Hapësira lineare vektoriale dhe vetitë e saj të aksiomës. Hapësira lineare vektoriale: përkufizimi, vetitë. Çfarë është një kombinim linear i vektorëve?

Materiali nga Wikipedia - enciklopedia e lirë

Vektor(ose lineare) hapësirë- një strukturë matematikore, e cila është një grup elementësh të quajtur vektorë, për të cilët përcaktohen veprimet e mbledhjes me njëri-tjetrin dhe shumëzimit me një numër - një skalar. Këto operacione u nënshtrohen tetë aksiomave. Skalarët mund të jenë elementë të fushës së numrave realë, kompleksë ose të çdo fushe tjetër. Një rast i veçantë i një hapësire të tillë është hapësira e zakonshme tredimensionale Euklidiane, vektorët e së cilës përdoren, për shembull, për të përfaqësuar forcat fizike. Duhet të theksohet se një vektor si një element i hapësirës vektoriale nuk duhet domosdoshmërisht të specifikohet në formën e një segmenti të drejtuar. Përgjithësimi i konceptit të "vektorit" në një element të një hapësire vektoriale të çdo natyre jo vetëm që nuk shkakton konfuzion të termave, por gjithashtu bën të mundur kuptimin apo edhe parashikimin e një numri rezultatesh që janë të vlefshme për hapësirat me natyrë arbitrare.

Hapësirat vektoriale janë subjekt i algjebrës lineare. Një nga karakteristikat kryesore të një hapësire vektoriale është dimensioni i saj. Dimensioni përfaqëson numrin maksimal të elementeve linearisht të pavarur të hapësirës, ​​domethënë përdorimin e një përshkrimi të përafërt gjeometrik, numrin e drejtimeve që nuk mund të shprehen përmes njëri-tjetrit vetëm përmes operacioneve të mbledhjes dhe shumëzimit me një skalar. Hapësira vektoriale mund të jetë e pajisur me struktura shtesë, të tilla si një normë ose një produkt i brendshëm. Hapësira të tilla shfaqen natyrshëm në analizën matematikore, kryesisht në formën e hapësirave funksionale me dimensione të pafundme ( anglisht), ku funksionet . Shumë probleme të analizës kërkojnë gjetjen nëse një sekuencë vektorësh konvergjon në një vektor të caktuar. Shqyrtimi i pyetjeve të tilla është i mundur në hapësira vektoriale me strukturë shtesë, në shumicën e rasteve një topologji e përshtatshme, e cila na lejon të përcaktojmë konceptet e afërsisë dhe vazhdimësisë. Hapësira të tilla vektoriale topologjike, në veçanti hapësirat Banach dhe Hilbert, lejojnë studim më të thellë.

Përveç vektorëve, algjebra lineare studion edhe tensorët e rangut më të lartë (një skalar konsiderohet një tensor i gradës 0, një vektor konsiderohet një tensor i rangut 1).

Punimet e para që parashikuan prezantimin e konceptit të hapësirës vektoriale datojnë në shekullin e 17-të. Pikërisht atëherë filluan të zhvillohen gjeometria analitike, doktrina e matricave, sistemet e ekuacioneve lineare dhe vektorët Euklidianë.

Përkufizimi

Linear, ose hapësirë ​​vektoriale $V\backslash majtas(F\backslash djathtas)$ mbi fushë $F$- kjo është një katër e porositur $(V,F,+,\backslash cdot)$, Ku

• $V$- një grup jo bosh elementësh të natyrës arbitrare, të cilat quhen vektorët;
• $F$- fushë (algjebrike) elementet e së cilës quhen skalarët;
• Operacioni i përcaktuar shtesë vektorët $V\backslash \; herë\; V\backslash \; deri\; në\; V$, i cili shoqëron çdo çift elementësh $\backslash mathbf(x),\; \backslash mathbf(y)$ grupe $V$ $V$ i thirri ata shuma dhe të caktuar $\backslash mathbf(x)\; +\; \backslash mathbf(y)$;
• Operacioni i përcaktuar duke shumëzuar vektorët me skalorë $F\backslash \; herë\; V\backslash \; deri\; në\; V$, duke përputhur çdo element $\backslash lambda$ fusha $F$ dhe çdo element $\backslash mathbf(x)$ grupe $V$ elementi i vetëm i grupit $V$, shënohet $\backslash lambda\backslash cdot\backslash mathbf(x)$ ose $\backslash lambda\backslash mathbf(x)$;

Hapësirat vektoriale të përcaktuara në të njëjtin grup elementësh, por në fusha të ndryshme, do të jenë hapësira të ndryshme vektoriale (për shembull, grupi i çifteve të numrave realë $\backslash mathbb(R)^2$ mund të jetë një hapësirë ​​vektoriale dydimensionale mbi fushën e numrave realë ose njëdimensionale - mbi fushën e numrave kompleksë).

Karakteristikat më të thjeshta

1. Hapësira vektoriale është një grup Abelian nën mbledhje.
2. Element neutral $\backslash mathbf(0)\; \backslash në\; V$
3. $0\backslash cdot\backslash mathbf(x)\; =\; \backslash mathbf(0)$ për këdo $\backslash mathbf(x)\; \backslash në\; V$.
4. Për këdo $\backslash mathbf(x)\; \backslash në\; V$ element i kundërt $-\backslash mathbf(x)\backslash në\; V$është e vetmja gjë që rrjedh nga vetitë e grupit.
5. $1\backslash cdot\backslash mathbf(x)\; =\; \backslash mathbf(x)$ për këdo $\backslash mathbf(x)\; \backslash në\; V$.
6. $(-\backslash alfa)\backslash cdot\backslash mathbf(x)\; =\; \backslash alfa\backslash cdot(-\backslash mathbf(x))\; =\; -(\backslash alfa\backslash mathbf(x))$ për çdo $\backslash alfa\backslash në\; F$ Dhe $\backslash mathbf(x)\; \backslash në\; V$.
7. $\backslash alfa\backslash cdot\; \backslash mathbf(0)\; =\; \backslash mathbf(0)$ për këdo $\backslash alfa\backslash në\; F$.

Përkufizime dhe veti të ngjashme

Nënhapësirë

Përkufizimi algjebrik: Nënhapësirë ​​lineare ose nënhapësirë ​​vektoriale- nëngrup jo bosh $K$ hapësirë ​​lineare $V$ sikurse $K$është në vetvete një hapësirë ​​lineare në lidhje me ato të përcaktuara në $V$ veprimet e mbledhjes dhe shumëzimit me një skalar. Bashkësia e të gjitha nënhapësirave zakonisht shënohet si $\backslash mathrm(latinisht)(V)$. Që një nënbashkësi të jetë një nënhapësirë ​​është e nevojshme dhe e mjaftueshme që

1. për çdo vektor $\backslash mathbf(x)\backslash në\; K$, vektor $\backslash alfa\backslash mathbf(x)$ gjithashtu i përkiste $K$, për çdo $\backslash alfa\backslash në\; F$;
2. për të gjithë vektorët $\backslash mathbf(x),\; \backslash mathbf(y)\; \backslash në\; K$, vektor $\backslash mathbf(x)+\backslash mathbf(y)$ gjithashtu i përkiste $K$.

Dy deklaratat e fundit janë ekuivalente me sa vijon:

Për të gjithë vektorët $\backslash mathbf(x),\; \backslash mathbf(y)\; \backslash në\; K$, vektor $\backslash alfa\backslash mathbf(x)+\backslash beta\backslash mathbf(y)$ gjithashtu i përkiste $K$ për çdo $\backslash alfa,\; \backslash beta\backslash në\; F$.

Në veçanti, një hapësirë ​​vektoriale e përbërë nga vetëm një vektor zero është një nënhapësirë ​​e çdo hapësire; çdo hapësirë ​​është një nënhapësirë ​​më vete. Nënhapësirat që nuk përkojnë me këto dy quhen vet ose jo i parëndësishëm.

Vetitë e nënhapësirave

• Kryqëzimi i çdo familjeje nënhapësirësh është përsëri një nënhapësirë;
• Shuma e nënhapësirave $\backslash (K\_i\backslash quad|\backslash katër\; i\; \backslash në\; 1\backslash ldots\; N\backslash )$ përkufizohet si një grup që përmban të gjitha shumat e mundshme të elementeve $K\_i$: $\backslash sum\_(i=1)^N\; (K\_i):=\; \backslash (\backslash mathbf(x)\_1\; +\; \backslash mathbf(x)\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash mathbf(x)\_N\backslash quad|\backslash quad\; \backslash mathbf(x)\_i\; \backslash në\; K\_i\backslash quad\; (i\backslash në\; 1\backslash ldots\; N)\backslash )$.
  • Shuma e një familjeje të fundme nënhapësirësh është përsëri një nënhapësirë.

Kombinimet lineare

Shuma përfundimtare e formularit

$\backslash alpha\_1\backslash mathbf(x)\_1\; +\; \backslash alfa\_2\backslash mathbf(x)\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash alpha\_n\backslash mathbf(x)\_n$

Kombinimi linear quhet:

Baza. Dimensioni

Vektorët $\backslash mathbf(x)\_1,\; \backslash mathbf(x)\_2,\; \backslash ldots,\; \backslash mathbf(x)\_n$ quhen varur në mënyrë lineare, nëse ekziston një kombinim linear jo i parëndësishëm i tyre i barabartë me zero:

$\backslash alfa\_1\backslash mathbf(x)\_1\; +\; \backslash alfa\_2\backslash mathbf(x)\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash alfa\_n\backslash mathbf(x)\_n\; =\; \backslash mathbf(0),\; \backslash katër\; \backslash \; |\backslash alfa\_1|\; +\; |\backslash alfa\_2|\; +\; \backslash ldots\; +\; |\backslash alfa\_n|\; \backslash neq\; 0.$

Ndryshe quhen këta vektorë i pavarur në mënyrë lineare.

Ky përkufizim lejon përgjithësimin e mëposhtëm: një grup i pafund vektorësh nga $V$ thirrur varur në mënyrë lineare, nëse disa janë të varura në mënyrë lineare final një nëngrup i tij, dhe i pavarur në mënyrë lineare, nëse ndonjë prej tyre final nëngrupi është linearisht i pavarur.

Karakteristikat e bazës:

• Çdo $n$ elemente të pavarura në mënyrë lineare $n$-forma e hapësirës dimensionale bazë këtë hapësirë.
• Çdo vektor $\backslash mathbf(x)\; \backslash në\; V$ mund të përfaqësohet (në mënyrë unike) si një kombinim linear i fundëm i elementeve bazë:

$\backslash mathbf(x)\; =\; \backslash alpha\_1\backslash mathbf(x)\_1\; +\; \backslash alpha\_2\backslash mathbf(x)\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash alpha\_n\backslash mathbf(x)\_n$.

Predha lineare

Predha lineare $\backslash mathcal\; V(X)$ nënbashkësi $X$ hapësirë ​​lineare $V$- kryqëzimi i të gjitha nënhapësirave $V$ që përmban $X$.

Hapësira lineare është një nënhapësirë $V$.

Guaska lineare quhet gjithashtu nënhapësirë ​​e krijuar $X$. Thuhet gjithashtu se guaska lineare $\backslash mathcal\; V(X)$- hapësirë, i shtrirë një tufë me $X$.

Predha lineare $\backslash mathcal\; V(X)$ përbëhet nga të gjitha kombinimet e mundshme lineare të nënsistemeve të ndryshme të fundme të elementeve nga $X$. Në veçanti, nëse $X$ atëherë është një grup i kufizuar $\backslash mathcal\; V(X)$ përbëhet nga të gjitha kombinimet lineare të elementeve $X$. Kështu, vektori zero gjithmonë i përket trupit linear.

Nëse $X$është një grup linear i pavarur, atëherë është një bazë $\backslash mathcal\; V(X)$ dhe në këtë mënyrë përcakton dimensionin e tij.

Shembuj

• Një hapësirë ​​nule, elementi i vetëm i së cilës është zero.
• Hapësira e të gjitha funksioneve $X\backslash \; tek\; F$ me mbështetje të fundme formon një hapësirë ​​vektoriale me dimension të barabartë me kardinalitetin $X$.
• Fusha e numrave real mund të konsiderohet si një hapësirë ​​vektoriale kontinuum-dimensionale mbi fushën e numrave racionalë.
• Çdo fushë është një hapësirë ​​njëdimensionale mbi vetveten.

Struktura shtesë

Shiko gjithashtu

Shkruani një koment për artikullin "Hapësira vektoriale"

Shënime

Letërsia

• Gelfand I. M. Ligjërata mbi algjebrën lineare. - 5. - M.: Dobrosvet, MTsNMO, 1998. - 319 f. - ISBN 5-7913-0015-8.
• Gelfand I. M. Ligjërata mbi algjebrën lineare. Ed. 5. - M.: Dobrosvet, MTsNMO, 1998. - 320 f. - ISBN 5-7913-0016-6.
• Kostrikin A. I., Manin Yu. I. Algjebra dhe gjeometria lineare. botimi i 2-të. - M.: Nauka, 1986. - 304 f.
• Kostrikin A.I. Hyrje në algjebër. Pjesa 2: Algjebra lineare. - 3. - M.: Nauka., 2004. - 368 f. - (Libër shkollor universitar).
• Maltsev A. I. Bazat e algjebrës lineare. - 3. - M.: Nauka, 1970. - 400 f.

• Postnikov M. M. Algjebër lineare (Ligjërata mbi gjeometrinë. Semestri II). - 2. - M.: Nauka, 1986. - 400 f.
• Strang G. Algjebra lineare dhe aplikimet e saj. - M.: Mir, 1980. - 454 f.
• Ilyin V. A., Poznyak E. G. Algjebër lineare. botimi i 6-të. - M.: Fizmatlit, 2010. - 280 f. - ISBN 978-5-9221-0481-4.
• Halmos P. Hapësirat vektoriale me dimensione të fundme. - M.: Fizmatgiz, 1963. - 263 f.
• Faddeev D.K. Ligjërata mbi algjebër. - 5. - Shën Petersburg. : Lan, 2007. - 416 f.
• Shafarevich I. R., Remizov A. O. Algjebra dhe gjeometria lineare. - 1. - M.: Fizmatlit, 2009. - 511 f.
• Schreyer O., Sperner G. Hyrje në algjebrën lineare në paraqitjen gjeometrike = Einfuhrung in die analytische Geometrie und Algebra / Olshansky G. (përkthim nga gjermanishtja). - M.–L.: ONTI, 1934. - 210 f.

Vektorët dhe matricat Vektorët Konceptet Bazë Llojet e vektorëve Veprimet në vektorë Llojet e hapësirave Matricat Konceptet Bazë Të tjera

Një fragment që karakterizon hapësirën vektoriale

Kutuzov ecte nëpër radhët, herë pas here ndalonte dhe u thoshte disa fjalë të mira oficerëve që i njihte nga lufta turke, e ndonjëherë edhe ushtarëve. Duke parë këpucët, me trishtim tundi kokën disa herë dhe ia tregoi gjeneralit austriak me një shprehje të tillë, saqë dukej se nuk fajësonte askënd për këtë, por nuk mund të mos e shihte sa keq ishte. Sa herë që komandanti i regjimentit vraponte përpara, me frikë se do të humbiste fjalën e komandantit të përgjithshëm në lidhje me regjimentin. Pas Kutuzov, në një distancë të tillë që mund të dëgjohej çdo fjalë e thënë dobët, ecën rreth 20 njerëz në vazhdimin e tij. Zotërinjtë e turmës flisnin mes tyre dhe herë-herë qeshnin. Adjutanti i pashëm eci më afër komandantit të përgjithshëm. Ishte Princi Bolkonsky. Pranë tij ecte shoku i tij Nesvitsky, një oficer shtabi i gjatë, jashtëzakonisht i shëndoshë, me një fytyrë të bukur e të qeshur dhe me sy të lagur; Nesvitsky mezi e përmbajti veten të mos qeshte, i emocionuar nga oficeri hussar i zi që po ecte pranë tij. Oficeri hussar, pa buzëqeshur, pa ndryshuar shprehjen e syve të tij të fiksuar, shikoi me një fytyrë serioze në pjesën e pasme të komandantit të regjimentit dhe imitoi çdo lëvizje të tij. Sa herë që komandanti i regjimentit dridhej dhe përkulej përpara, në të njëjtën mënyrë, saktësisht në të njëjtën mënyrë, oficeri hussar u dridh dhe u përkul përpara. Nesvitsky qeshi dhe i shtyu të tjerët të shikonin njeriun qesharak.
Kutuzov ecte ngadalë dhe plogësht përtej mijëra syve që doli nga bazat e tyre, duke parë shefin e tyre. Pasi u kap me kompaninë e tretë, ai papritmas u ndal. Radha, duke mos e parashikuar këtë ndalesë, padashur u zhvendos drejt tij.
- Ah, Timokhin! - tha komandanti i përgjithshëm, duke njohur kapitenin me hundë të kuqe, i cili vuante për pardesynë blu.
Dukej se ishte e pamundur të shtrihej më shumë sesa u shtri Timokhin, ndërsa komandanti i regjimentit e qortoi. Por në atë moment komandanti i përgjithshëm iu drejtua, kapiteni u ngrit drejt, saqë dukej se po ta shihte kryekomandanti edhe pak, kapiteni nuk do ta duronte dot; dhe për këtë arsye Kutuzov, me sa duket duke kuptuar pozicionin e tij dhe duke dëshiruar, përkundrazi, të gjitha të mirat për kapitenin, u largua me nxitim. Një buzëqeshje mezi e dukshme përshkoi fytyrën e trashë dhe të shpërfytyruar të Kutuzov.
“Një tjetër shok i Izmailovës,” tha ai. - Oficer trim! Jeni të kënaqur me të? – pyeti Kutuzov komandantin e regjimentit.
Dhe komandanti i regjimentit, i pasqyruar si në një pasqyrë, i padukshëm për veten e tij, në një oficer hussar, u drodh, doli përpara dhe u përgjigj:
– Jam shumë i kënaqur, Shkëlqesi.
"Ne nuk jemi të gjithë pa dobësi," tha Kutuzov, duke buzëqeshur dhe duke u larguar prej tij. “Ai kishte një përkushtim ndaj Bacchus.
Komandanti i regjimentit kishte frikë se ai ishte fajtor për këtë dhe nuk u përgjigj asgjë. Oficeri në atë moment vuri re fytyrën e kapitenit me një hundë të kuqe dhe një bark të mbërthyer dhe imitoi fytyrën e tij dhe pozoi aq afër sa Nesvitsky nuk mund të ndalonte së qeshuri.
Kutuzov u kthye. Ishte e qartë se oficeri mund ta kontrollonte fytyrën si të donte: në momentin që Kutuzov u kthye, oficeri arriti të bënte një grimasë dhe më pas të merrte shprehjen më serioze, më të respektueshme dhe të pafajshme.
Kompania e tretë ishte e fundit, dhe Kutuzov mendoi për të, me sa duket duke kujtuar diçka. Princi Andrei doli nga grupi i tij dhe tha qetësisht në frëngjisht:
- Ju urdhëruat një kujtesë për Dolokhovin, i cili u degradua, në këtë regjiment.
- Ku është Dolokhov? – pyeti Kutuzov.
Dolokhov, tashmë i veshur me pardesynë gri të një ushtari, nuk priti të thirrej. Figura e hollë e një ushtari biond me sy blu të qartë doli nga përpara. Ai iu afrua komandantit të përgjithshëm dhe e vuri në roje.
- Kerkese? – pyeti Kutuzov, duke u vrenjtur paksa.
"Ky është Dolokhov," tha Princi Andrei.
- A! - tha Kutuzov. "Shpresoj se ky mësim do t'ju korrigjojë, do të shërbejë mirë." Zoti është i mëshirshëm. Dhe nuk do të të harroj nëse e meriton.
Sytë e kaltër e të kthjellët e shikonin kryekomandantin po aq sfidues sa edhe komandantin e regjimentit, sikur me shprehjen e tyre të grisnin velin e konventës që ndante deri tani kryekomandantin nga ushtari.
"Unë kërkoj një gjë, Shkëlqesia Juaj," tha ai me zërin e tij të zhurmshëm, të vendosur dhe të pangutur. "Ju lutem më jepni një shans për të korrigjuar fajin tim dhe për të provuar përkushtimin tim ndaj Perandorit dhe Rusisë."
Kutuzov u largua. E njëjta buzëqeshje në sytë e tij shkëlqeu në fytyrën e tij si kur u largua nga kapiteni Timokhin. Ai u kthye dhe u tërhoq, sikur donte të shprehte se gjithçka që i tha Dolokhov dhe gjithçka që mund t'i tregonte, ai e dinte për një kohë të gjatë, se e gjithë kjo tashmë e kishte mërzitur dhe se e gjithë kjo nuk ishte fare çfarë i nevojitej. U kthye dhe u drejtua drejt karrocave.
Regjimenti u shpërbë në kompani dhe u drejtua në lagjet e caktuara jo larg Braunau, ku ata shpresonin të vishnin këpucë, të visheshin dhe të pushonin pas marshimeve të vështira.
- Ti nuk pretendon për mua, Prokhor Ignatyich? - tha komandanti i regjimentit, duke vozitur rreth kompanisë së tretë duke lëvizur drejt vendit dhe duke iu afruar kapitenit Timokhin, i cili po ecte përpara. Fytyra e komandantit të regjimentit shprehte gëzim të pakontrolluar pas një rishikimi të përfunduar me gëzim. - Sherbimi mbreteror... eshte e pamundur... nje here tjeter do ta perfundosh ne front... Une fillimisht te kerkoj falje, ti me njeh... Ju falenderova shume! - Dhe i zgjati dorën komandantit të kompanisë.
- Për hir të mëshirës, ​​gjeneral, guxoj! - iu përgjigj kapiteni, duke u skuqur me hundë, duke buzëqeshur dhe duke treguar me buzëqeshje mungesën e dy dhëmbëve të përparmë, të rrëzuar nga prapanica nën Ismailin.
- Po, thuaj zotit Dolokhov se nuk do ta harroj, që të jetë i qetë. Po, të lutem më thuaj, vazhdova ta pyesja si është, si po sillet? Dhe kjo eshte e gjitha...
"Ai është shumë i dobishëm në shërbimin e tij, Shkëlqesia juaj... por qiramarrësi...", tha Timokhin.
- Çfarë, çfarë personazhi? – pyeti komandanti i regjimentit.
"Shkëlqesia juaj zbulon, për ditë të tëra," tha kapiteni, "se ai është i zgjuar, i ditur dhe i sjellshëm." Është një bishë. Ai vrau një hebre në Poloni, nëse ju lutem...
"Epo, po, mirë," tha komandanti i regjimentit, "ne ende duhet të ndjejmë keqardhje për të riun në fatkeqësi." Në fund të fundit, lidhje të shkëlqyera... Kështu që ju...
"Po dëgjoj, Shkëlqesia Juaj," tha Timokhin, duke buzëqeshur, duke e bërë të ndihej sikur i kuptonte dëshirat e shefit.
- Po Po.
Komandanti i regjimentit e gjeti Dolokhovin në radhët dhe frenoi kalin e tij.
"Përpara detyrës së parë, epauleta," i tha ai.
Dolokhov shikoi përreth, nuk tha asgjë dhe nuk e ndryshoi shprehjen e gojës së tij të qeshur tallës.
"Epo, kjo është mirë," vazhdoi komandanti i regjimentit. "Njerëzit kanë secili një gotë vodka nga unë," shtoi ai në mënyrë që ushtarët të mund të dëgjonin. - Faleminderit te gjitheve! Zoti bekofte! - Dhe ai, duke kapërcyer kompaninë, u ngjit me makinë në një tjetër.
“Epo, ai është vërtet një njeri i mirë; "Ju mund të shërbeni me të," i tha Timokhin subaltern oficerit që ecte pranë tij.
“Një fjalë, mbreti i zemrave!... (komandantit të regjimentit i vunë nofkën mbreti i zemrave), - tha oficeri nënligjor duke qeshur.
Humori i gëzuar i autoriteteve pas rishikimit u përhap edhe te ushtarët. Shoqëria ecte e gëzuar. Zërat e ushtarëve flisnin nga të gjitha anët.
- Çfarë thanë ata, Kutuzov shtrembër, për njërin sy?
- Përndryshe, jo! Krejt e shtrembër.
- Jo... vëlla, ai i ka sytë më të mëdhenj se ti. Çizme dhe tufa - shikova gjithçka...
- Si mund të më shikojë ai o vëlla në këmbët e mia... mirë! Mendoni…
- Dhe austriaku tjetër, me të, ishte si i lyer me shkumës. Si mielli, i bardhë. Unë çaj, si pastrojnë municionet!
- Çfarë, Fedeshow!... tha se kur filluan luftimet, ju qëndruat më afër? Të gjithë thanë se vetë Bunaparte qëndron në Brunovë.
- Bunaparte ia vlen! po gënjen o budalla! Ajo që ai nuk e di! Tani prusiani po rebelohet. Prandaj austriaku e qetëson atë. Sapo të bëjë paqe, atëherë do të hapet lufta me Bunaparten. Ndryshe, thotë ai, Bunaparte po qëndron në Brunovë! Kjo është ajo që tregon se ai është një budalla. Dëgjo më shumë.
- Shiko, dreqin banoret! Kompania e pestë, shikoni, tashmë po kthehet në fshat, ata do të gatuajnë qull, dhe ne ende nuk do të arrijmë në vend.
- Më jep një krisur, dreqin.
- Më ke dhënë duhan dje? Kjo është ajo, vëlla. Epo, ja ku shkojmë, Zoti qoftë me ju.
"Të paktën ata ndaluan, përndryshe nuk do të hamë për pesë milje të tjera."
– Ishte bukur si na dhanë gjermanët karroca. Kur të shkoni, dijeni: është e rëndësishme!
"Dhe këtu, vëlla, njerëzit janë tërbuar plotësisht." Gjithçka atje dukej se ishte një pol, gjithçka ishte nga kurora ruse; dhe tani, vëlla, ai është plotësisht gjerman.
– Përpara kantautorët! – u dëgjua klithma e kapitenit.
Dhe njëzet veta dolën me vrap nga rreshta të ndryshëm para kompanisë. Bateristi filloi të këndonte dhe u kthye për t'u përballur me kompozitorët dhe, duke tundur dorën, filloi një këngë ushtarake e tërhequr, e cila fillonte: "A nuk është gdhirë, dielli ka rënë..." dhe përfundonte me fjalët: “Atëherë, vëllezër, do të kemi lavdi për ne dhe babain e Kamenskit...” Kjo këngë është kompozuar në Turqi dhe tani këndohet në Austri, vetëm me ndryshimin që në vend të “babait të Kamenskit” ishin futur fjalët: “Kutuzov. babai.”
Duke i grisur këto fjalët e fundit si ushtar dhe duke tundur duart, sikur të hidhte diçka në tokë, bateristi, një ushtar i thatë dhe i pashëm rreth dyzet vjeç, i shikoi me rreptësi kantautorët e ushtarëve dhe mbylli sytë. Pastaj, duke u siguruar që të gjithë sytë ishin fiksuar tek ai, ai dukej se ngriti me kujdes me të dyja duart një gjë të padukshme, të çmuar mbi kokën e tij, e mbajti ashtu për disa sekonda dhe befas e hodhi në mënyrë të dëshpëruar:
Oh, ti, kulmi im, kulmi im!
“Kopoja ime e re...”, jehonin njëzet zëra dhe mbajtësi i lugës, me gjithë peshën e municionit, u hodh shpejt përpara dhe eci mbrapsht para kompanisë, duke lëvizur shpatullat dhe duke kërcënuar dikë me lugë. Ushtarët, duke tundur krahët në ritmin e këngës, ecnin me hapa të gjatë, duke goditur në mënyrë të pavullnetshme këmbët e tyre. Nga pas kompanisë dëgjoheshin tingujt e rrotave, kërcitja e burimeve dhe shkelja e kuajve.
Kutuzov dhe shoqëria e tij po ktheheshin në qytet. Komandanti i përgjithshëm dha një shenjë që njerëzit të vazhdonin të ecnin lirshëm dhe kënaqësia u shpreh në fytyrën e tij dhe në të gjitha fytyrat e grupit të tij në tingujt e këngës, në pamjen e ushtarit që kërcente dhe ushtarëve të shoqëria ecën e gëzuar dhe me vrull. Në rreshtin e dytë, nga krahu i djathtë, nga ku karroca i kapërceu kompanitë, padashur ra në sy një ushtar me sy blu, Dolokhov, i cili veçanërisht me shpejtësi dhe hijeshi eci drejt ritmit të këngës dhe shikoi fytyrat e ata që kalonin me një shprehje të tillë, sikur i vinte keq për të gjithë ata që nuk shkonin në këtë kohë me shoqërinë. Një korne hussar nga ndjekja e Kutuzov, duke imituar komandantin e regjimentit, ra pas karrocës dhe u nis për në Dolokhov.
Hussar cornet Zherkov në një kohë në Shën Petersburg i përkiste asaj shoqërie të dhunshme të udhëhequr nga Dolokhov. Jashtë vendit, Zherkov e takoi Dolokhovin si ushtar, por nuk e konsideroi të nevojshme ta njihte. Tani, pas bisedës së Kutuzov me njeriun e degraduar, ai iu drejtua atij me gëzimin e një miku të vjetër:
- I dashur mik, si jeni? - tha ai në tingullin e këngës, duke përputhur hapin e kalit me hapin e kompanisë.
- Unë jam si? - u përgjigj Dolokhov ftohtë, - siç e shihni.
Kënga e gjallë i dha një rëndësi të veçantë tonit të haresë së pacipë me të cilën foli Zherkov dhe ftohtësisë së qëllimshme të përgjigjeve të Dolokhovit.
- Epo, si kaloni mirë me shefin tuaj? – pyeti Zherkovi.
- Asgjë, njerëz të mirë. Si u futët në seli?
- I dërguar, në detyrë.
Ata heshtën.
"Ajo lëshoi ​​një skifter nga mëngja e saj e djathtë", tha kënga, duke ngjallur padashur një ndjenjë të gëzuar, gazmore. Biseda e tyre ndoshta do të kishte qenë ndryshe nëse nuk do të kishin folur me tingujt e një kënge.
– Është e vërtetë që austriakët janë rrahur? – pyeti Dolokhov.
“Djalli i njeh ata”, thonë ata.
"Më vjen mirë," u përgjigj Dolokhov shkurt dhe qartë, siç kërkonte kënga.
"Epo, ejani te ne në mbrëmje, ju do të vendosni peng faraonin," tha Zherkov.
– Apo ke shumë para?
- Ejani.
- Është e ndaluar. Bëra një betim. Unë nuk pi dhe nuk luaj kumar derisa ta arrijnë.
- Epo, te gjeja e pare...
- Do të shohim atje.
Përsëri ata heshtën.
“Hyni nëse keni nevojë për ndonjë gjë, të gjithë në seli do të ndihmojnë...” tha Zherkov.
Dolokhov buzëqeshi.
- Më mirë mos u shqetëso. Nuk do të kërkoj asgjë që më nevojitet, do ta marr vetë.
- Epo, unë jam shumë ...
- Epo, edhe unë.
- Mirupafshim.
- Ji i shendetdhem…
...dhe lart e larg,
Në anën e shtëpisë...
Zherkovi preku shtyllat e tij te kali, i cili, duke u emocionuar, goditi tre herë me shkelm, duke mos ditur se me cilin të fillonte, ia doli dhe galopoi, duke parakaluar shoqërinë dhe duke kapur karrocën, gjithashtu në ritmin e këngës.

Pas kthimit nga rishikimi, Kutuzov, i shoqëruar nga gjenerali austriak, hyri në zyrën e tij dhe, duke thirrur adjutantin, urdhëroi t'i jepeshin disa dokumente në lidhje me gjendjen e trupave që mbërrinin dhe letra të marra nga arkiduka Ferdinand, i cili komandonte ushtrinë e përparuar. . Princi Andrei Bolkonsky hyri në zyrën e komandantit të përgjithshëm me dokumentet e kërkuara. Kutuzov dhe një anëtar austriak i Gofkriegsrat u ulën përballë planit të vendosur në tryezë.
"Ah ..." tha Kutuzov, duke parë përsëri Bolkonsky, sikur me këtë fjalë po e ftonte adjutantin të priste, dhe vazhdoi bisedën që kishte nisur në frëngjisht.
"Unë po them vetëm një gjë, gjeneral," tha Kutuzov me një hir të këndshëm shprehjeje dhe intonacioni, gjë që ju detyroi të dëgjoni me kujdes çdo fjalë të folur me kohë. Ishte e qartë se vetë Kutuzov kënaqej duke dëgjuar veten. "Unë them vetëm një gjë, gjeneral, se nëse çështja do të varej nga dëshira ime personale, atëherë vullneti i Madhërisë së Tij Perandorit Franz do të ishte përmbushur shumë kohë më parë." Unë do të isha bashkuar me Archduke shumë kohë më parë. Dhe besoni nderin tim që për mua personalisht do të ishte një gëzim për mua të transferoja komandën më të lartë të ushtrisë tek një gjeneral më i ditur dhe më i aftë se unë, ku Austria është aq i bollshëm, dhe të heq dorë nga gjithë kjo përgjegjësi e rëndë. Por rrethanat janë më të forta se ne, Gjeneral.
Dhe Kutuzov buzëqeshi me një shprehje sikur të thoshte: "Ti ke të drejtë të mos më besosh, madje mua nuk më intereson fare nëse më beson apo jo, por nuk ke pse ta thuash këtë. Dhe kjo është e gjithë çështja.”
Gjenerali austriak dukej i pakënaqur, por nuk mund të mos i përgjigjej Kutuzov me të njëjtin ton.
"Përkundrazi," tha ai me një ton të vrenjtur dhe të zemëruar, aq ndryshe nga kuptimi lajkatar i fjalëve që tha, "përkundrazi, pjesëmarrja e Shkëlqesisë suaj në çështjen e përbashkët vlerësohet shumë nga Madhëria e Tij; por ne besojmë se ngadalësimi aktual i privon trupat e lavdishme ruse dhe kryekomandantët e tyre nga dafinat që ata janë mësuar t'i korrin në beteja, "përfundoi ai frazën e tij të përgatitur në dukje.
Kutuzov u përkul pa ndryshuar buzëqeshjen.
"Dhe jam kaq i bindur dhe, bazuar në letrën e fundit me të cilën më nderoi Lartësia e Tij Arkduke Ferdinand, supozoj se trupat austriake, nën komandën e një asistenti kaq të aftë si gjenerali Mack, tani kanë fituar një fitore vendimtare dhe jo më kanë nevojë për ndihmën tonë”, tha Kutuzov.
Gjenerali u vrenjos. Ndonëse nuk kishte lajme pozitive për disfatën e austriakëve, kishte shumë rrethana që vërtetonin thashethemet e përgjithshme jo të favorshme; dhe për këtë arsye supozimi i Kutuzov për fitoren e austriakëve ishte shumë i ngjashëm me talljen. Por Kutuzov buzëqeshi butësisht, ende me të njëjtën shprehje, e cila tha se ai kishte të drejtë ta merrte këtë. Në të vërtetë, letra e fundit që mori nga ushtria e Mac-it e informonte për fitoren dhe pozicionin strategjik më të favorshëm të ushtrisë.
"Më jep këtë letër këtu," tha Kutuzov, duke iu kthyer Princit Andrei. - Nëse ju lutem shikoni. - Dhe Kutuzov, me një buzëqeshje tallëse në skajet e buzëve, i lexoi në gjermanisht gjeneralit austriak fragmentin e mëposhtëm nga një letër e arkidukës Ferdinand: “Wir haben vollkommen zusammengehaltene Krafte, nahe an 70,000 Mann, um den Feind, wenn er den Lech passirte, angreifen und schlagen zu konnen. Wir konnen, da wir Meister von Ulm sind, den Vortheil, auch von beiden Uferien der Donau Meister zu bleiben, nicht verlieren; mithin auch jeden Augenblick, wenn der Feind den Lech nicht passirte, die Donau ubersetzen, uns auf seine Communikations Linie werfen, die Donau unterhalb repassiren und dem Feinde, wenn er sich gegen unsere treue Allirtewinellettmit sq. Wir werden auf solche Weise den Zeitpunkt, wo die Kaiserlich Ruseische Armee ausgerustet sein wird, muthig entgegenharren, und sodann leicht gemeinschaftlich die Moglichkeit finden, dem Feinde das Schicksal zubereiten." [Ne kemi forca mjaft të përqendruara, rreth 70.000 vetë, që të mund të sulmojmë dhe ta mposhtim armikun nëse ai kalon Lech. Meqenëse ne tashmë zotërojmë Ulm-in, ne mund të ruajmë përfitimin e komandës së të dy brigjeve të Danubit, prandaj, çdo minutë, nëse armiku nuk kalon Lech, kalon Danubin, nxiton në linjën e tij të komunikimit dhe më poshtë kaloni Danubin përsëri. ndaj armikut, nëse ai vendos të kthejë të gjithë fuqinë e tij mbi aleatët tanë besnikë, parandaloni përmbushjen e qëllimit të tij. Kështu, ne do të presim me gëzim kohën kur ushtria perandorake ruse të jetë plotësisht gati, dhe pastaj së bashku do të gjejmë lehtësisht mundësinë për t'i përgatitur armikut fatin që ai meriton.

HAPËSIRËN VEKTORIKE, një hapësirë ​​lineare mbi fushën K, është një grup Abelian E i shkruar në mënyrë shtesë, në të cilin përcaktohet shumëzimi i elementeve me skalorë, d.m.th.

K × E → E: (λ, x) → λx,

duke plotësuar aksiomat e mëposhtme (x, y ∈ E, λ, μ, 1 ∈ K):

1) λ(x + y) = λx + λy,

2) (λ + μ)x = λx + μx,

3) (λμ)x = λ(μx),

4) 1 ⋅ x = x.

Karakteristikat e mëposhtme të rëndësishme të hapësirës vektoriale (0 ∈ E) rrjedhin nga aksiomat 1)-4):

5) λ ⋅ 0 = 0,

6) 0 ⋅ x = 0,

Elemente të V. fq të quajtura. Pikat VP, ose vektorët, dhe elementët e fushës K janë skalorë.

Zbatimi më i madh në matematikë dhe zbatim bëhet në fushën ℂ të numrave kompleksë ose në fushën ℝ të numrave realë; ato quhen respektivisht v komplekse p. ose v. reale.

Aksiomat e v. p. zbulojnë disa algjebrike. vetitë e shumë klasave të funksioneve që hasen shpesh në analizë. Nga shembujt e hapësirave vertikale, më themeloret dhe më të hershmet janë hapësirat Euklidiane n-dimensionale. Shembuj pothuajse po aq të rëndësishëm janë shumë hapësira funksionesh: hapësira e funksioneve të vazhdueshme, hapësira e funksioneve të matshme, hapësira e funksioneve të përmbledhura, hapësira e funksioneve analitike. funksione, hapësirë ​​funksionesh me variacion të kufizuar.

Koncepti i një hapësire v. është një rast i veçantë i konceptit të një moduli mbi një unazë, domethënë, një hapësirë ​​v. është një modul unitar mbi një fushë. Një modul unitar mbi një fushë të anuar jokomutative quhet gjithashtu. hapësira vektoriale mbi trup; teoria e formave të tilla valore është në shumë mënyra më komplekse sesa teoria e formave valore mbi një fushë.

Një nga problemet e rëndësishme që lidhet me hapësirat vektoriale është studimi i gjeometrisë së hapësirave vektoriale, domethënë studimi i vijave në hapësirat vektoriale, bashkësive të sheshta dhe konvekse në hapësirat vektoriale, nënhapësirave të hapësirave vektoriale dhe bazave në hapësirat vektoriale. V fq.

Nënhapësirë ​​vektoriale, ose thjesht nënhapësirë, V. p. E mbi fushën K quhet. një nëngrup F ⊂ E mbyllur nën veprimet e mbledhjes dhe shumëzimit me një skalar. Një nënhapësirë, e konsideruar veçmas nga hapësira që e përmban, është një hapësirë ​​mbi të njëjtën fushë.

Drejtëza që kalon nëpër dy pika x dhe y B. p. E quhet. një bashkësi elementësh z ∈ E të formës z = λx + (1 - λ)y, λ ∈ K. Një bashkësi G ∈ E quhet. një grup i sheshtë nëse, së bashku me çdo dy pika, përmban një vijë që kalon nëpër këto pika. Çdo grup i sheshtë përftohet nga një nënhapësirë ​​e caktuar duke përdorur një zhvendosje (përkthim paralel): G = x + F; kjo do të thotë që çdo element z ∈ G mund të përfaqësohet në mënyrë unike në formën z = x + y, y ∈ F, dhe kjo barazi siguron një korrespondencë një-për-një midis F dhe G.

Bashkësia e të gjitha ndërrimeve F x = x + F e një nënhapësire të dhënë F formon një hapësirë ​​V. mbi K, të quajtur. Hapësira e faktorit E/F, nëse përcaktojmë operacionet si më poshtë:

F x F y = F x+y ; λF x = F λx , λ ∈ K.

Le të jetë M = (x α) α∈A një bashkësi arbitrare vektorësh nga E; quhet kombinim linear i vektorëve x α ∈ E. vektori x i përcaktuar me formula

x = ∑ α λ α x α , λ α ∈ K,

në të cilin vetëm një numër i kufizuar koeficientësh janë jozero. Bashkësia e të gjitha kombinimeve lineare të vektorëve të një bashkësie të caktuar M është nënhapësira më e vogël që përmban M dhe quhet. shtrirja lineare e bashkësisë M. Kombinimi linear quhet. i parëndësishëm nëse të gjithë koeficientët λ α janë të barabartë me zero. Bashkësia M quhet. një bashkësi lineare e pavarur nëse të gjitha kombinimet lineare jo të parëndësishme të vektorëve nga M janë jozero.

Çdo grup i pavarur linearisht përmbahet në një grup të caktuar maksimal linear të pavarur M0, domethënë në një grup që pushon së qeni i pavarur linearisht pasi i shtohet ndonjë element nga E.

Çdo element x ∈ E mund të përfaqësohet në mënyrë unike si një kombinim linear i elementeve të një grupi maksimal linear të pavarur:

x = ∑ α λ α x α , x α ∈ M 0 .

Në këtë drejtim, grupi maksimal linear i pavarur quhet. baza e V. p. (bazë algjebrike). Të gjitha bazat e një VP të caktuar kanë të njëjtin kardinalitet, të ashtuquajturat. dimensioni V. p. Nëse kjo fuqi është e fundme, quhet hapësira. V. me dimensione të fundme; ndryshe quhet me dimensione të pafundme V. fq.

Fusha K mund të konsiderohet si një hapësirë ​​vertikale njëdimensionale mbi fushën K; baza e këtij zëri V. përbëhet nga një element; mund të jetë çdo element tjetër përveç zeros. Një vektor me dimensione të fundme me bazë n elementësh quhet. hapësirë ​​n-dimensionale.

Në teorinë e bashkësive konvekse reale dhe komplekse, teoria e bashkësive konvekse luan një rol të rëndësishëm. Bashkësia M në një V.p të vërtetë quhet. është një grup konveks nëse, së bashku me çdo dy nga pikat e tij x, y, segmenti tx + (1 - t)y, t ∈ i përket gjithashtu M.

Një vend të madh në teorinë e hapësirave vertikale zë teoria e funksionaliteteve lineare në hapësirat vertikale dhe teoria përkatëse e dualitetit. Le të jetë E një CV mbi fushën K. Një funksional linear në E quhet. hartëzimi aditiv dhe homogjen f: E → K:

f(x + y) = f(x) + f(y), f(λx) = λf(x).

Bashkësia E* e të gjithë funksionalëve linearë në E formon një vend të lirë mbi fushën K në lidhje me operacionet

(f 1 + f 2)(x) = f 1 (x) + f 2 (x), (λf)(x) = λf(x), x ∈ E, X ∈ K, f 1, f 2, f ∈ E*.

Ky quhet V.p. hapësira e konjuguar (ose e dyfishtë) (në E). Një sërë teorish gjeometrike lidhen me konceptin e hapësirës së konjuguar. kushtet. Le të jetë D ⊂ E (përkatësisht Г ⊂ E*); quhet asgjësuesi i bashkësisë D, ose plotësuesi ortogonal i bashkësisë D (përkatësisht bashkësia Г). një tufë me

D ⊥ = (f ∈ E*: f(x) = 0 për të gjitha x ∈ D)

(përkatësisht Г ⊥ = (x ∈ E: f(x) = 0 për të gjitha f ∈ Г)); këtu D ⊥ dhe Г ⊥ janë përkatësisht nënhapësira të hapësirave E* dhe E. Nëse f është një element jozero i E*, atëherë (f) është një nënhapësirë ​​e duhur lineare maksimale e E, e quajtur. ndonjëherë hipernënhapësirë; quhet zhvendosja e një nënhapësire të tillë. hiperplani në E; çdo hiperplan ka formën

(x: f(x) = λ), ku f ≠ 0, f ∈ E*, λ ∈ K.

Nëse F është një nënhapësirë ​​e një B. p. E, atëherë ka izomorfizma natyrore midis F* dhe

E*/F ⊥ dhe ndërmjet (E/F)* dhe F ⊥ .

Nënbashkësia Г ⊂ E* quhet një nëngrup total mbi E nëse asgjësuesi i tij përmban vetëm elementin zero: Г ⊥ = (0).

Çdo bashkësi lineare e pavarur (x α ) α∈A ⊂ E mund të shoqërohet me një bashkësi të konjuguar (f α ) α∈A ⊂ E*, d.m.th. një bashkësi e tillë që f α (x β) = δ αβ (simboli i Kronecker-it) për të gjitha α, β ∈ A. Bashkësia e çifteve (x α, f α) quhet. me sistem biortogonal. Nëse bashkësia (x α) është një bazë në E, atëherë (f α) është plotësisht mbi E.

Një vend domethënës në teorinë e transformimeve lineare zë teoria e transformimeve lineare të transformimeve lineare. Le të jenë E 1 dhe E 2 dy transformime lineare në të njëjtën fushë K. Një hartë lineare, ose operator linear, T, duke hartuar linjën transformimi E 1 në V. p. E 2 (ose operator linear nga E 1 në E 2), i quajtur. hartëzimi aditiv dhe homogjen i hapësirës E 1 në E 2:

T(x + y) = Tx + Ty; Т(λх) = λТ(х); x, y ∈ E 1.

Një rast i veçantë i këtij koncepti është një funksional linear, ose një operator linear nga E 1 në K. Një hartë lineare është, për shembull, një hartë natyrore e një B. p. E në hapësirën koeficient E/F, e cila lidhet me çdo element x ∈ E një bashkësi e sheshtë F x ∈ E/ F. Bashkësia ℒ(E 1, E 2) e të gjithë operatorëve linearë T: E 1 → E 2 formon një V. p. në lidhje me operacionet

(T 1 + T 2)x = T 1 x + T 2 x; (λТ)х = λТх; x ∈ E 1; λ ∈ K; T 1, T 2, T ∈ ℒ(E 1, E 2).

Dy V. artikuj E 1 dhe E 2 të thirrur. janë izomorfikë ndaj artikujve v. nëse ka një operator linear (“izomorfizëm”) që kryen një korrespondencë një-me-një ndërmjet elementeve të tyre. E 1 dhe E 2 janë izomorfe nëse dhe vetëm nëse bazat e tyre kanë të njëjtin kardinalitet.

Le të jetë T një operator linear që harton E 1 në E 2 . Operatori linear i konjuguar, ose operatori linear i dyfishtë, në lidhje me T, quhet. operatori linear T* nga E* 2 në E* 1, i përcaktuar nga barazia

(T*φ)x = φ(Tx) për të gjitha x ∈ E 1, φ ∈ E* 2.

Marrëdhëniet T* -1 (0) = ⊥, T*(E* 2) = [T -1 (0)] ⊥ qëndrojnë, që nënkupton se T* është një izomorfizëm nëse dhe vetëm nëse T është një izomorfizëm.

Teoria e pasqyrimeve bilineare dhe e pasqyrimeve shumëlineare të hapësirave vertikale është e lidhur ngushtë me teorinë e paraqitjeve lineare të hapësirave vertikale.

Një grup i rëndësishëm problemesh në teorinë e pasqyrimeve lineare formohet nga problemet e vazhdimit të pasqyrimeve lineare. Le të jetë F një nënhapësirë ​​e V. p. E 1, E 2 një hapësirë ​​lineare mbi të njëjtën fushë si E 1, dhe le të jetë T 0 një hartë lineare e F në E 2; kërkohet gjetja e shtrirjes T të hartës T 0, e përcaktuar në të gjithë E 1 dhe e cila është një hartë lineare nga E 1 në E 2. Një vazhdim i tillë ekziston gjithmonë, por kufizimet shtesë mbi funksionet (të lidhura me struktura shtesë në VP, për shembull, topologjia ose marrëdhëniet e rendit) mund ta bëjnë problemin të pazgjidhshëm. Shembuj të zgjidhjes së problemit të vazhdimësisë janë teorema Han-Banach dhe teorema mbi vazhdimësinë e funksionaleve pozitive në hapësirat me kon.

Një pjesë e rëndësishme e teorisë së operacioneve virtuale është teoria e operacioneve mbi vektorët, domethënë metodat për ndërtimin e vektorëve të rinj duke përdorur ato të njohura. Shembuj të veprimeve të tilla janë operacionet e njohura të marrjes së një nënhapësire dhe formimit të një hapësire koeficient nga një nënhapësirë. Operacione të tjera të rëndësishme janë ndërtimi i një shume direkte, një produkti direkt dhe një produkt tensor i një VP.

Le të jetë (E α ) α∈I një familje hapësirash të ndryshueshme mbi fushën K. Bashkësia E - prodhimi i bashkësive E α - mund të shndërrohet në një familje hapësirash vertikale mbi fushën K duke futur veprimet

(x α) + (y α) = (x α + y α); λ(x α) = (λx α); λ ∈ K; x α , y α ∈ E α , α ∈ I;

mori V. p. E thirrur. prodhimi i drejtpërdrejtë i V. p. E α dhe shënohet me P α∈I E α. Nënhapësira e një V. p. E, e përbërë nga të gjitha ato bashkësi (x α), për secilën prej të cilave bashkësia (α: x α ≠ 0) është e fundme, quhet. shuma e drejtpërdrejtë e V. p. E α dhe shënohet me Σ α E α ose Σ α + E α; Për një numër të kufizuar termash këto përkufizime përkojnë; në këtë rast përdoret shënimi i mëposhtëm:

Le të jenë E 1, E 2 dy pozicione V. mbi fushën K; E" 1, E" 2 janë nënhapësirat totale të V. p. E* 1, E* 2 dhe E 1 □ E 2 -B. n., e cila ka si bazë tërësinë e të gjithë elementëve të hapësirës E 1 × E 2. Çdo element x □ y ∈ E 1 □ E 2 shoqërohet me një funksion bilinear b = T(x, y) në E" 1 × E 2 sipas formulës b(f, g) = f(x)g(y ), f ∈ E " 1 , g ∈ E" 2. Ky pasqyrim i vektorëve bazë x □ y ∈ E 1 □ E 2 mund të zgjerohet në një pasqyrim linear T B. p. E 1 □ E 2 në B. p. i të gjithë funksionaleve bilineare në E" 1 × E" 2. Le të jetë E 0 = T -1 (0). Produkti tensor i hapësirës V. E 1 dhe E 2 quhet hapësira faktori E 1 ○ E 2 = (E 1 □ E 2)/E 0; imazhi i elementit x □ y shënohet me x ○ y Hapësira vektoriale E 1 ○ E 2 është izomorfe me hapësirën vektoriale të funksioneve bilineare në E 1 × E 2 (shih produktin e tensorit të hapësirave vektoriale).

Lit.: Bourbaki N., Algjebra. Strukturat algjebrike. Algjebra lineare dhe shumëlineare, përkth. nga frengjishtja, M., 1962; Raikov D. A., Hapësirat vektoriale, M., 1962; Dita M. M., Hapësirat lineare të normalizuara, përkth. nga anglishtja, M., 1961; , Edward R., Analiza funksionale, përkth. nga anglishtja, M., 1969; Halmos P., Hapësirat vektoriale me dimensione të fundme, trans. nga anglishtja, M., 1963; Glazman I.M., Lyubich Yu.I., Analiza lineare me dimensione të fundme në probleme, M., 1969.

M.I. Kadets.

Burimet:

1. Enciklopedia Matematikore. T. 1 (A - D). Ed. bordi: I. M. Vinogradov (kryeredaktor) [dhe të tjerë] - M., "Enciklopedia Sovjetike", 1977, 1152 stb. nga ilus.

Le të jetë P një fushë. Elementet a, b, ... О R do të thërrasim skalarët.

Përkufizimi 1. Klasa V objektet (elementet) , , , ... të natyrës arbitrare quhen hapësira vektoriale mbi fushën P, dhe quhen elementet e klasës V vektorët, nëse V mbyllet nën veprimin "+" dhe operacionin e shumëzimit me skalar nga P (d.m.th. për cilindo , ОV +О V;"aО Р aОV), dhe plotësohen kushtet e mëposhtme:

A 1: algjebër - Grupi Abelian;

A 2: për çdo a, bОР, për çdo ОV, a(b)=(ab) është një ligj asociativ i përgjithësuar;

A 3: për çdo a, bОР, për çdo ОV, (a+b)= a+ b;

A 4: për çdo a nga P, për çdo , nga V, a(+)=a+a (ligje të përgjithësuara shpërndarëse);

A 5: për cilindo nga V, 1 = është i kënaqur, ku 1 është njësia e fushës P - vetia e unitaritetit.

Elementet e fushës P do t'i quajmë skalar, kurse elementet e grupit V vektorë.

Koment. Shumëzimi i një vektori me një skalar nuk është një operacion binar në bashkësinë V, pasi është një P´V®V hartografike.

Le të shohim shembuj të hapësirave vektoriale.

Shembulli 1. Hapësira vektoriale zero (zero-dimensionale) - hapësira V 0 =() - e përbërë nga një vektor zero.

Dhe për çdo aОР a=. Le të kontrollojmë kënaqshmërinë e aksiomave të hapësirës vektoriale.

Vini re se një hapësirë ​​vektoriale zero në thelb varet nga fusha P. Kështu, hapësirat zero-dimensionale mbi fushën e numrave racionalë dhe mbi fushën e numrave realë konsiderohen të ndryshme, megjithëse ato përbëhen nga një vektor i vetëm zero.

Shembulli 2. Fusha P është në vetvete një hapësirë ​​vektoriale mbi fushën P. Le të themi V=P. Le të kontrollojmë kënaqshmërinë e aksiomave të hapësirës vektoriale. Meqenëse P është një fushë, atëherë P është një grup abelian aditiv dhe vlen A 1. Për shkak të kënaqshmërisë së shumëzimit në P, A2 është i kënaqur. Aksiomat A 3 dhe A 4 plotësohen për shkak të realizueshmërisë në P të shpërndarjes së shumëzimit në lidhje me mbledhjen. Meqenëse ka një element njësi 1 në fushën P, vetia e unitaritetit A 5 plotësohet. Kështu, fusha P është një hapësirë ​​vektoriale mbi fushën P.

Shembulli 3. Hapësira vektoriale aritmetike n-dimensionale.

Le të jetë P një fushë. Konsideroni bashkësinë V= P n =((a 1 , a 2 , … , a n) ½ a i О P, i=1,…, n). Le të prezantojmë në grupin V operacionet e mbledhjes së vektorëve dhe shumëzimit të një vektori me një skalar sipas rregullave të mëposhtme:

"= (a 1 , a 2 , … , a n), = (b 1 , b 2 , … , b n) О V, "aО P += (a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , ... , a n + bn) (1)

a=(aa 1 , aa 2 , … , aa n) (2)

Elementet e bashkësisë V do të thirren vektorë n-dimensionale. Dy vektorë n-dimensionale quhen të barabartë nëse komponentët (koordinatat) përkatëse të tyre janë të barabartë. Le të tregojmë se V është një hapësirë ​​vektoriale mbi fushën P. Nga përkufizimi i veprimeve të mbledhjes së vektorëve dhe shumëzimit të një vektori me një skalar rezulton se V është i mbyllur nën këto veprime. Meqenëse shtimi i elementeve të V reduktohet në shtimin e elementeve të fushës P, dhe P është një grup abelian aditiv, atëherë V është një grup abelian aditiv. Për më tepër, =, ku 0 është zeroja e fushës P, -= (-a 1, -a 2, …, -a n). Kështu, A 1 është i kënaqur. Meqenëse shumëzimi i një elementi nga V me një element nga P reduktohet në shumëzimin e elementeve të fushës P, atëherë:

A 2 plotësohet për shkak të asociativitetit të shumëzimit me P;

A 3 dhe A 4 janë të kënaqur për shkak të shpërndarjes së shumëzimit në lidhje me mbledhjen me P;

A 5 është e kënaqur, pasi 1 Î P është një element neutral në lidhje me shumëzimin me P.

Përkufizimi 2. Bashkësia V= P n me veprimet e përcaktuara nga formula (1) dhe (2) quhet hapësirë ​​vektoriale aritmetike n-dimensionale mbi fushën P.

Leksioni 6. Hapësira vektoriale.

Pyetjet kryesore.

1. Hapësirë ​​lineare vektoriale.

2. Baza dhe dimensioni i hapësirës.

3. Orientimi në hapësirë.

4. Zbërthimi i një vektori sipas bazës.

5. Koordinatat vektoriale.

1. Hapësirë ​​lineare vektoriale.

Një grup i përbërë nga elementë të çdo natyre në të cilin përcaktohen veprimet lineare: mbledhja e dy elementeve dhe shumëzimi i një elementi me një numër quhen hapësirat, dhe elementet e tyre janë vektorët këtë hapësirë ​​dhe shënohen në të njëjtën mënyrë si madhësitë vektoriale në gjeometri: . Vektorët Hapësira të tilla abstrakte, si rregull, nuk kanë asgjë të përbashkët me vektorët e zakonshëm gjeometrikë. Elementet e hapësirave abstrakte mund të jenë funksione, një sistem numrash, matrica etj., dhe në një rast të veçantë, vektorë të zakonshëm. Prandaj, hapësira të tilla zakonisht quhen hapësira vektoriale .

Hapësirat vektoriale janë, Për shembull, një grup vektorësh kolinearë, të shënuar V1 , bashkësi vektorësh koplanarë V2 , grup vektorësh të zakonshëm (hapësirë ​​reale) V3 .

Për këtë rast të veçantë, ne mund të japim përkufizimin e mëposhtëm të një hapësire vektoriale.

Përkufizimi 1. Bashkësia e vektorëve quhet hapësirë ​​vektoriale, nëse një kombinim linear i ndonjë vektori të një grupi është gjithashtu një vektor i këtij grupi. Vetë vektorët quhen elementet hapësirë ​​vektoriale.

Më i rëndësishëm, si teorikisht ashtu edhe aplikativ, është koncepti i përgjithshëm (abstrakt) i hapësirës vektoriale.

Përkufizimi 2. Një tufë me R elemente, në të cilat shuma përcaktohet për çdo dy element dhe për çdo element https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_75.gif" width="68" height="20"> të quajtur vektoriale(ose lineare) hapësirë, dhe elementet e tij janë vektorë, nëse veprimet e mbledhjes së vektorëve dhe shumëzimit të një vektori me një numër plotësojnë kushtet e mëposhtme ( aksiomat) :

1) shtimi është komutativ, d.m.th.gif" width="184" height="25">;

3) ekziston një element i tillë (vektor zero) që për çdo https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45" height="20">.gif" width= " 99" height="27">;

5) për çdo vektor dhe çdo numër λ barazia vlen;

6) për çdo vektor dhe çdo numër λ Dhe µ barazia është e vërtetë: https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45 height=20" height="20"> dhe çdo numër λ Dhe µ i drejtë ;

8) https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45" height="20">.

Aksiomat më të thjeshta që përcaktojnë një hapësirë ​​vektoriale vijojnë: pasojat :

1. Në një hapësirë ​​vektoriale ka vetëm një zero - elementi - vektori zero.

2. Në hapësirën vektoriale, çdo vektor ka një vektor të vetëm të kundërt.

3. Për çdo element plotësohet barazia.

4. Për çdo numër real λ dhe vektori zero https://pandia.ru/text/80/142/images/image017_45.gif" width="68" height="25">.

5..gif" width="145" height="28">

6..gif" width="15" height="19 src=">.gif" width="71" height="24 src="> është një vektor që plotëson barazinë https://pandia.ru/text /80 /142/images/image026_26.gif" width="73" height="24">.

Pra, në të vërtetë, bashkësia e të gjithë vektorëve gjeometrikë është një hapësirë ​​lineare (vektoriale), pasi për elementet e kësaj bashkësie përcaktohen veprimet e mbledhjes dhe shumëzimit me një numër që plotësojnë aksiomat e formuluara.

2. Baza dhe dimensioni i hapësirës.

Konceptet thelbësore të një hapësire vektoriale janë konceptet e bazës dhe dimensionit.

Përkufizimi. Një grup vektorësh të pavarur në mënyrë lineare, të marra në një rend të caktuar, përmes të cilit çdo vektor i hapësirës mund të shprehet në mënyrë lineare, quhet bazë këtë hapësirë. Vektorët. Përbërësit e bazës së hapësirës quhen bazë .

Baza e një grupi vektorësh të vendosur në një vijë arbitrare mund të konsiderohet një vektor kolinear për këtë linjë.

Baza në aeroplan le të quajmë dy vektorë jo-kolinearë në këtë rrafsh, të marrë në një rend të caktuar https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" width="61" height="24">.

Nëse vektorët bazë janë pingul në çift (ortogonal), atëherë thirret baza ortogonale, dhe nëse këta vektorë kanë një gjatësi të barabartë me një, atëherë quhet baza ortonormale .

Numri më i madh i vektorëve të pavarur linearisht në hapësirë ​​quhet dimension të kësaj hapësire, pra dimensioni i hapësirës përkon me numrin e vektorëve bazë të kësaj hapësire.

Pra, sipas këtyre përkufizimeve:

1. Hapësirë ​​njëdimensionale V1 është një vijë e drejtë, dhe baza përbëhet nga një kolinear vektor https://pandia.ru/text/80/142/images/image028_22.gif" width="39" height="23 src="> .

3. Hapësira e zakonshme është hapësira tredimensionale V3 , baza e të cilit përbëhet nga tre jokomplanare vektorët

Nga këtu shohim se numri i vektorëve bazë në një vijë të drejtë, në një rrafsh, në hapësirën reale përkon me atë që në gjeometri zakonisht quhet numri i dimensioneve (dimensionit) të një drejtëze, rrafshi, hapësire. Prandaj, është e natyrshme të prezantohet një përkufizim më i përgjithshëm.

Përkufizimi. Hapësirë ​​vektoriale R thirrur n– dimensionale nëse nuk ka më shumë se n vektorë të pavarur në mënyrë lineare dhe shënohet R n. Numri n thirrur dimension hapësirë.

Në përputhje me dimensionin e hapësirës ndahen në dimensionale të fundme Dhe pafund-dimensionale. Dimensioni i hapësirës nule konsiderohet i barabartë me zero sipas definicionit.

Shënim 1. Në çdo hapësirë ​​mund të specifikoni sa më shumë baza që dëshironi, por të gjitha bazat e një hapësire të caktuar përbëhen nga i njëjti numër vektorësh.

Shënim 2. NË n- në një hapësirë ​​vektoriale dimensionale, një bazë është çdo koleksion i porositur n vektorë të pavarur në mënyrë lineare.

3. Orientimi në hapësirë.

Lërini vektorët bazë në hapësirë V3 kanë fillimi i përgjithshëm Dhe porositur, pra tregohet se cili vektor konsiderohet i pari, cili konsiderohet i dyti dhe cili konsiderohet i treti. Për shembull, në bazë, vektorët renditen sipas indeksimit.

Për atë për të orientuar hapësirën, është e nevojshme të vendosni një bazë dhe ta deklaroni atë pozitive .

Mund të tregohet se bashkësia e të gjitha bazave të hapësirës ndahet në dy klasa, domethënë në dy nënbashkësi të shkëputura.

a) të gjitha bazat që i përkasin një nëngrupi (klase) kanë e njëjta orientimi (bazat me të njëjtin emër);

b) çdo dy baza që i përkasin të ndryshme nënbashkësi (klasa), kanë e kundërta orientim, ( emra të ndryshëm bazat).

Nëse njëra nga dy klasat e bazave të një hapësire shpallet pozitive dhe tjetra negative, atëherë thuhet se kjo hapësirë i orientuar .

Shpesh, gjatë orientimit të hapësirës, ​​thirren disa baza drejtë, dhe të tjerët - majtas .

https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" width="61" height="24 src="> quhen drejtë, nëse, kur vëzhgoni nga fundi i vektorit të tretë, rrotullimi më i shkurtër i vektorit të parë https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" width="16" height="23" > kryhet në drejtim të kundërt të orës(Fig. 1.8, a).

https://pandia.ru/text/80/142/images/image036_22.gif" width="16" height="24">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_23.gif" width="15" height="23">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image039_23.gif" width="13" height="19">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" width="16" height="23">

Oriz. 1.8. Baza e djathtë (a) dhe baza e majtë (b)

Zakonisht baza e duhur e hapësirës deklarohet si bazë pozitive

Baza e djathtë (majtas) e hapësirës mund të përcaktohet gjithashtu duke përdorur rregullin e një vidhosje "djathtas" ("majtas").

Në analogji me këtë, prezantohet koncepti i djathtë dhe i majtë treshe vektorët jokoplanarë që duhet të renditen (Fig. 1.8).

Kështu, në rastin e përgjithshëm, dy treshe të renditura të vektorëve jokoplanarë kanë të njëjtin orientim (të njëjtin emër) në hapësirë V3 nëse janë të dy djathtas ose të dy majtas, dhe - orientimi i kundërt (i kundërt) nëse njëri prej tyre është djathtas dhe tjetri majtas.

E njëjta gjë bëhet edhe në rastin e hapësirës V2 (aeroplan).

4. Zbërthimi i një vektori sipas bazës.

Për thjeshtësi të arsyetimit, le ta shqyrtojmë këtë pyetje duke përdorur shembullin e një hapësire vektoriale tre-dimensionale R3 .

Le të jetë https://pandia.ru/text/80/142/images/image021_36.gif" width="15" height="19"> një vektor arbitrar i kësaj hapësire.

Në artikullin mbi vektorët n-dimensionale, arritëm te koncepti i një hapësire lineare të krijuar nga një grup vektorësh n-dimensionale. Tani duhet të marrim parasysh koncepte po aq të rëndësishme, të tilla si dimensioni dhe baza e një hapësire vektoriale. Ato lidhen drejtpërdrejt me konceptin e një sistemi të pavarur linear të vektorëve, kështu që rekomandohet gjithashtu t'i kujtoni vetes bazat e kësaj teme.

Le të prezantojmë disa përkufizime.

Përkufizimi 1

Dimensioni i hapësirës vektoriale– një numër që korrespondon me numrin maksimal të vektorëve linearisht të pavarur në këtë hapësirë.

Përkufizimi 2

Baza e hapësirës vektoriale– një grup vektorësh të pavarur linearisht, të renditur dhe të barabartë në numër me dimensionin e hapësirës.

Le të shqyrtojmë një hapësirë ​​të caktuar prej n-vektorësh. Dimensioni i tij është përkatësisht i barabartë me n. Le të marrim një sistem vektorësh n-njësi:

e (1) = (1, 0, . . . 0) e (2) = (0, 1, . . , 0) e (n) = (0, 0, . . , 1)

Ne i përdorim këta vektorë si përbërës të matricës A: do të jetë matricë njësi me dimension n me n. Renditja e kësaj matrice është n. Prandaj, sistemi vektorial e (1) , e (2) , . . . , e(n) është linearisht i pavarur. Në këtë rast, është e pamundur të shtoni një vektor të vetëm në sistem pa cenuar pavarësinë e tij lineare.

Meqenëse numri i vektorëve në sistem është n, atëherë dimensioni i hapësirës së vektorëve n-dimensionale është n, dhe vektorët njësi janë e (1), e (2), . . . , e (n) janë baza e hapësirës së specifikuar.

Nga përkufizimi që rezulton mund të konkludojmë: çdo sistem vektorësh n-dimensionale në të cilin numri i vektorëve është më i vogël se n nuk është bazë e hapësirës.

Nëse ndërrojmë vektorin e parë dhe të dytë, marrim një sistem vektorësh e (2) , e (1) , . . . , e (n) . Do të jetë gjithashtu baza e një hapësire vektoriale n-dimensionale. Le të krijojmë një matricë duke marrë vektorët e sistemit që rezulton si rreshta të tij. Matrica mund të merret nga matrica e identitetit duke ndërruar dy rreshtat e parë, rangu i saj do të jetë n. Sistemi e (2) , e (1) , . . . , e(n) është linearisht i pavarur dhe është baza e një hapësire vektoriale n-dimensionale.

Duke riorganizuar vektorë të tjerë në sistemin origjinal, marrim një bazë tjetër.

Ne mund të marrim një sistem të pavarur linearisht vektorësh jo njësi, dhe ai gjithashtu do të përfaqësojë bazën e një hapësire vektoriale n-dimensionale.

Përkufizimi 3

Një hapësirë ​​vektoriale me dimension n ka aq baza sa ka sisteme linearisht të pavarura të vektorëve n-dimensionale të numrit n.

Aeroplani është një hapësirë ​​dy-dimensionale - baza e tij do të jenë çdo dy vektorë jo-kolinearë. Baza e hapësirës tre-dimensionale do të jetë çdo tre vektorë joplanarë.

Le të shqyrtojmë zbatimin e kësaj teorie duke përdorur shembuj specifikë.

Shembulli 1

Të dhënat fillestare: vektorët

a = (3 , - 2 , 1) b = (2 , 1 , 2) c = (3 , - 1 , - 2)

Është e nevojshme të përcaktohet nëse vektorët e specifikuar janë baza e një hapësire vektoriale tredimensionale.

Zgjidhje

Për të zgjidhur problemin, studiojmë sistemin e dhënë të vektorëve për varësinë lineare. Le të krijojmë një matricë, ku rreshtat janë koordinatat e vektorëve. Le të përcaktojmë rangun e matricës.

A = 3 2 3 - 2 1 - 1 1 2 - 2 A = 3 - 2 1 2 1 2 3 - 1 - 2 = 3 1 (- 2) + (- 2) 2 3 + 1 2 · (- 1) - 1 · 1 · 3 - (- 2) · 2 · (- 2) - 3 · 2 · (- 1) = = - 25 ≠ 0 ⇒ R a n k (A) = 3

Rrjedhimisht, vektorët e specifikuar nga kushti i problemit janë linearisht të pavarur, dhe numri i tyre është i barabartë me dimensionin e hapësirës vektoriale - ata janë baza e hapësirës vektoriale.

Përgjigje: vektorët e treguar janë baza e hapësirës vektoriale.

Shembulli 2

Të dhënat fillestare: vektorët

a = (3, - 2, 1) b = (2, 1, 2) c = (3, - 1, - 2) d = (0, 1, 2)

Është e nevojshme të përcaktohet nëse sistemi i specifikuar i vektorëve mund të jetë baza e hapësirës tre-dimensionale.

Zgjidhje

Sistemi i vektorëve të specifikuar në deklaratën e problemit është i varur në mënyrë lineare, sepse numri maksimal i vektorëve të pavarur linearisht është 3. Kështu, sistemi i treguar i vektorëve nuk mund të shërbejë si bazë për një hapësirë ​​vektoriale tredimensionale. Por vlen të përmendet se nënsistemi i sistemit origjinal a = (3, - 2, 1), b = (2, 1, 2), c = (3, - 1, - 2) është një bazë.

Përgjigje: sistemi i treguar i vektorëve nuk është bazë.

Shembulli 3

Të dhënat fillestare: vektorët

a = (1, 2, 3, 3) b = (2, 5, 6, 8) c = (1, 3, 2, 4) d = (2, 5, 4, 7)

A mund të jenë baza e hapësirës katërdimensionale?

Zgjidhje

Le të krijojmë një matricë duke përdorur koordinatat e vektorëve të dhënë si rreshta

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7

Duke përdorur metodën Gaussian, ne përcaktojmë gradën e matricës:

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 1 - 1 1 0 1 - 2 1 ~ ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 - 2 - 1 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 0 1 ⇒ ⇒ R a n k (A) = 4

Rrjedhimisht, sistemi i vektorëve të dhënë është linearisht i pavarur dhe numri i tyre është i barabartë me dimensionin e hapësirës vektoriale - ata janë baza e një hapësire vektoriale katërdimensionale.

Përgjigje: vektorët e dhënë janë baza e hapësirës katërdimensionale.

Shembulli 4

Të dhënat fillestare: vektorët

a (1) = (1 , 2 , - 1 , - 2) a (2) = (0 , 2 , 1 , - 3) a (3) = (1 , 0 , 0 , 5)

A formojnë ato bazën e një hapësire me dimension 4?

Zgjidhje

Sistemi origjinal i vektorëve është linearisht i pavarur, por numri i vektorëve në të nuk është i mjaftueshëm për t'u bërë baza e një hapësire katër-dimensionale.

Përgjigje: jo, ata nuk e bëjnë.

Zbërthimi i një vektori në një bazë

Le të supozojmë se vektorët arbitrarë e (1) , e (2) , . . . , e (n) janë baza e një hapësire vektoriale n-dimensionale. Le t'u shtojmë atyre një vektor të caktuar n-dimensional x →: sistemi rezultues i vektorëve do të bëhet i varur në mënyrë lineare. Vetitë e varësisë lineare thonë se të paktën një nga vektorët e një sistemi të tillë mund të shprehet në mënyrë lineare përmes të tjerëve. Duke riformuluar këtë deklaratë, mund të themi se të paktën një nga vektorët e një sistemi të varur linear mund të zgjerohet në vektorët e mbetur.

Kështu, arritëm në formulimin e teoremës më të rëndësishme:

Përkufizimi 4

Çdo vektor i një hapësire vektoriale n-dimensionale mund të zbërthehet në mënyrë unike në një bazë.

Dëshmia 1

Le të vërtetojmë këtë teoremë:

le të vendosim bazën e hapësirës vektoriale n-dimensionale - e (1) , e (2) , . . . , e (n) . Le ta bëjmë sistemin të varur linearisht duke shtuar një vektor n-dimensional x → në të. Ky vektor mund të shprehet në mënyrë lineare në termat e vektorëve origjinalë e:

x = x 1 · e (1) + x 2 · e (2) + . . . + x n · e (n) , ku x 1 , x 2 , . . . , x n - disa numra.

Tani vërtetojmë se një dekompozim i tillë është unik. Le të supozojmë se nuk është kështu dhe ka një tjetër dekompozim të ngjashëm:

x = x ~ 1 e (1) + x 2 ~ e (2) + . . . + x ~ n e (n) , ku x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n - disa numra.

Le të zbresim nga ana e majtë dhe e djathtë e kësaj barazie, përkatësisht, anën e majtë dhe të djathtë të barazisë x = x 1 · e (1) + x 2 · e (2) + . . . + x n · e (n) . Ne marrim:

0 = (x ~ 1 - x 1) · e (1) + (x ~ 2 - x 2) · e (2) + . . . (x ~ n - x n) e (2)

Sistemi i vektorëve bazë e (1) , e (2) , . . . , e(n) është linearisht i pavarur; sipas përkufizimit të pavarësisë lineare të një sistemi vektorësh, barazia e mësipërme është e mundur vetëm kur të gjithë koeficientët janë (x ~ 1 - x 1) , (x ~ 2 - x 2) , . . . , (x ~ n - x n) do të jetë e barabartë me zero. Nga e cila do të jetë e drejtë: x 1 = x ~ 1, x 2 = x ~ 2, . . . , x n = x ~ n . Dhe kjo dëshmon opsionin e vetëm për zbërthimin e një vektori në një bazë.

Në këtë rast, koeficientët x 1, x 2, . . . , x n quhen koordinatat e vektorit x → në bazën e (1) , e (2) , . . . , e (n) .

Teoria e provuar e bën të qartë shprehjen "e dhënë një vektor n-dimensional x = (x 1 , x 2 , . . . . . , x n)": një hapësirë ​​vektoriale x → n-dimensionale merret parasysh dhe koordinatat e tij specifikohen në një bazë të caktuar. Është gjithashtu e qartë se i njëjti vektor në një bazë tjetër të hapësirës n-dimensionale do të ketë koordinata të ndryshme.

Merrni shembullin e mëposhtëm: supozoni se në një bazë të hapësirës vektoriale n-dimensionale është dhënë një sistem prej n vektorësh të pavarur linearisht

dhe gjithashtu jepet vektori x = (x 1 , x 2 , . . . , x n).

Vektorët e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) në këtë rast janë edhe baza e kësaj hapësire vektoriale.

Supozojmë se është e nevojshme të përcaktohen koordinatat e vektorit x → në bazën e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) , e shënuar si x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n.

Vektori x → do të përfaqësohet si më poshtë:

x = x ~ 1 e (1) + x ~ 2 e (2) + . . . + x ~ n e (n)

Le ta shkruajmë këtë shprehje në formë koordinative:

(x 1 , x 2 , . . . , x n) = x ~ 1 (e (1) 1 , e (1) 2 , . . , e (1) n) + x ~ 2 (e (2 ) 1 , e (2) 2 , . . . , e (2) n) + . . . + + x ~ n · (e (n) 1 , e (n) 2 , . . . , e (n) n) = = (x ~ 1 e 1 (1) + x ~ 2 e 1 (2) + . . . + x ~ n e 1 (n) , x ~ 1 e 2 (1) + x ~ 2 e 2 (2) + + . . + x ~ n e 2 (n) , . . . , x ~ 1 e n (1) + x ~ 2 e n (2) + ... + x ~ n e n (n))

Barazia që rezulton është ekuivalente me një sistem prej n shprehjesh algjebrike lineare me n ndryshore lineare të panjohura x ~ 1, x ~ 2, . . . , x ~ n:

x 1 = x ~ 1 e 1 1 + x ~ 2 e 1 2 + . . . + x ~ n e 1 n x 2 = x ~ 1 e 2 1 + x ~ 2 e 2 2 + . . . + x ~ n e 2 n ⋮ x n = x ~ 1 e n 1 + x ~ 2 e n 2 + . . . + x ~ n e n n

Matrica e këtij sistemi do të ketë formën e mëposhtme:

e 1 (1) e 1 (2) ⋯ e 1 (n) e 2 (1) e 2 (2) ⋯ e 2 (n) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e n (1) e n (2) ⋯ e n (n)

Le të jetë kjo një matricë A, dhe kolonat e saj janë vektorë të një sistemi të pavarur linear të vektorëve e 1 (1), e 2 (2), . . . , e n (n) . Rangu i matricës është n, dhe përcaktori i saj është jozero. Kjo tregon se sistemi i ekuacioneve ka një zgjidhje unike, të përcaktuar nga çdo metodë e përshtatshme: për shembull, metoda Cramer ose metoda e matricës. Në këtë mënyrë mund të përcaktojmë koordinatat x ~ 1, x ~ 2, . . . , x ~ n vektor x → në bazën e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) .

Le të zbatojmë teorinë e konsideruar në një shembull specifik.

Shembulli 6

Të dhënat fillestare: vektorët janë të specifikuar në bazë të hapësirës tredimensionale

e (1) = (1 , - 1 , 1) e (2) = (3 , 2 , - 5) e (3) = (2 , 1 , - 3) x = (6 , 2 , - 7)

Është e nevojshme të konfirmohet fakti se sistemi i vektorëve e (1), e (2), e (3) shërben gjithashtu si bazë e një hapësire të caktuar, si dhe të përcaktohen koordinatat e vektorit x në një bazë të caktuar.

Zgjidhje

Sistemi i vektorëve e (1), e (2), e (3) do të jetë baza e hapësirës tredimensionale nëse është linearisht i pavarur. Le ta zbulojmë këtë mundësi duke përcaktuar rangun e matricës A, rreshtat e së cilës janë vektorët e dhënë e (1), e (2), e (3).

Ne përdorim metodën Gaussian:

A = 1 - 1 1 3 2 - 5 2 1 - 3 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 3 - 5 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 0 - 1 5

R a n k (A) = 3 . Kështu, sistemi i vektorëve e (1), e (2), e (3) është linearisht i pavarur dhe është një bazë.

Le të ketë vektori x → në bazë koordinatat x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3. Marrëdhënia midis këtyre koordinatave përcaktohet nga ekuacioni:

x 1 = x ~ 1 e 1 (1) + x ~ 2 e 1 (2) + x ~ 3 e 1 (3) x 2 = x ~ 1 e 2 (1) + x ~ 2 e 2 (2) + x ~ 3 e 2 (3) x 3 = x ~ 1 e 3 (1) + x ~ 2 e 3 (2) + x ~ 3 e 3 (3)

Le të zbatojmë vlerat sipas kushteve të problemit:

x ~ 1 + 3 x ~ 2 + 2 x ~ 3 = 6 - x ~ 1 + 2 x ~ 2 + x ~ 3 = 2 x ~ 1 - 5 x ~ 2 - 3 x 3 = - 7

Le të zgjidhim sistemin e ekuacioneve duke përdorur metodën e Cramer:

∆ = 1 3 2 - 1 2 1 1 - 5 - 3 = - 1 ∆ x ~ 1 = 6 3 2 2 2 1 - 7 - 5 - 3 = - 1 , x ~ 1 = ∆ x ~ 1 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 2 = 1 6 2 - 1 2 1 1 - 7 - 3 = - 1 , x ~ 2 = ∆ x ~ 2 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 3 = 1 3 6 - 1 2 2 1 - 5 - 7 = - 1 , x ~ 3 = ∆ x ~ 3 ∆ = - 1 - 1 = 1

Kështu, vektori x → në bazën e (1), e (2), e (3) ka koordinata x ~ 1 = 1, x ~ 2 = 1, x ~ 3 = 1.

Përgjigje: x = (1 , 1 , 1)

Marrëdhënia ndërmjet bazave

Le të supozojmë se në një bazë të hapësirës vektoriale n-dimensionale jepen dy sisteme të pavarura linearisht vektorësh:

c (1) = (c 1 (1) , c 2 (1) , . . . , c n (1)) c (2) = (c 1 (2) , c 2 (2) , . . . , c n (2)) ⋮ c (n) = (c 1 (n) , e 2 (n) , . . . , c n (n))

e (1) = (e 1 (1) , e 2 (1) , . . . , e n (1)) e (2) = (e 1 (2) , e 2 (2) , . . . , e n (2)) ⋮ e (n) = (e 1 (n) , e 2 (n) , . . . , e n (n))

Këto sisteme janë gjithashtu baza të një hapësire të caktuar.

Le të jetë c ~ 1 (1) , c ~ 2 (1) , . . . , c ~ n (1) - koordinatat e vektorit c (1) në bazën e (1) , e (2) , . . . , e (3) , atëherë marrëdhënia koordinative do të jepet nga një sistem ekuacionesh lineare:

c 1 (1) = c ~ 1 (1) e 1 (1) + c ~ 2 (1) e 1 (2) + . . . + c ~ n (1) e 1 (n) c 2 (1) = c ~ 1 (1) e 2 (1) + c ~ 2 (1) e 2 (2) + . . . + c ~ n (1) e 2 (n) ⋮ c n (1) = c ~ 1 (1) e n (1) + c ~ 2 (1) e n (2) + . . . + c ~ n (1) e n (n)

Sistemi mund të përfaqësohet si një matricë si më poshtë:

(c 1 (1) , c 2 (1) , . . . , c n (1)) = (c ~ 1 (1) , c ~ 2 (1) , . . . , c ~ n (1)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

Le të bëjmë të njëjtën hyrje për vektorin c (2) me analogji:

(c 1 (2) , c 2 (2) , . . . , c n (2)) = (c ~ 1 (2) , c ~ 2 (2) , . . . , c ~ n (2)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

(c 1 (n) , c 2 (n) , . . . , c n (n)) = (c ~ 1 (n) , c ~ 2 (n) , . . . , c ~ n (n)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

Le të kombinojmë barazitë e matricës në një shprehje:

c 1 (1) c 2 (1) ⋯ c n (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ c n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n) c 2 (n) ⋯ c n (n) = c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) e 1 (1) e 2 (1) ⋯ e n (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n ) e 2 (n) ⋯ e n (n)

Ai do të përcaktojë lidhjen midis vektorëve të dy bazave të ndryshme.

Duke përdorur të njëjtin parim, është e mundur të shprehen të gjithë vektorët bazë e(1), e(2), . . . , e (3) përmes bazës c (1) , c (2) , . . . , c (n) :

e 1 (1) e 2 (1) ⋯ e n (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) ⋯ e n (n) = e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) c 1 (1) c 2 (1) ⋯ c n (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ c n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n ) c 2 (n) ⋯ c n (n)

Le të japim përkufizimet e mëposhtme:

Përkufizimi 5

Matrica c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) është matrica e tranzicionit nga baza e (1) , e (2) , . . . , e (3)

në bazën c (1) , c (2) , . . . , c (n) .

Përkufizimi 6

Matrica e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) është matrica e tranzicionit nga baza c (1) , c (2) , . . . , c(n)

në bazën e (1) , e (2) , . . . , e (3) .

Nga këto barazi duket qartë se

c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1 e ~ 1 (1) e ) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n ) · c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1

ato. matricat e tranzicionit janë reciproke.

Le të shohim teorinë duke përdorur një shembull specifik.

Shembulli 7

Të dhënat fillestare:është e nevojshme të gjendet matrica e tranzicionit nga baza

c (1) = (1 , 2 , 1) c (2) = (2 , 3 , 3) ​​c (3) = (3 , 7 , 1)

e (1) = (3 , 1 , 4) e (2) = (5 , 2 , 1) e (3) = (1 , 1 , - 6)

Ju gjithashtu duhet të tregoni marrëdhënien midis koordinatave të një vektori arbitrar x → në bazat e dhëna.

Zgjidhje

1. Le të jetë T matrica e tranzicionit, atëherë barazia do të jetë e vërtetë:

3 1 4 5 2 1 1 1 1 = T 1 2 1 2 3 3 3 7 1

Shumëzoni të dyja anët e barazisë me

1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

dhe marrim:

T = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

2. Përcaktoni matricën e tranzicionit:

T = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 = = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · - 18 5 3 7 - 2 - 1 5 - 1 - 1 = - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

3. Le të përcaktojmë marrëdhënien ndërmjet koordinatave të vektorit x → :

Le të supozojmë se në bazën c (1) , c (2) , . . . , c (n) vektori x → ka koordinata x 1 , x 2 , x 3 , atëherë:

x = (x 1 , x 2 , x 3) 1 2 1 2 3 3 3 7 1 ,

dhe në bazën e (1) , e (2) , . . . , e (3) ka koordinata x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3, pastaj:

x = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6

Sepse Nëse anët e majta të këtyre barazive janë të barabarta, ne mund të barazojmë edhe anët e djathta:

(x 1 , x 2 , x 3) · 1 2 1 2 3 3 7 1 = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) · 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6

Shumëzoni të dyja anët në të djathtë me

1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

dhe marrim:

(x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) · 3 1 4 5 2 1 1 1 1 - 6 · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 ⇔ ⇔ ( x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) T ⇔ ⇔ (x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3 ) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Ne anen tjeter

(x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) = (x 1, x 2, x 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Barazimet e fundit tregojnë lidhjen ndërmjet koordinatave të vektorit x → në të dyja bazat.

Përgjigje: matrica e tranzicionit

27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Koordinatat e vektorit x → në bazat e dhëna lidhen me relacionin:

(x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

(x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) = (x 1, x 2, x 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8 - 1

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter