Progresion i pafund gjeom. Progresioni gjeometrik. Një shembull me një zgjidhje. Formula për termin e n-të të një progresion gjeometrik

Le të shqyrtojmë një seri të caktuar.

7 28 112 448 1792...

Është absolutisht e qartë se vlera e ndonjë prej elementeve të tij është saktësisht katër herë më e madhe se ajo e mëparshme. Kjo do të thotë se ky serial është një progresion.

Një progresion gjeometrik është një sekuencë e pafundme numrash, tipari kryesor i të cilit është se numri tjetër merret nga ai i mëparshmi duke shumëzuar me një numër specifik. Kjo shprehet me formulën e mëposhtme.

a z +1 =a z ·q, ku z është numri i elementit të zgjedhur.

Prandaj, z ∈ N.

Periudha kur studiohet progresioni gjeometrik në shkollë është klasa e 9-të. Shembujt do t'ju ndihmojnë të kuptoni konceptin:

0.25 0.125 0.0625...

Bazuar në këtë formulë, emëruesi i progresionit mund të gjendet si më poshtë:

As q as b z nuk mund të jenë zero. Gjithashtu, secili prej elementeve të progresionit nuk duhet të jetë i barabartë me zero.

Prandaj, për të gjetur numrin tjetër në një seri, duhet të shumëzoni atë të fundit me q.

Për të vendosur këtë progresion, duhet të specifikoni elementin dhe emëruesin e tij të parë. Pas kësaj, është e mundur të gjendet ndonjë nga termat pasues dhe shuma e tyre.

Varietetet

Në varësi të q dhe a 1, ky progresion ndahet në disa lloje:

• Nëse edhe 1 edhe q janë më të mëdha se një, atëherë një sekuencë e tillë është një progresion gjeometrik që rritet me çdo element pasues. Një shembull i kësaj është paraqitur më poshtë.

Shembull: a 1 =3, q=2 - të dy parametrat janë më të mëdhenj se një.

Atëherë sekuenca e numrave mund të shkruhet kështu:

3 6 12 24 48 ...

• Nëse |q| është më pak se një, domethënë, shumëzimi me të është i barabartë me pjesëtimin, atëherë një progresion me kushte të ngjashme është një progresion gjeometrik në rënie. Një shembull i kësaj është paraqitur më poshtë.

Shembull: a 1 =6, q=1/3 - a 1 është më e madhe se një, q është më e vogël.

Pastaj sekuenca e numrave mund të shkruhet si më poshtë:

6 2 2/3 ... - çdo element është 3 herë më i madh se elementi pas tij.

• Shenjë alternative. Nëse q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Shembull: a 1 = -3, q = -2 - të dy parametrat janë më pak se zero.

Atëherë sekuenca e numrave mund të shkruhet kështu:

3, 6, -12, 24,...

Formulat

Ka shumë formula për përdorim të përshtatshëm të progresioneve gjeometrike:

• Formula e termit Z. Ju lejon të llogaritni një element nën një numër specifik pa llogaritur numrat e mëparshëm.

Shembull:q = 3, a 1 = 4. Kërkohet numërimi i elementit të katërt të progresionit.

Zgjidhja:a 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• Shuma e elementeve të parë, sasia e të cilëve është e barabartë me z. Ju lejon të llogaritni shumën e të gjithë elementëve të një sekuence deri nëa zpërfshirëse.

Që nga (1-q) është në emërues, atëherë (1 - q)≠ 0, pra q nuk është e barabartë me 1.

Shënim: nëse q=1, atëherë progresioni do të ishte një seri numrash që përsëriten pafundësisht.

Shuma e progresionit gjeometrik, shembuj:a 1 = 2, q= -2. Llogaritni S5.

Zgjidhja:S 5 = 22 - llogaritja duke përdorur formulën.

• Shuma nëse |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

Shembull:a 1 = 2 , q= 0,5. Gjeni shumën.

Zgjidhja:S z = 2 · = 4

S z = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Disa veti:

• Veti karakteristike. Nëse kushti i mëposhtëm punon për çdoz, atëherë seria e numrave të dhënë është një progresion gjeometrik:

a z 2 = a z -1 · az+1

• Gjithashtu, katrori i çdo numri në një progresion gjeometrik gjendet duke shtuar katrorët e çdo dy numrash të tjerë në një seri të caktuar, nëse ato janë në distancë të barabartë nga ky element.

a z 2 = a z - t 2 + a z + t 2 , Kut- distanca midis këtyre numrave.

• Elementetndryshojnë në qnjë herë.
• Logaritmet e elementeve të një progresion formojnë gjithashtu një progresion, por një aritmetik, domethënë secila prej tyre është më e madhe se e mëparshmja për një numër të caktuar.

Shembuj të disa problemeve klasike

Për të kuptuar më mirë se çfarë është një progresion gjeometrik, shembujt me zgjidhje për klasën 9 mund të ndihmojnë.

• Kushtet:a 1 = 3, a 3 = 48. Gjeniq.

Zgjidhja: çdo element pasues është më i madh se ai i mëparshmi nëq një herë.Është e nevojshme që disa elementë të shprehen në terma të të tjerëve duke përdorur një emërues.

Prandaj,a 3 = q 2 · a 1

Gjatë zëvendësimitq= 4

• Kushtet:a 2 = 6, a 3 = 12. Llogarit S 6.

Zgjidhja:Për ta bërë këtë, thjesht gjeni q, elementin e parë dhe zëvendësojeni atë në formulë.

a 3 = q· a 2 , prandaj,q= 2

a 2 = q · një 1,Kjo është arsyeja pse a 1 = 3

S 6 = 189

• · a 1 = 10, q= -2. Gjeni elementin e katërt të progresionit.

Zgjidhja: për ta bërë këtë, mjafton të shprehni elementin e katërt përmes të parës dhe përmes emëruesit.

a 4 = q 3· a 1 = -80

Shembull aplikimi:

• Një klient banke bëri një depozitë në shumën prej 10,000 rubla, sipas kushteve të së cilës çdo vit klientit do t'i shtohet 6% e saj në shumën e principalit. Sa para do të jenë në llogari pas 4 vjetësh?

Zgjidhja: Shuma fillestare është 10 mijë rubla. Kjo do të thotë që një vit pas investimit llogaria do të ketë një shumë të barabartë me 10,000 + 10,000 · 0,06 = 10000 1,06

Prandaj, shuma në llogari pas një viti tjetër do të shprehet si më poshtë:

(10000 · 1.06) · 0.06 + 10000 · 1.06 = 1.06 · 1.06 · 10000

Domethënë, çdo vit shuma rritet me 1.06 herë. Kjo do të thotë se për të gjetur shumën e fondeve në llogari pas 4 vitesh, mjafton të gjesh elementin e katërt të progresionit, i cili jepet nga elementi i parë i barabartë me 10 mijë dhe emëruesi i barabartë me 1.06.

S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10000 = 12625

Shembuj të problemeve të llogaritjes së shumës:

Progresioni gjeometrik përdoret në probleme të ndryshme. Një shembull për gjetjen e shumës mund të jepet si më poshtë:

a 1 = 4, q= 2, llogaritS 5.

Zgjidhja: të gjitha të dhënat e nevojshme për llogaritjen janë të njohura, thjesht duhet t'i zëvendësoni ato në formulë.

S 5 = 124

• a 2 = 6, a 3 = 18. Llogaritni shumën e gjashtë elementëve të parë.

Zgjidhja:

Në gjeom. progresion, çdo element tjetër është q herë më i madh se ai i mëparshmi, domethënë, për të llogaritur shumën që duhet të dini elementina 1 dhe emëruesq.

a 2 · q = a 3

q = 3

Në mënyrë të ngjashme, ju duhet të gjenia 1 , duke ditura 2 Dheq.

a 1 · q = a 2

a 1 =2

S 6 = 728.

>>Matematika: Progresion gjeometrik

Për lehtësinë e lexuesit, ky paragraf është ndërtuar pikërisht sipas të njëjtit plan që kemi ndjekur në paragrafin e mëparshëm.

1. Konceptet bazë.

Përkufizimi. Një sekuencë numerike, të gjithë anëtarët e së cilës janë të ndryshëm nga 0 dhe secili anëtar i të cilit, duke filluar nga i dyti, merret nga anëtari i mëparshëm duke e shumëzuar me të njëjtin numër quhet progresion gjeometrik. Në këtë rast, numri 5 quhet emëruesi i një progresion gjeometrik.

Kështu, një progresion gjeometrik është një sekuencë numerike (b n) e përcaktuar në mënyrë periodike nga relacionet

A është e mundur të shikohet një sekuencë numrash dhe të përcaktohet nëse është një progresion gjeometrik? Mund. Nëse jeni të bindur se raporti i çdo anëtari të sekuencës me anëtarin e mëparshëm është konstant, atëherë keni një progresion gjeometrik.
Shembulli 1.

1, 3, 9, 27, 81,... .
b 1 = 1, q = 3.

Shembulli 2.

Ky është një progresion gjeometrik që ka
Shembulli 3.

Ky është një progresion gjeometrik që ka
Shembulli 4.

8, 8, 8, 8, 8, 8,....

Ky është një progresion gjeometrik në të cilin b 1 - 8, q = 1.

Vini re se kjo sekuencë është gjithashtu një progresion aritmetik (shih shembullin 3 nga § 15).

Shembulli 5.

2,-2,2,-2,2,-2.....

Ky është një progresion gjeometrik në të cilin b 1 = 2, q = -1.

Natyrisht, një progresion gjeometrik është një sekuencë në rritje nëse b 1 > 0, q > 1 (shih shembullin 1), dhe një sekuencë zvogëluese nëse b 1 > 0, 0< q < 1 (см. пример 2).

Për të treguar se sekuenca (b n) është një progresion gjeometrik, shënimi i mëposhtëm ndonjëherë është i përshtatshëm:

Ikona zëvendëson frazën "progresion gjeometrik".
Le të vërejmë një veti kurioze dhe në të njëjtën kohë mjaft të dukshme të progresionit gjeometrik:
Nëse sekuenca është një progresion gjeometrik, pastaj sekuenca e katrorëve, d.m.th. është një progresion gjeometrik.
Në progresionin e dytë gjeometrik, termi i parë është i barabartë dhe i barabartë me q 2.
Nëse në një progresion gjeometrik i hedhim poshtë të gjithë termat pas b n, marrim një progresion të fundëm gjeometrik
Në paragrafët e mëtejshëm të këtij seksioni do të shqyrtojmë vetitë më të rëndësishme të progresionit gjeometrik.

2. Formula për termin e n-të të një progresion gjeometrik.

Konsideroni një progresion gjeometrik emërues q. Ne kemi:

Nuk është e vështirë të merret me mend se për çdo numër n barazia është e vërtetë

Kjo është formula për termin e n-të të një progresion gjeometrik.

Koment.

Nëse e keni lexuar vërejtjen e rëndësishme nga paragrafi i mëparshëm dhe e keni kuptuar atë, atëherë përpiquni të vërtetoni formulën (1) duke përdorur metodën e induksionit matematik, ashtu siç u veprua me formulën për mandatin e n-të të një progresion aritmetik.

Le të rishkruajmë formulën për termin e n-të të progresionit gjeometrik

dhe prezantoni shënimin: Marrim y = mq 2, ose, më në detaje,
Argumenti x gjendet në eksponent, kështu që ky funksion quhet funksion eksponencial. Kjo do të thotë që një progresion gjeometrik mund të konsiderohet si një funksion eksponencial i përcaktuar në bashkësinë N të numrave natyrorë. Në Fig. 96a tregon grafikun e funksionit Fig. 966 - grafiku i funksionit Në të dyja rastet, ne kemi pika të izoluara (me abshisa x = 1, x = 2, x = 3, etj.) të shtrira në një kurbë të caktuar (të dyja figurat tregojnë të njëjtën kurbë, vetëm të vendosura ndryshe dhe të përshkruara në shkallë të ndryshme). Kjo kurbë quhet kurbë eksponenciale. Më shumë detaje rreth funksionit eksponencial dhe grafikut të tij do të diskutohen në lëndën e algjebrës së klasës së 11-të.

Le të kthehemi te shembujt 1-5 nga paragrafi i mëparshëm.

1) 1, 3, 9, 27, 81,... . Ky është një progresion gjeometrik për të cilin b 1 = 1, q = 3. Le të krijojmë formulën për termin e ntë
2) Ky është një progresion gjeometrik për të cilin Le të krijojmë një formulë për termin e n-të

Ky është një progresion gjeometrik që ka Le të krijojmë formulën për termin e n-të
4) 8, 8, 8, ..., 8, ... . Ky është një progresion gjeometrik për të cilin b 1 = 8, q = 1. Le të krijojmë formulën për termin e n-të
5) 2, -2, 2, -2, 2, -2,.... Ky është një progresion gjeometrik në të cilin b 1 = 2, q = -1. Le të krijojmë formulën për termin e n-të

Shembulli 6.

Jepet një progresion gjeometrik

Në të gjitha rastet, zgjidhja bazohet në formulën e mandatit të n-të të progresionit gjeometrik

a) Duke vendosur n = 6 në formulën për termin e n-të të progresionit gjeometrik, marrim

b) kemi

Meqenëse 512 = 2 9, marrim n - 1 = 9, n = 10.

d) Kemi

Shembulli 7.

Dallimi midis termave të shtatë dhe të pestë të progresionit gjeometrik është 48, shuma e termave të pestë dhe të gjashtë të progresionit është gjithashtu 48. Gjeni termin e dymbëdhjetë të këtij progresioni.

Faza e parë. Hartimi i një modeli matematikor.

Kushtet e problemit mund të shkruhen shkurtimisht si më poshtë:

Duke përdorur formulën për termin e n-të të një progresion gjeometrik, marrim:
Atëherë kushti i dytë i problemit (b 7 - b 5 = 48) mund të shkruhet si

Kushti i tretë i problemës (b 5 + b 6 = 48) mund të shkruhet si

Si rezultat, marrim një sistem prej dy ekuacionesh me dy ndryshore b 1 dhe q:

i cili, në kombinim me kushtin 1) të shkruar më sipër, paraqet një model matematikor të problemit.

Faza e dytë.

Puna me modelin e përpiluar. Duke barazuar anët e majta të të dy ekuacioneve të sistemit, marrim:

(të dyja anët e ekuacionit i kemi ndarë me shprehjen jozero b 1 q 4).

Nga ekuacioni q 2 - q - 2 = 0 gjejmë q 1 = 2, q 2 = -1. Duke zëvendësuar vlerën q = 2 në ekuacionin e dytë të sistemit, marrim
Duke zëvendësuar vlerën q = -1 në ekuacionin e dytë të sistemit, marrim b 1 1 0 = 48; ky ekuacion nuk ka zgjidhje.

Pra, b 1 =1, q = 2 - ky çift është zgjidhja e sistemit të përpiluar të ekuacioneve.

Tani mund të shkruajmë progresionin gjeometrik të diskutuar në problem: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... .

Faza e tretë.

Përgjigju pyetjes problemore. Ju duhet të llogaritni b 12. Ne kemi

Përgjigje: b 12 = 2048.

3. Formula për shumën e termave të një progresion të fundëm gjeometrik.

Le të jepet një progresion i kufizuar gjeometrik

Le të shënojmë me S n shumën e termave të tij, d.m.th.

Le të nxjerrim një formulë për të gjetur këtë shumë.

Le të fillojmë me rastin më të thjeshtë, kur q = 1. Atëherë progresioni gjeometrik b 1 , b 2 , b 3 ,..., bn përbëhet nga n numra të barabartë me b 1 , d.m.th. progresioni duket si b 1, b 2, b 3, ..., b 4. Shuma e këtyre numrave është nb 1.

Le tash q = 1 Për të gjetur S n, zbatojmë një teknikë artificiale: kryejmë disa shndërrime të shprehjes S n q. Ne kemi:

Gjatë kryerjes së transformimeve, së pari kemi përdorur përkufizimin e një progresion gjeometrik, sipas të cilit (shih linjën e tretë të arsyetimit); së dyti, kanë shtuar dhe zbritur, prandaj kuptimi i shprehjes, natyrisht, nuk ka ndryshuar (shih rreshtin e katërt të arsyetimit); së treti, ne përdorëm formulën për termin e n-të të një progresion gjeometrik:

Nga formula (1) gjejmë:

Kjo është formula për shumën e n termave të një progresion gjeometrik (për rastin kur q = 1).

Shembulli 8.

Jepet një progresion i kufizuar gjeometrik

a) shuma e kushteve të progresionit; b) shumën e katrorëve të termave të saj.

b) Më lart (shih f. 132) kemi vërejtur tashmë se nëse të gjithë termat e një progresion gjeometrik janë në katror, ​​atëherë marrim një progresion gjeometrik me termin e parë b 2 dhe emëruesin q 2. Pastaj shuma e gjashtë termave të progresionit të ri do të llogaritet me

Shembulli 9.

Gjeni termin e 8-të të progresionit gjeometrik për të cilin

Në fakt, ne kemi vërtetuar teoremën e mëposhtme.

Një sekuencë numerike është një progresion gjeometrik nëse dhe vetëm nëse katrori i secilit prej termave të tij, përveç teoremës së parë (dhe të fundit, në rastin e një sekuence të fundme), është i barabartë me produktin e termave të mëparshëm dhe të mëpasshëm ( një veti karakteristike e një progresioni gjeometrik).

Nga Masterweb

22.09.2018 22:00

Progresioni gjeometrik, së bashku me progresionin aritmetik, është një seri numrash e rëndësishme që studiohet në lëndën e algjebrës shkollore në klasën e 9-të. Në këtë artikull do të shohim emëruesin e një progresion gjeometrik dhe se si vlera e tij ndikon në vetitë e tij.

Përkufizimi i progresionit gjeometrik

Së pari, le të japim përkufizimin e kësaj serie numrash. Një progresion gjeometrik është një seri numrash racionalë që formohen duke shumëzuar në mënyrë sekuenciale elementin e tij të parë me një numër konstant të quajtur emërues.

Për shembull, numrat në seritë 3, 6, 12, 24, ... janë një progresion gjeometrik, sepse nëse shumëzoni 3 (elementin e parë) me 2, merrni 6. Nëse shumëzoni 6 me 2, merrni 12, e kështu me radhë.

Anëtarët e sekuencës në shqyrtim zakonisht shënohen me simbolin ai, ku i është një numër i plotë që tregon numrin e elementit në seri.

Përkufizimi i mësipërm i progresionit mund të shkruhet në gjuhën matematikore si më poshtë: an = bn-1 * a1, ku b është emëruesi. Është e lehtë të kontrollosh këtë formulë: nëse n = 1, atëherë b1-1 = 1, dhe marrim a1 = a1. Nëse n = 2, atëherë an = b * a1, dhe përsëri vijmë te përkufizimi i serisë së numrave në fjalë. Arsyetimi i ngjashëm mund të vazhdohet për vlera të mëdha të n.

Emëruesi i progresionit gjeometrik

Numri b përcakton plotësisht se çfarë karakteri do të ketë e gjithë seria e numrave. Emëruesi b mund të jetë pozitiv, negativ ose më i madh ose më i vogël se një. Të gjitha opsionet e mësipërme çojnë në sekuenca të ndryshme:

• b > 1. Ka një seri numrash racionalë në rritje. Për shembull, 1, 2, 4, 8, ... Nëse elementi a1 është negativ, atëherë e gjithë sekuenca do të rritet vetëm në vlerë absolute, por do të zvogëlohet në varësi të shenjës së numrave.
• b = 1. Shpesh ky rast nuk quhet progresion, pasi ekziston një seri e zakonshme numrash racionalë identikë. Për shembull, -4, -4, -4.

Formula për shumën

Përpara se të kalojmë në shqyrtimin e problemeve specifike duke përdorur emëruesin e llojit të progresionit në shqyrtim, duhet të jepet një formulë e rëndësishme për shumën e n elementëve të tij të parë. Formula duket si: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).

Këtë shprehje mund ta merrni vetë nëse merrni parasysh sekuencën rekursive të termave të progresionit. Gjithashtu vini re se në formulën e mësipërme mjafton të njihni vetëm elementin e parë dhe emëruesin për të gjetur shumën e një numri arbitrar termash.

Sekuenca pafundësisht në rënie

Një shpjegim u dha më lart se çfarë është. Tani, duke ditur formulën për Sn, le ta zbatojmë atë në këtë seri numrash. Meqenëse çdo numër, moduli i të cilit nuk e kalon 1, tenton në zero kur rritet në fuqi të mëdha, domethënë b∞ => 0 nëse -1

Meqenëse diferenca (1 - b) do të jetë gjithmonë pozitive, pavarësisht nga vlera e emëruesit, shenja e shumës së një progresion gjeometrik pafundësisht në rënie S∞ përcaktohet në mënyrë unike nga shenja e elementit të tij të parë a1.

Tani le të shohim disa probleme ku do të tregojmë se si të zbatojmë njohuritë e marra në numra specifikë.

Detyra nr. 1. Llogaritja e elementeve të panjohura të progresionit dhe shumës

Duke pasur parasysh një progresion gjeometrik, emëruesi i progresionit është 2, dhe elementi i tij i parë është 3. Me çfarë do të jenë të barabartë termat e 7-të dhe të 10-të të tij dhe sa është shuma e shtatë elementeve fillestare të tij?

Gjendja e problemit është mjaft e thjeshtë dhe përfshin përdorimin e drejtpërdrejtë të formulave të mësipërme. Pra, për të llogaritur numrin e elementit n, përdorim shprehjen an = bn-1 * a1. Për elementin e 7-të kemi: a7 = b6 * a1, duke zëvendësuar të dhënat e njohura, marrim: a7 = 26 * 3 = 192. Të njëjtën gjë bëjmë edhe për termin e 10-të: a10 = 29 * 3 = 1536.

Le të përdorim formulën e njohur për shumën dhe të përcaktojmë këtë vlerë për 7 elementët e parë të serisë. Ne kemi: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.

Problemi nr. 2. Përcaktimi i shumës së elementeve arbitrare të një progresion

Le të jetë -2 e barabartë me emëruesin e progresionit gjeometrik bn-1 * 4, ku n është një numër i plotë. Është e nevojshme të përcaktohet shuma nga elementi i 5-të në të 10-të të kësaj serie, përfshirëse.

Problemi i paraqitur nuk mund të zgjidhet drejtpërdrejt duke përdorur formula të njohura. Mund të zgjidhet duke përdorur 2 metoda të ndryshme. Për plotësinë e prezantimit të temës, i paraqesim të dyja.

Metoda 1. Ideja është e thjeshtë: duhet të llogaritni dy shumat korresponduese të termave të parë dhe më pas të zbrisni tjetrën nga njëri. Ne llogarisim shumën më të vogël: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Tani llogarisim shumën më të madhe: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Vini re se në shprehjen e fundit u përmblodhën vetëm 4 terma, pasi i pesti tashmë është përfshirë në shumën që duhet të llogaritet sipas kushteve të problemit. Së fundi, marrim ndryshimin: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.

Metoda 2. Përpara se të zëvendësoni numrat dhe të numëroni, mund të merrni një formulë për shumën midis termave m dhe n të serisë në fjalë. Ne bëjmë saktësisht të njëjtën gjë si në metodën 1, vetëm se fillimisht punojmë me paraqitjen simbolike të shumës. Kemi: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Ju mund të zëvendësoni numrat e njohur në shprehjen që rezulton dhe të llogaritni rezultatin përfundimtar: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.

Problemi nr 3. Cili është emëruesi?

Le të gjejmë a1 = 2, emëruesin e progresionit gjeometrik, me kusht që shuma e tij e pafundme të jetë 3, dhe dihet se kjo është një seri numrash në rënie.

Bazuar në kushtet e problemit, nuk është e vështirë të merret me mend se cila formulë duhet të përdoret për ta zgjidhur atë. Sigurisht, për shumën e progresionit pafundësisht në rënie. Kemi: S∞ = a1 / (1 - b). Nga ku shprehim emëruesin: b = 1 - a1 / S∞. Mbetet për të zëvendësuar vlerat e njohura dhe për të marrë numrin e kërkuar: b = 1 - 2 / 3 = -1 / 3 ose -0.333(3). Këtë rezultat mund ta kontrollojmë në mënyrë cilësore nëse kujtojmë se për këtë lloj sekuence moduli b nuk duhet të shkojë përtej 1. Siç shihet, |-1 / 3|

Detyra nr. 4. Rivendosja e një serie numrash

Le të jepen 2 elementë të një serie numrash, për shembull, i 5-ti është i barabartë me 30 dhe i 10-ti është i barabartë me 60. Është e nevojshme të rindërtohet e gjithë seria nga këto të dhëna, duke ditur se ajo plotëson vetitë e një progresion gjeometrik.

Për të zgjidhur problemin, fillimisht duhet të shkruani shprehjen përkatëse për çdo term të njohur. Kemi: a5 = b4 * a1 dhe a10 = b9 * a1. Tani ndajmë shprehjen e dytë me të parën, marrim: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. Prej këtu përcaktojmë emëruesin duke marrë rrënjën e pestë të raportit të termave të njohur nga deklarata e problemit, b = 1,148698. Ne e zëvendësojmë numrin që rezulton në një nga shprehjet për elementin e njohur, marrim: a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698)4 = 17.2304966.

Një progresion gjeometrik është një sekuencë numerike, termi i parë i së cilës është jo zero, dhe çdo term pasues është i barabartë me termin e mëparshëm të shumëzuar me të njëjtin numër jozero.

Shënohet progresion gjeometrik b1,b2,b3, …, bn, ….

Raporti i çdo termi të gabimit gjeometrik me termin e tij të mëparshëm është i barabartë me të njëjtin numër, domethënë, b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = ... = bn/b(n-1) = b( n+1)/bn = … . Kjo rrjedh drejtpërdrejt nga përkufizimi i një progresion aritmetik. Ky numër quhet emëruesi i një progresion gjeometrik. Zakonisht emëruesi i një progresion gjeometrik shënohet me shkronjën q.

Sekuencë monotone dhe konstante

Një nga mënyrat për të specifikuar një progresion gjeometrik është të specifikoni termin e parë b1 dhe emëruesin e gabimit gjeometrik q. Për shembull, b1=4, q=-2. Këto dy kushte përcaktojnë progresionin gjeometrik 4, -8, 16, -32, ....

Nëse q>0 (q nuk është e barabartë me 1), atëherë progresioni është sekuencë monotone. Për shembull, sekuenca, 2, 4,8,16,32, ... është një sekuencë monotonike në rritje (b1=2, q=2).

Nëse emëruesi në gabimin gjeometrik është q=1, atëherë të gjithë termat e progresionit gjeometrik do të jenë të barabartë me njëri-tjetrin. Në raste të tilla thonë se progresi është sekuencë konstante.

Formula për termin e n-të të një progresion gjeometrik

Në mënyrë që një sekuencë numrash (bn) të jetë një progresion gjeometrik, është e nevojshme që secili prej anëtarëve të tij, duke filluar nga i dyti, të jetë mesatarja gjeometrike e anëtarëve fqinjë. Kjo do të thotë, është e nevojshme të përmbushet ekuacioni i mëposhtëm
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2), për çdo n>0, ku n i përket bashkësisë së numrave natyrorë N.

Formula për termin e n-të të progresionit gjeometrik është:

bn=b1*q^(n-1),

ku n i përket bashkësisë së numrave natyrorë N.

Formula për shumën e n termave të parë të një progresion gjeometrik

Formula për shumën e n termave të parë të një progresion gjeometrik ka formën:

Sn = (bn*q - b1)/(q-1), ku q nuk është e barabartë me 1.

Le të shohim një shembull të thjeshtë:

Në progresionin gjeometrik b1=6, q=3, n=8 gjeni Sn.

Për të gjetur S8, ne përdorim formulën për shumën e n termave të parë të një progresion gjeometrik.

S8= (6*(3^8 -1))/(3-1) = 19680.

Progresione aritmetike dhe gjeometrike

Informacion teorik

Informacion teorik

	Progresioni aritmetik	Progresioni gjeometrik
Përkufizimi	Progresioni aritmetik a nështë një sekuencë në të cilën çdo anëtar, duke filluar nga i dyti, është i barabartë me anëtarin e mëparshëm të shtuar në të njëjtin numër d (d- dallimi i progresionit)	Progresioni gjeometrik b nështë një sekuencë numrash jozero, secili term i të cilit, duke filluar nga i dyti, është i barabartë me termin e mëparshëm të shumëzuar me të njëjtin numër q (q- emëruesi i progresionit)
Formula e përsëritjes	Për çdo natyrale n a n + 1 = a n + d	Për çdo natyrale n b n + 1 = b n ∙ q, b n ≠ 0
Formula e termit të ntë	a n = a 1 + d (n – 1)	b n = b 1 ∙ q n - 1 , b n ≠ 0
Veti karakteristike
Shuma e n termave të parë

Shembuj detyrash me komente

Ushtrimi 1

Në progresion aritmetik ( a n) a 1 = -6, a 2

Sipas formulës së termit të n-të:

një 22 = a 1+ d (22 - 1) = a 1+ 21 d

Sipas kushtit:

a 1= -6, atëherë një 22= -6 + 21 d .

Është e nevojshme të gjesh ndryshimin e progresioneve:

d = a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2

një 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

Përgjigje: një 22 = -48.

Detyra 2

Gjeni termin e pestë të progresionit gjeometrik: -3; 6;....

Metoda e parë (duke përdorur formulën n-term)

Sipas formulës për mandatin e n-të të një progresion gjeometrik:

b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.

Sepse b 1 = -3,

Metoda e dytë (duke përdorur formulën e përsëritur)

Meqenëse emëruesi i progresionit është -2 (q = -2), atëherë:

b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

Përgjigje: b 5 = -48.

Detyra 3

Në progresion aritmetik ( a n) a 74 = 34; një 76= 156. Gjeni termin e shtatëdhjetë e pestë të këtij progresioni.

Për një progresion aritmetik, vetia karakteristike ka formën .

Prandaj:

.

Le t'i zëvendësojmë të dhënat në formulën:

Përgjigje: 95.

Detyra 4

Në progresion aritmetik ( a n) a n= 3n - 4. Gjeni shumën e shtatëmbëdhjetë anëtarëve të parë.

Për të gjetur shumën e n termave të parë të një progresion aritmetik, përdoren dy formula:

.

Cili prej tyre është më i përshtatshëm për t'u përdorur në këtë rast?

Sipas kushtit, formula për termin e n-të të progresionit origjinal është e njohur ( a n) a n= 3n - 4. Ju mund të gjeni menjëherë dhe a 1, Dhe një 16 pa gjetur d. Prandaj, ne do të përdorim formulën e parë.

Përgjigje: 368.

Detyra 5

Në progresion aritmetik ( a n) a 1 = -6; a 2= -8. Gjeni termin e njëzet e dytë të progresionit.

Sipas formulës së termit të n-të:

a 22 = a 1 + d (22 – 1) = a 1+ 21 ditë.

Me kusht, nëse a 1= -6, atëherë një 22= -6 + 21d . Është e nevojshme të gjesh ndryshimin e progresioneve:

d = a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2

një 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

Përgjigje: një 22 = -48.

Detyra 6

Shkruhen disa terma të njëpasnjëshëm të progresionit gjeometrik:

Gjeni termin e progresionit të treguar nga x.

Gjatë zgjidhjes, ne do të përdorim formulën për termin e n-të b n = b 1 ∙ q n - 1 për progresionet gjeometrike. Afati i parë i progresionit. Për të gjetur emëruesin e progresionit q, duhet të merrni ndonjë nga termat e dhënë të progresionit dhe të pjesëtoni me atë të mëparshëm. Në shembullin tonë, ne mund të marrim dhe të ndajmë me. Ne marrim q = 3. Në vend të n, ne zëvendësojmë 3 në formulë, pasi është e nevojshme të gjejmë termin e tretë të një progresion të caktuar gjeometrik.

Duke zëvendësuar vlerat e gjetura në formulë, marrim:

.

Përgjigje:.

Detyra 7

Nga progresionet aritmetike të dhëna nga formula e termit të n-të, zgjidhni atë për të cilin kushti është i plotësuar. një 27 > 9:

Meqenëse kushti i dhënë duhet të plotësohet për termin e 27-të të progresionit, ne zëvendësojmë 27 në vend të n në secilin nga katër progresionet. Në progresionin e 4-të marrim:

.

Përgjigje: 4.

Detyra 8

Në progresion aritmetik a 1= 3, d = -1,5. Specifikoni vlerën më të madhe të n-së për të cilën vlen pabarazia a n > -6.