Artizanatit

Si të zgjidhim një sistem ekuacionesh diferenciale duke përdorur metodën operative? Metoda operative për zgjidhjen e ekuacioneve diferenciale lineare dhe sistemet e tyre Zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve diferenciale me metodën Laplace

Le të shqyrtojmë metodën operative për zgjidhjen e ekuacioneve diferenciale duke përdorur shembullin e një ekuacioni të rendit të tretë.

Supozoni se duhet të gjejmë një zgjidhje të veçantë për një ekuacion diferencial linear të rendit të tretë me koeficientë konstante

duke plotësuar kushtet fillestare:

c 0, c 1, c 2 - numrat e dhënë.

Duke përdorur vetinë e diferencimit të origjinalit, shkruajmë:

Në ekuacionin (6.4.1), le të kalojmë nga origjinalet në imazhe

Ekuacioni që rezulton quhet operatori ose një ekuacion në imazhe. Zgjidheni atë në lidhje me Y.

Polinome algjebrike në një ndryshore R.

Barazia quhet zgjidhja e operatorit të ekuacionit diferencial (6.4.1).

Gjetja e origjinalit y(t), që korrespondon me imazhin e gjetur, marrim një zgjidhje të veçantë për ekuacionin diferencial.

Shembull: Duke përdorur metodën e llogaritjes operacionale, gjeni një zgjidhje të veçantë për një ekuacion diferencial që plotëson kushtet fillestare të dhëna

Le të kalojmë nga origjinalet në imazhe

Le të shkruajmë ekuacionin origjinal në imazhe dhe ta zgjidhim atë Y

Për të gjetur origjinalin e figurës që rezulton, faktorizojmë emëruesin e thyesës dhe shkruajmë thyesën që rezulton si një shumë e thyesave të thjeshta.

Le të gjejmë koeficientët A, B, Dhe ME.

Duke përdorur tabelën, ne regjistrojmë origjinalin e imazhit që rezulton

Zgjidhje e veçantë e ekuacionit origjinal.

Metoda operacionale zbatohet në mënyrë të ngjashme për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve diferenciale lineare me koeficientë konstante

Funksione të panjohura.

Le të kalojmë te imazhet

Ne marrim një sistem të paraqitjes së ekuacioneve

Ne e zgjidhim sistemin duke përdorur metodën e Cramer. Gjejmë përcaktuesit:

Gjetja e një zgjidhjeje për sistemin e imazhit X(p), Y(p) , Z(p).

Ne morëm zgjidhjen e kërkuar të sistemit

Duke përdorur llogaritjen operative, mund të gjeni zgjidhje për ekuacionet diferenciale lineare me koeficientë të ndryshueshëm dhe ekuacione diferenciale të pjesshme; llogarit integralet. Në të njëjtën kohë, zgjidhja e problemeve thjeshtohet shumë. Përdoret në zgjidhjen e problemeve të ekuacioneve të fizikës matematikore.

Pyetje për vetëkontroll.

1. Cili funksion quhet origjinal?

2. Cili funksion quhet imazhi i origjinalit?

3. Funksioni Heaviside dhe imazhi i tij.

4. Merrni një imazh për funksionet e origjinaleve duke përdorur përkufizimin e imazhit: f(t) =t , .

5. Merrni imazhe për funksionet duke përdorur vetitë e transformimeve të Laplace.

6. Gjeni funksionet e origjinaleve duke përdorur tabelën e imazheve: ;

7. Gjeni një zgjidhje të veçantë për një ekuacion diferencial linear duke përdorur metodat e llogaritjes operative.

Literatura: fq 411-439, fq 572-594.

Shembuj: fq 305-316.

LITERATURA

1. Danko P.E. Matematikë e lartë në ushtrime dhe probleme. Në 2 pjesë: Libër mësuesi. manual për kolegjet/P.E. Danko, A.G. Popov, T.Ya. Kozhevnikova - M.: Më e lartë. shkolla, 1997.– 304 f.

2. Danko P.E. Matematikë e lartë në ushtrime dhe probleme. Në 2 pjesë: Pjesa II: Libër mësuesi. manual për kolegjet./ P.E. Danko, A.G. Popov, T.Ya. Kozhevnikova - M.: Më e lartë. shkolla, 1997.– 416 f.

3. Kaplan I.A. Orë praktike në matematikën e lartë. Pjesa 4./ I.A. Kaplan - Shtëpia Botuese e Universitetit Shtetëror të Kharkovit, 1966, 236 f.

4. Piskunov N.S. Njehsimi diferencial dhe integral. Në 2 vëllime, vëllimi 1: tekst shkollor. manual për kolegjet./ N.S. Piskunov - M.: ed. “Shkenca”, 1972. – 456 f.

5. Piskunov N.S. Llogaritja diferenciale dhe integrale për kolegjet. Në 2 vëllime, vëllimi 2: tekst shkollor. Një manual për kolegjet../ N.S. Piskunov – M.: ed. “Shkenca”, 1972. – 456 f.

6. Shkruar D.T. Shënime leksioni për matematikën e lartë: kurs i plotë.– Ed. 4./ D.T. Shkruar – M.: Iris-press, 2006.–608 f. - (Arsimi i lartë).

7. Slobodskaya V.A. Kurs i shkurtër i matematikës së lartë. Ed. 2, i ripunuar dhe shtesë Libër mësuesi manual për kolegjet/V.A. Slobodskaya - M.: Më e lartë. shkolla, 1969.– 544 f.

Shënime leksionesh Matematikë e lartë

për studentët e drejtimit 6.070104 “Transporti detar dhe lumor”

specialiteti "Operimi i termocentraleve të anijeve"

kurse me kohë të plotë dhe me kohë të pjesshme viti i dytë

Qarkullimi______ kopje Nënshkruar për botim ______________

Urdhri nr.__________. Vëllimi__2.78__p.l.

Shtëpia botuese "Universiteti Teknologjik Detar Shtetëror Kerch"

98309 Kerç, Ordzhonikidze, 82

Jashtë është kohë e nxehtë, pushi i plepit po fluturon dhe ky mot është i favorshëm për relaksim. Gjatë vitit shkollor të gjithë kanë akumuluar lodhje, por pritjet e pushimeve/pushimeve verore duhet t'i frymëzojnë për të kaluar me sukses provimet dhe testet. Meqë ra fjala, edhe mësuesit janë të shurdhër gjatë sezonit, ndaj së shpejti do të marr edhe një kohë për të shkarkuar trurin. Dhe tani ka kafe, zhurmë ritmike e njësisë së sistemit, disa mushkonja të ngordhura në dritare dhe një gjendje plotësisht funksionale... ...oh, mallkuar... poeti i ndyrë.

Drejt e në temë. Kush kujdeset, por sot është 1 qershor për mua, dhe ne do të shohim një problem tjetër tipik të analizës komplekse - gjetja e një zgjidhjeje të veçantë për një sistem ekuacionesh diferenciale duke përdorur metodën e llogaritjes operacionale. Çfarë duhet të dini dhe të jeni në gjendje të bëni për të mësuar se si ta zgjidhni atë? Para së gjithash, rekomandoj shumë referojuni mësimit. Ju lutemi lexoni pjesën hyrëse, kuptoni deklaratën e përgjithshme të temës, terminologjinë, shënimin dhe të paktën dy ose tre shembuj. Fakti është se me sistemet e shpërndarësit gjithçka do të jetë pothuajse e njëjtë dhe madje edhe më e thjeshtë!

Sigurisht, ju duhet të kuptoni se çfarë është sistemi i ekuacioneve diferenciale, që nënkupton gjetjen e një zgjidhjeje të përgjithshme për sistemin dhe një zgjidhje të veçantë për sistemin.

Më lejoni t'ju kujtoj se sistemi i ekuacioneve diferenciale mund të zgjidhet në mënyrën "tradicionale": me eliminim ose duke përdorur ekuacionin karakteristik. Metoda e llogaritjes operacionale që do të diskutohet është e zbatueshme për sistemin e telekomandës kur detyra është formuluar si më poshtë:

Gjeni një zgjidhje të veçantë për një sistem homogjen ekuacionesh diferenciale , që korrespondon me kushtet fillestare .

Përndryshe, sistemi mund të jetë heterogjen - me "pesha shtesë" në formën e funksioneve dhe në anët e djathta:

Por, në të dyja rastet, duhet t'i kushtoni vëmendje dy pikave themelore të gjendjes:

1) Bëhet fjalë për vetëm për një zgjidhje private.
2) Në kllapa të kushteve fillestare janë rreptësisht zero, dhe asgjë tjetër.

Kursi dhe algoritmi i përgjithshëm do të jenë shumë të ngjashëm me zgjidhja e një ekuacioni diferencial duke përdorur metodën operacionale. Nga materialet e referencës do t'ju duhet e njëjta gjë tabela e origjinaleve dhe imazheve.

Shembulli 1

, ,

Zgjidhja: Fillimi është i parëndësishëm: përdorimi Tabelat e transformimit të Laplasit Le të kalojmë nga origjinalet në imazhet përkatëse. Në një problem me sistemet e telekomandës, ky kalim është zakonisht i thjeshtë:

Duke përdorur formulat tabelare Nr. 1, 2, duke marrë parasysh gjendjen fillestare, marrim:

Çfarë të bëni me "lojërat"? Ndryshoni mendërisht "X-të" në tabelë në "Unë". Duke përdorur të njëjtat transformime nr. 1, 2, duke marrë parasysh gjendjen fillestare, gjejmë:

Le të zëvendësojmë imazhet e gjetura në ekuacionin origjinal :

Tani në pjesët e majta duhen mbledhur ekuacionet Të gjitha termat në të cilat ose është i pranishëm. Në pjesët e duhura ekuacionet duhet të "formalizohen" tjera kushtet:

Më pas, në anën e majtë të secilit ekuacion kryejmë kllapa:

Në këtë rast, në pozicionet e para duhet të vendosen sa vijon, dhe në pozicionet e dyta:

Sistemi rezultues i ekuacioneve me dy të panjohura zakonisht zgjidhet sipas formulave të Cramer-it. Le të llogarisim përcaktuesin kryesor të sistemit:

Si rezultat i llogaritjes së përcaktorit, u mor një polinom.

Teknika e rëndësishme! Ky polinom është më i mirë Menjëherë përpiquni ta faktorizoni atë. Për këto qëllime, duhet të përpiqemi të zgjidhim ekuacionin kuadratik , por shumë lexues me një sy të trajnuar të vitit të dytë do ta vënë re këtë .

Kështu, përcaktuesi ynë kryesor i sistemit është:

Çmontimi i mëtejshëm i sistemit, faleminderit Kramer, është standard:

Si rezultat marrim zgjidhje operatore e sistemit:

Avantazhi i detyrës në fjalë është se thyesat zakonisht rezultojnë të thjeshta, dhe trajtimi me to është shumë më i lehtë sesa me thyesat në problema. gjetja e një zgjidhjeje të veçantë për një DE duke përdorur metodën operacionale. Parandjenja juaj nuk ju mashtroi - i vjetri i mirë metoda e koeficientëve të pasigurt, me ndihmën e të cilit zbërthejmë çdo thyesë në thyesa elementare:

1) Le të merremi me thyesën e parë:

Kështu:

2) Ne zbërthejmë fraksionin e dytë sipas një skeme të ngjashme, por është më e saktë të përdorim konstante të tjera (koeficientë të pacaktuar):

Kështu:

Unë i këshilloj dummies të shkruajnë zgjidhjen e dekompozuar të operatorit në formën e mëposhtme:
- kjo do ta bëjë më të qartë fazën përfundimtare - transformimin e kundërt të Laplace.

Duke përdorur kolonën e djathtë të tabelës, le të kalojmë nga imazhet në origjinalet përkatëse:

Sipas rregullave të sjelljeve të mira matematikore, ne do ta rregullojmë pak rezultatin:

Përgjigje:

Përgjigja kontrollohet sipas një skeme standarde, e cila diskutohet në detaje në mësim. Si të zgjidhim një sistem ekuacionesh diferenciale? Gjithmonë përpiquni ta përfundoni atë në mënyrë që të shtoni një plus të madh në detyrë.

Shembulli 2

Duke përdorur llogaritjen operative, gjeni një zgjidhje të veçantë për një sistem ekuacionesh diferenciale që korrespondojnë me kushtet e dhëna fillestare.
, ,

Ky është një shembull që ju duhet ta zgjidhni vetë. Një mostër e përafërt e formës përfundimtare të problemit dhe përgjigja në fund të mësimit.

Zgjidhja e një sistemi jo-homogjen të ekuacioneve diferenciale algoritmikisht nuk është i ndryshëm, përveç se teknikisht do të jetë pak më i ndërlikuar:

Shembulli 3

Duke përdorur llogaritjen operative, gjeni një zgjidhje të veçantë për një sistem ekuacionesh diferenciale që korrespondojnë me kushtet e dhëna fillestare.
, ,

Zgjidhja: Përdorimi i tabelës së transformimit Laplace, duke marrë parasysh kushtet fillestare , le të kalojmë nga origjinalet në imazhet përkatëse:

Por kjo nuk është e gjitha, ka konstante të vetmuara në anën e djathtë të ekuacioneve. Çfarë duhet bërë në rastet kur konstanta është plotësisht e vetme më vete? Kjo tashmë është diskutuar në klasë. Si të zgjidhni një DE duke përdorur metodën operacionale. Le të përsërisim: konstantet e vetme duhet të shumëzohen mendërisht me një, dhe transformimi i mëposhtëm Laplace duhet të zbatohet për njësitë:

Le të zëvendësojmë imazhet e gjetura në sistemin origjinal:

Le të lëvizim termat që përmbajnë , në të majtë dhe vendosim termat e mbetur në anët e djathta:

Në anët e majtë do të kryejmë kllapa, përveç kësaj, do të sjellim anën e djathtë të ekuacionit të dytë në një emërues të përbashkët:

Le të llogarisim përcaktuesin kryesor të sistemit, duke mos harruar se këshillohet që menjëherë të përpiqeni të faktorizoni rezultatin:
, që do të thotë se sistemi ka një zgjidhje unike.

Le të vazhdojmë:

Kështu, zgjidhja e operatorit të sistemit është:

Ndonjëherë një ose edhe të dyja fraksionet mund të reduktohen, dhe, ndonjëherë, me aq sukses sa nuk keni nevojë as të zgjeroni asgjë! Dhe në disa raste, ju merrni një falas menjëherë, nga rruga, shembulli i mëposhtëm i mësimit do të jetë një shembull tregues.

Duke përdorur metodën e koeficientëve të pacaktuar fitojmë shumat e thyesave elementare.

Le të zbërthejmë thyesën e parë:

Dhe arrijmë të dytën:

Si rezultat, zgjidhja e operatorit merr formën që na nevojitet:

Duke përdorur kolonën e djathtë tabelat e origjinaleve dhe imazheve ne kryejmë transformimin e anasjelltë të Laplace:

Le të zëvendësojmë imazhet që rezultojnë në zgjidhjen e operatorit të sistemit:

Përgjigje: zgjidhje private:

Siç mund ta shihni, në një sistem heterogjen është e nevojshme të kryhen llogaritjet më intensive të punës në krahasim me një sistem homogjen. Le të shohim disa shembuj të tjerë me sinus dhe kosinus, dhe kjo është e mjaftueshme, pasi do të merren parasysh pothuajse të gjitha llojet e problemit dhe shumica e nuancave të zgjidhjes.

Shembulli 4

Duke përdorur metodën e llogaritjes operacionale, gjeni një zgjidhje të veçantë për një sistem ekuacionesh diferenciale me kushte fillestare të dhëna,

Zgjidhja: Këtë shembull do ta analizoj edhe vetë, por komentet do të kenë të bëjnë vetëm me momente të veçanta. Unë supozoj se ju jeni tashmë të përgatitur mirë në algoritmin e zgjidhjes.

Le të kalojmë nga origjinalet në imazhet përkatëse:

Le të zëvendësojmë imazhet e gjetura në sistemin origjinal të telekomandës:

Le të zgjidhim sistemin duke përdorur formulat e Cramer:
, që do të thotë se sistemi ka një zgjidhje unike.

Polnomi që rezulton nuk mund të faktorizohet. Çfarë duhet bërë në raste të tilla? Absulutisht asgje. Kjo do të bëjë gjithashtu.

Si rezultat, zgjidhja e operatorit e sistemit është:

Këtu është bileta me fat! Nuk ka nevojë fare të përdoret metoda e koeficientëve të pacaktuar! E vetmja gjë është, për të aplikuar transformimet e tabelës, ne e rishkruajmë zgjidhjen në formën e mëposhtme:

Le të kalojmë nga imazhet në origjinalet përkatëse:

Le të zëvendësojmë imazhet që rezultojnë në zgjidhjen e operatorit të sistemit:

Formula e zgjerimit Heaviside

Le të jetë imazhi i funksionit një funksion racional thyesor.

Teorema. Le të, ku dhe janë funksione të diferencueshme. Le të prezantojmë të dy polet e funksionit, d.m.th. rrënjët (zero) të emëruesit të saj. Atëherë, nëse marrim formulën Heaviside:

Ne kryejmë vërtetimin për rastin kur dhe janë polinome të shkallëve T Dhe P në përputhje me rrethanat, ndërsa T P. Atëherë është një thyesë e duhur racionale. Le ta paraqesim atë si një shumë të thyesave të thjeshta:

Nga këtu gjejmë koeficientët nga identiteti (17.2), duke e rishkruar atë në formë

Le të shumëzojmë të dyja anët e barazisë së fundit me dhe të shkojmë në kufirin në. Duke marrë parasysh këtë dhe, ne marrim

prej nga vijon (17.1). Teorema është vërtetuar.

Shënim 1. Nëse koeficientët e polinomeve janë realë, atëherë rrënjët komplekse të polinomit janë të konjuguara në çift. Rrjedhimisht, në formulën (17.1) sasitë komplekse të konjuguara do të jenë termat që korrespondojnë me rrënjët komplekse të konjuguara të polinomit, dhe formula Heaviside do të marrë formën

ku shuma e parë shtrihet në të gjitha rrënjët reale të polinomit, e dyta - në të gjitha rrënjët e tij komplekse me pjesë imagjinare pozitive.

Shënim 2.Çdo term i formulës (17.1) paraqet një lëkundje të shkruar në formë komplekse, ku. Kështu, rrënjët reale () korrespondojnë me lëkundjet aperiodike, rrënjët komplekse me pjesë reale negative korrespondojnë me lëkundjet e amortizuara, dhe rrënjët thjesht imagjinare korrespondojnë me lëkundjet harmonike të pamposhtura.

Nëse emëruesi nuk ka rrënjë me pjesë reale pozitive, atëherë për vlera mjaft të mëdha marrim një gjendje të qëndrueshme:

Rrënjët thjesht imagjinare të një polinomi me pjesë imagjinare pozitive.

Lëkundjet që korrespondojnë me rrënjët me pjesë reale negative zbehen në mënyrë eksponenciale dhe për këtë arsye nuk hyjnë në gjendjen e qëndrueshme.

Shembulli 1. Gjeni imazhin origjinal

Zgjidhje. Ne kemi. Le të shkruajmë rrënjët e polinomit: .

Sipas formulës (17.1)

Këtu, pasi numrat janë rrënjët e ekuacionit. Prandaj,

Shembulli 2. Gjeni imazhin origjinal

Ku A 0; .

Zgjidhje. Këtu funksioni, përveç rrënjës së dukshme, ka pafundësisht shumë rrënjë, të cilat janë zero të funksionit. Duke zgjidhur ekuacionin, arrijmë se ku

Kështu, rrënjët e emëruesit kanë formën dhe, ku

Duke përdorur formulën (17.3) gjejmë origjinalin

Metoda e operatorit për zgjidhjen e ekuacioneve diferenciale

Ekuacionet diferenciale. Konsideroni problemin Cauchy për një ekuacion diferencial linear

(këtu) me kushtet fillestare

Duke kaluar te imazhet në (18.1), për shkak të linearitetit të transformimit Laplace, do të kemi

Duke përdorur Teoremën 3 të § 16 dhe kushtet fillestare (18.2), ne shkruajmë imazhet e derivateve në formën

Duke zëvendësuar (18.4) në (18.3), pas transformimeve të thjeshta marrim ekuacionin e operatorit

ku (polinom karakteristik); .

Nga ekuacioni (18.5) gjejmë zgjidhjen e operatorit

Zgjidhja e problemit Cauchy (18.1), (18.2) është zgjidhja origjinale e operatorit (18.6):

Për problemin Cauchy, në shënimin e pranuar mund të shkruajmë

Ekuacioni i operatorit ka formën

Le ta zbërthejmë zgjidhjen e operatorit në fraksione të thjeshta:

Duke përdorur formulat e marra në § 15, marrim origjinalet:

Kështu, zgjidhja e problemit Cauchy do të ketë formën

Shembulli 1. Zgjidh problemin e Cauchy-t për një ekuacion diferencial me kushte fillestare, ku.

Zgjidhje.

Zgjidhja e saj ka formën

Duke përdorur Teoremën 2 të § 16, ne gjejmë vazhdimisht:

Shembulli 2. Zgjidh problemin e Cauchy-t për një ekuacion diferencial me kushte fillestare zero, ku është funksioni i impulsit të hapit.

Zgjidhje. Le të shkruajmë ekuacionin e operatorit

dhe vendimin e tij

Nga Teorema 2 e § 16 rrjedh

në përputhje me teoremën e vonesës (§ 15)

Së fundi,

Shembulli 3. Për pikë masë T, ngjitur në pranverë nga një ngurtësi Me dhe e vendosur në një plan horizontal të lëmuar, vepron një forcë që ndryshon periodikisht. Në një moment në kohë, pika iu nënshtrua një ndikimi që mbante një impuls. Duke neglizhuar rezistencën, gjeni ligjin e lëvizjes së një pike nëse në momentin fillestar të kohës ajo ishte në qetësi në origjinën e koordinatave.

Zgjidhje. Ekuacionin e lëvizjes e shkruajmë në formë

ku është forca elastike; - Funksioni Dirac. Le të zgjidhim ekuacionin e operatorit

Nëse (rasti i rezonancës), atëherë

Nga teorema e vonesës

Së fundi,

Integrali i Duhamelit (formula). Le të shqyrtojmë problemin Cauchy për ekuacionin (18.1) në kushtet fillestare. Zgjidhja e operatorit në këtë rast ka formën

Le të jetë funksioni i peshës origjinale për. atëherë nga Teorema 1 e § 16 marrim

Lidhja (18.7) quhet integrali (formula) e Duhamel-it.

Koment. Për kushtet fillestare jozero, formula e Duhamel nuk është drejtpërdrejt e zbatueshme. Në këtë rast, është e nevojshme që fillimisht të transformohet problemi origjinal në një problem me kushte fillestare homogjene (zero). Për ta bërë këtë, ne prezantojmë një funksion të ri, duke supozuar

ku janë vlerat fillestare të zgjidhjes së dëshiruar.

Sa e lehtë është për t'u parë, dhe për këtë arsye .

Kështu, funksioni është një zgjidhje e ekuacionit (18.1) me anën e djathtë të marrë duke zëvendësuar (18.8) në (18.1), me zero të dhëna fillestare.

Duke përdorur (18.7), gjejmë dhe.

Shembulli 4. Duke përdorur integralin Duhamel, gjeni një zgjidhje për problemin Cauchy

me kushte fillestare.

Zgjidhje. Të dhënat fillestare janë jo zero. Ne supozojmë, në përputhje me (18.8), . Pastaj, për përkufizim, marrim një ekuacion me kushte fillestare homogjene.

Për problemin në shqyrtim, një polinom karakteristik, një funksion peshe. Sipas formulës së Duhamel

Së fundi,

Sistemet e ekuacioneve diferenciale lineare me koeficientë konstante. Problemi Cauchy për një sistem ekuacionesh diferenciale lineare në shënimin e matricës ka formën

ku është vektori i funksioneve të kërkuara; - vektor i anëve të djathta; - matrica e koeficientit; - vektori i të dhënave fillestare.

Gjeni një zgjidhje të veçantë për një sistem homogjen ekuacionesh diferenciale , që korrespondon me kushtet fillestare .

Përndryshe, sistemi mund të jetë heterogjen - me "pesha shtesë" në formën e funksioneve dhe në anët e djathta:

Por, në të dyja rastet, duhet t'i kushtoni vëmendje dy pikave themelore të gjendjes:

1) Bëhet fjalë për vetëm për një zgjidhje private.
2) Në kllapa të kushteve fillestare janë rreptësisht zero, dhe asgjë tjetër.

Shembulli 1

, ,

Duke përdorur formulat tabelare Nr. 1, 2, duke marrë parasysh gjendjen fillestare, marrim:

Çfarë të bëni me "lojërat"? Ndryshoni mendërisht "X-të" në tabelë në "Unë". Duke përdorur të njëjtat transformime nr. 1, 2, duke marrë parasysh gjendjen fillestare, gjejmë:

Le të zëvendësojmë imazhet e gjetura në ekuacionin origjinal :

Tani në pjesët e majta duhen mbledhur ekuacionet Të gjitha termat në të cilat ose është i pranishëm. Në pjesët e duhura ekuacionet duhet të "formalizohen" tjera kushtet:

Më pas, në anën e majtë të secilit ekuacion kryejmë kllapa:

Në këtë rast, në pozicionet e para duhet të vendosen sa vijon, dhe në pozicionet e dyta:

Sistemi rezultues i ekuacioneve me dy të panjohura zakonisht zgjidhet sipas formulave të Cramer-it. Le të llogarisim përcaktuesin kryesor të sistemit:

Si rezultat i llogaritjes së përcaktorit, u mor një polinom.

Kështu, përcaktuesi ynë kryesor i sistemit është:

Çmontimi i mëtejshëm i sistemit, faleminderit Kramer, është standard:

Si rezultat marrim zgjidhje operatore e sistemit:

1) Le të merremi me thyesën e parë:

Kështu:

2) Ne zbërthejmë fraksionin e dytë sipas një skeme të ngjashme, por është më e saktë të përdorim konstante të tjera (koeficientë të pacaktuar):

Kështu:

Duke përdorur kolonën e djathtë të tabelës, le të kalojmë nga imazhet në origjinalet përkatëse:

Sipas rregullave të sjelljeve të mira matematikore, ne do ta rregullojmë pak rezultatin:

Përgjigje:

Shembulli 2

Duke përdorur llogaritjen operative, gjeni një zgjidhje të veçantë për një sistem ekuacionesh diferenciale që korrespondojnë me kushtet e dhëna fillestare.
, ,

Ky është një shembull që ju duhet ta zgjidhni vetë. Një mostër e përafërt e formës përfundimtare të problemit dhe përgjigja në fund të mësimit.

Zgjidhja e një sistemi jo-homogjen të ekuacioneve diferenciale algoritmikisht nuk është i ndryshëm, përveç se teknikisht do të jetë pak më i ndërlikuar:

Shembulli 3

Duke përdorur llogaritjen operative, gjeni një zgjidhje të veçantë për një sistem ekuacionesh diferenciale që korrespondojnë me kushtet e dhëna fillestare.
, ,

Zgjidhja: Përdorimi i tabelës së transformimit Laplace, duke marrë parasysh kushtet fillestare , le të kalojmë nga origjinalet në imazhet përkatëse:

Le të zëvendësojmë imazhet e gjetura në sistemin origjinal:

Le të lëvizim termat që përmbajnë , në të majtë dhe vendosim termat e mbetur në anët e djathta:

Në anët e majtë do të kryejmë kllapa, përveç kësaj, do të sjellim anën e djathtë të ekuacionit të dytë në një emërues të përbashkët:

Le të llogarisim përcaktuesin kryesor të sistemit, duke mos harruar se këshillohet që menjëherë të përpiqeni të faktorizoni rezultatin:
, që do të thotë se sistemi ka një zgjidhje unike.

Le të vazhdojmë:

Kështu, zgjidhja e operatorit të sistemit është:

Duke përdorur metodën e koeficientëve të pacaktuar fitojmë shumat e thyesave elementare.

Le të zbërthejmë thyesën e parë:

Dhe arrijmë të dytën:

Si rezultat, zgjidhja e operatorit merr formën që na nevojitet:

Duke përdorur kolonën e djathtë tabelat e origjinaleve dhe imazheve ne kryejmë transformimin e anasjelltë të Laplace:

Le të zëvendësojmë imazhet që rezultojnë në zgjidhjen e operatorit të sistemit:

Përgjigje: zgjidhje private:

Shembulli 4

Duke përdorur metodën e llogaritjes operacionale, gjeni një zgjidhje të veçantë për një sistem ekuacionesh diferenciale me kushte fillestare të dhëna,

Le të kalojmë nga origjinalet në imazhet përkatëse:

Le të zëvendësojmë imazhet e gjetura në sistemin origjinal të telekomandës:

Le të zgjidhim sistemin duke përdorur formulat e Cramer:
, që do të thotë se sistemi ka një zgjidhje unike.

Polnomi që rezulton nuk mund të faktorizohet. Çfarë duhet bërë në raste të tilla? Absulutisht asgje. Kjo do të bëjë gjithashtu.

Si rezultat, zgjidhja e operatorit e sistemit është:

Le të kalojmë nga imazhet në origjinalet përkatëse:

Le të zëvendësojmë imazhet që rezultojnë në zgjidhjen e operatorit të sistemit:

Si të zgjidhim një ekuacion diferencial
metoda e llogaritjes operacionale?

Në këtë mësim, një detyrë tipike dhe e përhapur e analizës komplekse do të diskutohet në detaje - gjetja e një zgjidhjeje të veçantë për një DE të rendit të dytë me koeficientë konstante duke përdorur metodën e llogaritjes operacionale. Herë pas here ju çliroj nga paramendimi se materiali është i paimagjinueshëm kompleks dhe i paarritshëm. Është qesharake, por për të zotëruar shembujt, mund të mos jeni në gjendje të dalloni, integroni dhe madje të mos dini se çfarë është numra komplekse. Kërkohet aftësi aplikimi metoda e koeficientëve të pasigurt, e cila është diskutuar në detaje në artikull Integrimi i funksioneve thyesore-racionale. Në fakt, gurthemeli i detyrës janë veprimet e thjeshta algjebrike dhe kam besim se materiali është i aksesueshëm edhe për një gjimnazist.

Së pari, informacion konciz teorik në lidhje me seksionin e analizës matematikore në shqyrtim. Pika kryesore llogaritja operacionaleështë si më poshtë: funksioni e vlefshme variabël duke përdorur të ashtuquajturën Transformimi i Laplasit shfaqur në funksionin gjithëpërfshirëse e ndryshueshme :

Terminologjia dhe emërtimet:
thirret funksioni origjinale;
thirret funksioni imazh;
germa e madhe tregon Transformimi i Laplasit.

Me fjalë të thjeshta, një funksion real (origjinal) sipas rregullave të caktuara duhet të shndërrohet në një funksion kompleks (imazh). Shigjeta tregon pikërisht këtë transformim. Dhe vetë "rregullat e caktuara" janë Transformimi i Laplasit, të cilin do ta konsiderojmë vetëm formalisht, gjë që do të jetë mjaft e mjaftueshme për zgjidhjen e problemeve.

Transformimi i kundërt i Laplace është gjithashtu i realizueshëm kur imazhi shndërrohet në origjinal:

Pse është e nevojshme e gjithë kjo? Në një numër problemesh më të larta të matematikës, mund të jetë shumë e dobishme të kaloni nga origjinalet në imazhe, pasi në këtë rast zgjidhja e problemit thjeshtohet ndjeshëm (thjesht talleni). Dhe ne do të shqyrtojmë vetëm një nga këto probleme. Nëse keni jetuar për të parë llogaritjet operacionale, atëherë formulimi duhet të jetë shumë i njohur për ju:

Gjeni një zgjidhje të veçantë për një ekuacion johomogjen të rendit të dytë me koeficientë konstante për kushte fillestare të dhëna.

Shënim: ndonjëherë ekuacioni diferencial mund të jetë homogjen: , për të në formulimin e mësipërm është gjithashtu e zbatueshme metoda e llogaritjes operacionale. Megjithatë, në shembuj praktikë DE homogjene të rendit të dytëështë jashtëzakonisht i rrallë, dhe më tej do të flasim për ekuacione johomogjene.

Dhe tani do të diskutohet metoda e tretë - zgjidhja e ekuacioneve diferenciale duke përdorur llogaritjen operative. Edhe një herë theksoj faktin se ne po flasim për gjetjen e një zgjidhjeje të veçantë, Përveç kësaj, kushtet fillestare kanë rreptësisht formën("X" janë të barabarta me zero).

Nga rruga, në lidhje me "X". Ekuacioni mund të rishkruhet si më poshtë:
, ku "x" është një ndryshore e pavarur dhe "y" është një funksion. Nuk është rastësi që po flas për këtë, pasi në problemin në shqyrtim përdoren më shpesh shkronja të tjera:

Kjo do të thotë, roli i ndryshores së pavarur luhet nga ndryshorja "te" (në vend të "x"), dhe roli i funksionit luhet nga ndryshorja "x" (në vend të "y")

E kuptoj që është e papërshtatshme, sigurisht, por është më mirë t'i përmbahemi shënimit që gjendet në shumicën e librave me probleme dhe manualeve të trajnimit.

Pra, problemi ynë me shkronjat e tjera është shkruar si më poshtë:

Gjeni një zgjidhje të veçantë për një ekuacion johomogjen të rendit të dytë me koeficientë konstante për kushte fillestare të dhëna .

Kuptimi i detyrës nuk ka ndryshuar fare, vetëm shkronjat kanë ndryshuar.

Si ta zgjidhim këtë problem duke përdorur metodën e llogaritjes operacionale?

Para së gjithash, do t'ju duhet tabela e origjinaleve dhe imazheve. Ky është një mjet kyç zgjidhjeje dhe nuk mund të bëni pa të. Prandaj, nëse është e mundur, përpiquni të printoni materialin referues të dhënë. Më lejoni të shpjegoj menjëherë se çfarë do të thotë shkronja "pe": një ndryshore komplekse (në vend të "z" së zakonshme). Edhe pse ky fakt nuk është veçanërisht i rëndësishëm për zgjidhjen e problemeve, "pe" është "pe".

Duke përdorur tabelën, origjinalet duhet të kthehen në disa imazhe. Ajo që vijon është një seri veprimesh tipike, dhe përdoret transformimi i anasjelltë Laplace (gjithashtu në tabelë). Kështu, do të gjendet zgjidhja e veçantë e dëshiruar.

Të gjitha problemet, gjë që është e bukur, zgjidhen sipas një algoritmi mjaft të rreptë.

Shembulli 1

, ,

Zgjidhja: Në hapin e parë, ne do të kalojmë nga origjinalet në imazhet përkatëse. Ne përdorim anën e majtë.

Së pari, le të shohim anën e majtë të ekuacionit origjinal. Për transformimin Laplace kemi rregullat e linearitetit, kështu që ne i shpërfillim të gjitha konstantet dhe punojmë veçmas me funksionin dhe derivatet e tij.

Duke përdorur formulën tabelare nr. 1, ne transformojmë funksionin:

Sipas formulës nr.2 , duke marrë parasysh gjendjen fillestare, ne transformojmë derivatin:

Duke përdorur formulën nr. 3, duke marrë parasysh kushtet fillestare, ne transformojmë derivatin e dytë:

Mos u ngatërroni nga shenjat!

E pranoj se është më e saktë të thuash "transformime" sesa "formula", por për thjeshtësi, herë pas here përmbajtjen e tabelës do ta quaj formula.

Tani le të shohim anën e djathtë, e cila përmban polinomin. Për shkak të të njëjtës rregullat e linearitetit Transformimi Laplace, ne punojmë me secilin term veç e veç.

Le të shohim termin e parë: - kjo është ndryshorja e pavarur “te” e shumëzuar me një konstante. Ne injorojmë konstanten dhe, duke përdorur pikën nr. 4 të tabelës, kryejmë transformimin:

Le të shohim termin e dytë: –5. Kur një konstante gjendet e vetme, ajo nuk mund të anashkalohet më. Me një konstante të vetme, ata e bëjnë këtë: për qartësi, ajo mund të përfaqësohet si një produkt: , dhe transformimi mund të zbatohet në unitet:

Kështu, për të gjithë elementët (origjinalet) e ekuacionit diferencial, imazhet përkatëse u gjetën duke përdorur tabelën:

Le të zëvendësojmë imazhet e gjetura në ekuacionin origjinal:

Detyra tjetër është të shprehesh zgjidhje operatori përmes çdo gjëje tjetër, përkatësisht përmes një thyese. Në këtë rast, këshillohet t'i përmbaheni procedurës së mëposhtme:

Së pari, hapni kllapat në anën e majtë:

Ne paraqesim terma të ngjashëm në anën e majtë (nëse ekzistojnë). Në këtë rast, ne mbledhim numrat –2 dhe –3. Unë rekomandoj fuqimisht që çajnikët të mos e anashkalojnë këtë hap:

Në të majtë lëmë termat që përmbajnë , dhe i lëvizim termat e mbetur në të djathtë me një ndryshim të shenjës:

Në anën e majtë vendosim zgjidhjen e operatorit jashtë kllapave, në anën e djathtë e zvogëlojmë shprehjen në një emërues të përbashkët:

Polinomi në të majtë duhet të faktorizohet (nëse është e mundur). Zgjidhja e ekuacionit kuadratik:

Kështu:

Ne rivendosim në emëruesin e anës së djathtë:

Qëllimi është arritur - zgjidhja e operatorit shprehet në terma të një fraksioni.

Akti i dytë. Duke përdorur metoda e koeficientëve të pasigurt, zgjidhja e operatorit e ekuacionit duhet të zgjerohet në një shumë të fraksioneve elementare:

Le të barazojmë koeficientët në fuqitë përkatëse dhe të zgjidhim sistemin:

Nëse keni ndonjë problem me ju lutem kapni artikujt Integrimi i një funksioni thyesor-racional Dhe Si të zgjidhim një sistem ekuacionesh? Kjo është shumë e rëndësishme sepse fraksionet janë në thelb pjesa më e rëndësishme e problemit.

Pra, gjenden koeficientët: , dhe zgjidhja e operatorit shfaqet para nesh në formë të çmontuar:

Ju lutemi vini re se konstantet nuk shkruhen në numërues thyesash. Kjo formë regjistrimi është më fitimprurëse sesa . Dhe është më fitimprurëse, sepse veprimi përfundimtar do të zhvillohet pa konfuzion dhe gabime:

Faza e fundit e problemit është përdorimi i transformimit të kundërt të Laplace për të kaluar nga imazhet në origjinalet përkatëse. Duke përdorur kolonën e djathtë tabelat e origjinaleve dhe imazheve.

Ndoshta jo të gjithë e kuptojnë konvertimin. Këtu përdoret formula e pikës nr.5 të tabelës: . Më në detaje: . Në fakt, për raste të ngjashme formula mund të modifikohet: . Dhe të gjitha formulat tabelare të pikës nr. 5 janë shumë të lehta për t'u rishkruar në një mënyrë të ngjashme.

Pas tranzicionit të kundërt, zgjidhja e pjesshme e dëshiruar e DE merret në një pjatë argjendi:

ishte:

U bë:

Përgjigje: zgjidhje private:

Nëse keni kohë, këshillohet gjithmonë të bëni një kontroll. Kontrolli kryhet sipas skemës standarde, e cila tashmë është diskutuar në klasë. Ekuacione diferenciale johomogjene të rendit të dytë. Le të përsërisim:

Le të kontrollojmë përmbushjen e kushtit fillestar:
- bërë.

Le të gjejmë derivatin e parë:

Le të kontrollojmë përmbushjen e kushtit të dytë fillestar:
- bërë.

Le të gjejmë derivatin e dytë:

Le të zëvendësojmë , dhe në anën e majtë të ekuacionit origjinal:

Përftohet ana e djathtë e ekuacionit origjinal.

Përfundim: detyra u krye saktë.

Një shembull i vogël për zgjidhjen tuaj:

Shembulli 2

Duke përdorur llogaritjen operacionale, gjeni një zgjidhje të veçantë për një ekuacion diferencial në kushte fillestare të dhëna.

Një mostër e përafërt e detyrës përfundimtare në fund të mësimit.

Mysafiri më i zakonshëm në ekuacionet diferenciale, siç e kanë vënë re shumë prej kohësh, janë eksponencialet, kështu që le të shqyrtojmë disa shembuj me ta, të afërmit e tyre:

Shembulli 3

, ,

Zgjidhja: Duke përdorur tabelën e transformimit Laplace (ana e majtë e tabelës), kalojmë nga origjinalet në imazhet përkatëse.

Le të shohim fillimisht anën e majtë të ekuacionit. Nuk ka asnjë derivat të parë atje. Edhe çfarë? E madhe. Më pak punë. Duke marrë parasysh kushtet fillestare, duke përdorur formulat tabelare Nr. 1, 3 gjejmë imazhet:

Tani shikoni anën e djathtë: – produktin e dy funksioneve. Për të përfituar vetitë e linearitetit Transformimi Laplace, duhet të hapni kllapat: . Meqenëse konstantet janë në produkte, ne i harrojmë ato dhe duke përdorur grupin nr. 5 të formulave tabelare, gjejmë imazhet:

Le të zëvendësojmë imazhet e gjetura në ekuacionin origjinal:

Më lejoni t'ju kujtoj se detyra tjetër është të shprehni zgjidhjen e operatorit në terma të një fraksioni të vetëm.

Në anën e majtë lëmë termat që përmbajnë , dhe i lëvizim termat e mbetur në anën e djathtë. Në të njëjtën kohë, në anën e djathtë fillojmë të zvogëlojmë ngadalë thyesat në një emërues të përbashkët:

Në të majtë e nxjerrim nga kllapa, në të djathtë e sjellim shprehjen në një emërues të përbashkët:

Në anën e majtë marrim një polinom që nuk mund të faktorizohet. Nëse polinomi nuk mund të faktorizohet, atëherë i gjori duhet të hidhet menjëherë në fund të anës së djathtë, duke i betonuar këmbët në legen. Dhe në numërues hapim kllapat dhe paraqesim terma të ngjashëm:

Ka ardhur faza më e mundimshme: metoda e koeficientëve të pacaktuar Le të zgjerojmë zgjidhjen e operatorit të ekuacionit në një shumë të thyesave elementare:

Kështu:

Vini re se si zbërthehet thyesa: , së shpejti do të shpjegoj pse është kështu.

Përfundoni: le të kalojmë nga imazhet në origjinalet përkatëse, përdorni kolonën e djathtë të tabelës:

Në dy transformimet më të ulëta, u përdorën formulat Nr. 6 dhe 7 të tabelës, dhe fraksioni u zgjerua paraprakisht vetëm për ta "përshtatur" atë në transformimet e tabelës.

Si rezultat, një zgjidhje e veçantë:

Përgjigje: zgjidhja e veçantë e kërkuar:

Një shembull i ngjashëm për një zgjidhje DIY:

Shembulli 4

Gjeni një zgjidhje të veçantë për një ekuacion diferencial duke përdorur metodën e llogaritjes operacionale.

Një zgjidhje dhe përgjigje e shkurtër në fund të mësimit.

Në shembullin 4, një nga kushtet fillestare është zero. Kjo sigurisht thjeshton zgjidhjen, dhe opsioni më ideal është kur të dy kushtet fillestare janë zero: . Në këtë rast, derivatet konvertohen në imazhe pa bishta:

Siç u përmend tashmë, aspekti teknik më i vështirë i problemit është zgjerimi i fraksionit metoda e koeficientëve të pacaktuar, dhe kam në dispozicion shembuj mjaft të mundimshëm. Megjithatë, nuk do të frikësoj askënd me përbindëshat, le të shqyrtojmë disa variacione më tipike të ekuacionit:

Shembulli 5

Duke përdorur metodën e llogaritjes operacionale, gjeni një zgjidhje të veçantë për ekuacionin diferencial që plotëson kushtet fillestare të dhëna.
, ,

Zgjidhja: Duke përdorur tabelën e transformimit Laplace, ne kalojmë nga origjinalet në imazhet përkatëse. Duke pasur parasysh kushtet fillestare :

Nuk ka probleme as me anën e djathtë:

(Mos harroni se konstantet e shumëzuesit janë injoruar)

Le të zëvendësojmë imazhet që rezultojnë në ekuacionin origjinal dhe të kryejmë veprime standarde, të cilat, shpresoj, tashmë i keni punuar mirë:

Marrim konstanten në emërues jashtë fraksionit, gjëja kryesore është të mos e harrojmë më vonë:

Po mendoja nëse do të hiqja edhe dy të tjera nga numëruesi, megjithatë, pasi bëra bilancin, arrita në përfundimin se ky hap praktikisht nuk do ta thjeshtonte vendimin e mëtejshëm.

E veçanta e detyrës është fraksioni që rezulton. Duket se zbërthimi i tij do të jetë i gjatë dhe i vështirë, por pamja e jashtme është mashtruese. Natyrisht, ka gjëra të vështira, por në çdo rast - përpara, pa frikë dhe dyshim:

Fakti që disa shanse rezultuan të jenë të pjesshme nuk duhet të jetë konfuze kjo situatë nuk është e pazakontë. Sikur vetëm teknologjia informatike të mos dështonte. Përveç kësaj, ekziston gjithmonë mundësia për të kontrolluar përgjigjen.

Si rezultat, zgjidhja e operatorit: