Kartat

Përshëndetje student. Si të gjeni një zgjidhje të veçantë të një DE përafërsisht duke përdorur një seri? Rreshtat. Konceptet bazë. Shenja e nevojshme e konvergjencës

seri fuqie.

Duke përdorur seritë e fuqisë është e mundur të integrohen ekuacionet diferenciale.

Konsideroni një ekuacion diferencial linear të formës:

Nëse të gjithë koeficientët dhe ana e djathtë e këtij ekuacioni zgjerohen në seri fuqie që konvergojnë në një interval të caktuar, atëherë ka një zgjidhje për këtë ekuacion në një lagje të vogël të pikës zero që plotëson kushtet fillestare.

Kjo zgjidhje mund të përfaqësohet nga një seri fuqie:

Për të gjetur një zgjidhje, mbetet për të përcaktuar konstantet e panjohura c i.

Ky problem mund të zgjidhet metoda e krahasimit të koeficientëve të pasigurt. Ne zëvendësojmë shprehjen e shkruar për funksionin e dëshiruar në ekuacionin diferencial origjinal, duke kryer të gjitha veprimet e nevojshme me seritë e fuqisë (diferencim, mbledhje, zbritje, shumëzim, etj.)

Pastaj barazojmë koeficientët në të njëjtat gradë X në anën e majtë dhe të djathtë të ekuacionit. Si rezultat, duke marrë parasysh kushtet fillestare, marrim një sistem ekuacionesh nga i cili përcaktojmë në mënyrë të njëpasnjëshme koeficientët c i.

Vini re se kjo metodë është gjithashtu e zbatueshme për ekuacionet diferenciale jolineare.

Shembull. Gjeni një zgjidhje të ekuacionit me kushte fillestare y(0)=1, y’(0)=0.

Ne do të kërkojmë një zgjidhje për ekuacionin në formë

Ne zëvendësojmë shprehjet që rezultojnë në ekuacionin origjinal:

Nga këtu marrim:

………………

Ne marrim duke zëvendësuar kushtet fillestare në shprehjet për funksionin e dëshiruar dhe derivatin e tij të parë:

Më në fund marrim:

Ekziston një metodë tjetër për zgjidhjen e ekuacioneve diferenciale duke përdorur seri. Quhet metoda e diferencimit sekuencial.

Le të shohim të njëjtin shembull. Ne do të kërkojmë një zgjidhje për ekuacionin diferencial në formën e një zgjerimi të funksionit të panjohur në një seri Maclaurin.

Nëse kushtet fillestare të dhëna y(0)=1, y’(0)=0 duke zëvendësuar në ekuacionin diferencial origjinal, marrim atë

Pas zëvendësimit të vlerave të marra marrim:

Seria Furier.

(Jean Baptiste Joseph Fourier (1768 – 1830) – matematikan francez)

Seri trigonometrike.

Përkufizimi. Seri trigonometrike quhet një seri e formës:

ose shkurtimisht,

Numrat realë a i, b i quhen koeficientë të serisë trigonometrike.

Nëse një seri e tipit të paraqitur më sipër konvergjon, atëherë shuma e saj është një funksion periodik me periudhë 2p, sepse funksionet mëkat nx dhe cos nx edhe funksione periodike me periodë 2p.

Lëreni serinë trigonometrike të konvergojë në mënyrë të njëtrajtshme në segmentin [-p; p], dhe për këtë arsye në çdo segment për shkak të periodicitetit, dhe shuma e tij është e barabartë me f(x).

Le të përcaktojmë koeficientët e kësaj serie.

Për të zgjidhur këtë problem ne përdorim barazitë e mëposhtme:

Vlefshmëria e këtyre barazive rrjedh nga aplikimi i formulave trigonometrike në integrand. Shih Integrimi i funksioneve trigonometrike për më shumë informacion.

Sepse funksionin f(x)është i vazhdueshëm në intervalin [-p; p], atëherë ekziston një integral

Ky rezultat është marrë si rezultat i faktit se.

Nga këtu marrim:

Në mënyrë të ngjashme, ne shumëzojmë shprehjen për zgjerimin e serisë së një funksioni me mëkat nx dhe integrohen në rangun nga -p në p.

Ne marrim:

Shprehje për koeficientin a 0është rast i veçantë për shprehjen e koeficientëve a n.

Kështu, nëse funksioni f(x)– çdo funksion periodik i periudhës 2p, i vazhdueshëm në intervalin [-p; p] ose ka një numër të kufizuar pikash ndërprerje të llojit të parë në këtë segment, pastaj koeficientët

ekzistojnë dhe quhen Koeficientët Furier për funksionin f(x).

Përkufizimi. Pranë Furierit për funksionin f(x) quhet seri trigonometrike koeficientët e së cilës janë koeficientët Furier. Nëse seria Furiere e funksionit f(x) konvergon me të në të gjitha pikat e tij të vazhdimësisë, atëherë themi se funksioni f(x) zgjerohet në një seri Fourier.

Shenja të mjaftueshme të dekompozueshmërisë në një seri Fourier.

Teorema. (Teorema e Dirichletit) Nëse funksioni f(x) ka periodë 2p dhe në segment

[-p;p] është i vazhdueshëm ose ka një numër të kufizuar pikash ndërprerje të llojit të parë, dhe segmenti

[-p;p] mund të ndahet në një numër të kufizuar segmentesh në mënyrë që brenda secilit prej tyre funksioni f(x) të jetë monoton, atëherë seria Fourier për funksionin f(x) konvergjon për të gjitha vlerat e x, dhe në pikat e vazhdimësisë së funksionit f(x) shuma e tij është e barabartë me f(x), dhe në pikat e ndërprerjes shuma e tij është e barabartë me , d.m.th. mesatarja aritmetike e vlerave kufitare majtas dhe djathtas. Në këtë rast, seria Fourier e funksionit f(x) konvergon në mënyrë të njëtrajtshme në çdo segment që i përket intervalit të vazhdimësisë së funksionit f(x).

Funksioni f(x) për të cilin plotësohen kushtet e teoremës së Dirichlet-it quhet pjesë-pjesë monotonike në segmentin [-p;p].

Teorema. Nëse funksioni f(x) ka një periudhë prej 2p, përveç kësaj, f(x) dhe derivati i tij f'(x) janë funksione të vazhdueshme në intervalin [-p;p] ose kanë një numër të kufizuar pikash ndërprerjeje të lloji i parë në këtë interval, pastaj seria Funksioni Furier f(x) konvergjon për të gjitha vlerat e x, dhe në pikat e vazhdimësisë shuma e tij është e barabartë me f(x), dhe në pikat e ndërprerjes është e barabartë me . Në këtë rast, seria Fourier e funksionit f(x) konvergon në mënyrë të njëtrajtshme në çdo segment që i përket intervalit të vazhdimësisë së funksionit f(x).

Një funksion që plotëson kushtet e kësaj teoreme quhet pjesë-pjesë – e lëmuar në segmentin [-p;p].

Zgjerimi i serisë Furier të një funksioni jo periodik.

Problemi i zgjerimit të një funksioni jo periodik në një seri Furier, në parim, nuk ndryshon nga zgjerimi i një funksioni periodik në një seri Furier.

Le të themi funksionin f(x) jepet në një interval dhe është pjesë-pjesë monoton në këtë interval. Konsideroni një funksion arbitrar periodik monotonik pjesë-pjesë f 1 (x) me periudhë 2T ³ ïb-aï, që përkon me funksionin f(x) në segmentin .

a - 2T a a b a+2T a + 4T x

Pra funksioni f(x)është shtuar. Tani funksioni f 1 (x) zgjerohet në një seri Fourier. Shuma e kësaj serie në të gjitha pikat e segmentit përkon me funksionin f (x), ato. mund të supozojmë se funksioni f(x) zgjeruar në një seri Furier në segmentin .

Kështu, nëse funksioni f(x) jepet në një interval të barabartë me 2p, ai nuk ndryshon nga zgjerimi i serisë së një funksioni periodik. Nëse segmenti në të cilin është dhënë funksioni është më i vogël se 2p, atëherë funksioni shtrihet në intervalin (b, a + 2p) në mënyrë që të ruhen kushtet për zgjerim në një seri Furier.

Në përgjithësi, në këtë rast, vazhdimi i një funksioni të caktuar në një segment (interval) me gjatësi 2p mund të kryhet në një numër të pafund mënyrash, kështu që shumat e serisë rezultuese do të jenë të ndryshme, por ato do të përkojnë me atë të dhënë. funksioni f(x) në segment.

Seritë Furier për funksionet çift dhe tek.

Le të vëmë re vetitë e mëposhtme të funksioneve çift dhe tek:

2) Prodhimi i dy funksioneve çift dhe tek është një funksion çift.

3) Prodhimi i funksioneve çift dhe tek është një funksion tek.

Vlefshmëria e këtyre vetive mund të vërtetohet lehtësisht bazuar në përcaktimin e funksioneve çift dhe tek.

Nëse f(x) është një funksion periodik çift me periudhë 2p, që plotëson kushtet e zgjerimit në një seri Furier, atëherë mund të shkruajmë:

Kështu, për një funksion çift, seria Fourier shkruhet:

Në mënyrë të ngjashme, marrim zgjerimin e serisë Fourier për një funksion tek:

Shembull. Zgjeroni në një seri Furier një funksion periodik me periodë T = 2p në intervalin [-p;p].

Funksioni i dhënë është i çuditshëm, prandaj, ne kërkojmë koeficientët Fourier në formën:

Përkufizimi. Seritë Furier në një sistem funksionesh ortogonal j 1 (x), j 2 (x), …,jn(x) quhet një seri e formës:

koeficientët e të cilit përcaktohen me formulën:

Ku f(x)= është shuma e një serie që konvergohet në mënyrë uniforme në një segment përgjatë një sistemi funksionesh ortogonal. f (x) -çdo funksion që është i vazhdueshëm ose ka një numër të kufizuar pikash ndërprerjeje të llojit të parë në segment.

Në rastin e një sistemi funksionesh ortonormal, përcaktohen koeficientët:

Kur përdorni versionin e kompjuterit " Kursi i lartë i matematikës” është e mundur të ekzekutohet një program që zgjeron një funksion arbitrar në një seri Fourier.

Seriali Taylor. Seria Maclaurin

Le të jetë një funksion i diferencueshëm një numër i pafundëm herë në afërsi të një pike, d.m.th. ka derivate të çdo rendi. Seria Taylor e një funksioni në një pikë është një seri fuqie

Në rastin e veçantë të serisë (1.8) quhet seria Maclaurin:

Shtrohet pyetja: Në cilat raste seria Taylor për një funksion të diferencuar një numër të pafundëm herë në një lagje të një pike përputhet me funksionin?

Mund të ketë raste kur seria Taylor e një funksioni konvergjon, por shuma e tij nuk është e barabartë

Le të paraqesim një kusht të mjaftueshëm për konvergjencën e serisë Taylor të një funksioni me këtë funksion.

Teorema 1.4: nëse në një interval një funksion ka derivate të çdo rendi dhe të gjithë janë të kufizuar në vlerë absolute me të njëjtin numër, d.m.th. atëherë seria Taylor e këtij funksioni konvergjon në për cilindo prej këtij intervali, d.m.th. ka barazi

Kërkohen studime të veçanta për të përcaktuar nëse kjo barazi qëndron në skajet e intervalit të konvergjencës.

Duhet të theksohet se nëse një funksion zgjerohet në një seri fuqie, atëherë kjo seri është seria Taylor (Maclaurin) e këtij funksioni dhe ky zgjerim është unik.

Ekuacionet diferenciale

Një ekuacion i zakonshëm diferencial i rendit të n-të për një funksion argumenti është një relacion i formës

ku është një funksion i dhënë i argumenteve të tij.

Në emër të kësaj klase ekuacionesh matematikore, termi "diferencial" thekson se ato përfshijnë derivate (funksione të formuara si rezultat i diferencimit); termi "i zakonshëm" tregon se funksioni i dëshiruar varet vetëm nga një argument real.

Një ekuacion i zakonshëm diferencial mund të mos përmbajë në mënyrë eksplicite argumentin e funksionit të dëshiruar dhe ndonjë prej derivateve të tij, por derivati më i lartë duhet të përfshihet në ekuacionin e rendit të n-të.

Për shembull,

A) - ekuacioni i rendit të parë;

B) - ekuacioni i rendit të tretë.

Kur shkruani ekuacione diferenciale të zakonshme, shpesh përdoret shënimi për derivatet në terma të diferencialeve:

B) - ekuacioni i rendit të dytë;

D) - një ekuacion i rendit të parë që, pas pjesëtimit me një formë ekuivalente, formon ekuacionin e mëposhtëm:

Një funksion quhet zgjidhje e një ekuacioni diferencial të zakonshëm nëse, kur zëvendësohet në të, ai kthehet në një identitet.

Të gjesh me një metodë ose një tjetër, për shembull, përzgjedhjen, një funksion që plotëson ekuacionin nuk do të thotë ta zgjidhësh atë. Zgjidhja e një ekuacioni diferencial të zakonshëm nënkupton gjetjen e të gjitha funksioneve që formojnë një identitet kur zëvendësohen në ekuacion. Për ekuacionin (1.10), një familje funksionesh të tilla formohet duke përdorur konstante arbitrare dhe quhet zgjidhja e përgjithshme e një ekuacioni diferencial të zakonshëm të rendit të n-të, dhe numri i konstanteve përkon me rendin e ekuacionit: Zgjidhja e përgjithshme mund të mos të zgjidhet në mënyrë eksplicite në lidhje me Në këtë rast, zgjidhja zakonisht quhet integral i përgjithshëm i ekuacionit (1.10).

Duke caktuar disa vlera të pranueshme për të gjitha konstantat arbitrare në zgjidhjen e përgjithshme ose në integralin e përgjithshëm, marrim një funksion të caktuar që nuk përmban më konstante arbitrare. Ky funksion quhet zgjidhje e pjesshme ose integral i pjesshëm i ekuacionit (1.10). Për të gjetur vlerat e konstantave arbitrare, dhe për këtë arsye një zgjidhje të veçantë, përdoren kushte të ndryshme shtesë për ekuacionin (1.10). Për shembull, të ashtuquajturat kushte fillestare mund të specifikohen në:

Në anën e djathtë të kushteve fillestare (1.11) specifikohen vlerat numerike të funksionit dhe derivateve, dhe numri total i kushteve fillestare është i barabartë me numrin e konstantave arbitrare të përcaktuara.

Problemi i gjetjes së një zgjidhjeje të veçantë për ekuacionin (1.10) bazuar në kushtet fillestare quhet problemi Cauchy.

Integrimi i ekuacioneve diferenciale duke përdorur seritë

Në rastin e përgjithshëm, gjetja e një zgjidhjeje të saktë për një ekuacion diferencial të zakonshëm të rendit të parë (ODE) duke e integruar atë është e pamundur. Për më tepër, kjo nuk është e realizueshme për një sistem ODE. Kjo rrethanë çoi në krijimin e një numri të madh metodash të përafërta për zgjidhjen e ODE-ve dhe sistemeve të tyre. Ndër metodat e përafërta, mund të dallohen tre grupe: analitike, grafike dhe numerike. Sigurisht, një klasifikim i tillë është deri diku arbitrar. Për shembull, metoda grafike e vijave të thyera të Euler-it qëndron në themel të një prej metodave për zgjidhjen numerike të një ekuacioni diferencial.

Integrimi i ODE-ve duke përdorur seritë e fuqisë është një metodë analitike e përafërt, e aplikuar zakonisht në ekuacione lineare të së paku rendit të dytë. Për thjeshtësi, ne kufizohemi në marrjen në konsideratë të një ODE lineare homogjene të rendit të dytë me koeficientë të ndryshueshëm

Shënim: një klasë mjaft e gjerë funksionesh mund të përfaqësohet në formë

ku janë disa konstante. Kjo shprehje quhet seri fuqie.

Le të supozojmë se funksionet mund të zgjerohen në seri që konvergojnë në intervalin:

Teorema e mëposhtme vlen (duke hequr provën, ne paraqesim vetëm formulimin e saj).

Teorema 1.5: nëse funksionet kanë formën (1.13), atëherë çdo zgjidhje për ODE (1.12) mund të përfaqësohet si një seri fuqie që konvergohet në:

Kjo teoremë jo vetëm që bën të mundur paraqitjen e zgjidhjes në formën e një serie fuqie, por, më e rëndësishmja, ajo justifikon konvergjencën e serisë (1.14). Për thjeshtësi, ne vendosim (1.13) dhe (1.14) dhe kërkojmë një zgjidhje për ODE (1.12) në formën

Duke zëvendësuar (1.15) në (1.12), marrim barazinë

Për të përmbushur (1.16), është e nevojshme që koeficienti për çdo shkallë të jetë i barabartë me zero.

Nga ky kusht fitojmë një sistem të pafund ekuacionesh algjebrike lineare

nga e cila mund të gjesh me sukses nëse vendosen vlerat dhe (në rastin e problemit Cauchy për ODE (1.12), ato përfshihen në kushtet fillestare).

Nëse funksionet janë racionale, d.m.th.

ku janë polinomet, atëherë në afërsi të pikave në të cilat ose një zgjidhje në formën e një serie fuqie mund të mos ekzistojë, dhe nëse ekziston, ajo mund të ndryshojë kudo përveç pikës. Kjo rrethanë ishte e njohur për L. Euler, i cili mori parasysh ekuacionin e rendit të parë

Ky ekuacion plotësohet nga seria e fuqisë

Megjithatë, nuk është e vështirë të shihet se kjo seri ndryshon për cilindo

Zgjidhja e një ODE në formën e një serie fuqie divergjente quhet formale.

MINISTRIA E ARSIMIT DHE SHKENCËS SË REPUBLIKËS SË KAZAKSTANIT

Universiteti Shtetëror i Kazakistanit të Veriut

ato. M. Kozybaeva

Fakulteti i Teknologjive të Informacionit

Departamenti i Matematikës

Lëndët e mbrojtura

me një vlerësim "___________"

"___"___________ viti 2013

kokë departamenti____________

A. Tadzhigitov

Punë KURS në matematikë

“INTEGRIMI I EKUACIONET DIFERENCIALE

PËRDORIMI I SERIVE TË ENERGJISË"

KREU: Valeeva M.B. ___________

Petropavlovsk 2013

ADAPTA

Berilgen kurstyk zhumysta qatarlarmen zhane diferenciale tendemelermen baylanysty theorylyk suraktar karastyrylgan. Diferencat e një integraldauynyn mysaldary zhәne manganaz qatarlardyn komegimen karastyrylgan.

SHËNIM

Kjo punë e kursit shqyrton çështjet teorike që lidhen me seritë dhe ekuacionet diferenciale. Janë konsideruar shembuj të integrimit të ekuacioneve diferenciale duke përdorur seritë e fuqisë.

puna e dhënë konsiderohen pyetje teorike të cilat kanë të bëjnë me seritë dhe ekuacionet diferenciale. Janë konsideruar shembuj të ekuacioneve diferenciale të pjesshme të integrimit duke përdorur seritë e fuqisë.

PREZANTIMI

KONCEPTET THEMELORE LIDHUR ME SERIA DHE EKUACIONET DIFERENCIALE

1 rreshta. Konceptet bazë. Shenja e nevojshme e konvergjencës

2 Seritë e fuqisë. Vetitë e serive të fuqisë

3 Taylor Row. Seria Maclaurin

4 Ekuacione diferenciale

5 Integrimi i ekuacioneve diferenciale duke përdorur seritë

SHEMBUJ TË PËRDORIMIT TË SERIVE FUQIKE NË INTEGRIMIN E EKUACIONIVE DIFERENCIALE

1 Ekuacioni i ajrosur

2 Ekuacioni Bessel

3 Shembuj integrimi

4 Shembuj të integrimit në Maple

PËRFUNDIM

PREZANTIMI

Termi "ekuacion diferencial" vjen nga Leibniz (1676, botuar 1684). Fillimi i kërkimit mbi ekuacionet diferenciale daton në kohën e Leibniz dhe Njuton, në veprat e të cilëve u studiuan problemet e para që çuan në ekuacione të tilla. Leibniz, Newton, vëllezërit J. dhe I. Bernoulli zhvilluan metoda për integrimin e ekuacioneve diferenciale të zakonshme. Si një metodë universale, u përdorën zgjerimet e integraleve të ekuacioneve diferenciale në seri fuqie.

Në ditët e sotme, futja e gjerë e metodave llogaritëse në shkencë, e lidhur me ardhjen e mjeteve kompjuterike me fuqi të lartë, kërkon një rivlerësim të rëndësisë së degëve të ndryshme të matematikës dhe, në veçanti, seksioneve të teorisë së ekuacioneve diferenciale të zakonshme. Aktualisht, rëndësia e metodave për hulumtimin cilësor të zgjidhjeve të ekuacioneve diferenciale, si dhe metodave për gjetjen e përafërt të zgjidhjeve është rritur.

Zgjidhjet e shumë ekuacioneve diferenciale nuk shprehen në funksione ose kuadratura elementare. Në këto raste përdoren metoda të përafërta për integrimin e ekuacioneve diferenciale. Një metodë e tillë është paraqitja e zgjidhjes së një ekuacioni si një seri fuqie; shuma e numrit të fundëm të termave të kësaj serie do të jetë afërsisht e barabartë me zgjidhjen e dëshiruar. Kjo përcakton rëndësinë e temës së zgjedhur të kërkimit.

Qëllimi i kësaj pune: të tregojë përdorimin e metodës së serisë së fuqisë në integrimin e ekuacioneve diferenciale.

Objekti i studimit është procesi i integrimit të ekuacioneve diferenciale duke përdorur metodën e serisë së fuqisë.

Lënda e studimit janë format, metodat dhe mjetet e integrimit të ekuacioneve diferenciale sipas serive të fuqisë.

Në përputhje me qëllimin, objektivat kryesore të kësaj pune mund të formulohen:

Rishikoni konceptet bazë që lidhen me seritë dhe ekuacionet diferenciale.

Analizoni metodën e integrimit të ekuacioneve diferenciale duke përdorur seritë e fuqisë.

Zbatoni metodën e serisë së fuqisë për të zgjidhur probleme të ndryshme.

Struktura e punës: faqja e titullit, formulari i detyrës së punës, abstrakti, përmbajtja, hyrja, pjesa kryesore, përfundimi, lista e referencave.

Pjesa kryesore e veprës përbëhet nga dy kapituj. Kapitulli i parë zbulon konceptet e serive, serive të fuqisë, serive Taylor dhe ekuacioneve diferenciale. Në kapitullin e dytë janë shqyrtuar shembuj të integrimit të ekuacioneve diferenciale sipas serive të fuqisë.

Për të studiuar pjesën teorike të punës, u përdorën materiale nga literatura arsimore dhe periodikë të treguar në listën e literaturës së përdorur.

Vëllimi i veprës: 26 faqe.

1. KONCEPTET THEMELORE LIDHUR ME SERIA DHE EKUACIONET DIFERENCIALE

1.1 Rreshtat. Konceptet bazë. Shenja e nevojshme e konvergjencës

Në aplikimet matematikore, si dhe në zgjidhjen e disa problemeve në ekonomi, statistikë dhe fusha të tjera, merren parasysh shumat me një numër të pafund termash. Këtu do të japim një përkufizim se çfarë nënkuptohet me shuma të tilla.

Le të jepet një sekuencë numrash të pafund. Një seri numrash ose thjesht një seri është një shprehje (shumë) e formës

,(1.1)

numrat quhen anëtarë të një serie, anëtari i përbashkët ose i n-të i serisë.

Për të përcaktuar serinë (1.1), mjafton të specifikoni funksionin e argumentit natyror të llogaritjes së mandatit të n-të të serisë me numrin e tij.

Shembulli 1.1. Le . Rreshti

(1.2)

quhet seri harmonike.

Nga termat e serisë (1.1) ne formojmë një sekuencë numerike të shumave të pjesshme Ku - shuma e termave të parë të serisë, e cila quhet shuma e n-të e pjesshme, d.m.th.

(1.3)

Sekuenca e numrave me një rritje të pakufizuar në numër mund të:

) kanë një kufi të fundëm;

) nuk kanë kufi të fundëm (kufiri nuk ekziston ose është i barabartë me pafundësinë).

Seria (1.1) quhet konvergjente nëse sekuenca e shumave të pjesshme të saj (1.3) ka një kufi të fundëm, d.m.th.

Në këtë rast, numri quhet shuma e serisë (1.1) dhe shkruhet

Seria (1.1) quhet divergjente nëse sekuenca e shumave të pjesshme të saj nuk ka një kufi të fundëm. Asnjë shumë nuk i është caktuar serisë divergjente.

Kështu, problemi i gjetjes së shumës së një serie konvergjente (1.1) është ekuivalente me llogaritjen e kufirit të sekuencës së shumave të saj të pjesshme.

Vërtetimi i teoremës rrjedh nga fakti se , dhe nëse

S është shuma e serisë (1.1), atëherë

Kushti (1.4) është një kusht i domosdoshëm por jo i mjaftueshëm për konvergjencën e serisë. Kjo do të thotë, nëse termi i zakonshëm i serisë tenton në zero në , kjo nuk do të thotë se seria konvergjon. Për shembull, për serinë harmonike (1.2)

megjithatë, ajo ndryshon.

Përfundim (Një shenjë e mjaftueshme e divergjencës së një serie): nëse termi i zakonshëm i serisë nuk priret në zero, atëherë kjo seri divergjente.

Shembulli 1.2. Shqyrtoni serinë për konvergjencë

Për këtë seri Prandaj, kjo seri ndryshon.

1.1 1.2 Seritë e fuqisë. Vetitë e serive të fuqisë

Seritë e fuqisë janë një rast i veçantë i serive funksionale.

Një seri fuqie është një seri funksionale e formës

këtu janë numra realë konstantë të quajtur koeficientë të serive të fuqisë;

Një numër konstant;

Një variabël që merr vlera nga grupi i numrave realë.

Kur seria e fuqisë (1.5) merr formën

(1.6)

Seria e fuqisë (1.5) quhet një seri në fuqi të diferencës; seria (1.6) është një seri në fuqi. Nëse një ndryshore i jepet ndonjë vlerë, atëherë seria e fuqisë (1.5) (ose (1.6)) kthehet në një numerike seri që mund të konvergojnë ose ndryshojnë.

Rajoni i konvergjencës së një serie fuqie është grupi i vlerave në të cilat konvergohet seria e fuqisë.

Teorema 1.2 (Teorema e Abelit): nëse seria e fuqisë (1.6) konvergjon në atëhere ajo konvergjon absolutisht për të gjitha vlerat që plotësojnë pabarazinë, por nëse seria (1.6) divergon në atëhere ajo divergjent për të gjitha vlerat që plotësojnë pabarazinë

Teorema e Abelit jep një ide të qartë të strukturës së rajonit të konvergjencës së një serie fuqie.

Teorema 1.3: rajoni i konvergjencës së serisë së fuqisë (1.6) përkon me një nga intervalet e mëposhtme:

) ; 2) ; 3) ; 4) ,

ku është një numër real jo negativ ose

Numri quhet rrezja e konvergjencës, intervali quhet intervali i konvergjencës së serisë së fuqisë (1.6).

Nëse atëherë intervali i konvergjencës paraqet të gjithë vijën numerike

Nëse atëherë intervali i konvergjencës degjeneron deri në pikën

Shënim: nëse është intervali i konvergjencës për serinë e fuqisë (1.2), atëherë - intervali i konvergjencës për serinë e fuqisë (1.5).

Nga teorema 1.3 rezulton se për të gjetur praktikisht rajonin e konvergjencës së serisë së fuqisë (1.6), mjafton të gjejmë rrezen e saj të konvergjencës dhe të sqarojmë çështjen e konvergjencës së kësaj serie në skajet e intervalit të konvergjencës, d.m.th. në dhe

Rrezja e konvergjencës së një serie fuqie mund të gjendet duke përdorur një nga formulat e mëposhtme:

Formula e d'Alembert:

Formula Cauchy:

Shembulli 1.3. Gjeni rrezen e konvergjencës, intervalin e konvergjencës dhe rajonin e konvergjencës të serisë së fuqisë

Le të gjejmë rrezen e konvergjencës së kësaj serie duke përdorur formulën

Në rastin tonë

Për rrjedhojë, intervali i konvergjencës i kësaj serie ka formën

Le të studiojmë konvergjencën e serisë në skajet e intervalit të konvergjencës.

e cila divergon si një seri harmonike.

Kur seria e fuqisë kthehet në seri numrash

Kjo është një seri alternative, termat e së cilës ulen në vlerë absolute dhe

Prandaj, sipas kriterit të Leibniz-it, kjo seri numrash konvergon.

Kështu, intervali është rajoni i konvergjencës së një serie fuqie të caktuar.

Seria e fuqisë (1.6) është një funksion i përcaktuar në intervalin e konvergjencës, d.m.th.

Këtu janë disa veti të funksionit:

Vetia 1. Funksioni është i vazhdueshëm në çdo segment që i përket intervalit të konvergjencës

Vetia 2. Funksioni është i diferencueshëm në interval dhe derivati i tij mund të gjendet me diferencim term pas termi të serisë (1.6), d.m.th.

per te gjithe

Vetia 3. Integrali i pacaktuar i një funksioni për të gjithë mund të merret me integrimin term pas termi të serive (1.6), d.m.th.

per te gjithe

Duhet të theksohet se me diferencimin term pas termi dhe integrimin e një serie fuqie, rrezja e saj e konvergjencës nuk ndryshon, por konvergjenca e saj në skajet e intervalit mund të ndryshojë.

Karakteristikat e mësipërme janë gjithashtu të vlefshme për seritë e fuqisë (1.5).

Shembulli 1.4. Merrni parasysh serinë e fuqisë

Rajoni i konvergjencës i kësaj serie, siç tregohet në shembullin 1.3, është intervali

Le ta dallojmë këtë seri termi sipas termit:

(1.7)

Le të studiojmë sjelljen e kësaj serie në skajet e intervalit të konvergjencës.

Kjo seri numrash ndryshon sepse kriteri i nevojshëm i konvergjencës nuk plotësohet

e cila nuk ekziston.

Kur seria e fuqisë (1.7) kthehet në seri numrash

i cili gjithashtu divergjent sepse nuk plotësohet kriteri i nevojshëm i konvergjencës.

Rrjedhimisht, rajoni i konvergjencës së serisë së fuqisë i marrë nga diferencimi term pas termi i serisë origjinale të fuqisë ka ndryshuar dhe përkon me intervalin .

1.3 Seria Taylor. Seria Maclaurin

(1.8)

Në rastin e veçantë të serisë (1.8) quhet seria Maclaurin:

Shtrohet pyetja: Në cilat raste seria e Taylor-it për një funksion të diferencuar një numër të pafundëm herë në afërsi të një pike përputhet me funksionin ?

Mund të ketë raste kur seria Taylor e një funksioni konvergjon, por shuma e tij nuk është e barabartë

Le të paraqesim një kusht të mjaftueshëm për konvergjencën e serisë Taylor të një funksioni me këtë funksion.

Teorema 1.4: nëse në interval një funksion ka derivate të çdo rendi dhe të gjithë janë të kufizuar në vlerë absolute në të njëjtin numër, d.m.th. atëherë seria Taylor e këtij funksioni konvergjon në për cilindo prej këtij intervali ato. ka barazi

Kërkohen studime të veçanta për të përcaktuar nëse kjo barazi qëndron në skajet e intervalit të konvergjencës.

Duhet të theksohet se nëse një funksion zgjerohet në një seri fuqie, atëherë kjo seri është seria Taylor (Maclaurin) e këtij funksioni dhe ky zgjerim është unik.

1.4 Ekuacionet diferenciale

Një ekuacion i zakonshëm diferencial i rendit të n-të për një funksion argumenti është një relacion i formës

ku është një funksion i dhënë i argumenteve të tij.

Për shembull,

A) - ekuacioni i rendit të parë;

B) - ekuacioni i rendit të tretë.

Kur shkruani ekuacione diferenciale të zakonshme, shpesh përdoret shënimi për derivatet në terma të diferencialeve:

NË) - ekuacioni i rendit të dytë;

G) - një ekuacion i rendit të parë që, pasi pjesëtohet me një formë ekuivalente, formon ekuacionin e mëposhtëm:

Një funksion quhet zgjidhje e një ekuacioni diferencial të zakonshëm nëse, kur zëvendësohet në të, ai kthehet në një identitet.

Problemi i gjetjes së një zgjidhjeje të veçantë për ekuacionin (1.10) bazuar në kushtet fillestare quhet problemi Cauchy.

1.5 Integrimi i ekuacioneve diferenciale duke përdorur seritë

(1.12)

Shënim: një klasë mjaft e gjerë funksionesh mund të përfaqësohet në formë

ku janë disa konstante. Kjo shprehje quhet seri fuqie.

Le të supozojmë se funksionet mund të zgjerohen në seri që konvergojnë në intervalin:

Teorema e mëposhtme vlen (duke hequr provën, ne paraqesim vetëm formulimin e saj).

Teorema 1.5: nëse funksionet kanë formën (1.13), atëherë çdo zgjidhje për ODE (1.12) mund të përfaqësohet si një seri fuqie që konvergohet në:

(1.14)

(1.15)

Duke zëvendësuar (1.15) në (1.12), marrim barazinë

Për të përmbushur (1.16), është e nevojshme që koeficienti për çdo shkallë të jetë i barabartë me zero.

Nga ky kusht fitojmë një sistem të pafund ekuacionesh algjebrike lineare

nga e cila mund të gjesh me sukses nëse vendosen vlerat dhe (në rastin e problemit Cauchy për ODE (1.12) ato përfshihen në kushtet fillestare ).

Nëse funksionet janë racionale, d.m.th.

Ky ekuacion plotësohet nga seria e fuqisë

Megjithatë, nuk është e vështirë të shihet se kjo seri ndryshon për cilindo

Zgjidhja e një ODE në formën e një serie fuqie divergjente quhet formale.

2. SHEMBUJ TË PËRDORIMIT TË SERIVE FUQIKE KUR INTEGROHEN EKUACIONET DIFERENCIALE

Ekuacioni i ajrosur

Zgjidhja e ekuacionit Airy

Ne do të kërkojmë në formën e një serie fuqie (1.15). Atëherë barazia (1.16) do të marrë formën

Koeficienti në është i barabartë me Prandaj, nga barazia në zero e koeficientit në gjejmë Koeficienti në është i barabartë me Nga këtu

Nga kjo formulë marrim

Në mënyrë të ngjashme ne gjejmë

Shanset mbeten të pasigurta. Për të gjetur sistemin themelor të zgjidhjeve, së pari vendosëm dhe pastaj anasjelltas. Në rastin e parë kemi

dhe në të dytën

Bazuar në Teoremën 1.5, këto seri janë konvergjente kudo në vijën numerike

Funksionet quhen funksione të ajrosura. Për vlera të mëdha, sjellja asimptotike e këtyre funksioneve përshkruhet nga formula

Grafikët e këtyre funksioneve janë paraqitur në Figurën 1.

Foto 1

Me një rritje të pakufizuar, zerot e çdo zgjidhjeje të ekuacionit Airy afrohen njëra me tjetrën për një kohë të pacaktuar, gjë që është e dukshme nga paraqitja asimptotike e këtyre zgjidhjeve, por nuk është aspak e dukshme nga paraqitja e funksioneve Airy në formën e serive të fuqisë konvergjente. . Nga kjo rrjedh se metoda e kërkimit të një zgjidhjeje për një ODE duke përdorur një seri, në përgjithësi, ka pak përdorim në zgjidhjen e problemeve të aplikuara, dhe vetë përfaqësimi i një zgjidhjeje në formën e një serie e bën të vështirë analizimin e vetive cilësore. e zgjidhjes që rezulton.

2.1 Ekuacioni Bessel

Ekuacioni diferencial linear me koeficientë të ndryshueshëm, që ka formën

quhet ekuacioni i Besselit.

Ne do të kërkojmë një zgjidhje për ekuacionin (2.1) në formën e një serie fuqie të përgjithësuar, d.m.th. produkte të një shkalle në serinë stepë:

(2.2)

Duke zëvendësuar një seri fuqie të përgjithësuar në ekuacionin (2.1) dhe duke barazuar me zero koeficientët për secilën fuqi në anën e majtë të ekuacionit, marrim sistemin

Duke supozuar se nga ky sistem gjejmë Let Pastaj nga ekuacioni i dytë i sistemit gjejmë dhe nga ekuacioni që jep vlerat 3,5,7,..., arrijmë në përfundimin se për koeficientët me numra çift fitojmë shprehjet

Duke zëvendësuar koeficientët e gjetur në seri (2.2), marrim zgjidhjen

ku koeficienti mbetet arbitrar.

Për të gjithë koeficientët përcaktohen në mënyrë të ngjashme vetëm në rastin kur nuk është i barabartë me një numër të plotë. Pastaj zgjidhja mund të merret duke zëvendësuar vlerën në zgjidhjen e mëparshme me:

Seritë e fuqisë që rezultojnë konvergojnë për të gjitha vlerat e , e cila përcaktohet lehtësisht bazuar në kriterin e D'Alembert. Zgjidhjet dhe janë linearisht të pavarura, pasi raporti i tyre nuk është konstant.

Zgjidhja e shumëzuar me një konstante quhet funksion Bessel (ose funksion cilindrik) i rendit të llojit të parë dhe shënohet me simbolin Zgjidhja shënohet

Zgjedhja e pranuar përgjithësisht e konstantës përfshin funksionin gama, i cili përcaktohet nga integrali i papërshtatshëm:

Rrjedhimisht, zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit (2.1) për një numër jo të plotë ka formën ku dhe janë konstante arbitrare.

2.2 Shembuj integrimi

Në rastet kur ekuacioni kërkon zgjidhjen e problemit Cauchy në gjendjen fillestare, zgjidhja mund të kërkohet duke përdorur serinë Taylor:

ku gjenden derivate të mëtejshëm nga diferencimi i njëpasnjëshëm i ekuacionit origjinal dhe zëvendësimi në rezultatin e diferencimit në vend të vlerave dhe të gjithë derivateve të tjerë të gjetur pasues. Në mënyrë të ngjashme, ekuacionet e rendit më të lartë mund të integrohen duke përdorur serinë Taylor.

Shembulli 2.1. Përafërsisht integroni ekuacionin duke përdorur serinë Taylor duke marrë gjashtë termat e parë jozero të zgjerimit.

Nga ekuacioni i kushteve fillestare gjejmë Duke e diferencuar këtë ekuacion, marrim në mënyrë të njëpasnjëshme

Besimi dhe përdorimi i kuptimeve ne vazhdimisht gjejmë zgjidhja e kërkuar ka formën

Shembulli 2.2. Gjeni katër termat e parë (jo zero) të zgjerimit. Dhe

Duke zëvendësuar vlerat e gjetura në seri (2.3), marrim zgjidhjen e dëshiruar me saktësinë e specifikuar:

2.3 Shembuj të integrimit në Maple

Për të gjetur zgjidhje analitike të ekuacioneve diferenciale në Maple, përdorni komandën dsolve(eq,var,options), ku eq është ekuacioni diferencial, var janë funksione të panjohura, opsionet janë parametra. Parametrat mund të tregojnë një metodë për zgjidhjen e një problemi, për shembull, si parazgjedhje kërkohet një zgjidhje analitike: type=exact. Gjatë kompozimit të ekuacioneve diferenciale, komanda diff përdoret për të treguar derivatin, për shembull, ekuacioni diferencial shkruhet në formën: diff(y(x),x$2)+y(x)=x.

Për të gjetur një zgjidhje të përafërt të një ekuacioni diferencial në formën e një serie fuqie, në komandën dsolve duhet të specifikoni parametrin tip=seri (ose thjesht seri) pas variablave. Për të treguar rendin e zbërthimit, d.m.th. Rendi i shkallës në të cilën kryhet zbërthimi duhet të paraprihet nga një përkufizim i rendit duke përdorur komandën Rendi:=n.

Nëse kërkohet një zgjidhje e përgjithshme për një ekuacion diferencial në formën e një zgjerimi të serisë së fuqisë, atëherë koeficientët në fuqitë e zgjerimit të gjetur do të përmbajnë vlera të panjohura të funksionit në zero dhe derivatet e tij, etj. Shprehja e përftuar në vijën e daljes do të ketë një formë të ngjashme me zgjerimin e zgjidhjes së dëshiruar në serinë Maclaurin, por me koeficientë të ndryshëm për fuqitë. Për të izoluar një zgjidhje të caktuar, duhet të specifikohen kushtet fillestare, etj., dhe numri i këtyre kushteve fillestare duhet të përkojë me rendin e ekuacionit diferencial përkatës.

Zgjerimi në një seri fuqie është i llojit të serisë, kështu që për të punuar më tej me këtë seri, duhet të konvertohet në një polinom duke përdorur komandën convert(%,polynom) dhe më pas të zgjidhni anën e djathtë të shprehjes që rezulton me rhs( %) komanda.

> kond:=y(0)=1, D(y)(0)=1, (D@@2)(y)(0)=1;

> dsolve((de,kond),y(x));

> y1:=rhs(%):

> dsolve((de,cond),y(x),seri);

Shënim: lloji i zgjidhjes së një ekuacioni diferencial në formën e një serie është seri, kështu që për përdorim të mëtejshëm të një zgjidhjeje të tillë (llogaritje ose grafikim), ajo duhet të shndërrohet në një polinom duke përdorur komandën konvertim.

shkalla e serisë së ekuacioneve diferenciale

> konverto(%, polinom): y2:=rhs(%):

> p1:=plot (y1, x=-3..3, trashësi=2, ngjyrë=e zezë):

> p2:=plot (y2, x=-3..3, linestyle=3, trashësi=2, ngjyrë=e zezë):

> with(plots): shfaq (p1,p2);

Figura 2 tregon se përafrimi më i mirë i zgjidhjes së saktë nga një seri fuqie arrihet afërsisht në intervalin

Figura 2

PËRFUNDIM

Qëllimet e përcaktuara në punën e kursit u arritën plotësisht, u zgjidhën detyrat e mëposhtme:

Përcaktohen konceptet bazë që lidhen me seritë dhe ekuacionet diferenciale.

Është shqyrtuar metoda e integrimit të ekuacioneve diferenciale duke përdorur seritë e fuqisë.

Problemet në këtë temë janë zgjidhur.

Në këtë punë lëndore, materiali studiohet dhe sistematizohet për përdorim nga studentët gjatë studimit të pavarur të metodës së integrimit të ekuacioneve diferenciale duke përdorur seritë e fuqisë. Konsiderohet koncepti i serive dhe ekuacioneve diferenciale. Llogaritjet e përafërta janë kryer duke përdorur seri.

Punimi mund të përdoret si mjet mësimor për studentët e specialiteteve teknike dhe matematikore.

Rezultatet e punës mund të shërbejnë si bazë për kërkime të mëtejshme.

LISTA E REFERENCAVE TË PËRDORUR

1 Tricomi F. Ekuacionet diferenciale. Përkthim nga anglishtja. - M.: Bukinist, 2003. - 352 f.

Vlasova B. A., Zarubin B. S., Kuvyrkin G. N. Metodat e përafërta të fizikës matematikore: Libër mësuesi për universitetet. - M.: Shtëpia botuese e MSTU im. N. E. Bauman, 2001. - 700 f.

Budak B. M. Fomin S. V. Integrale dhe seri të shumëfishta. - M.: Fizmatlit, 2002. - 512 f.

Demidovich B.P. Mbledhja e problemeve dhe ushtrimeve në analizën matematikore. - M.: Shtëpia botuese Mosk. Universiteti CheRo, 2000. - 624 s.

Krasnov M. L., Kiselev A. I., Makarenko G. I., etj. E gjithë matematika e lartë: Libër mësuesi. T. 3. - M.: Redaksia e Shtëpisë Botuese URSS, 2005. - 240 f.

Yablonsky A. I., Kuznetsov A. V., Shilkina E. I. dhe të tjerë Matematika e lartë: Kursi i përgjithshëm: Libër mësuesi. - M.: Më e lartë. shkolla, 2000.- 351 f.

Malakhov A. N., Maksyukov N. I., Nikishkin V. A. Matematikë e lartë. - M.: EAOI, 2008. - 315 f.

Markov L. N., Razmyslovich G. P. Matematikë e lartë. Pjesa 2. Bazat e analizës matematikore dhe elementet e ekuacioneve diferenciale. - M.: Amalfeya, 2003. - 352 f.

Agafonov S. A., German A. D., Muratova T. V. Ekuacionet diferenciale. - M.: Shtëpia botuese e MSTU im. N.E. Bauman, 2004. - 352 f.

Coddington E. A., Levinson N. Teoria e ekuacioneve diferenciale të zakonshme. - M.: Amalfeya, 2001. - 475 f.

Fikhtengolts G. M. Kursi i njehsimit diferencial dhe integral. T. 2. - M.: Fizmatlit, 2001. - 810 f.

Si të gjeni një zgjidhje të veçantë të një DE përafërsisht duke përdorur një seri?

Duke vazhduar të studiojmë aplikimet praktike të teorisë së serive, le të shqyrtojmë një problem tjetër të zakonshëm, emrin e të cilit e shihni në titull. Dhe, për të mos u ndjerë si një kositës lëndine gjatë gjithë mësimit, le të kuptojmë menjëherë thelbin e detyrës. Tre pyetje dhe tre përgjigje:

Çfarë ju duhet për të gjetur? Zgjidhja e veçantë e një ekuacioni diferencial. Një aluzion midis rreshtave pëshpërit se deri në këtë moment është e këshillueshme që të paktën të kuptoni se çfarë është ekuacioni diferencial dhe cila është zgjidhja e tij.

SI kërkohet kjo zgjidhje? Përafërsisht - duke përdorur një seri.

Dhe pyetja e tretë logjike: pse afërsisht? Unë tashmë e trajtova këtë pyetje në klasë. Metodat Euler dhe Runge-Kutta, por përsëritja nuk do të dëmtojë. Duke qenë mbështetës i specifikave, do të kthehem tek më e thjeshta ekuacioni diferencial. Gjatë leksionit të parë mbi difuzorët, gjetëm zgjidhjen e përgjithshme të tij (bashkësi eksponenciale) dhe një zgjidhje të veçantë që korrespondon me gjendjen fillestare. Grafiku i një funksioni është linja më e zakonshme që është e lehtë për t'u përshkruar në një vizatim.

Por ky është një rast elementar. Në praktikë, ka shumë ekuacione diferenciale që nuk mund të zgjidhen saktësisht në mënyrë analitike (të paktën me metoda të njohura aktualisht). Me fjalë të tjera, pavarësisht se si e shtrembëroni një ekuacion të tillë, nuk do të jetë e mundur ta integroni atë. Dhe kapja është se mund të ekzistojë një zgjidhje e përgjithshme (një familje vijash në një plan).. Dhe pastaj metodat e matematikës llogaritëse vijnë në shpëtim.

Le të takojmë gëzimin tonë!

Një problem tipik formulohet si më poshtë:

… , që plotëson kushtin fillestar, në formën e tre (më rrallë - katër ose pesë) terma jo zero Seriali Taylor.

Zgjidhja e veçantë e kërkuar zgjerohet në këtë seri sipas formulës së njohur:

E vetmja gjë është se në vend të shkronjës "ef", përdoret "igrek" këtu (kaq ndodh).

Ideja dhe kuptimi janë gjithashtu të njohura: për disa difuzorë dhe në kushte të caktuara (nuk do të hyjmë në teori) të ndërtuara seria e fuqisë do të konvergojë drejt zgjidhjes së caktuar të dëshiruar. Kjo do të thotë, sa më shumë terma të serisë të konsiderojmë, aq më saktë grafiku i polinomit përkatës do të përafrojë grafikun e funksionit.

Duhet të theksohet se sa më sipër vlen për rastet më të thjeshta. Le të bëjmë një studim të thjeshtë për fëmijë në të njëjtën tenxhere:

Shembulli 1

Gjeni një zgjidhje afërsisht të pjesshme të ekuacionit diferencial që plotëson kushtin fillestar në formën e katër termave të parë jozero të serisë Taylor.

Zgjidhje: në kushtet e këtij problemi, prandaj formula e përgjithshme e Taylor-it shndërrohet në një rast të veçantë Zgjerimi i serisë Maclaurin:

Duke parë pak përpara, do të them se në detyrat praktike kjo seri më kompakte është shumë më e zakonshme.

Futni të dyja formulat e punës në librin tuaj të referencës.

Le të kuptojmë kuptimet. Është i përshtatshëm për të numëruar fazat e zgjidhjes:

0) Në hapin zero, ne shkruajmë vlerën, e cila njihet gjithmonë nga kushti. Në fletore këshillohet të rrethoni rezultatet përfundimtare të pikave në mënyrë që ato të duken qartë dhe të mos humbasin në zgjidhje. Për arsye teknike, është më e përshtatshme për mua t'i theksoj ato me shkronja të zeza. Përveç kësaj, vini re se kjo vlerë nuk është zero! Në fund të fundit, gjendja kërkon gjetjen e katër jo zero anëtarët e serialit.

1) Le të llogarisim. Për ta bërë këtë, zëvendësoni vlerën e njohur në anën e djathtë të ekuacionit origjinal në vend të "y":

2) Le të llogarisim. Së pari ne gjejmë derivati i dytë:

Ne zëvendësojmë vlerën e gjetur në paragrafin e mëparshëm në anën e djathtë:

Ne tashmë kemi tre terma jo zero të zgjerimit, na duhet edhe një:

Shembulli 2

Gjeni një zgjidhje afërsisht të pjesshme të ekuacionit diferencial , duke plotësuar kushtin fillestar në formën e tre termave të parë jozero të serisë Taylor.

Zgjidhje fillon me një frazë standarde:

Prandaj, në këtë problem:

Tani ne gjejmë në mënyrë sekuenciale vlerat - derisa të merren tre jo zero rezultat. Nëse jeni me fat, ato do të jenë të ndryshme nga zero – ky është një rast ideal me një sasi minimale pune.

Le të shkurtojmë pikat e zgjidhjes:

0) Sipas kushtit. Këtu është suksesi i parë.

1) Le të llogarisim. Së pari, le të zgjidhim ekuacionin origjinal në lidhje me derivatin e parë, domethënë shprehim . Le të zëvendësojmë vlerat e njohura në anën e djathtë:

Morëm një timon dhe kjo nuk është mirë, pasi jemi të interesuar jo zero kuptimet. Megjithatë, zero - të njëjtin rezultat, të cilin nuk harrojmë ta rrethojmë ose ta nxjerrim në pah në ndonjë mënyrë tjetër.

2) Gjeni derivatin e dytë dhe zëvendësoni vlerat e njohura në anën e djathtë:

E dyta është "jo zero".

3) Gjeni derivatin e derivatit të dytë:

Në përgjithësi, detyra të kujton disi përrallën e rrepës, kur një gjysh, gjyshe dhe mbesa thërrasin për ndihmë një insekt, një mace etj. Dhe në fakt, çdo derivat pasues shprehet përmes "paraardhësve" të tij.

Le të zëvendësojmë vlerat e njohura në anën e djathtë:

Vlera e tretë jo zero. E nxorrën rrepën.

Zëvendësoni me kujdes dhe me kujdes numrat "të guximshëm" në formulën tonë:

Përgjigju: zgjerimi i përafërt i dëshiruar i zgjidhjes së veçantë:

Në shembullin e konsideruar, kishte vetëm një zero në vendin e dytë, dhe kjo nuk është aq e keqe. Në përgjithësi, zerat mund të ndodhin sa të doni dhe kudo. E përsëris, është shumë e rëndësishme t'i theksojmë ato së bashku me rezultate jo zero, në mënyrë që të mos ngatërrohemi në zëvendësimet në fazën përfundimtare.

Ja ku shkoni - bagel është në vendin e parë:

Shembulli 3

Gjeni një zgjidhje afërsisht të pjesshme të ekuacionit diferencial që korrespondon me kushtin fillestar në formën e tre termave të parë jozero të serisë Taylor.

Një shembull i përafërt i një detyre në fund të mësimit. Pikat e algoritmit mund të mos numërohen (duke lënë, për shembull, linja boshe midis hapave), por unë rekomandoj që fillestarët t'i përmbahen një modeli të rreptë.

Detyra në shqyrtim kërkon vëmendje të shtuar - nëse bëni një gabim në çdo hap, atëherë gjithçka tjetër gjithashtu do të jetë e gabuar! Prandaj, koka juaj e pastër duhet të funksionojë si orë. Mjerisht, kjo nuk është integrale ose difuzorët, të cilat mund të zgjidhen me besueshmëri edhe në një gjendje të lodhur, pasi ato lejojnë të kryhet një kontroll efektiv.

Në praktikë është shumë më e zakonshme Zgjerimi i serisë Maclaurin:

Shembulli 4

Zgjidhje: në parim, ju mund të shkruani menjëherë Zgjerimi i Maclaurin, por është më akademike të fillohet zyrtarizimi i problemit me rastin e përgjithshëm:

Zgjerimi i një zgjidhjeje të veçantë të një ekuacioni diferencial në gjendjen fillestare ka formën:

Prandaj, në këtë rast:

0) Sipas kushtit.

Epo, çfarë mund të bëni ... Le të shpresojmë që të ketë më pak zero.

1) Le të llogarisim. Derivati i parë është tashmë gati për përdorim. Le të zëvendësojmë vlerat:

2) Le të gjejmë derivatin e dytë:

Dhe le ta zëvendësojmë atë:

Gjërat shkuan mirë!

3) Gjeni. Do ta shkruaj me shumë detaje:

Vini re se rregullat e zakonshme algjebrike zbatohen për derivatet: sjellja e termave të ngjashëm në hapin e fundit dhe shkrimi i prodhimit si fuqi: (po aty).

Le të zëvendësojmë në çdo gjë që është fituar me një punë të thyer:

Kanë lindur tre vlera jo zero.

Ne zëvendësojmë numrat "të guximshëm" në formulën Maclaurin, duke marrë kështu një zgjerim të përafërt të zgjidhjes së veçantë:

Përgjigju:

Për ta zgjidhur vetë:

Shembulli 5

Paraqisni afërsisht një zgjidhje të veçantë të ekuacionit diferencial që i korrespondon kushtit fillestar të dhënë si shuma e tre termave të parë jozero të serisë së fuqisë.

Një model modeli në fund të mësimit.

Siç mund ta shihni, problemi me një zgjerim të veçantë në Seria Maclaurin doli të ishte edhe më i vështirë se rasti i përgjithshëm. Kompleksiteti i detyrës në shqyrtim, siç e pamë, nuk qëndron aq shumë në vetë dekompozimin, por në vështirësitë e diferencimit. Për më tepër, ndonjëherë ju duhet të gjeni 5-6 derivate (ose edhe më shumë), gjë që rrit rrezikun e gabimit. Dhe në fund të mësimit, unë ofroj disa detyra me kompleksitet të shtuar:

Shembulli 6

Të zgjidhim ekuacionin diferencial përafërsisht duke përdorur zgjerimin e një zgjidhjeje të veçantë në një seri Maclaurin, duke u kufizuar në tre termat e parë jo zero të serisë

Zgjidhje: kemi një diffur të rendit të dytë, por kjo praktikisht nuk e ndryshon çështjen. Sipas kushtit, na kërkohet menjëherë të përdorim serinë Maclaurin, të cilën nuk do të dështojmë ta përdorim. Le të shkruajmë zgjerimin e njohur, duke marrë më shumë terma për çdo rast:

Algoritmi funksionon saktësisht në të njëjtën mënyrë:

0) – sipas kushtit.

1) – sipas kushtit.

2) Le të zgjidhim ekuacionin origjinal në lidhje me derivatin e dytë: .

Dhe le të zëvendësojmë:

Vlera e parë jo zero

Klikoni mbi derivatet dhe kryeni zëvendësime:

Le të zëvendësojmë dhe:

Le të zëvendësojmë:

Vlera e dytë jo zero.

5) – gjatë rrugës paraqesim derivate të ngjashëm.

Le të zëvendësojmë:

Së fundi. Megjithatë, mund të jetë më keq.

Kështu, zgjerimi i përafërt i zgjidhjes së caktuar të dëshiruar është:

Ministria e Arsimit e Republikës së Bjellorusisë

Institucion arsimor

"Universiteti Shtetëror Mogilev me emrin A.A. Kuleshova"

Departamenti i MAiVT

Ndërtimi i zgjidhjeve të ekuacioneve diferenciale duke përdorur seri

Puna e kursit

Plotësohet nga: Nxënësi i grupit B të vitit të 3-të

Fakulteti i Fizikës dhe Matematikës

Juskaeva Alexandra Maratovna

Këshilltar shkencor:

Morozov Nikolai Porfirievich

MOGILEV, 2010

Prezantimi

1. Ekuacionet diferenciale të rendit më të lartë

1.1. Koncepti i një ekuacioni diferencial linear të rendit të n-të

2. Integrimi i ekuacioneve diferenciale duke përdorur seritë

2.1. Integrimi i ekuacioneve diferenciale duke përdorur seritë e fuqisë.

2.2. Integrimi i ekuacioneve diferenciale duke përdorur seritë e përgjithësuara të fuqisë.

3. Raste të veçanta të përdorimit të serive të gjeneralizuara të fuqisë gjatë integrimit të ekuacioneve diferenciale.

3.1. ekuacioni i Besselit.

3.2. Ekuacioni hipergjeometrik ose ekuacioni Gaussian.

4. Zbatimi i metodës së integrimit të ekuacioneve diferenciale të zakonshme duke përdorur seritë në praktikë.

konkluzioni

Letërsia

Prezantimi

Në rastin e përgjithshëm, gjetja e një zgjidhjeje të saktë për një ekuacion diferencial të zakonshëm të rendit të parë duke e integruar atë është e pamundur. Për më tepër, kjo nuk është e realizueshme për një sistem ekuacionesh diferenciale të zakonshme. Kjo rrethanë çoi në krijimin e një numri të madh metodash të përafërta për zgjidhjen e ekuacioneve diferenciale të zakonshme dhe sistemeve të tyre. Ndër metodat e përafërta, mund të dallohen tre grupe: analitike, grafike dhe numerike. Sigurisht, një klasifikim i tillë është deri diku arbitrar. Për shembull, metoda grafike e vijave të thyera të Euler-it qëndron në themel të një prej metodave për zgjidhjen numerike të një ekuacioni diferencial.

Integrimi i ekuacioneve diferenciale të zakonshme duke përdorur seritë e fuqisë është një metodë analitike e përafërt, e aplikuar zakonisht për ekuacione lineare të së paku rendit të dytë.

Metodat analitike gjenden në kursin mbi ekuacionet diferenciale. Për ekuacionet e rendit të parë (me ndryshore të ndashme, homogjene, lineare, etj.), si dhe për disa lloje ekuacionesh të rendit më të lartë (për shembull, lineare me koeficientë konstante), është e mundur të merren zgjidhje në formën e formulave. përmes transformimeve analitike.

Qëllimi i punës është të analizojë një nga metodat e përafërta analitike, siç është integrimi i ekuacioneve diferenciale të zakonshme duke përdorur seritë dhe aplikimi i tyre në zgjidhjen e ekuacioneve diferenciale.

Ekuacione diferenciale të rendit më të lartë

Një ekuacion diferencial i zakonshëm i rendit të n-të është një relacion i formës

ku F është një funksion i njohur i argumenteve të tij, i përcaktuar në një fushë të caktuar;

x - ndryshore e pavarur;

y është një funksion i ndryshores x që do të përcaktohet;

y’, y”, …, y (n) - derivatet e funksionit y.

Në këtë rast, supozohet se y (n) përfshihet në ekuacionin diferencial. Çdo argument tjetër i funksionit F mund të mos marrë pjesë në mënyrë eksplicite në këtë marrëdhënie.

Çdo funksion që plotëson një ekuacion të caktuar diferencial quhet zgjidhja e tij, ose integral. Zgjidhja e një ekuacioni diferencial do të thotë të gjesh të gjitha zgjidhjet e tij. Nëse për funksionin e kërkuar y është e mundur të merret një formulë që jep të gjitha zgjidhjet e një ekuacioni diferencial të dhënë dhe vetëm ato, atëherë themi se kemi gjetur zgjidhjen e përgjithshme, ose integralin e përgjithshëm të tij.

Zgjidhja e përgjithshme e një ekuacioni diferencial të rendit të n-të përmban n konstante arbitrare c 1, c 2,..., c n dhe ka formën.

1.1. Koncepti i një ekuacioni diferencial linearn- urdhri

Një ekuacion diferencial i rendit të n-të quhet linear nëse është i shkallës së parë në lidhje me bashkësinë e sasive y, y’, ..., y (n). Kështu, ekuacioni diferencial linear i rendit të n-të ka formën:

ku njihen funksionet e vazhdueshme të x.

Ky ekuacion quhet një ekuacion linear johomogjen ose një ekuacion me anën e djathtë. Nëse ana e djathtë e ekuacionit është identike e barabartë me zero, atëherë ekuacioni linear quhet ekuacion linear diferencial homogjen dhe ka formën

Nëse n është e barabartë me 2, atëherë marrim një ekuacion linear të rendit të dytë, i cili do të shkruhet si: Ashtu si një ekuacion linear i rendit të n-të, një ekuacion i rendit të dytë mund të jetë homogjen () dhe johomogjen.

Integrimi i ekuacioneve diferenciale duke përdorur seritë.

Zgjidhjet e një ekuacioni diferencial të zakonshëm mbi renditjen e parë me koeficientë të ndryshueshëm nuk shprehen gjithmonë në terma të funksioneve elementare, dhe integrimi i një ekuacioni të tillë rrallë reduktohet në kuadratura.

2.1. Integrimi i ekuacioneve diferenciale duke përdorur seritë e fuqisë.

Metoda më e zakonshme e integrimit të këtyre ekuacioneve është paraqitja e zgjidhjes së dëshiruar në formën e një serie fuqie. Konsideroni ekuacionet e rendit të dytë me koeficientë të ndryshueshëm

Shënim 1. Një klasë mjaft e gjerë funksionesh mund të përfaqësohet në formë

ku, janë disa konstante. Kjo shprehje quhet seri fuqie. Nëse vlerat e tij janë të barabarta me vlerat përkatëse të funksionit për çdo x nga intervali (x 0 - T; x 0 + T), atëherë një seri e tillë quhet konvergjente në këtë interval.

Le të supozojmë se funksionet a(x), b(x) janë funksione analitike të ekuacionit (2.1) në intervalin (x 0 - T; x 0 + T), T > 0, d.m.th. janë zgjeruar në seritë e energjisë:

Teorema e mëposhtme vlen (duke hequr provën, ne paraqesim vetëm formulimin e saj).

Teorema_1. Nëse funksionet a(x), b(x) kanë formën (2.2), atëherë çdo zgjidhje y(x) e ekuacionit diferencial të zakonshëm (2.1) mund të paraqitet si konvergjente si |x - x 0 |< Т степенного ряда:

Kjo teoremë jo vetëm që bën të mundur paraqitjen e zgjidhjes në formën e një serie fuqie, por gjithashtu, më e rëndësishmja, ajo justifikon konvergjencën e serive (2.3).

Algoritmi për një paraqitje të tillë është si më poshtë. Për lehtësi, le të vendosim x 0 = 0 në (2.2) dhe (2.3) dhe të kërkojmë një zgjidhje për ekuacionin diferencial të zakonshëm (2.1) në formën

Duke zëvendësuar (2.4) në (2.1), marrim barazinë

Për të përmbushur (2.5), është e nevojshme që koeficienti për çdo fuqi x të jetë i barabartë me zero. Nga ky kusht fitojmë një sistem të pafund ekuacionesh algjebrike lineare

………………………………………….

…………………………………………………………………. .

Nga sistemi i pafundëm që rezulton i ekuacioneve algjebrike lineare, mund të gjesh në mënyrë të njëpasnjëshme, ..., nëse vendosen vlerat dhe (në rastin e problemit Cauchy për ekuacionin diferencial të zakonshëm (2.1), mund të prezantohen kushtet fillestare = , =).

Nëse funksionet a(x), b(x) janë racionale, d.m.th. , b , ku janë polinomet, atëherë në afërsi të pikave në të cilat ose, një zgjidhje në formën e një serie fuqie mund të mos ekzistojë, dhe nëse ekziston, ajo mund të divergjojë kudo përveç pikës x = 0. Kjo rrethanë ishte i njohur për L. Euler, i cili mori parasysh ekuacionin e rendit të parë

Ky ekuacion plotësohet nga seria e fuqisë

Megjithatë, nuk është e vështirë të shihet se kjo seri ndryshon për cilindo. Zgjidhja e një ekuacioni diferencial të zakonshëm në formën e një serie fuqie divergjente quhet formale.

Një nga shembujt më të mrekullueshëm dhe të kuptueshëm të përdorimit të kësaj metode të integrimit janë ekuacionet Airy ose

Të gjitha zgjidhjet e këtij ekuacioni janë funksione të plota të x. Pastaj do të kërkojmë një zgjidhje për ekuacionin Airy në formën e një serie fuqie (2.4). Atëherë barazia (2.5) merr formën

Le të vendosim koeficientin në çdo fuqi x të barabartë me zero. Ne kemi

……………………………

Koeficienti për shkallën zero të x është i barabartë me 2y 2. Rrjedhimisht, y 2 = 0. Pastaj nga barazia e koeficientit në zero gjejmë = . Koeficienti është i barabartë me. Nga këtu.

Nga kjo formulë marrim

Shanset mbeten të pasigurta. Për të gjetur sistemin themelor të zgjidhjeve, së pari vendosim = 1, = 0, dhe më pas anasjelltas. Në rastin e parë kemi

dhe në të dytën

Bazuar në Teoremën 1, këto seri janë konvergjente kudo në vijën numerike.

Funksionet dhe quhen funksione të ajrosura. Për vlera të mëdha të x, sjellja asimptotike e këtyre funksioneve përshkruhet nga formulat e mëposhtme dhe.

Grafikët e këtyre funksioneve janë paraqitur në Fig. 2.1. Ne gjejmë se me një rritje të pakufizuar në x, zerot e çdo zgjidhjeje të ekuacionit Airy afrohen njëra me tjetrën për një kohë të pacaktuar, gjë që është e dukshme edhe nga paraqitja asimptotike e këtyre zgjidhjeve, por nuk është aspak e dukshme nga paraqitja e funksioneve të ajrosur në forma e serisë së fuqisë konvergjente. Nga kjo rrjedh se metoda e kërkimit të një zgjidhjeje për një ekuacion diferencial të zakonshëm duke përdorur një seri, në përgjithësi, ka pak përdorim në zgjidhjen e problemeve të aplikuara, dhe vetë përfaqësimi i zgjidhjes në formën e një serie e bën të vështirë analizimin e vetitë cilësore të zgjidhjes që rezulton.

2.2. Integrimi i ekuacioneve diferenciale duke përdorur seritë e përgjithësuara të fuqisë.

Pra, nëse në ekuacionin (2.1) funksionet a(x), b(x) janë racionale, atëherë pikat në të cilat ose quhen pika njëjës të ekuacionit (2.1).

Për një ekuacion të rendit të dytë

në të cilat a(x), b(x) janë funksione analitike në intervalin |x - x 0 |< а, точка х = 0 является особой точкой, лишь только один из коэффициентов а 0 или b 0 в разложении функций а(х) и b(х) в степенной ряд отличен от нуля. Это пример простейшей особой точки, так называемой регулярной особой точки (или особой точки первого рода).

Në afërsi të pikës njëjës x = x 0, zgjidhjet në formën e një serie fuqie mund të mos ekzistojnë; në këtë rast, zgjidhjet duhet të kërkohen në formën e një serie fuqie të përgjithësuar:

ku λ dhe, …, () duhet të përcaktohen.

Teorema_2. Në mënyrë që ekuacioni (2.6) të ketë të paktën një zgjidhje të veçantë në formën e një serie fuqie të përgjithësuar (2.7) në afërsi të pikës njëjës x = x 0, mjafton që ky ekuacion të ketë formën

Këto janë seri të fuqisë konvergjente, dhe koeficientët nuk janë njëkohësisht të barabartë me zero, sepse përndryshe pika x = x 0 nuk është një pikë e veçantë dhe ka dy zgjidhje linearisht të pavarura, holomorfe në pikën x = x 0 . Për më tepër, nëse seritë (2.7”) të përfshira në koeficientët e ekuacionit (2.7’) konvergjojnë në rajonin | x - x 0 |< R, то и ряд, входящий в решение (2.7), заведомо сходится в той же области.

Merrni parasysh ekuacionin (2.6) për x > 0. Duke zëvendësuar shprehjen (2.7) për x 0 = 0 në këtë ekuacion, ne kemi

Duke barazuar koeficientët në fuqitë x me zero, marrim një sistem të përsëritur ekuacionesh:

……..........................……………………………………………. (2.8)

ku tregohet

Meqenëse, atëherë λ duhet të plotësojë ekuacionin

që quhet ekuacion përcaktues. Le të jenë rrënjët e këtij ekuacioni. Nëse diferenca nuk është një numër i plotë, atëherë për çdo numër të plotë k> 0, që do të thotë se duke përdorur metodën e treguar është e mundur të ndërtohen dy zgjidhje linearisht të pavarura për ekuacionin (2.6):

Nëse ndryshimi është një numër i plotë, atëherë duke përdorur metodën e mësipërme mund të ndërtoni një zgjidhje në formën e një serie të përgjithësuar. Duke ditur këtë zgjidhje, duke përdorur formulën Liouville-Ostrogradsky, mund të gjeni zgjidhjen e dytë linearisht të pavarur:

Nga e njëjta formulë del se zgjidhja mund të kërkohet në formë

(numri A mund të jetë i barabartë me zero).

Raste të veçanta të përdorimit të serive të përgjithësuara të fuqisë gjatë integrimit të ekuacioneve diferenciale.

3.1. ekuacioni i Besselit.

Ekuacioni i Besselit është një nga ekuacionet diferenciale më të rëndësishme në matematikë dhe aplikimet e saj. Zgjidhjet e ekuacionit të Besselit, të cilat përbëjnë sistemin e tij themelor të funksioneve, nuk janë funksione elementare. Por ato zgjerohen në seri fuqie, koeficientët e të cilave llogariten mjaft thjesht.

Le të shqyrtojmë ekuacionin Bessel në formë të përgjithshme:

Shumë probleme të fizikës matematikore reduktohen në këtë ekuacion.

Meqenëse ekuacioni nuk ndryshon kur zëvendësohet x me -x, mjafton të merren parasysh vlerat jo negative të x. E vetmja pikë njëjës është x=0. Ekuacioni përcaktues që i korrespondon x=0 është, . Nëse 0, atëherë ekuacioni përcaktues ka dy rrënjë: dhe. Le të gjejmë zgjidhjen e këtij ekuacioni në formën e një serie fuqie të përgjithësuar

atëherë, duke zëvendësuar y, y" dhe y" në ekuacionin origjinal, marrim

Prandaj, duke reduktuar, kemi

Që kjo barazi të mbahet në mënyrë identike, koeficientët duhet të plotësojnë ekuacionet

Le të gjejmë zgjidhjen që i përgjigjet rrënjës së ekuacionit përcaktues λ = n. Duke zëvendësuar λ = n në barazitë e fundit, shohim se mund të marrim çdo numër tjetër përveç zeros, numër = 0, dhe për k = 2, 3, ... kemi

Prandaj, për të gjitha m = 0, 1, 2, ... .

Kështu, të gjithë koeficientët janë gjetur, që do të thotë se zgjidhja e ekuacionit (3.1) do të shkruhet në formën

Le të prezantojmë funksionin

quhet funksioni gama e Euler-it. Duke marrë parasysh se çfarë dhe çfarë për numrat e plotë, si dhe duke zgjedhur një konstante arbitrare, do të shkruhet në formë

quhet funksioni Bessel i llojit të parë të rendit të n-të.

Zgjidhja e dytë e veçantë e ekuacionit Bessel, linearisht e pavarur, duke kërkuar në formë

Ekuacionet për përcaktimin e kanë formën

Duke supozuar se gjejmë

Sipas konventës, n nuk është një numër i plotë, kështu që të gjithë koeficientët me numra çift shprehen në mënyrë unike përmes:

Kështu,

Duke supozuar se përfaqësojmë y 2 (x) në formë

quhet funksion Bessel i llojit të parë me indeks negativ.

Kështu, nëse n nuk është një numër i plotë, atëherë të gjitha zgjidhjet e ekuacionit origjinal të Besselit janë kombinime lineare të funksionit Bessel dhe: .

3.2. Ekuacioni hipergjeometrik ose ekuacioni Gaussian.

Një ekuacion hipergjeometrik (ose ekuacion Gaussian) është një ekuacion i formës

ku α, β, γ janë numra realë.

Pikat janë pika njëjës të ekuacionit. Të dyja janë të rregullta, pasi në afërsi të këtyre pikave koeficientët e ekuacionit të Gausit të shkruar në formë normale.

mund të përfaqësohet si një seri fuqie e përgjithësuar.

Le të sigurohemi për këtë për një pikë. Në të vërtetë, duke vënë re atë

ekuacioni (3.2) mund të shkruhet si

Ky ekuacion është një rast i veçantë i ekuacionit

dhe këtu, pra pika x=0 është një pikë e rregullt njëjës e ekuacionit të Gausit.

Le të ndërtojmë një sistem themelor zgjidhjesh të ekuacionit të Gausit në afërsi të pikës njëjës x=0.

Ekuacioni përcaktues që i përgjigjet pikës x=0 ka formën

Rrënjët e saj dhe ndryshimi i tyre nuk është një numër i plotë.

Prandaj, në afërsi të pikës njëjës x=0, është e mundur të ndërtohet një sistem themelor zgjidhjesh në formën e serive të përgjithësuara të fuqisë.

e para prej të cilave i përgjigjet rrënjës zero të ekuacionit përcaktues dhe është një seri e zakonshme fuqie, kështu që zgjidhja është holomorfe në afërsi të pikës njëjës x=0. Zgjidhja e dytë është padyshim jo holomorfike në pikën x=0. Le të ndërtojmë fillimisht një zgjidhje të veçantë që i korrespondon rrënjës zero të ekuacionit përcaktues.

Pra, ne do të kërkojmë një zgjidhje të veçantë të ekuacionit (3.2) në formë

Duke zëvendësuar (3.3) në (3.2), marrim

Duke barazuar termin e lirë me zero, marrim.

Le të jetë, atëherë e marrim.

Duke barazuar koeficientin në zero, gjejmë:

Prandaj, zgjidhja e veçantë e kërkuar ka formën:

Seria në të djathtë quhet seri hipergjeometrike, pasi kur α=1, β=γ kthehet në një progresion gjeometrik.

Sipas Teoremës_2, seria (3.4) konvergjon si |x|<1, так же как и ряд (3.5), и, следовательно, представляет в этом интервале решение уравнения (3.2).

Zgjidhja e dytë e veçantë ka formën:

Në vend që të gjejmë metodën e koeficientëve të pacaktuar, ne do të zëvendësojmë funksionin e dëshiruar në ekuacionin e Gausit duke përdorur formulën

Marrim ekuacionin e Gausit

në të cilin rolin e parametrave α, β dhe γ e luan dhe.

Prandaj, duke ndërtuar një zgjidhje të pjesshme të këtij ekuacioni që korrespondon me rrënjën zero të ekuacionit përcaktues dhe duke e zëvendësuar atë në (3.6), marrim zgjidhjen e dytë të pjesshme të këtij ekuacioni të Gausit në formën:

Zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit të Gausit (3.2) do të jetë:

Duke përdorur sistemin themelor të ndërtuar të zgjidhjeve të ekuacionit të Gausit në afërsi të pikës njëjës x=0, mund të ndërtohet lehtësisht një sistem themelor i zgjidhjeve të këtij ekuacioni në afërsi të pikës njëjës x=1, e cila është gjithashtu e rregullt. pikë njëjës.

Për këtë qëllim, ne do ta transferojmë pikën singulare x = 1 me interes për ne në pikën t = 0 dhe së bashku me të pikën njëjës x = 0 në pikën t = 1 duke përdorur një zëvendësim linear të ndryshores së pavarur x = 1. - t.

Duke kryer këtë zëvendësim në këtë ekuacion të Gausit, marrim

Ky është ekuacioni Gaussian me parametra. Ka në lagjen |t|<1 особой точки t = 0 фундаментальную систему решений

Duke u kthyer te ndryshorja x, d.m.th., duke vendosur t = 1 - x, marrim një sistem themelor zgjidhjesh të ekuacionit origjinal të Gausit në afërsi të pikës | x - 1|< 1 особой точки х = 1

Zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit të Gausit (3.2) në rajon do të jetë

Zbatimi i metodës së integrimit të ekuacioneve diferenciale të zakonshme duke përdorur seritë në praktikë.

Shembull_1. (Nr. 691) Llogaritni koeficientët e parë të serisë (deri në koeficientin x 4 përfshirë) me kushtet fillestare

Nga kushtet fillestare rezulton se tani le të gjejmë koeficientët e mbetur:

Shembull_2. (Nr. 696) Llogaritni koeficientët e parë të serisë (deri në koeficientin x 4 përfshirë) me kushtet fillestare

Zgjidhja: Ne do të kërkojmë një zgjidhje të ekuacionit në formë

Ne zëvendësojmë shprehjet që rezultojnë në ekuacionin origjinal:

Duke paraqitur anën e djathtë në formën e një serie fuqie dhe duke barazuar koeficientët për të njëjtat fuqi të x në të dy anët e ekuacionit, marrim:

Meqenëse sipas kushtit është e nevojshme të llogariten koeficientët e serisë deri në koeficientin në x 4 përfshirëse, mjafton të llogariten koeficientët.

Nga kushtet fillestare rrjedh se dhe 2. Tani le të gjejmë koeficientët e mbetur:

Rrjedhimisht, zgjidhja e ekuacionit do të shkruhet në formë

Shembull_3. (Nr. 700) Gjeni zgjidhje të pavarura në mënyrë lineare në formën e serive të fuqisë së ekuacionit. Nëse është e mundur, shprehni shumën e serisë që rezulton duke përdorur funksione elementare.

Zgjidhje. Ne do të kërkojmë një zgjidhje të ekuacionit në formën e një serie

Duke e diferencuar këtë seri dy herë dhe duke e zëvendësuar në këtë ekuacion, kemi

Le të shkruajmë termat e parë të serisë në ekuacionin që rezulton:

Duke barazuar koeficientët me fuqi të barabarta x me zero, marrim një sistem ekuacionesh për përcaktimin:

………………………………….

Nga këto ekuacione gjejmë

Le të supozojmë se atëherë vetëm koeficientët do të jenë të ndryshëm nga zero. Ne e kuptojmë atë

Është ndërtuar një zgjidhje e ekuacionit

Zgjidhjen e dytë, linearisht të pavarur nga ajo e gjetur, e marrim duke supozuar. Atëherë vetëm koeficientët do të jenë të ndryshëm nga zero:

Seritë që përfaqësojnë dhe konvergjojnë për çdo vlerë të x dhe janë funksione analitike. Kështu, të gjitha zgjidhjet e ekuacionit origjinal janë funksione analitike për të gjitha vlerat e x. Të gjitha zgjidhjet shprehen me formulën, ku C 1, C 2 janë konstante arbitrare:

Meqenëse shuma e serisë që rezulton mund të shprehet lehtësisht duke përdorur funksionet elementare, ajo do të shkruhet si:

Shembull_4. (Nr. 711) Zgjidhe ekuacionin 2x 2 y" + (3x - 2x 2)y" - (x + 1)y = 0.

Zgjidhje. Pika x = 0 është një pikë e rregullt njëjës e këtij ekuacioni. Ne hartojmë ekuacionin përcaktues: Rrënjët e tij janë λ 1 = 1/2 dhe λ 2 = - 1. Ne kërkojmë zgjidhjen e ekuacionit origjinal që i korrespondon rrënjës λ = λ 1 në formën

Duke zëvendësuar dhe në ekuacionin origjinal, kemi

Nga këtu, duke reduktuar, marrim

Duke barazuar koeficientët me të njëjtat fuqi të x, kemi ekuacione për të përcaktuar:

Duke vendosur y 0 = 1, gjejmë

Kështu,

Ne kërkojmë zgjidhjen e ekuacionit origjinal që i përgjigjet rrënjës λ = λ 2 në formë

Duke e zëvendësuar këtë shprehje në ekuacionin origjinal dhe duke barazuar koeficientët me të njëjtat fuqi të x, marrim ose Duke vendosur y 0 = 1, gjejmë

Zgjidhjen e përgjithshme të ekuacionit origjinal e shkruajmë në formën ku dhe janë konstante arbitrare.

konkluzioni

Zgjidhja e ekuacioneve që përmbajnë funksione të panjohura dhe derivatet e tyre për fuqi më të larta se e para ose në një mënyrë më komplekse është shpesh shumë e vështirë.

Vitet e fundit, ekuacione të tilla diferenciale kanë tërhequr vëmendjen në rritje. Meqenëse zgjidhjet e ekuacioneve janë shpesh shumë komplekse dhe të vështira për t'u paraqitur duke përdorur formula të thjeshta, një pjesë e rëndësishme e teorisë moderne i kushtohet analizës cilësore të sjelljes së tyre, d.m.th. zhvillimi i metodave që bëjnë të mundur, pa zgjidhur ekuacionin, të thuhet diçka domethënëse për natyrën e zgjidhjeve në tërësi: për shembull, që ato janë të gjitha të kufizuara, ose kanë një natyrë periodike, ose varen në një mënyrë të caktuar nga koeficientët.

Gjatë punës së kursit, u krye një analizë e metodës së integrimit të ekuacioneve diferenciale duke përdorur fuqinë dhe seritë e përgjithësuara të fuqisë.

Literatura:

Matveev N.V. Metodat për integrimin e ekuacioneve diferenciale të zakonshme. Ed. 4, rev. dhe shtesë Minsk, “Më e larta. shkollë”, 1974. - 768 f. me të sëmurë.
Agafonov S.A., gjermane A.D., Muratova T.V. Ekuacionet diferenciale: Teksti mësimor. për universitetet / Ed. B.C. Zarubina, A.P. Krischenko. - Botimi i 3-të, stereotip. -M.: Shtëpia botuese e MSTU im. N.E. Bauman, 2004. - 352 f.
Bugrov Ya. S., Nikolsky S. M. Matematikë e lartë. T.3: Ekuacione diferenciale. Integrale të shumëfishta. Rreshtat. Funksionet e një ndryshoreje komplekse: Libër mësuesi. për universitetet: Në 3 vëllime / Ya. S. Bugrov, S. M. Nikolsky; Ed. V. A. Sadovnichy. - Botimi i 6-të, stereotip. - M.: Bustard, 2004. —- 512 f.: ill.
Samoleinko A. M., Krivosheya S. A., Perestyuk N. A. Ekuacionet diferenciale: shembuj dhe probleme. Libër mësuesi kompensim. - Botimi i 2-të, i rishikuar. - M.: Më e lartë. shkolla, 1989. - 383 f.: ill.
Filippov A.F. Mbledhja e problemeve mbi ekuacionet diferenciale. Libër mësuesi manual për universitetet. - M.: Fizmatizd, 1961. - 100 f.: ill.

Shkarko: Ju nuk keni akses për të shkarkuar skedarë nga serveri ynë.