Порталдағы жарнама

Үш саннан тұратын калькулятор түйіндері. Үш немесе одан да көп сандардың түйіндерін табу. GCD және NOC табу үшін калькулятор

Берілген бөлгішке қалдықсыз бөлінетін дивиденд те аталады бірнеше. Мысалы, 48 саны 8-ге еселік, 48-ке еселік, 8-бөлгіш.

Сан бір емес, бірден бірнеше санның еселі болуы мүмкін, мұндай сан деп аталады ортақ еселік. Мысалы, 77 саны сандардың ортақ еселігі: 1, 7, 11, 77.

Тағы бір мысал. 3 саны 12, 15, 24, 27, 30, т.б. еселік. 5 саны 10, 15, 25, 30, 35, т.б. еселік. 3 және 5 сандарының 15 пен 30-ға ортақ еселіктері бар. .

Бірнеше санның ортақ еселігін табу өте қарапайым, бұл сандарды жай ғана көбейтуге болады, нәтижесінде бұл сандардың көбейтіндісі олардың ортақ еселігі болады.

ҰОК

Берілген сандар үшін барлық ортақ еселіктердің ішінде ең кіші ортақ еселік ерекше қызығушылық тудырады.

Ең кіші ортақ еселік(қысқартылған LCM) бірнеше берілген сандардың әрқайсысына біркелкі бөлінетін ең кіші сан.

Мысалы, үш сан үшін: 3, 5 және 12, ең кіші ортақ еселік 60 саны болады, өйткені 60-тан кіші басқа сан 3, 5 немесе 12-ге біркелкі бөлінбейді.

Әдетте ең кіші ортақ еселік келесідей жазылады: LCM ( а, б, ...) = x.

Осыған сәйкес 3, 5 және 12 сандарының ең кіші ортақ еселігін жазамыз:

LCM (3, 5, 12) = 60.

NOC калькуляторы

Бұл калькулятор сандардың ең кіші ортақ еселігін табуға көмектеседі. Тек бос орындар немесе үтірлер арқылы бөлінген сандарды енгізіп, LCM есептеу түймесін басыңыз.

Мәселені шешейік. Бізде печеньенің екі түрі бар. Кейбіреулер шоколад, ал кейбіреулері қарапайым. 48 шоколад кесектері, ал 36 қарапайым.Осы печеньелерден сыйлықтардың максималды санын жасау керек және олардың барлығын пайдалану керек.

Алдымен, осы екі санның әрқайсысының барлық бөлгіштерін жазып алайық, өйткені бұл екі сан да сыйлықтар санына бөлінуі керек.

Біз алып жатырмыз

  • 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.
  • 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

Бірінші санның да, екінші санның да ортақ бөлгіштерін табайық.

Ортақ бөлгіштер: 1, 2, 3, 4, 6, 12 болады.

Барлығының ең үлкен ортақ бөлгіші 12. Бұл сан 36 мен 48 сандарының ең үлкен ортақ бөлгіші деп аталады.

Нәтижеге сүйене отырып, барлық печеньелерден 12 сыйлық жасауға болады деген қорытынды жасауға болады. Осындай сыйлықтың бірінде 4 шоколадты печенье және 3 кәдімгі печенье болады.

Ең үлкен ортақ бөлгішті табу

  • Екі а және b саны қалдықсыз бөлінетін ең үлкен натурал сан осы сандардың ең үлкен ортақ бөлгіші деп аталады.

Кейде GCD аббревиатурасы жазбаны қысқарту үшін қолданылады.

Кейбір жұп сандардың ең үлкен ортақ бөлгіші бір болады. Мұндай сандар деп аталады қосынды сандар.Мысалы, 24 және 35 сандары. GCD =1 болсын.

Ең үлкен ортақ бөлгішті қалай табуға болады

Ең үлкен ортақ бөлгішті табу үшін бұл сандардың барлық бөлгіштерін жазудың қажеті жоқ.

Сіз басқаша жасай аласыз. Алдымен екі санды жай көбейткіштерге көбейтіңіз.

  • 48 = 2*2*2*2*3,
  • 36 = 2*2*3*3.

Енді бірінші санның кеңеюіне кіретін факторлардың ішінен екінші санның кеңеюіне кірмейтіндердің барлығын жоямыз. Біздің жағдайда бұл екі екілік.

  • 48 = 2*2*2*2*3 ,
  • 36 = 2*2*3 *3.

2,2 және 3 көбейткіштері қалады.Олардың көбейтіндісі 12. Бұл сан 48 және 36 сандарының ең үлкен ортақ бөлгіші болады.

Бұл ережені үш, төрт және т.б. жағдайға кеңейтуге болады. сандар.

Ең үлкен ортақ бөлгішті табудың жалпы схемасы

  • 1. Сандарды жай көбейткіштерге жікте.
  • 2. Осы сандардың біреуінің кеңеюіне кіретін факторлардың ішінен басқа сандардың кеңеюіне кірмейтіндерін сызып тастаңыз.
  • 3. Қалған көбейткіштердің көбейтіндісін есептеңдер.

Онлайн калькулятор екі немесе кез келген басқа сандардың ең үлкен ортақ бөлгішін және ең кіші ортақ еселігін жылдам табуға мүмкіндік береді.

GCD және NOC табу үшін калькулятор

GCD және NOC табыңыз

GCD және NOC табылды: 12197

Калькуляторды қалай пайдалану керек

  • Енгізу өрісіне сандарды енгізіңіз
  • Қате таңбаларды енгізген жағдайда енгізу өрісі қызыл түспен бөлектеледі
  • «GCD және NOC табу» түймесін басыңыз.

Сандарды қалай енгізу керек

  • Сандар бос орындар, нүктелер немесе үтірлер арқылы енгізіледі
  • Енгізілген сандардың ұзындығы шектелмейді, сондықтан ұзын сандардың gcd және lcm табу қиын болмайды

NOD және NOK дегеніміз не?

Ең үлкен ортақ бөлгішбірнеше сандардың барлығы бастапқы сандар қалдықсыз бөлінетін ең үлкен натурал сан. Ең үлкен ортақ бөлгіш қысқартылған GCD.
Ең кіші ортақ еселікбірнеше сандар – бастапқы сандардың әрқайсысына қалдықсыз бөлінетін ең кіші сан. Ең кіші ортақ еселік қысқартылған ҰОК.

Санның басқа санға қалдықсыз бөлінетінін қалай тексеруге болады?

Бір сан екінші санға қалдықсыз бөлінетінін білу үшін сандардың бөлінгіштігінің кейбір қасиеттерін қолдануға болады. Содан кейін оларды біріктіру арқылы олардың кейбіреулеріне және олардың комбинацияларына бөлінгіштігін тексеруге болады.

Сандардың бөлінгіштігінің кейбір белгілері

1. Санның 2-ге бөлінгіштік белгісі
Санның екіге бөлінетінін (жұп екенін) анықтау үшін осы санның соңғы цифрын қарау жеткілікті: егер ол 0, 2, 4, 6 немесе 8-ге тең болса, онда сан жұп, бұл оның 2-ге бөлінетінін білдіреді.
Мысалы: 34938 саны 2-ге бөлінетінін анықтаңыз.
Шешімі:соңғы цифрға қараңыз: 8 саны екіге бөлінетінін білдіреді.

2. Санның 3-ке бөлінгіштік белгісі
Сан цифрларының қосындысы 3-ке бөлінетін болса, ол 3-ке бөлінеді. Осылайша, санның 3-ке бөлінетінін анықтау үшін цифрлардың қосындысын есептеп, оның 3-ке бөлінетінін тексеру керек. Цифрлардың қосындысы өте үлкен болып шықса да, сол процесті қайталауға болады. қайтадан.
Мысалы: 34938 санының 3-ке бөлінетінін анықтаңыз.
Шешімі:цифрларының қосындысын санаймыз: 3+4+9+3+8 = 27. 27 саны 3-ке бөлінеді, бұл сан үшке бөлінетінін білдіреді.

3. Санның 5-ке бөлінгіштік белгісі
Санның соңғы цифры нөл немесе бес болса, ол 5-ке бөлінеді.
Мысалы: 34938 саны 5-ке бөлінетінін анықтаңыз.
Шешімі:соңғы цифрға қараңыз: 8 бұл сан беске бөлінбейтіндігін білдіреді.

4. Санның 9-ға бөлінгіштік белгісі
Бұл белгі үшке бөлінгіштік белгісіне өте ұқсас: цифрларының қосындысы 9-ға бөлінетін сан 9-ға бөлінеді.
Мысалы: 34938 саны 9-ға бөлінетінін анықтаңыз.
Шешімі:цифрларының қосындысын есептейміз: 3+4+9+3+8 = 27. 27 саны 9-ға бөлінеді, яғни бұл сан тоғызға бөлінеді.

Екі санның GCD және LCM-ін қалай табуға болады

Екі санның GCD-ін қалай табуға болады

Екі санның ең үлкен ортақ бөлгішін есептеудің ең қарапайым жолы - сол сандардың барлық мүмкін бөлгіштерін табу және олардың ең үлкенін таңдау.

GCD(28, 36) табу мысалын пайдаланып, бұл әдісті қарастырыңыз:

  1. Екі санды да көбейткіштерге жіктейміз: 28 = 1 2 2 7 , 36 = 1 2 2 3 3
  2. Біз ортақ факторларды табамыз, яғни екі санда да бар: 1, 2 және 2.
  3. Біз осы факторлардың көбейтіндісін есептейміз: 1 2 2 \u003d 4 - бұл 28 және 36 сандарының ең үлкен ортақ бөлгіші.

Екі санның LCM-ін қалай табуға болады

Екі санның ең кіші еселігін табудың екі кең таралған тәсілі бар. Бірінші әдіс - сіз екі санның бірінші еселіктерін жазып, содан кейін олардың арасынан екі санға да ортақ және бір уақытта ең кішісі болатын санды таңдауға болады. Ал екіншісі - бұл сандардың GCD табу. Тек соны қарастырайық.

LCM есептеу үшін бастапқы сандардың көбейтіндісін есептеу керек, содан кейін оны бұрын табылған GCD-ге бөлу керек. 28 және 36 бірдей сандар үшін LCM табайық:

  1. 28 және 36 сандарының көбейтіндісін табыңыз: 28 36 = 1008
  2. gcd(28, 36) қазірдің өзінде 4 екені белгілі
  3. LCM(28, 36) = 1008 / 4 = 252 .

Бірнеше сандар үшін GCD және LCM табу

Ең үлкен ортақ бөлгішті екі сан үшін емес, бірнеше сан үшін табуға болады. Ол үшін ең үлкен ортақ бөлгіш ізделетін сандар жай көбейткіштерге ыдырайды, содан кейін осы сандардың ортақ жай көбейткіштерінің көбейтіндісі табылады. Сондай-ақ, бірнеше санның GCD-ін табу үшін келесі қатынасты пайдалануға болады: gcd(a, b, c) = gcd(gcd(a, b), c).

Ұқсас қатынас сандардың ең кіші ортақ еселігі үшін де қолданылады: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

Мысалы: 12, 32 және 36 сандары үшін GCD және LCM табыңыз.

  1. Алдымен сандарды көбейткіштерге жіктейік: 12 = 1 2 2 3 , 32 = 1 2 2 2 2 2 , 36 = 1 2 2 3 3 .
  2. Ортақ көбейткіштерді табайық: 1, 2 және 2 .
  3. Олардың туындысы gcd береді: 1 2 2 = 4
  4. Енді LCM-ді табайық: ол үшін алдымен LCM(12, 32) табамыз: 12 32 / 4 = 96 .
  5. Барлық үш санның LCM-ін табу үшін GCD(96, 36) табу керек: 96 = 1 2 2 2 2 2 3 , 36 = 1 2 2 3 3 , GCD = 1 2. 2 3 = 12 .
  6. LCM(12, 32, 36) = 96 36 / 12 = 288 .

Ең үлкен ортақ бөлгіш және ең кіші ортақ еселік қарапайым бөлшектермен оңай жұмыс істеуге мүмкіндік беретін негізгі арифметикалық ұғымдар болып табылады. LCM және көбінесе бірнеше бөлшектің ортақ бөлімін табу үшін қолданылады.

Негізгі ұғымдар

X бүтін санының бөлгіші X қалдықсыз бөлінетін басқа бүтін Y саны болып табылады. Мысалы, 4-тің бөлгіші - 2, ал 36 - 4, 6, 9. Бүтін X санының еселігі - X-ке қалдықсыз бөлінетін Y саны. Мысалы, 3 саны 15-ке еселік, ал 6 саны 12-ге еселік.

Кез келген сандар жұбы үшін олардың ортақ бөлгіштері мен еселіктерін таба аламыз. Мысалы, 6 және 9 үшін ортақ еселік 18, ал ортақ бөлгіш 3. Жұптардың бірнеше бөлгіштері мен еселіктері болуы мүмкін, сондықтан есептеулерде GCD ең үлкен бөлгіші және LCM ең кіші еселігі пайдаланылады. .

Ең кіші бөлгіш мағынасы жоқ, өйткені кез келген сан үшін ол әрқашан бір болады. Ең үлкен еселік те мағынасыз, өйткені көбейткіштер тізбегі шексіздікке ұмтылады.

GCD табу

Ең үлкен ортақ бөлгішті табудың көптеген әдістері бар, олардың ең танымалдары:

  • бөлгіштерді ретімен санау, жұпқа ортақтарды таңдау және олардың ең үлкенін іздеу;
  • сандарды бөлінбейтін көбейткіштерге бөлу;
  • Евклид алгоритмі;
  • екілік алгоритм.

Бүгінгі таңда оқу орындарында жай көбейткіштерге ыдыратудың ең танымал әдістері мен евклидтік алгоритм. Соңғысы, өз кезегінде, диофантиндік теңдеулерді шешуде қолданылады: GCD іздеу теңдеуді бүтін сандармен шешу мүмкіндігін тексеру үшін қажет.

ҰОК табу

Ең кіші ортақ еселік итерациялық санау немесе бөлінбейтін көбейткіштерге бөлу арқылы дәл анықталады. Сонымен қатар, ең үлкен бөлгіш бұрыннан анықталған болса, LCM табу оңай. X және Y сандары үшін LCM және GCD келесі қатынаспен байланысты:

LCM(X,Y) = X × Y / GCM(X,Y).

Мысалы, егер gcd(15,18) = 3, онда LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. LCM-нің ең айқын қолданылуы ортақ бөлгішті табу болып табылады, ол санның ең кіші ортақ еселігі болып табылады. берілген бөлшектер.

Қосалқы сандар

Егер сандар жұбының ортақ бөлгіштері болмаса, онда мұндай жұп қос жай деп аталады. Мұндай жұптар үшін GCM әрқашан бірге тең, ал бөлгіштер мен еселіктердің қосылуына негізделген, екі еселік үшін GCM олардың көбейтіндісіне тең. Мысалы, 25 және 28 сандары қос жай сандар, өйткені олардың ортақ бөлгіштері жоқ және LCM(25, 28) = 700, бұл олардың көбейтіндісіне сәйкес келеді. Кез келген екі бөлінбейтін сан әрқашан қос жай болады.

Ортақ бөлгіш және еселік калькулятор

Біздің калькулятор арқылы сіз таңдау үшін кез келген сандар саны үшін GCD және LCM есептей аласыз. Ортақ бөлгіштер мен еселіктерді есептеуге арналған тапсырмалар 5, 6-сыныптардың арифметикасында кездеседі, алайда, GCD және LCM - негізгі ұғымдарматематика және сандар теориясында, планиметрияда және коммуникативті алгебрада қолданылады.

Өмірден алынған мысалдар

Бөлшектердің ортақ бөлімі

Ең кіші ортақ еселік бірнеше бөлшектің ортақ бөлімін тапқанда қолданылады. Арифметикалық есепте 5 бөлшекті қосу керек делік:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

Бөлшектерді қосу үшін өрнекті жалпы бөлгішке келтіру керек, ол LCM табу мәселесіне дейін азайтады. Ол үшін калькуляторда 5 санды таңдап, тиісті ұяшықтарға бөлгіш мәндерін енгізіңіз. Бағдарлама LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360 есептейді. Енді әрбір бөлшек үшін LCM-дің бөлгішке қатынасы ретінде анықталған қосымша факторларды есептеу керек. Сонымен, қосымша көбейткіштер келесідей болады:

  • 360/8 = 45
  • 360/9 = 40
  • 360/12 = 30
  • 360/15 = 24
  • 360/18 = 20.

Осыдан кейін біз барлық бөлшектерді сәйкес қосымша көбейткішке көбейтеміз және аламыз:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

Біз мұндай бөлшектерді оңай қосып, нәтижені 159/360 түрінде аламыз. Біз бөлшекті 3-ке азайтамыз және соңғы жауапты көреміз - 53/120.

Сызықтық диофантиндік теңдеулерді шешу

Сызықтық диофантиндік теңдеулер ax + by = d түріндегі өрнектер болып табылады. Егер d / gcd(a, b) қатынасы бүтін болса, онда теңдеу бүтін сандармен шешіледі. Бүтін санды шешу мүмкіндігі үшін бірнеше теңдеулерді тексерейік. Алдымен 150x + 8y = 37 теңдеуін тексеріңіз. Калькулятордың көмегімен gcd (150,8) = 2 табамыз. 37/2 = 18,5 бөлеміз. Сан бүтін сан емес, сондықтан теңдеудің бүтін түбірлері болмайды.

1320x + 1760y = 10120 теңдеуін тексерейік. gcd(1320, 1760) = 440 табу үшін калькуляторды пайдаланыңыз. 10120/440 = 23-ті бөліңіз. Нәтижесінде бүтін санды аламыз, демек, диофантиндік коэффицент инфицирлі теңдеу болып табылады. .

Қорытынды

GCD және LCM сандар теориясында үлкен рөл атқарады және ұғымдардың өзі математиканың әртүрлі салаларында кеңінен қолданылады. Кез келген санның ең үлкен бөлгіштерін және ең кіші еселіктерін есептеу үшін калькуляторды пайдаланыңыз.

ортақ бөлгішбірнеше сандардың саны – берілген сандардың әрқайсысы бөлінетін сан. Мысалы, екі сан берілген: 6 және 9. 6 санының 1, 2, 3, 6 бөлгіштері бар. 9 санының 1, 3, 9 бөлгіштері бар. 6 және 9 сандарының 1 және 3 ортақ бөлгіштері бар екенін көреміз.

Ең үлкен ортақ бөлгіш(GCD ретінде қысқартылған) бірнеше сандар, олар осы сандардың әрқайсысы қалдықсыз бөлінетін ортақ бөлгіштердің ең үлкенін атайды.

Сонымен, 6 және 9-дың барлық ортақ бөлгіштерінің ең үлкен ортақ бөлгіші 3-ке тең.

Әдетте ең үлкен ортақ бөлгіш келесідей жазылады: gcd ( а, б, ...) = x.

Осыған сәйкес 6 және 9 сандарының ең үлкен ортақ бөлгішін жазамыз:

gcd(6, 9) = 3.

Gcd бірге тең сандар деп аталады қосынды сандар. Мысалы, 14 және 15 сандары салыстырмалы жай сандар: gcd(14, 15) = 1.

GCD калькуляторы

Бұл калькулятор сандардың ең үлкен ортақ бөлгішін табуға көмектеседі. Тек бос орындар немесе үтірлер арқылы бөлінген сандарды енгізіп, GCD есептеу түймесін басыңыз.