizuar me vija është në linjë parametrikisht. Llogaritja e sipërfaqes së një figure të kufizuar nga një kurbë e përcaktuar parametrikisht. Si të llogarisni vëllimin e një trupi rrotullues

Konsideroni shembuj të aplikimit të formulës së marrë, e cila ju lejon të llogaritni zonat e figurave të kufizuara nga linjat e specifikuara parametrikisht.

Shembull.

Llogaritni sipërfaqen e një figure të kufizuar nga një vijë, ekuacionet parametrike të së cilës duken si .

Zgjidhje.

Në shembullin tonë, parametrikisht linjë e dhënëështë një elips me gjysmëboshte 2 dhe 3 njësi. Le ta ndërtojmë.

Gjeni sipërfaqen e një të katërtës së elipsës që ndodhet në kuadrantin e parë. Kjo zonë shtrihet në interval . Ne llogarisim sipërfaqen e të gjithë figurës duke shumëzuar vlerën që rezulton me katër.

Ajo që kemi:

Për k = 0 marrim intervalin . Në këtë interval, funksioni në rënie monotonike (shih seksionin ). Ne aplikojmë formulën për të llogaritur sipërfaqen dhe për të gjetur integralin e caktuar duke përdorur formulën Newton-Leibniz:

Pra, zona e figurës origjinale është .

Koment.

Shtrohet një pyetje logjike: pse morëm një të katërtën e elipsës, dhe jo gjysmën? Ishte e mundur të konsiderohej gjysma e sipërme (ose e poshtme) e figurës. Ajo është në gamë . Për këtë rast do të kishim

Kjo do të thotë, për k = 0 marrim intervalin . Në këtë interval, funksioni në rënie monotonike.

Pastaj sipërfaqja e gjysmës së elipsës jepet nga

Por gjysma e djathtë ose e majtë e elipsës nuk mund të merren.

Paraqitja parametrike e një elipse me qendër në origjinë dhe gjysmëboshtet a dhe b ka formën . Nëse veprojmë në të njëjtën mënyrë si në shembullin e analizuar, marrim formula për llogaritjen e sipërfaqes së një elipsi .

Një rreth me qendër në origjinë të koordinatave me rreze R përmes parametrit t jepet nga një sistem ekuacionesh. Nëse përdorim formulën e marrë për sipërfaqen e një elipsi, atëherë mund të shkruajmë menjëherë formula për gjetjen e sipërfaqes së një rrethi rrezja R:.

Le të zgjidhim edhe një shembull.

Shembull.

Llogaritni sipërfaqen e një figure të kufizuar nga një kurbë e dhënë parametrikisht.

Zgjidhje.

Duke parë pak përpara, kurba është një astroid "i zgjatur". (Astrodi ka paraqitjen parametrike të mëposhtme).

Le të ndalemi në detaje në ndërtimin e një kurbë që kufizon një figurë. Do ta ndërtojmë pikë për pikë. Zakonisht një ndërtim i tillë është i mjaftueshëm për zgjidhjen e shumicës së problemeve. Në raste më komplekse, pa dyshim, do të kërkohet një studim i hollësishëm i një funksioni të dhënë parametrikisht me ndihmën e llogaritjes diferenciale.

Në shembullin tonë.

Këto funksione janë të përcaktuara për të gjitha vlerat reale të parametrit t, dhe nga vetitë e sinusit dhe kosinusit, dimë se ato janë periodike me një periodë prej dy pi. Kështu, duke llogaritur vlerat e funksioneve për disa (për shembull ), marrim një grup pikësh .

Për lehtësi, ne do të fusim vlerat në tabelë:

I shënojmë pikat në rrafsh dhe i lidhim SEKUENTIAL me një vijë.

Le të llogarisim sipërfaqen e zonës së vendosur në tremujorin e parë të koordinatave. Për këtë zonë .

Në k=0 marrim intervalin , mbi të cilin funksioni zvogëlohet në mënyrë monotone. Ne përdorim formulën për të gjetur zonën:

Ne llogarisim integralet e përcaktuara të marra duke përdorur formulën Newton-Leibniz dhe gjejmë antiderivativët për formulën Newton-Leibniz duke përdorur një formulë rekursive të formës , ku .

Prandaj, sipërfaqja e një të katërtës së figurës është , atëherë sipërfaqja e të gjithë figurës është e barabartë me .

Në mënyrë të ngjashme, dikush mund ta tregojë atë zona astroid e vendosur si , dhe sipërfaqja e figurës së kufizuar nga rreshti llogaritet me formulën.

Kur kuptuam kuptimin gjeometrik të një integrali të caktuar, morëm një formulë me të cilën mund të gjeni zonën trapezoid lakor, i kufizuar nga boshti i abshisave, vija të drejta x=a, x=b, si dhe një funksion të vazhdueshëm (jo negativ ose jo pozitiv). y = f(x) . Ndonjëherë është më i përshtatshëm për të vendosur funksionin që kufizon figurën në një formë parametrike, d.m.th. shprehin varësinë funksionale në termat e parametrit t . Në kuadrin e këtij materiali, ne do të tregojmë se si mund të gjeni sipërfaqen e një figure nëse ajo kufizohet nga një kurbë e dhënë parametrikisht.

Pas shpjegimit të teorisë dhe nxjerrjes së formulës, do të analizojmë disa shembuj tipikë për gjetjen e sipërfaqes së figurave të tilla.

Formula bazë për llogaritjen

Le të supozojmë se kemi një trapez lakor, kufijtë e të cilit janë drejtëzat x = a, x = b, boshti O x dhe kurba e përcaktuar parametrikisht x = φ (t) y = ψ (t) , dhe funksionet x = φ (t) dhe y = ψ (t) janë të vazhdueshme në intervalin α ; β, α< β , x = φ (t) будет непрерывно возрастать на нем и φ (α) = a , φ (β) = b .

Përkufizimi 1

Për të llogaritur sipërfaqen e një trapezi në kushte të tilla, duhet të përdorni formulën S (G) = ∫ α β ψ (t) φ " (t) d t .

E kemi nxjerrë nga formula për sipërfaqen e një trapezi lakor S (G) = ∫ a b f (x) d x duke përdorur metodën e zëvendësimit x = φ (t) y = ψ (t):

S (G) = ∫ a b f (x) d x = ∫ α β ψ (t) d (φ (t)) = ∫ α β ψ (t) φ " (t) d t

Përkufizimi 2

Duke marrë parasysh uljen monotonike të funksionit x = φ (t) në intervalin β; α, β< α , нужная формула принимает вид S (G) = - ∫ β α ψ (t) · φ " (t) d t .

Nëse funksioni x = φ (t) nuk i përket atyre elementare bazë, atëherë duhet të kujtojmë rregullat bazë për rritjen dhe zvogëlimin e një funksioni në një interval, në mënyrë që të përcaktojmë nëse ai do të jetë në rritje apo në ulje.

Në këtë paragraf do të analizojmë disa probleme për zbatimin e formulës së nxjerrë më sipër.

Shembulli 1

gjendja: gjeni sipërfaqen e figurës së formuar nga drejtëza e dhënë nga ekuacionet e formës x = 2 cos t y = 3 sin t .

Zgjidhje

Kemi një vijë të përcaktuar parametrikisht. Grafikisht, ajo mund të shfaqet si një elips me dy gjysmë boshte 2 dhe 3. Shih ilustrimin:

Le të përpiqemi të gjejmë sipërfaqen 1 4 të figurës që rezulton, e cila zë kuadrantin e parë. Zona është në intervalin x ∈ a ; b = 0 2. Tjetra, shumëzojeni vlerën që rezulton me 4 dhe gjeni zonën figurë e tërë.

Këtu është rrjedha e llogaritjeve tona:

x = φ (t) = 2 cos t y = ψ (t) = 3 sin t φ α = a ⇔ 2 cos α = 0 ⇔ α = π 2 + πk , k ∈ Z , φ β = b ⇔ 2 cos β = 2 ⇔ β = 2 πk , k ∈ Z

Me k të barabartë me 0, marrim intervalin β; α = 0 ; π 2 . Funksioni x = φ (t) = 2 cos t do të ulet në mënyrë monotonike mbi të (për më shumë detaje, shihni artikullin mbi funksionet elementare themelore dhe vetitë e tyre). Pra, mund të aplikoni formulën e zonës dhe të gjeni një integral të caktuar duke përdorur formulën Newton-Leibniz:

- ∫ 0 π 2 3 sin t 2 cos t "d t = 6 ∫ 0 π 2 sin 2 t d t = 3 ∫ 0 π 2 (1 - cos (2 t) d t = = 3 t - sin (2 t) 2 0 π 2 \u003d 3 π 2 - mëkat 2 π 2 2 - 0 - mëkat 2 0 2 \u003d 3 π 2

Kjo do të thotë që zona e figurës së dhënë nga kurba origjinale do të jetë e barabartë me S (G) \u003d 4 3 π 2 \u003d 6 π.

Përgjigje: S (G) = 6 π

Le të sqarojmë se kur zgjidhim problemin e mësipërm, ishte e mundur të merrej jo vetëm një e katërta e elipsës, por edhe gjysma e saj - e sipërme ose e poshtme. Njëra gjysmë do të vendoset në intervalin x ∈ a ; b = -2; 2. Në këtë rast do të kishim:

φ (α) = a ⇔ 2 cos α = - 2 ⇔ α = π + π k , k ∈ Z , φ (β) = b ⇔ 2 cos β = 2 ⇔ β = 2 π k , k ∈ Z

Kështu, me k të barabartë me 0, marrim β; α = 0 ; π . Funksioni x = φ (t) = 2 cos t do të ulet në mënyrë monotonike në këtë interval.

Pas kësaj, ne llogarisim sipërfaqen e gjysmës së elipsës:

- ∫ 0 π 3 sin t 2 cos t "d t = 6 ∫ 0 π sin 2 t d t = 3 ∫ 0 π (1 - cos (2 t) d t = = 3 t - sin (2 t) 2 0 π = 3 π - mëkat 2 π 2 - 0 - mëkat 2 0 2 = 3 π

Është e rëndësishme të theksohet se ju mund të merrni vetëm pjesën e sipërme ose të poshtme, dhe jo djathtas ose majtas.

Ju mund të shkruani një ekuacion parametrik për këtë elips, qendra e së cilës do të jetë në origjinë. Do të duket si x = a cos t y = b sin t. Duke vepruar në të njëjtën mënyrë si në shembullin e mësipërm, marrim një formulë për llogaritjen e sipërfaqes së elipsës S e l dhe p me një \u003d πab.

Ju mund të përcaktoni një rreth, qendra e të cilit ndodhet në origjinë duke përdorur ekuacionin x = R cos t y = R sin t, ku t është një parametër dhe R është rrezja e rrethit të dhënë. Nëse menjëherë përdorim formulën për sipërfaqen e një elipse, atëherë do të marrim një formulë me të cilën mund të llogarisim sipërfaqen e një rrethi me rreze R: S rreth a = πR 2.

Le të shqyrtojmë një problem tjetër.

Shembulli 2

Kushti: gjeni sa do të jetë sipërfaqja e figurës, e cila kufizohet nga një kurbë e dhënë parametrikisht x = 3 cos 3 t y = 2 sin 3 t .

Zgjidhje

Le të sqarojmë menjëherë se kjo kurbë ka formën e një astroidi të zgjatur. Zakonisht astroidi shprehet duke përdorur një ekuacion të formës x = a · cos 3 t y = a · sin 3 t .

Tani do të analizojmë në detaje se si të ndërtojmë një kurbë të tillë. Le të ndërtojmë në pika të veçanta. Kjo është metoda më e zakonshme dhe është e zbatueshme për shumicën e detyrave. Më shumë shembuj kompleks kërkojnë një llogaritje diferenciale për të zbuluar një funksion të dhënë parametrikisht.

Kemi x \u003d φ (t) \u003d 3 cos 3 t, y \u003d ψ (t) \u003d 2 sin 3 t.

Këto funksione janë përcaktuar për të gjitha vlerat reale të t. Për sin dhe cos dihet se janë periodike dhe periudha e tyre është 2 pi. Llogaritja e vlerave të funksioneve x = φ (t) = 3 cos 3 t , y = ψ (t) = 2 sin 3 t për disa t = t 0 ∈ 0 ; 2 π π 8 , π 4 , 3 π 8 , π 2 , . . . , 15 π 8 , marrim pikë x 0 ; y 0 = (φ (t 0) ; ψ (t 0)) .

Le të bëjmë një tabelë të vlerave totale:

t0	0	π 8	π 4	3 π 8	π 2	5 π 8	3 π 4	7 π 8	π
x 0 \u003d φ (t 0)	3	2 . 36	1 . 06	0 . 16	0	- 0 . 16	- 1 . 06	- 2 . 36	- 3
y 0 = ψ (t 0)	0	0 . 11	0 . 70	1 . 57	2	1 . 57	0 . 70	0 . 11	0

t0	9 π 8	5 π 4	11 π 8	3 π 2	13 π 8	7 π 4	15 π 8	2 pi
x 0 \u003d φ (t 0)	- 2 . 36	- 1 . 06	- 0 . 16	0	0 . 16	1 . 06	2 . 36	3
y 0 = ψ (t 0)	- 0 . 11	- 0 . 70	- 1 . 57	- 2	- 1 . 57	- 0 . 70	- 0 . 11	0

Pas kësaj, shënoni pikat e dëshiruara në aeroplan dhe lidhini ato me një vijë.

Tani duhet të gjejmë sipërfaqen e asaj pjese të figurës që është në tremujorin e parë të koordinatave. Për të x ∈ a ; b = 0 3:

φ (α) = a ⇔ 3 cos 3 t = 0 ⇔ α = π 2 + πk , k ∈ Z , φ (β) = b ⇔ 3 cos 3 t = 3 ⇔ β = 2 πk , k ∈ Z

Nëse k është 0, atëherë marrim intervalin β; α = 0 ; π 2 , dhe funksioni x = φ (t) = 3 cos 3 t do të ulet në mënyrë monotonike mbi të. Tani marrim formulën e sipërfaqes dhe llogarisim:

- ∫ 0 π 2 2 sin 3 t 3 cos 3 t "d t = 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t cos 2 t d t = = 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t (1 - sin 2 t) d t = 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t d t - ∫ 0 π 2 sin 6 t d t

Ne kemi marrë integrale të caktuara që mund të llogariten duke përdorur formulën Newton-Leibniz. Primitivët për këtë formulë mund të gjenden duke përdorur formulën rekursive J n (x) = - cos x sin n - 1 (x) n + n - 1 n J n - 2 (x) , ku J n (x) = ∫ mëkat n x d x.

∫ sin 4 t d t = - cos t sin 3 t 4 + 3 4 ∫ sin 2 t d t = = - cos t sin 3 t 4 + 3 4 - cos t sin t 2 + 1 2 ∫ sin 0 t d t = = - cos t sin 3 t 4 - 3 cos t sin t 8 + 3 8 t + C ⇒ ∫ 0 π 2 sin 4 t d t = - cos t sin 3 t 4 - 3 cos t sin t 8 + 3 8 t 0 π 2 = 3 π 16 ∫ sin 6 t d t = - cos t sin 5 t 6 + 5 6 ∫ sin 4 t d t ⇒ ∫ 0 π 2 sin 6 t d t = - cos t sin 5 t 6 0 π 2 + 5 6 ∫ 0 π 2 sin 4 t d t = 6 3 π 16 = 15 π 96

Ne kemi llogaritur sipërfaqen e një të katërtës së figurës. Është e barabartë me 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t d t - ∫ 0 π 2 sin 6 t d t = 18 3 π 16 - 15 π 96 = 9 π 16.

Nëse e shumëzojmë këtë vlerë me 4, marrim sipërfaqen e të gjithë figurës - 9 π 4.

Në të njëjtën mënyrë, ne mund të vërtetojmë se zona e astroidit e dhënë nga ekuacionet x \u003d a cos 3 t y \u003d një sin 3 t mund të gjendet me formulën, e cila është e kufizuar nga vija x = a · cos 3 t y = b · sin 3 t , llogaritet me formulën S = 3 πab 8 .

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter

Le të gjejmë vëllimin e trupit të krijuar nga rrotullimi i harkut cikloid rreth bazës së tij. Roberval e gjeti atë duke e thyer trupin në formë veze (Fig. 5.1) në shtresa pafundësisht të holla, duke shkruar cilindra në këto shtresa dhe duke shtuar vëllimet e tyre. Prova është e gjatë, e lodhshme dhe jo tërësisht rigoroze. Prandaj, për ta llogaritur, i drejtohemi matematikës më të lartë. Le ta vendosim ekuacionin cikloide në mënyrë parametrike.

Në llogaritjen integrale, kur studion vëllimet, ai përdor vërejtjen e mëposhtme:

Nëse kurba që kufizon trapezin lakor jepet me ekuacione parametrike dhe funksionet në këto ekuacione plotësojnë kushtet e teoremës për ndryshimin e ndryshores në një integral të caktuar, atëherë vëllimi i trupit të rrotullimit të trapezit rreth boshtit Ox do të të llogaritet me formulën:

Le të përdorim këtë formulë për të gjetur vëllimin që na nevojitet.

Në të njëjtën mënyrë, ne llogarisim sipërfaqen e këtij trupi.

L=((x,y): x=a(t - sin t), y=a(1 - kosto), 0 ? t ? 2р)

Në llogaritjen integrale, ekziston formula e mëposhtme për gjetjen e sipërfaqes së një trupi rrotullues rreth boshtit x të një lakore të specifikuar në një segment në mënyrë parametrike (t 0 ?t ?t 1):

Duke zbatuar këtë formulë në ekuacionin tonë cikloide, marrim:

Konsideroni gjithashtu një sipërfaqe tjetër të krijuar nga rrotullimi i harkut cikloid. Për ta bërë këtë, ne do të ndërtojmë një pasqyrë pasqyre të harkut cikloid në lidhje me bazën e tij dhe do të rrotullojmë figurën ovale të formuar nga cikloidi dhe reflektimi i tij rreth boshtit KT (Fig. 5.2).

Së pari, le të gjejmë vëllimin e trupit të formuar nga rrotullimi i harkut cikloid rreth boshtit KT. Vëllimi i tij do të llogaritet me formulën (*):

Kështu, ne llogaritëm vëllimin e gjysmës së këtij trupi të rrepës. Atëherë vëllimi i përgjithshëm do të jetë

Seksionet: Matematika

Lloji i mësimit: i kombinuar.

Qëllimi i mësimit: Mësoni të llogarisni vëllimet e trupave të rrotullimit duke përdorur integrale.

Detyrat:

• të konsolidojë aftësinë për të zgjedhur trapezoidë lakuar nga një numër formash gjeometrike dhe të zhvillojë aftësinë e llogaritjes së zonave të trapezoidëve lakor;
• të njihen me konceptin e një figure tredimensionale;
• mësoni të llogarisni vëllimet e trupave të revolucionit;
• kontribuojnë në zhvillimin të menduarit logjik, fjalim kompetent matematikor, saktësi në ndërtimin e vizatimeve;
• të kultivojë interesin për lëndën, të operojë me konceptet dhe imazhet matematikore, të kultivojë vullnetin, pavarësinë, këmbënguljen në arritjen e rezultatit përfundimtar.

Gjatë orëve të mësimit

I. Momenti organizativ.

Përshëndetje në grup. Komunikimi me nxënësit për objektivat e orës së mësimit.

Reflektimi. Melodi e qetë.

Do të doja ta filloja mësimin e sotëm me një shëmbëlltyrë. “Ishte një njeri i mençur që dinte gjithçka. Një person donte të provonte se i urti nuk di gjithçka. Duke kapur fluturën në duar, ai pyeti: "Më thuaj, i urtë, cila flutur është në duart e mia: e vdekur apo e gjallë?" Dhe ai vetë mendon: "Nëse i gjalli thotë, do ta vras, nëse i vdekuri thotë, do ta lë jashtë". I urti, duke menduar, u përgjigj: "Të gjitha në duart tuaja". (Prezantimi.Rrëshqitje)

- Prandaj, le të punojmë me fryt sot, të fitojmë një depo të re njohurish dhe aftësitë dhe aftësitë e fituara do t'i zbatojmë në jetën e mëvonshme dhe në aktivitete praktike. "Të gjitha në duart tuaja".

II. Përsëritja e materialit të mësuar më parë.

Le të shqyrtojmë pikat kryesore të materialit të studiuar më parë. Për ta bërë këtë, le të bëjmë detyrën "Hiq fjalën e tepërt."(Rrëshqitje.)

(Nxënësi shkon në I.D. me ndihmën e një gome heq fjalën shtesë.)

- Në mënyrë korrekte "Diferencial". Mundohuni të emërtoni fjalët e mbetura në një fjalë të zakonshme. (Llogaritja integrale.)

- Le të kujtojmë fazat dhe konceptet kryesore që lidhen me llogaritjen integrale ..

"Backë matematikore".

Ushtrimi. Rivendos lejet. (Nxënësi del dhe shkruan fjalët e nevojshme me stilolaps.)

- Më vonë do të dëgjojmë një raport për aplikimin e integraleve.

Puna në fletore.

– Formula Newton-Leibniz u zhvillua nga fizikani anglez Isaac Newton (1643–1727) dhe filozofi gjerman Gottfried Leibniz (1646–1716). Dhe kjo nuk është për t'u habitur, sepse matematika është gjuha që flet vetë natyra.

– Konsideroni se si përdoret kjo formulë në zgjidhjen e detyrave praktike.

Shembulli 1: Llogaritni sipërfaqen e një figure të kufizuar me vija

Zgjidhje: Të ndërtojmë grafikët e funksioneve në planin koordinativ . Zgjidhni zonën e figurës që do të gjendet.

III. Mësimi i materialit të ri.

- Kushtojini vëmendje ekranit. Çfarë tregohet në foton e parë? (Rrëshqitje) (Figura tregon një figurë të sheshtë.)

Çfarë tregohet në foton e dytë? A është e sheshtë kjo shifër? (Rrëshqitje) (Figura tregon një figurë tre-dimensionale.)

në hapësirë, në tokë dhe në Jeta e përditshme ne takohemi jo vetëm me figura të sheshta, por edhe me ato tredimensionale, por si të llogarisim vëllimin e trupave të tillë? Për shembull, vëllimi i një planeti, një komete, një meteori etj.

– Mendoni për vëllimin dhe ndërtimin e shtëpive dhe derdhjen e ujit nga një enë në tjetrën. Duhet të kishin lindur rregullat dhe metodat për llogaritjen e vëllimeve, tjetër gjë është se sa të sakta dhe të justifikuara ishin.

Mesazhi i studentit. (Tyurina Vera.)

Viti 1612 ishte shumë i frytshëm për banorët e qytetit austriak të Linzit, ku jetonte astronomi i njohur i atëhershëm Johannes Kepler, veçanërisht për rrushin. Njerëzit po përgatisnin fuçi vere dhe donin të dinin se si të përcaktonin praktikisht vëllimet e tyre. (Rrëshqitja 2)

- Kështu, veprat e konsideruara të Keplerit shënuan fillimin e një rryme të tërë kërkimesh, e cila kulmoi në çerekun e fundit të shekullit të 17-të. dizajni në veprat e I. Newton dhe G.V. Njehsimi diferencial dhe integral i Leibniz-it. Që nga ajo kohë, matematika e variablave të madhësisë ka zënë një vend kryesor në sistemin e njohurive matematikore.

- Pra, sot ne do të angazhohemi në aktivitete të tilla praktike, prandaj,

Tema e mësimit tonë: "Llogaritja e vëllimeve të trupave të revolucionit duke përdorur një integral të caktuar". (Rrëshqitje)

- Do të mësoni përkufizimin e një trupi revolucioni duke kryer detyrën e mëposhtme.

"Labirinti".

Labyrinth (fjala greke) do të thotë kalim në birucë. Një labirint është një rrjet i ndërlikuar i shtigjeve, kalimeve, dhomave që komunikojnë me njëra-tjetrën.

Por përkufizimi "u rrëzua", pati sugjerime në formën e shigjetave.

Ushtrimi. Gjeni një rrugëdalje nga situata konfuze dhe shkruani përkufizimin.

Rrëshqitje. “Kartë udhëzuese” Llogaritja e vëllimeve.

Duke përdorur një integral të caktuar, ju mund të llogarisni vëllimin e një trupi, në veçanti, një trup rrotullues.

Një trup rrotullues është një trup i përftuar duke rrotulluar një trapezoid lakor rreth bazës së tij (Fig. 1, 2)

Vëllimi i një trupi rrotullues llogaritet me një nga formulat:

1. rreth boshtit x.

2. , nëse rrotullimi i trapezit lakor rreth boshtit y.

Çdo student merr një kartë udhëzimi. Mësuesi/ja thekson pikat kryesore.

Mësuesi/ja shpjegon zgjidhjen e shembujve në dërrasën e zezë.

Konsideroni një fragment nga përralla e famshme e A. S. Pushkin "Përralla e Car Saltan, e djalit të tij të lavdishëm dhe të fuqishëm Princit Gvidon Saltanovich dhe Princeshës së bukur Lebed" (Rrëshqitja 4):

…..
Dhe solli një lajmëtar të dehur
Në të njëjtën ditë, porosia është:
Cari urdhëron djemtë e tij,
Duke mos humbur kohë,
Dhe mbretëresha dhe pasardhësit
Hidhet fshehurazi në humnerën e ujërave.”
Nuk ka asgjë për të bërë: djemtë,
Duke vajtuar për sovranin
Dhe mbretëresha e re
Një turmë erdhi në dhomën e saj të gjumit.
Deklaroi testamentin mbretëror -
Ajo dhe djali i saj kanë një fat të keq,
Lexoni dekretin me zë të lartë
Dhe mbretëresha në të njëjtën kohë
Më futën në një fuçi me djalin tim,
U lut, u rrotullua
Dhe ata më lanë në okian -
Kështu urdhëroi Car Saltan.

Sa duhet të jetë vëllimi i fuçisë në mënyrë që mbretëresha dhe djali i saj të mund të futen në të?

– Merrni parasysh detyrat e mëposhtme

1. Gjeni vëllimin e trupit të marrë nga rrotullimi rreth boshtit y të një trapezi lakor të kufizuar me vija: x 2 + y 2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.

Përgjigje: 1163 cm 3 .

Gjeni vëllimin e trupit të marrë nga rrotullimi i një trapezi parabolik rreth abshisës y = , x = 4, y = 0.

IV. Rregullimi i materialit të ri

Shembulli 2. Llogaritni vëllimin e trupit të formuar nga rrotullimi i petalit rreth boshtit x y \u003d x 2, y 2 \u003d x.

Le të vizatojmë grafikët e funksionit. y=x2, y2=x. Orari y 2 = x transformohen në formë y= .

Ne kemi V \u003d V 1 - V 2 Le të llogarisim vëllimin e secilit funksion

- Tani, le të shohim kullën për një stacion radio në Moskë në Shabolovka, e ndërtuar sipas projektit të një inxhinieri të mrekullueshëm rus, akademik nderi V. G. Shukhov. Ai përbëhet nga pjesë - hiperboloidë të revolucionit. Për më tepër, secila prej tyre është bërë nga shufra metalike drejtvizore që lidhin rrathët ngjitur (Fig. 8, 9).

- Merreni parasysh problemin.

Gjeni vëllimin e trupit të marrë nga rrotullimi i harqeve të hiperbolës rreth boshtit të tij imagjinar, siç tregohet në Fig. 8, ku

kubik njësive

Detyrat në grup. Nxënësit hedhin short me detyra, bëhen vizatime në letër whatman, një nga përfaqësuesit e grupit mbron punën.

Grupi 1.

Goditi! Goditi! Një tjetër hit!
Një top fluturon në portë - BALL!
Dhe ky është një top shalqi
E gjelbër, e rrumbullakët, e shijshme.
Shikoni më mirë - çfarë topi!
Ai përbëhet nga rrathë.
Pritini në rrathë shalqinin
Dhe shijoni ato.

Gjeni vëllimin e një trupi të marrë nga rrotullimi rreth boshtit OX të një funksioni të kufizuar nga

Gabim! Faqerojtësi nuk është i përcaktuar.

- Më thuaj, të lutem, ku takohemi me këtë figurë?

Shtëpia. detyrë për grupin 1. CILINDRI (rrëshqitje) .

"Cilindër - çfarë është?" e pyeta babin.
Babai qeshi: Kapela e sipërme është kapelë.
Për të pasur një ide të saktë,
Cilindri, le të themi, është një kanaçe.
Tubi i avullit është një cilindër,
Tubi në çatinë tonë, gjithashtu,

Të gjithë tubat janë të ngjashëm me një cilindër.
Dhe unë dhashë një shembull si ky -
Kaleidoskopi im i dashur
Ju nuk mund t'i hiqni sytë nga ai.
Ajo gjithashtu duket si një cilindër.

- Ushtrimi. Detyrë shtëpie për të vizatuar një funksion dhe për të llogaritur volumin.

Grupi i 2-të. KONI (rrëshqitje).

Mami tha: Dhe tani
Rreth konit do të jetë historia ime.
Stargazer me një kapak të lartë
Numëron yjet gjatë gjithë vitit.
KON - kapele e yjeve.
Kështu është ai. Kuptohet? Kjo eshte.
Mami ishte në tavolinë
Ajo derdhi vaj në shishe.
- Ku është hinka? Asnjë gyp.
Shikoni. Mos qëndroni mënjanë.
- Mami, nuk do të lëviz nga vendi,
Më trego më shumë për konin.
- Hinka është në formën e një koni të një kanaçe uji.
Hajde, më gjej shpejt.
Nuk e gjeta hinkën
Por nëna bëri një çantë,
Mbështilleni kartonin rreth gishtit tuaj
Dhe e fiksuar me shkathtësi me një kapëse letre.
Vaji po derdhet, mami është i lumtur
Koni doli ashtu siç duhet.

Ushtrimi. Njehsoni vëllimin e trupit të marrë nga rrotullimi rreth boshtit x

Shtëpia. detyrë për grupin e dytë. PIRAMIDA(rrëshqitje).

Unë pashë foton. Ne kete pikture
Ka një PIRAMIdë në shkretëtirën me rërë.
Gjithçka në piramidë është e jashtëzakonshme,
Ka disa mister dhe mister në të.
Kulla Spasskaya në Sheshin e Kuq
Të dy fëmijët dhe të rriturit janë të njohur.
Shikoni kullën - e zakonshme në pamje,
Çfarë ka mbi të? Piramida!

Ushtrimi. Detyrë shtëpie vizatoni një funksion dhe llogarisni vëllimin e piramidës

- Llogaritëm vëllimet e trupave të ndryshëm bazuar në formulën bazë për vëllimet e trupave duke përdorur integralin.

Ky është një tjetër konfirmim se integrali i caktuar është një bazë për studimin e matematikës.

"Tani le të pushojmë pak."

Gjeni një çift.

Luhet melodia matematikore e dominosë.

"Rruga që ai vetë po kërkonte nuk do të harrohet kurrë ..."

Punë kërkimore. Zbatimi i integralit në ekonomi dhe teknologji.

Teste për nxënës të fortë dhe futboll matematikor.

Simulator matematike.

2. Bashkësia e të gjithë antiderivave të një funksioni të caktuar quhet

A) një integral i pacaktuar

B) funksioni,

B) diferencimi.

7. Gjeni vëllimin e trupit të marrë nga rrotullimi rreth boshtit të abshisave të një trapezi lakor të kufizuar me vija:

D/Z. Llogaritni vëllimet e trupave të revolucionit.

Reflektimi.

Pranimi i reflektimit në formë shoqërues(pesë rreshta).

Rreshti i parë - emri i temës (një emër).

Rreshti i dytë - një përshkrim i temës me pak fjalë, dy mbiemra.

Rreshti i tretë - një përshkrim i veprimit brenda kësaj teme me tre fjalë.

Rreshti i 4 - një frazë prej katër fjalësh, tregon qëndrimin ndaj temës (një fjali e tërë).

Rreshti i 5-të është një sinonim që përsërit thelbin e temës.

1. Vëllimi.
2. Funksion integral i caktuar, i integrueshëm.
3. Ne ndërtojmë, rrotullojmë, llogarisim.
4. Trup i përftuar nga rrotullimi i një trapezi lakor (rreth bazës së tij).
5. Trupi i revolucionit (trup gjeometrik 3D).

konkluzioni (rrëshqitje).

• Një integral i caktuar është një lloj themeli për studimin e matematikës, i cili jep një kontribut të domosdoshëm në zgjidhjen e problemeve me përmbajtje praktike.
• Tema “Integrali” tregon qartë lidhjen mes matematikës dhe fizikës, biologjisë, ekonomisë dhe teknologjisë.
• Zhvillimi i shkencës moderne është i paimagjinueshëm pa përdorimin e integralit. Në këtë drejtim, është e nevojshme të fillohet studimi i tij në kuadër të arsimit të mesëm të specializuar!

Notimi. (Me koment.)

I madhi Omar Khayyam është një matematikan, poet dhe filozof. Ai thërret të jetë zotërues i fatit të tij. Dëgjoni një fragment nga puna e tij:

Ju thoni se kjo jetë është vetëm një moment.
Vlerësoni atë, merrni frymëzim prej tij.
Si ta shpenzoni, ashtu do të kalojë.
Mos harroni: ajo është krijimi juaj.