Lojëra

Derivati i një funksioni kompleks është i barabartë me. Derivat i një funksioni kompleks. Derivat i një funksioni fuqi-eksponencial

Zgjidhja e problemeve fizike ose shembujve në matematikë është plotësisht e pamundur pa njohuri për derivatin dhe metodat e llogaritjes së tij. Derivati është një nga konceptet më të rëndësishme në analizën matematikore. Ne vendosëm t'i kushtojmë artikullin e sotëm kësaj teme themelore. Çfarë është derivati, cili është kuptimi fizik dhe gjeometrik i tij, si të llogaritet derivati i një funksioni? Të gjitha këto pyetje mund të kombinohen në një: si ta kuptojmë derivatin?

Kuptimi gjeometrik dhe fizik i derivatit

Le të ketë një funksion f(x) , të specifikuara në një interval të caktuar (a, b) . Pikat x dhe x0 i përkasin këtij intervali. Kur x ndryshon, vetë funksioni ndryshon. Ndryshimi i argumentit - ndryshimi në vlerat e tij x-x0 . Ky ndryshim shkruhet si delta x dhe quhet rritje e argumentit. Një ndryshim ose rritje e një funksioni është diferenca midis vlerave të një funksioni në dy pika. Përkufizimi i derivatit:

Derivati i një funksioni në një pikë është kufiri i raportit të rritjes së funksionit në një pikë të caktuar me rritjen e argumentit kur ky i fundit tenton në zero.

Përndryshe mund të shkruhet kështu:

Çfarë kuptimi ka të gjesh një kufi të tillë? Dhe ja çfarë është:

derivati i një funksioni në një pikë është i barabartë me tangjenten e këndit ndërmjet boshtit OX dhe tangjentes me grafikun e funksionit në një pikë të caktuar.

Kuptimi fizik i derivatit: derivati i shtegut në lidhje me kohën është i barabartë me shpejtësinë e lëvizjes drejtvizore.

Në të vërtetë, që nga ditët e shkollës, të gjithë e dinë se shpejtësia është një rrugë e veçantë x=f(t) dhe koha t . Shpejtësia mesatare për një periudhë të caktuar kohore:

Për të gjetur shpejtësinë e lëvizjes në një moment në kohë t0 ju duhet të llogarisni kufirin:

Rregulli i parë: vendosni një konstante

Konstanta mund të hiqet nga shenja derivatore. Për më tepër, kjo duhet bërë. Kur zgjidhni shembuj në matematikë, merrni atë si rregull - Nëse mund të thjeshtoni një shprehje, sigurohuni që ta thjeshtoni atë .

Shembull. Le të llogarisim derivatin:

Rregulli i dytë: derivat i shumës së funksioneve

Derivati i shumës së dy funksioneve është i barabartë me shumën e derivateve të këtyre funksioneve. E njëjta gjë vlen edhe për derivatin e diferencës së funksioneve.

Ne nuk do të japim një provë të kësaj teoreme, por do të shqyrtojmë një shembull praktik.

Gjeni derivatin e funksionit:

Rregulli i tretë: derivati i produktit të funksioneve

Derivati i produktit të dy funksioneve të diferencueshëm llogaritet me formulën:

Shembull: gjeni derivatin e një funksioni:

Zgjidhja:

Është e rëndësishme të flasim këtu për llogaritjen e derivateve të funksioneve komplekse. Derivati i një funksioni kompleks është i barabartë me produktin e derivatit të këtij funksioni në lidhje me argumentin e ndërmjetëm dhe derivatin e argumentit të ndërmjetëm në lidhje me variablin e pavarur.

Në shembullin e mësipërm hasim shprehjen:

Në këtë rast, argumenti i ndërmjetëm është 8x me fuqinë e pestë. Për të llogaritur derivatin e një shprehjeje të tillë, së pari llogarisim derivatin e funksionit të jashtëm në lidhje me argumentin e ndërmjetëm dhe më pas shumëzojmë me derivatin e vetë argumentit të ndërmjetëm në lidhje me variablin e pavarur.

Rregulli i katërt: derivat i herësit të dy funksioneve

Formula për përcaktimin e derivatit të herësit të dy funksioneve:

Ne u përpoqëm të flisnim për derivatet për dummies nga e para. Kjo temë nuk është aq e thjeshtë sa duket, prandaj kini kujdes: shpesh ka gracka në shembuj, ndaj bëni kujdes kur llogaritni derivatet.

Për çdo pyetje mbi këtë dhe tema të tjera, mund të kontaktoni shërbimin e studentëve. Në një kohë të shkurtër, ne do t'ju ndihmojmë të zgjidhni testin më të vështirë dhe të kuptoni detyrat, edhe nëse nuk keni bërë kurrë më parë llogaritjet e derivateve.

Shumë e lehtë për t'u mbajtur mend.

Epo, le të mos shkojmë larg, le të shqyrtojmë menjëherë funksionin e anasjelltë. Cili funksion është inversi i funksionit eksponencial? Logaritmi:

Në rastin tonë, baza është numri:

Një logaritëm i tillë (d.m.th., një logaritëm me bazë) quhet "natyror" dhe ne përdorim një shënim të veçantë për të: ne shkruajmë në vend të tij.

Me çfarë është e barabartë? Sigurisht, .

Derivati i logaritmit natyror është gjithashtu shumë i thjeshtë:

Shembuj:

Gjeni derivatin e funksionit.
Cili është derivati i funksionit?

Përgjigjet: Logaritmi eksponencial dhe natyror janë funksione unike të thjeshta nga një këndvështrim derivat. Funksionet eksponenciale dhe logaritmike me çdo bazë tjetër do të kenë një derivat të ndryshëm, të cilin do ta analizojmë më vonë, pasi të kalojmë rregullat e diferencimit.

Rregullat e diferencimit

Rregullat e çfarë? Sërish një mandat i ri, sërish?!...

Diferencimiështë procesi i gjetjes së derivatit.

Kjo eshte e gjitha. Çfarë tjetër mund ta quani këtë proces me një fjalë? Jo derivat... Matematikanët e quajnë diferencialin të njëjtën rritje të një funksioni në. Ky term vjen nga latinishtja diferencia - dallim. Këtu.

Kur nxjerrim të gjitha këto rregulla, ne do të përdorim dy funksione, për shembull, dhe. Do të na duhen gjithashtu formula për shtimet e tyre:

Gjithsej janë 5 rregulla.

Konstanta hiqet nga shenja derivatore.

Nëse - një numër konstant (konstant), atëherë.

Natyrisht, ky rregull funksionon edhe për ndryshimin: .

Le ta vërtetojmë. Le të jetë, ose më e thjeshtë.

Shembuj.

Gjeni derivatet e funksioneve:

në një pikë;
në një pikë;
në një pikë;
në pikën.

Zgjidhjet:

(derivati është i njëjtë në të gjitha pikat, pasi është funksion linear, mbani mend?);

Derivat i produktit

Gjithçka është e ngjashme këtu: le të prezantojmë një funksion të ri dhe të gjejmë rritjen e tij:

Derivat:

Shembuj:

Gjeni derivatet e funksioneve dhe;
Gjeni derivatin e funksionit në një pikë.

Zgjidhjet:

Derivat i një funksioni eksponencial

Tani njohuritë tuaja janë të mjaftueshme për të mësuar se si të gjeni derivatin e çdo funksioni eksponencial, dhe jo vetëm eksponentë (e keni harruar akoma se çfarë është?).

Pra, ku është një numër.

Ne tashmë e dimë derivatin e funksionit, kështu që le të përpiqemi ta reduktojmë funksionin tonë në një bazë të re:

Për ta bërë këtë, ne do të përdorim një rregull të thjeshtë: . Pastaj:

Epo, funksionoi. Tani përpiquni të gjeni derivatin dhe mos harroni se ky funksion është kompleks.

Ka ndodhur?

Këtu, kontrolloni veten:

Formula doli të ishte shumë e ngjashme me derivatin e një eksponenti: siç ishte, ajo mbetet e njëjtë, u shfaq vetëm një faktor, i cili është vetëm një numër, por jo një ndryshore.

Shembuj:
Gjeni derivatet e funksioneve:

Përgjigjet:

Ky është vetëm një numër që nuk mund të llogaritet pa një kalkulator, domethënë nuk mund të shkruhet në një formë më të thjeshtë. Prandaj, e lëmë në këtë formë në përgjigje.

Vini re se këtu është herësi i dy funksioneve, kështu që ne zbatojmë rregullin përkatës të diferencimit:

Në këtë shembull, produkti i dy funksioneve:

Derivat i një funksioni logaritmik

Është e ngjashme këtu: ju tashmë e dini derivatin e logaritmit natyror:

Prandaj, për të gjetur një logaritëm arbitrar me një bazë të ndryshme, për shembull:

Duhet ta zvogëlojmë këtë logaritëm në bazë. Si të ndryshoni bazën e një logaritmi? Shpresoj ta mbani mend këtë formulë:

Vetëm tani do të shkruajmë në vend të kësaj:

Emëruesi është thjesht një konstante (një numër konstant, pa një ndryshore). Derivati merret shumë thjesht:

Derivatet e funksioneve eksponenciale dhe logaritmike nuk gjenden pothuajse kurrë në Provimin e Unifikuar të Shtetit, por nuk do të jetë e tepërt t'i njihni ato.

Derivat i një funksioni kompleks.

Çfarë është një "funksion kompleks"? Jo, ky nuk është një logaritëm dhe as një arktangjent. Këto funksione mund të jenë të vështira për t'u kuptuar (edhe pse nëse logaritmi ju duket i vështirë, lexoni temën "Logaritmet" dhe do të jeni mirë), por nga pikëpamja matematikore, fjala "kompleks" nuk do të thotë "e vështirë".

Imagjinoni një rrip të vogël transportues: dy persona janë ulur dhe bëjnë disa veprime me disa objekte. Për shembull, i pari mbështjell një çokollatë me një mbështjellës dhe i dyti e lidh me një fjongo. Rezultati është një objekt i përbërë: një çokollatë e mbështjellë dhe e lidhur me një fjongo. Për të ngrënë një çokollatë, duhet të bëni hapat e kundërt në rend të kundërt.

Le të krijojmë një tubacion të ngjashëm matematikor: së pari do të gjejmë kosinusin e një numri, dhe më pas do të vendosim në katror numrin që rezulton. Pra, na jepet një numër (çokollatë), unë gjej kosinusin e saj (mbështjellësin) dhe pastaj ju katrore atë që kam marrë (lidheni me një fjongo). Cfare ndodhi? Funksioni. Ky është një shembull i një funksioni kompleks: kur, për të gjetur vlerën e tij, ne kryejmë veprimin e parë drejtpërdrejt me variablin, dhe më pas një veprim të dytë me atë që rezultoi nga i pari.

Me fjale te tjera, një funksion kompleks është një funksion, argumenti i të cilit është një funksion tjetër: .

Për shembullin tonë,.

Ne mund t'i bëjmë lehtësisht të njëjtat hapa në rend të kundërt: fillimisht ju e vendosni në katror dhe unë më pas kërkoj kosinusin e numrit që rezulton: . Është e lehtë të merret me mend se rezultati pothuajse gjithmonë do të jetë i ndryshëm. Një tipar i rëndësishëm i funksioneve komplekse: kur ndryshon rendi i veprimeve, funksioni ndryshon.

Shembulli i dytë: (e njëjta gjë). .

Veprimi që bëjmë i fundit do të quhet funksioni "i jashtëm"., dhe veprimi i kryer së pari - në përputhje me rrethanat funksioni "i brendshëm".(këto janë emra joformalë, i përdor vetëm për të shpjeguar materialin në gjuhë të thjeshtë).

Mundohuni të përcaktoni vetë se cili funksion është i jashtëm dhe cili i brendshëm:

Përgjigjet: Ndarja e funksioneve të brendshme dhe të jashtme është shumë e ngjashme me ndryshimin e variablave: për shembull, në një funksion

Çfarë veprimi do të kryejmë së pari? Së pari, le të llogarisim sinusin, dhe vetëm pastaj ta kubikeojmë atë. Kjo do të thotë se është një funksion i brendshëm, por i jashtëm.
Dhe funksioni origjinal është përbërja e tyre: .
E brendshme: ; e jashtme: .
Ekzaminimi: .
E brendshme: ; e jashtme: .
Ekzaminimi: .
E brendshme: ; e jashtme: .
Ekzaminimi: .
E brendshme: ; e jashtme: .
Ekzaminimi: .

Ne ndryshojmë variablat dhe marrim një funksion.

Epo, tani do të nxjerrim shiritin tonë të çokollatës dhe do të kërkojmë derivatin. Procedura është gjithmonë e kundërt: fillimisht kërkojmë derivatin e funksionit të jashtëm, pastaj shumëzojmë rezultatin me derivatin e funksionit të brendshëm. Në lidhje me shembullin origjinal, duket kështu:

Një shembull tjetër:

Pra, le të formulojmë më në fund rregullin zyrtar:

Algoritmi për gjetjen e derivatit të një funksioni kompleks:

Duket e thjeshtë, apo jo?

Le të kontrollojmë me shembuj:

Zgjidhjet:

1) E brendshme: ;

E jashtme: ;

2) E brendshme: ;

(Vetëm mos u përpiqni ta shkurtoni deri tani! Asgjë nuk del nga kosinusi, mbani mend?)

3) E brendshme: ;

E jashtme: ;

Është menjëherë e qartë se ky është një funksion kompleks me tre nivele: në fund të fundit, ky është tashmë një funksion kompleks në vetvete, dhe ne gjithashtu nxjerrim rrënjën prej tij, domethënë kryejmë veprimin e tretë (e vendosim çokollatën në një mbështjellës dhe me një fjongo në çantë). Por nuk ka asnjë arsye për t'u frikësuar: ne ende do ta "zhpaketojmë" këtë funksion në të njëjtin rend si zakonisht: nga fundi.

Domethënë, së pari dallojmë rrënjën, pastaj kosinusin dhe vetëm më pas shprehjen në kllapa. Dhe pastaj i shumëzojmë të gjitha.

Në raste të tilla, është e përshtatshme të numërohen veprimet. Kjo do të thotë, le të imagjinojmë atë që dimë. Me çfarë radhe do të kryejmë veprimet për të llogaritur vlerën e kësaj shprehjeje? Le të shohim një shembull:

Sa më vonë të kryhet veprimi, aq më "i jashtëm" do të jetë funksioni përkatës. Sekuenca e veprimeve është e njëjtë si më parë:

Këtu foleja është përgjithësisht me 4 nivele. Le të përcaktojmë rrjedhën e veprimit.

1. Shprehje radikale. .

2. Rrënja. .

3. Sinus. .

4. Sheshi. .

5. Duke i bashkuar të gjitha:

DERIVATIV. SHKURTËZIM PËR GJËRAT KRYESORE

Derivat i një funksioni- raporti i rritjes së funksionit ndaj rritjes së argumentit për një rritje infinite të vogël të argumentit:

Derivatet bazë:

Rregullat e diferencimit:

Konstanta hiqet nga shenja derivatore:

Derivati i shumës:

Derivati i produktit:

Derivati i herësit:

Derivati i një funksioni kompleks:

Algoritmi për gjetjen e derivatit të një funksioni kompleks:

Përcaktojmë funksionin "të brendshëm" dhe gjejmë derivatin e tij.
Përcaktojmë funksionin "të jashtëm" dhe gjejmë derivatin e tij.
Ne shumëzojmë rezultatet e pikës së parë dhe të dytë.

Janë dhënë shembuj të llogaritjes së derivateve duke përdorur formulën për derivatin e një funksioni kompleks.

përmbajtja

Shiko gjithashtu: Vërtetimi i formulës për derivatin e një funksioni kompleks

Formulat bazë

Këtu japim shembuj të llogaritjes së derivateve të funksioneve të mëposhtme:
; ; ; ; .

Nëse një funksion mund të përfaqësohet si një funksion kompleks në formën e mëposhtme:
,
atëherë derivati i tij përcaktohet me formulën:
.
Në shembujt e mëposhtëm, ne do ta shkruajmë këtë formulë si më poshtë:
.
Ku .
Këtu, nënshkrimet ose , të vendosura nën shenjën e derivatit, tregojnë variablat me të cilat kryhet diferencimi.

Zakonisht, në tabelat e derivateve jepen derivatet e funksioneve nga ndryshorja x. Megjithatë, x është një parametër formal. Ndryshorja x mund të zëvendësohet nga çdo ndryshore tjetër. Prandaj, kur diferencojmë një funksion nga një ndryshore, thjesht ndryshojmë, në tabelën e derivateve, ndryshoren x në ndryshoren u.

Shembuj të thjeshtë

Shembulli 1

Gjeni derivatin e një funksioni kompleks
.

Le ta shkruajmë funksionin e dhënë në formë ekuivalente:
.
Në tabelën e derivateve gjejmë:
;
.

Sipas formulës për derivatin e një funksioni kompleks, kemi:
.
Këtu.

Shembulli 2

Gjeni derivatin
.

Marrim konstanten 5 nga shenja e derivatit dhe nga tabela e derivateve gjejmë:
.

.
Këtu.

Shembulli 3

Gjeni derivatin
.

Ne nxjerrim një konstante -1 për shenjën e derivatit dhe nga tabela e derivateve gjejmë:
;
Nga tabela e derivateve gjejmë:
.

Zbatojmë formulën për derivatin e një funksioni kompleks:
.
Këtu.

Shembuj më kompleks

Në shembujt më kompleksë, ne zbatojmë rregullin për diferencimin e një funksioni kompleks disa herë. Në këtë rast, ne llogarisim derivatin nga fundi. Kjo do të thotë, ne e ndajmë funksionin në pjesët përbërëse të tij dhe gjejmë derivatet e pjesëve më të thjeshta duke përdorur tabela e derivateve. Ne gjithashtu përdorim rregullat për diferencimin e shumave, produkte dhe fraksione. Më pas bëjmë zëvendësime dhe zbatojmë formulën për derivatin e një funksioni kompleks.

Shembulli 4

Gjeni derivatin
.

Le të zgjedhim pjesën më të thjeshtë të formulës dhe të gjejmë derivatin e saj. .

.
Këtu kemi përdorur shënimin
.

Derivatin e pjesës tjetër të funksionit origjinal e gjejmë duke përdorur rezultatet e marra. Ne zbatojmë rregullin për diferencimin e shumës:
.

Edhe një herë zbatojmë rregullin e diferencimit të funksioneve komplekse.

.
Këtu.

Shembulli 5

Gjeni derivatin e funksionit
.

Le të zgjedhim pjesën më të thjeshtë të formulës dhe të gjejmë derivatin e saj nga tabela e derivateve. .

Zbatojmë rregullin e diferencimit të funksioneve komplekse.
.
Këtu
.

Le të dallojmë pjesën tjetër duke përdorur rezultatet e marra.
.
Këtu
.

Le të dallojmë pjesën tjetër.

.
Këtu
.

Tani gjejmë derivatin e funksionit të dëshiruar.

.
Këtu
.

Shiko gjithashtu:

Ky mësim i kushtohet temës “Diferencimi i funksioneve komplekse. Një problem nga praktika e përgatitjes për Provimin e Unifikuar të Shtetit në matematikë.” Ky mësim eksploron diferencimin e funksioneve komplekse. Përpilohet një tabelë e derivateve të një funksioni kompleks. Për më tepër, konsiderohet një shembull i zgjidhjes së një problemi nga praktika e përgatitjes për Provimin e Bashkuar të Shtetit në matematikë.

Tema: Derivat

Mësimi: Diferencimi i një funksioni kompleks. Një detyrë praktike për përgatitjen për Provimin e Unifikuar të Shtetit në matematikë

Kompleksifunksionin ne kemi diferencuar tashmë, por argumenti ishte një funksion linear, domethënë, ne dimë ta diferencojmë funksionin. Për shembull, . Tani, në të njëjtën mënyrë, do të gjejmë derivate të një funksioni kompleks, ku në vend të një funksioni linear mund të ketë një funksion tjetër.

Le të fillojmë me funksionin

Pra, ne gjetëm derivatin e sinusit nga një funksion kompleks, ku argumenti i sinusit ishte një funksion kuadratik.

Nëse ju duhet të gjeni vlerën e derivatit në një pikë specifike, atëherë kjo pikë duhet të zëvendësohet në derivatin e gjetur.

Pra, në dy shembuj pamë se si funksionon rregulli diferencimi komplekse funksione.

3. . Le t'ju kujtojmë se.

8. .

Kështu, ne do të përfundojmë tabelën e diferencimit të funksioneve komplekse në këtë fazë. Më tej, natyrisht, do të përgjithësohet edhe më shumë, por tani le të kalojmë te problemet specifike për derivatin.

Në praktikën e përgatitjes për Provimin e Bashkuar të Shtetit propozohen këto detyra.

Gjeni minimumin e një funksioni .

ODZ: .

Le të gjejmë derivatin. Le të kujtojmë se, .

Le të barazojmë derivatin me zero. Pika përfshihet në ODZ.

Le të gjejmë intervalet e shenjës konstante të derivatit (intervalet e monotonitetit të funksionit) (shih Fig. 1).

Oriz. 1. Intervalet e monotonitetit për një funksion .

Le të shohim një pikë dhe të zbulojmë nëse është një pikë ekstreme. Një shenjë e mjaftueshme e një ekstremi është që derivati ndryshon shenjën kur kalon nëpër një pikë. Në këtë rast, derivati ndryshon shenjën, që do të thotë se është një pikë ekstreme. Meqenëse derivati ndryshon shenjën nga "-" në "+", atëherë kjo është pika minimale. Le të gjejmë vlerën e funksionit në pikën minimale: . Le të vizatojmë një diagram (shih Fig. 2).

Fig.2. Ekstremi i funksionit .

Në interval - funksioni zvogëlohet, në - funksioni rritet, pika ekstreme është unike. Funksioni merr vlerën e tij më të vogël vetëm në pikën .

Gjatë orës së mësimit shikuam diferencimin e funksioneve komplekse, përpiluam një tabelë dhe shikuam rregullat për diferencimin e një funksioni kompleks dhe dhamë një shembull të përdorimit të një derivati nga praktika e përgatitjes për Provimin e Bashkuar të Shtetit.

1. Algjebra dhe fillimi i analizës, nota 10 (në dy pjesë). Libër mësuesi për institucionet e arsimit të përgjithshëm (niveli i profilit), bot. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Algjebra dhe fillimi i analizës, nota 10 (në dy pjesë). Libër me probleme për institucionet arsimore (niveli i profilit), bot. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algjebra dhe analiza matematikore për klasën e 10 (libër mësuesi për nxënës të shkollave dhe klasave me studim të thelluar të matematikës) - M.: Prosveshchenie, 1996.

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Studim i thelluar i algjebres dhe analizes matematikore.-M.: Edukimi, 1997.

5. Përmbledhje problemash në matematikë për aplikantët në institucionet e arsimit të lartë (redaktuar nga M.I. Skanavi) - M.: Shkolla e Lartë, 1992.

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Simulator algjebrik.-K.: A.S.K., 1997.

7. Zvavich L.I., Shlyapochnik L.Ya., Chinkina Algjebra dhe fillimet e analizës. Klasat 8-11: Një manual për shkollat dhe klasat me studim të thelluar të matematikës (materiale didaktike) - M.: Bustard, 2002.

8. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Probleme mbi algjebrën dhe parimet e analizës (një manual për studentët në klasat 10-11 të institucioneve të arsimit të përgjithshëm). - M.: Prosveshchenie, 2003.

9. Karp A.P. Përmbledhje problemash mbi algjebrën dhe parimet e analizës: tekst shkollor. shtesa për klasat 10-11. me thellësi studiuar Matematikë.-M.: Arsimi, 2006.

10. Glazer G.I. Historia e matematikës në shkollë. Klasat 9-10 (manual për mësuesit).-M.: Arsimi, 1983

Burime shtesë në internet

2. Portali i Shkencave të Natyrës ().

Bëni atë në shtëpi

Nr. 42.2, 42.3 (Algjebra dhe fillimet e analizës, klasa e 10-të (në dy pjesë).

Nëse ndiqni përkufizimin, atëherë derivati i një funksioni në një pikë është kufiri i raportit të rritjes së funksionit Δ y tek rritja e argumentit Δ x:

Gjithçka duket se është e qartë. Por provoni të përdorni këtë formulë për të llogaritur, të themi, derivatin e funksionit f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x mëkat x. Nëse bëni gjithçka sipas definicionit, atëherë pas nja dy faqesh llogaritje thjesht do të bini në gjumë. Prandaj, ka mënyra më të thjeshta dhe më efektive.

Për të filluar, vërejmë se nga e gjithë shumëllojshmëria e funksioneve mund të dallojmë të ashtuquajturat funksione elementare. Këto janë shprehje relativisht të thjeshta, derivatet e të cilave janë llogaritur dhe renditur prej kohësh. Funksione të tilla janë mjaft të lehta për t'u mbajtur mend - së bashku me derivatet e tyre.

Derivatet e funksioneve elementare

Funksionet elementare janë të gjitha ato të listuara më poshtë. Derivatet e këtyre funksioneve duhet të njihen përmendësh. Për më tepër, nuk është aspak e vështirë t'i mësosh përmendësh - kjo është arsyeja pse ato janë elementare.

Pra, derivatet e funksioneve elementare:

Emri	Funksioni	Derivat
Konstante	f(x) = C, C ∈ R	0 (po, zero!)
Fuqia me eksponent racional	f(x) = x n	n · x n − 1
Sinus	f(x) = mëkat x	cos x
Kosinusi	f(x) = cos x	−mëkat x(minus sinus)
Tangjente	f(x) = tg x	1/ko 2 x
Kotangjente	f(x) = ctg x	− 1/mëkat 2 x
Logaritmi natyror	f(x) = log x	1/x
Logaritmi arbitrar	f(x) = log a x	1/(x ln a)
Funksioni eksponencial	f(x) = e x	e x(asgje nuk ka ndryshuar)

Nëse një funksion elementar shumëzohet me një konstante arbitrare, atëherë derivati i funksionit të ri gjithashtu llogaritet lehtësisht:

(C · f)’ = C · f ’.

Në përgjithësi, konstantet mund të hiqen nga shenja e derivatit. Për shembull:

(2x 3)' = 2 · ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Natyrisht, funksionet elementare mund t'i shtohen njëri-tjetrit, të shumëzohen, të ndahen - dhe shumë më tepër. Kështu do të shfaqen funksione të reja, jo më veçanërisht elementare, por edhe të diferencuara sipas rregullave të caktuara. Këto rregulla diskutohen më poshtë.

Derivati i shumës dhe diferencës

Le të jepen funksionet f(x) Dhe g(x), derivatet e të cilave janë të njohura për ne. Për shembull, mund të merrni funksionet elementare të diskutuara më sipër. Atëherë mund të gjeni derivatin e shumës dhe ndryshimit të këtyre funksioneve:

(f + g)’ = f ’ + g ’
(f − g)’ = f ’ − g ’

Pra, derivati i shumës (diferencës) i dy funksioneve është i barabartë me shumën (diferencën) e derivateve. Mund të ketë më shumë terma. Për shembull, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Në mënyrë të rreptë, nuk ka asnjë koncept të "zbritjes" në algjebër. Ekziston një koncept i "elementit negativ". Prandaj dallimi f − g mund të rishkruhet si shumë f+ (−1) g, dhe pastaj mbetet vetëm një formulë - derivati i shumës.

f(x) = x 2 + mëkat x; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Funksioni f(x) është shuma e dy funksioneve elementare, pra:

f ’(x) = (x 2 + mëkat x)’ = (x 2)’ + (mëkat x)’ = 2x+ cos x;

Ne arsyetojmë në mënyrë të ngjashme për funksionin g(x). Vetëm ka tashmë tre terma (nga pikëpamja e algjebrës):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Përgjigje:
f ’(x) = 2x+ cos x;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Derivat i produktit

Matematika është një shkencë logjike, kështu që shumë njerëz besojnë se nëse derivati i një shume është i barabartë me shumën e derivateve, atëherë derivati i produktit grevë">i barabartë me produktin e derivateve. Por vidhosni! Derivati i një produkti llogaritet duke përdorur një formulë krejtësisht të ndryshme. Domethënë:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Formula është e thjeshtë, por shpesh harrohet. Dhe jo vetëm nxënësit e shkollës, por edhe studentët. Rezultati është problemet e zgjidhura gabimisht.

Detyrë. Gjeni derivatet e funksioneve: f(x) = x 3 cos x; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .

Funksioni f(x) është produkt i dy funksioneve elementare, kështu që gjithçka është e thjeshtë:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3) 'cos x + x 3 (ko x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (− mëkat x) = x 2 (3 koz x − x mëkat x)

Funksioni g(x) shumëzuesi i parë është pak më i ndërlikuar, por skema e përgjithshme nuk ndryshon. Natyrisht, faktori i parë i funksionit g(x) është një polinom dhe derivati i tij është derivati i shumës. Ne kemi:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)' · e x + (x 2 + 7x− 7) · ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x· (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

Përgjigje:
f ’(x) = x 2 (3 koz x − x mëkat x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Ju lutemi vini re se në hapin e fundit derivati faktorizohet. Formalisht, kjo nuk ka nevojë të bëhet, por shumica e derivateve nuk llogariten më vete, por për të ekzaminuar funksionin. Kjo do të thotë që më tej derivati do të barazohet me zero, do të përcaktohen shenjat e tij etj. Për një rast të tillë, është më mirë të faktorizohet një shprehje.

Nëse ka dy funksione f(x) Dhe g(x), dhe g(x) ≠ 0 në grupin që na intereson, mund të përcaktojmë një funksion të ri h(x) = f(x)/g(x). Për një funksion të tillë mund të gjeni edhe derivatin:

Jo i dobët, a? Nga erdhi minusi? Pse g 2? Dhe si kjo! Kjo është një nga formulat më komplekse - nuk mund ta kuptoni pa një shishe. Prandaj, është më mirë ta studiojmë atë me shembuj specifik.

Detyrë. Gjeni derivatet e funksioneve:

Numëruesi dhe emëruesi i çdo thyese përmbajnë funksione elementare, kështu që gjithçka që na nevojitet është formula për derivatin e herësit:

Sipas traditës, le të faktorizojmë numëruesin - kjo do ta thjeshtojë shumë përgjigjen:

Një funksion kompleks nuk është domosdoshmërisht një formulë gjysmë kilometër e gjatë. Për shembull, mjafton të marrësh funksionin f(x) = mëkat x dhe zëvendësoni variablin x, të themi, në x 2 + ln x. Do të funksionojë f(x) = mëkat ( x 2 + ln x) - ky është një funksion kompleks. Ai gjithashtu ka një derivat, por nuk do të jetë e mundur ta gjesh atë duke përdorur rregullat e diskutuara më sipër.

Cfare duhet te bej? Në raste të tilla, zëvendësimi i një ndryshoreje dhe formule për derivatin e një funksioni kompleks ndihmon:

f ’(x) = f ’(t) · t', Nëse x zëvendësohet nga t(x).

Si rregull, situata me të kuptuarit e kësaj formule është edhe më e trishtuar sesa me derivatin e herësit. Prandaj, është gjithashtu më mirë të shpjegohet duke përdorur shembuj specifikë, me një përshkrim të detajuar të secilit hap.

Detyrë. Gjeni derivatet e funksioneve: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = mëkat ( x 2 + ln x)

Vini re se nëse në funksion f(x) në vend të shprehjes 2 x+ 3 do të jetë e lehtë x, atëherë marrim një funksion elementar f(x) = e x. Prandaj, ne bëjmë një zëvendësim: le 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Ne kërkojmë derivatin e një funksioni kompleks duke përdorur formulën:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

Dhe tani - vëmendje! Ne kryejmë zëvendësimin e kundërt: t = 2x+ 3. Ne marrim:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

Tani le të shohim funksionin g(x). Është e qartë se ajo duhet të zëvendësohet x 2 + ln x = t. Ne kemi:

g ’(x) = g ’(t) · t’ = (mëkat t)’ · t’ = cos t · t ’

Zëvendësimi i kundërt: t = x 2 + ln x. Pastaj:

g ’(x) = cos ( x 2 + ln x) · ( x 2 + ln x)' = kosto ( x 2 + ln x) · (2 x + 1/x).

Kjo eshte e gjitha! Siç shihet nga shprehja e fundit, i gjithë problemi është reduktuar në llogaritjen e shumës derivative.

Përgjigje:
f ’(x) = 2 · e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) si ( x 2 + ln x).

Shumë shpesh në mësimet e mia, në vend të termit "derivativ", përdor fjalën "prim". Për shembull, goditja e shumës është e barabartë me shumën e goditjeve. A është kjo më e qartë? Epo, kjo është mirë.

Kështu, llogaritja e derivatit zbret në heqjen e të njëjtave goditje sipas rregullave të diskutuara më sipër. Si shembull i fundit, le të kthehemi te fuqia derivatore me një eksponent racional:

(x n)’ = n · x n − 1

Pak njerëz e dinë këtë në rol n mund të jetë një numër thyesor. Për shembull, rrënja është x 0.5. Po sikur të ketë diçka të zbukuruar nën rrënjë? Përsëri, rezultati do të jetë një funksion kompleks - atyre u pëlqen të japin ndërtime të tilla në teste dhe provime.