Мектепке дайындық

Математика энциклопедиясы. Математикалық энциклопедия Аксиомалар және дәлелдеу әдістері

5 томдық математикалық энциклопедия кітабын жүктеп алыңызмүлдем тегін.

Кітапты файлдық хостингтен тегін жүктеп алу үшін тегін кітаптың сипаттамасынан кейін бірден сілтемелерді басыңыз.

Математикалық энциклопедия – математиканың барлық салалары бойынша анықтамалық. Энциклопедия математиканың маңызды салаларына арналған шолу мақалаларына негізделген. Бұл түрдегі мақалаларға қойылатын негізгі талап шолудың ықтимал толықтығы болып табылады. өнер жағдайыпрезентацияның максималды қолжетімділігімен теория; Бұл мақалалар әдетте жоғары математика студенттеріне, аспиранттарға және математиканың сабақтас салаларындағы мамандарға, ал кейбір жағдайларда – өз жұмыстарында математикалық әдістерді қолданатын білімнің басқа салаларындағы мамандарға, инженерлер мен математика мұғалімдеріне қолжетімді. Одан әрі математиканың жеке нақты есептері мен әдістері бойынша орта көлемді мақалалар беріледі; бұл мақалалар оқырмандардың тар шеңберіне арналған, сондықтан олардағы презентация азырақ қолжетімді болуы мүмкін. Ақырында, мақалалардың тағы бір түрі бар - қысқаша анықтамалар.

Құрметті оқырмандар, егер сіз сәтсіздікке ұшырасаңыз

5 томдық математикалық энциклопедияны жүктеп алыңыз

Бұл туралы түсініктемелерде жазыңыз, біз сізге міндетті түрде көмектесеміз.

Сізге кітап ұнады және оны оқу ұнады деп үміттенеміз. Рахмет ретінде сіз форумда немесе блогта біздің веб-сайтқа сілтеме қалдыра аласыз :) Электрондық кітап 5 томдық математикалық энциклопедия қағаз кітапты сатып алмас бұрын қарау үшін ғана берілген және баспа басылымдарына бәсекелес болып табылмайды.

Мақаланың мазмұны

МАТЕМАТИКА.Математика әдетте оның кейбір дәстүрлі салаларының атауларын тізімдеу арқылы анықталады. Ең алдымен, бұл сандарды, олардың арасындағы байланыстарды және сандармен жұмыс істеу ережелерін зерттеумен айналысатын арифметика. Арифметика фактілері әртүрлі нақты түсіндірулерге ашық; мысалы, 2 + 3 = 4 + 1 қатынасы екі және үш кітап төрт және бір кітапты құрайды деген тұжырымға сәйкес келеді. 2 + 3 = 4 + 1 сияқты кез келген қатынас, яғни. физикалық әлемнен ешқандай интерпретациясыз таза математикалық объектілер арасындағы қатынас абстрактілі деп аталады. Математиканың абстрактілі табиғаты оны шешуде барынша пайдалануға мүмкіндік береді әртүрлі мәселелер. Мысалы, сандарға амалдармен айналысатын алгебра арифметикадан тыс есептерді шығаруға мүмкіндік береді. Математиканың анағұрлым нақты саласы – геометрия, оның негізгі міндеті – заттардың өлшемдері мен пішіндерін зерттеу. Алгебралық әдістердің геометриялық әдістермен үйлесуі, бір жағынан, тригонометрияға (бастапқыда геометриялық үшбұрыштарды зерттеуге арналған, ал қазір мәселелердің әлдеқайда кең ауқымын қамтиды), ал екінші жағынан, аналитикалық геометрияға әкеледі. геометриялық денелер мен фигуралар алгебралық әдістермен зерттеледі. Жоғары алгебра мен геометрияның абстракциялық дәрежесі жоғары және жай сандар мен қарапайым геометриялық фигураларды зерттеумен айналыспайтын бірнеше салалары бар; геометриялық пәндердің ең абстрактілісі топология деп аталады.

Математикалық талдау кеңістікте немесе уақытта өзгеретін шамаларды зерттеумен айналысады және математиканың қарапайым бөлімдерінде кездеспейтін екі негізгі ұғымға – функция мен шекке сүйенеді. Бастапқыда математикалық талдау дифференциалдық және интегралдық есептеулерден тұрса, қазір басқа бөлімдерді қамтиды.

Математиканың екі негізгі саласы бар – таза математика, онда дедуктивті пайымдауға басымдық беріледі және қолданбалы математика. «Қолданбалы математика» термині кейде ғылымның қажеттіліктері мен талаптарын қанағаттандыру үшін арнайы құрылған математика салаларын, кейде математиканы шешу құралы ретінде пайдаланатын әртүрлі ғылымдардың (физика, экономика және т.б.) бөлімдерін білдіреді. олардың міндеттері. Математика туралы көптеген қате түсініктер «қолданбалы математиканың» осы екі түсіндірмесі арасындағы шатасудан туындайды. Арифметика бірінші мағынада қолданбалы математиканы, ал екінші мағынада бухгалтерлік есепті мысалға келтіре алады.

Танымал пікірге қарамастан, математика қарқынды дамуын жалғастыруда. Математикалық шолу жыл сайын шамамен жариялайды. Соңғы нәтижелерді қамтитын мақалалардың 8000 қысқаша түйіндемесі – жаңа математикалық фактілер, ескі фактілердің жаңа дәлелдері, тіпті математиканың мүлдем жаңа бағыттары туралы ақпарат. Математикалық білім берудегі қазіргі тенденция – математиканы оқытудың ерте сатысында оқушыларды заманауи, абстрактілі математикалық идеялармен таныстыру. да қараңызМАТЕМАТИКА ТАРИХЫ. Математика - өркениеттің іргетастарының бірі, бірақ бұл ғылымның қазіргі жағдайы туралы өте аз адамдар түсінеді.

Математика соңғы жүз жылда пәні жағынан да, зерттеу әдістері жағынан да орасан зор өзгерістерге ұшырады. Бұл мақалада біз қазіргі заманғы математика эволюциясының негізгі кезеңдері туралы жалпы түсінік беруге тырысамыз, оның негізгі нәтижелерін, бір жағынан, таза және қолданбалы математика арасындағы алшақтықты ұлғайту, екінші жағынан, математиканың дәстүрлі салаларын толығымен қайта қарау.

МАТЕМАТИКАЛЫҚ ӘДІСТІҢ ӘЗІРЛЕУІ

Математиканың дүниеге келуі.

Біздің эрамызға дейінгі 2000 жж қабырғалары 3, 4 және 5 бірлік ұзындықтағы үшбұрышта бұрыштардың біреуі 90 ° -қа тең болатыны байқалды (бұл бақылау практикалық қажеттіліктер үшін тік бұрышты салуды жеңілдетеді). Сіз 5 2 = 3 2 + 4 2 қатынасын байқадыңыз ба? Бұл жөнінде бізде ешқандай ақпарат жоқ. Бірнеше ғасырдан кейін жалпы ереже табылды: кез келген үшбұрышта ABCжоғарғы жағында тік бұрышпен Ажәне партиялар б = ACжәне в = AB, олардың арасында бұл бұрыш және оған қарама-қарсы жағы қоршалған а = BCқатынасы а 2 = б 2 + в 2. Ғылым жеке бақылаулар массасын бір жалпы заңмен түсіндіргенде басталады деп айтуға болады; сондықтан «Пифагор теоремасының» ашылуын нағыз ғылыми жетістіктің алғашқы белгілі мысалдарының бірі ретінде қарастыруға болады.

Бірақ жалпы ғылым үшін және атап айтқанда математика үшін одан да маңыздысы, тұжырымдаумен бірге факт жалпы құқықдәлелдеуге талпыныстар бар, яғни. міндетті түрде басқа геометриялық қасиеттерден туындайтынын көрсетіңіз. Шығыстық «дәлелдердің» бірі өзінің қарапайымдылығымен ерекше графикалық: шаршыға берілгенге тең төрт үшбұрыш жазылған. BCDEсызбада көрсетілгендей. Шаршы алаңы а 2 жалпы ауданы 2 тең төрт үшбұрышқа бөлінген б.з.бжәне шаршы AFGHаумақ ( б – в) 2 . Осылайша, а 2 = (б – в) 2 + 2б.з.б = (б 2 + в 2 – 2б.з.б) + 2б.з.б = б 2 + в 2. Бір қадам алға басып, қандай «алдыңғы» қасиеттер белгілі болуы керек екенін дәлірек білуге үйретеді. Ең айқын факт - үшбұрыштардан бері BACжәне BEFдәлірек айтқанда, саңылаусыз және қабаттаспай, бүйір бойымен «қондырылған». БАжәне bf, бұл шыңдардағы екі бұрышты білдіреді Бжәне FROMүшбұрышта ABSбірге 90° бұрыш құрайды, сондықтан оның барлық үш бұрышының қосындысы 90° + 90° = 180° болады. Жоғарыдағы «дәлелде» де формула қолданылады ( б.з.б/2) үшбұрыштың ауданы үшін ABCжоғарғы жағында 90° бұрышпен А. Шындығында, басқа болжамдар да қолданылды, бірақ біз математикалық дәлелдеудің маңызды механизмін - таза логикалық дәлелдерді қолдануға мүмкіндік беретін дедуктивті пайымдауды анық көруіміз үшін айтылғандар жеткілікті (дұрыс дайындалған материалға негізделген, біздің мысалда - бөлу). шаршы) шығару үшін белгілі нәтижелержаңа қасиеттер, әдетте, қолда бар деректерден тікелей шықпайды.

Аксиомалар және дәлелдеу әдістері.

Математикалық әдістің іргелі ерекшеліктерінің бірі мұқият құрастырылған таза логикалық аргументтердің көмегімен әрбір дәйекті байланыс алдыңғылармен байланысқан мәлімдемелер тізбегін құру процесі болып табылады. Бірінші өте айқын ой - кез келген тізбектің бірінші буыны болуы керек. Бұл жағдай гректерге 7 ғасырда математикалық аргументтердің кодтарын жүйелей бастаған кезде анық болды. BC. Бұл гректерге шамамен алды. 200 жаста және аман қалған құжаттар олардың қалай әрекет еткені туралы шамамен түсінік береді. Бізде тек зерттеудің соңғы нәтижесі – әйгілі туралы нақты ақпарат бар БасталуыЕвклид (шамамен б.з.б. 300 ж.). Евклид бастапқы позицияларды санаудан бастайды, олардан қалғандары таза логикалық жолмен шығарылады. Бұл ережелер аксиома немесе постулаттар деп аталады (терминдер іс жүзінде өзара ауыстырылады); олар кез келген түрдегі объектілердің өте жалпы және біршама анық емес қасиеттерін білдіреді, мысалы, «бүтін бөліктен үлкен» немесе кейбір ерекше математикалық қасиеттерді, мысалы, кез келген екі нүкте үшін оларды байланыстыратын жалғыз түзудің болуы фактісін білдіреді. . Сондай-ақ гректердің аксиомалардың «ақиқатына» қандай да бір терең мағына немесе мән бергені туралы бізде ешқандай ақпарат жоқ, дегенмен гректер белгілі аксиомаларды қабылдағанға дейін оларды біраз уақыт талқылағаны туралы кейбір кеңестер бар. Евклидте және оның ізбасарларында аксиомалар олардың табиғатына ешқандай түсініктеме бермей, математиканы құрудың бастапқы нүктелері ретінде ғана берілген.

Дәлелдеу әдістеріне келетін болсақ, олар, әдетте, бұрын дәлелденген теоремаларды тікелей қолдануға қысқартылған. Алайда кейде пайымдау логикасы күрделірек болып шықты. Біз бұл жерде Евклидтің күнделікті математика тәжірибесінің бір бөлігіне айналған сүйікті әдісі – жанама дәлелдеу немесе қайшылық арқылы дәлелдеу туралы айтамыз. Қарама-қайшылықпен дәлелдеудің қарапайым мысалы ретінде біз диагональдың қарама-қарсы ұштарында орналасқан екі бұрыш өрісі кесілген шахмат тақтасын әрқайсысы екі өріске тең доминомен жабуға болмайтынын көрсетеміз. (Шахмат тақтасының әрбір шаршысы бір рет қана жабылуы керек деп есептелінеді.) Қарама-қарсы («қарсы») мәлімдеме ақиқат делік, яғни. тақтаны доминомен жабуға болады. Әрбір тақтайша бір қара және бір ақ шаршыны жабады, сондықтан домино тастары қай жерде орналасса да, олар ақ және қара шаршылардың бірдей санын қамтиды. Дегенмен, екі бұрыштық шаршы жойылғандықтан, шахмат тақтасында (бастапқыда ақ шаршылар сияқты қара шаршылар болған) басқа түсті шаршыларға қарағанда бір түсті екі шаршы көп. Бұл біздің бастапқы болжамымыз шындық бола алмайды дегенді білдіреді, өйткені ол қайшылыққа әкеледі. Ал қарама-қайшылықты пайымдаулар бір уақытта екеуі де жалған бола алмайтындықтан (егер олардың біреуі жалған болса, онда керісінше ақиқат), біздің алғашқы болжамымыз ақиқат болуы керек, өйткені қарама-қайшы болжам жалған; сондықтан қиғаш орналасқан екі қиылған бұрышы бар шахмат тақтасын доминомен жабуға болмайды. Сонымен, белгілі бір тұжырымды дәлелдеу үшін оны жалған деп болжауға болады және осы болжамнан ақиқаттығы белгілі басқа бір тұжырыммен қайшылықты шығаруға болады.

Ежелгі грек математикасының дамуындағы маңызды кезеңдердің біріне айналған қайшылық арқылы дәлелдеудің тамаша мысалы - рационал сан емес дәлелдеу, т.б. бөлшек түрінде көрсетуге болмайды б/q, қайда бжәне q- бүтін сандар. Егер болса, онда 2 = б 2 /q 2, қайдан б 2 = 2q 2. Екі бүтін сан бар делік бжәне q, ол үшін б 2 = 2q 2. Басқаша айтқанда, квадраты басқа бүтін санның квадратынан екі есе болатын бүтін сан бар деп есептейміз. Егер кез келген бүтін сандар осы шартты қанағаттандыратын болса, онда олардың біреуі барлық қалғандарынан кіші болуы керек. Осы сандардың ең кішісіне тоқталайық. Бұл сан болсын б. 2 жылдан бастап q 2 – жұп санжәне б 2 = 2q 2 , содан кейін сан б 2 жұп болуы керек. Өйткені барлық тақ сандардың квадраттары тақ және квадрат б 2 жұп, сондықтан санның өзі ббіркелкі болуы керек. Басқаша айтқанда, сан бекі есе бүтін сан r. Өйткені б = 2rжәне б 2 = 2q 2, бізде: (2 r) 2 = 4r 2 = 2q 2 және q 2 = 2r 2. Соңғы теңдік теңдікпен бірдей пішінге ие б 2 = 2q 2 , және біз сол пікірді қайталай отырып, сан екенін көрсете аламыз qжұп және мұндай бүтін сан бар с, не q = 2с. Бірақ содан кейін q 2 = (2с) 2 = 4с 2 және содан бері q 2 = 2r 2, біз 4 деп қорытындылаймыз с 2 = 2r 2 немесе r 2 = 2с 2. Сонымен, оның квадраты басқа бүтін санның квадратынан екі есе көп болу шартын қанағаттандыратын екінші бүтін санды аламыз. Бірақ содан кейін бмұндай сан ең кіші болуы мүмкін емес (өйткені r = б/2), бастапқыда біз мұндай сандардың ең кішісі деп болжадық. Демек, біздің бастапқы болжамымыз жалған, өйткені ол қайшылыққа әкеледі, сондықтан мұндай бүтін сандар жоқ. бжәне q, ол үшін б 2 = 2q 2 (яғни, осылай). Және бұл санның рационалды болуы мүмкін емес дегенді білдіреді.

Евклидтен 19 ғасырдың басына дейін.

Осы кезеңде математика үш инновацияның нәтижесінде айтарлықтай өзгерді.

(1) Алгебраның даму барысында шамалар арасындағы барған сайын күрделене түсетін қатынастарды қысқартылған түрде көрсетуге мүмкіндік беретін символдық белгілеу әдісі ойлап табылды. Егер мұндай «курсивті жазу» болмаса, пайда болатын ыңғайсыздықтың мысалы ретінде қатынасты сөзбен жеткізуге тырысайық ( а + б) 2 = а 2 + 2аб + б 2: «Қабырғасы берілген екі квадраттың қабырғаларының қосындысына тең шаршының ауданы олардың аудандарының қосындысына қабырғалары қабырғаларына тең тіктөртбұрыштың екі еселенген ауданына тең. берілген квадраттар».

(2) 17 ғасырдың бірінші жартысындағы құрылу. аналитикалық геометрия, бұл классикалық геометрияның кез келген есебін кейбір алгебралық есептерге келтіруге мүмкіндік берді.

(3) 1600-1800 жылдар аралығында шек және үздіксіздік ұғымдарына байланысты жүздеген есептерді оңай және жүйелі түрде шешуге мүмкіндік беретін шексіз аз есептеулерді жасау және дамыту, олардың өте аз ғана бөлігін ежелгі гректер үлкен қиындықпен шешті. математиктер. Математиканың бұл салалары АЛГЕБРА мақалаларында толығырақ қарастырылады; АНАЛИТИКАЛЫҚ ГЕОМЕТРИЯ ; МАТЕМАТИКАЛЫҚ ТАЛДАУ ; ГЕОМЕТРИЯҒА ШОЛУ.

17 ғасырдан бастап. осы уақытқа дейін шешімін таппай келген мәселені бірте-бірте нақтылайды. Математика дегеніміз не? 1800 жылға дейін жауап қарапайым болды. Ол кезде әртүрлі ғылымдар арасында нақты шекара болмаған, математика бір бөлігі болды « натурфилософия«- Қайта өрлеу дәуірі мен 17 ғасырдың басындағы ұлы реформаторлар ұсынған әдістермен табиғатты жүйелі түрде зерттеу. - Галилео (1564–1642), Ф.Бэкон (1561–1626) және Р.Декарт (1596–1650). Математиктердің өзіндік зерттеу саласы – сандар мен геометриялық объектілер бар, ал математиктер эксперименттік әдісті қолданбаған деп есептелді. Алайда Ньютон мен оның ізбасарлары механика мен астрономияны Евклидтің геометриясын көрсету тәсіліне ұқсас аксиоматикалық әдіспен зерттеді. Жалпы алғанда, эксперимент нәтижелерін сандар немесе сандар жүйесі арқылы көрсетуге болатын кез келген ғылым математиканың қолдану саласына айналатыны белгілі болды (физикада бұл идея тек 19 ғасырда ғана қалыптасты).

Эксперименттік ғылымның математикалық өңдеуден өткен салалары көбінесе «қолданбалы математика» деп аталады; бұл өте өкінішті атау, өйткені бұл қолданбаларда классикалық немесе заманауи стандарттар бойынша да (қатаң мағынада) шын мәнінде математикалық дәлелдер жоқ, өйткені математикалық емес объектілер оларда зерттеу нысаны болып табылады. Эксперименттік мәліметтер сандар немесе теңдеулер тіліне аударылғаннан кейін (мұндай «аударма» көбінесе «қолданбалы» математиктің үлкен тапқырлығын талап етеді), математикалық теоремаларды кеңінен қолдану мүмкіндігі пайда болады; содан кейін нәтиже кері аударылады және бақылаулармен салыстырылады. «Математика» терминінің осы тектес процеске қолданылуы шексіз түсінбеушіліктердің көздерінің бірі болып табылады. Біз қазір айтып отырған «классикалық» заманда мұндай түсініспеушілік болған жоқ, өйткені бір адамдар бір мезгілде есептермен айналысатын «қолданбалы» және «таза» математиктер болған. математикалық талдаунемесе сандар теориясы және динамика немесе оптика мәселелері. Дегенмен, маманданудың күшеюі және «таза» және «қолданбалы» математиктерді бөлу үрдісі бұрыннан бар әмбебаптық дәстүрін айтарлықтай әлсіретіп жіберді және Дж. фон Нейман (1903-1957) сияқты ғалымдар белсенді түрде жұмыс істей алды. ғылыми қызметқолданбалы да, таза математикада да ережеден гөрі ерекше жағдайға айналды.

Біз бар болуын кәдімгідей санаған математикалық объектілер – сандар, нүктелер, түзулер, бұрыштар, беттер және т.б. табиғаты қандай? Мұндай объектілерге қатысты «ақиқат» ұғымы нені білдіреді? Бұл сұрақтарға классикалық кезеңде нақты жауаптар берілді. Әрине, сол дәуір ғалымдары біздің сезім әлемінде Евклидтің «шексіз созылған түзу сызығы» немесе «өлшемсіз нүкте» сияқты «таза металдар», «монохроматикалық жарық» жоқ екенін анық түсінді. «, «жылу оқшауланған жүйелер» және т.б. .d., экспериментаторлар өз пайымдауларында жұмыс істейді. Бұл ұғымдардың барлығы «Платондық идеялар», яғни. табиғаты түбегейлі басқаша болғанымен эмпирикалық ұғымдардың генеративті үлгілерінің бір түрі. Соған қарамастан, идеялардың физикалық «бейнелері» идеялардың өздеріне ерікті түрде жақын болуы мүмкін деп үнсіз болжалды. Объектілердің идеяларға жақындығы туралы кез келген нәрсені айтуға болатын дәрежеде, «идеялар» физикалық объектілердің «шектеу жағдайлары» деп айтылады. Осы тұрғыдан алғанда, Евклид аксиомалары мен олардан алынған теоремалар «идеалды» объектілердің қасиеттерін білдіреді, олар болжамды эксперименттік фактілерге сәйкес келуі керек. Мысалы, кеңістіктегі үш нүктеден құралған үшбұрыштың бұрыштарын оптикалық әдістермен өлшеу «идеалды жағдайда» 180 ° -ке тең қосынды беруі керек. Басқаша айтқанда, аксиомалар физикалық заңдармен бір деңгейге қойылады, сондықтан олардың «ақиқаты» ақиқат сияқты қабылданады. физикалық заңдар; анау. аксиомалардың логикалық салдары эксперименттік деректермен салыстыру арқылы тексеруге жатады. Әрине, келісімге өлшеу құралының «жетілмеген» табиғатымен де, өлшенетін объектінің «жетілмегендігімен» де байланысты қателік шегінде ғана қол жеткізуге болады. Дегенмен, егер заңдар «ақиқат» болса, онда өлшеу процестеріндегі жақсартулар, негізінен, өлшеу қателігін қалағандай аз ете алады деп әрқашан болжанады.

18 ғасыр бойы Негізгі аксиомалардан, әсіресе астрономия мен механикада алынған барлық салдарлардың эксперименттік деректерге сәйкес келетіндігі туралы көбірек дәлелдер болды. Және бұл салдарлар сол кезде болған математикалық аппараттың көмегімен алынғандықтан, қол жеткізілген табыстар Платон айтқандай, «барлығына түсінікті» және талқылауға жатпайтын Евклид аксиомаларының ақиқаттығы туралы пікірді нығайтуға ықпал етті.

Күмәндер мен жаңа үміттер.

Евклидтік емес геометрия.

Евклид берген постулаттар арасында бірінің анық еместігі сонша, тіпті ұлы математиктің алғашқы шәкірттері де оны жүйенің әлсіз нүктесі деп санады. басталды. Қарастырылып отырған аксиома берілген түзудің сыртында жатқан нүкте арқылы берілген түзуге параллель бір ғана түзу жүргізуге болатынын айтады. Көптеген геометрлер параллельдер аксиомасын басқа аксиомалардың көмегімен дәлелдеуге болады деп есептеді, ал Евклид параллельдер туралы тұжырымды постулат ретінде тұжырымдады, өйткені ол мұндай дәлелді келтіре алмады. Бірақ дегенмен үздік математиктерпараллельдер мәселесін шешуге тырысты, олардың ешқайсысы Евклидтен асып кете алмады. Ақырында, 18 ғасырдың екінші жартысында. Евклидтің параллельдер постулатын қайшылық арқылы дәлелдеуге талпыныстар жасалды. Параллель аксиома жалған деген болжам бар. Априори Евклид постулаты екі жағдайда жалған болып шығуы мүмкін: егер берілген түзуден тыс нүкте арқылы бір параллель түзу жүргізу мүмкін болмаса; немесе ол арқылы бірнеше параллель түзулер жүргізуге болатын болса. Бірінші априорлық мүмкіндікті басқа аксиомалар жоққа шығаратыны белгілі болды. Параллельдер туралы дәстүрлі аксиоманың орнына жаңа аксиоманы (берілген түзудің сыртындағы нүкте арқылы берілгенге параллель бірнеше түзу жүргізуге болатынын) қабылдаған математиктер одан басқа аксиомаларға қайшы келетін тұжырым шығаруға тырысты, бірақ сәтсіздікке ұшырады: олар жаңа «антиевклидтік» немесе «евклидтік емес» аксиомадан қанша нәтиже шығаруға тырысса да, қайшылық пайда болмады. Ақырында, бір-бірінен тәуелсіз Н.И.Лобачевский (1793–1856) мен Дж.Боляй (1802–1860) Евклидтің параллельдер туралы постулатының дәлелденбейтінін, басқаша айтқанда, «евклидтік емес геометрияда» қайшылық пайда болмайтынын түсінді. .

Евклидтік емес геометрияның пайда болуымен бірден бірнеше философиялық мәселелер туындады. Аксиомалардың априорлық қажеттілігіне деген талап жойылғандықтан, олардың «ақиқаттығын» тексерудің жалғыз жолы – эксперименталды түрде қалды. Бірақ, кейінірек А.Пуанкаре (1854–1912) атап өткендей, кез келген құбылысты сипаттауда көптеген физикалық болжамдар жасырылғаны сонша, ешбір эксперимент математикалық аксиоманың ақиқаттығын немесе жалғандығын сенімді дәлелдей алмайды. Оның үстіне, біздің дүниеміз «евклидтік емес» деп есептесек те, барлық евклидтік геометрия жалған деген қорытындыға келе ме? Белгілі болғандай, бірде-бір математик мұндай болжамды байыпты қарастырмаған. Түйсік евклидтік және евклидтік емес геометриялар толыққанды математиканың мысалдары болып табылады деп болжайды.

Математикалық құбыжықтар.

Күтпеген жерден дәл осындай тұжырымдар мүлдем басқа бағытта келді - 19 ғасыр математиктерін таң қалдырған нысандар ашылды. таң қалдырды және «математикалық құбыжықтар» деп атады. Бұл жаңалық 19 ғасырдың ортасында ғана пайда болған математикалық талдаудың өте нәзік сұрақтарымен тікелей байланысты. Қисық сызығының тәжірибелік тұжырымдамасының дәл математикалық аналогын табуға тырысқанда қиындықтар туындады. «Үздіксіз қозғалыс» ұғымының мәні неде болды (мысалы, қағаз бетінде қозғалатын қаламның ұшы) нақты математикалық анықтамаға бағынды және бұл мақсат үздіксіздік ұғымы қатаң математикалық түсінікке ие болған кезде қол жеткізілді. мағынасы ( см. сондай-ақҚЫСЫҚ). Интуитивті түрде оның әрбір нүктесіндегі «қисық» бағыты бар сияқты көрінді, яғни. жалпы жағдайда оның әрбір нүктесінің маңайында қисық түзу сызық сияқты дерлік әрекет етеді. (Екінші жағынан, қисықтың көпбұрыш сияқты бұрыштық нүктелерінің ақырлы саны бар екенін елестету қиын емес, «бүгілулер».) Бұл талапты математикалық түрде тұжырымдауға болады, атап айтқанда, қисыққа жанаманың болуы болжанған және 19 ғасырдың ортасына дейін. кейбір «арнайы» нүктелерді қоспағанда, «қисық» оның барлық дерлік нүктелерінде жанама болады деп есептелді. Сондықтан кез келген нүктеде жанама жоқ «қисықтардың» ашылуы нағыз жанжал тудырды ( см. сондай-ақФУНКЦИЯЛАР ТЕОРИЯСЫ). (Тригонометрия және аналитикалық геометриямен таныс оқырман қисық теңдеу арқылы берілгенін оңай тексере алады. ж = xкүнә(1/ x), басында жанама жоқ, бірақ оның кез келген нүктесінде жанамасы жоқ қисық сызықты анықтау әлдеқайда қиынырақ.)

Біраз уақыттан кейін әлдеқайда «патологиялық» нәтиже алынды: шаршыны толығымен толтыратын қисықтың мысалын салу мүмкін болды. Содан бері мұндай жүздеген «құбыжықтар» «саналы санаға» қайшы келеді. Мұндай ерекше математикалық объектілердің болуы негізгі аксиомалардан үшбұрыштың немесе эллипстің болуы сияқты қатаң және логикалық тұрғыдан мінсіз екенін атап өткен жөн. Математикалық «құбыжықтар» кез келген эксперименттік нысанға сәйкес келмейтіндіктен, мүмкін болатын жалғыз қорытынды - математикалық «идеялар» әлемі күткеннен әлдеқайда бай және ерекше және олардың өте азы біздің сезім әлемінде сәйкестікке ие. . Бірақ егер математикалық «құбыжықтар» логикалық түрде аксиомалардан шығатын болса, онда аксиомаларды әлі де шындық деп санауға бола ма?

Жаңа нысандар.

Жоғарыда келтірілген нәтижелер екінші жағынан расталды: математикада, негізінен, алгебрада сан ұғымының жалпылауы болатын жаңа математикалық объектілер бірінен соң бірі пайда бола бастады. Қарапайым бүтін сандар айтарлықтай «интуитивті» және бөлшектің эксперименттік тұжырымдамасына келу мүлде қиын емес (бірақ бірлікті бірнеше тең бөліктерге бөлу және олардың бірнешеуін таңдау операциясы процестен табиғи түрде ерекшеленетінін мойындау керек) санау). Санды бөлшек түрінде көрсетуге болмайтыны белгілі болғаннан кейін, гректер иррационал сандарды қарастыруға мәжбүр болды, олардың дұрыс анықтамасы рационал сандар арқылы жуықтаулардың шексіз тізбегін пайдалана отырып, адам ақыл-ойының ең жоғары жетістіктеріне жатады, бірақ Біздің физикалық әлемімізде нақты ештеңеге сәйкес келмейді (кез келген өлшем үнемі қателерге ұшырайды). Соған қарамастан иррационал сандарды енгізу азды-көпті физикалық ұғымдарды «идеалдау» рухында орын алды. Ал, алгебраның дамуына байланысты бірте-бірте үлкен қарсылыққа тап болып, ғылыми қолданысқа ене бастаған теріс сандар ше? Дайын физикалық объектілер болмағанын толық сенімді түрде айтуға болады, олардан тікелей абстракция процесін пайдалана отырып, теріс сан ұғымын дамытуға болады, ал алгебраның бастауыш курсын оқытуда біз көмекші көп және жеткілікті қиын мысалдар(бағдарланған сегменттер, температуралар, қарыздар және т.б.) теріс сандар не екенін түсіндіру. Платон математиканың негізінде жатқан идеяларды талап еткендей, бұл «баршаға түсінікті» болудан өте алыс және таңбалар ережесіне әлі де таңырқаған колледж түлектерін кездестіру сирек емес (- а)(–б) = аб. да қараңызСАН.

«Қиял» немесе «күрделі» сандармен жағдай одан да нашар, өйткені оларда «сан» бар. мен, солай мен 2 = -1, бұл белгі ережесін анық бұзу. Соған қарамастан 16 ғасырдың аяғынан бастап математиктер. 200 жыл бұрын олар бұл «нысандарды» анықтай алмағанымен немесе оларды қандай да бір көмекші құрылыс арқылы түсіндіре алмаса да, күрделі сандармен есептеулерді «мағынасы бар» сияқты орындаудан тартынбаңыз, мысалы, олар теріс сандар бағытталған сегменттер арқылы түсіндірілді. . (1800 жылдан кейін бірнеше түсіндірулер ұсынылды күрделі сандар, ең жақсы белгілі жазықтықтағы векторлар арқылы.)

қазіргі аксиоматика.

Революция 19 ғасырдың екінші жартысында болды. Ол ресми мәлімдемелер қабылдаумен қатар жүрмесе де, шын мәнінде бұл «тәуелсіздік туралы декларацияның» бір түрін жариялау туралы болды. Нақтырақ айтсақ, математиканың сыртқы әлемнен тәуелсіздігін де-факто жариялау туралы.

Осы тұрғыдан алғанда, математикалық «объектілер», егер олардың «болмысы» туралы айтудың мағынасы бар болса, олар ақыл-ойдың таза туындылары болып табылады және олардың қандай да бір «сәйкестігі» бар ма және оларда қандай да бір «түсіндіруге» мүмкіндік береді ме? физикалық әлем, математика үшін маңызды емес (сұрақтың өзі қызықты болса да).

Мұндай «объектілер» туралы «шын» мәлімдемелер аксиомалардан келетін бірдей логикалық нәтижелер болып табылады. Бірақ енді аксиомаларды толығымен ерікті деп санау керек, сондықтан олардың «идеализация» арқылы күнделікті тәжірибеден «айқын» немесе шығарылатын болуының қажеті жоқ. Іс жүзінде толық еркіндік әртүрлі ойлармен шектеледі. Әрине, «классикалық» объектілер мен олардың аксиомалары өзгеріссіз қалады, бірақ қазір оларды математиканың жалғыз объектілері мен аксиомалары деп санауға болмайды және аксиомаларды әртүрлі тәсілдермен қолдануға болатындай етіп тастау немесе қайта өңдеу әдеті, евклидтік геометриядан евклидтік емес геометрияға өту кезінде жасалғандай. (Дәл осылайша евклидтік геометрия мен Лобачевский-Боляй геометриясынан басқа «евклидтік емес» геометриялардың көптеген нұсқалары алынды; мысалы, параллель түзулер жоқ евклидтік емес геометриялар бар).

Математикалық «объектілерге» жаңа көзқарастан туындайтын бір жағдайды атап өткім келеді: барлық дәлелдемелер тек аксиомаларға негізделуі керек. Егер математикалық дәлелдеменің анықтамасын еске түсірсек, онда мұндай мәлімдеме қайталау сияқты көрінуі мүмкін. Бірақ бұл ереже классикалық математикада оның объектілерінің немесе аксиомаларының «интуитивті» табиғатына байланысты сирек орындалды. Тіпті ішінде БасталуыЕвклид, олардың «қатаң» болып көрінетініне қарамастан, көптеген аксиомалар нақты тұжырымдалмаған және көптеген қасиеттер жасырын түрде қабылданады немесе жеткілікті негіздеусіз енгізіледі. Евклид геометриясын берік негізге қою үшін оның принциптерін сыни тұрғыдан қайта қарау қажет болды. Дәлелдеудің ең ұсақ бөлшектеріне педантикалық бақылау қазіргі математиктерді өз тұжырымдарында сақ болуға үйреткен «құбыжықтар» пайда болуының салдары екенін айтудың қажеті жоқ. Классикалық объектілер туралы ең зиянсыз және «өзінен-өзі түсінікті» бекіту, мысалы, түзудің қарама-қарсы жағында орналасқан нүктелерді қосатын қисық осы түзу сызықты міндетті түрде қиып өтеді деген тұжырым, қазіргі математикада қатаң формалды дәлелдеуді қажет етеді.

Дәл аксиомаларды ұстанғандықтан қазіргі математика кез келген ғылым қандай болуы керек екендігінің айқын үлгісі ретінде қызмет етеді деп айту парадоксальды болып көрінуі мүмкін. Осыған қарамастан, бұл тәсіл ғылыми ойлаудың ең іргелі процестерінің бірі - толық емес білім жағдайында нақты ақпарат алудың тән белгісін көрсетеді. Ғылыми зерттеуобъектілердің белгілі бір класының бір объектіні екіншісінен айыруға мүмкіндік беретін белгілерді әдейі ұмытып, тек қарастырылатын объектілердің жалпы белгілерінің сақталуын болжайды. Математиканы ғылымдардың жалпы шеңберінен ерекшелендіретін нәрсе - бұл бағдарламаны оның барлық тармақтарында қатаң сақтау. Математикалық объектілер толығымен осы объектілердің теориясында қолданылатын аксиомалармен анықталады деп есептеледі; немесе, Пуанкаренің сөзімен айтқанда, аксиомалар өздері сілтеме жасайтын объектілердің «маскировкадағы анықтамалары» қызметін атқарады.

ҚАЗІРГІ МАТЕМАТИКА

Кез келген аксиомалардың болуы теориялық тұрғыдан мүмкін болса да, осы уақытқа дейін аксиомалардың аз ғана саны ұсынылып, зерттелді. Әдетте, бір немесе бірнеше теорияларды жасау барысында дәлелдеудің кейбір схемалары азды-көпті ұқсас жағдайларда қайталанатыны байқалады. Дәлелдеудің жалпы схемаларында қолданылатын қасиеттер ашылғаннан кейін олар аксиома ретінде тұжырымдалады және олардың салдары аксиомалар абстракцияланған нақты контексттерге тікелей қатысы жоқ жалпы теорияға салынады. Осылайша алынған жалпы теоремалар сәйкес аксиомаларды қанағаттандыратын объектілер жүйесі бар кез келген математикалық жағдайға қолданылады. Әртүрлі математикалық жағдайларда бірдей дәлелдеу схемаларының қайталануы бір жалпы теорияның әртүрлі нақтылануларымен айналысып жатқанымызды көрсетеді. Бұл сәйкес интерпретациядан кейін бұл теорияның аксиомалары әр жағдайда теоремаларға айналады дегенді білдіреді. Аксиомалардан шығарылған кез келген қасиет осы жағдайлардың барлығында дұрыс болады, бірақ әрбір жағдай үшін жеке дәлелдеудің қажеті жоқ. Мұндай жағдайларда математикалық жағдаяттар бірдей математикалық «құрылымға» ие деп айтылады.

Біз құрылым ұғымын әр қадамда қолданамыз Күнделікті өмір. Егер термометр 10°C көрсеткішін көрсетсе және болжамдық кеңсе температураның 5°C жоғарылауын болжаса, біз ешқандай есептеулерсіз 15°C температураны күтеміз.Егер кітап 10-шы бетке дейін ашылып, 5 бетті әрі қарай қарауды сұраса, аралық беттерді санамай, 15-ші бетте ашудан тартынбаймыз. Екі жағдайда да сандарды қосу олардың интерпретациясына қарамастан - температура немесе бет нөмірлері түрінде дұрыс нәтиже береді деп санаймыз. Термометрлер үшін бір арифметиканы, ал бет нөмірлері үшін екіншісін үйренудің қажеті жоқ (бірақ біз сағаттар үшін арнайы арифметиканы қолданамыз, онда 8 + 5 = 1, өйткені сағаттардың құрылымы кітап беттерінен басқаша). Математиктерді қызықтыратын құрылымдар біршама жоғары күрделілігімен ерекшеленеді, оны мысалдардан көруге болады, талдау осы мақаланың келесі екі бөліміне арналған. Олардың бірі топтар теориясы мен құрылымдар мен изоморфизмдердің математикалық түсініктерімен айналысады.

Топтық теория.

Жоғарыда сипатталған процесті жақсы түсіну үшін жалпы мағынада, қазіргі заманғы математиктің зертханасын қарау еркіндігін алып, оның негізгі құралдарының бірі - топ теориясын мұқият қарастырайық ( см. сондай-ақАЛГЕБРА РЕФЕРАТ). Топ - бұл объектілердің жиынтығы (немесе «жиынтығы»). Г, кез келген екі нысанды немесе элементтерді байланыстыратын операция анықталған а, ббастап Г, көрсетілген тәртіпте қабылданған (бірінші элемент а, екіншісі - элемент б), үшінші элемент вбастап Гқатаң белгіленген ережеге сәйкес. Қысқалық үшін біз бұл элементті белгілейміз а*б; жұлдызша (*) екі элемент композициясының жұмысын білдіреді. Топтық көбейту деп атайтын бұл операция келесі шарттарды қанағаттандыруы керек:

(1) кез келген үш элемент үшін а, б, вбастап Гқауымдастық қасиеті қанағаттандырылады: а* (б*в) = (а*б) *в;

(2) в Гмұндай элемент бар e, ол кез келген элемент үшін абастап Гқатынас бар e*а = а*e = а; бұл элемент eтоптың сәйкестік немесе бейтарап элементі деп аталады;

(3) кез келген элемент үшін абастап Гмұндай элемент бар а¢, кері немесе симметриялы деп аталады элементке а, не а*аў = аў* а = e.

Егер бұл қасиеттер аксиома ретінде қабылданса, онда олардың логикалық салдары (кез келген басқа аксиомаларға немесе теоремаларға тәуелсіз) бірге жалпы топтық теория деп аталатын нәрсені құрайды. Бұл нәтижелерді біржолата шығару өте пайдалы болды, өйткені топтар математиканың барлық салаларында кеңінен қолданылады. Топтардың мыңдаған мүмкін мысалдарының ішінен біз ең қарапайымдарының бірнешеуін ғана таңдаймыз.

(а) Бөлшектер б/q, қайда бжәне q i1 ерікті бүтін сандар (үшін q= 1 қарапайым бүтін сандарды аламыз). Бөлшектер б/qтопты көбейтуге қатысты топ құру ( б/q) *(r/с) = (пр)/(qs). (1), (2), (3) қасиеттер арифметика аксиомаларынан туындайды. Шынымен, [( б/q) *(r/с)] *(т/u) = (prt)/(qsu) = (б/q)*[(r/с)*(т/u)]. Сәйкестендіру элементі 1 = 1/1 саны, өйткені (1/1)*( б/q) = (1H б)/(1H q) = б/q. Соңында бөлшекке кері элемент б/q, бөлшек болып табылады q/б, өйткені ( б/q)*(q/б) = (pq)/(pq) = 1.

(b) ретінде қарастыру Г 0, 1, 2, 3 және сияқты төрт бүтін сандар жиыны а*б- Бөлімнің қалдығы а + б 4. Осылайша енгізілген операцияның нәтижелері Кестеде көрсетілген. 1 (элемент а*бсызықтың қиылысында тұрады ажәне баған б). (1)–(3) сипаттарының қанағаттандырылғанын және 0 саны сәйкестендіру элементі екенін тексеру оңай.

(c) Біз таңдаймыз Г 1, 2, 3, 4 және сияқты сандар жиыны а*б- Бөлімнің қалдығы аб(қарапайым туынды) 5 бойынша. Нәтижесінде кестені аламыз. 2. (1)–(3) сипаттарының қанағаттандырылғанын және 1 сәйкестендіру элементі екенін тексеру оңай.

(d) 1, 2, 3, 4 төрт саны сияқты төрт нысанды 24 жолмен қатарға қоюға болады. Әрбір орынды «табиғи» орынды берілгенге ауыстыратын түрлендіру ретінде бейнелеуге болады; мысалы, 4, 1, 2, 3 орны түрлендіру нәтижесінде алынады

С: 1 ® 4, 2 ® 1, 3 ® 2, 4 ® 3,

оны неғұрлым ыңғайлы түрде жазуға болады

Кез келген екі түрлендіру үшін С, Танықтаймыз С*Тдәйекті орындау нәтижесінде болатын түрлендіру ретінде Т, сосын С. Мысалы, егер , онда . Бұл анықтамамен барлық 24 мүмкін түрлендірулер топ құрайды; оның идентификациялық элементі - , ал элемент - кері С, анықтамадағы көрсеткілерді ауыстыру арқылы алынады Скерісінше; мысалы, егер , онда .

Мұны алғашқы үш мысалдан байқау қиын емес а*б = б*а; мұндай жағдайларда топтық немесе топтық көбейту коммутативті деп аталады. Екінші жағынан, соңғы мысалда , демек Т*Серекшеленеді С*Т.

(d) мысалындағы топ деп аталатын ерекше жағдай. симметриялық топ, оның қолданылу аясына басқалармен қатар алгебралық теңдеулерді шешу әдістері мен атомдар спектрлеріндегі сызықтардың әрекеті кіреді. (b) және (c) мысалдарындағы топтар сандар теориясында маңызды рөл атқарады; мысалда (b) 4 санын кез келген бүтін санмен ауыстыруға болады n, ал 0-ден 3-ке дейінгі сандар - 0-ден дейінгі сандар n– 1 (қашан n= 12 біз жоғарыда айтқанымыздай, сағаттың беткі жағында орналасқан сандар жүйесін аламыз); (c) мысалында 5 санын кез келген санмен ауыстыруға болады жай сан Р, ал 1-ден 4-ке дейінгі сандар - 1-ден 4-ке дейінгі сандар б – 1.

Құрылымдар және изоморфизм.

Алдыңғы мысалдар топты құрайтын объектілердің табиғаты қаншалықты әртүрлі болатынын көрсетеді. Бірақ шын мәнінде, әрбір жағдайда бәрі бірдей сценарийге келеді: объектілер жиынтығының қасиеттерінен біз осы жиынды топқа айналдыратындарды ғана қарастырамыз (бұл толық емес білімнің мысалы!). Мұндай жағдайларда біз таңдаған топтық көбейту арқылы берілген топтық құрылымды қарастырамыз деп айтамыз.

Құрылымның тағы бір мысалы деп аталады. тапсырыс құрылымы. Көп Ереттік құрылыммен қамтамасыз етілген немесе элементтер арасында реттелген болса а è бтиесілі Е, кейбір қатынасы берілген, оны біз белгілейміз Р (а,б). (Мұндай қатынас элементтердің кез келген жұбы үшін мағынасы болуы керек Е, бірақ жалпы ол кейбір жұптар үшін жалған, ал басқалары үшін дұрыс, мысалы, 7 қатынасы

(1) Р (а,а) әрқайсысы үшін дұрыс аиелігінде Е;

(2) шығады Р (а,б) және Р (б,а) содан кейін а = б;

(3) шығады Р (а,б) және Р (б,в) керек Р (а,в).

Әртүрлі реттелген жиынтықтардың үлкен санынан бірнеше мысал келтірейік.

(а) Ебарлық бүтін сандардан тұрады, Р (а,б) қатынас» ааз немесе тең б».

(б) Е>1 барлық бүтін сандардан тұрады, Р (а,б) қатынас» абөледі бнемесе тең б».

Құрылымның соңғы мысалы ретінде метрикалық кеңістіктің құрылымын айтамыз; мұндай құрылым жиынтықта берілген Е, егер элементтердің әрбір жұбы ажәне бтиесілі Е, нөмірді сәйкестендіре аласыз г (а,б) i 0 келесі қасиеттерді қанағаттандырады:

(1) г (а,б) = 0, егер және тек егер а = б;

(2) г (б,а) = г (а,б);

(3) г (а,в) Ј г (а,б) + г (б,в) кез келген үш элемент үшін а, б, вбастап Е.

Метрикалық кеңістіктерге мысалдар келтірейік:

(а) әдеттегі «үш өлшемді» кеңістік, мұнда г (а,б) әдеттегі (немесе «евклидтік») қашықтық;

(b) шардың беті, мұндағы г (а,б) екі нүктені қосатын шеңбердің ең кіші доғасының ұзындығы ажәне бсферада;

Құрылым ұғымының нақты анықтамасы өте қиын. Егжей-тегжейлі айтпай-ақ, түсірілім алаңында деп айта аламыз Ебелгілі бір типті құрылым, егер жиынның элементтері арасында болса Е(және кейде басқа объектілер, мысалы, көмекші рөл атқаратын сандар) қарастырылып отырған типтің құрылымын сипаттайтын кейбір тіркелген аксиомалар жиынтығын қанағаттандыратын қатынастар беріледі. Жоғарыда біз құрылымдардың үш түрінің аксиомаларын келтірдік. Әрине, теориялары толық дамыған құрылымдардың көптеген басқа түрлері бар.

Көптеген дерексіз ұғымдар құрылым ұғымымен тығыз байланысты; Ең маңыздыларының бірін ғана атайық – изоморфизм ұғымы. Алдыңғы бөлімдегі (b) және (c) топтарының мысалын еске түсіріңіз. Оны Tab арқылы тексеру оңай. 1 үстелге. 2 сәйкестендіру арқылы шарлауға болады

0 ® 1, 1 ® 2, 2 ® 4, 3 ® 3.

Бұл жағдайда берілген топтар изоморфты деп айтамыз. Жалпы, екі топ Гжәне Гμ изоморфты, егер топ элементтерінің арасында болса Гжәне топ элементтері Г¢ мұндай жеке хат алмасуды орнатуға болады а « а¢ егер в = а*б, содан кейін вў = аў* б¢ тиісті элементтер үшін Гў. Топ теориясынан топ үшін дұрыс болатын кез келген мәлімдеме Г, топ үшін жарамды болып қалады Г¢ және керісінше. Алгебралық топтар Гжәне Г¢ ажыратылмайды.

Оқырман дәл осылай екі изоморфты реттелген жиынды немесе екі изоморфты метрикалық кеңістікті анықтауға болатынын оңай көреді. Изоморфизм түсінігі кез келген типтегі құрылымдарға таралатынын көрсетуге болады.

Жіктеу

Математиканың ескі және жаңа классификациялары.

Құрылым ұғымы және онымен байланысты басқа да ұғымдар қазіргі математикада таза «техникалық» тұрғыдан да, философиялық және әдіснамалық тұрғыдан да орталық орын алды. Құрылымдардың негізгі түрлерінің жалпы теоремалары математикалық «техниканың» аса қуатты құралдары ретінде қызмет етеді. Математик өзі зерттейтін объектілер құрылымның белгілі бір түрінің аксиомаларын қанағаттандыратынын көрсете алған сайын, ол осы типтегі құрылым теориясының барлық теоремаларының өзі зерттейтін нақты объектілерге қолданылатынын дәлелдейді (бұл жалпы теоремаларсыз ол олардың нақты нұсқалары назардан тыс қалуы мүмкін немесе олардың пайымдауларын қажетсіз болжамдармен ауырлатуға мәжбүр болуы мүмкін). Сол сияқты, егер екі құрылым изоморфты екендігі дәлелденсе, онда теоремалар саны бірден екі еселенеді: құрылымдардың біреуі үшін дәлелденген әрбір теорема екіншісіне сәйкес теореманы бірден береді. Сондықтан өте күрделі және қиын теориялардың болуы таңқаларлық емес, мысалы, сандар теориясындағы «таптық өріс теориясы», оның негізгі мақсаты құрылымдардың изоморфизмін дәлелдеу.

Философиялық тұрғыдан алғанда құрылымдар мен изоморфизмдердің кеңінен қолданылуы қазіргі математиканың басты ерекшелігін – математикалық «объектілердің» «табиғаты» шын мәнінде маңызды емес, тек объектілер арасындағы қатынастардың маңызды (бір түрі) екендігін көрсетеді. толық емес білім принципі).

Ақырында, құрылым ұғымы математиканың бөлімдерін жаңаша жіктеуге мүмкіндік бергенін айтпай кетуге болмайды. 19 ғасырдың ортасына дейін. олар зерттеу тақырыбына қарай ерекшеленді. Арифметика (немесе сандар теориясы) бүтін сандарды, геометрия түзулерді, бұрыштарды, көпбұрыштарды, шеңберлерді, аудандарды және т.б. қарастырды. Алгебра тек қана сандық теңдеулер немесе теңдеулер жүйесін шешу әдістерімен айналысты; аналитикалық геометрия геометриялық есептерді баламалы алгебралық есептерге түрлендіру әдістерін әзірледі. Математиканың «математикалық талдау» деп аталатын тағы бір маңызды саласының қызығушылықтарының ауқымы негізінен дифференциалдық және интегралдық есептеулерді және олардың геометрияға, алгебраға және жұп сандар теориясына әртүрлі қолданбаларын қамтыды. Бұл қолданбалардың саны өсті, олардың маңыздылығы да арта түсті, бұл математикалық талдаудың ішкі бөлімдерге бөлінуіне әкелді: функциялар теориясы, дифференциалдық теңдеулер (жай және жеке туындылар), дифференциалдық геометрия, вариациялар есептеулері және т.б.

Көптеген қазіргі математиктер үшін бұл тәсіл алғашқы натуралистердің жануарларды жіктеу тарихын еске түсіреді: бір кездері теңіз тасбақасы да, тунец де суда өмір сүретіндіктен және ұқсас ерекшеліктеріне ие болғандықтан балық болып саналған. Заманауи көзқарас бізге бетінде не жатқанын көруді ғана емес, сонымен қатар тереңірек үңіліп, математикалық объектілердің алдамшы көрінісінің артында жатқан іргелі құрылымдарды тануға тырысуды үйретті. Осы тұрғыдан алғанда құрылымдардың ең маңызды түрлерін зерттеу маңызды. Біздің қолымызда бұл түрлердің толық және түпкілікті тізімі болуы екіталай; олардың кейбіреулері соңғы 20 жылда ашылды және болашақта одан да көп ашылулар күтуге толық негіз бар. Дегенмен, бізде құрылымдардың көптеген негізгі «дерексіз» түрлері туралы түсінік бар. (Математиканың «классикалық» объектілерімен салыстырғанда олар «абстрактілі» болып табылады, дегенмен оларды «конкреттік» деп атауға болмайды; бұл абстракциялық дәрежесі туралы мәселе).

Белгілі құрылымдарды құрамындағы қатынастарға қарай немесе күрделілігіне қарай жіктеуге болады. Бір жағынан, «алгебралық» құрылымдардың кең блогы бар, оның ерекше жағдайы, мысалы, топтық құрылым; басқа алгебралық құрылымдар арасында біз сақиналар мен өрістерді атаймыз ( см. сондай-ақАЛГЕБРА РЕФЕРАТ). Алгебралық құрылымдарды зерттеумен айналысатын математика саласы кәдімгі немесе классикалық алгебрадан айырмашылығы «қазіргі алгебра» немесе «абстрактілі алгебра» деп аталды. Евклидтік геометрияның, евклидтік емес геометрияның және аналитикалық геометрияның маңызды бөлігі де жаңа алгебраның бөлігі болды.

Бірдей жалпылық деңгейінде басқа екі құрылым блогы бар. Олардың бірі жалпы топология деп аталатын құрылым түрлерінің теорияларын қамтиды, олардың нақты жағдайы метрикалық кеңістіктің құрылымы болып табылады ( см. ТОПОЛОГИЯ; дерексіз кеңістіктер). Үшінші блок реттік құрылымдар мен олардың кеңейтімдері теорияларынан тұрады. Құрылымның «кеңейуі» бар аксиомаларға жаңаларын қосудан тұрады. Мысалы, төртінші аксиома ретінде топтың аксиомаларына коммутативтілік қасиетін қоссақ. а*б = б*а, онда коммутативті (немесе абелиандық) топтың құрылымын аламыз.

Осы үш блоктың соңғы екеуі соңғы кезге дейін салыстырмалы түрде тұрақты күйде болды, ал «қазіргі алгебра» блогы тез, кейде күтпеген бағытта өсті (мысалы, «гомологиялық алгебра» деп аталатын тұтас бір сала әзірленді). деп аталатыннан тыс. Құрылымдардың «таза» түрлері тағы бір деңгейде жатыр - «аралас» құрылымдар, мысалы, алгебралық және топологиялық, оларды байланыстыратын жаңа аксиомалармен бірге. Осындай көптеген комбинациялар зерттелді, олардың көпшілігі екі кең блокқа – «топологиялық алгебра» және «алгебралық топология» кіреді.

Біріктірілген бұл блоктар көлемі жағынан ғылымның өте қатты «абстрактілі» саласын құрайды. Көптеген математиктер классикалық теорияларды жақсырақ түсінуге және күрделі есептерді жаңа құралдармен шешуге үміттенеді. Шынында да, абстракциялау мен жалпылаудың тиісті деңгейімен ежелгілердің мәселелері жаңа көзқараста пайда болуы мүмкін, бұл олардың шешімдерін табуға мүмкіндік береді. Классикалық материалдың үлкен бөліктері жаңа математиканың ықпалында болды және басқа теориялармен өзгертілді немесе біріктірілді. Қазіргі заманғы әдістер соншалықты терең енбеген кең аумақтар қалды. Мысал ретінде теорияны келтіруге болады дифференциалдық теңдеулержәне сандар теориясының көп бөлігі. Құрылыстардың жаңа түрлері ашылып, мұқият зерттелгеннен кейін бұл салаларда айтарлықтай ілгерілеушілікке қол жеткізуі әбден мүмкін.

ФИЛОСОФИЯЛЫҚ ҚИЫНДЫҚТАР

Математикалық теорияның қайшылықсыз болуы керектігін ежелгі гректер де анық түсінді. Бұл аксиомалардан логикалық нәтиже ретінде тұжырымды шығару мүмкін емес дегенді білдіреді Ржәне оны жоққа шығару П. Дегенмен, математикалық объектілердің нақты әлемде сәйкестіктері бар, ал аксиомалар - табиғат заңдарының «идеализациясы» деп есептелетіндіктен, математиканың жүйелілігіне ешкімнің күмәні болған жоқ. Классикалық математикадан қазіргі математикаға көшуде жүйелілік мәселесі басқа мағынаға ие болды. Кез келген математикалық теорияның аксиомаларын таңдау еркіндігі жүйелілік шартымен анық шектелуі керек, бірақ бұл шарттың орындалатынына сенімді болу мүмкін бе?

Жиын ұғымын жоғарыда айттық. Бұл ұғым әрқашан математика мен логикада азды-көпті түрде қолданылған. 19 ғасырдың екінші жартысында жиынтық түсінігімен жұмыс істеудің қарапайым ережелері ішінара жүйеленді, сонымен қатар, аталғандардың мазмұнын құрайтын кейбір маңызды нәтижелер алынды. жиындар теориясы ( см. сондай-ақЖиындар теориясы), ол барлық басқа математикалық теориялардың субстратына айналды. Ежелгі дәуірден 19 ғасырға дейін. Шексіз жиындар туралы қорқыныш болды, мысалы, Зенонның әйгілі парадокстарында көрініс тапты (б.з.б. 5 ғ.). Бұл қорқыныштар ішінара метафизикалық болды, ал ішінара шамаларды өлшеу тұжырымдамасымен байланысты қиындықтарға байланысты болды (мысалы, ұзындық немесе уақыт). Бұл қиындықтар 19 ғасырдан кейін ғана жойылды. математикалық талдаудың негізгі ұғымдары қатаң түрде айқындалды. 1895 жылға қарай барлық қорқыныштар жойылды және математика жиындар теориясының мызғымас негізіне сүйенетін сияқты болды. Бірақ келесі онжылдықта жиындар теориясының (және математиканың барлық қалған бөліктері) тән сәйкессіздігін көрсететін жаңа дәлелдер пайда болды.

Жаңа парадокстар өте қарапайым болды. Олардың біріншісі – Рассел парадоксын «шаштараз парадоксы» деп аталатын қарапайым нұсқада қарастыруға болады. Белгілі бір қалада шаштараз қырынбайтын тұрғындардың барлығын қырады. Кім шаштаразды өзі қырады? Егер шаштараз қырынса, онда ол қырынбайтын тұрғындарды ғана емес, өзі қыратын бір тұрғынды да қырады; егер ол өзі қырынбайтын болса, онда ол өзі қырынбайтын қала тұрғындарының бәрін де қырмайды. Бұл түрдегі парадокс «барлық жиынтықтар жиынтығы» түсінігі қарастырылғанда туындайды. Бұл математикалық объект өте табиғи болып көрінгенімен, ол туралы пайымдау тез қайшылықтарға әкеледі.

Берридің парадоксы одан да айқын. Он жеті сөзден аспайтын барлық орыс тіліндегі сөз тіркестерінің жиынтығын қарастырыңыз; орыс тіліндегі сөздердің саны шекті, сондықтан мұндай сөз тіркестерінің саны да шекті. Олардың арасынан кейбір бүтін санды бірегей түрде анықтайтындарды таңдаймыз, мысалы: «Ең үлкен тақ сан оннан аз». Мұндай тіркестердің саны да шекті; демек, олар анықтайтын бүтін сандар жиыны да шекті. Осы сандардың ақырлы жиынын арқылы белгілеңіз D. Арифметика аксиомаларынан тиесілі емес бүтін сандар болатыны шығады D, және бұл сандардың ішінде ең кішісі бар n. Бұл сан n«Он жеті орыс сөзінен аспайтын сөз тіркесімен анықтауға болмайтын ең кіші бүтін сан» деген сөз тіркесімен ерекше анықталады. Бірақ бұл тіркесте тура он жеті сөз бар. Сондықтан ол санды анықтайды nтиесілі болуы керек D, және біз парадоксалды қайшылыққа келеміз.

Интуиционистер мен формалистер.

Жиын теориясының парадокстарынан туындаған күйзеліс әртүрлі реакцияларды тудырды. Кейбір математиктер әбден бекініп, математика әу бастан дұрыс емес бағытта дамыды және мүлде басқа негізге негізделуі керек деген пікір білдірді. Мұндай «интуиционистердің» көзқарасын (олар өздерін солай атай бастады) қандай да бір дәлдікпен сипаттау мүмкін емес, өйткені олар өз көзқарастарын таза логикалық схемаға келтіруден бас тартты. Интуиционистердің көзқарасы бойынша, логикалық процестерді интуитивті түрде бейнеленбейтін объектілерге қолдану дұрыс емес. Жалғыз интуитивті анық нысандар - натурал сандар 1, 2, 3,... және ақырлы жиындар натурал сандар, нақты көрсетілген ережелерге сәйкес «салынған». Бірақ мұндай объектілерге де интуиционистер классикалық логиканың барлық шегерімдерін қолдануға мүмкіндік бермеді. Мысалы, олар мұны ешбір мәлімдеме үшін мойындамады Рда рас Р, әлде жоқ па- Р. Қолдарында осындай шектеулі құралдардың арқасында олар «парадокстардан» оңай құтылды, бірақ осылайша олар қазіргі заманғы математиканың барлығын ғана емес, сонымен қатар классикалық математика нәтижелерінің маңызды бөлігін, ал қалғандары үшін жаңа, күрделірек дәлелдер табу керек болды.

Қазіргі математиктердің басым көпшілігі интуиционистердің дәлелдерімен келіспеді. Интуиционист емес математиктер парадокстарда қолданылатын аргументтер жиындар теориясымен қарапайым математикалық жұмыста қолданылатындардан айтарлықтай ерекшеленетінін байқады, сондықтан мұндай аргументтерді қолданыстағы математикалық теорияларға нұқсан келтірместен заңсыз деп алып тастау керек. Тағы бір байқау, «парадокстар» пайда болғанға дейін өмір сүрген «аңғал» жиындар теориясында «жиын», «қасиет», «қарым-қатынас» терминдерінің мағынасы күмәнданбады - классикалық геометриядағы сияқты «интуитивтік» қарапайым геометриялық ұғымдардың табиғаты. Демек, геометриядағыдай жолмен жүруге болады, атап айтқанда, «интуицияға» жүгінудің барлық әрекеттерін жоққа шығарып, жиындар теориясының бастапқы нүктесі ретінде дәл тұжырымдалған аксиомалар жүйесін алуға болады. Алайда, «меншік» немесе «қарым-қатынас» сияқты сөздердің үйреншікті мағынасынан қалай айырылатыны анық емес; бірақ егер біз Берри парадоксы сияқты дәлелдерді жоққа шығарғымыз келсе, мұны істеу керек. Әдіс аксиомаларды немесе теоремаларды тұжырымдау кезінде қарапайым тілді қолданудан бас тартудан тұрады; тек қана қатаң ережелердің айқын жүйесіне сәйкес құрылған сөйлемдер математикада «қасиет» немесе «қарым-қатынас» ретінде рұқсат етіледі және аксиомалардың тұжырымына кіреді. Бұл процесс формализация деп аталады. математикалық тіл(қарапайым тілдегі көмескі сөздерден туындайтын шатасуды болдырмау үшін, бір қадам алға басып, формальданған сөйлемдердегі сөздердің өзін арнайы таңбалармен ауыстыру ұсынылады, мысалы, «және» жалғаулығын & таңбасымен, «немесе» жалғаулығын ауыстыру ұсынылады. b белгісімен, $ белгісімен «бар» және т.б.). Интуиционистер ұсынған әдістерді жоққа шығарған математиктер «формалист» деп атала бастады.

Алайда бастапқы сұраққа жауап берілмеді. «Аксиоматикалық жиындар теориясы» қайшылықтардан таза ма? 1920 жылдары Д.Гильберт (1862-1943) және оның мектебі «формальды» теориялардың сәйкестігін дәлелдеудің жаңа әрекеттерін жасады және оларды «метаматематика» деп атады. Негізінде, метаматематика «қолданбалы математиканың» бөлімі болып табылады, мұнда математикалық пайымдаулар қолданылатын объектілер формальданған теорияның ұсыныстары және олардың дәлелдемелердегі орналасуы болып табылады. Бұл сөйлемдерді белгілі бір белгіленген ережелерге сәйкес жасалған, осы таңбалардың ықтимал «мағынасына» ешбір сілтемесіз (егер бар болса) таңбалардың материалдық комбинациясы ретінде ғана қарастыру керек. Шахмат ойыны жақсы ұқсастық бола алады: таңбалар фигураларға, сөйлемдер тақтадағы әртүрлі позицияларға және фигураларды жылжыту ережелеріне қорытындылар. Формалданған теорияның дәйектілігін анықтау үшін бұл теорияда бірде-бір дәлел 0 No 0 бекітумен аяқталмайтынын көрсету жеткілікті. Дегенмен, математикалық дәлелдердің сәйкестігінің «метаматематикалық» дәлелінде математикалық аргументтерді қолдануға қарсылық білдіруге болады. теория; егер математика сәйкес келмейтін болса, онда математикалық дәлелдер барлық күшін жоғалтады және біз тұйық шеңбер жағдайында болар едік. Бұл қарсылықтарға жауап беру үшін Гильберт интуиционистер қолайлы деп санайтын түрдегі өте шектеулі математикалық пайымдауды метаматематикада қолдануға рұқсат берді. Алайда, К.Годель көп ұзамай (1931) арифметиканың дәйектілігін, егер ол шынымен сәйкес болса, мұндай шектеулі құралдармен дәлелдеуге болмайтынын көрсетті (бұл мақаланың ауқымы осы тамаша нәтижеге қол жеткізуге болатын тапқыр әдісті ұсынуға мүмкіндік бермейді, және метаматематиканың одан әрі тарихы).

Қазіргі проблемалық жағдайды формалистік тұрғыдан қорыта отырып, оның әлі аяқталмағанын мойындауымыз керек. Жиын ұғымын пайдалану белгілі парадокстарды болдырмау үшін әдейі енгізілген ескертпелермен шектелді және аксиоматизацияланған жиынтық теориясында жаңа парадокстардың пайда болмайтынына кепілдік жоқ. Соған қарамастан аксиоматикалық жиындар теориясының шектеулері жаңа өміршең теориялардың дүниеге келуіне кедергі бола алмады.

МАТЕМА ЖӘНЕ НАҚТЫ ӘЛЕМ

Математиканың тәуелсіздігі туралы мәлімдемелерге қарамастан, математика мен физикалық әлем бір-бірімен байланысты екенін ешкім жоққа шығармайды. Әрине, классикалық физика есептерін шешудің математикалық тәсілі күшінде қалады. Математиканың өте маңызды саласында, атап айтқанда дифференциалдық теңдеулер, жай және дербес туындылар теориясында физика мен математиканың өзара байыту процесі айтарлықтай жемісті екені де рас.

Математика микроәлемдегі құбылыстарды түсіндіруде пайдалы. Дегенмен, математиканың жаңа «қолданбалары» классикалықтан айтарлықтай ерекшеленеді. Физиканың маңызды құралдарының бірі ықтималдық теориясы болды, ол бұрын негізінен құмар ойындар мен сақтандыру теорияларында қолданылған. Физиктер «атомдық күйлермен» немесе «өтпелермен» байланыстыратын математикалық объектілер өте абстрактілі және оларды математиктер кванттық механика пайда болғанға дейін көп бұрын енгізген және зерттеген. Алғашқы табыстардан кейін күрделі қиындықтар туындағанын қосу керек. Бұл физиктер математикалық идеяларды неғұрлым нәзік аспектілерге қолдануға тырысқан уақытта болды. кванттық теория; соған қарамастан, көптеген физиктер әлі де жаңа математикалық теорияларды асыға күтеді, олар жаңа есептерді шешуге көмектеседі деп сенеді.

Математика - ғылым немесе өнер?

Ықтималдықтар теориясын немесе математикалық логиканы «таза» математикаға қоссақ та, қазіргі уақытта басқа ғылымдар белгілі математикалық нәтижелердің 50%-дан азын пайдаланады екен. Қалған жартысы туралы не ойлауымыз керек? Басқаша айтқанда, математиканың физикалық есептерді шешуге қатысы жоқ салаларының артында қандай мотивтер жатыр?

Теоремалардың бұл түрінің типтік өкілі ретінде санның иррационалдылығын жоғарыда айттық. Тағы бір мысал – Дж.-Л.Лагранж (1736–1813) дәлелдеген теорема. Оны «маңызды» немесе «әдемі» деп атамайтын математик жоқ шығар. Лагранж теоремасы бірден үлкен немесе оған тең кез келген бүтін санды ең көбі төрт санның квадраттарының қосындысы ретінде көрсетуге болатынын айтады; мысалы, 23 = 3 2 + 3 2 + 2 2 + 1 2 . Қазіргі жағдайда бұл нәтиженің кез келген эксперименттік мәселені шешуде пайдалы болуы мүмкін емес. Рас, бүгінде физиктер бүтін сандармен бұрынғыға қарағанда әлдеқайда жиі айналысады, бірақ олармен жұмыс істейтін бүтін сандар әрқашан шектеулі (олар сирек жүзден асады); сондықтан Лагранж сияқты теорема қандай да бір шекарадан шықпайтын бүтін сандарға қолданылғанда ғана «пайдалы» болуы мүмкін. Бірақ біз Лагранж теоремасын тұжырымдауды шектей салысымен, ол математикті бірден қызықтыруды тоқтатады, өйткені бұл теореманың барлық тартымды күші оның барлық бүтін сандарға қолданылуында жатыр. (Бүтін сандар туралы көптеген мәлімдемелер бар, оларды компьютерлермен сынауға болады үлкен сандар; бірақ, жалпы дәлел табылмаған соң, олар гипотетикалық болып қалады және кәсіби математиктерді қызықтырмайды.)

Кез келген салада, мейлі ол астрономияда немесе биологияда жұмыс істейтін ғалымдар үшін жедел қолданудан алыс тақырыптарға назар аудару ерекше емес. Дегенмен, эксперимент нәтижесін нақтылауға және жақсартуға болатынымен, математикалық дәлелдеу әрқашан түпкілікті болып табылады. Сондықтан математиканы немесе оның «шындыққа» еш қатысы жоқ бөлігін өнер ретінде қарастыру азғыруына қарсы тұру қиын. Математикалық есептер сырттан жүктелмейді, ал егер қазіргі көзқарасты алсақ, материалды таңдауда біз толығымен еркінміз. Кейбір математикалық жұмыстарды бағалау кезінде математиктерде «объективті» критерийлер болмайды және олар өздерінің «талғамына» сүйенуге мәжбүр болады. Дәмі заманға, елге, салт-дәстүрге және жеке адамдарға байланысты әр түрлі болады. Қазіргі математикада сәндер мен «мектептер» бар. Қазіргі уақытта мұндай үш «мектеп» бар, оларды ыңғайлы болу үшін «классицизм», «модернизм» және «абстракционизм» деп атаймыз. Олардың арасындағы айырмашылықтарды жақсырақ түсіну үшін математиктер теореманы немесе теоремалар тобын бағалау кезінде қолданатын әртүрлі критерийлерді талдап көрейік.

(1) Жалпы пікірге сәйкес, «әдемі» математикалық нәтиже тривиальды емес болуы керек, яғни. аксиомалардың немесе бұрын дәлелденген теоремалардың айқын салдары болмауы керек; дәлелдеудің кейбіреулері қолданылуы керек жаңа идеянемесе ескі идеяларды тапқыр қолдану. Басқаша айтқанда, математик үшін нәтиженің өзі емес, оны алуда кездескен қиындықтарды жеңу процесі маңызды.

(2) Кез келген математикалық есептің өз тарихы, былайша айтқанда, «тектік» бар, ол сол жалпы заңдылық бойынша жүреді, соған сәйкес кез келген ғылымның тарихы дамиды: алғашқы табыстардан кейін, жауапқа дейін белгілі бір уақыт өтуі мүмкін. қойылған сұрақ табылды. Шешім қабылданған кезде оқиға мұнымен аяқталмайды, өйткені кеңею мен жалпылаудың белгілі процестері басталады. Мысалы, жоғарыда аталған Лагранж теоремасы кез келген бүтін санды текшелердің қосындысы, 4, 5 дәрежелері және т.б. ретінде көрсету мәселесіне әкеледі. Міне, осылайша түпкілікті шешімін таппаған «Сақтық мәселесі» туындайды. Сондай-ақ, сәті түссе, біз шешкен мәселе бір немесе бірнеше іргелі құрылымдарға қатысты болып шығады және бұл өз кезегінде осы құрылымдарға қатысты жаңа мәселелерге әкеледі. Түпнұсқа теория ақырында «өліп» қалса да, ол көптеген тірі өсінділерді қалдыруға бейім. Қазіргі математиктер тәжірибелік ғылыммен барлық байланыс үзілсе де, оларды шешуге тағы бірнеше ғасырлар қажет болатын есептердің орасан зор шашырауымен бетпе-бет келіп отыр.

(3) Әрбір математик оған жаңа есеп ұсынылғанда, оны кез келген тәсілмен шешу оның міндеті екеніне келіседі. Мәселе классикалық математикалық объектілерге қатысты болғанда (классиктер объектілердің басқа түрлерімен сирек айналысады), классиктер оны тек классикалық құралдарды пайдалана отырып шешуге тырысады, ал басқа математиктер тапсырмаға қатысты жалпы теоремаларды пайдалану үшін көбірек «абстрактілі» құрылымдарды енгізеді. Бұл көзқарас айырмашылығы жаңа емес. 19 ғасырдан бастап. математиктер мәселенің таза күшпен шешімін табуға ұмтылатын «тактиктерге» және жауды шағын күштермен талқандауға мүмкіндік беретін айналма жолдарға бейім «стратегтерге» бөлінеді.

(4) Теореманың «сұлулығының» маңызды элементі оның қарапайымдылығы болып табылады. Әрине, қарапайымдылықты іздеу барлық ғылыми ойларға тән. Бірақ эксперименттер тек мәселе шешілсе, «ұсқынсыз шешімдерге» шыдауға дайын. Сол сияқты, математикада классиктер мен абстракционистер «патологиялық» нәтижелердің пайда болуына аса алаңдамайды. Екінші жағынан, модернистер теорияда «патологиялардың» пайда болуын іргелі ұғымдардың жетілмегендігінің белгісі ретінде қарастыруға дейін барады.

Математикалық энциклопедия

Математикалық энциклопедия- математикалық тақырыптарға арналған бес томдық кеңестік энциклопедиялық басылым. -1985 жылы «Советский энциклопедия» баспасынан шыққан. Бас редактор: Академик И.М.Виноградов.

Бұл математиканың барлық негізгі салалары бойынша іргелі суреттелген басылым. Кітапта тақырып бойынша ауқымды материалдар, атақты математиктердің өмірбаяндары, сызбалар, графиктер, диаграммалар мен диаграммалар бар.

Жалпы көлемі: шамамен 3000 бет. Мақалаларды томдар бойынша бөлу:

1-том: Абак – Гюйгенс принципі, 576 б.
2-том: D'Alembert Operator - Co-op Game, 552 pp.
3-том: Координаталар – монономдық, 592 б.б.
4-том: Теореманың көзі – Күрделі функция, 608 б.
5-том: Кездейсоқ айнымалы – ұяшық, 623 б.б.
5 томға қосымша: пәндік көрсеткіш, байқалған баспа қателерінің тізімі.

Сілтемелер

Математикадан жалпы және арнайы анықтамалықтар мен энциклопедиялар «Математикалық теңдеулер әлемі» порталында, онда энциклопедияны электронды түрде жүктеп алуға болады.

Санаттар:

Кітаптар алфавит бойынша
Математикалық әдебиеттер
энциклопедиялар
«Советский энциклопедия» баспасының кітаптары
КСРО энциклопедиясы

Викимедиа қоры. 2010 ж.

Математикалық химия
Кванттық механиканың математикалық негіздері

Басқа сөздіктерде «Математикалық энциклопедияның» не екенін қараңыз:

математикалық логика- (теориялық логика, символдық логика) математика негіздерінің дәлелдемелері мен сұрақтарын зерттейтін математика саласы. «Қазіргі математикалық логиканың пәні алуан түрлі». П.С.Порецкийдің анықтамасы бойынша «математикалық ... ... Википедия

Энциклопедия- (жаңа лат. энциклопедия (16 ғасырдан ерте емес) басқа грек тілінен ἐγκύκλιος παιδεία «толық шеңберде оқыту», κύκλος үйірмесі және παιδδεοία ...ақылы оқыту жүйесіне Wiiaped ...

ЭНЦИКЛОПЕДИЯ- (грек тілінен. enkyklios payeia білімнің барлық ауқымында оқыту), ғылыми. немесе ғылыми жүйелеуді қамтитын танымал анықтамалық. білім жиынтығы. Е.-дегі материал алфавиттік немесе жүйелі түрде орналастырылған. принципі (білім салалары бойынша). ... ... Жаратылыстану. энциклопедиялық сөздік

МАТЕМАТИКАЛЫҚ ЛОГИКА- екіншіден келген қазіргі логиканың бір атауы. қабат. 19 ерте 20 ғасыр дәстүрлі логиканың орнына. Символдық логика термині логика ғылымының дамуындағы қазіргі кезеңнің басқа атауы ретінде де қолданылады. Анықтама…… Философиялық энциклопедия

МАТЕМАТИКАЛЫҚ ШЕКСІЗДІК- жалпы атау дек. математикадағы шексіздік идеясының жүзеге асуы. М.б. ұғымының мағыналары арасында болғанымен. және шексіздік термині қолданылатын басқа мағыналарда қатаң шекара жоқ (өйткені бұл ұғымдардың бәрі сайып келгенде өте ... ... көрсетеді. Философиялық энциклопедия

МАТЕМАТИКАЛЫҚ ИНДУКЦИЯ- толық математикалық индукция (математикада ол көбінесе жай толық индукция деп аталады; бұл жағдайда бұл ұғымды математикалық емес формальды логикада қарастырылатын толық индукция тұжырымдамасынан ажырату керек), - ...дағы жалпы сөйлемдерді дәлелдеу әдісі. ... Философиялық энциклопедия

МАТЕМАТИКАЛЫҚ ГИПОТЕЗА- зерттелетін құбылыстар өрісінің заңын білдіретін теңдеудің нысаны, түрі, сипатының болжамды өзгеруі, оған тән заңдылық ретінде оны жаңа, әлі зерттелмеген өріске кеңейту мақсатымен. М. қазіргі заманда кеңінен қолданылады. теориялық ...... Философиялық энциклопедия

САЯСИЙ ЭКОНОМИЯДАҒЫ МАТЕМАТИКАЛЫҚ МЕКТЕП- ағылшын. саяси экономиядағы математикалық мектеп; неміс mathematische Schule in der politischen Okonomie. 19 ғасырдың екінші жартысында пайда болған саясаттағы, экономикадағы бағытты оның өкілдері (Л. Вальрас, В. Парето, О. Джевонс, т.б.) ... ... берді. Әлеуметтану энциклопедиясы

ӘЛЕУМЕТТІК МАТЕМАТИКАЛЫҚ МЕКТЕП- ағылшын. әлеуметтанудағы математикалық мектеп; неміс Mathematische Schule in der Soziologie. 20 ғасырдың бірінші жартысында пайда болған социологиядағы бағыт, оның негізін салушылар (А. Зипф, Э. Додд және т.б.) әлеуметтанушы, теориялар ... ... деңгейіне жетеді деп есептеді. Әлеуметтану энциклопедиясы

Ғимараттар мен құрылыстардың математикалық моделі- Ғимараттар мен құрылыстардың математикалық (компьютерлік) моделі - жобалау, салу және ... ... кезінде туындайтын мәселелер кешенін шешу кезінде сандық есептеулер үшін ғимараттар мен құрылыстарды соңғы элементтер диаграммасы түрінде көрсету. Терминдер энциклопедиясы, құрылыс материалдарына анықтамалар мен түсініктемелер

Кітаптар

Математикалық энциклопедия (5 кітаптан тұратын жинақ), . Математикалық энциклопедия – математиканың барлық саласы бойынша ыңғайлы анықтамалық. Энциклопедия математиканың ең маңызды салаларына арналған мақалаларға негізделген. Орналасу принципі...

Математикалық энциклопедия – математиканың барлық салалары бойынша анықтамалық. Энциклопедия математиканың маңызды салаларына арналған шолу мақалаларына негізделген. Осы түрдегі мақалаларға қойылатын негізгі талап – презентацияның барынша қолжетімділігімен теорияның ағымдағы жағдайын шолудың ықтимал толықтығы; бұл мақалалар әдетте жоғары математика студенттеріне, аспиранттарға және математиканың сабақтас салаларындағы мамандарға, ал кейбір жағдайларда өз жұмысында математикалық әдістерді қолданатын білімнің басқа салаларындағы мамандарға, инженерлер мен математика мұғалімдеріне қолжетімді. Одан әрі математиканың жеке нақты есептері мен әдістері бойынша орта көлемді мақалалар беріледі; бұл мақалалар оқырмандардың тар шеңберіне арналған, сондықтан олардағы презентация азырақ қолжетімді болуы мүмкін. Ақырында, мақалалардың тағы бір түрі бар - қысқаша анықтамалар. Энциклопедияның соңғы томының соңында пәндік көрсеткіш қойылады, онда барлық мақалалардың тақырыптары ғана емес, сонымен қатар анықтамалары алғашқы екі түрдегі мақалалардың ішінде берілетін көптеген ұғымдар, сондай-ақ мақалаларда айтылған ең маңызды нәтижелер. Энциклопедия мақалаларының көпшілігінде әрбір тақырып бойынша реттік нөмірлері бар әдебиеттер тізімі қоса беріледі, бұл мақала мәтіндерінде сілтеме жасауға мүмкіндік береді. Мақалалардың соңында (әдетте) автор немесе дереккөз, егер мақала бұрын жарияланған болса (көбінесе бұл Ұлы Совет Энциклопедиясының мақалалары) көрсетіледі. Мақалада аталған шетелдік (ежелгі дәуірден басқа) ғалымдардың есімдері латын жазуымен (әдебиеттер тізіміне сілтеме болмаса) қоса беріледі.

Жүктеп алыңыз және оқыңыз Математикалық энциклопедия, 3-том, Виноградов И.М., 1982 ж.

Математикалық энциклопедия – математиканың барлық салалары бойынша анықтамалық. Энциклопедия математиканың маңызды салаларына арналған шолу мақалаларына негізделген. Осы түрдегі мақалаларға қойылатын негізгі талап – презентацияның барынша қолжетімділігімен теорияның ағымдағы жағдайын шолудың ықтимал толықтығы; бұл мақалалар әдетте жоғары математика студенттеріне, аспиранттарға және математиканың сабақтас салаларындағы мамандарға, ал кейбір жағдайларда өз жұмысында математикалық әдістерді қолданатын білімнің басқа салаларындағы мамандарға, инженерлер мен математика мұғалімдеріне қолжетімді. Одан әрі математиканың жеке нақты есептері мен әдістері бойынша орта көлемді мақалалар беріледі; бұл мақалалар оқырмандардың тар шеңберіне арналған, сондықтан олардағы презентация азырақ қолжетімді болуы мүмкін. Ақырында, мақалалардың тағы бір түрі бар - қысқаша анықтамалар. Энциклопедияның соңғы томының соңында пәндік көрсеткіш қойылады, онда барлық мақалалардың тақырыптары ғана емес, сонымен қатар анықтамалары алғашқы екі түрдегі мақалалардың ішінде берілетін көптеген ұғымдар, сондай-ақ мақалаларда айтылған ең маңызды нәтижелер. Энциклопедия мақалаларының көпшілігінде әрбір тақырып бойынша реттік нөмірлері бар әдебиеттер тізімі қоса беріледі, бұл мақала мәтіндерінде сілтеме жасауға мүмкіндік береді. Мақалалардың соңында (әдетте) автор немесе дереккөз, егер мақала бұрын жарияланған болса (көбінесе бұл Ұлы Совет Энциклопедиясының мақалалары) көрсетіледі. Мақалада аталған шетелдік (ежелгі дәуірден басқа) ғалымдардың есімдері латын жазуымен (әдебиеттер тізіміне сілтеме болмаса) қоса беріледі.

Жүктеп алыңыз және оқыңыз Математикалық энциклопедия, 2 том, Виноградов И.М., 1979 ж.

Математикалық энциклопедия – математиканың барлық салалары бойынша анықтамалық. Энциклопедия математиканың маңызды салаларына арналған шолу мақалаларына негізделген. Осы түрдегі мақалаларға қойылатын негізгі талап – презентацияның барынша қолжетімділігімен теорияның ағымдағы жағдайын шолудың ықтимал толықтығы; бұл мақалалар әдетте жоғары математика студенттеріне, аспиранттарға және математиканың сабақтас салаларындағы мамандарға, ал кейбір жағдайларда өз жұмысында математикалық әдістерді қолданатын білімнің басқа салаларындағы мамандарға, инженерлер мен математика мұғалімдеріне қолжетімді. Одан әрі математиканың жеке нақты есептері мен әдістері бойынша орта көлемді мақалалар беріледі; бұл мақалалар оқырмандардың тар шеңберіне арналған, сондықтан олардағы презентация азырақ қолжетімді болуы мүмкін. Ақырында, мақалалардың тағы бір түрі бар - қысқаша анықтамалар. Энциклопедияның соңғы томының соңында пәндік көрсеткіш қойылады, онда барлық мақалалардың тақырыптары ғана емес, сонымен қатар анықтамалары алғашқы екі түрдегі мақалалардың ішінде берілетін көптеген ұғымдар, сондай-ақ мақалаларда айтылған ең маңызды нәтижелер. Энциклопедия мақалаларының көпшілігінде әрбір тақырып бойынша реттік нөмірлері бар әдебиеттер тізімі қоса беріледі, бұл мақала мәтіндерінде сілтеме жасауға мүмкіндік береді. Мақалалардың соңында (әдетте) автор немесе дереккөз, егер мақала бұрын жарияланған болса (көбінесе бұл Ұлы Совет Энциклопедиясының мақалалары) көрсетіледі. Мақалада аталған шетелдік (ежелгі дәуірден басқа) ғалымдардың есімдері латын жазуымен (әдебиеттер тізіміне сілтеме болмаса) қоса беріледі.

Жүктеп алыңыз және оқыңыз Математикалық энциклопедия, 1-том, Виноградов И.М., 1977 ж.

Алгебра бастапқыда теңдеулерді шешуге қатысты математиканың бір саласы болды. Геометриядан айырмашылығы, алгебраның аксиоматикалық құрылысы 19 ғасырдың ортасына дейін, алгебра пәні мен табиғаты туралы түбегейлі жаңа көзқарас пайда болған кезде болған жоқ. Зерттеулер алгебралық құрылымдар деп аталатындарды зерттеуге көбірек назар аудара бастады. Мұның екі пайдасы болды. Бір жағынан, белгілі бір теоремалар дұрыс болатын салалар нақтыланды, екінші жағынан, бір дәлелдемелерді мүлдем басқа салаларда қолдану мүмкін болды. Алгебраның бұл бөлінуі 20 ғасырдың ортасына дейін созылды және екі атау пайда болуымен өз көрінісін тапты: «классикалық алгебра» және «қазіргі алгебра». Соңғысы басқа атаумен көбірек сипатталады: «абстрактілі алгебра». Өйткені, бұл бөлім – математикада алғаш рет толық абстракциямен сипатталды.

Шағын математикалық энциклопедияны жүктеп алыңыз және оқыңыз, Фрид Э., Пастор И., Рейман И., Ревс П., Руджа I., 1976 ж.

«Ықтималдықтар және математикалық статистика» - ықтималдық теориясы, математикалық статистика және олардың ғылым мен техниканың әртүрлі салаларында қолданылуы бойынша анықтамалық. Энциклопедия екі бөлімнен тұрады: негізгі бөлімде шолу мақалалары, жеке нақты мәселелер мен әдістерге арналған мақалалар, негізгі ұғымдарға анықтама беретін қысқаша анықтамалар, ең маңызды теоремалар мен формулалар бар. Қолданбалы мәселелерге – ақпарат теориясына, кезек теориясына, сенімділік теориясына, экспериментті жоспарлауға және онымен байланысты салаларға – физика, геофизика, генетика, демография және технологияның жекелеген бөлімдері маңызды орын алады. Мақалалардың көпшілігіне осы мәселе бойынша ең маңызды мақалалардың библиографиясы қоса беріледі. Мақаланың атаулары да ағылшын тіліндегі аудармасында берілген. Екінші бөлімде – «Ықтималдықтар теориясы және математикалық статистика бойынша оқырман» өткендегі орыс энциклопедиялары үшін жазылған мақалалар, сондай-ақ басқа еңбектерде бұрын жарияланған энциклопедиялық материалдар қамтылған. Энциклопедия ықтималдықтар теориясы мен математикалық статистика мәселелерін қамтитын журналдардың, мерзімді басылымдардың және тұрақты басылымдардың кең тізімімен бірге беріледі.
Энциклопедияға енгізілген материал ғылыми-зерттеу және практикалық жұмыстарында ықтималдық әдістерді қолданатын математика және басқа ғылымдар саласындағы студенттерге, аспиранттарға және зерттеушілерге қажет.

Математикалық энциклопедия – математиканың барлық салалары бойынша анықтамалық. Энциклопедия математиканың маңызды салаларына арналған шолу мақалаларына негізделген. Осы түрдегі мақалаларға қойылатын негізгі талап – презентацияның барынша қолжетімділігімен теорияның ағымдағы жағдайын шолудың ықтимал толықтығы; Бұл мақалалар әдетте жоғары математика студенттеріне, аспиранттарға және математиканың сабақтас салаларындағы мамандарға, ал кейбір жағдайларда – өз жұмыстарында математикалық әдістерді қолданатын білімнің басқа салаларындағы мамандарға, инженерлер мен математика мұғалімдеріне қолжетімді. Одан әрі математиканың жеке нақты есептері мен әдістері бойынша орта көлемді мақалалар беріледі; бұл мақалалар оқырмандардың тар шеңберіне арналған, сондықтан олардағы презентация азырақ қолжетімді болуы мүмкін. Ақырында, мақалалардың тағы бір түрі бар - қысқаша анықтамалар. Кейбір анықтамалар мақалалардың алғашқы екі түрінің ішінде берілген. Энциклопедия мақалаларының көпшілігінде әрбір тақырып бойынша реттік нөмірлері бар әдебиеттер тізімі қоса беріледі, бұл мақала мәтіндерінде сілтеме жасауға мүмкіндік береді. Мақалалардың соңында (әдетте) автор немесе дереккөз, егер мақала бұрын жарияланған болса (көбінесе бұл Ұлы Совет Энциклопедиясының мақалалары) көрсетіледі. Мақалада аталған шетелдік (ежелгі дәуірден басқа) ғалымдардың есімдері латын жазуымен (әдебиеттер тізіміне сілтеме болмаса) қоса беріледі.

Энциклопедиядағы мақалалардың орналасу принципі алфавиттік. Егер мақаланың тақырыбы синонимі бар термин болса, онда соңғысы негізгіден кейін беріледі. Көп жағдайда мақала атаулары екі немесе одан да көп сөзден тұрады. Мұндай жағдайларда терминдер не ең көп тараған түрде беріледі, не мағынасы жағынан негізгі сөз бірінші орынға қойылады. Егер мақаланың атауында жеке атау болса, ол бірінші орынға қойылады (мұндай мақалаларға пайдаланылған әдебиеттер тізімінде, әдетте, термин атауын түсіндіретін бастапқы дереккөз болады). Мақалалар тақырыптары көбінесе жекеше түрде беріледі.

Энциклопедияда басқа мақалаларға сілтемелер жүйесі кеңінен қолданылады, мұнда оқырман қарастырылатын тақырыпқа қосымша ақпарат таба алады. Анықтама мақаланың атауында кездесетін терминге қатысты емес.

Мақалалардағы орынды үнемдеу үшін энциклопедияларға арналған кейбір сөздердің әдеттегі аббревиатуралары қабылданған.

1 том бойынша жұмыс істеді

«Советтік энциклопедия» баспасының математика редакциясы – В.И.БИТИЮЦКОВ (Редакция меңгерушісі), М.И.ВОИЦЕХОВСКИЙ (ғылыми редактор), Ю.А.ГОРБКОВ (ғылыми редактор), А.Б.ИВАНОВ (О.В.А.В.А. редакторы), аға ғылыми редактор), Т. Ю. Л. Р. ХАБИБ (ор. редактор).

Баспа қызметкерлері: Е.П.РЯБОВА (әдеби редакция). Е.І.ЖАРОВА, Ә.М.МАРТЫНОВ (әдебиеттер тізімі). А.Ф.ДАЛКОВСКИЙ (транскрипция). Н.А.ФЕДОРОВ (Сатып алу бөлімі). 3. А. СУХОВА (Редакциялық суреттер). Е.И.АЛЕКСЕЕВА, Н.Ю.КРУЖАЛОВ (редакциялық сөздік). М.В.АКИМОВА, А.Ф.ПРОШКО (корректор). Г.В.СМИРНОВ (техникалық басылым).

Мұқаба суретші Р.И.МАЛАНИЧЕВ.

1-том туралы қосымша ақпарат

«Советский энциклопедия» баспасы

Энциклопедиялар сөздіктер анықтамалықтар

Баспаның ғылыми – редакциялық алқасы

А.М.ПРОХОРОВ (төраға), И.В.АБАШИДЗЕ, П.А.ӘЗІМОВ, А.П.АЛЕКСАНДРОВ, В.А.АМБАРЦУМЯН, И.И.АРТОБОЛЕВСКИЙ, А.В.АРЦИХОВСКИЙ, М.С.АСИМОВ , М.С. , В.В.Вольский, Б.М.Вул, Б.Г.Гафуров, С.Р.Гершберг, М.С.Гиляров, В.П.Глушко, В.М.Глушков, Г.Н.ГОЛИКОВ, Д.Б.ГУЛИЕВ, А.А.ГУСЕВ (төрағаның орынбасары), В.П., ГУСЕВ (төрағаның орынбасары), В. ИНОЗЕМЦЕВ, М И. Кабачник, С. В. Калесник, Г. А. Караваев, К. К. Қаракеев, М. К. Каратаев, Б. М. Кедров, Г. В. Келдыш, В. А. Кириллин және И. Л. КНУНЯНЦ, С. М. КОВАЛЕВ (бірінші орынбасары В. В. КОВАЛЕВ, В. В. (Төрағаның орынбасары), Б.В.КУКАРКИН, В.Г.КУЛИКОВ, И.А.Кутузов, П.П.Лобанов, Г.М.Лоза, Ю.Е.Максарев, П.А.Марков, А.И.Маркушевич, Ю.Ю.Обичкин, Б.Е.Патон, В.М.Полево. Я, М.А.Прокофьев, Ю.В.Прохоров, Н.Ф.Ростовцев, А.М.Румянцев, Б.А.Рыбаков, В.П.Самсон, М.И.Сладковский, В.И.Смирнов, Д.Н.СОЛОВЬЕВ (төрағаның орынбасары), В.Г.СОЛОВЬЕВ (төрағаның орынбасары), В.Г.СОЛОВЬЕВ, В.Г.СОЛОВЬЕВ, С.А. , С.А.ТОҚАРЕВ, В.А.Трапезников, Е.К.Федоров, М.Б.Храпченко, Е.И.Чазов, В.Н.Черниговский, Я.Е.Шмушкис және С.И.Юткевич Кеңес хатшысы Л.В.КИРИЛЛОВА.

Мәскеу 1977 ж

Математикалық энциклопедия. 1-том (A - D)

Бас редакторы И.М.ВИНОГРАДОВ

Редакциялық ұжым

С.И.АДЯН, П.С.АЛЕКСАНДРОВ, Н.С.БАХВАЛОВ, В.И.БИТЮЦКОВ (бас редактордың орынбасары), А.В.БИЦАДЗЕ, Л.Н.БОЛЬШЕВ, А.А.ГОНЧАР, Н.В.Ефимов, В.А., Ильинт, К., Ефимов, А.А., Ильинт, К. С.П.Новиков, және Е.Г.Позняк, Ю.В.ПРОХОРОВ (бас редактордың орынбасары), А.Г.СВЕШНИКОВ, А.Н.ТИХОНОВ, П.Л.УЛЬЯНОВ, А.И.ШИРШОВ, С.В.ЯБЛОНСКИЙ.

Математикалық энциклопедия. Ред. алқа: И. М. Виноградов (редакция меңгерушісі) [және басқалар] Т. 1 - М., « Совет энциклопедиясы«, 1977 ж

(Энциклопедиялар. Сөздіктер. Анықтамалар), 1-том. А – Ғ. 1977. 1152 ст. аурудан.

Комплектке тапсырылды 9. 06. 1976. Басуға қол қойылды 18. 02. 1977. Бірінші үлгілік баспаханада жасалған матрицалардан мәтінді басып шығару. Жданова А.А. Еңбек Қызыл Ту ордені, «Советский энциклопедия» баспасы. 109817. Мәскеу, Ж - 28, Покровский бульвары, 8. Т - 02616 Таралымы 150 000 дана. Тапсырыс № 418. Баспа қағазы № 1. Қағаз өлшемі 84xl08 1/14. 36-том физикалық б. l. ; 60, 48 конв. б. l. мәтін. 101, 82 шоттар - ред. л. Кітаптың бағасы 7 рубльді құрайды. 10 к.

Еңбек Қызыл Ту орденді Мәскеу №1 «Союзполиграфпром» баспаханасы сағ Мемлекеттік комитетКСРО Министрлер Кеңесі Баспа, полиграфия және кітап саудасы істері жөніндегі, Мәскеу қаласы, I - 85, Мира проспектісі, 105. Бұйрық N 865.