Дәріс

Комплекс санның тригонометриялық түрі

Жоспар

1.Күрделі сандардың геометриялық кескіні.

2. Комплекс сандардың тригонометриялық белгіленуі.

3.Әрекеттер қосулы күрделі сандартригонометриялық түрде.

Комплекс сандардың геометриялық кескіні.

а) Күрделі сандар жазықтықтың нүктелерімен келесі ереже бойынша көрсетіледі: а + би = М ( а ; б ) (1-сурет).

1-сурет

б) Комплекс санды нүктеден басталатын вектормен көрсетуге боладыО және осы нүктедегі соңы (2-сурет).

2-сурет

Мысал 7. Күрделі сандарды көрсететін нүктелер:1; - мен ; - 1 + мен ; 2 – 3 мен (3-сурет).

3-сурет

Комплекс сандардың тригонометриялық белгіленуі.

Күрделі санz = а + би радиус векторының көмегімен орнатуға болады координаталарымен( а ; б ) (Cурет 4).

4-сурет

Анықтама . Вектор ұзындығы күрделі санды білдіредіz , осы санның модулі деп аталады және белгіленеді немесеr .

Кез келген күрделі сан үшінz оның модуліr = | z | формуласымен бір мәнді анықталады .

Анықтама . Нақты осьтің оң бағыты мен вектор арасындағы бұрыштың шамасы күрделі санды білдіретін бұл күрделі санның аргументі деп аталады және белгіленедіА rg z немесеφ .

Күрделі сан аргументіz = 0 анықталмаған. Күрделі сан аргументіz≠ 0 көпмәнді шама және терминге дейін анықталады2πк (k = 0; - 1; 1; - 2; 2; ...): Арг z = arg z + 2πк , қайдаarg z - интервалға алынған аргументтің негізгі мәні(-π; π] , яғни-π < arg z ≤ π (кейде аргументтің негізгі мәні интервалға жататын мән ретінде қабылданады .

Бұл формула үшінr =1 жиі Моивр формуласы деп аталады:

(cos φ + i sin φ) n = cos (nφ) + i sin (nφ), n  N .

Мысал 11. Есептеңіз(1 + мен ) 100 .

Күрделі санды жазайық1 + мен тригонометриялық түрде.

a = 1, b = 1 .

cos φ = , sin φ = , φ = .

(1 + i) 100 = [ (кос + мен күнә жасаймын )] 100 = ( ) 100 (кос 100+ мен күнә жасаймын 100) = = 2 50 (cos 25π + i sin 25π) = 2 50 (cos π + i sin π) = - 2 50 .

4) Күрделі санның квадрат түбірін шығару.

Күрделі санның квадрат түбірін шығарғандаа + би бізде екі жағдай бар:

егерб > туралы , содан кейін ;

КҮРДЕЛІ САНДАР XI

§ 256. Комплекс сандардың тригонометриялық түрі

Комплекс сан болсын a + bi векторына сәйкес келеді О.А> координаттарымен ( а, б ) (332-суретті қараңыз).

Бұл вектордың ұзындығын деп белгілейміз r , және оның осімен жасайтын бұрышы Н.С , көлденең φ ... Синус пен косинустың анықтамасы бойынша:

а / r = cos φ , б / r = күнә φ .

Сондықтан а = r cos φ , б = r күнә φ ... Бірақ бұл жағдайда күрделі сан a + bi былай жазуға болады:

a + bi = r cos φ + ir күнә φ = r (кос φ + мен күнә φ ).

Өздеріңіз білетіндей, кез келген вектордың ұзындығының квадраты оның координаталарының квадраттарының қосындысына тең. Сондықтан r 2 = а 2 + б 2, қайдан r = √a 2 + б 2

Сонымен, кез келген күрделі сан a + bi ретінде көрсетуге болады :

a + bi = r (кос φ + мен күнә φ ), (1)

қайда р = √a 2 + б 2 және бұрыш φ шартымен анықталады:

Күрделі сандарды жазудың бұл түрі деп аталады тригонометриялық.

Сан r формулада (1) деп аталады модульжәне бұрыш φ - аргумент, күрделі сан a + bi .

Комплекс сан болса a + bi нөлге тең емес, онда оның модулі оң болады; егер a + bi = 0, онда a = b = 0, содан кейін r = 0.

Кез келген күрделі санның модулі біркелкі анықталады.

Комплекс сан болса a + bi нөлге тең емес, онда оның аргументі (2) формулаларымен анықталады. сөзсіз 2-ге еселі бұрышқа дәл π ... Егер a + bi = 0, онда a = b = 0. Бұл жағдайда r = 0. (1) формуладан оны аргумент ретінде түсіну оңай φ бұл жағдайда кез келген бұрышты таңдауға болады: кез келген үшін φ

0 (кос φ + мен күнә φ ) = 0.

Сондықтан нөлдік аргумент анықталмаған.

Күрделі сандар модулі r кейде | белгілейді z |және аргументі z ... Комплекс сандарды тригонометриялық түрде көрсетуге болатын бірнеше мысалдарды қарастырайық.

Мысал. 1. 1 + мен .

Модульді табыңыз r және аргумент φ бұл сан.

r = √ 1 2 + 1 2 = √ 2 .

Сондықтан, күнә φ = 1 / √ 2, cos φ = 1 / √ 2, қайдан φ = π / 4 + 2nπ .

Осылайша,

1 + мен = √ 2 ,

қайда Н.С - кез келген бүтін сан. Әдетте, күрделі сан аргументі мәндерінің шексіз жиынтығынан 0 мен 2 арасында тұратын біреуі таңдалады. π ... Бұл жағдайда бұл мән π / 4 . Сондықтан

1 + мен = √ 2 (кос π / 4 + мен күнә π / 4)

2-мысал.Комплекс санды тригонометриялық түрде жаз √ 3 - мен ... Бізде бар:

r = √ 3 + 1 = 2, cos φ = √ 3/2, күнә φ = - 1 / 2

Сондықтан 2-ге еселі бұрышқа дейін π , φ = 11 / 6 π ; демек,

√ 3 - мен = 2 (cos 11/6 π + мен күнә 11/6 π ).

3-мысалКомплекс санды тригонометриялық түрде жаз мен.

Күрделі сан мен векторына сәйкес келеді О.А> осьтің А нүктесінде аяқталады сағ ординатасы 1 (333-сурет). Мұндай вектордың ұзындығы 1, ал абсциссамен жасайтын бұрышы π / 2. Сондықтан

мен = cos π / 2 + мен күнә π / 2 .

4-мысал. 3 комплекс санын тригонометриялық түрде жаз.

3 комплекс саны векторға сәйкес келеді О.А > Н.С абсцисса 3 (Cурет 334).

Мұндай вектордың ұзындығы 3-ке, ал абсциссамен жасайтын бұрышы 0-ге тең. Демек,

3 = 3 (cos 0 + мен күнә 0),

5-мысал.-5 күрделі санын тригонометриялық түрде жаз.

-5 комплекс саны векторға сәйкес келеді О.А> ось нүктесінде аяқталады Н.С абсциссасы бар -5 (335-сурет). Мұндай вектордың ұзындығы 5-ке, ал абсциссамен жасайтын бұрышы π ... Сондықтан

5 = 5 (кос π + мен күнә π ).

Жаттығулар

2047. Осы күрделі сандарды модульдері мен аргументтерін анықтай отырып, тригонометриялық түрде жазыңыз?

1) 2 + 2√3 мен , 4) 12мен - 5; 7).3мен ;

2) √3 + мен ; 5) 25; 8) -2мен ;

3) 6 - 6мен ; 6) - 4; 9) 3мен - 4.

2048. Жазықтықта модульдері r және φ аргументтері шарттарды қанағаттандыратын комплекс сандарды білдіретін нүктелер жиынын көрсетіңіз?

1) r = 1, φ = π / 4 ; 4) r < 3; 7) 0 < φ < π / 6 ;

2) r =2; 5) 2 < r <3; 8) 0 < φ < я;

3) r < 3; 6) φ = π / 3 ; 9) 1 < r < 2,

10) 0 < φ < π / 2 .

2049. Комплекс санның модулі бір уақытта сандар бола ала ма? r және - r ?

2050. Бұрыштар бір уақытта комплекс санның аргументі бола ала ма? φ және - φ ?

Бұл күрделі сандарды тригонометриялық түрде көрсету үшін, олардың модульдері мен аргументтерін анықтаңыз:

2051 *. 1 + cos α + мен күнә α ... 2054 *. 2 (cos 20 ° - мен күнә 20 °).

2052 *. күнә φ + мен cos φ ... 2055 *. 3 (- cos 15 ° - мен күнә 15 °).

Жазықтықтағы нүктенің орнын анықтау үшін полярлық координаталарды қолдануға болады [r, (p), қайда Гнүктенің басынан қашықтығы, және (Р- радиусты құрайтын бұрыш - осьтің оң бағытымен осы нүктенің векторы О.Бұрыштың өзгеруінің оң бағыты (Рсағат тіліне қарсы бағытта қарастырылады. Декарттық және полярлық координаталар арасындағы байланысты қолдану: x = r cos cf, y = r sin (б,

күрделі санды жазудың тригонометриялық түрін аламыз

з - р (күнә (p + i күнә

қайда Г

Xі + y2, (p – күрделі санның аргументі, одан табылған

l X . сағ

формулалар cos (p --, sin ^ 9 = - немесе осыған байланысты тг (p --, (p-arctg

Мәндерді таңдағанда ескеріңіз Сәрсоңғы теңдеуден белгілерді ескеру қажет x және y.

Мысал 47. Комплекс санды тригонометриялық түрде жаз 2 = -1 + л / Z /.

Шешім. Комплекс санның модулі мен аргументін табыңыз:

= yj 1 + 3 = 2 . Инъекция Сәрқатынастарынан табады cos (б = -, күнә (p = -.Содан кейін

алу cos (p = -, суп

u / z g ~

• - -. Әлбетте, z = -1 + V3- / нүктесі
• 2 Кімге 3

екінші тоқсанда: (Р= 120 °

Ауыстыру

2 р.... cos - h; күнә

формулаға (1) табылған 27Г Л

Пікір. Күрделі санның аргументі бірегей түрде анықталмайды, бірақ еселік болатын мүшеге дейін 2б.Содан кейін cn ^ rбелгілеу

ішінде қамтылған аргумент мәні (б 0 %2 Содан кейін

A) ^ r = + 2kk.

Белгілі Эйлер формуласын қолдану Яғни, күрделі санның көрсеткіштік белгісін аламыз.

Бізде бар r = r (ω ^ (p + i?, n (p) = r,

Комплекс сандарға амалдар

• 1. Екі күрделі санның қосындысы r, = X] + y x/ u r 2 - x 2 + y 2 / r формуласы бойынша анықталады! +2 2 = (x, + ^ 2) + (^ 1 + ^ 2) ’
• 2. Күрделі сандарды азайту амалы қосуға кері амал ретінде анықталады. Күрделі сан r = rx - r 2,егер z 2 + z = z x,

күрделі сандардың айырымы 2, және d 2.Сонда r = (x, - x 2) + (y, - сағ 2) /.

• 3. Екі күрделі санның көбейтіндісі r x= x, + y, -z және 2 2 = x 2+ U2‘G формула бойынша анықталады
• *1*2 =(* + У"0 (X 2+ T 2 -0 = X 1 X 2 Y 1 2 -1 + x Y2 " * + Бар1 Бар2 " ^ =

= (xx 2 ~ YY 2) + (X Y2 + X 2Y) - "-

Соның ішінде, жыл= (x + y-z) (x-y /) = x 2 + y 2.

Көрсеткіштік және тригонометриялық формадағы күрделі сандарды көбейту формулаларын алуға болады. Бізде бар:

• 1^ 2 - Г х е 1 = ) Г 2 е> = Г] Г 2 cOs ((P + cp 2) + исин
• 4. Күрделі сандарды бөлу кері амал ретінде анықталады

көбейту, яғни. саны G--бөлу бөлімі деп аталады! r 2 бойынша,

егер r x -1 2 ? 2 . Содан кейін

Н.С + Ті _ (*і + IU 2 ~ 1 U2 ) x 2 + ІУ2 (2 + ^ Y 2) (2 ~ 1 Y 2)

x, x 2 + / y, x 2 - іх х у 2 - і 2 y x y 2 (x x x 2 + y x y 2) + / (- x, y 2 + X 2 Y])

2 2 x 2 + U 2

1 e

i (б

• - 1U e "(1 Fg) - I.sOї ((P-cp 1) + I- (Р-,)] >2 >2
• 5. Комплекс санды бүтін натурал дәрежеге көтеру, егер сан көрсеткіштік немесе тригонометриялық түрде жазылса жақсы орындалады.

Шынымен, егер онда r = rt 1

= (қайта,) = r n e t = G"(co8 psr + іт гкр).

g формуласы = rn (cosn (p + - n (p))Моевр формуласы деп аталады.

6. Түбірді алу NS-Күрделі санның ші дәрежесі дәрежеге көтерудің кері әрекеті ретінде анықталады n, n- 1,2,3, ... яғни. күрделі сан = y [gтүбір деп аталады NS-күрделі санның ші дәрежесі

d егер Г = r x... Бұл анықтамадан шығатыны g - g ", а r x= л / г. (p-psr x,а cf-cp / n, ол = r / * + санына жазылған Моивр формуласынан шығады ilipn (p).

Жоғарыда айтылғандай, күрделі санның аргументі бірегей түрде анықталмайды, бірақ 2-ге еселі мүшеге дейін f.Сондықтан = (p + 2pk, және r санының аргументі тәуелді Кімге,белгілеу (б. дейінжәне бу

формула бойынша есептейді (б. дейін= - +. бар екені анық Н.Ском-

плекс сандар, Н.С-ші дәрежесі 2-ге тең. Бұл сандарда бір

және бірдей модуль тең y [r,және бұл сандардың аргументтері қашан алынады Кімге = 0, 1, NS - 1. Сонымен, тригонометриялық түрде түбір i-ші дәрежеформула бойынша есептеледі:

(p + 2kp . . Сәр + 2кп

, Кімге = 0, 1, 77-1,

(p + 2ктг

ал үлгілі түрде – формула бойынша l [z - y [z n

Мысал 48. Алгебралық түрдегі күрделі сандарға амалдар орындаңыз:

a) (1- / H / 2) 3 (3 + /)

• (1 - / л / 2) 3 (с + /) = (1 - Zl / 2 / + 6/2 - 2 л / 2 /? 3) (3 + /) =
• (1 - Zl / 2 / - 6 + 2л / 2 / DZ + /) = (- 5 - л / 2 / DZ + /) =

15-Зл / 2 / -5 / -л / 2/2 = -15 - Zl / 2 / -5 / + л / 2 = (-15 + л / 2) - (5 + Zl / 2) /;

49-мысал. r = Uz - / санын бесінші дәрежеге дейін құрастыр.

Шешім. r санын жазудың тригонометриялық түрін аламыз.

G =л / 3 + 1 = 2, C08 (p --, 5ІІ7 (Р =

• (1 - 2 / X2 + /)
• (s-,)

O - 2.-X2 + o

• 12+ 4/-9/
• 2 +і - 4/ - 2/ 2 2 - 3/ + 2 4 - 3/ 3 + і
• (z-O "(z-O

З / 2 12-51 + 3 15 - 5 /

• (3-i) ның + /
• 9 + 1 с_ ±.
• 5 2 1 "

Осы жерден О--, а r = 2

Біз мынаны аламыз: i -2

/ ^ _ 7Г,. ?Г

• -USH-- ІБІП -

• --B / -

= - (l / Z + z) = -2.

Мысал 50. Барлық мәндерді табыңыз

Шешімі, r = 2, және Сәртеңдеуден табыңыз соя (p = -, zt -.

Бұл нүкте 1 - / d / z төртінші тоқсанда, яғни. f =-. Содан кейін

• 1 - 2
• ( (УГ Л

Өрнектен түбірдің мәндерін табамыз

V1 - / л / с = л / 2

• - + 2A: / g --- b 2 кк
• 3 . . 3

С08-1- і 81П-

Сағат Кімге - 0 бізде 2 0 = l / 2

2 санының түбірінің мәндерін дисплейдегі санды көрсету арқылы табуға болады

-* TO/ 3 + 2 cl

Сағат Кімге= 1 бізде тағы бір түбірлік мән бар:

• 7G. 7G _
• --- b27g --- b2;g
• 3. ... с

7G ... ... 7G L-C05- + 181P - 6 6

• --Н -

co? - 7G + / 5SH - Z "

л / 3__т_

тел формасы. Өйткені r = 2, а Сәр=, онда r = 2e 3, және y [g = y / 2e 2

Алгебралық түрде жазылған күрделі сандарға әрекеттер

z = комплекс санының алгебралық түрі(а,б) түрінің алгебралық өрнегі деп аталады

z = а + би.

Комплекс сандарға арифметикалық амалдар z 1 = а 1 + б 1 менжәне z 2 = а 2 + б 2 меналгебралық түрде жазылуы былайша жүзеге асырылады.

1. Күрделі сандардың қосындысы (айырымы).

z 1 ± z 2 = (а 1 ± a 2) + (б 1 ± б 2)∙ i,

анау. қосу (алу) ұқсас мүшелерді азайту арқылы көпмүшелерді қосу ережесі бойынша жүзеге асырылады.

2. Күрделі сандардың көбейтіндісі

z 1 ∙ z 2 = (а 1 ∙ а 2 - б 1 ∙ б 2) + (а 1 ∙ б 2 + а 2 ∙ б 1)∙ i,

анау. мынаны ескере отырып, көбейту көпмүшелерді көбейтудің әдеттегі ережесі бойынша орындалады. мен 2 = 1.

3. Екі күрделі санды бөлу келесі ереже бойынша жүзеге асырылады:

, (z 2 ≠ 0),

анау. бөлу дивиденд пен бөлгішті бөлгіштің жалғауына көбейту арқылы жүзеге асырылады.

Күрделі сандарды дәрежеге шығару келесідей анықталады:

Мұны көрсету оңай

мысалдары.

1. Күрделі сандардың қосындысын табыңыз z 1 = 2 – менжәне z 2 = – 4 + 3мен.

z 1 + z 2 = (2 + (–1)∙ i)+ (–4 + 3мен) = (2 + (–4)) + ((–1) + 3) мен = –2+2мен.

2. Күрделі сандардың көбейтіндісін табыңыз z 1 = 2 – 3менжәне z 2 = –4 + 5мен.

= (2 – 3мен) ∙ (–4 + 5мен) = 2 ∙(–4) + (-4) ∙(–3мен)+ 2∙5мен– 3мен ∙ 5i = 7+22мен.

3. Жекені табыңыз zбөлуден z 1 = 3 - 2 на z 2 = 3 – мен.

z = .

4. Теңдеуді шеш:, xжәне ж Î Р.

(2x + y) + (x + y)i = 2 + 3мен.

Күрделі сандардың теңдігіне байланысты бізде:

қайда x =–1 , ж= 4.

5. Есептеңіз: мен 2 ,мен 3 ,мен 4 ,мен 5 ,мен 6 ,мен -1 , мен -2 .

6. Есептеңіз, егер.

.

7. Санның кері мәнін есептеңдер z=3-і.

Тригонометриялық түрдегі күрделі сандар

Күрделі жазықтықдекарттық координаталары бар жазықтық деп аталады ( x, y), егер координаталары бар әрбір нүкте ( а, б) күрделі сан тағайындалады z = a + bi... Бұл жағдайда абсцисса осі деп аталады нақты ось, ал ордината осі ойдан шығарылған... Содан кейін әрбір күрделі сан a + biнүкте ретінде жазықтықта геометриялық түрде бейнеленген А (а, б) немесе вектор.

Демек, нүктенің орны А(және, демек, күрделі сан z) векторының ұзындығымен | | = rжәне бұрыш j| векторы арқылы құрылған | нақты осьтің оң бағытымен. Вектордың ұзындығы деп аталады комплекс санның модуліжәне | арқылы белгіленеді z | = rжәне бұрыш jшақырды күрделі сан аргументіжәне белгіленеді j = arg z.

| екені анық z| ³ 0 және | z | = 0 Û z = 0.

Інжір. 2 көрсетеді.

Күрделі санның аргументі анық емес, бірақ 2 дәлдігімен анықталады пк, кÎ З.

Інжір. 2, егер бұл да көрінеді z = a + biжәне j = arg z,содан кейін

cos j =, күнә j =, тг j =.

Егер zÎРжәне z> 0, содан кейін arg z = 0 +2pk;

егер z ÎРжәне z< 0, содан кейін arg z = p + 2pk;

егер z = 0,arg zанықталмаған.

Аргументтің негізгі мәні 0 сегментінде анықталады £ arg z£ 2 p,

немесе -б£ arg z £ б.

Мысалдар:

1. Комплекс сандардың модулін табыңыз z 1 = 4 – 3менжәне z 2 = –2–2мен.

2. Күрделі жазықтықта шарттармен көрсетілген аудандарды анықтаңыз:

1) | z | = 5; 2) | z| £ 6; 3) | z – (2+мен) | £ 3; 4) 6 £ | z – мен| £ 7.

Шешімдер мен жауаптар:

1) | z| = 5 Û Û - радиусы 5 және центрі координаталар басындағы шеңбердің теңдеуі.

2) Центрі координаталар басы бойынша радиусы 6 болатын шеңбер.

3) Центрі нүктеде орналасқан радиусы 3 шеңбер z 0 = 2 + мен.

4) Центрінде радиустары 6 және 7 болатын шеңберлермен шектелген сақина z 0 = мен.

3. Сандардың модулі мен аргументін табыңыз: 1); 2).

1) ; а = 1, б = Þ ,

Þ j 1 = .

2) z 2 = –2 – 2мен; a =–2, b =-2 Þ ,

.

Ескерту: Негізгі аргументті анықтау кезінде күрделі жазықтықты пайдаланыңыз.

Осылайша: z 1 = .

2) , r 2 = 1, j 2 =, .

3) , r 3 = 1, j 3 =, .

4) , r 4 = 1, j 4 =, .

2.3. Комплекс сандардың тригонометриялық түрі

Вектор күрделі жазықтықта санмен нақтылансын.

Оң жарты осі Ox пен вектор арасындағы бұрышты φ деп белгілейік (φ бұрышы сағат тіліне қарсы есептелсе оң, ал басқаша теріс деп есептеледі).

Вектордың ұзындығын r арқылы белгілейміз. Содан кейін. Біз де белгілейміз

Нөлге тең емес комплексті z санын пішінде жазу

z комплекс санының тригонометриялық түрі деп аталады. r саны z комплекс санының модулі деп аталады, ал φ саны осы күрделі санның аргументі деп аталады және Arg z арқылы белгіленеді.

Комплекс санның тригонометриялық жазылуы - (Эйлер формуласы) - күрделі санның көрсеткіштік белгісі:

z комплекс санының шексіз көп аргументтері бар: егер φ0 z санының кез келген аргументі болса, қалғандарының барлығын формула арқылы табуға болады.

Күрделі сан үшін аргумент пен тригонометриялық пішін анықталмаған.

Сонымен, нөлге тең емес комплекс санның аргументі теңдеулер жүйесінің кез келген шешімі болып табылады:

(3)

Теңсіздіктерді қанағаттандыратын күрделі z аргументінің φ мәні негізгі деп аталады және arg z арқылы белгіленеді.

Arg z және arg z теңдік арқылы байланысқан

, (4)

(5) формуласы (3) жүйесінің салдары, сондықтан комплекс санның барлық аргументтері (5) теңдігін қанағаттандырады, бірақ (5) теңдеудің барлық φ шешімдері z санының аргументтері емес.

Нөлге тең емес күрделі сан аргументінің негізгі мәнін мына формулалар арқылы табуға болады:

Тригонометриялық түрдегі күрделі сандарды көбейту және бөлу формулалары келесідей:

. (7)

Комплекс санды натурал дәрежеге көтеру кезінде Моевр формуласы қолданылады:

Күрделі саннан түбірді алу кезінде мына формула қолданылады:

, (9)

мұндағы k = 0, 1, 2, ..., n-1.

Есеп 54. Қай жерде есептеңіз.

Бұл өрнектің шешімін күрделі санның көрсеткіштік белгісінде көрсетейік:.

Егер, онда.

Содан кейін, ... Сондықтан, онда және , қайда.

Жауап: , сағ.

Есеп 55. Комплекс сандарды тригонометриялық түрде жаз:

а) ; б); v) ; G) ; e); д) ; g).

Комплекс санның тригонометриялық түрі болғандықтан, онда:

а) Күрделі санда:.

,

Сондықтан

б) , қайда,

G) , қайда,

д) .

ж) , а , содан кейін.

Сондықтан

Жауап: ; 4; ; ; ; ; .

Есеп 56. Комплекс санның тригонометриялық түрін табыңыз

.

Болсын, .

Содан кейін, , .

Содан бері және ,, содан кейін, және

Сондықтан, сондықтан

Жауап: , қайда.

Есеп 57. Күрделі санның тригонометриялық түрін пайдаланып, көрсетілген әрекеттерді орындаңыз:.

және сандарын көрсетейік тригонометриялық түрде.

1), қайда содан кейін

Негізгі аргументтің мәнін табамыз:

Мәндерді және өрнекке ауыстырыңыз, біз аламыз

2) сонда қайда

Содан кейін

3) Бөліндіні табыңыз

k = 0, 1, 2 параметрін орнатсақ, біз қалаған түбірдің үш түрлі мәнін аламыз:

Егер, онда

егер онда

егер онда .

Жауабы: :

:

: .

Есеп 58.,,, әр түрлі комплекс сандар және болсын ... Дәлелдеңіз

а) саны нақты оң сан;

б) теңдік орын алады:

а) Бұл күрделі сандарды тригонометриялық түрде көрсетеміз:

Өйткені .

Солай етейік. Содан кейін

.

Соңғы өрнек оң сан, өйткені синус белгілері интервалдағы сандар.

саннан бері шынайы және позитивті. Шынында да, егер a және b күрделі сандар болса және нақты және нөлден үлкен болса, онда.

Сонымен қатар,

сондықтан қажетті теңдік дәлелденеді.

Есеп 59. Санды алгебралық түрде жаз .

Санды тригонометриялық түрде көрсетейік, содан кейін оның алгебралық түрін табайық. Бізде бар ... Үшін жүйені аламыз:

Бұл теңдікті білдіреді: .

Моевр формуласын қолдану:,

Біз алып жатырмыз

Берілген санның тригонометриялық түрін тап.

Енді бұл санды алгебралық түрде жазамыз:

.

Жауап: .

Есеп 60. Қосындыны табыңыз,,

соманы қарастырыңыз

Моевр формуласын қолданып, табамыз

Бұл қосынды бөлгіші бар геометриялық прогрессияның n мүшесінің қосындысы және бірінші мүше .

Осындай прогрессияның мүшелерінің қосындысының формуласын қолданып, бізде болады

Соңғы өрнектегі қиял бөлігін бөліп, табамыз

Нақты бөлікті бөліп, келесі формуланы аламыз:,,.

Есеп 61. Қосындыны табыңыз:

а) ; б).

Ньютонның қуатқа көтеру формуласы бойынша бізде бар

Moivre формуласын пайдаланып, біз табамыз:

Алынған өрнектердің нақты және жорамал бөліктерін теңестірсек, бізде:

және .

Бұл формулаларды жинақы түрде келесідей жазуға болады:

,

, мұндағы а санының бүтін бөлігі.

Есеп 62. Кім үшін барлығын табыңыз.

Қаншалықты , содан кейін формуланы қолдану

, Тамырларды алу үшін біз аламыз ,

Демек, , ,

, .

Сандарға сәйкес нүктелер центрі (0; 0) нүктесінде орналасқан радиусы 2 шеңберге сызылған шаршының төбелерінде орналасқан (30-сурет).

Жауап: , ,

, .

Есеп 63. Теңдеуді шеш , .

Шарты бойынша; сондықтан бұл теңдеудің түбірі жоқ, демек, ол теңдеумен тең.

z саны осы теңдеудің түбірі болуы үшін санның түбірі болуы шарт n-ші дәреже 1 санынан.

Демек, бастапқы теңдеудің теңдіктерден анықталған түбірлері бар деген қорытындыға келеміз

,

Осылайша,

,

яғни ,

Жауап: .

Есеп 64. Комплекс сандар жиынындағы теңдеуді шеш.

Сан бұл теңдеудің түбірі болмағандықтан, бұл теңдеу үшін теңдеуге эквивалентті болады.

Яғни, теңдеу.

Бұл теңдеудің барлық түбірлері мына формуладан алынады (62 есепті қараңыз):

; ; ; ; .

Есеп 65. Күрделі жазықтықта теңсіздіктерді қанағаттандыратын нүктелер жиынын сал: ... (45 есепті шешудің 2-ші жолы)

Болсын .

Модульдері бірдей күрделі сандар бас нүктесінде центрленген шеңберде жатқан жазықтықтағы нүктелерге сәйкес келеді, сондықтан теңсіздік басы және радиустары ортақ центрі бар шеңберлермен шектелген ашық сақинаның барлық нүктелерін қанағаттандырады және (31-сурет). Күрделі жазықтықтың қандай да бір нүктесі w0 санына сәйкес болсын. Сан , модулі w0 модулінен есе кіші модулі және w0 аргументінен үлкен аргументі бар. Геометриялық түрде w1-ге сәйкес нүктені координаттың басында және коэффицентінде центрі бар гомотетияның көмегімен, сондай-ақ координатордың айналасында сағат тіліне қарсы бұрышпен айналу арқылы алуға болады. Осы екі түрлендіруді сақина нүктелеріне қолдану нәтижесінде (31-сурет) соңғысы центрі бірдей және радиустары 1 және 2 болатын шеңберлермен шектелген сақинаға айналады (32-сурет).

Трансформация векторға параллель аудару арқылы жүзеге асырылады. Бір нүктеде центрленген сақинаны көрсетілген векторға жылжыта отырып, нүктеде центрленген бірдей өлшемдегі сақина аламыз (22-сурет).

Ұсынылған әдіс, жазықтықтың геометриялық түрлендірулері идеясын қолдана отырып, сипаттамада азырақ ыңғайлы, бірақ өте талғампаз және тиімді.

Есеп 66. Егер тап .

Болсын, содан кейін және. Бастапқы теңдік пішінді қабылдайды ... Екі күрделі санның теңдік шартынан аламыз,, қайдан,. Осылайша, .

z санын тригонометриялық түрде жазайық:

, қайда, . Моевр формуласы бойынша табамыз.

Жауабы: - 64.

Есеп 67. Комплекс сан үшін, және болатындай барлық күрделі сандарды табыңыз .

Санды тригонометриялық түрде көрсетейік:

... Демек,. Біз алатын сан үшін екеуіне де тең болуы мүмкін.

Бірінші жағдайда , екіншісінде

.

Жауабы: , .

Есеп 68. Мынадай сандардың қосындысын табыңыз. Осы сандардың бірін енгізіңіз.

Назар аударыңыз, мәселені тұжырымдаудан бастап, теңдеу түбірлерінің қосындысын түбірлердің өздерін есептемей-ақ табуға болатынын түсінуге болады. Шынында да, теңдеу түбірлерінің қосындысы - қарама-қарсы таңбамен қабылданған коэффициент (жалпыланған Вьета теоремасы), яғни.

Оқушылар, мектеп құжаттамасы, осы ұғымды игеру дәрежесі туралы қорытынды жасайды. Математикалық ойлау ерекшеліктерін және күрделі сан ұғымын қалыптастыру үдерісін зерттеуді қорытындылау. Әдістердің сипаттамасы. Диагностика: I кезең. Әңгіме 10-сыныпта алгебра және геометрия пәндерінен сабақ беретін математика пәнінің мұғалімімен жүргізілді. Әңгіме басынан біраз уақыттан кейін болды ...

Резонанс «(!)), Ол сондай-ақ бағалауды қамтиды өзіндік мінез-құлық... 4. Жағдайды түсінгеніңізді сыни бағалау (күмән). 5. Соңында заң психологиясының ұсыныстарын қолдану (заңгердің орындайтын кәсіби іс-әрекетінің психологиялық аспектілерін есепке алу – кәсіби-психологиялық дайындық). Енді заңды фактілердің психологиялық талдауын қарастырайық. ...

Тригонометриялық алмастыру математикасы және құрастырылған оқыту әдістерінің тиімділігін тексеру. Жұмыс кезеңдері: 1. Математиканы тереңдетіп оқытатын сынып оқушыларымен «Тригонометриялық алмастыруды алгебралық есептерді шығаруда қолдану» тақырыбы бойынша факультативтік курсты әзірлеу. 2. Жасалған факультативтік курсты өткізу. 3. Диагностикалық бақылау жүргізу ...

Танымдық тапсырмалар тек қолданыстағы оқу құралдарын толықтыруға арналған және оқу процесінің барлық дәстүрлі құралдарымен және элементтерімен сәйкес үйлесімде болуы керек. Гуманитарлық пәндерді оқытудағы оқу есептерінің нақты есептерден, математикалық есептерден айырмашылығы тек тарихи есептердегі формулалардың, қатаң алгоритмдердің және т.б. болмауында, бұл олардың шешімін қиындатады. ...