Formula për përcaktimin e shumës së një progresion aritmetik. Shuma e një progresion aritmetik. Marrëdhënia ndërmjet progresioneve aritmetike dhe gjeometrike
Kujdes!
Ka shtesë
materialet në Seksionin Special 555.
Për ata që janë shumë "jo shumë..."
Dhe për ata që "shumë ...")
Një progresion aritmetik është një seri numrash në të cilët secili numër është më i madh (ose më i vogël) se ai i mëparshmi për të njëjtën sasi.
Kjo temë shpesh duket komplekse dhe e pakuptueshme. Indekset e shkronjave mandati i nëntë progresionet, ndryshimet e progresionit - e gjithë kjo është disi konfuze, po... Le të kuptojmë kuptimin e progresionit aritmetik dhe gjithçka do të përmirësohet menjëherë.)
Koncepti i progresionit aritmetik.
Progresioni aritmetik është një koncept shumë i thjeshtë dhe i qartë. A keni ndonjë dyshim? Më kot.) Shihni vetë.
Do të shkruaj një seri numrash të papërfunduar:
1, 2, 3, 4, 5, ...
Mund ta zgjeroni këtë seri? Cilët numra do të vijnë më pas, pas pesëshit? Të gjithë... uh..., me pak fjalë, të gjithë do të kuptojnë se numrat 6, 7, 8, 9, etj. do të vijnë më pas.
Le ta komplikojmë detyrën. Unë ju jap një seri numrash të papërfunduar:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Ju do të jeni në gjendje të kapni modelin, të zgjeroni serinë dhe emrin i shtati numri i serive?
Nëse e keni kuptuar që ky numër është 20, urime! Jo vetëm u ndjeve pikat kryesore të progresionit aritmetik, por edhe i përdori me sukses në biznes! Nëse nuk e keni kuptuar, lexoni më tej.
Tani le të përkthejmë pikat kryesore nga ndjesitë në matematikë.)
Pika e parë kyçe.
Progresioni aritmetik merret me seri numrash. Kjo është konfuze në fillim. Jemi mësuar të zgjidhim ekuacione, të vizatojmë grafikë dhe të gjitha këto... Por këtu zgjerojmë serinë, gjejmë numrin e serisë...
Është në rregull. Vetëm se progresionet janë njohja e parë me një degë të re të matematikës. Seksioni quhet "Seri" dhe punon në mënyrë specifike me seri numrash dhe shprehjesh. Mësohu me të.)
Pika e dytë kyçe.
Në një progresion aritmetik, çdo numër është i ndryshëm nga ai i mëparshmi me të njëjtën sasi.
Në shembullin e parë, ky ndryshim është një. Çfarëdo numri që merrni, është një më shumë se ai i mëparshmi. Në të dytën - tre. Çdo numër është tre më shumë se ai i mëparshmi. Në fakt, është ky moment që na jep mundësinë të kuptojmë modelin dhe të llogarisim numrat pasues.
Pika e tretë kyçe.
Ky moment nuk bie në sy, po... Por është shumë, shumë i rëndësishëm. Këtu është ai: Çdo numër progresioni është në vendin e vet. Aty është numri i parë, është i shtati, është dyzet e pesta etj. Nëse i përzieni rastësisht, modeli do të zhduket. Progresioni aritmetik gjithashtu do të zhduket. Ajo që ka mbetur është vetëm një seri numrash.
Kjo është e gjithë çështja.
Sigurisht, në temë e re shfaqen terma dhe emërtime të reja. Ju duhet t'i njihni ato. Përndryshe nuk do ta kuptoni detyrën. Për shembull, do të duhet të vendosni diçka si:
Shkruani gjashtë termat e parë të progresionit aritmetik (a n), nëse a 2 = 5, d = -2,5.
Frymëzuese?) Letrat, disa indekse... Dhe detyra, meqë ra fjala, nuk mund të ishte më e thjeshtë. Thjesht duhet të kuptoni kuptimin e termave dhe emërtimeve. Tani do ta zotërojmë këtë çështje dhe do t'i kthehemi detyrës.
Termat dhe emërtimet.
Progresioni aritmetikështë një seri numrash në të cilat secili numër është i ndryshëm nga ai i mëparshmi me të njëjtën sasi.
Kjo sasi quhet . Le ta shohim këtë koncept në më shumë detaje.
Diferenca e progresionit aritmetik.
Diferenca e progresionit aritmetikështë shuma me të cilën çdo numër progresion më shumë e mëparshme.
Një pikë e rëndësishme. Ju lutemi kushtojini vëmendje fjalës "më shumë". Matematikisht, kjo do të thotë se çdo numër progresion është duke shtuar ndryshimi i progresionit aritmetik me numrin e mëparshëm.
Për të llogaritur, le të themi e dyta numrat e serisë, ju duhet të së pari numri shtoni pikërisht kjo diferencë e një progresion aritmetik. Për llogaritjen e pesta- dallimi është i nevojshëm shtoni për të e katërta, mirë, etj.
Diferenca e progresionit aritmetik Ndoshta pozitive, atëherë çdo numër në seri do të dalë real më shumë se ai i mëparshmi. Ky progresion quhet në rritje. Për shembull:
8; 13; 18; 23; 28; .....
Këtu merret çdo numër duke shtuar numër pozitiv, +5 nga ai i mëparshmi.
Dallimi mund të jetë negativ, atëherë çdo numër në seri do të jetë më pak se ai i mëparshmi. Ky përparim quhet (nuk do ta besoni!) në rënie.
Për shembull:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Këtu fitohet edhe çdo numër duke shtuar tek ai i mëparshmi, por tashmë numër negativ, -5.
Nga rruga, kur punoni me progresion, është shumë e dobishme të përcaktoni menjëherë natyrën e tij - nëse është në rritje apo në rënie. Kjo ndihmon shumë për të lundruar në vendim, për të dalluar gabimet tuaja dhe për t'i korrigjuar ato para se të jetë tepër vonë.
Diferenca e progresionit aritmetik zakonisht shënohet me shkronjë d.
Si të gjeni d? Shume e thjeshte. Është e nevojshme të zbritet nga çdo numër në seri e mëparshme numri. Zbrit. Nga rruga, rezultati i zbritjes quhet "ndryshim".)
Le të përcaktojmë, për shembull, d për rritjen e progresionit aritmetik:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Ne marrim çdo numër në serinë që duam, për shembull, 11. Ne zbresim prej tij numri i mëparshëm ato. 8:
Kjo është përgjigja e saktë. Për këtë progresion aritmetik, diferenca është tre.
Mund ta marrësh çdo numër progresi, sepse për një përparim specifik d-gjithmonë e njëjta. Të paktën diku në fillim të rreshtit, të paktën në mes, të paktën kudo. Nuk mund të marrësh vetëm numrin e parë. Thjesht sepse numri i parë asnjë i mëparshëm.)
Nga rruga, duke e ditur këtë d=3, gjetja e numrit të shtatë të këtij progresioni është shumë e thjeshtë. Le t'i shtojmë 3 numrit të pestë - marrim të gjashtën, do të jetë 17. Le të shtojmë tre në numrin e gjashtë, marrim numrin e shtatë - njëzet.
Le të përcaktojmë d për progresionin aritmetik zbritës:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Ju kujtoj se, pavarësisht nga shenjat, për të përcaktuar d nevojiten nga çdo numër hiq atë të mëparshmen. Zgjidhni çdo numër progresioni, për shembull -7. Numri i tij i mëparshëm është -2. Pastaj:
d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5
Dallimi i një progresion aritmetik mund të jetë çdo numër: numër i plotë, thyesor, irracional, çdo numër.
Terma dhe emërtime të tjera.
Çdo numër në seri quhet pjesëtar i një progresion aritmetik.
Secili anëtar i progresionit ka numrin e vet. Numrat janë rreptësisht në rregull, pa asnjë mashtrim. E para, e dyta, e treta, e katërta etj. Për shembull, në progresionin 2, 5, 8, 11, 14, ... dy është termi i parë, pesë është i dyti, njëmbëdhjetë është i katërti, mirë, e kuptoni ...) Ju lutemi kuptoni qartë - vetë numrat mund të jetë absolutisht çdo gjë, e plotë, e pjesshme, negative, çfarëdo, por numërimi i numrave- rreptësisht në rregull!
Si të shkruani një progresion në pamje e përgjithshme? Nuk ka problem! Çdo numër në një seri shkruhet si një shkronjë. Për të treguar një progresion aritmetik, zakonisht përdoret shkronja a. Numri i anëtarit tregohet nga një indeks në fund djathtas. Ne shkruajmë terma të ndarë me presje (ose pikëpresje), si kjo:
një 1, një 2, një 3, një 4, një 5, .....
a 1- ky është numri i parë, a 3- e treta, etj. Asgjë e zbukuruar. Kjo seri mund të shkruhet shkurtimisht si kjo: (a n).
Përparimet ndodhin të fundme dhe të pafundme.
Ultimate progresion ka një numër të kufizuar anëtarësh. Pesë, tridhjetë e tetë, çfarëdo. Por është një numër i kufizuar.
E pafundme progresion - ka një numër të pafund anëtarësh, siç mund ta merrni me mend.)
Ju mund të shkruani përparimin përfundimtar përmes një serie si kjo, të gjitha termat dhe një pikë në fund:
një 1, një 2, një 3, një 4, një 5.
Ose si kjo, nëse ka shumë anëtarë:
një 1, një 2, ... një 14, një 15.
Në hyrjen e shkurtër do të duhet të tregoni gjithashtu numrin e anëtarëve. Për shembull (për njëzet anëtarë), si kjo:
(a n), n = 20
Një progresion i pafund mund të njihet nga elipsa në fund të rreshtit, si në shembujt në këtë mësim.
Tani mund të zgjidhni detyrat. Detyrat janë të thjeshta, thjesht për të kuptuar kuptimin e një progresion aritmetik.
Shembuj detyrash mbi progresionin aritmetik.
Le të shohim në detaje detyrën e dhënë më lart:
1. Shkruani gjashtë termat e parë të progresionit aritmetik (a n), nëse a 2 = 5, d = -2,5.
Ne e përkthejmë detyrën në një gjuhë të kuptueshme. Jepet një progresion aritmetik i pafund. Numri i dytë i këtij progresi është i njohur: a 2 = 5. Dallimi i progresionit është i njohur: d = -2,5. Ne duhet të gjejmë termat e parë, të tretë, të katërt, të pestë dhe të gjashtë të këtij progresi.
Për qartësi, do të shkruaj një seri sipas kushteve të problemit. Gjashtë termat e parë, ku mandati i dytë është pesë:
një 1, 5, një 3, një 4, një 5, një 6, ....
a 3 = a 2 + d
Zëvendësoni në shprehje a 2 = 5 Dhe d = -2,5. Mos harroni për minusin!
a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5
Mandati i tretë doli të ishte më pak se i dyti. Gjithçka është logjike. Nëse numri është më i madh se ai i mëparshmi negativ vlera, që do të thotë se vetë numri do të jetë më i vogël se ai i mëparshmi. Progresi është në rënie. Mirë, le ta marrim parasysh.) Ne numërojmë termin e katërt të serisë sonë:
a 4 = a 3 + d
a 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0
a 5 = a 4 + d
a 5=0+(-2,5)= - 2,5
a 6 = a 5 + d
a 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5
Pra, u llogaritën termat nga e treta në të gjashtin. Rezultati është seria e mëposhtme:
a 1, 5, 2.5, 0, -2.5, -5, ....
Mbetet për të gjetur termin e parë a 1 sipas të dytës së njohur. Ky është një hap në drejtimin tjetër, në të majtë.) Pra, diferenca e progresionit aritmetik d nuk duhet shtuar në a 2, A heq:
a 1 = a 2 - d
a 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5
Kjo eshte. Përgjigja e detyrës:
7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...
Në kalim, dua të vërej se ne e zgjidhëm këtë detyrë të përsëritura mënyrë. Kjo fjalë e frikshme thjesht do të thotë kërkimi i një anëtari të progresionit sipas numrit të mëparshëm (të ngjitur). Më poshtë do të shqyrtojmë mënyra të tjera për të punuar me progresion.
Një përfundim i rëndësishëm mund të nxirret nga kjo detyrë e thjeshtë.
Mbani mend:
Nëse njohim të paktën një term dhe ndryshimin e një progresion aritmetik, mund të gjejmë çdo term të këtij progresioni.
Të kujtohet? Ky përfundim i thjeshtë ju lejon të zgjidhni shumicën e problemeve të kursit shkollor për këtë temë. Të gjitha detyrat rrotullohen rreth tre parametrave kryesorë: anëtar i një progresion aritmetik, ndryshim i një progresion, numri i një anëtari të progresionit. Të gjitha.
Natyrisht, e gjithë algjebra e mëparshme nuk është anuluar.) Pabarazitë, ekuacionet dhe gjëra të tjera i bashkëngjiten progresionit. Por sipas vetë progresionit- gjithçka rrotullohet rreth tre parametrave.
Si shembull, le të shohim disa detyra të njohura në këtë temë.
2. Shkruani progresionin e fundëm aritmetik si seri nëse n=5, d = 0,4 dhe a 1 = 3,6.
Gjithçka është e thjeshtë këtu. Gjithçka tashmë është dhënë. Duhet të mbani mend se si numërohen anëtarët e një progresion aritmetik, t'i numëroni dhe t'i shkruani. Këshillohet të mos humbisni fjalët në kushtet e detyrës: "përfundimtar" dhe " n=5". Për të mos llogaritur derisa të jeni plotësisht blu në fytyrë.) Janë vetëm 5 (pesë) anëtarë në këtë progresion:
a 2 = a 1 + d = 3,6 + 0,4 = 4
a 3 = a 2 + d = 4 + 0,4 = 4,4
a 4 = a 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8
a 5 = a 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2
Mbetet për të shkruar përgjigjen:
3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.
Një detyrë tjetër:
3. Përcaktoni nëse numri 7 do të jetë anëtar i progresionit aritmetik (a n), nëse a 1 = 4.1; d = 1.2.
Hmm... Kush e di? Si të përcaktoni diçka?
Si-si... Shkruani progresionin në formën e një serie dhe shikoni nëse do të ketë një shtatë atje apo jo! Ne numërojmë:
a 2 = a 1 + d = 4,1 + 1,2 = 5,3
a 3 = a 2 + d = 5,3 + 1,2 = 6,5
a 4 = a 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7
4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...
Tani është qartë e dukshme që jemi vetëm shtatë rrëshqiti midis 6.5 dhe 7.7! Shtatë nuk hynë në serinë tonë të numrave, dhe, për rrjedhojë, shtatë nuk do të jenë anëtarë të progresionit të dhënë.
Përgjigje: jo.
Dhe këtu është një problem i bazuar në një version real të GIA:
4. Shkruhen disa terma të njëpasnjëshëm të progresionit aritmetik:
...; 15; X; 9; 6; ...
Këtu është një seri e shkruar pa fund dhe fillim. Asnjë numër anëtarësh, asnjë ndryshim d. Është në rregull. Për të zgjidhur problemin, mjafton të kuptojmë kuptimin e një progresion aritmetik. Le të shohim dhe të shohim se çfarë është e mundur të dish nga ky serial? Cilët janë tre parametrat kryesorë?
Numrat e anëtarëve? Këtu nuk ka asnjë numër të vetëm.
Por ka tre numra dhe - vëmendje! - fjalë "konsistente" ne gjendje. Kjo do të thotë se numrat janë rreptësisht në rregull, pa boshllëqe. A janë dy në këtë rresht? fqinje numrat e njohur? Po, kam! Këto janë 9 dhe 6. Prandaj, ne mund të llogarisim diferencën e progresionit aritmetik! Zbrit nga gjashtë e mëparshme numri, d.m.th. nëntë:
Kanë mbetur thjesht gjëra të vogla. Cili do të jetë numri i mëparshëm për X? Pesëmbëdhjetë. Kjo do të thotë se X mund të gjendet lehtësisht me mbledhje të thjeshtë. Shto ndryshimin e progresionit aritmetik në 15:
Kjo eshte e gjitha. Përgjigje: x=12
Ne i zgjidhim vetë problemet e mëposhtme. Shënim: këto probleme nuk bazohen në formula. Thjesht për të kuptuar kuptimin e një progresion aritmetik.) Thjesht shkruajmë një seri numrash dhe shkronjash, shikojmë dhe kuptojmë.
5. Gjeni termin e parë pozitiv të progresionit aritmetik nëse a 5 = -3; d = 1.1.
6. Dihet se numri 5,5 është anëtar i progresionit aritmetik (a n), ku a 1 = 1,6; d = 1.3. Përcaktoni numrin n të këtij anëtari.
7. Dihet se në progresionin aritmetik a 2 = 4; a 5 = 15.1. Gjeni një 3.
8. Shkruhen disa terma të njëpasnjëshëm të progresionit aritmetik:
...; 15.6; X; 3.4; ...
Gjeni termin e progresionit të treguar me shkronjën x.
9. Treni filloi të lëvizte nga stacioni, duke rritur në mënyrë uniforme shpejtësinë me 30 metra në minutë. Sa do të jetë shpejtësia e trenit pas pesë minutash? Jepni përgjigjen tuaj në km/orë.
10. Dihet se në progresionin aritmetik a 2 = 5; a 6 = -5. Gjeni një 1.
Përgjigjet (në rrëmujë): 7.7; 7.5; 9.5; 9; 0.3; 4.
Gjithçka funksionoi? E mahnitshme! Ju mund të zotëroni përparimin aritmetik për më shumë nivel të lartë, në mësimet e mëposhtme.
A nuk funksionoi gjithçka? Nuk ka problem. Në Seksionin Special 555, të gjitha këto probleme zgjidhen pjesë-pjesë.) Dhe, natyrisht, përshkruhet një teknikë e thjeshtë praktike që nxjerr menjëherë në pah zgjidhjen e detyrave të tilla qartë, qartë, me një shikim!
Nga rruga, në enigmën e trenit ka dy probleme që njerëzit shpesh pengohen. Njëra është thjesht në aspektin e progresionit, dhe e dyta është e përgjithshme për çdo problem në matematikë dhe fizikë gjithashtu. Ky është një përkthim i dimensioneve nga njëri në tjetrin. Ajo tregon se si duhet të zgjidhen këto probleme.
Në këtë mësim ne shikuam kuptimin elementar të një progresion aritmetik dhe parametrat kryesorë të tij. Kjo është e mjaftueshme për të zgjidhur pothuajse të gjitha problemet në këtë temë. Shtoni d për numrat, shkruani një seri, gjithçka do të zgjidhet.
Zgjidhja e gishtave funksionon mirë për pjesë shumë të shkurtra të një rreshti, si në shembujt në këtë tutorial. Nëse seria është më e gjatë, llogaritjet bëhen më të ndërlikuara. Për shembull, nëse në problemin 9 në pyetje zëvendësojmë "pesë minuta" në "tridhjetë e pesë minuta" problemi do të përkeqësohet ndjeshëm.)
Dhe ka edhe detyra që janë të thjeshta në thelb, por absurde për sa i përket llogaritjeve, për shembull:
Është dhënë një progresion aritmetik (a n). Gjeni një 121 nëse a 1 =3 dhe d=1/6.
Po çfarë, a do të shtojmë 1/6 shumë e shumë herë?! Mund të vrasësh veten!?
Ju mundeni.) Nëse nuk dini një formulë të thjeshtë me të cilën mund të zgjidhni detyra të tilla në një minutë. Kjo formulë do të jetë në mësimin e ardhshëm. Dhe ky problem zgjidhet atje. Ne nje minut.)
Nëse ju pëlqen kjo faqe...
Nga rruga, unë kam disa faqe më interesante për ju.)
Ju mund të praktikoni zgjidhjen e shembujve dhe të zbuloni nivelin tuaj. Testimi me verifikim të menjëhershëm. Le të mësojmë - me interes!)
Mund të njiheni me funksionet dhe derivatet.
Problemet mbi progresionin aritmetik ekzistonin tashmë në kohët e lashta. Ata u shfaqën dhe kërkuan zgjidhje sepse kishin nevojë praktike.
Pra, në një nga papiruset Egjipti i lashte", i cili ka një përmbajtje matematikore - papirusi Rhind (shek. 19 p.e.s.) - përmban detyrën e mëposhtme: ndani dhjetë masa bukë mes dhjetë njerëzve, me kusht që ndryshimi midis secilit prej tyre të jetë një e teta e masës."
Dhe në veprat matematikore të grekëve të lashtë ka teorema elegante që lidhen me progresionin aritmetik. Kështu, Hipsiku i Aleksandrisë (shek. II, i cili përpiloi shumë probleme interesante dhe shtoi librin e katërmbëdhjetë në Elementet e Euklidit), formuloi mendimin: "Në një progresion aritmetik, i cili ka numër çift terma, shuma e termave të gjysmës së dytë është më e madhe se shuma e termave të gjysmës së parë me katrorin 1/2 e numrit të termave.”
Sekuenca shënohet me një. Numrat e një sekuence quhen anëtarë të saj dhe zakonisht përcaktohen me shkronja me indekse që tregojnë numrin serial të këtij anëtari (a1, a2, a3 ... lexo: "a 1", "a 2", "a 3" dhe kështu me radhë).
Sekuenca mund të jetë e pafundme ose e fundme.
Çfarë është një progresion aritmetik? Me të nënkuptojmë atë që fitohet duke shtuar termin e mëparshëm (n) me të njëjtin numër d, që është diferenca e progresionit.
Nëse d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, atëherë një progresion i tillë konsiderohet në rritje.
Një progresion aritmetik quhet i fundëm nëse merren parasysh vetëm termat e parë të tij. Me një numër shumë të madh anëtarësh kjo tashmë është përparim i pafund.
Çdo progresion aritmetik përcaktohet me formulën e mëposhtme:
an =kn+b, ndërsa b dhe k janë disa numra.
Pohimi i kundërt është absolutisht i vërtetë: nëse një sekuencë jepet me një formulë të ngjashme, atëherë është pikërisht një progresion aritmetik që ka vetitë:
- Çdo term i progresionit është mesatarja aritmetike e termit të mëparshëm dhe atij pasues.
- Anasjelltas: nëse, duke filluar nga i dyti, çdo term është mesatarja aritmetike e termit të mëparshëm dhe atij të mëpasshëm, d.m.th. nëse kushti plotësohet, atëherë kjo sekuencë është një progresion aritmetik. Kjo barazi është gjithashtu një shenjë e progresionit, prandaj zakonisht quhet veti karakteristike e progresionit.
Në të njëjtën mënyrë, teorema që pasqyron këtë veti është e vërtetë: një sekuencë është një progresion aritmetik vetëm nëse kjo barazi është e vërtetë për cilindo nga termat e sekuencës, duke filluar nga i dyti.
Vetia karakteristike për çdo katër numra të një progresioni aritmetik mund të shprehet me formulën an + am = ak + al, nëse n + m = k + l (m, n, k janë numra të progresionit).
Në një progresion aritmetik, çdo term i nevojshëm (N-të) mund të gjendet duke përdorur formulën e mëposhtme:
Për shembull: termi i parë (a1) në një progresion aritmetik është dhënë dhe i barabartë me tre, dhe ndryshimi (d) është i barabartë me katër. Ju duhet të gjeni termin e dyzet e pestë të këtij progresi. a45 = 1+4(45-1)=177
Formula an = ak + d(n - k) ju lejon të përcaktoni termin e n-të të një progresion aritmetik përmes cilitdo prej kth termave të tij, me kusht që ai të dihet.
Shuma e termave të një progresion aritmetik (që do të thotë n termat e parë të një progresion të fundëm) llogaritet si më poshtë:
Sn = (a1+an) n/2.
Nëse termi i parë dihet gjithashtu, atëherë një formulë tjetër është e përshtatshme për llogaritjen:
Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.
Shuma e një progresion aritmetik që përmban n terma llogaritet si më poshtë:
Zgjedhja e formulave për llogaritjet varet nga kushtet e problemeve dhe të dhënat fillestare.
Seritë natyrore të çdo numri, si p.sh. 1,2,3,...,n,...- shembulli më i thjeshtë progresion aritmetik.
Përveç progresionit aritmetik, ekziston edhe një progresion gjeometrik, i cili ka vetitë dhe karakteristikat e veta.
I. V. Yakovlev | Materialet e matematikës | MathUs.ru
Progresioni aritmetik
Një progresion aritmetik është një lloj i veçantë sekuence. Prandaj, përpara se të përcaktojmë progresionin aritmetik (dhe më pas gjeometrik), duhet të diskutojmë shkurtimisht konceptin e rëndësishëm të sekuencës së numrave.
Pasoja
Imagjinoni një pajisje në ekranin e së cilës shfaqen numra të caktuar njëri pas tjetrit. Le të themi 2; 7; 13; 1; 6; 0; 3; : : : Ky grup numrash është pikërisht një shembull i një sekuence.
Përkufizimi. Një sekuencë numrash është një grup numrash në të cilët çdo numri mund t'i caktohet një numër unik (d.m.th. i lidhur me një numër të vetëm natyror)1. Telefonohet numri me numër n mandati i nëntë sekuencat.
Pra, në shembullin e mësipërm, numri i parë është 2, ky është anëtari i parë i sekuencës, i cili mund të shënohet me a1; numri pesë ka numrin 6 është termi i pestë i sekuencës, i cili mund të shënohet me a5. Në përgjithësi, termi i n-të i një sekuence shënohet me një (ose bn, cn, etj.).
Një situatë shumë e përshtatshme është kur termi n i sekuencës mund të specifikohet me ndonjë formulë. Për shembull, formula an = 2n 3 specifikon sekuencën: 1; 1; 3; 5; 7; : : : Formula an = (1)n specifikon sekuencën: 1; 1; 1; 1; : ::
Jo çdo grup numrash është një sekuencë. Kështu, një segment nuk është një sekuencë; ai përmban numra "shumë" për t'u rinumëruar. Kompleti R i të gjithave numra realë nuk është gjithashtu një sekuencë. Këto fakte vërtetohen gjatë analizës matematikore.
Progresioni aritmetik: përkufizimet bazë
Tani jemi gati të përcaktojmë një progresion aritmetik.
Përkufizimi. Një progresion aritmetik është një sekuencë në të cilën çdo term (duke filluar nga i dyti) është i barabartë me shumën e termit të mëparshëm dhe një numër fiks (i quajtur diferenca e progresionit aritmetik).
Për shembull, sekuenca 2; 5; 8; njëmbëdhjetë; : : : është një progresion aritmetik me termin e parë 2 dhe diferencën 3. Sekuenca 7; 2; 3; 8; : : : është një progresion aritmetik me termin e parë 7 dhe diferencën 5. Sekuenca 3; 3; 3; : : : është një progresion aritmetik me një ndryshim të barabartë me zero.
Përkufizimi ekuivalent: sekuenca an quhet progresion aritmetik nëse diferenca an+1 an është një vlerë konstante (e pavarur nga n).
Një progresion aritmetik quhet në rritje nëse diferenca e tij është pozitive dhe zvogëlohet nëse diferenca e tij është negative.
1 Këtu është një përkufizim më konciz: një sekuencë është një funksion i përcaktuar në një grup numrat natyrorë. Për shembull, një sekuencë numrash realë është një funksion f: N ! R.
Si parazgjedhje, sekuencat konsiderohen të pafundme, domethënë përmbajnë një numër të pafund numrash. Por askush nuk na shqetëson të marrim parasysh sekuencat e fundme; në fakt, çdo grup i kufizuar numrash mund të quhet sekuencë e fundme. Për shembull, sekuenca përfundimtare është 1; 2; 3; 4; 5 përbëhet nga pesë numra.
Formula për mandatin e n-të të një progresion aritmetik
Është e lehtë të kuptohet se një progresion aritmetik përcaktohet plotësisht nga dy numra: termi i parë dhe ndryshimi. Prandaj, lind pyetja: si, duke ditur termin e parë dhe ndryshimin, të gjejmë një term arbitrar të një progresion aritmetik?
Nuk është e vështirë për të marrë formulën e kërkuar për termin e n-të të një progresion aritmetik. Le të një
progresion aritmetik me diferencë d. Ne kemi: |
|
an+1 = an + d (n = 1; 2; : : :): |
|
Në veçanti, ne shkruajmë: |
|
a2 = a1 + d; |
|
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d; |
|
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d; |
|
dhe tani bëhet e qartë se formula për një është: |
|
an = a1 + (n 1)d: |
Problemi 1. Në progresionin aritmetik 2; 5; 8; njëmbëdhjetë; : : : gjeni formulën për anëtarin e n-të dhe njehsoni anëtarin e qindtë.
Zgjidhje. Sipas formulës (1) kemi:
an = 2 + 3(n 1) = 3n 1:
a100 = 3 100 1 = 299:
Vetia dhe shenja e progresionit aritmetik
Veti e progresionit aritmetik. Në progresionin aritmetik një për çdo
Me fjalë të tjera, çdo anëtar i një progresion aritmetik (duke filluar nga i dyti) është mesatarja aritmetike e anëtarëve fqinjë.
Dëshmi. Ne kemi: |
||||
a n 1 + a n+1 |
(an d) + (an + d) |
|||
që është ajo që kërkohej.
Në përgjithësi, progresioni aritmetik a plotëson barazinë
a n = a n k + a n+k
për çdo n > 2 dhe çdo k natyral< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).
Rezulton se formula (2) shërben jo vetëm si një kusht i domosdoshëm, por edhe si një kusht i mjaftueshëm që sekuenca të jetë një progresion aritmetik.
Shenja e progresionit aritmetik. Nëse barazia (2) vlen për të gjitha n > 2, atëherë sekuenca an është një progresion aritmetik.
Dëshmi. Le ta rishkruajmë formulën (2) si më poshtë:
a n a n 1 = a n+1 a n:
Nga kjo mund të shohim se ndryshimi an+1 an nuk varet nga n, dhe kjo do të thotë saktësisht se sekuenca an është një progresion aritmetik.
Vetia dhe shenja e një progresioni aritmetik mund të formulohen në formën e një deklarate; Për lehtësi, ne do ta bëjmë këtë për tre numra (kjo është situata që ndodh shpesh në probleme).
Karakterizimi i një progresion aritmetik. Tre numra a, b, c formojnë një progresion aritmetik nëse dhe vetëm nëse 2b = a + c.
Problemi 2. (MSU, Fakulteti Ekonomik, 2007) Tre numra 8x, 3 x2 dhe 4 në rendin e treguar formojnë një progresion aritmetik në rënie. Gjeni x dhe tregoni ndryshimin e këtij progresioni.
Zgjidhje. Nga vetia e progresionit aritmetik kemi:
2(3 x2) = 8x 4, 2x2 + 8x 10 = 0, x2 + 4x 5 = 0, x = 1; x = 5:
Nëse x = 1, atëherë marrim një progresion në rënie prej 8, 2, 4 me një ndryshim prej 6. Nëse x = 5, atëherë marrim një progresion në rritje prej 40, 22, 4; ky rast nuk është i përshtatshëm.
Përgjigje: x = 1, diferenca është 6.
Shuma e n termave të parë të një progresion aritmetik
Legjenda thotë se një ditë mësuesi u tha fëmijëve të gjenin shumën e numrave nga 1 deri në 100 dhe u ul në heshtje për të lexuar gazetën. Megjithatë, nuk kishin kaluar as pak minuta dhe një djalë tha se e kishte zgjidhur problemin. Ky ishte 9-vjeçari Carl Friedrich Gauss, më vonë një nga matematikanët më të mëdhenj në histori.
Ideja e Gausit të vogël ishte si më poshtë. Le
S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:
Le ta shkruajmë këtë shumë në rend të kundërt:
S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;
dhe shtoni këto dy formula:
2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):
Çdo term në kllapa është i barabartë me 101, dhe gjithsej janë 100 terma të tillë
2S = 101 100 = 10100;
Ne e përdorim këtë ide për të nxjerrë formulën e shumës
S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)
Një modifikim i dobishëm i formulës (3) merret nëse zëvendësojmë formulën e termit të n-të an = a1 + (n 1)d në të:
2a1 + (n 1)d |
|||||
Problemi 3. Gjeni shumën e të gjithë numrave treshifrorë pozitivë të pjesëtueshëm me 13.
Zgjidhje. Numrat treshifrorë që janë shumëfish të 13 formojnë një progresion aritmetik ku termi i parë është 104 dhe diferenca është 13; Termi n i këtij progresioni ka formën:
an = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n:
Le të zbulojmë se sa terma përmban përparimi ynë. Për ta bërë këtë, le të zgjidhim pabarazinë:
një 6 999; 91 + 13n 6 999;
n 6 908 13 = 6911 13; n 6 69:
Pra, janë 69 anëtarë në ecurinë tonë. Duke përdorur formulën (4) gjejmë sasinë e kërkuar:
S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2
Disa njerëz e trajtojnë fjalën "përparim" me kujdes, si një term shumë kompleks nga seksionet matematikë e lartë. Ndërkohë, progresioni më i thjeshtë aritmetik është puna e taksimatësit (aty ku ekzistojnë ende). Dhe të kuptuarit e thelbit (dhe në matematikë nuk ka asgjë më të rëndësishme sesa "të kuptuarit e thelbit") të një sekuence aritmetike nuk është aq e vështirë, pasi të keni analizuar disa koncepte elementare.
Sekuenca matematikore e numrave
Një sekuencë numerike zakonisht quhet një seri numrash, secila prej të cilëve ka numrin e vet.
a 1 është anëtari i parë i sekuencës;
dhe 2 është termi i dytë i sekuencës;
a 7 është anëtari i shtatë i sekuencës;
dhe n është anëtari i n-të i sekuencës;
Megjithatë, asnjë grup arbitrar numrash dhe numrash nuk na intereson. Ne do të përqendrojmë vëmendjen tonë në një sekuencë numerike në të cilën vlera e termit të n-të lidhet me numrin e tij rendor nga një marrëdhënie që mund të formulohet qartë matematikisht. Me fjalë të tjera: vlera numerike e numrit të n-të është një funksion i n-së.
a është vlera e një anëtari të një sekuence numerike;
n është numri i tij serial;
f(n) është një funksion, ku numri rendor në sekuencën numerike n është argumenti.
Përkufizimi
Një progresion aritmetik zakonisht quhet një sekuencë numerike në të cilën çdo term pasues është më i madh (më i vogël) se ai i mëparshmi me të njëjtin numër. Formula për termin e n-të të një sekuence aritmetike është si më poshtë:
a n - vlera e anëtarit aktual të progresionit aritmetik;
a n+1 - formula e numrit vijues;
d - ndryshim (numër i caktuar).
Është e lehtë të përcaktohet se nëse diferenca është pozitive (d>0), atëherë çdo anëtar i mëpasshëm i serisë në shqyrtim do të jetë më i madh se ai i mëparshmi dhe një progresion i tillë aritmetik do të rritet.
Në grafikun e mëposhtëm është e lehtë të kuptohet pse sekuenca e numrave quajtur "rritje".
Në rastet kur diferenca është negative (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.
Vlera e specifikuar e anëtarit
Ndonjëherë është e nevojshme të përcaktohet vlera e çdo termi arbitrar a n të një progresion aritmetik. Kjo mund të bëhet duke llogaritur në mënyrë sekuenciale vlerat e të gjithë anëtarëve të progresionit aritmetik, duke filluar nga i pari në atë të dëshiruar. Megjithatë, kjo rrugë nuk është gjithmonë e pranueshme nëse, për shembull, është e nevojshme të gjendet vlera e termit pesëmijë ose tetëmilionësh. Llogaritjet tradicionale do të marrin shumë kohë. Megjithatë, një progresion specifik aritmetik mund të studiohet duke përdorur formula të caktuara. Ekziston gjithashtu një formulë për termin e n-të: vlera e çdo termi të një progresioni aritmetik mund të përcaktohet si shuma e termit të parë të progresionit me diferencën e progresionit, shumëzuar me numrin e termit të dëshiruar, reduktuar me një.
Formula është universale për rritjen dhe uljen e progresionit.
Një shembull i llogaritjes së vlerës së një termi të caktuar
Le të zgjidhim problemin e mëposhtëm të gjetjes së vlerës së anëtarit të n-të të një progresion aritmetik.
Kushti: ekziston një progresion aritmetik me parametra:
Termi i parë i sekuencës është 3;
Diferenca në serinë e numrave është 1.2.
Detyrë: duhet të gjeni vlerën e 214 termave
Zgjidhja: për të përcaktuar vlerën e një termi të caktuar, ne përdorim formulën:
a(n) = a1 + d(n-1)
Duke zëvendësuar të dhënat nga deklarata e problemit në shprehje, kemi:
a(214) = a1 + d(n-1)
a (214) = 3 + 1.2 (214-1) = 258.6
Përgjigje: Termi 214 i vargut është i barabartë me 258.6.
Përparësitë e kësaj metode të llogaritjes janë të dukshme - e gjithë zgjidhja merr jo më shumë se 2 rreshta.
Shuma e një numri të caktuar termash
Shumë shpesh, në një seri të caktuar aritmetike, është e nevojshme të përcaktohet shuma e vlerave të disa prej segmenteve të saj. Për ta bërë këtë, gjithashtu nuk ka nevojë të llogaritni vlerat e secilit term dhe më pas t'i mblidhni ato. Kjo metodë është e zbatueshme nëse numri i termave shuma e të cilëve duhet gjetur është i vogël. Në raste të tjera, është më i përshtatshëm të përdorni formulën e mëposhtme.
Shuma e termave të një progresion aritmetik nga 1 në n është e barabartë me shumën e termave të parë dhe të n-të, shumëzuar me numrin e termit n dhe pjesëtuar me dy. Nëse në formulë vlera e termit të n-të zëvendësohet me shprehjen nga paragrafi i mëparshëm i artikullit, marrim:
Shembull i llogaritjes
Për shembull, le të zgjidhim një problem me kushtet e mëposhtme:
Termi i parë i sekuencës është zero;
Diferenca është 0.5.
Problemi kërkon përcaktimin e shumës së termave të serisë nga 56 në 101.
Zgjidhje. Le të përdorim formulën për përcaktimin e sasisë së progresionit:
s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2
Së pari, ne përcaktojmë shumën e vlerave të 101 termave të progresionit duke zëvendësuar kushtet e dhëna të problemit tonë në formulën:
s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2525
Natyrisht, për të gjetur shumën e termave të progresionit nga 56 në 101, është e nevojshme të zbritet S 55 nga S 101.
s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5
Kështu, shuma e progresionit aritmetik për këtë shembull është:
s 101 - s 55 = 2,525 - 742,5 = 1,782,5
Shembull i zbatimit praktik të progresionit aritmetik
Në fund të artikullit, le të kthehemi te shembulli i një sekuence aritmetike të dhënë në paragrafin e parë - një taksimetër (matësi i makinës taksi). Le të shqyrtojmë këtë shembull.
Hipja në taksi (e cila përfshin 3 km udhëtim) kushton 50 rubla. Çdo kilometër pasues paguhet në masën 22 rubla/km. Distanca e udhëtimit është 30 km. Llogaritni koston e udhëtimit.
1. Le të hedhim 3 km të parë, çmimi i të cilave përfshihet në koston e uljes.
30 - 3 = 27 km.
2. Llogaritja e mëtejshme nuk është gjë tjetër veçse analizimi i një serie numrash aritmetike.
Numri i anëtarëve - numri i kilometrave të udhëtuara (minus tre të parët).
Vlera e anëtarit është shuma.
Termi i parë në këtë problem do të jetë i barabartë me 1 = 50 rubla.
Diferenca e progresionit d = 22 r.
numri që na intereson është vlera e termit (27+1)-të të progresionit aritmetik - leximi i njehsorit në fund të kilometrit të 27-të është 27.999... = 28 km.
a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644
Llogaritjet e të dhënave kalendarike për një periudhë arbitrare të gjatë bazohen në formula që përshkruajnë sekuenca të caktuara numerike. Në astronomi, gjatësia e orbitës varet gjeometrikisht nga distanca e trupit qiellor nga ylli. Për më tepër, seri të ndryshme numrash përdoren me sukses në statistika dhe fusha të tjera të aplikuara të matematikës.
Një lloj tjetër i sekuencës së numrave është gjeometrik
Progresioni gjeometrik karakterizohet nga ritme më të mëdha ndryshimi në krahasim me progresionin aritmetik. Nuk është rastësi që në politikë, sociologji dhe mjekësi, për të treguar shpejtësinë e lartë të përhapjes së një fenomeni të caktuar, për shembull, një sëmundje gjatë një epidemie, thonë se procesi zhvillohet në progresion gjeometrik.
Termi N i serisë së numrave gjeometrikë ndryshon nga ai i mëparshmi në atë që shumëzohet me një numër konstant - emëruesi, për shembull, termi i parë është 1, emëruesi është përkatësisht i barabartë me 2, atëherë:
n=1: 1 ∙ 2 = 2
n=2: 2 ∙ 2 = 4
n=3: 4 ∙ 2 = 8
n=4: 8 ∙ 2 = 16
n=5: 16 ∙ 2 = 32,
b n - vlera e termit aktual të progresionit gjeometrik;
b n+1 - formula e termit vijues të progresionit gjeometrik;
q është emëruesi i progresionit gjeometrik (një numër konstant).
Nëse grafiku i një progresion aritmetik është një vijë e drejtë, atëherë një progresion gjeometrik paraqet një pamje paksa të ndryshme:
Ashtu si në rastin e aritmetikës, progresioni gjeometrik ka një formulë për vlerën e një termi arbitrar. Çdo term i n-të i një progresioni gjeometrik është i barabartë me produktin e termit të parë dhe emëruesin e progresionit në fuqinë e n reduktuar me një:
Shembull. Kemi një progresion gjeometrik me termin e parë të barabartë me 3 dhe emëruesin e progresionit të barabartë me 1.5. Le të gjejmë termin e 5-të të progresionit
b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15,1875
Shuma e një numri të caktuar termash llogaritet gjithashtu duke përdorur një formulë të veçantë. Shuma e n termave të parë të një progresioni gjeometrik është e barabartë me diferencën midis produktit të mandatit të n-të të progresionit dhe emëruesit të tij dhe anëtarit të parë të progresionit, pjesëtuar me emëruesin e reduktuar me një:
Nëse b n zëvendësohet duke përdorur formulën e diskutuar më sipër, vlera e shumës së n termave të parë të serisë së numrave në shqyrtim do të marrë formën:
Shembull. Progresioni gjeometrik fillon me termin e parë të barabartë me 1. Emëruesi është vendosur në 3. Le të gjejmë shumën e tetë anëtarëve të parë.
s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280
