Reklamimi në portal

Distanca nga një pikë në një aeroplan. Metoda e teorisë së detajuar me shembuj (2020). Metoda vektoriale

PROBLEMET C2 TË PROVIMIT UNIFOR SHTETOR NË MATEMATIKË PËR TË GJETUR DISTANCËN NGA NJË PIKË NË Aeroplan.

Kulikova Anastasia Yurievna

Student i vitit të 5-të, Departamenti i Matematikës. analiza, algjebra dhe gjeometria EI KFU, Federata Ruse, Republika e Tatarstanit, Elabuga

Ganeeva Aigul Rifovna

mbikëqyrës shkencor, Ph.D. ped. Shkenca, Profesor i Asociuar EI KFU, Federata Ruse, Republika e Tatarstanit, Elabuga

Vitet e fundit, detyrat për llogaritjen e distancës nga një pikë në një aeroplan janë shfaqur në detyrat e Provimit të Unifikuar të Shtetit në matematikë. Në këtë artikull, duke përdorur shembullin e një problemi, shqyrtohen metoda të ndryshme për gjetjen e distancës nga një pikë në një plan. Metoda më e përshtatshme mund të përdoret për të zgjidhur probleme të ndryshme. Pasi të keni zgjidhur një problem duke përdorur një metodë, mund të kontrolloni korrektësinë e rezultatit duke përdorur një metodë tjetër.

Përkufizimi. Distanca nga një pikë në një plan që nuk e përmban këtë pikë është gjatësia e segmentit pingul të tërhequr nga kjo pikë në rrafshin e dhënë.

Detyrë. Jepet një paralelipiped drejtkëndor ABMED.A. 1 B 1 C 1 D 1 me anë AB=2, B.C.=4, A.A. 1 = 6. Gjeni distancën nga pika D në aeroplan ACD 1 .

1 mënyrë. Duke përdorur përkufizim. Gjeni distancën r( D, ACD 1) nga pika D në aeroplan ACD 1 (Fig. 1).

Figura 1. Metoda e parë

Le të kryejmë D.H.⊥AC, pra, nga teorema e tre pingulave D 1 H⊥AC Dhe (DD 1 H)⊥AC. Le të kryejmë e drejtpërdrejtë D.T. pingul D 1 H. Drejt D.T. shtrihet në një avion DD 1 H, prandaj D.T.⊥A.C.. Prandaj, D.T.⊥ACD 1.

ADC le të gjejmë hipotenuzën AC dhe lartësia D.H.

Nga një trekëndësh kënddrejtë D 1 D.H. le të gjejmë hipotenuzën D 1 H dhe lartësia D.T.

Përgjigje:.

Metoda 2.Metoda e volumit (përdorimi i një piramide ndihmëse). Një problem i këtij lloji mund të reduktohet në problemin e llogaritjes së lartësisë së një piramide, ku lartësia e piramidës është distanca e kërkuar nga një pikë në një plan. Vërtetoni se kjo lartësi është distanca e kërkuar; gjeni vëllimin e kësaj piramide në dy mënyra dhe shprehni këtë lartësi.

Vini re se me këtë metodë nuk ka nevojë të ndërtohet një pingul nga një pikë e dhënë në një plan të caktuar.

Një kuboid është një paralelipiped, të gjitha fytyrat e të cilit janë drejtkëndësha.

AB=CD=2, B.C.=pas Krishtit=4, A.A. 1 =6.

Distanca e kërkuar do të jetë lartësia h piramidat ACD 1 D, ulur nga lart D në bazë ACD 1 (Fig. 2).

Le të llogarisim vëllimin e piramidës ACD 1 D dy mënyra.

Gjatë llogaritjes, në mënyrën e parë marrim si bazë Δ ACD 1 atëherë

Gjatë llogaritjes në mënyrën e dytë, marrim Δ si bazë ACD, Pastaj

Le të barazojmë anët e djathta të dy barazive të fundit dhe të marrim

Figura 2. Metoda e dytë

Nga trekëndëshat kënddrejtë ACD, SHTO 1 , CDD 1 gjeni hipotenuzën duke përdorur teoremën e Pitagorës

ACD

Llogaritni sipërfaqen e trekëndëshit ACD 1 duke përdorur formulën e Heronit

Përgjigje:.

3 mënyra. Metoda e koordinatave.

Le të jepet një pikë M(x 0 ,y 0 ,z 0) dhe aeroplan α , dhënë nga ekuacioni sëpatë+nga+cz+d=0 në një sistem koordinativ kartezian drejtkëndor. Largësia nga pika M në rrafshin α mund të llogaritet duke përdorur formulën:

Le të prezantojmë një sistem koordinativ (Fig. 3). Origjina e koordinatave në një pikë NË;

Drejt AB- boshti X, drejt dielli- boshti y, drejt BB 1 - boshti z.

Figura 3. Metoda e tretë

B(0,0,0), A(2,0,0), ME(0,4,0), D(2,4,0), D 1 (2,4,6).

Le ax+nga+ cz+ d=0 – ekuacioni i rrafshët ACD 1 . Zëvendësimi i koordinatave të pikave në të A, C, D 1 marrim:

Ekuacioni i planit ACD 1 do të marrë formën

Përgjigje:.

4 mënyra. Metoda vektoriale.

Le të prezantojmë bazën (Fig. 4) , .

Figura 4. Metoda e katërt

, Konkursi "Prezantimi për mësimin"

Klasa: 11

Prezantimi për mësimin
















Kthehu përpara

Kujdes! Pamjet paraprake të diapozitivëve janë vetëm për qëllime informative dhe mund të mos përfaqësojnë të gjitha tiparet e prezantimit. Nëse jeni të interesuar për këtë punë, ju lutemi shkarkoni versionin e plotë.

Qëllimet:

  • përgjithësimi dhe sistematizimi i njohurive dhe aftësive të nxënësve;
  • zhvillimi i aftësive për të analizuar, krahasuar, nxjerrë përfundime.

Pajisjet:

  • projektor multimedial;
  • kompjuter;
  • fletë me tekste problemore

PËRPARIMI I KLASËS

I. Momenti organizativ

II. Faza e përditësimit të njohurive(rrëshqitje 2)

Ne përsërisim se si përcaktohet distanca nga një pikë në një plan

III. Ligjërata(rrëshqitje 3-15)

Në këtë mësim do të shikojmë mënyra të ndryshme për të gjetur distancën nga një pikë në një aeroplan.

Metoda e parë: llogaritëse hap pas hapi

Largësia nga pika M në rrafshin α:
– e barabartë me distancën nga rrafshi α nga një pikë arbitrare P e shtrirë në një drejtëz a, e cila kalon nëpër pikën M dhe është paralel me rrafshin α;
– është e barabartë me distancën nga rrafshi α nga një pikë arbitrare P e shtrirë në rrafshin β, e cila kalon nëpër pikën M dhe është paralele me rrafshin α.

Ne do të zgjidhim problemet e mëposhtme:

№1. Në kubin A...D 1, gjeni distancën nga pika C 1 në rrafshin AB 1 C.

Mbetet për të llogaritur vlerën e gjatësisë së segmentit O 1 N.

№2. Në një prizëm të rregullt gjashtëkëndor A...F 1, të gjitha skajet e të cilit janë të barabarta me 1, gjeni distancën nga pika A në rrafshin DEA 1.

Metoda tjetër: metoda e vëllimit.

Nëse vëllimi i piramidës ABCM është i barabartë me V, atëherë distanca nga pika M në rrafshin α që përmban ∆ABC llogaritet me formulën ρ(M; α) = ρ(M; ABC) =
Kur zgjidhim probleme, përdorim barazinë e vëllimeve të një figure, të shprehur në dy mënyra të ndryshme.

Le të zgjidhim problemin e mëposhtëm:

№3. Buza AD e piramidës DABC është pingul me rrafshin bazë ABC. Gjeni distancën nga A në rrafshin që kalon nga mesi i skajeve AB, AC dhe AD, nëse.

Gjatë zgjidhjes së problemeve metodë koordinative distanca nga pika M në rrafshin α mund të llogaritet duke përdorur formulën ρ(M; α) = , ku M(x 0; y 0; z 0), dhe rrafshi jepet nga ekuacioni ax + nga + cz + d = 0

Le të zgjidhim problemin e mëposhtëm:

№4. Në një kub njësi A...D 1, gjeni distancën nga pika A 1 në rrafshin BDC 1.

Le të prezantojmë një sistem koordinatash me origjinën në pikën A, boshti y do të kalojë përgjatë skajit AB, boshti x përgjatë skajit AD dhe boshti z përgjatë buzës AA 1. Pastaj koordinatat e pikave B (0; 1; 0) D (1; 0; 0;) C 1 (1; 1; 1)
Le të krijojmë një ekuacion për një plan që kalon nëpër pikat B, D, C 1.

Atëherë – dx – dy + dz + d = 0 x + y – z – 1= 0. Prandaj, ρ =

Metoda e mëposhtme që mund të përdoret për zgjidhjen e problemeve të këtij lloji është metoda e problemeve të mbështetjes.

Zbatimi i kësaj metode konsiston në përdorimin e problemeve të njohura të referencës, të cilat formulohen si teorema.

Le të zgjidhim problemin e mëposhtëm:

№5. Në një kub njësi A...D 1, gjeni distancën nga pika D 1 në rrafshin AB 1 C.

Le të shqyrtojmë aplikacionin metoda vektoriale.

№6. Në një kub njësi A...D 1, gjeni distancën nga pika A 1 në rrafshin BDC 1.

Pra, ne shikuam metoda të ndryshme që mund të përdoren për të zgjidhur këtë lloj problemi. Zgjedhja e një metode ose një tjetër varet nga detyra specifike dhe preferencat tuaja.

IV. Punë në grup

Mundohuni ta zgjidhni problemin në mënyra të ndryshme.

№1. Buza e kubit A...D 1 është e barabartë me . Gjeni distancën nga kulmi C në rrafshin BDC 1.

№2. Në një katërkëndor të rregullt ABCD me një skaj, gjeni distancën nga pika A në rrafshin BDC

№3. Në një prizëm të rregullt trekëndor ABCA 1 B 1 C 1, të gjitha skajet e të cilit janë të barabarta me 1, gjeni distancën nga A në rrafshin BCA 1.

№4. Në një piramidë të rregullt katërkëndëshe SABCD, të gjitha skajet e së cilës janë të barabarta me 1, gjeni distancën nga A në rrafshin SCD.

V. Përmbledhje e mësimit, detyra shtëpie, reflektim

Ruajtja e privatësisë suaj është e rëndësishme për ne. Për këtë arsye, ne kemi zhvilluar një politikë të privatësisë që përshkruan se si ne përdorim dhe ruajmë informacionin tuaj. Ju lutemi rishikoni praktikat tona të privatësisë dhe na tregoni nëse keni ndonjë pyetje.

Mbledhja dhe përdorimi i informacionit personal

Informacioni personal i referohet të dhënave që mund të përdoren për të identifikuar ose kontaktuar një person specifik.

Mund t'ju kërkohet të jepni informacionin tuaj personal në çdo kohë kur na kontaktoni.

Më poshtë janë disa shembuj të llojeve të informacionit personal që mund të mbledhim dhe se si mund ta përdorim këtë informacion.

Çfarë informacioni personal mbledhim:

  • Kur dorëzoni një aplikim në sajt, ne mund të mbledhim informacione të ndryshme, duke përfshirë emrin tuaj, numrin e telefonit, adresën e emailit, etj.

Si i përdorim të dhënat tuaja personale:

  • Informacioni personal që mbledhim na lejon t'ju kontaktojmë me oferta unike, promovime dhe ngjarje të tjera dhe ngjarje të ardhshme.
  • Herë pas here, ne mund të përdorim të dhënat tuaja personale për të dërguar njoftime dhe komunikime të rëndësishme.
  • Ne gjithashtu mund të përdorim të dhënat personale për qëllime të brendshme, si kryerja e auditimeve, analizave të të dhënave dhe kërkimeve të ndryshme, me qëllim që të përmirësojmë shërbimet që ofrojmë dhe t'ju ofrojmë rekomandime në lidhje me shërbimet tona.
  • Nëse merrni pjesë në një tërheqje çmimesh, konkurs ose promovim të ngjashëm, ne mund të përdorim informacionin që ju jepni për të administruar programe të tilla.

Zbulimi i informacionit palëve të treta

Ne nuk ua zbulojmë informacionin e marrë nga ju palëve të treta.

Përjashtimet:

  • Nëse është e nevojshme - në përputhje me ligjin, procedurën gjyqësore, në procedurat ligjore dhe/ose në bazë të kërkesave publike ose kërkesave nga autoritetet qeveritare në territorin e Federatës Ruse - për të zbuluar informacionin tuaj personal. Ne gjithashtu mund të zbulojmë informacione për ju nëse përcaktojmë se një zbulim i tillë është i nevojshëm ose i përshtatshëm për qëllime sigurie, zbatimi të ligjit ose qëllime të tjera me rëndësi publike.
  • Në rast të një riorganizimi, bashkimi ose shitjeje, ne mund t'i transferojmë informacionet personale që mbledhim te pala e tretë pasardhëse e aplikueshme.

Mbrojtja e informacionit personal

Ne marrim masa paraprake - duke përfshirë administrative, teknike dhe fizike - për të mbrojtur informacionin tuaj personal nga humbja, vjedhja dhe keqpërdorimi, si dhe qasja, zbulimi, ndryshimi dhe shkatërrimi i paautorizuar.

Respektimi i privatësisë suaj në nivel kompanie

Për t'u siguruar që informacioni juaj personal është i sigurt, ne i komunikojmë punonjësve tanë standardet e privatësisë dhe sigurisë dhe zbatojmë në mënyrë rigoroze praktikat e privatësisë.

Le të shqyrtojmë një plan të caktuar π dhe një pikë arbitrare M 0 në hapësirë. Le të zgjedhim për aeroplanin vektor normal njësi n me fillimi në një pikë M 1 ∈ π, dhe le të jetë p(M 0 ,π) distanca nga pika M 0 në rrafshin π. Pastaj (Fig. 5.5)

р(М 0 ,π) = | pr n M 1 M 0 | = |nM 1 M 0 |, (5.8)

që nga |n| = 1.

Nëse rrafshi π jepet në sistemi koordinativ drejtkëndor me ekuacionin e tij të përgjithshëm Ax + By + Cz + D = 0, atëherë vektori i tij normal është vektori me koordinata (A; B; C) dhe ne mund të zgjedhim

Le të jenë (x 0 ; y 0 ; z 0) dhe (x 1 ; y 1 ; z 1) koordinatat e pikave M 0 dhe M 1 . Atëherë vlen barazia Ax 1 + By 1 + Cz 1 + D = 0, pasi pika M 1 i përket rrafshit, dhe koordinatat e vektorit M 1 M 0 mund të gjenden: M 1 M 0 = (x 0 - x 1; y 0 -y 1; z 0 -z 1). Regjistrimi produkt skalar nM 1 M 0 në formë koordinative dhe duke transformuar (5.8), marrim


meqenëse Ax 1 + By 1 + Cz 1 = - D. Pra, për të llogaritur distancën nga një pikë në një plan, duhet të zëvendësoni koordinatat e pikës në ekuacionin e përgjithshëm të planit dhe më pas të ndani vlerën absolute të rezultati me një faktor normalizues të barabartë me gjatësinë e vektorit normal përkatës.