Përgatitja për shkollë

Si të mësoni të zgjidhni një progresion aritmetik. Algjebra: Progresione aritmetike dhe gjeometrike. Shuma e një progresion aritmetik

Për shembull, sekuenca \(2\); \(5\); \(8\); \(njëmbëdhjetë\); \(14\)… është një progresion aritmetik, sepse çdo element tjetër ndryshon nga ai i mëparshmi me tre (mund të merret nga ai i mëparshmi duke shtuar tre):

Në këtë progresion, diferenca \(d\) është pozitive (e barabartë me \(3\)), dhe për këtë arsye çdo term tjetër është më i madh se ai i mëparshmi. Përparime të tilla quhen në rritje.

Megjithatë, \(d\) gjithashtu mund të jetë numër negativ. Për shembull, në progresion aritmetik \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)… ndryshimi i progresionit \(d\) është i barabartë me minus gjashtë.

Dhe në këtë rast, çdo element tjetër do të jetë më i vogël se ai i mëparshmi. Këto përparime quhen në rënie.

Shënimi aritmetik i progresionit

Përparimi shënohet me një shkronjë të vogël latine.

Numrat që formojnë një progresion quhen ai anëtarët(ose elemente).

Ato shënohen me të njëjtën shkronjë si progresioni aritmetik, por me një indeks numerik të barabartë me numrin e elementit sipas radhës.

Për shembull, progresioni aritmetik \(a_n = \majtas\( 2; 5; 8; 11; 14…\djathtas\)\) përbëhet nga elementet \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) dhe kështu me radhë.

Me fjalë të tjera, për progresionin \(a_n = \majtas\(2; 5; 8; 11; 14…\djathtas\)\)

Zgjidhja e problemeve në një progresion aritmetik

Në parim, informacioni i mësipërm është tashmë i mjaftueshëm për të zgjidhur pothuajse çdo problem në një progresion aritmetik (përfshirë ato të ofruara në OGE).

Shembull (OGE). Progresioni aritmetik dhënë nga kushtet \(b_1=7; d=4\). Gjeni \(b_5\).
Zgjidhja:

Përgjigje: \(b_5=23\)

Shembull (OGE). Janë dhënë tre termat e parë të një progresioni aritmetik: \(62; 49; 36…\) Gjeni vlerën e termit të parë negativ të këtij progresioni..
Zgjidhja:

	Na janë dhënë elementët e parë të sekuencës dhe e dimë se është një progresion aritmetik. Kjo do të thotë, çdo element ndryshon nga ai fqinj me të njëjtin numër. Zbuloni se cilin duke zbritur atë të mëparshëm nga elementi tjetër: \(d=49-62=-13\).
	Tani mund të rivendosim përparimin tonë në elementin e dëshiruar (të parë negativ).
	Gati. Ju mund të shkruani një përgjigje.

Përgjigje: \(-3\)

Shembull (OGE). Janë dhënë disa elemente të njëpasnjëshme të një progresion aritmetik: \(...5; x; 10; 12.5...\) Gjeni vlerën e elementit të shënuar me shkronjën \(x\).
Zgjidhja:

	Për të gjetur \(x\), duhet të dimë se sa ndryshon elementi tjetër nga ai i mëparshmi, me fjalë të tjera, ndryshimi i progresionit. Le ta gjejmë atë nga dy elementë fqinjë të njohur: \(d=12,5-10=2,5\).
	Dhe tani gjejmë atë që kërkojmë pa asnjë problem: \(x=5+2.5=7.5\).
	Gati. Ju mund të shkruani një përgjigje.

Përgjigje: \(7,5\).

Shembull (OGE). Progresioni aritmetik jepet nga kushtet e mëposhtme: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Gjeni shumën e gjashtë anëtarëve të parë të këtij progresioni.
Zgjidhja:

Duhet të gjejmë shumën e gjashtë termave të parë të progresionit. Por ne nuk i dimë kuptimet e tyre, na jepet vetëm elementi i parë. Prandaj, ne fillimisht llogarisim vlerat me radhë, duke përdorur atë që na është dhënë:

\(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\)
\(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\)
\(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\)
Dhe pasi kemi llogaritur gjashtë elementët që na duhen, gjejmë shumën e tyre.

\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\)
\(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)

Shuma e kërkuar është gjetur.

Përgjigje: \(S_6=9\).

Shembull (OGE). Në progresion aritmetik \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Gjeni ndryshimin e këtij përparimi.
Zgjidhja:

Përgjigje: \(d=7\).

Formula të rëndësishme të progresionit aritmetik

Siç mund ta shihni, shumë probleme të progresionit aritmetik mund të zgjidhen thjesht duke kuptuar gjënë kryesore - që një progresion aritmetik është një zinxhir numrash, dhe çdo element tjetër në këtë zinxhir merret duke shtuar të njëjtin numër me atë të mëparshëm (ndryshimi e progresionit).

Megjithatë, ndonjëherë ka situata kur është shumë e papërshtatshme për të zgjidhur "në ballë". Për shembull, imagjinoni që në shembullin e parë, nuk duhet të gjejmë elementin e pestë \(b_5\), por treqind e tetëdhjetë e gjashtën \(b_(386)\). Çfarë është ajo, ne \ (385 \) herë për të shtuar katër? Ose imagjinoni që në shembullin e parafundit, duhet të gjeni shumën e shtatëdhjetë e tre elementëve të parë. Numërimi është konfuz...

Prandaj, në raste të tilla, ata nuk zgjidhin "në ballë", por përdorin formula të veçanta të nxjerra për progresion aritmetik. Dhe kryesoret janë formula për termin e n-të të progresionit dhe formula për shumën \(n\) të termave të parë.

Formula për anëtarin \(n\)th: \(a_n=a_1+(n-1)d\), ku \(a_1\) është anëtari i parë i progresionit;
\(n\) – numri i elementit të kërkuar;
\(a_n\) është një anëtar i progresionit me numrin \(n\).

Kjo formulë na lejon të gjejmë shpejt të paktën elementin e treqindtë, madje edhe të miliontë, duke ditur vetëm ndryshimin e parë dhe të progresionit.

Shembull. Progresioni aritmetik jepet nga kushtet: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Gjeni \(b_(246)\).
Zgjidhja:

Përgjigje: \(b_(246)=1850\).

Formula për shumën e n termave të parë është: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), ku

\(a_n\) është termi i fundit i përmbledhur;

Shembull (OGE). Progresioni aritmetik jepet nga kushtet \(a_n=3.4n-0.6\). Gjeni shumën e termave të parë \(25\) të këtij progresioni.
Zgjidhja:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		Për të llogaritur shumën e njëzet e pesë elementëve të parë, duhet të dimë vlerën e termit të parë dhe të njëzetepestë. Progresioni ynë jepet nga formula e termit të n-të në varësi të numrit të tij (shih detajet). Le të llogarisim elementin e parë duke zëvendësuar \(n\) me një.
\(n=1;\) \(a_1=3.4 1-0.6=2.8\)		Tani le të gjejmë termin e njëzet e pestë duke zëvendësuar njëzet e pesë në vend të \(n\).
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4 25-0,6=84,4\)		Epo, tani ne llogarisim shumën e kërkuar pa asnjë problem.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2,8+84,4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		Përgjigja është gati.

Përgjigje: \(S_(25)=1090\).

Për shumën \(n\) të termave të parë, mund të merrni një formulë tjetër: thjesht duhet të \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) në vend të \(a_n\) zëvendëso formulën për të \(a_n=a_1+(n-1)d\). Ne marrim:

Formula për shumën e n termave të parë është: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), ku

\(S_n\) – shuma e kërkuar \(n\) e elementeve të parë;
\(a_1\) është termi i parë që përmblidhet;
\(d\) – ndryshimi i progresionit;
\(n\) - numri i elementeve në shumë.

Shembull. Gjeni shumën e termave të parë \(33\)-ex të progresionit aritmetik: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Zgjidhja:

Përgjigje: \(S_(33)=-231\).

Probleme më komplekse të progresionit aritmetik

Tani keni të gjithë informacionin që ju nevojitet për të zgjidhur pothuajse çdo problem të progresionit aritmetik. Le ta përfundojmë temën duke shqyrtuar problemet në të cilat duhet jo vetëm të aplikoni formula, por edhe të mendoni pak (në matematikë, kjo mund të jetë e dobishme ☺)

Shembull (OGE). Gjeni shumën e të gjithë termave negativë të progresionit: \(-19.3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Zgjidhja:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		Detyra është shumë e ngjashme me atë të mëparshme. Fillojmë të zgjidhim në të njëjtën mënyrë: së pari gjejmë \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\)		Tani do të zëvendësonim \(d\) në formulën për shumën ... dhe këtu shfaqet një nuancë e vogël - nuk e dimë \(n\). Me fjalë të tjera, ne nuk e dimë se sa terma do të duhet të shtohen. Si të zbuloni? Le të mendojmë. Ne do të ndalojmë shtimin e elementeve kur të arrijmë te elementi i parë pozitiv. Kjo do të thotë, ju duhet të zbuloni numrin e këtij elementi. Si? Le të shkruajmë formulën për llogaritjen e çdo elementi të një progresion aritmetik: \(a_n=a_1+(n-1)d\) për rastin tonë.
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19,3+(n-1) 0,3\)		Na duhet që \(a_n\) të jetë më e madhe se zero. Le të zbulojmë se për çfarë \(n\) do të ndodhë kjo.
\(-19,3+(n-1) 0,3>0\)
\((n-1) 0.3>19.3\) \(\|: 0.3\)		Ne i ndajmë të dy anët e pabarazisë me \(0,3\).
\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\)		Ne transferojmë minus një, duke mos harruar të ndryshojmë shenja
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\)		Duke llogaritur...
\(n>65,333…\)		…dhe rezulton se elementi i parë pozitiv do të ketë numrin \(66\). Prandaj, negativi i fundit ka \(n=65\). Për çdo rast, le ta kontrollojmë.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19.3+(65-1) 0.3=-0.1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19.3+(66-1) 0.3=0.2\)		Kështu, ne duhet të shtojmë elementët e parë \(65\).
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38.6+19.2)(2)\)\(\cdot 65=-630.5\)		Përgjigja është gati.

Përgjigje: \(S_(65)=-630,5\).

Shembull (OGE). Progresioni aritmetik jepet nga kushtet: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Gjeni shumën nga \(26\)th deri në \(42\) duke përfshirë elementin.
Zgjidhja:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	Në këtë problem, ju gjithashtu duhet të gjeni shumën e elementeve, por duke u nisur jo nga e para, por nga \(26\)th. Ne nuk kemi një formulë për këtë. Si të vendosni? Lehtë - për të marrë shumën nga \(26\)th në \(42\)th, së pari duhet të gjeni shumën nga \(1\)th në \(42\)th, dhe më pas të zbrisni prej saj shumën nga i pari në \ (25 \) th (shih foton).
	Për progresionin tonë \(a_1=-33\), dhe ndryshimin \(d=4\) (në fund të fundit, ne i shtojmë katër elementit të mëparshëm për të gjetur tjetrin). Duke e ditur këtë, gjejmë shumën e elementeve të parë \(42\)-uh.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Tani shuma e elementeve të parë \(25\)-të.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	Dhe së fundi, ne llogarisim përgjigjen.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Përgjigje: \(S=1683\).

Për një progresion aritmetik, ka disa formula të tjera që nuk i kemi shqyrtuar në këtë artikull për shkak të dobisë së tyre të ulët praktike. Megjithatë, ju mund t'i gjeni lehtësisht.

Koncepti i një sekuence numerike nënkupton që çdo numër natyror korrespondon me një vlerë reale. Një seri e tillë numrash mund të jetë arbitrare dhe të ketë veti të caktuara - një progresion. Në rastin e fundit, çdo element (anëtar) pasues i sekuencës mund të llogaritet duke përdorur atë të mëparshëm.

Një progresion aritmetik është një sekuencë vlerash numerike në të cilat anëtarët e tij fqinjë ndryshojnë nga njëri-tjetri me të njëjtin numër (të gjithë elementët e serisë, duke filluar nga i dyti, kanë një pronë të ngjashme). Ky numër - diferenca midis anëtarit të mëparshëm dhe të mëpasshëm - është konstant dhe quhet ndryshim i progresionit.

Diferenca e Progresionit: Përkufizim

Konsideroni një sekuencë të përbërë nga vlerat j - A = a (1), a (2), a (3), a (4) ... a (j), j i përket grupit numrat natyrorë N. Një progresion aritmetik, sipas përkufizimit të tij, është një sekuencë në të cilën a (3) - a (2) = a (4) - a (3) = a (5) - a (4) = ... = a(j) – a(j-1) = d. Vlera e d është diferenca e dëshiruar e këtij progresioni.

d = a (j) - a (j-1).

Alokoni:

Një progresion në rritje, në të cilin rast d > 0. Shembull: 4, 8, 12, 16, 20, ...
zvogëlimi i progresionit, pastaj d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

Dallimi i progresionit dhe elementet e tij arbitrare

Nëse njihen 2 anëtarë arbitrarë të progresionit (i-të, k-të), atëherë ndryshimi për këtë sekuencë mund të përcaktohet bazuar në relacionin:

a(i) = a(k) + (i - k)*d, pra d = (a(i) - a(k))/(i-k).

Dallimi i progresionit dhe termi i tij i parë

Kjo shprehje do të ndihmojë në përcaktimin e vlerës së panjohur vetëm në rastet kur dihet numri i elementit të sekuencës.

Diferenca e progresionit dhe shuma e tij

Shuma e një progresion është shuma e termave të tij. Për të llogaritur vlerën totale të elementeve të tij të parë j, përdorni formulën përkatëse:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, por meqenëse a(j) = a(1) + d(j – 1), pastaj S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(– 1))/2)*j.

Matematika ka bukurinë e vet, ashtu si piktura dhe poezia.

Shkencëtari rus, mekanik N.E. Zhukovsky

Detyra shumë të zakonshme provimet pranuese në matematikë janë detyra që lidhen me konceptin e një progresion aritmetik. Për të zgjidhur me sukses probleme të tilla, është e nevojshme të njihen mirë vetitë e një progresion aritmetik dhe të ketë aftësi të caktuara në zbatimin e tyre.

Le të kujtojmë fillimisht vetitë kryesore të një progresion aritmetik dhe të paraqesim formulat më të rëndësishme, lidhur me këtë koncept.

Përkufizimi. Sekuenca numerike, në të cilin çdo term i mëpasshëm ndryshon nga ai i mëparshmi me të njëjtin numër, quhet progresion aritmetik. Në të njëjtën kohë, numriquhet dallimi i progresionit.

Për një progresion aritmetik, formulat janë të vlefshme

, (1)

Ku . Formula (1) quhet formula e termit të përbashkët të një progresion aritmetik, dhe formula (2) është vetia kryesore e një progresion aritmetik: çdo anëtar i progresionit përkon me mesataren aritmetike të anëtarëve të tij fqinjë dhe .

Vini re se është pikërisht për shkak të kësaj vetie që progresioni në shqyrtim quhet "aritmetik".

Formulat (1) dhe (2) më sipër janë përmbledhur si më poshtë:

(3)

Për të llogaritur shumën së pari anëtarët e një progresion aritmetikzakonisht përdoret formula

(5) ku dhe .

Nëse marrim parasysh formulën (1), atëherë formula (5) nënkupton

Nëse caktojmë

Ku . Meqenëse , atëherë formulat (7) dhe (8) janë një përgjithësim i formulave përkatëse (5) dhe (6).

Veçanërisht , nga formula (5) rrjedh, Çfarë

Ndër gjërat pak të njohura për shumicën e studentëve është vetia e një progresion aritmetik, të formuluar me anë të teoremës së mëposhtme.

Teorema. Nese atehere

Dëshmi. Nese atehere

Teorema është vërtetuar.

Për shembull , duke përdorur teoremën, mund të tregohet se

Le të kalojmë në shqyrtimin e shembujve tipikë të zgjidhjes së problemeve në temën "Progresioni aritmetik".

Shembulli 1 Le dhe . Gjej .

Zgjidhje. Duke aplikuar formulën (6), marrim . Që dhe , atëherë ose .

Shembulli 2 Lëreni tre herë më shumë, dhe kur pjesëtohet me në herës, del 2 dhe mbetja është 8. Përcaktoni dhe.

Zgjidhje. Sistemi i ekuacioneve rrjedh nga gjendja e shembullit

Meqenëse , , dhe , atëherë nga sistemi i ekuacioneve (10) marrim

Zgjidhja e këtij sistemi ekuacionesh janë dhe .

Shembulli 3 Gjeni nëse dhe .

Zgjidhje. Sipas formulës (5), kemi ose . Megjithatë, duke përdorur pronën (9), marrim .

Që dhe , pastaj nga barazia vijon ekuacioni ose .

Shembulli 4 Gjeni nëse.

Zgjidhje.Me formulën (5) kemi

Megjithatë, duke përdorur teoremën, mund të shkruhet

Nga këtu dhe nga formula (11) marrim .

Shembulli 5. Jepet: . Gjej .

Zgjidhje. Që atëherë. Megjithatë, prandaj.

Shembulli 6 Le , dhe . Gjej .

Zgjidhje. Duke përdorur formulën (9), marrim . Prandaj, nëse , atëherë ose .

Që nga dhe atëherë këtu kemi një sistem ekuacionesh

Duke zgjidhur cilin, marrim dhe .

Rrënja natyrore e ekuacionitështë .

Shembulli 7 Gjeni nëse dhe .

Zgjidhje. Meqenëse sipas formulës (3) kemi atë , atëherë sistemi i ekuacioneve rrjedh nga gjendja e problemit

Nëse e zëvendësojmë shprehjennë ekuacionin e dytë të sistemit, atëherë marrim ose .

Të rrënjosura ekuacioni kuadratik janë Dhe .

Le të shqyrtojmë dy raste.

1. Le , atëherë . Që dhe atëherë.

Në këtë rast, sipas formulës (6), kemi

2. Nëse , atëherë , dhe

Përgjigje: dhe.

Shembulli 8 Dihet se dhe Gjej .

Zgjidhje. Duke marrë parasysh formulën (5) dhe gjendjen e shembullit, shkruajmë dhe .

Kjo nënkupton sistemin e ekuacioneve

Nëse e shumëzojmë ekuacionin e parë të sistemit me 2, dhe pastaj e shtojmë atë në ekuacionin e dytë, marrim

Sipas formulës (9), kemi. Në lidhje me këtë, nga (12) vijon ose .

Që dhe atëherë.

Përgjigje:.

Shembulli 9 Gjeni nëse dhe .

Zgjidhje. Që , dhe sipas kushtit , atëherë ose .

Nga formula (5) dihet, Çfarë . Që atëherë.

Prandaj , këtu kemi një sistem ekuacionesh lineare

Nga këtu marrim dhe . Duke marrë parasysh formulën (8), shkruajmë .

Shembulli 10 Zgjidhe ekuacionin.

Zgjidhje. Nga ekuacioni i dhënë vijon se . Le të supozojmë se , , dhe . Në këtë rast .

Sipas formulës (1), mund të shkruajmë ose .

Meqenëse, ekuacioni (13) ka një rrënjë unike të përshtatshme.

Shembulli 11. Gjeni vlerën maksimale me kusht që dhe .

Zgjidhje. Meqenëse , atëherë progresioni i konsideruar aritmetik po zvogëlohet. Në këtë drejtim, shprehja merr një vlerë maksimale kur është numri i anëtarit minimal pozitiv të progresionit.

Ne përdorim formulën (1) dhe faktin, e cila dhe . Pastaj marrim atë ose .

Sepse, atëherë ose . Megjithatë, në këtë pabarazinumri më i madh natyror, Kjo është arsyeja pse.

Nëse vlerat dhe zëvendësohen në formulën (6), atëherë marrim .

Përgjigje:.

Shembulli 12. Gjeni shumën e të gjithë numrave natyrorë dyshifrorë që, kur pjesëtohet me 6, kanë një mbetje prej 5.

Zgjidhje. Shënoni me bashkësinë e të gjithë numrave natyrorë me dy vlera, d.m.th. . Më pas, ne ndërtojmë një nëngrup të përbërë nga ata elementë (numra) të grupit që, kur ndahet me numrin 6, japin një mbetje prej 5.

Lehtë për t'u instaluar, Çfarë . padyshim, që elementet e grupitformojnë një progresion aritmetik, në të cilën dhe .

Për të përcaktuar kardinalitetin (numrin e elementeve) të grupit, supozojmë se . Meqenëse dhe , atëherë formula (1) nënkupton ose . Duke marrë parasysh formulën (5), marrim .

Shembujt e mësipërm të zgjidhjes së problemeve nuk mund të pretendojnë aspak se janë shterues. Ky artikull bazohet në analizë metodat moderne zgjidhjen e problemeve tipike për një temë të caktuar. Për një studim më të thellë të metodave për zgjidhjen e problemeve që lidhen me progresionin aritmetik, këshillohet t'i referoheni listës së literaturës së rekomanduar.

1. Mbledhja e detyrave në matematikë për aplikantët në universitetet teknike / Ed. M.I. Skanavi. - M .: Bota dhe arsimi, 2013. - 608 f.

2. Suprun V.P. Matematika për nxënësit e shkollave të mesme: seksione shtesë kurrikula shkollore. – M.: Lenand / URSS, 2014. - 216 f.

3. Medynsky M.M. Një kurs i plotë i matematikës elementare në detyra dhe ushtrime. Libri 2: Sekuencat e numrave dhe përparimet. – M.: Editus, 2015. - 208 f.

A keni ndonjë pyetje?

Për të marrë ndihmën e një tutori - regjistrohuni.

faqe, me kopjim të plotë ose të pjesshëm të materialit, kërkohet një lidhje me burimin.

Shuma e një progresion aritmetik.

Shuma e një progresion aritmetik është një gjë e thjeshtë. Si në kuptim ashtu edhe në formulë. Por ka të gjitha llojet e detyrave për këtë temë. Nga elementare në mjaft solide.

Së pari, le të merremi me kuptimin dhe formulën e shumës. Dhe pastaj do të vendosim. Për kënaqësinë tuaj.) Kuptimi i shumës është aq i thjeshtë sa ulja. Për të gjetur shumën e një progresion aritmetik, ju vetëm duhet të shtoni me kujdes të gjithë anëtarët e tij. Nëse këto terma janë të pakta, mund të shtoni pa formula. Por nëse ka shumë, ose shumë ... shtimi është i bezdisshëm.) Në këtë rast, formula kursen.

Formula e shumës është e thjeshtë:

Le të kuptojmë se çfarë lloj shkronjash përfshihen në formulë. Kjo do të sqarojë shumë.

S n është shuma e një progresion aritmetik. Rezultati i shtimit të gjitha anëtarët, me së pari Nga e fundit.Është e rëndësishme. Shtoni saktësisht Të gjitha anëtarë në një rresht, pa boshllëqe dhe kërcime. Dhe, pikërisht, duke filluar nga së pari. Në probleme si gjetja e shumës së termave të tretë dhe të tetë, ose shuma e termave pesë deri në të njëzetat, zbatimi i drejtpërdrejtë i formulës do të jetë zhgënjyes.)

a 1 - së pari anëtar i progresionit. Gjithçka është e qartë këtu, është e thjeshtë së pari numri i rreshtit.

a n- e fundit anëtar i progresionit. Numri i fundit i rreshtit. Një emër jo shumë i njohur, por, kur aplikohet për sasinë, është shumë i përshtatshëm. Atëherë do ta shihni vetë.

n është numri i anëtarit të fundit. Është e rëndësishme të kuptohet se në formulë ky numër përkon me numrin e anëtarëve të shtuar.

Le të përcaktojmë konceptin e fundit anëtar a n. Pyetja plotësuese: çfarë lloj anëtari do e fundit, nëse jepet pafund progresion aritmetik?

Për një përgjigje të sigurt, ju duhet të kuptoni kuptimin elementar të një progresion aritmetik dhe ... lexoni detyrën me kujdes!)

Në detyrën e gjetjes së shumës së një progresion aritmetik, termi i fundit shfaqet gjithmonë (drejtpërsëdrejti ose indirekt), e cila duhet të jetë e kufizuar. Përndryshe, një sasi e kufizuar, specifike thjesht nuk ekziston. Për zgjidhjen, nuk ka rëndësi se çfarë lloj përparimi është dhënë: i fundëm apo i pafund. Nuk ka rëndësi se si jepet: nga një seri numrash, apo nga formula e anëtarit të n-të.

Gjëja më e rëndësishme është të kuptojmë se formula funksionon nga termi i parë i progresionit në termin me numër n. Në fakt, emri i plotë i formulës duket si ky: shuma e n termave të parë të një progresion aritmetik. Numri i këtyre anëtarëve të parë, d.m.th. n, përcaktohet vetëm nga detyra. Në detyrë, i gjithë ky informacion i vlefshëm shpesh është i koduar, po ... Por asgjë, në shembujt më poshtë do t'i zbulojmë këto sekrete.)

Shembuj detyrash për shumën e një progresion aritmetik.

Para së gjithash, informacione të dobishme:

Vështirësia kryesore në detyrat për shumën e një progresion aritmetik është përcaktimi i saktë i elementeve të formulës.

Autorët e detyrave i kodojnë këto elemente me imagjinatë të pakufishme.) Gjëja kryesore këtu është të mos kesh frikë. Duke kuptuar thelbin e elementeve, mjafton vetëm t'i deshifroni ato. Le të hedhim një vështrim në disa shembuj në detaje. Le të fillojmë me një detyrë të bazuar në një GIA të vërtetë.

1. Progresioni aritmetik jepet me kushtin: a n = 2n-3.5. Gjeni shumën e 10 termave të parë.

Punë e mirë. Lehtë.) Për të përcaktuar sasinë sipas formulës, çfarë duhet të dimë? Anëtari i Parë a 1, termi i fundit a n, po numri i mandatit të fundit n.

Ku mund të merrni numrin e fundit të anëtarit n? Po, atje, në gjendje! Thotë gjeje shumën 10 anëtarët e parë. Epo, çfarë numri do të jetë e fundit, anëtari i dhjetë?) Nuk do ta besoni, numri i tij është i dhjeti!) Prandaj, në vend të a n ne do të zëvendësojmë në formulë një 10, por në vend të kësaj n- dhjetë. Përsëri, numri i anëtarit të fundit është i njëjtë me numrin e anëtarëve.

Mbetet për t'u përcaktuar a 1 Dhe një 10. Kjo llogaritet lehtësisht nga formula e termit të n-të, e cila është dhënë në deklaratën e problemit. Nuk dini si ta bëni atë? Vizitoni mësimin e mëparshëm, pa këtë - asgjë.

a 1= 2 1 - 3,5 = -1,5

një 10\u003d 2 10 - 3.5 \u003d 16.5

S n = S 10.

Zbuluam kuptimin e të gjithë elementëve të formulës për shumën e një progresion aritmetik. Mbetet për t'i zëvendësuar ato dhe për të numëruar:

Kjo është gjithçka që ka për të. Përgjigje: 75.

Një detyrë tjetër e bazuar në GIA. Pak më e ndërlikuar:

2. Jepet një progresion aritmetik (a n), diferenca e të cilit është 3,7; a 1 \u003d 2.3. Gjeni shumën e 15 termave të parë.

Ne shkruajmë menjëherë formulën e shumës:

Kjo formulë na lejon të gjejmë vlerën e çdo anëtari me numrin e tij. Ne po kërkojmë një zëvendësim të thjeshtë:

a 15 \u003d 2.3 + (15-1) 3.7 \u003d 54.1

Mbetet të zëvendësojmë të gjithë elementët në formulën për shumën e një progresion aritmetik dhe të llogarisim përgjigjen:

Përgjigje: 423.

Nga rruga, nëse në formulën e shumës në vend të a n thjesht zëvendësojmë formulën e termit të n-të, marrim:

Ne japim të ngjashme, marrim një formulë të re për shumën e anëtarëve të një progresion aritmetik:

Siç mund ta shihni, nuk ka nevojë anëtari i nëntë a n. Në disa detyra, kjo formulë ndihmon shumë, po... Ju mund ta mbani mend këtë formulë. Dhe thjesht mund ta tërhiqni atë në kohën e duhur, si këtu. Në fund të fundit, formula për shumën dhe formula për termin e n-të duhet të mbahet mend në çdo mënyrë.)

Tani detyra në formën e një kriptimi të shkurtër):

3. Gjeni shumën e të gjitha pozitiveve numra dyshifrorë, shumëfisha të tre.

Si! Asnjë anëtar i parë, asnjë i fundit, pa progres fare... Si të jetosh!?

Ju do të duhet të mendoni me kokën tuaj dhe të nxirrni nga kushti të gjithë elementët e shumës së një progresion aritmetik. Cilat janë numrat dyshifrorë - ne e dimë. Ato përbëhen nga dy numra.) Cili numër dyshifror do së pari? 10, me sa duket.) gjëja e fundit numër dyshifror? 99, sigurisht! Treshifrorët do ta ndjekin...

Shumëfisha të treshit... Hm... Këta janë numra që pjesëtohen në mënyrë të barabartë me tre, këtu! Dhjetë nuk pjesëtohet me tre, 11 nuk pjesëtohet... 12... pjesëtohet! Pra, diçka po shfaqet. Ju tashmë mund të shkruani një seri sipas gjendjes së problemit:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

A do të jetë kjo seri një progresion aritmetik? Sigurisht! Çdo term ndryshon nga ai i mëparshmi rreptësisht nga tre. Nëse termit i shtohet 2, ose 4, le të themi, rezultati, d.m.th. një numër i ri nuk do të ndahet më me 3. Ju mund të përcaktoni menjëherë ndryshimin e progresionit aritmetik në grumbull: d = 3. E dobishme!)

Pra, ne mund të shkruajmë me siguri disa parametra të përparimit:

Cili do të jetë numri n anëtari i fundit? Kushdo që mendon se 99 gabohet fatalisht ... Numrat - ata shkojnë gjithmonë në një rresht, dhe anëtarët tanë kërcejnë mbi tre të parët. Nuk përputhen.

Këtu ka dy zgjidhje. Një mënyrë është për super punëtorët. Mund të pikturosh progresionin, të gjithë serinë e numrave dhe të numërosh numrin e termave me gisht.) Mënyra e dytë është për ata që mendojnë. Ju duhet të mbani mend formulën për termin e n-të. Nëse formula zbatohet për problemin tonë, marrim se 99 është anëtari i tridhjetë i progresionit. ato. n = 30.

Ne shikojmë formulën për shumën e një progresion aritmetik:

Ne shikojmë dhe gëzohemi.) Ne nxorëm gjithçka që ishte e nevojshme për llogaritjen e shumës nga gjendja e problemit:

a 1= 12.

një 30= 99.

S n = S 30.

Ajo që mbetet është aritmetika elementare. Zëvendësoni numrat në formulë dhe llogarisni:

Përgjigje: 1665

Një lloj tjetër enigmash të njohura:

4. Është dhënë një progresion aritmetik:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Gjeni shumën e termave nga e njëzeta në të tridhjetë e katërt.

Ne shikojmë formulën e shumës dhe ... jemi të mërzitur.) Formula, më lejoni t'ju kujtoj, llogarit shumën nga e para anëtar. Dhe në problem ju duhet të llogaritni shumën që nga viti i njëzetë... Formula nuk do të funksionojë.

Ju, sigurisht, mund të pikturoni të gjithë përparimin me radhë dhe t'i vendosni anëtarët nga 20 në 34. Por ... disi rezulton marrëzi dhe për një kohë të gjatë, apo jo?)

Ekziston një zgjidhje më elegante. Le ta ndajmë serinë tonë në dy pjesë. Pjesa e parë do nga mandati i parë deri në të nëntëmbëdhjetë. Pjesa e dytë - njëzet deri në tridhjetë e katër.Është e qartë se nëse llogarisim shumën e termave të pjesës së parë S 1-19, ta shtojmë në shumën e anëtarëve të pjesës së dytë S 20-34, marrim shumën e progresionit nga termi i parë në të tridhjetë e katërt S 1-34. Si kjo:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Kjo tregon se për të gjetur shumën S 20-34 mund të bëhet me zbritje të thjeshtë

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

Të dyja shumat në anën e djathtë merren parasysh nga e para anëtar, d.m.th. formula standarde e shumës është mjaft e zbatueshme për ta. A po fillojmë?

Ne nxjerrim parametrat e progresionit nga kushti i detyrës:

d = 1,5.

a 1= -21,5.

Për të llogaritur shumat e 19 termave të parë dhe 34 termave të parë, do të na duhen termat e 19-të dhe të 34-të. I numërojmë sipas formulës së anëtarit të n-të, si në problemin 2:

një 19\u003d -21,5 + (19-1) 1,5 \u003d 5,5

a 34\u003d -21,5 + (34-1) 1,5 \u003d 28

Nuk ka mbetur asgjë. Zbrisni shumën e 19 termave nga shuma e 34 termave:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Përgjigje: 262.5

Një shënim i rëndësishëm! Ekziston një veçori shumë e dobishme në zgjidhjen e këtij problemi. Në vend të llogaritjes së drejtpërdrejtë çfarë ju nevojitet (S 20-34), kemi numëruar ajo që, siç duket, nuk është e nevojshme - S 1-19. Dhe pastaj ata vendosën S 20-34, duke hedhur poshtë të panevojshmen nga rezultati i plotë. Një "mashtrim me veshë" të tillë shpesh kursen në enigma të liga.)

Në këtë mësim, ne shqyrtuam probleme për të cilat mjafton të kuptojmë kuptimin e shumës së një progresion aritmetik. Epo, ju duhet të dini disa formula.)

Këshilla praktike:

Kur zgjidhni ndonjë problem për shumën e një progresion aritmetik, unë rekomandoj të shkruani menjëherë dy formulat kryesore nga kjo temë.

Formula e mandatit të nëntë:

Këto formula do t'ju tregojnë menjëherë se çfarë të kërkoni, në cilin drejtim të mendoni për të zgjidhur problemin. Ndihmon.

Dhe tani detyrat për zgjidhje të pavarur.

5. Gjeni shumën e të gjithë numrave dyshifrorë që nuk pjesëtohen me tre.

E bukur?) Këshilla është e fshehur në shënimin e problemit 4. Epo, problemi 3 do të ndihmojë.

6. Progresioni aritmetik jepet me kushtin: a 1 =-5,5; a n+1 = a n +0,5. Gjeni shumën e 24 termave të parë.

E pazakontë?) Kjo është një formulë e përsëritur. Ju mund të lexoni për të në mësimin e mëparshëm. Mos e injoroni lidhjen, enigma të tilla shpesh gjenden në GIA.

7. Vasya kurseu para për festën. Deri në 4550 rubla! Dhe vendosa t'i dhuroj personit më të dashur (vetes) disa ditë lumturie). Jetoni bukur pa i mohuar asgjë vetes. Shpenzoni 500 rubla në ditën e parë dhe shpenzoni 50 rubla më shumë në çdo ditë pasuese sesa në atë të mëparshme! Derisa të mbarojnë paratë. Sa ditë lumturie kishte Vasya?

A është e vështirë?) Një formulë shtesë nga detyra 2 do të ndihmojë.

Përgjigjet (në rrëmujë): 7, 3240, 6.

Nëse ju pëlqen kjo faqe...

Nga rruga, unë kam disa faqe më interesante për ju.)

Ju mund të praktikoni zgjidhjen e shembujve dhe të zbuloni nivelin tuaj. Testimi me verifikim të menjëhershëm. Mësimi - me interes!)

mund të njiheni me funksionet dhe derivatet.

Pra, le të ulemi dhe të fillojmë të shkruajmë disa numra. Për shembull:
Ju mund të shkruani çdo numër, dhe mund të ketë sa të doni (në rastin tonë, ata). Sado numra të shkruajmë, gjithmonë mund të themi se cili prej tyre është i pari, cili është i dyti dhe kështu me radhë deri në të fundit, domethënë mund t'i numërojmë. Ky është një shembull i një sekuence numrash:

Sekuenca numerike
Për shembull, për sekuencën tonë:

Numri i caktuar është specifik vetëm për një numër të sekuencës. Me fjalë të tjera, nuk ka tre numra të dytë në sekuencë. Numri i dytë (si numri -të) është gjithmonë i njëjtë.
Numri me numër quhet anëtari i -të i sekuencës.

Ne zakonisht e quajmë të gjithë sekuencën një shkronjë (për shembull,), dhe secilin anëtar të kësaj sekuence - të njëjtën shkronjë me një indeks të barabartë me numrin e këtij anëtari: .

Në rastin tonë:

Le të themi se kemi një sekuencë numerike në të cilën ndryshimi midis numrave ngjitur është i njëjtë dhe i barabartë.
Për shembull:

etj.
Një sekuencë e tillë numerike quhet progresion aritmetik.
Termi "përparim" u prezantua nga autori romak Boethius qysh në shekullin e 6-të dhe u kuptua në një kuptim më të gjerë si një sekuencë numerike e pafund. Emri "aritmetikë" u transferua nga teoria e përmasave të vazhdueshme, në të cilën ishin angazhuar grekët e lashtë.

Ky është një sekuencë numerike, secili anëtar i të cilit është i barabartë me atë të mëparshëm, i shtuar me të njëjtin numër. Ky numër quhet diferencë e një progresion aritmetik dhe shënohet.

Mundohuni të përcaktoni se cilat sekuenca numrash janë një progresion aritmetik dhe cilat jo:

a)
b)
c)
d)

E kuptova? Krahasoni përgjigjet tona:
Është progresion aritmetik - b, c.
Nuk eshte progresion aritmetik - a, d.

Le të kthehemi në progresionin e dhënë () dhe të përpiqemi të gjejmë vlerën e anëtarit të tij. ekziston dy mënyrë për ta gjetur.

1. Metoda

Ne mund t'i shtojmë vlerës së mëparshme të numrit të progresionit derisa të arrijmë termin e th të progresionit. Është mirë që nuk kemi shumë për të përmbledhur - vetëm tre vlera:

Pra, anëtari i -të i progresionit aritmetik të përshkruar është i barabartë me.

2. Mënyra

Po sikur të na duhej të gjenim vlerën e termit të th të progresionit? Mbledhja do të na kishte marrë më shumë se një orë dhe nuk është fakt që nuk do të kishim bërë gabime kur mblidhnim numrat.
Natyrisht, matematikanët kanë dalë me një mënyrë në të cilën nuk keni nevojë të shtoni ndryshimin e një progresion aritmetik në vlerën e mëparshme. Shikoni nga afër foton e vizatuar ... Me siguri tashmë keni vënë re një model të caktuar, përkatësisht:

Për shembull, le të shohim se çfarë përbën vlerën e anëtarit -të të këtij progresioni aritmetik:

Me fjale te tjera:

Mundohuni të gjeni në mënyrë të pavarur në këtë mënyrë vlerën e një anëtari të këtij progresioni aritmetik.

E llogaritur? Krahasoni shënimet tuaja me përgjigjen:

Kushtojini vëmendje që morët saktësisht të njëjtin numër si në metodën e mëparshme, kur i shtuam me radhë anëtarët e një progresion aritmetik në vlerën e mëparshme.
Le të përpiqemi ta "depersonalizojmë" këtë formulë - e sjellim atë në një formë të përgjithshme dhe marrim:

Ekuacioni i progresionit aritmetik.

Progresionet aritmetike janë ose në rritje ose në rënie.

Në rritje- progresionet në të cilat çdo vlerë pasuese e termave është më e madhe se ajo e mëparshme.
Për shembull:

Duke zbritur- progresionet në të cilat çdo vlerë pasuese e termave është më e vogël se ajo e mëparshme.
Për shembull:

Formula e prejardhur përdoret në llogaritjen e termave si në terma në rritje ashtu edhe në ulje të një progresion aritmetik.
Le ta kontrollojmë në praktikë.
Na jepet një progresion aritmetik i përbërë nga numrat e mëposhtëm:

Që atëherë:

Kështu, ne ishim të bindur se formula funksionon si në zvogëlimin ashtu edhe në rritjen e progresionit aritmetik.
Përpiquni të gjeni vetë anëtarët -të dhe -të të këtij progresioni aritmetik.

Le të krahasojmë rezultatet:

Vetia e progresionit aritmetik

Le ta komplikojmë detyrën - ne nxjerrim vetinë e një progresion aritmetik.
Supozoni se na jepet kushti i mëposhtëm:
- progresion aritmetik, gjeni vlerën.
Është e lehtë, thoni ju, dhe filloni të numëroni sipas formulës që tashmë e dini:

Le të, a, atëherë:

Absolutisht e drejtë. Rezulton se ne fillimisht e gjejmë, pastaj e shtojmë në numrin e parë dhe marrim atë që kërkojmë. Nëse progresioni përfaqësohet nga vlera të vogla, atëherë nuk ka asgjë të komplikuar në lidhje me të, por çka nëse na jepen numra në kusht? Pajtohem, ekziston mundësia për të bërë gabime në llogaritjet.
Tani mendoni, a është e mundur të zgjidhet ky problem në një hap duke përdorur ndonjë formulë? Sigurisht, po, dhe ne do të përpiqemi ta nxjerrim atë tani.

Le të shënojmë termin e dëshiruar të progresionit aritmetik si, ne e dimë formulën për gjetjen e tij - kjo është e njëjta formulë që kemi nxjerrë në fillim:
, Pastaj:

anëtari i mëparshëm i progresionit është:
termi tjetër i progresionit është:

Le të përmbledhim anëtarët e mëparshëm dhe të ardhshëm të progresionit:

Rezulton se shuma e anëtarëve të mëparshëm dhe të mëpasshëm të progresionit është dyfishi i vlerës së anëtarit të progresionit që ndodhet midis tyre. Me fjalë të tjera, për të gjetur vlerën e një anëtari progresion me vlera të njohura të mëparshme dhe të njëpasnjëshme, është e nevojshme t'i mblidhni ato dhe të ndani me.

Është e drejtë, kemi të njëjtin numër. Le të rregullojmë materialin. Llogaritni vetë vlerën për progresionin, sepse nuk është aspak e vështirë.

Te lumte! Ju dini pothuajse gjithçka për përparimin! Mbetet për të zbuluar vetëm një formulë, të cilën, sipas legjendës, një nga matematikanët më të mëdhenj të të gjitha kohërave, "mbreti i matematikanëve" - Karl Gauss, e konkludoi lehtësisht për veten e tij ...

Kur Carl Gauss ishte 9 vjeç, mësuesi, i zënë duke kontrolluar punën e nxënësve nga klasa të tjera, kërkoi detyrën e mëposhtme në mësim: "Llogaritni shumën e të gjithë numrave natyrorë nga deri në (sipas burimeve të tjera deri në) përfshirëse. " Cila ishte habia e mësuesit kur një nga nxënësit e tij (ishte Karl Gauss) pas një minute i dha përgjigjen e saktë detyrës, ndërsa shumica e shokëve të klasës së guximtarit pas llogaritjeve të gjata morën rezultatin e gabuar ...

I riu Carl Gauss vuri re një model që mund ta vëreni lehtësisht.
Le të themi se kemi një progresion aritmetik të përbërë nga anëtarë -ti: Duhet të gjejmë shumën e anëtarëve të dhënë të progresionit aritmetik. Sigurisht, ne mund t'i përmbledhim manualisht të gjitha vlerat, por çka nëse na duhet të gjejmë shumën e termave të saj në detyrë, siç po kërkonte Gauss?

Le të përshkruajmë përparimin që na është dhënë. Shikoni nga afër numrat e theksuar dhe përpiquni të kryeni veprime të ndryshme matematikore me ta.

Provuar? Çfarë keni vënë re? E drejtë! Shumat e tyre janë të barabarta

Tani përgjigjuni, sa çifte të tilla do të ketë në progresionin që na është dhënë? Sigurisht, saktësisht gjysma e të gjithë numrave, domethënë.
Bazuar në faktin se shuma e dy termave të një progresion aritmetik është e barabartë dhe çifte të ngjashme të barabarta, marrim se shuma totale është e barabartë me:
.
Kështu, formula për shumën e termave të parë të çdo progresioni aritmetik do të jetë:

Në disa probleme, ne nuk e dimë termin e th, por dimë ndryshimin e progresionit. Përpiquni të zëvendësoni në formulën e shumës, formulën e anëtarit të th.
Çfarë more?

Te lumte! Tani le t'i kthehemi problemit që iu dha Karl Gausit: llogarisni vetë sa është shuma e numrave që fillojnë nga -ta dhe sa është shuma e numrave që fillojnë nga -ta.

Sa keni marrë?
Gauss doli se shuma e termave është e barabartë, dhe shuma e termave. Kështu vendosët?

Në fakt, formula për shumën e anëtarëve të një progresion aritmetik u vërtetua nga shkencëtari i lashtë grek Diophantus në shekullin e 3-të, dhe gjatë gjithë kësaj kohe, njerëzit e zgjuar përdorën vetitë e një progresion aritmetik me fuqi dhe kryesore.
Për shembull, imagjinoni Egjipti i lashte dhe kantieri më i madh i ndërtimit të asaj kohe - ndërtimi i një piramide ... Figura tregon njërën anë të saj.

Ku është përparimi këtu ju thoni? Shikoni me kujdes dhe gjeni një model në numrin e blloqeve të rërës në çdo rresht të murit të piramidës.

Pse jo një progresion aritmetik? Numëroni sa blloqe nevojiten për të ndërtuar një mur nëse tullat e bllokut vendosen në bazë. Shpresoj se nuk do të numëroni duke lëvizur gishtin nëpër monitor, a ju kujtohet formula e fundit dhe gjithçka që thamë për progresionin aritmetik?

Në këtë rast, përparimi duket si ky:
Diferenca e progresionit aritmetik.
Numri i anëtarëve të një progresion aritmetik.
Le t'i zëvendësojmë të dhënat tona në formulat e fundit (ne numërojmë numrin e blloqeve në 2 mënyra).

Metoda 1.

Metoda 2.

Dhe tani mund të llogaritni edhe në monitor: krahasoni vlerat e marra me numrin e blloqeve që janë në piramidën tonë. A ishte dakord? Bravo, ju keni zotëruar shumën e termave të th të një progresion aritmetik.
Sigurisht, nuk mund të ndërtoni një piramidë nga blloqet në bazë, por nga? Mundohuni të llogaritni sa tulla rëre nevojiten për të ndërtuar një mur me këtë gjendje.
A ia dolët?
Përgjigja e saktë është blloqet:

Trajnimi

Detyrat:

Masha po bëhet në formë për verën. Çdo ditë ajo rrit numrin e squats me. Sa herë do të ulej Masha në javë nëse ajo bën squats në stërvitjen e parë.
Sa është shuma e të gjithë numrave tek që përmbahen.
Kur ruajnë trungje, druvarët i vendosin ato në mënyrë të tillë që çdo shtresë e sipërme të përmbajë një trung më pak se ajo e mëparshme. Sa trungje ka në një muraturë, nëse baza e muraturës është trungje.

Përgjigjet:

Le të përcaktojmë parametrat e progresionit aritmetik. Në këtë rast
(javë = ditë).
Përgjigje: Në dy javë, Masha duhet të ulet një herë në ditë.
Së pari numër i rastësishëm, numri i fundit.
Diferenca e progresionit aritmetik.
Numri i numrave tek në gjysmë, megjithatë, kontrolloni këtë fakt duke përdorur formulën për gjetjen e anëtarit -të të një progresion aritmetik:
Numrat përmbajnë numra tek.
Ne zëvendësojmë të dhënat e disponueshme në formulën:
Përgjigje: Shuma e të gjithë numrave tek të përfshirë është e barabartë me.
Kujtoni problemin rreth piramidave. Për rastin tonë, a , meqenëse çdo shtresë e sipërme zvogëlohet me një regjistër, ka vetëm një grup shtresash, domethënë.
Zëvendësoni të dhënat në formulë:
Përgjigje: Në muraturë ka trungje.

Duke përmbledhur

- një sekuencë numerike në të cilën ndryshimi midis numrave ngjitur është i njëjtë dhe i barabartë. Ajo është në rritje dhe në rënie.
Gjetja e formulës Anëtari i th i një progresioni aritmetik shkruhet me formulën - , ku është numri i numrave në progresion.
Vetia e anëtarëve të një progresion aritmetik- - ku - numri i numrave në progresion.
Shuma e anëtarëve të një progresion aritmetik mund të gjendet në dy mënyra:

, ku është numri i vlerave.

PROGRESIONI ARITHMETIK. NIVELI MESATAR

Sekuenca numerike

Le të ulemi dhe të fillojmë të shkruajmë disa numra. Për shembull:

Mund të shkruani çdo numër dhe mund të ketë sa të doni. Por ju gjithmonë mund të dalloni se cili prej tyre është i pari, cili është i dyti, e kështu me radhë, domethënë, ne mund t'i numërojmë ato. Ky është një shembull i një sekuence numrash.

Sekuenca numerikeështë një grup numrash, secilit prej të cilëve mund t'i caktohet një numër unik.

Me fjalë të tjera, çdo numër mund të shoqërohet me një numër të caktuar natyror, dhe vetëm një. Dhe ne nuk do ta caktojmë këtë numër në asnjë numër tjetër nga ky grup.

Numri me numër quhet anëtari i -të i sekuencës.

Është shumë i përshtatshëm nëse anëtari --të i sekuencës mund të jepet me ndonjë formulë. Për shembull, formula

vendos sekuencën:

Dhe formula është sekuenca e mëposhtme:

Për shembull, një progresion aritmetik është një sekuencë (termi i parë këtu është i barabartë dhe diferenca). Ose (, dallimi).

formula e termit të ntë

Ne e quajmë rekurente një formulë në të cilën, për të gjetur termin -të, duhet të njihni ato të mëparshme ose disa të mëparshme:

Për të gjetur, për shembull, termin e th të progresionit duke përdorur një formulë të tillë, duhet të llogarisim nëntën e mëparshme. Për shembull, le. Pastaj:

Epo, tani është e qartë se cila është formula?

Në çdo rresht, ne i shtojmë, shumëzuar me një numër. Per cfare? Shumë e thjeshtë: ky është numri i anëtarit aktual minus:

Shumë më rehat tani, apo jo? Ne kontrollojmë:

Vendosni vetë:

Në një progresion aritmetik, gjeni formulën për termin e n-të dhe gjeni termin e qindtë.

Zgjidhja:

Anëtari i parë është i barabartë. Dhe cili është ndryshimi? Dhe ja çfarë:

(në fund të fundit, quhet ndryshim sepse është i barabartë me diferencën e anëtarëve të njëpasnjëshëm të progresionit).

Pra formula është:

Atëherë termi i njëqindtë është:

Sa është shuma e të gjithë numrave natyrorë nga deri në?

Sipas legjendës, matematikani i madh Carl Gauss, duke qenë një djalë 9-vjeçar, e llogariti këtë shumë në pak minuta. Ai vuri re se shuma e numrit të parë dhe të fundit është e barabartë, shuma e të dytit dhe të parafundit është e njëjtë, shuma e të tretit dhe të 3-të nga fundi është e njëjtë, e kështu me radhë. Sa çifte të tilla ka? Kjo është e drejtë, saktësisht gjysma e numrit të të gjithë numrave, domethënë. Kështu që,

Formula e përgjithshme për shumën e termave të parë të çdo progresioni aritmetik do të jetë:

Shembull:
Gjeni shumën e të gjithë shumëfishave dyshifrorë.

Zgjidhja:

Numri i parë i tillë është ky. Secili tjetër fitohet duke i shtuar një numër atij të mëparshëm. Kështu, numrat me interes për ne formojnë një progresion aritmetik me termin e parë dhe diferencën.

Formula për termin e th për këtë progresion është:

Sa terma janë në progresion nëse duhet të jenë të gjithë dyshifrorë?

Shumë e lehtë: .

Afati i fundit i progresionit do të jetë i barabartë. Pastaj shuma:

Përgjigje:.

Tani vendosni vetë:

Çdo ditë atleti vrapon 1 m më shumë se një ditë më parë. Sa kilometra do të vrapojë në javë nëse ka vrapuar km m në ditën e parë?
Një çiklist udhëton më shumë kilometra çdo ditë se ai i mëparshmi. Ditën e parë ai udhëtoi km. Sa ditë duhet të kalojë me makinë për të kaluar një kilometër? Sa kilometra do të udhëtojë në ditën e fundit të udhëtimit?
Çmimi i një frigoriferi në dyqan ulet me të njëjtën shumë çdo vit. Përcaktoni se sa u ul çmimi i një frigoriferi çdo vit nëse, i vendosur në shitje për rubla, gjashtë vjet më vonë ai shitet për rubla.

Përgjigjet:

Gjëja më e rëndësishme këtu është njohja e progresionit aritmetik dhe përcaktimi i parametrave të tij. Në këtë rast, (javë = ditë). Ju duhet të përcaktoni shumën e termave të parë të këtij progresi:
.
Përgjigje:
Këtu është dhënë:, është e nevojshme për të gjetur.
Natyrisht, ju duhet të përdorni të njëjtën formulë të shumës si në problemin e mëparshëm:
.
Zëvendësoni vlerat:
Rrënja padyshim nuk përshtatet, kështu që përgjigja.
Le të llogarisim distancën e udhëtuar gjatë ditës së fundit duke përdorur formulën e termit -të:
(km).
Përgjigje:
Jepet: . Gjej: .
Nuk bëhet më e lehtë:
(fshij).
Përgjigje:

PROGRESIONI ARITHMETIK. SHKURTËZIM PËR KRYESORIN

Kjo është një sekuencë numerike në të cilën ndryshimi midis numrave ngjitur është i njëjtë dhe i barabartë.

Progresioni aritmetik është në rritje () dhe në rënie ().

Për shembull:

Formula për gjetjen e anëtarit n të një progresion aritmetik

shkruhet si formulë, ku është numri i numrave në progresion.

Vetia e anëtarëve të një progresion aritmetik

E bën të lehtë gjetjen e një anëtari të progresionit nëse dihen anëtarët fqinjë - ku është numri i numrave në progresion.

Shuma e anëtarëve të një progresion aritmetik

Ka dy mënyra për të gjetur shumën:

Ku është numri i vlerave.

2/3 ARTIKUJT E MBETUR JANË TË DISPONUESHME VETËM PËR STUDENTET JUCLEVER!

Bëhuni student i YouClever,

Përgatituni për OGE ose PËRDORIM në matematikë me çmimin "një filxhan kafe në muaj",

Dhe gjithashtu merrni akses të pakufizuar në tekstin shkollor "YouClever", programi përgatitor "100gia" (rechebnik), i pakufizuar provim prove dhe OGE, 6000 detyra me analiza zgjidhjesh dhe shërbime të tjera YouClever dhe 100gia.