Вектордың ортасының координаталарын қалай табуға болады. Манекендерге арналған векторлар. Векторлармен әрекеттер. Векторлық координаталар. Векторларға ең қарапайым есептер. Сегменттің ортасының координаталарын оның ұштарының радиус векторларының координаталары арқылы анықтау

Соңында мен көптен күткен ауқымды тақырыпқа қол жеткіздім аналитикалық геометрия. Біріншіден, жоғары математиканың осы бөлімі туралы аздап…. Әрине, сіз мектептегі геометрия курсын көптеген теоремалармен, олардың дәлелдерімен, сызбаларымен және т.б. Нені жасыру керек, студенттердің айтарлықтай бөлігі үшін ұнамсыз және жиі түсініксіз тақырып. Аналитикалық геометрия, біртүрлі, қызықтырақ және қолжетімді болып көрінуі мүмкін. «Аналитикалық» сын есім нені білдіреді? Екі мөр басылған математикалық айналым бірден ойға келеді: «шешудің графикалық әдісі» және «шешудің аналитикалық әдісі». Графикалық әдіс, әрине, графиктерді, сызбаларды салумен байланысты. Аналитикалықбірдей әдісмәселені шешуді қамтиды басымалгебралық амалдар арқылы. Осыған байланысты аналитикалық геометрияның барлық дерлік есептерін шешу алгоритмі қарапайым және ашық, көбінесе қажетті формулаларды дәл қолдану жеткілікті - және жауап дайын! Жоқ, әрине, бұл сызбаларсыз болмайды, сонымен қатар материалды жақсы түсіну үшін мен оларды қажеттіліктен асып түсуге тырысамын.

Геометрия сабақтарының ашық курсы теориялық толықтықты талап етпейді, ол практикалық есептерді шешуге бағытталған. Мен өзімнің дәрістерімде тәжірибелік тұрғыдан маңызды нәрселерді ғана қосамын. Егер сізге кез келген бөлімше бойынша толық анықтама қажет болса, мен келесі қолжетімді әдебиеттерді ұсынамын:

1) Әзіл емес, бірнеше ұрпаққа таныс нәрсе: Геометрия бойынша мектеп оқулығы, авторлары - Л.С. Атанасян және компания. Бұл мектеп киім ілгіші 20 (!) қайта шығаруға төтеп берді, бұл, әрине, шек емес.

2) Геометрия 2 томдық. Авторлар Л.С. Атанасян, Базылев В.Т.. Бұл жоғары оқу орындарына арналған әдебиет, сізге қажет болады бірінші том. Сирек кездесетін тапсырмалар менің көзқарасымнан шығып кетуі мүмкін және оқу құралы баға жетпес көмек болады.

Екі кітапты да онлайн тегін жүктеп алуға болады. Сонымен қатар, сіз менің мұрағатты бетте табуға болатын дайын шешімдермен пайдалана аласыз Жоғары математика мысалдарын жүктеп алыңыз.

Құралдардың ішінен мен тағы да өз әзірлемелерді ұсынамын - бағдарламалық пакетаналитикалық геометрия бойынша, бұл өмірді айтарлықтай жеңілдетеді және көп уақытты үнемдейді.

Оқырман негізгі геометриялық ұғымдар мен фигуралар: нүкте, түзу, жазықтық, үшбұрыш, параллелограмм, параллелепипед, куб және т.б. Кейбір теоремаларды есте ұстаған жөн, кем дегенде Пифагор теоремасы, сәлем қайталаушылар)

Ал енді біз дәйекті түрде қарастырамыз: вектор түсінігі, векторлары бар әрекеттер, векторлық координаталар. Әрі қарай оқуға кеңес беремін ең маңызды мақала Векторлардың нүктелік көбейтіндісі, Сонымен қатар Векторлардың векторлық және аралас көбейтіндісі. Жергілікті тапсырма артық болмайды - Осыған байланысты сегментті бөлу. Жоғарыда келтірілген ақпаратқа сүйене отырып, сіз жасай аласыз жазықтықтағы түзудің теңдеуібастап шешімдердің қарапайым мысалдары, бұл мүмкіндік береді геометриядан есептерді шығаруды үйрену. Келесі мақалалар да пайдалы: Кеңістіктегі жазықтықтың теңдеуі, Кеңістіктегі түзудің теңдеулері, Түзу мен жазықтыққа негізгі есептер , аналитикалық геометрияның басқа бөлімдері. Әрине, жол бойында стандартты тапсырмалар қарастырылады.

Вектор туралы түсінік. еркін вектор

Алдымен вектордың мектептік анықтамасын қайталайық. Векторшақырды бағытталғанбасы мен соңы көрсетілген сегмент:

Бұл жағдайда кесіндінің басы - нүкте , кесіндінің соңы - нүкте . Вектордың өзі арқылы белгіленеді. Бағытмаңызды, егер сіз сегменттің екінші ұшына көрсеткіні қайта реттесеңіз, сіз вектор аласыз және бұл қазірдің өзінде мүлде басқа вектор. Физикалық дененің қозғалысымен вектор ұғымын анықтау ыңғайлы: институттың есігінен кіру немесе институт есігінен шығу мүлдем басқа нәрселер екенін мойындау керек.

Жазықтықтың жеке нүктелерін, кеңістік деп аталатынды қарастыру ыңғайлы нөлдік вектор. Мұндай вектордың соңы мен басы бірдей.

!!! Ескерту: Мұнда және төменде векторлар бір жазықтықта жатыр деп болжауға болады немесе олар кеңістікте орналасқан деп болжауға болады - ұсынылған материалдың мәні жазықтық үшін де, кеңістік үшін де жарамды.

Белгілері:Көпшілік бірден белгіде көрсеткі жоқ таяқшаға назар аударды және олар да жоғарғы жағына жебе қойғанын айтты! Дұрыс, көрсеткі арқылы жазуға болады: , бірақ рұқсат етілген және кейінірек қолданатын жазба. Неліктен? Мұндай әдет тәжірибелік ойлардан қалыптасқан болса керек, менің мектептегі және университеттегі оқ атушылары тым алуан түрлі және шалшық болып шықты. Оқу әдебиетінде кейде олар сына жазуымен мүлде алаңдамайды, бірақ қалың қаріппен жазылған әріптерді ерекшелейді: , осылайша бұл вектор екенін білдіреді.

Бұл стиль болды, ал енді векторларды жазу жолдары туралы:

1) Векторларды екі бас латын әріпімен жазуға болады:
тағыда басқа. Бірінші әріп болған кезде міндетті түрдевектордың бастапқы нүктесін, ал екінші әріп вектордың соңғы нүктесін білдіреді.

2) Векторлар да шағын латын әріптерімен жазылады:
Атап айтқанда, біздің векторды қысқаша болу үшін латын әрпімен өзгертуге болады.

Ұзындығынемесе модульнөлдік емес вектор кесіндінің ұзындығы деп аталады. Нөлдік вектордың ұзындығы нөлге тең. Логикалық.

Вектордың ұзындығы модуль белгісімен белгіленеді: ,

Вектордың ұзындығын қалай табуға болады, біз (немесе қайталау, кім үшін қалай) сәл кейінірек үйренеміз.

Бұл барлық мектеп оқушыларына таныс вектор туралы қарапайым ақпарат болды. Аналитикалық геометрияда деп аталатын еркін вектор.

Егер бұл өте қарапайым болса - векторды кез келген нүктеден салуға болады:

Біз мұндай векторларды тең деп атайтынбыз (тең векторлардың анықтамасы төменде берілген), бірақ таза математикалық тұрғыдан алғанда, бұл БІР ВЕКТОР немесе еркін вектор. Неге тегін? Өйткені есептерді шешу барысында сіз сол немесе басқа «мектеп» векторын жазықтықтың немесе кеңістіктің КЕЗ КЕЛГЕН нүктесіне «тіркеуге» болады. Бұл өте керемет қасиет! Ерікті ұзындық пен бағыттың бағытталған сегментін елестетіңіз - оны шексіз көп рет және кеңістіктің кез келген нүктесінде «клондауға» болады, шын мәнінде ол БАРЛЫҚ ЖЕРДЕ бар. Студенттің мынадай мақалы бар: вектордағы f ** u әрбір лектор. Өйткені, бұл жай ғана тапқыр рифма емес, бәрі дерлік дұрыс - бағытталған сегментті де қосуға болады. Бірақ қуануға асықпаңыз, студенттердің өздері жиі зардап шегеді =)

Сонымен, еркін вектор- бұл көп бірдей бағытталған сегменттер. Параграфтың басында берілген вектордың мектептік анықтамасы: «Бағытталған кесінді вектор деп аталады ...», білдіреді нақтыжазықтықтың немесе кеңістіктің белгілі бір нүктесіне бекітілген, берілген жиыннан алынған бағытталған кесінді.

Айта кету керек, физика тұрғысынан еркін вектор ұғымы әдетте дұрыс емес және қолдану нүктесі маңызды. Шынында да, менің ақымақ мысалымды дамыту үшін мұрынға немесе маңдайға бірдей күштің тікелей соққысы жеткілікті. Дегенмен, тегін емесвекторлар да вышмат барысында кездеседі (ол жерге бармаңыз :)).

Векторлармен әрекеттер. Векторлардың коллинеарлығы

Мектептегі геометрия курсында векторлары бар бірқатар әрекеттер мен ережелер қарастырылады: үшбұрыш ережесі бойынша қосу, параллелограмм ережесі бойынша қосу, векторлардың айырымы ережесі, векторды санға көбейту, векторлардың скаляр көбейтіндісі т.б.Тұқым ретінде біз аналитикалық геометрия есептерін шешу үшін ерекше өзекті болып табылатын екі ережені қайталаймыз.

Үшбұрыштар ережесі бойынша векторларды қосу ережесі

Екі ерікті нөлдік емес векторларды қарастырайық және:

Осы векторлардың қосындысын табу керек. Барлық векторлар бос деп есептелетіндіктен, біз векторды кейінге қалдырамыз Соңывектор:

Векторлардың қосындысы вектор болып табылады. Ережені жақсырақ түсіну үшін оған физикалық мағына берген жөн: қандай да бір дене вектор бойымен, содан кейін вектор бойымен жол жасасын. Сонда векторлардың қосындысы шығу нүктесінен басталып, келу нүктесінде аяқталатын нәтиже жолының векторы болады. Ұқсас ереже векторлардың кез келген санының қосындысы үшін тұжырымдалған. Олар айтқандай, дене өз жолымен қатты зигзагпен жүре алады, немесе мүмкін автопилотта - алынған қосынды векторы бойынша.

Айтпақшы, вектор кейінге қалдырылған болса бастаувекторы болса, онда эквивалент аламыз параллелограмм ережесівекторларды қосу.

Біріншіден, векторлардың коллинеарлығы туралы. Екі вектор деп аталады коллинеарлыегер олар бір түзуде немесе параллель түзулерде жатса. Шамамен айтқанда, біз параллель векторлар туралы айтып отырмыз. Бірақ оларға қатысты «коллинеар» сын есімі әрқашан қолданылады.

Екі коллинеар векторды елестетіңіз. Егер бұл векторлардың көрсеткілері бір бағытқа бағытталған болса, онда мұндай векторлар деп аталады бірлескен бағыттағы. Егер көрсеткілер әртүрлі бағытта көрінсе, онда векторлар болады қарама-қарсы бағытталған.

Белгілері:векторлардың коллинеарлығы әдеттегі параллелизм белгішесімен жазылады: , егжей-тегжейлі болу мүмкін болса: (векторлар бірге бағытталған) немесе (векторлар қарама-қарсы бағытталған).

жұмыссан бойынша нөлге тең емес вектордың ұзындығы -ға тең, ал және векторлары -ға бірге және оған қарсы бағытталған векторы.

Векторды санға көбейту ережесін сурет арқылы түсіну оңай:

Біз толығырақ түсінеміз:

1) Бағыт. Егер көбейткіш теріс болса, онда вектор бағытын өзгертедікерісінше.

2) Ұзындығы. Егер фактор немесе ішінде болса, онда вектордың ұзындығы төмендейді. Сонымен, вектордың ұзындығы вектордың ұзындығынан екі есе аз. Егер модульдің көбейткіші бірден үлкен болса, онда вектордың ұзындығы артадыуақытында.

3) Назар аударыңыз барлық векторлар коллинеар, ал бір вектор басқасы арқылы өрнектеледі, мысалы, . Керісінше де дұрыс: егер бір векторды екіншісімен өрнектеуге болатын болса, онда мұндай векторлар міндетті түрде коллинеар болады. Осылайша: векторды санға көбейтсек, коллинеар болады(түпнұсқаға қатысты) векторы.

4) Векторлар кодирекциялық. және векторлары да кодирекциялық. Бірінші топтың кез келген векторы екінші топтың кез келген векторына қарама-қарсы.

Қандай векторлар тең?

Екі вектор тең, егер олар кодиректорлы болса және ұзындығы бірдей болса. Бірлескен бағыт векторлардың коллинеар екенін білдіретінін ескеріңіз. Анықтама дәл емес (артық) болады, егер сіз: «Екі вектор коллинеар болса, тең бағытталған және ұзындығы бірдей болса, тең болады».

Еркін вектор түсінігі тұрғысынан алғанда, тең векторлар алдыңғы абзацта қарастырылған бірдей векторлар болып табылады.

Жазықтықтағы және кеңістіктегі векторлық координаталар

Бірінші нүкте - жазықтықтағы векторларды қарастыру. Декарттық тікбұрышты координаталар жүйесін сызыңыз және координаталар координаттарын координаттар басынан шетке қойыңыз бойдақвекторлар және:

Векторлар және ортогональды. Ортогональ = Перпендикуляр. Мен терминдерге баяу үйренуді ұсынамын: параллелизм мен перпендикулярлықтың орнына сәйкес сөздерді қолданамыз. коллинеарлықЖәне ортогоналдылық.

Белгіленуі:векторлардың ортогональдығы кәдімгі перпендикуляр таңбамен жазылады, мысалы: .

Қарастырылған векторлар деп аталады координаталық векторларнемесе ортс. Бұл векторлар түзіледі негізібетінде. Неге негізі, менің ойымша, көптеген адамдар үшін интуитивті түрде түсінікті, толығырақ ақпаратты мақаладан табуға болады. Векторлардың сызықтық (бейне) тәуелділігі. Векторлық негіз.Қарапайым сөзбен айтқанда, координаттардың негізі мен бастауы бүкіл жүйені анықтайды - бұл толық және бай геометриялық өмір қайнайтын іргетастың бір түрі.

Кейде құрастырылған негіз деп аталады ортонормальдықжазықтықтың негізі: «орто» - координаталық векторлар ортогональ болғандықтан, «нормаланған» сын есім бірлік дегенді білдіреді, яғни. базистік векторлардың ұзындықтары біреуге тең.

Белгіленуі:негізі әдетте жақшаның ішінде жазылады, оның ішінде қатаң тәртіптебазистік векторлар тізімделген, мысалы: . Координаталық векторлар тыйым салынғанорындарын ауыстырады.

Кез келгенжазықтық векторы жалғыз жолбылайша көрсетілген:
, қайда - сандар, деп аталады векторлық координаталаросы негізде. Бірақ өрнектің өзі шақырды векторлық ыдыраунегізі .

Кешкі ас берілді:

Алфавиттің бірінші әрпінен бастайық: . Сызбада векторды базис бойынша ыдырату кезінде жаңа ғана қарастырылғандар қолданылатыны анық көрсетілген:
1) векторды санға көбейту ережесі: және ;
2) үшбұрыш ережесі бойынша векторларды қосу: .

Енді векторды жазықтықтың кез келген басқа нүктесінен ойша бөліңіз. Оның жемқорлығы «қауіпсіз соңынан еретіні» анық. Міне, вектордың еркіндігі - вектор «бәрін өзіңізбен бірге алып жүреді». Бұл қасиет, әрине, кез келген векторға қатысты. Бір қызығы, негізгі (еркін) векторлардың өздері бастапқыдан бөлектелудің қажеті жоқ, біреуін, мысалы, төменгі сол жақта, екіншісін жоғарғы оң жақта сызуға болады, одан ештеңе өзгермейді! Рас, мұны істеудің қажеті жоқ, өйткені мұғалім де өзіндік ерекшелігін көрсетеді және күтпеген жерде сізге «жол» тартады.

Векторлар , векторды санға көбейту ережесін нақты суреттейді, вектор базистік вектормен бірге бағытталған, вектор базистік векторға қарама-қарсы бағытталған. Бұл векторлар үшін координаттардың бірі нөлге тең, оны келесідей мұқият жазуға болады:


Ал базистік векторлар, айтпақшы, мынадай: (шын мәнінде олар өздері арқылы өрнектеледі).

Ақыр соңында: , . Айтпақшы, векторды алу дегеніміз не және мен сізге азайту ережесін неге айтпадым? Сызықтық алгебраның бір жерінде, қай жерде есімде жоқ, мен азайтудың қосудың ерекше жағдайы екенін атап өттім. Сонымен, «de» және «e» векторларының кеңейтулері қосынды түрінде тыныш жазылады: . Үшбұрыш ережесіне сәйкес векторларды қосудың осы жағдайларда қаншалықты жақсы жұмыс істейтінін көру үшін сызбаны орындаңыз.

Пішіннің ыдырауы қарастырылады кейде векторлық ыдырау деп аталады жүйеде ort(яғни бірлік векторлар жүйесінде). Бірақ бұл векторды жазудың жалғыз жолы емес, келесі нұсқа жиі кездеседі:

Немесе тең белгісімен:

Базистік векторлардың өзі былай жазылады: және

Яғни вектордың координаталары жақшада көрсетілген. Практикалық тапсырмаларда жазудың үш нұсқасы да қолданылады.

Мен сөйлеймін бе деп күдіктендім, бірақ бәрібір айтамын: векторлық координаталарды қайта реттеу мүмкін емес. Қатаң бірінші орындабірлік векторға сәйкес келетін координатаны жазыңыз, қатаң екінші орындабірлік векторға сәйкес келетін координатаны жазыңыз . Шынында да, олар екі түрлі вектор.

Біз жазықтықтағы координаталарды анықтадық. Енді үш өлшемді кеңістіктегі векторларды қарастырайық, мұнда бәрі дерлік бірдей! Тек тағы бір координат қосылады. Үш өлшемді сызбаларды орындау қиын, сондықтан мен бір вектормен шектелемін, оны қарапайымдылық үшін бастапқыдан кейінге қалдырамын:

Кез келген 3D кеңістік векторы жалғыз жолортонормальдық негізде кеңейту:
, мұндағы берілген негіздегі вектордың (санның) координаталары.

Суреттегі мысал: . Мұнда векторлық әрекет ережелері қалай жұмыс істейтінін көрейік. Біріншіден, векторды санға көбейту: (қызыл көрсеткі), (жасыл көрсеткі) және (қызыл көрсеткі). Екіншіден, бірнеше, бұл жағдайда үш векторды қосу мысалы: . Қосынды векторы шығудың бастапқы нүктесінен (вектордың басы) басталып, соңғы келу нүктесінде (вектордың аяғында) аяқталады.

Үшөлшемді кеңістіктің барлық векторлары, әрине, еркін, векторды кез келген басқа нүктеден ойша кейінге қалдыруға тырысыңыз, және сіз оның кеңеюі «онымен бірге қалатынын» түсінесіз.

Жазумен қатар, ұшақ корпусына ұқсас жақшалары бар нұсқалар кеңінен қолданылады: не .

Кеңейтуде бір (немесе екі) координат векторы жоқ болса, оның орнына нөлдер қойылады. Мысалдар:
векторы (мұқият ) - жаз ;
векторы (мұқият ) - жаз ;
векторы (мұқият ) - жаз .

Базистік векторлар былай жазылады:

Мұнда аналитикалық геометрия есептерін шешу үшін қажетті ең аз теориялық білімнің барлығы болуы мүмкін. Мүмкін, терминдер мен анықтамалар тым көп, сондықтан мен манекендерге бұл ақпаратты қайта оқып, түсінуді ұсынамын. Және кез келген оқырман материалды жақсы меңгеру үшін мезгіл-мезгіл негізгі сабаққа сілтеме жасау пайдалы болады. Коллинеарлық, ортогональдық, ортонормальдық базис, векторлық декомпозиция - осы және басқа ұғымдар келесіде жиі қолданылатын болады. Мен сайттың материалдары теориялық сынақтан, геометрия бойынша коллоквиумнан өту үшін жеткіліксіз екенін ескертемін, өйткені мен барлық теоремаларды мұқият шифрлаймын (дәлелдеусіз басқа) - презентацияның ғылыми стиліне зиян келтіреді, бірақ түсінуіңіз үшін плюс. тақырыптың. Егжей-тегжейлі теориялық ақпарат алу үшін профессор Атанасянға бас иуді сұраймын.

Енді практикалық бөлімге көшейік:

Аналитикалық геометрияның қарапайым есептері.
Координаталардағы векторлары бар әрекеттер

Қарастырылатын тапсырмалар, оларды толығымен автоматты түрде шешуді және формулаларды білу өте қажет. жаттау, тіпті әдейі есіне түсірмейді, олар өздері есте сақтайды =) Бұл өте маңызды, өйткені аналитикалық геометрияның басқа есептері қарапайым қарапайым мысалдарға негізделген және пешке жеуге артық уақыт жұмсау тітіркендіреді. Көйлегіңіздің жоғарғы түймелерін бекітудің қажеті жоқ, көп нәрсе сізге мектептен таныс.

Материалды ұсыну параллельді бағытты ұстанады - жазықтық үшін де, кеңістік үшін де. Себебі барлық формулалар ... сіз өзіңіз көресіз.

Екі нүкте берілген векторды қалай табуға болады?

Егер жазықтықтың екі нүктесі және берілген болса, онда вектордың келесі координаталары болады:

Егер кеңістіктегі екі нүкте берілген болса, онда вектордың келесі координаталары болады:

Яғни, вектордың соңының координаталарынансәйкес координаталарды алып тастау керек векторлық басталуы.

Тапсырма:Сол нүктелер үшін вектордың координаталарын табу формулаларын жазыңыз. Сабақтың соңындағы формулалар.

1-мысал

Жазықтықтағы екі нүкте берілген және . Вектор координаталарын табыңыз

Шешімі:сәйкес формула бойынша:

Сонымен қатар, келесі белгілерді қолдануға болады:

Эстеттер былай шешеді:

Өз басым рекордтың бірінші нұсқасына үйреніп қалғанмын.

Жауап:

Шарт бойынша, сызбаны салу талап етілмеді (бұл аналитикалық геометрия есептеріне тән), бірақ кейбір ойларды манекендерге түсіндіру үшін мен тым жалқау болмаймын:

Түсіну керек нүкте координаталары мен вектор координаталары арасындағы айырмашылық:

Нүкте координаттарытікбұрышты координаталар жүйесіндегі кәдімгі координаттар. 5-6 сыныптан бастап координаталық жазықтықта нүктелерді салуды бәрі біледі деп ойлаймын. Әрбір нүктенің ұшақта қатаң орны бар және оларды ешқайда жылжыту мүмкін емес.

Бірдей вектордың координаталарынегізіне қатысты оның кеңеюі болып табылады, бұл жағдайда. Кез келген вектор бос, сондықтан, егер қажет болса немесе қажет болса, біз оны жазықтықтың басқа нүктесінен оңай кейінге қалдыра аламыз (шатастыруды болдырмау үшін оның атын, мысалы, арқылы өзгерту). Бір қызығы, векторлар үшін осьтерді мүлде құра алмайсыз, тікбұрышты координаталар жүйесі, сізге тек базис қажет, бұл жағдайда жазықтықтың ортонормальдық негізі.

Нүкте координаталары мен вектор координаттарының жазбалары ұқсас сияқты: , және координаттар сезімімүлдем әртүрлі, және сіз бұл айырмашылықты жақсы білуіңіз керек. Бұл айырмашылық, әрине, кеңістікке де қатысты.

Ханымдар мен мырзалар, біз қолымызды толтырамыз:

2-мысал

а) Берілген ұпайлар және . және векторларын табыңыз.
б) Ұпайлар беріледі Және . және векторларын табыңыз.
в) Берілген ұпайлар және . және векторларын табыңыз.
г) Ұпайлар беріледі. Векторларды табыңыз .

Мүмкін жеткілікті. Бұл тәуелсіз шешімнің мысалдары, оларды елемеуге тырысыңыз, ол өтеледі ;-). Сызбалар қажет емес. Сабақтың соңындағы шешімдер мен жауаптар.

Аналитикалық геометрия есептерін шешуде не маңызды?«Екі плюс екі нөлге тең» деген шебер қатені болдырмау үшін АСЫҚ САҚ болу маңызды. Қателік болса алдын ала кешірім сұраймын =)

Кесіндінің ұзындығын қалай табуға болады?

Ұзындық, жоғарыда айтылғандай, модуль белгісімен көрсетіледі.

Егер жазықтықтың екі нүктесі және берілген болса, онда кесіндінің ұзындығын формула бойынша есептеуге болады

Егер кеңістікте екі нүкте және берілген болса, онда кесіндінің ұзындығын формула бойынша есептеуге болады

Ескерту: Сәйкес координаттар ауыстырылса, формулалар дұрыс болып қалады: және , бірақ бірінші опция стандарттырақ

3-мысал

Шешімі:сәйкес формула бойынша:

Жауап:

Түсінікті болу үшін мен сурет саламын

Бөлім - бұл вектор емес, және сіз оны ешқайда жылжыта алмайсыз, әрине. Сонымен қатар, масштабтау үшін сызбаны аяқтасаңыз: 1 бірлік. \u003d 1 см (екі тетрад ұяшығы), содан кейін жауапты сегменттің ұзындығын тікелей өлшеу арқылы кәдімгі сызғышпен тексеруге болады.

Иә, шешім қысқа, бірақ мен түсіндіргім келетін бірнеше маңызды тармақтар бар:

Біріншіден, жауапта біз өлшемді орнаттық: «бірліктер». Шарт оның НЕ екенін, миллиметрді, сантиметрді, метрді немесе километрді айтпайды. Сондықтан жалпы тұжырым математикалық сауатты шешім болады: «бірліктер» - «бірліктер» деп қысқартылған.

Екіншіден, қарастырылған мәселеге ғана емес пайдалы мектеп материалын қайталайық:

назар аударыңыз маңызды техникалық трюк – көбейткішті түбір астынан шығару. Есептеулер нәтижесінде біз нәтиже алдық және жақсы математикалық стиль көбейткішті түбірдің астынан шығаруды қамтиды (мүмкіндігінше). Процесс толығырақ келесідей көрінеді: . Әрине, жауапты формада қалдыру қате болмайды - бірақ бұл мұғалім тарапынан кемшілік пен салмақты дәлел.

Міне, басқа жиі кездесетін жағдайлар:

Көбінесе, мысалы, түбір астында жеткілікті үлкен сан алынады. Мұндай жағдайларда қалай болу керек? Калькуляторда санның 4-ке бөлінетінін тексереміз:. Иә, толығымен бөліңіз, осылайша: . Немесе санды қайтадан 4-ке бөлуге болады ма? . Осылайша: . Санның соңғы цифры тақ, сондықтан үшінші рет 4-ке бөлу мүмкін емес. Тоғызға бөлуге тырысу: . Нәтижесінде:
Дайын.

Шығару:егер түбірдің астынан мүлдем алынбайтын сан келсе, онда біз түбірдің астынан көбейткішті шығаруға тырысамыз - калькуляторда санның келесіге бөлінетінін тексереміз: 4, 9, 16, 25, 36, 49, т.б.

Әртүрлі есептерді шешу барысында түбірлер жиі кездеседі, мұғалімнің ескертуі бойынша өз шешімдеріңізді аяқтай отырып, төмен балл мен қажетсіз қиындықтарды болдырмау үшін әрқашан түбірдің астынан факторларды алуға тырысыңыз.

Түбірлердің және басқа дәрежелердің квадратын бір уақытта қайталайық:

Жалпы нысандағы дәрежелері бар әрекеттердің ережелерін алгебра бойынша мектеп оқулығында табуға болады, бірақ менің ойымша, барлығы немесе барлығы дерлік келтірілген мысалдардан түсінікті.

Кеңістіктегі сегменті бар тәуелсіз шешімге тапсырма:

4-мысал

Берілген ұпайлар және . Кесіндінің ұзындығын табыңыз.

Сабақ соңында шешу және жауап беру.

Вектордың ұзындығын қалай табуға болады?

Жазық вектор берілген болса, онда оның ұзындығы формула бойынша есептеледі.

Егер кеңістік векторы берілсе, онда оның ұзындығы формула бойынша есептеледі .

Бұл формулалар (сонымен қатар сегмент ұзындығының формулалары) әйгілі Пифагор теоремасы арқылы оңай шығарылады.

Вектор – оның сандық мәнімен және бағытымен сипатталатын шама. Басқаша айтқанда, вектор бағытталған сегмент болып табылады. Позиция векторыКеңістіктегі АВ бастапқы нүктенің координаталары арқылы беріледі векторыА және соңғы нүктелер векторы B. Ортаның координаталарын қалай анықтау керектігін қарастырыңыз векторы.

Нұсқау

Алдымен басы мен соңының белгісін анықтайық векторы. Егер вектор АВ түрінде жазылса, онда А нүктесі басы болады векторы, ал В нүктесі - соңы. Керісінше, үшін векторы BA B нүктесі - бастау векторы, ал А нүктесі – соңы. Бастың координатасы бар АВ векторы берілсін векторы A = (a1, a2, a3) және соңы векторы B = (b1, b2, b3). Содан кейін координаталар векторы AB келесідей болады: AB = (b1 - a1, b2 - a2, b3 - a3), яғни. соңғы координатадан векторысәйкес бастау координатын алып тастау керек векторы. Ұзындығы векторыАВ (немесе оның модулі) оның координаталары квадраттарының қосындысының квадрат түбірі ретінде есептеледі: |AB| = ?((b1 – a1)^2 + (b2 – a2)^2 + (b3 – a3)^2).

Ортасы болатын нүктенің координаталарын табыңыз векторы. Оны O = (o1, o2, o3) әрпімен белгілеңіз. Ортасының координаталарын табыңыз векторыдұрыс кесіндінің ортасының координаталары сияқты, келесі формулалар бойынша: o1 = (a1 + b1)/2, o2 = (a2 + b2)/2 , o3 = (a3 + b3)/2. Координаталарды табайық векторы AO: AO = (o1 - a1, o2 - a2, o3 - a3) = ((b1 - a1)/2, (b2 - a2)/2, (b3 - a3)/2).

Мысал қарастырайық. АВ векторы координаталар координаталарымен бірге берілсін векторы A = (1, 3, 5) және аяқталады векторы B = (3, 5, 7). Содан кейін координаталар векторыАВ АВ = (3 - 1, 5 - 3, 7 - 5) = (2, 2, 2) түрінде жазылуы мүмкін. Модульді табайық векторы AB: |AB| = ?(4 + 4 + 4) = 2 * ?3. Көрсетілген ұзындық мәні векторыортаның координаталарының дұрыстығын одан әрі тексеруге көмектеседі векторы. Одан әрі О нүктесінің координаталарын табамыз: O = ((1 + 3)/2, (3 + 5)/2, (5 + 7)/2) = (2, 4, 6). Содан кейін координаталар векторы AO AO = (2 - 1, 4 - 3, 6 - 5) = (1, 1, 1) ретінде есептеледі.

Тексеріп көрейік. Ұзындығы векторы AO = ?(1 + 1 + 1) = ?3. Еске салайық, түпнұсқаның ұзындығы векторы 2 * ?3-ке тең, яғни. жартысы векторышын мәнінде түпнұсқаның ұзындығының жартысына тең векторы. Енді координаталарды есептейік векторыОБ: ОБ = (3 - 2, 5 - 4, 7 - 6) = (1, 1, 1). AO және OB векторларының қосындысын табайық: AO + OB = (1 + 1, 1 + 1, 1 + 1) = (2, 2, 2) = AB. Сондықтан ортаның координаталары векторыдұрыс табылды.

Пайдалы кеңес

Вектордың ортасының координаталарын есептегеннен кейін, ең болмағанда қарапайым тексеруді орындауды ұмытпаңыз - вектордың ұзындығын есептеңіз және оны осы вектордың ұзындығымен салыстырыңыз.

Бұл мақалада сіз және біз геометриядағы көптеген есептерді қарапайым арифметикаға дейін азайтуға мүмкіндік беретін бір «сиқырлы таяқша» туралы талқылауды бастаймыз. Бұл «таяқша» сіздің өміріңізді айтарлықтай жеңілдетеді, әсіресе кеңістіктік фигураларды, кесінділерді және т.б. салуда өзіңізді сенімсіз сезінген кезде. Мұның бәрі белгілі бір қиял мен практикалық дағдыларды қажет етеді. Біз мұнда қарастыра бастайтын әдіс геометриялық конструкциялар мен пайымдаулардың барлық түрлерінен толығымен дерлік абстракциялауға мүмкіндік береді. Әдіс деп аталады «Координат әдісі». Бұл мақалада біз келесі сұрақтарды қарастырамыз:

1. Координаталық жазықтық
2. Жазықтықтағы нүктелер мен векторлар
3. Екі нүктеден вектор құру
4. Вектор ұзындығы (екі нүкте арасындағы қашықтық).
5. Ортаңғы нүкте координаттары
6. Векторлардың нүктелік көбейтіндісі
7. Екі вектор арасындағы бұрыш

Менің ойымша, сіз координат әдісі неге бұлай аталды деп ойладыңыз ба? Оның мұндай атау алғаны рас, өйткені ол геометриялық объектілермен емес, олардың сандық сипаттамаларымен (координаттарымен) әрекет етеді. Ал геометриядан алгебраға өтуге мүмкіндік беретін түрлендірудің өзі координаттар жүйесін енгізуден тұрады. Егер бастапқы фигура жазық болса, онда координаталар екі өлшемді, ал фигура үш өлшемді болса, онда координаталар үш өлшемді болады. Бұл мақалада біз тек екі өлшемді жағдайды қарастырамыз. Мақаланың негізгі мақсаты - координаталық әдістің кейбір негізгі әдістерін қолдануды үйрету (олар кейде Бірыңғай мемлекеттік емтиханның В бөлігіндегі планиметрия есептерін шешу кезінде пайдалы болып шығады). Осы тақырып бойынша келесі екі бөлім С2 есептерін шешу әдістерін талқылауға арналған (стереометрия мәселесі).

Координат әдісін талқылауды қайдан бастау қисынды болар еді? Координаталар жүйесі деген ұғыммен болса керек. Онымен алғаш кездескен кезіңді есіңе түсір. Менің ойымша, сіз 7-сыныпта, мысалы, сызықтық функцияның бар екенін білгенде. Еске сала кетейін, сіз оны нүкте-нүкте тұрғызғансыз. Сенің есіңде ме? Сіз ерікті санды таңдадыңыз, оны формулаға ауыстырдыңыз және осылайша есептедіңіз. Мысалы, егер, онда, егер, онда, т.б.Нәтижесінде не алдыңыз? Ал сіз координаттары бар ұпайлар алдыңыз: және. Содан кейін сіз «крест» (координаталар жүйесі) сыздыңыз, ондағы масштабты таңдадыңыз (бір сегмент ретінде қанша ұяшыққа ие боласыз) және оған алынған нүктелерді белгіледіңіз, содан кейін сіз оларды түзу сызықпен байланыстырдыңыз, алынған сызық функцияның графигі болып табылады.

Сізге аздап егжей-тегжейлі түсіндіру қажет бірнеше нәрсе бар:

1. Ыңғайлылық үшін сіз бір сегментті таңдайсыз, сонда бәрі суретте әдемі және ықшам орналасады.

2. Ось солдан оңға қарай, ал ось төменнен жоғарыға қарай жүреді деп есептеледі

3. Олар тік бұрыш жасап қиылысады, ал олардың қиылысу нүктесі координат басы деп аталады. Ол әріппен белгіленген.

4. Нүкте координатасының жазбасында, мысалы, жақшаның ішінде сол жақта нүктенің осі бойынша координатасы, ал оң жағында ось бойымен орналасқан. Атап айтқанда, жай ғана нүктені білдіреді

5. Координаталар осіне кез келген нүктені орнату үшін оның координаталарын (2 сан) көрсету керек.

6. Осьте жатқан кез келген нүкте үшін,

7. Осьте жатқан кез келген нүкте үшін,

8. Ось х осі деп аталады

9. Ось у осі деп аталады

Енді сізбен келесі қадамды жасайық: екі нүктені белгілеңіз. Осы екі нүктені түзу арқылы қосыңыз. Ал көрсеткіні нүктеден нүктеге кесінді сызып жатқандай қоямыз: яғни біз сегментімізді бағытталған етеміз!

Бағытталған сегменттің басқа атауы қандай екенін есте сақтаңыз ба? Дұрыс, ол вектор деп аталады!

Сонымен, нүктені нүктеге қосатын болсақ, және басы А нүктесі, ал соңы В нүктесі болады,онда векторды аламыз. Сіз де бұл құрылысты 8-сыныпта жасадыңыз, есіңде ме?

Нүктелер сияқты векторларды екі санмен белгілеуге болады екен: бұл сандар вектордың координаталары деп аталады. Сұрақ: оның координаталарын табу үшін вектордың басы мен соңының координаталарын білу жеткілікті деп ойлайсыз ба? Иә екен! Және мұны істеу өте оңай:

Сонымен, векторда нүкте басы және соңы болғандықтан, вектордың келесі координаталары болады:

Мысалы, егер, онда вектордың координаталары

Енді керісінше жасайық, вектордың координаталарын табайық. Бұл үшін нені өзгертуіміз керек? Иә, басы мен соңын ауыстыру керек: енді вектордың басы нүктеде, ал соңы нүктеде болады. Содан кейін:

Мұқият қараңыз, векторлардың айырмашылығы неде? Олардың жалғыз айырмашылығы - координаталардағы белгілер. Олар қарама-қарсы. Бұл факт былай жазылған:

Кейде, егер вектордың қай нүктесінің басы, қайсысының соңы екені нақты айтылмаса, онда векторлар екі бас әріппен емес, бір кіші әріппен белгіленеді, мысалы: және т.б.

Енді аздап тәжірибекелесі векторлардың координаталарын табыңыз:

Емтихан:

Енді мәселені сәл қиынырақ шешіңіз:

Нүктесінде on-cha-scrap бар векторлық торус ко-ор-ди-он-сізге ие. Табу-di-te abs-cis-su нүктелері.

Бәрі бірдей прозалық: нүктенің координаттары болсын. Содан кейін

Вектордың координаталары қандай екенін анықтау арқылы жүйені құрастырдым. Сонда нүктенің координаттары болады. Бізді абсцисса қызықтырады. Содан кейін

Жауап:

Векторлармен тағы не істеуге болады? Иә, барлығы дерлік қарапайым сандармен бірдей (бөлуге болмайды, бірақ сіз екі жолмен көбейте аласыз, олардың біреуін кейінірек қарастырамыз)

1. Векторларды бір-бірімен қатар қоюға болады
2. Векторларды бір-бірінен алуға болады
3. Векторларды нөлден басқа ерікті санға көбейтуге (немесе бөлуге) болады
4. Векторларды бір-бірімен көбейтуге болады

Бұл операциялардың барлығында жеткілікті көрнекі геометриялық көрініс бар. Мысалы, қосу және азайту үшін үшбұрыш (немесе параллелограмм) ережесі:

Санға көбейткенде немесе бөлгенде вектор созылады немесе кішірейеді немесе бағытын өзгертеді:

Дегенмен, бұл жерде бізді координаттармен не болатыны туралы сұрақ қызықтырады.

1. Екі векторды қосқанда (азайтқанда) олардың координаталық элементін элемент бойынша қосамыз (азайтамыз). Яғни:

2. Векторды санға көбейткенде (бөлгенде) оның барлық координаттары осы санға көбейтіледі (бөлінеді):

Мысалға:

· Табу-ди-қо-ор-ди-нат ғасыр-то-ра қосындысын.

Алдымен векторлардың әрқайсысының координаталарын табайық. Екеуінің де шығу тегі бір – бастау нүктесі. Олардың соңы әртүрлі. Содан кейін, . Енді вектордың координаталарын есептейміз Сонда алынған вектордың координаталарының қосындысы тең болады.

Жауап:

Енді келесі мәселені өзіңіз шешіңіз:

· Вектордың координаталарының қосындысын табыңыз

Біз тексереміз:

Енді мына есепті қарастырайық: координаталық жазықтықта екі нүктеміз бар. Олардың арасындағы қашықтықты қалай табуға болады? Бірінші нүкте болсын, ал екіншісі. Олардың арасындағы қашықтықты деп белгілейік. Түсінікті болу үшін келесі сызбаны жасайық:

Мен не істедім? Мен, біріншіден, нүктелерді қостым және, сонымен қатар нүктеден оське параллель түзу жүргіздім және нүктеден оське параллель түзу жүргіздім. Олар бір нүктеде қиылысып, керемет фигураны құрады ма? Ол неге керемет? Иә, сіз және біз тікбұрышты үшбұрыш туралы бәрін білеміз. Әрине, Пифагор теоремасы. Қажетті сегмент - бұл үшбұрыштың гипотенузасы, ал сегменттері - катеттері. Нүктенің координаталары қандай? Иә, оларды суреттен табу оңай: кесінділер осьтерге параллель болғандықтан және сәйкесінше олардың ұзындықтарын табу оңай: егер кесінділердің ұзындықтарын сәйкесінше арқылы белгілесек, онда

Енді Пифагор теоремасын қолданайық. Біз аяқтардың ұзындығын білеміз, гипотенузаны табамыз:

Осылайша, екі нүкте арасындағы қашықтық координаталар арасындағы квадраттық айырмашылықтардың түбірлік қосындысы болып табылады. Немесе - екі нүктенің арақашықтығы оларды қосатын кесіндінің ұзындығы. Нүктелер арасындағы қашықтық бағытқа байланысты емес екенін байқау қиын емес. Содан кейін:

Бұдан біз үш қорытынды шығарамыз:

Екі нүкте арасындағы қашықтықты есептеуге біраз жаттығып көрейік:

Мысалы, егер, онда мен арасындағы қашықтық

Немесе басқаша жүрейік: вектордың координаталарын табыңыз

Және вектордың ұзындығын табыңыз:

Көріп отырғаныңыздай, бәрі бірдей!

Енді өз бетіңізше біраз жаттығыңыз:

Тапсырма: берілген нүктелер арасындағы қашықтықты табыңыз:

Біз тексереміз:

Міне, бірдей формулаға арналған тағы бірнеше мәселе, бірақ олар сәл басқаша естіледі:

1. Қабақтың ұзындығының квадратын ra-ға табыңыз.

2. Nai-di-te квадраты қабақтың ұзындығы-ра

Менің ойымша, сіз оларды оңай жеңе аласыз ба? Біз тексереміз:

1. Ал бұл зейінділік үшін) Векторлардың координаталарын бұрын да таптық: . Сонда вектордың координаттары болады. Оның ұзындығының квадраты:

2. Вектордың координаталарын табыңыз

Сонда оның ұзындығының квадраты болады

Ештеңе күрделі емес, солай ма? Қарапайым арифметика, басқа ештеңе емес.

Келесі басқатырғыштарды бір мәнді түрде жіктеуге болмайды, олар жалпы эрудицияға және қарапайым суреттер салуға арналған.

1. Қиықтағы бұрыштың сол синусын табыңыз, абсцисса осімен бір-н-ші нүктені қосыңыз.

Және

Біз мұны мұнда қалай жасаймыз? осі мен арасындағы бұрыштың синусын табу керек. Ал синусты қайдан іздеуге болады? Дұрыс, тікбұрышты үшбұрышта. Сонымен не істеуіміз керек? Мына үшбұрышты құрастыр!

Өйткені нүктенің координаталары және, содан кейін кесіндісі тең және кесінді. Біз бұрыштың синусын табуымыз керек. Естеріңізге сала кетейін, синус қарама-қарсы катеттің гипотенузаға қатынасы болып табылады

Бізге не істеу керек? Гипотенузаны табыңыз. Мұны екі жолмен жасауға болады: Пифагор теоремасын пайдалану (аяғы белгілі!) немесе екі нүкте арасындағы қашықтық формуласын пайдалану (шын мәнінде бірінші әдіспен бірдей!). Мен екінші жолмен барамын:

Жауап:

Келесі тапсырма сізге оңайырақ болып көрінеді. Ол - нүктенің координаталары бойынша.

2-тапсырма.Нүктеден пер-пен-ди-ку-лар абс-цисс осіне түсіріледі. Най-ди-те абс-цис-су ос-но-ва-ния пер-пен-ди-ку-ла-ра.

Сурет салайық:

Перпендикуляр негізі ол х осімен қиылысатын нүкте (ось) мен үшін бұл нүкте. Суретте оның координаталары бар екені көрсетілген: . Бізді абсцисса – яғни «Х» компоненті қызықтырады. Ол тең.

Жауап: .

3-тапсырма.Алдыңғы есептің шарты бойынша нүктеден координата осьтеріне дейінгі қашықтықтардың қосындысын табыңыз.

Егер сіз нүктеден осьтерге дейінгі қашықтық қандай екенін білсеңіз, тапсырма әдетте қарапайым болып табылады. Сен білесің? Үміттенемін, бірақ бәрібір еске саламын:

Сонымен, сәл жоғары орналасқан сызбамда мен осындай перпендикулярдың біреуін бейнеледім бе? Ол қандай ось? осіне. Сонда оның ұзындығы қанша? Ол тең. Енді оське перпендикулярды өзіңіз сызыңыз және оның ұзындығын табыңыз. Ол тең болады, солай ма? Сонда олардың қосындысы тең болады.

Жауап: .

4-тапсырма. 2 есептің шарттарында х осіне қатысты нүктеге симметриялы нүктенің ординатасын табыңыз.

Менің ойымша, сіз симметрияның не екенін интуитивті түрде түсінесіз бе? Бұл өте көп нысандарда бар: көптеген ғимараттар, кестелер, ұшақтар, көптеген геометриялық фигуралар: шар, цилиндр, шаршы, ромб және т.б. Симметрияны дөрекі түрде былайша түсінуге болады: фигура екіден (немесе одан да көп) тұрады. бірдей жартылар. Бұл симметрия осьтік деп аталады. Сонда ось дегеніміз не? Бұл фигураны салыстырмалы түрде бірдей екіге «қиып алуға» болатын сызық (бұл суретте симметрия осі түзу):

Енді тапсырмамызға оралайық. Біз оське қатысты симметриялы нүктені іздейтінімізді білеміз. Сонда бұл ось симметрия осі болады. Сонымен, ось кесіндіні екі тең бөлікке кесетіндей нүктені белгілеуіміз керек. Мұндай нүктені өзіңіз белгілеп көріңіз. Енді менің шешіміммен салыстырыңыз:

Сіз де солай істедіңіз бе? Жақсы! Табылған нүктеде бізді ордината қызықтырады. Ол тең

Жауап:

Енді бір секунд ойланғаннан кейін айтыңызшы, У осіне қатысты А нүктесіне симметриялы нүктенің абсциссасы қандай болады? Сіздің жауабыңыз қандай? Дұрыс жауап: .

Жалпы ережені былай жазуға болады:

Х осіне қатысты нүктеге симметриялы нүктенің координаталары болады:

У осіне қатысты нүктеге симметриялы нүктенің координаттары болады:

Енді бұл шынымен қорқынышты. тапсырма: нүктесіне қатысты симметриялы нүктенің координаталарын табыңыз. Алдымен өзің ойла, сосын менің суретіме қара!

Жауап:

Қазір параллелограмм мәселесі:

5-тапсырма: Ұпайлар вер-ши-на-ми-па-рал-ле-ло-грам-ма. Табу-ди-те немесе-ди-он-ту нүктелері.

Бұл мәселені екі жолмен шешуге болады: логика және координат әдісі. Мен алдымен координат әдісін қолданамын, содан кейін қалай басқаша шешім қабылдауға болатынын айтамын.

Нүктенің абсциссасы тең екені анық. (ол нүктеден х осіне жүргізілген перпендикулярда жатыр). Ординатаны табуымыз керек. Біздің фигурамыздың параллелограмм екенін пайдаланып көрейік, бұл дегеніміз. Екі нүктенің арасындағы қашықтық формуласын пайдаланып кесіндінің ұзындығын табыңыз:

Біз нүктені осімен байланыстыратын перпендикулярды төмендетеміз. Қиылысу нүктесі әріппен белгіленеді.

Сегменттің ұзындығы тең. (осы сәтті біз талқылаған мәселені өзіңіз табыңыз), содан кейін Пифагор теоремасын пайдаланып сегменттің ұзындығын табамыз:

Кесіндінің ұзындығы оның ординатасымен бірдей.

Жауап: .

Басқа шешім (мен оны суреттейтін суретті беремін)

Шешім барысы:

1. жұмсаңыз

2. Нүкте координаталары мен ұзындығын табыңыз

3. Дәлелдеңіз.

Тағы бір кесу ұзындығы мәселесі:

Нүктелер-la-yut-xia top-shi-on-mi tri-angle-no-ka. Оның ортаңғы сызығының ұзындығын табыңыз, par-ral-lel-noy.

Үшбұрыштың орта сызығы не екені есіңізде ме? Сонда сіз үшін бұл тапсырма қарапайым. Егер есіңізде болмаса, онда мен сізге еске саламын: үшбұрыштың ортаңғы сызығы - қарама-қарсы қабырғалардың ортаңғы нүктелерін қосатын сызық. Ол негізге параллель және оның жартысына тең.

Негізі сегмент болып табылады. Оның ұзындығын ертерек іздеу керек болды, ол тең. Сонда ортаңғы сызықтың ұзындығы жарты есе ұзын және тең.

Жауап: .

Түсініктеме: Бұл мәселені басқа жолмен шешуге болады, біз оған сәл кейінірек тоқталамыз.

Әзірше, міне, сізге бірнеше тапсырма, олармен айналысыңыз, олар өте қарапайым, бірақ олар координат әдісі арқылы «қолыңызды толтыруға» көмектеседі!

1. Нүктелер пайда болады-la-yut-xia top-shi-on-mi tra-pe-tion. Оның орта сызығының ұзындығын табыңыз.

2. Ұпайлар мен яв-ла-ют-ся вер-ши-на-ми па-рал-ле-ло-грам-ма. Табу-ди-те немесе-ди-он-ту нүктелері.

3. Кесіктен ұзындықты табыңыз, екінші нүктені және қосыңыз

4. Ко-ор-ди-нат-ной жазықтығынан-қызыл-шен-ной фи-гу-ры ауданын табыңыз.

5. Центрі на-ча-ле ко-ор-ди-натта орналасқан шеңбер нүкте арқылы өтеді. Оның ра-ди-мұртын тап-де-те.

6. Nai-di-te ra-di-us шеңбер-no-sti, сипаттау-сан-noy жанында тік бұрыш-no-ka, шыңдары-ши-ny нәрсе-ro-go бар co-or - ди-на-сіз бірге-жауап-бірақ

Шешімдер:

1. Трапецияның орта сызығы оның табандарының қосындысының жартысына тең екені белгілі. Негізі тең, бірақ негізі. Содан кейін

Жауап:

2. Бұл есепті шешудің ең оңай жолы – оны байқау (параллелограмм ережесі). Векторлардың координаталарын есептеңіз және қиын емес: . Векторларды қосқанда координаталар қосылады. Содан кейін координаттары болады. Нүктенің координаталары бірдей, өйткені вектордың басы координаталары бар нүкте. Бізді ордината қызықтырады. Ол тең.

Жауап:

3. Екі нүкте арасындағы қашықтық формуласы бойынша бірден әрекет етеміз:

Жауап:

4. Суретке қарап, қай екі фигураның арасында көлеңкеленген аймақ «қысылып» тұрғанын айт? Ол екі шаршының арасында орналасқан. Сонда қалаған фигураның ауданы үлкен шаршының ауданына, кішінің ауданына тең болады. Кішкентай шаршының жағы нүктелерді қосатын кесінді және оның ұзындығы

Сонда шағын шаршының ауданы болады

Біз үлкен шаршымен де солай істейміз: оның жағы нүктелерді қосатын кесінді және оның ұзындығы тең

Сонда үлкен шаршының ауданы

Қажетті фигураның ауданы мына формула бойынша табылады:

Жауап:

5. Егер шеңбердің координатасы центрі болса және нүкте арқылы өтетін болса, онда оның радиусы кесіндінің ұзындығына тура тең болады (сызбаны жасаңыз және бұл неге анық екенін түсінесіз). Осы кесіндінің ұзындығын табыңыз:

Жауап:

6. Тіктөртбұрышқа сызылған шеңбердің радиусы оның диагоналінің жартысына тең екені белгілі. Екі диагональдың кез келгенінің ұзындығын табайық (төртбұрышта олар тең!)

Жауап:

Ал, сен бәрін реттедің бе? Оны анықтау қиын болған жоқ, солай ма? Мұнда бір ғана ереже бар - визуалды суретті жасау және одан барлық деректерді жай ғана «оқу».

Бізде өте аз қалды. Мен талқылайтын тағы екі мәселе бар.

Осы қарапайым мәселені шешуге тырысайық. Екі ұпай берілсін. Кесіндінің ортасының координаталарын табыңыз. Бұл есептің шешімі келесідей: нүкте қалаған орта болсын, онда оның координаттары болады:

Яғни: кесіндінің ортасының координаталары = сегмент ұштарының сәйкес координаталарының арифметикалық ортасы.

Бұл ереже өте қарапайым және әдетте студенттерге қиындық тудырмайды. Қандай мәселелерде және қалай қолданылатынын көрейік:

1. Қиылғаннан-ди-те немесе-ди-на-ту се-ре-ди-бізді, жалғау-ня-ю-ші нүктені және

2. Нүктелер yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi-che-you-reh-coal-no-ka. Оның диа-го-он-лейінің ре-ре-се-че-ниясының-ди-те немесе-ди-на-ту нүктелерін табыңыз.

3. Шеңбердің центрін табыңыз-ди-те абс-цис-су, тіктөртбұрыштың жанында-сан-нойды сипаттаңыз-no-ka, шыңдар-ши-бізде бірдеңе-ro-go ко-ор-ди- na-сіз бірлесіп-вет-ственно-бірақ.

Шешімдер:

1. Бірінші тапсырма тек классикалық. Біз сегменттің орта нүктесін анықтау арқылы дереу әрекет етеміз. Оның координаттары бар. Ордината тең.

Жауап:

2. Берілген төртбұрыштың параллелограмм (тіпті ромб!) екенін байқау қиын емес. Қабырғаларының ұзындықтарын есептеп, бір-бірімен салыстыру арқылы оны өзіңіз дәлелдей аласыз. Параллелограмм туралы не білемін? Оның диагональдары қиылысу нүктесімен екіге бөлінген! Аха! Сонымен, диагональдардың қиылысу нүктесі қандай? Бұл кез келген диагональдардың ортасы! Мен, атап айтқанда, диагональды таңдаймын. Сонда нүктенің координаталары болады.Нүктенің ординатасы тең.

Жауап:

3. Тіктөртбұрышқа сызылған шеңбердің центрі неге тең? Ол оның диагональдарының қиылысу нүктесімен сәйкес келеді. Тік төртбұрыштың диагональдары туралы не білесіңдер? Олар тең және қиылысу нүктесі екіге бөлінеді. Тапсырма бұрынғыға дейін қысқартылды. Мысалы, диагональды алайық. Егер шеңбердің центрі болса, онда ортасы болады. Мен координаталарды іздеймін: абсцисса тең.

Жауап:

Енді өз беттеріңізше аздап жаттығасыздар, мен әр есептің жауабын ғана беремін, сонда сіз өзіңізді тексере аласыз.

1. Най-ди-те ра-ди-ус шеңбер-но-сти, үшбұрыштың жанында-сан-нойды сипаттаңыз-но-ка, біреу-ро-гоның шыңдарында ко-ор-ди-мистер жоқ.

2. Шеңбердің ортасын табыңыз-ди-те немесе-ди-на-ту, үшбұрыштың жанындағы сан-нойды сипаттаңыз-но-ка, шыңдар-ши-бізде бірдеңе-ро-го координаттары бар.

3. Центрі абс-цисс осіне тиетіндей нүктесінде орналасқан шеңбер қандай ра-ди-й-са болуы керек?

4. Табыңыз-ди-те немесе-ди-он-сол нүктесін қайта-қайта-се-ше-инг осінің және-қиық, жалғау-nya-yu-th-ші нүкте және

Жауаптары:

Бәрі ойдағыдай болды ма? Мен оған шынымен үміттенемін! Енді - соңғы итеру. Енді ерекше сақ болыңыз. Мен қазір түсіндіретін материал В бөлігіндегі қарапайым координат әдісінің есептеріне қатысты ғана емес, сонымен қатар С2 мәселесінде де барлық жерде кездеседі.

Мен уәделерімнің қайсысын әлі орындамадым? Векторларға қандай амалдарды енгізуге уәде бергенімді және қайсысын ең соңында енгізгенімді есіңізде сақтаңыз ба? Мен ештеңені ұмытпағаныма сенімдімін бе? Ұмытып қалдым! Векторларды көбейту нені білдіретінін түсіндіруді ұмытып кетіппін.

Векторды векторға көбейтудің екі жолы бар. Таңдалған әдіске байланысты біз басқа сипаттағы объектілерді аламыз:

Векторлық өнім өте күрделі. Мұны қалай жасауға болады және не үшін қажет, біз сізбен келесі мақалада талқылаймыз. Және бұл жерде біз скаляр көбейтіндісіне тоқталамыз.

Оны есептеуге мүмкіндік беретін екі әдіс бар:

Сіз ойлағандай, нәтиже бірдей болуы керек! Сондықтан алдымен бірінші жолды қарастырайық:

Координаталар арқылы нүктелік көбейтінді

Табу: - нүктелік көбейтіндінің ортақ белгісі

Есептеу формуласы келесідей:

Яғни, нүктенің көбейтіндісі = векторлардың координаталарының көбейтінділерінің қосындысы!

Мысалы:

Find-dee-te

Шешімі:

Әрбір вектордың координаталарын табыңыз:

Скаляр көбейтіндісін мына формула бойынша есептейміз:

Жауап:

Көрдіңіз бе, күрделі ештеңе жоқ!

Енді өзіңіз көріңіз:

Find-di-te скаляр-noe pro-from-ve-de-nie ғасырдан-арық және

Сіз басқардыңыз ба? Мүмкін ол кішкене қулықты байқаған шығар? Тексерейік:

Алдыңғы тапсырмадағыдай векторлық координаталар! Жауап: .

Координатадан басқа скаляр көбейтіндіні есептеудің тағы бір жолы бар, атап айтқанда векторлардың ұзындықтары мен олардың арасындағы бұрыштың косинусы арқылы:

және векторларының арасындағы бұрышты белгілейді.

Яғни, скаляр көбейтіндісі векторлардың ұзындықтары мен олардың арасындағы бұрыштың косинусының көбейтіндісіне тең.

Бұл екінші формула бізге не үшін қажет, егер бізде бірінші формула болса, ол әлдеқайда қарапайым, кем дегенде, онда косинустар жоқ. Бұл бірінші және екінші формулалардан векторлар арасындағы бұрышты қалай табуға болатынын шығару үшін қажет!

Онда вектордың ұзындығының формуласын еске түсірейік!

Содан кейін бұл деректерді нүктелік өнім формуласына қоссам, мынаны аламын:

Бірақ басқа жақтан:

Сонымен, бізде не бар? Енді бізде екі вектор арасындағы бұрышты есептейтін формула бар! Кейде қысқалық үшін былай жазылады:

Яғни, векторлар арасындағы бұрышты есептеу алгоритмі келесідей:

1. Координаттар арқылы скаляр көбейтіндісін есептейміз
2. Векторлардың ұзындықтарын тауып, көбейтіңіз
3. 1-тармақтың нәтижесін 2-тармақтың нәтижесіне бөліңіз

Мысалдармен жаттығу жасайық:

1. Қабақ-ra-mi және арасындағы бұрышты табыңыз. Жауабыңызды градуспен беріңіз.

2. Алдыңғы есептің шарты бойынша векторлар арасындағы косинусты табыңыз

Осылай істейік: бірінші мәселені шешуге көмектесемін, ал екіншісін өзіңіз жасап көріңіз! Келісемін бе? Олай болса бастайық!

1. Бұл векторлар біздің ескі достарымыз. Біз олардың скаляр көбейтіндісін қарастырдық және ол тең болды. Олардың координаталары: , . Содан кейін олардың ұзындығын табамыз:

Содан кейін векторлар арасындағы косинусты іздейміз:

Бұрыштың косинусы неге тең? Бұл бұрыш.

Жауап:

Ал, енді екінші мәселені өзіңіз шешіңіз, сосын салыстырыңыз! Мен өте қысқа шешімді беремін:

2. координаталары бар, координаталары бар.

және векторларының арасындағы бұрыш болсын, онда

Жауап:

Емтихан жұмысының В бөлігінде тікелей векторлар мен координаттар әдісі бойынша тапсырмалар өте сирек кездесетінін атап өткен жөн. Дегенмен, C2 есептерінің басым көпшілігін координаттар жүйесін енгізу арқылы оңай шешуге болады. Сонымен, сіз бұл мақаланы негіз ретінде қарастыра аласыз, оның негізінде біз күрделі мәселелерді шешу үшін қажет болатын күрделі құрылыстарды жасаймыз.

КООРДИНАТТАР ЖӘНЕ ВЕКТОРЛАР. ОРТА ДЕҢГЕЙ

Сіз бен біз координаталар әдісін зерттеуді жалғастырамыз. Соңғы бөлімде біз мүмкіндік беретін бірқатар маңызды формулаларды алдық:

1. Вектор координаталарын табыңыз
2. Вектордың ұзындығын табыңыз (балама: екі нүкте арасындағы қашықтық)
3. Векторларды қосу, азайту. Оларды нақты санға көбейтіңіз
4. Кесіндінің ортасын табыңыз
5. Векторлардың нүктелік көбейтіндісін есептеңдер
6. Векторлар арасындағы бұрышты табыңыз

Әрине, бүкіл координат әдісі бұл 6 нүктеге сәйкес келмейді. Ол аналитикалық геометрия сияқты ғылымның негізінде жатыр, онымен сіз университетте танысасыз. Мен бір ғана күйдегі мәселелерді шешуге мүмкіндік беретін іргетас құрғым келеді. емтихан. Біз В бөлімінің тапсырмаларын анықтадық Енді сапалы жаңа деңгейге көшетін кез келді! Бұл мақала координат әдісіне ауысу орынды болатын C2 есептерін шешу әдісіне арналады. Бұл парасаттылық мәселеде нені табу керектігімен және қандай цифр берілгенімен анықталады. Сонымен, егер сұрақтар болса, координат әдісін қолданамын:

1. Екі жазықтықтың арасындағы бұрышты табыңыз
2. Түзу мен жазықтықтың арасындағы бұрышты табыңыз
3. Екі түзудің арасындағы бұрышты табыңыз
4. Нүктеден жазықтыққа дейінгі қашықтықты табыңыз
5. Нүктеден түзуге дейінгі қашықтықты табыңыз
6. Түзуден жазықтыққа дейінгі қашықтықты табыңыз
7. Екі түзудің арасындағы қашықтықты табыңыз

Егер есеп шартында берілген фигура айналу денесі болса (шар, цилиндр, конус ...)

Координаталық әдіс үшін қолайлы фигуралар:

1. текше тәрізді
2. Пирамида (үшбұрыш, төртбұрыш, алтыбұрыш)

Сондай-ақ менің тәжірибемде үшін координат әдісін қолдану орынсыз:

1. Бөлімдердің аудандарын табу
2. Денелердің көлемдерін есептеу

Дегенмен, координаталық әдіс үшін үш «қолайсыз» жағдай тәжірибеде өте сирек кездесетінін бірден атап өткен жөн. Көптеген тапсырмаларда ол сіздің құтқарушыңыз бола алады, әсіресе сіз үш өлшемді конструкцияларда өте күшті болмасаңыз (бұл кейде өте күрделі).

Мен жоғарыда келтірген барлық сандар қандай? Олар енді шаршы, үшбұрыш, шеңбер сияқты тегіс емес, көлемді! Осыған сәйкес екі өлшемді емес, үш өлшемді координаталар жүйесін қарастыруымыз керек. Ол өте оңай құрастырылған: абсциссалар мен ординаталардан басқа біз қосымша осьті енгіземіз. Суретте олардың салыстырмалы орналасуы схемалық түрде көрсетілген:

Олардың барлығы өзара перпендикуляр, бір нүктеде қиылысады, біз оны бастау деп атаймыз. Абсцисса осі бұрынғыдай, ордината осі - , ал енгізілген қолданбалы ось - деп белгіленеді.

Егер бұрын жазықтықтағы әрбір нүкте екі санмен - абсцисса және ординатамен сипатталса, кеңістіктегі әрбір нүкте қазірдің өзінде үш санмен - абсцисса, ордината, аппликациямен сипатталған. Мысалға:

Сәйкесінше нүктенің абсциссасы тең, ординатасы , ал қосымшасы .

Кейде нүктенің абсциссасын нүктенің абсцисса осіне проекциясы деп те атайды, ордината — нүктенің у осіне проекциясы, аппликация — нүктенің қосымша осіне проекциясы. Сәйкесінше, егер нүкте берілсе, координаталары бар нүкте:

нүктенің жазықтыққа проекциясы деп аталады

нүктенің жазықтыққа проекциясы деп аталады

Табиғи сұрақ туындайды: екі өлшемді жағдай үшін алынған барлық формулалар кеңістікте жарамды ма? Жауап: иә, олар жай және сыртқы түрі бірдей. Кішкентай деталь үшін. Менің ойымша, сіз қайсысын болжайсыз. Барлық формулаларда қосымша осіне жауапты тағы бір терминді қосуымыз керек. Атап айтқанда.

1. Екі нүкте берілсе: , онда:

• Векторлық координаталар:
• Екі нүкте арасындағы қашықтық (немесе вектор ұзындығы)
• Сегменттің ортасында координаталар бар

2. Екі вектор берілген болса: және, онда:

• Олардың нүктелік өнімі:
• Векторлар арасындағы бұрыштың косинусы:

Дегенмен, кеңістік соншалықты қарапайым емес. Түсінгеніңіздей, тағы бір координат қосу осы кеңістікте «өмір сүретін» фигуралардың спектрінде айтарлықтай әртүрлілікті енгізеді. Ал әрі қарай баяндау үшін мен тура сызықтың кейбір, шамамен айтқанда, «жалпылауын» енгізуім керек. Бұл «жалпылау» ұшақ болады. Ұшақ туралы не білесіңдер? Ұшақ дегеніміз не деген сұраққа жауап беруге тырысыңыз. Оны айту өте қиын. Дегенмен, бәріміз оның қалай көрінетінін интуитивті түрде елестетеміз:

Бір сөзбен айтқанда, бұл ғарышқа шексіз «жапырақтың» бір түрі. «Шексіздік» деп түсіну керек, бұл жазықтық барлық бағытта созылады, яғни оның ауданы шексіздікке тең. Дегенмен, бұл «саусақтағы» түсіндірме ұшақтың құрылымы туралы аздаған түсінік бермейді. Және біз оған қызығушылық танытамыз.

Геометрияның негізгі аксиомаларының бірін еске түсірейік:

• Түзу жазықтықта екі түрлі нүкте арқылы өтеді, сонымен қатар тек біреуі:

Немесе оның кеңістіктегі аналогы:

Әрине, сіз екі берілген нүктеден түзу теңдеуін қалай шығару керектігін есіңізде сақтаңыз, бұл қиын емес: егер бірінші нүктеде координаталар болса: ал екіншісінде түзудің теңдеуі келесідей болады:

Сіз 7-сыныпта осыдан өттіңіз. Кеңістікте түзудің теңдеуі келесідей болады: координаталары бар екі нүкте болсын: , онда олар арқылы өтетін түзудің теңдеуі келесідей болады:

Мысалы, сызық нүктелер арқылы өтеді:

Мұны қалай түсіну керек? Мұны келесідей түсіну керек: нүкте координаталары келесі жүйені қанағаттандыратын болса, сызықта жатыр:

Бізді түзудің теңдеуі онша қызықтырмайды, бірақ түзудің бағыттаушы векторының өте маңызды түсінігіне назар аудару керек. - берілген түзуде жатқан немесе оған параллель болатын кез келген нөлдік емес вектор.

Мысалы, екі вектор да түзудің бағыт векторлары болып табылады. Түзуде жатқан нүкте, оның бағыттаушы векторы болсын. Сонда түзу теңдеуін келесі түрде жазуға болады:

Тағы да айтамын, түзу сызықтың теңдеуі мені онша қызықтырмайды, бірақ маған бағыт векторының не екенін есте сақтау керек! Тағы бір рет: бұл түзуде немесе оған параллель жатқан КЕЗ КЕЛГЕН нөлдік емес вектор.

Алып тастау жазықтықтың үш нүктелі теңдеуіенді соншалықты тривиальды емес және әдетте орта мектеп курсында қамтылмайды. Бекер! Бұл әдіс күрделі есептерді шешу үшін координаттар әдісіне жүгінген кезде өте маңызды. Дегенмен, менің ойымша, сізде жаңа нәрсені үйренуге деген құштарлық бар ма? Сонымен қатар, сіз әдетте аналитикалық геометрия курсында оқытылатын әдістемені қалай пайдалану керектігін білетін болсаңыз, университеттегі оқытушыңызды таң қалдыра аласыз. Ендеше, бастайық.

Жазықтық теңдеуі жазықтықтағы түзу теңдеуінен онша ерекшеленбейді, атап айтқанда:

кейбір сандар (барлығы нөлге тең емес), бірақ айнымалылар, мысалы: т.б. Көріп отырғаныңыздай, жазықтықтың теңдеуі түзу теңдеуінен (сызықтық функция) онша ерекшеленбейді. Дегенмен, сізбен не таласып қалғанымыз есіңізде ме? Егер бізде бір түзуде жатпайтын үш нүкте болса, онда олардан жазықтықтың теңдеуі бірегей түрде қалпына келтірілетінін айттық. Бірақ қалай? Мен сізге түсіндіруге тырысамын.

Өйткені жазық теңдеу:

Ал нүктелер осы жазықтыққа жатады, онда әрбір нүктенің координаталарын жазықтық теңдеуіне қойғанда, дұрыс сәйкестендіруді алуымыз керек:

Осылайша, белгісіз үш теңдеуді шешу қажет! Дилемма! Дегенмен, біз әрқашан деп болжауға болады (бұл үшін бөлу керек). Осылайша, үш белгісізі бар үш теңдеу аламыз:

Дегенмен, біз мұндай жүйені шешпейміз, бірақ одан туындайтын құпия өрнекті жазамыз:

Берілген үш нүкте арқылы өтетін жазықтықтың теңдеуі

\[\сол| (\бастау(массив)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(массив)) \оңға| = 0\]

Тоқта! Бұл тағы не? Кейбір өте ерекше модуль! Дегенмен, сіздің алдыңызда көріп тұрған нысанның модульге еш қатысы жоқ. Бұл объект үшінші ретті анықтауыш деп аталады. Енді сіз жазықтықта координаттар әдісімен айналысқанда, дәл осы анықтауыштармен жиі кездесесіз. Үшінші ретті анықтауыш дегеніміз не? Бір қызығы, бұл жай ғана сан. Қандай нақты санды анықтауышпен салыстыратынымызды түсіну қалады.

Алдымен үшінші ретті анықтауышты жалпылама түрде жазайық:

Кейбір сандар қайда. Сонымен қатар, бірінші индекс деп жол нөмірін, ал индекс деп - баған нөмірін айтамыз. Мысалы, бұл берілген сан екінші жол мен үшінші бағанның қиылысында екенін білдіреді. Келесі сұрақты қояйық: мұндай анықтауышты қалай дәл есептейміз? Яғни, оны қандай нақты санмен салыстырамыз? Дәл үшінші ретті анықтауыш үшін эвристикалық (визуалды) үшбұрыш ережесі бар, ол келесідей:

1. Негізгі диагональ элементтерінің көбейтіндісі (жоғарғы солдан төменгі оңға қарай) бірінші үшбұрышты құрайтын элементтердің көбейтіндісі негізгі диагональға "перпендикуляр" екінші үшбұрышты құрайтын элементтердің көбейтіндісі негізгі үшбұрышқа "перпендикуляр" диагональ
2. Қосалқы диагональ элементтерінің көбейтіндісі (жоғарғы оң жақтан төменгі солға қарай) бірінші үшбұрышты құрайтын элементтердің көбейтіндісі екінші үшбұрышты құрайтын элементтердің көбейтіндісі екінші реттік диагональға "перпендикуляр". екіншілік диагональ
3. Сонда анықтауыш және қадамда алынған мәндер арасындағы айырмашылыққа тең болады

Осының барлығын сандармен жазсақ, келесі өрнекті аламыз:

Дегенмен, бұл пішінде есептеу әдісін жаттап алудың қажеті жоқ, тек үшбұрыштарды және не қосылатыны және одан кейін неден шегерілетіні туралы идеяны сақтау жеткілікті).

Үшбұрыш әдісін мысалмен көрсетейік:

1. Анықтаушыны есептеңіз:

Нені қосатынымызды және нені азайтатынымызды анықтайық:

«Плюс» белгісімен келетін терминдер:

Бұл негізгі диагональ: элементтердің туындысы болып табылады

Бірінші үшбұрыш, «негізгі диагональға перпендикуляр: элементтердің туындысы болып табылады

Екінші үшбұрыш, «негізгі диагональға перпендикуляр: элементтердің туындысы болып табылады

Біз үш санды қосамыз:

«минус» белгісімен келетін терминдер

Бұл бүйірлік диагональ: элементтердің көбейтіндісі

Бірінші үшбұрыш, « қайталама диагональға перпендикуляр: элементтердің туындысы болып табылады

Екінші үшбұрыш, « қайталама диагональға перпендикуляр: элементтердің туындысы болып табылады

Біз үш санды қосамыз:

Тек плюс мүшелерінің қосындысынан минус мүшелерінің қосындысын алу ғана қалды:

Осылайша,

Көріп отырғаныңыздай, үшінші ретті анықтауыштарды есептеуде күрделі және табиғаттан тыс ештеңе жоқ. Үшбұрыштар туралы есте сақтау және арифметикалық қателерді жібермеу маңызды. Енді өзіңізді есептеп көріңіз:

Біз тексереміз:

1. Бас диагональға перпендикуляр бірінші үшбұрыш:
2. Негізгі диагональға перпендикуляр екінші үшбұрыш:
3. Плюс шарттарының қосындысы:
4. Бүйірлік диагональға перпендикуляр бірінші үшбұрыш:
5. Екінші үшбұрыш, бүйірлік диагональға перпендикуляр:
6. Минусы бар мүшелердің қосындысы:
7. Плюс мүшелерінің қосындысы минус мүшелерінің қосындысы:

Міне, сіз үшін тағы бірнеше детерминанттар, олардың мәндерін өзіңіз есептеңіз және жауаптармен салыстырыңыз:

Жауаптары:

Жақсы, бәрі сәйкес болды ма? Тамаша, содан кейін жалғастыра аласыз! Егер қиындықтар туындаса, менің кеңесім мынау: Интернетте онлайн детерминантты есептеуге арналған көптеген бағдарламалар бар. Сізге тек өзіңіздің детерминантты ойлап тауып, оны өзіңіз есептеп, содан кейін оны бағдарлама есептейтінімен салыстыру жеткілікті. Нәтижелер сәйкес келе бастағанша және т.б. Бұл сәттің көп күттірмейтініне сенімдімін!

Енді үш берілген нүкте арқылы өтетін жазықтықтың теңдеуі туралы айтқанымда жазған анықтауышқа оралайық:

Бар болғаны оның мәнін тікелей есептеп (үшбұрыш әдісімен) және нәтижені нөлге теңестіру керек. Әрине, олар айнымалы болғандықтан, сіз оларға байланысты кейбір өрнектерді аласыз. Дәл осы өрнек бір түзуде жатпайтын берілген үш нүкте арқылы өтетін жазықтықтың теңдеуі болады!

Мұны қарапайым мысалмен көрсетейік:

1. Нүктелер арқылы өтетін жазықтықтың теңдеуін құрыңдар

Осы үш нүкте үшін анықтауыш құрастырамыз:

Жеңілдету:

Енді біз оны үшбұрыштар ережесі бойынша тікелей есептейміз:

\[(\left| (\begin(массив)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\end(массив)) \ оң| = \left((x + 3) \right) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \right) + \left((y - 2) \right) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

Сонымен, нүктелер арқылы өтетін жазықтықтың теңдеуі:

Енді бір мәселені өзіңіз шешуге тырысыңыз, содан кейін біз оны талқылаймыз:

2. Нүктелері арқылы өтетін жазықтықтың теңдеуін табыңыз

Енді шешімді талқылайық:

Біз анықтауыш жасаймыз:

Және оның мәнін есептеңіз:

Сонда жазықтықтың теңдеуі келесі түрге ие болады:

Немесе азайтсақ, мынаны аламыз:

Енді өзін-өзі бақылауға арналған екі тапсырма:

1. Үш нүкте арқылы өтетін жазықтықтың теңдеуін құрыңыз:

Жауаптары:

Барлығы сәйкес болды ма? Тағы да, егер белгілі бір қиындықтар болса, менің кеңесім мынау: сіз өзіңіздің басыңыздан үш нүктені алыңыз (бір түзу сызықта жатпау ықтималдығы жоғары), оларға ұшақ жасаңыз. Содан кейін өзіңізді желіде тексеріңіз. Мысалы, сайтта:

Алайда анықтауыштардың көмегімен біз тек қана жазықтықтың теңдеуін құрастырмаймыз. Есіңізде болсын, мен сізге векторлар үшін тек нүктенің туындысы анықталмағанын айттым. Сондай-ақ вектор, сонымен қатар аралас өнім бар. Ал егер екі вектордың скаляр көбейтіндісі сан болатын болса, онда екі вектордың векторлық көбейтіндісі вектор болады және бұл вектор берілгендерге перпендикуляр болады:

Оның үстіне, оның модулі және векторларына салынған параллелограммның ауданына тең болады. Бұл вектор нүктеден түзуге дейінгі қашықтықты есептеу үшін қажет болады. Векторлардың көлденең көбейтіндісін қалай есептей аламыз және олардың координаттары берілген болса? Үшінші ретті анықтауыш тағы да бізге көмекке келеді. Дегенмен, кросс туындыны есептеу алгоритміне көшпес бұрын, мен шағын лирикалық шегініс жасауым керек.

Бұл ауытқу базистік векторларға қатысты.

Олар схемалық түрде суретте көрсетілген:

Неліктен оларды негізгі деп атайды деп ойлайсыз? Істің мәні мұнда :

Немесе суретте:

Бұл формуланың дұрыстығы анық, өйткені:

векторлық өнім

Енді мен кросс-өнімді енгізуді бастай аламын:

Екі вектордың векторлық көбейтіндісі мына ереже бойынша есептелетін вектор болып табылады:

Енді көлденең көбейтіндіні есептеудің бірнеше мысалдарын келтірейік:

1-мысал: векторлардың көлденең көбейтіндісін табыңыз:

Шешуі: Мен анықтауыш жасаймын:

Мен оны есептеймін:

Енді базистік векторлар арқылы жазудан бастап мен әдеттегі векторлық белгілерге қайта ораламын:

Осылайша:

Енді көріңіз.

Дайын ба? Біз тексереміз:

Және дәстүрлі екі бақылауға арналған тапсырмалар:

1. Мына векторлардың көлденең көбейтіндісін табыңыз:
2. Мына векторлардың көлденең көбейтіндісін табыңыз:

Жауаптары:

Үш вектордың аралас көбейтіндісі

Маған қажет соңғы құрылыс үш вектордың аралас көбейтіндісі. Ол, скаляр сияқты, сан. Оны есептеудің екі жолы бар. - анықтауыш арқылы, - аралас туынды арқылы.

Атап айтқанда, бізде үш вектор бар делік:

Сонда үш вектордың аралас көбейтіндісін келесі түрде есептеуге болады:

1. - яғни аралас туынды вектордың скаляр көбейтіндісі және басқа екі вектордың векторлық көбейтіндісі болып табылады.

Мысалы, үш вектордың аралас көбейтіндісі:

Векторлық өнім арқылы оны өзіңіз есептеп көріңіз және нәтижелер сәйкес келетініне көз жеткізіңіз!

Және тағы да - тәуелсіз шешімге екі мысал:

Жауаптары:

Координаталар жүйесін таңдау

Енді бізде геометриядағы күрделі стереометриялық есептерді шешуге қажетті білімнің барлық негізі бар. Дегенмен, мысалдар мен оларды шешудің алгоритмдеріне тікелей көшпес бұрын, келесі сұраққа тоқталу пайдалы болады деп ойлаймын: қалай дәл белгілі бір фигура үшін координаталар жүйесін таңдау.Өйткені, бұл координаталар жүйесі мен кеңістіктегі фигураның салыстырмалы орнын таңдау, сайып келгенде, есептеулердің қаншалықты ауыр болатынын анықтайды.

Бұл бөлімде біз келесі пішіндерді қарастыратынымызды еске саламын:

1. текше тәрізді
2. Түзу призма (үшбұрышты, алтыбұрышты…)
3. Пирамида (үшбұрыш, төртбұрыш)
4. Тетраэдр (үшбұрышты пирамида сияқты)

Кубоид немесе текше үшін келесі құрылысты ұсынамын:

Яғни, мен фигураны «бұрышқа» орналастырамын. Текше мен қорап өте жақсы фигуралар. Олар үшін сіз әрқашан оның шыңдарының координаталарын оңай таба аласыз. Мысалы, егер (суретте көрсетілгендей)

онда шыңның координаталары:

Әрине, мұны есте сақтаудың қажеті жоқ, бірақ текшені немесе төртбұрышты қорапты қалай дұрыс орналастыру керектігін есте ұстаған жөн.

түзу призма

Призма - әлдеқайда зиянды фигура. Оны кеңістікте әртүрлі тәсілдермен орналастыруға болады. Дегенмен, менің ойымша, бұл ең жақсы нұсқа:

Үшбұрышты призма:

Яғни, үшбұрыштың бір қабырғасын толығымен оське қоямыз, ал төбелерінің бірі бас нүктесіне сәйкес келеді.

Алтыбұрышты призма:

Яғни, төбелердің бірі басымен сәйкес келеді, ал жақтардың бірі осьте жатады.

Төртбұрышты және алтыбұрышты пирамида:

Текшеге ұқсас жағдай: негіздің екі жағын координат осьтерімен біріктіреміз, төбелердің бірін координаталар басымен біріктіреміз. Жалғыз кішкене қиындық нүктенің координаталарын есептеу болады.

Алтыбұрышты пирамида үшін – алтыбұрышты призмамен бірдей. Негізгі міндет қайтадан шыңның координаталарын табу болады.

Тетраэдр (үшбұрышты пирамида)

Жағдай мен үшбұрышты призма үшін берген жағдайға өте ұқсас: бір төбесі координат осінде орналасқан.

Енді сіз бен біз мәселелерді шешуге жақын қалдық. Мақаланың басында айтқанымнан мынадай қорытынды жасауға болады: C2 есептерінің көпшілігі 2 санатқа бөлінеді: бұрышқа есептер және қашықтыққа есептер. Алдымен бұрышты табуға арналған есептерді қарастырамыз. Олар өз кезегінде келесі категорияларға бөлінеді (күрделілігі артқан сайын):

Бұрыштарды табу мәселелері

1. Екі түзудің арасындағы бұрышты табу
2. Екі жазықтықтың арасындағы бұрышты табу

Осы есептерді ретімен қарастырайық: екі түзудің арасындағы бұрышты табудан бастайық. Есіңізде болсын, сіз бен біз бұрын осындай мысалдарды шештік пе? Есіңізде болсын, бізде бұрыннан ұқсас нәрсе болғандықтан ... Біз екі вектор арасындағы бұрышты іздедік. Еске саламын, егер екі вектор берілген болса: және, онда олардың арасындағы бұрыш қатынастан табылады:

Енді біздің мақсатымыз – екі түзудің арасындағы бұрышты табу. «Тегіс суретке» жүгінейік:

Екі түзу қиылысқан кезде қанша бұрыш аламыз? Қазірдің өзінде заттар. Рас, олардың екеуі ғана тең емес, ал басқалары оларға тік (сондықтан олармен сәйкес келеді). Сонымен, екі түзудің арасындағы бұрышты қандай бұрышты қарастыруымыз керек: немесе? Мұнда ереже: екі түзудің арасындағы бұрыш әрқашан градустан аспайды. Яғни, екі бұрыштан біз әрқашан ең кіші градус өлшемі бар бұрышты таңдаймыз. Яғни, бұл суретте екі түзудің арасындағы бұрыш тең. Әр уақытта екі бұрыштың ең кішісін табумен әуре болмау үшін айлакер математиктер модульді пайдалануды ұсынды. Сонымен, екі түзудің арасындағы бұрыш мына формуламен анықталады:

Сізде, мұқият оқырман ретінде, сұрақ туындауы керек еді: бұрыштың косинусын есептеу үшін дәл осы сандарды қайдан аламыз? Жауап: біз оларды сызықтардың бағыт векторларынан аламыз! Осылайша, екі түзудің арасындағы бұрышты табу алгоритмі келесідей:

1. 1 формуланы қолданамыз.

Немесе толығырақ:

1. Бірінші түзудің бағыт векторының координаталарын іздейміз
2. Екінші жолдың бағыт векторының координаталарын іздейміз
3. Олардың скаляр көбейтіндісінің модулін есептеңдер
4. Біз бірінші вектордың ұзындығын іздейміз
5. Біз екінші вектордың ұзындығын іздейміз
6. 4-тармақтың нәтижелерін 5-тармақтың нәтижелеріне көбейтіңіз
7. 3-нүктенің нәтижесін 6-нүктенің нәтижесіне бөлеміз.Түзулер арасындағы бұрыштың косинусын аламыз.
8. Егер бұл нәтиже бұрышты дәл есептеуге мүмкіндік берсе, біз оны іздейміз
9. Әйтпесе, арккосинус арқылы жазамыз

Ал, енді тапсырмаларға көшетін кез келді: мен алғашқы екеуінің шешімін егжей-тегжейлі көрсетемін, екіншісінің шешімін қысқаша ұсынамын, мен тек соңғы екі тапсырмаға жауап беремін, сіз олар үшін барлық есептеулерді өзіңіз жасаңыз.

Тапсырмалар:

1. Оң жақтағы тет-ра-эд-реде сіз-сондай-сол тет-ра-эд-ра мен ме-ди-а-ной бо-ко-хоу жағының арасындағы бұрышты-ди-те табыңыз.

2. Оң жақ алты-көмір-пи-ра-ми-де жүз-ро-на-ос-но-ва-ния қандай да бір түрде тең, ал бүйір қабырғалары тең, түзудің арасындағы бұрышты табыңыз. сызықтар және.

3. Оң жақ төрт-ю-реч-көмір-ной пи-ра-ми-дының барлық шеттерінің ұзындықтары бір-біріне тең. Түзу сызықтар арасындағы бұрышты табыңыз және егер from-re-zok - you-so-Pi-ra-mi-dy берілген болса, нүкте оның бо-ко- th қабырғасында се-ре-ди-болса.

4. Ме-чеден нүктеге дейін текшенің шетінде түзулер мен түзулердің арасындағы бұрышты табу керек.

5. Нүкте – се-қайта-ди-кубтың шеттеріндегі Nai-di-te түзулер арасындағы бұрыш пен.

Тапсырмаларды осылай ретімен орналастыруым бекер емес. Координаталық әдіспен шарлауға әлі үлгермеген болсаңыз да, мен өзім ең «проблемалық» фигураларды талдаймын және мен сізге ең қарапайым текшемен жұмыс істеуді қалдырамын! Біртіндеп барлық фигуралармен жұмыс істеуді үйрену керек, тақырыптан тақырыпқа тапсырмалардың күрделілігін арттырамын.

Мәселені шешуді бастайық:

1. Тетраэдр сызыңыз, оны мен бұрын ұсынғандай координаталар жүйесіне орналастырыңыз. Тетраэдр дұрыс болғандықтан, оның барлық беттері (негізін қоса алғанда) дұрыс үшбұрыштар. Бізге жақтың ұзындығы берілмейтіндіктен, мен оны теңдей аламын. Менің ойымша, сіз бұрыш біздің тетраэдріміздің қаншалықты «созылатынына» байланысты емес екенін түсінесіз бе? Мен тетраэдрдегі биіктік пен медиананы да саламын. Жол бойы мен оның негізін саламын (ол бізге де пайдалы болады).

мен арасындағы бұрышты табуым керек. Біз не білеміз? Біз тек нүктенің координатасын білеміз. Сонымен, біз нүктелердің көбірек координаттарын табуымыз керек. Енді біз ойлаймыз: нүкте дегеніміз үшбұрыштың биіктіктерінің (немесе биссектрисаларының немесе медианаларының) қиылысу нүктесі. Нүкте – көтерілген нүкте. Нүкте сегменттің орта нүктесі болып табылады. Содан кейін біз мыналарды табуымыз керек: нүктелердің координаталары: .

Ең қарапайымынан бастайық: нүкте координаттары. Суретке қараңыз: нүктенің қосымшасы нөлге тең екені анық (нүкте жазықтықта жатыр). Оның ординатасы тең (себебі ол медиана). Оның абсциссасын табу қиынырақ. Дегенмен, бұл Пифагор теоремасы негізінде оңай орындалады: Үшбұрышты қарастырайық. Оның гипотенузасы тең, ал катеттерінің бірі тең болады Сонда:

Ақырында бізде:

Енді нүктенің координаталарын табайық. Оның аппликациясы қайтадан нөлге тең екені анық, ал ординатасы нүктемен бірдей, яғни. Оның абсциссасын табайық. Егер біреу есінде болса, бұл өте маңызды емес тең бүйірлі үшбұрыштың биіктіктері пропорциядағы қиылысу нүктесіне бөлінедіжоғарыдан санау. Өйткені:, онда кесіндінің ұзындығына тең нүктенің қажетті абциссасы:-ге тең. Сонымен, нүктенің координаталары:

Нүктенің координаталарын табайық. Оның абсциссасы мен ординатасы нүктенің абсциссасымен және ординатасымен сәйкес келетіні анық. Ал аппликация кесіндінің ұзындығына тең. - бұл үшбұрыштың катеттерінің бірі. Үшбұрыштың гипотенузасы кесінді – катет. Ол мен қалың шрифтпен белгілеген себептер бойынша ізделеді:

Нүкте сегменттің орта нүктесі болып табылады. Содан кейін сегменттің ортасының координаталары формуласын есте сақтау керек:

Міне, енді бағыт векторларының координаталарын іздеуге болады:

Барлығы дайын: біз барлық деректерді формулаға ауыстырамыз:

Осылайша,

Жауап:

Мұндай «қорқынышты» жауаптардан қорықпау керек: C2 мәселелері үшін бұл әдеттегі тәжірибе. Мен осы бөлімдегі «әдемі» жауапқа таң қалар едім. Сондай-ақ, сіз атап өткендей, мен іс жүзінде Пифагор теоремасы мен теңбүйірлі үшбұрыштың биіктіктерінің қасиетінен басқа ештеңеге жүгінген жоқпын. Яғни, стереометриялық есепті шешу үшін мен стереометрияның ең минимумын қолдандым. Бұл табыс өте қиын есептеулер арқылы ішінара «сөндірілді». Бірақ олар өте алгоритмдік!

2. Координаталар жүйесімен қатар оның табанымен қатар дұрыс алтыбұрышты пирамиданы сал:

және түзулерінің арасындағы бұрышты табуымыз керек. Сонымен, біздің міндетіміз нүктелердің координаталарын табуға қысқартылған: . Кіші сызбадан соңғы үшеуінің координаталарын табамыз, ал нүктенің координатасы арқылы төбенің координатасын табамыз. Жұмыс көп, бірақ бастау керек!

а) Координат: оның аппликациясы мен ординатасы нөлге тең екені анық. Абциссаны табайық. Мұны істеу үшін тікбұрышты үшбұрышты қарастырыңыз. Әттең, онда біз тек гипотенузаны білеміз, ол тең. Біз аяқты табуға тырысамыз (өйткені аяқтың екі есе ұзындығы бізге нүктенің абсциссасын беретіні анық). Біз оны қалай іздей аламыз? Пирамиданың табанында қандай фигура бар екенін еске түсірейікші? Бұл кәдімгі алтыбұрыш. Ол нені білдіреді? Бұл барлық қабырғалар мен барлық бұрыштардың тең екенін білдіреді. Бізге осындай бір бұрышты табу керек. Кез келген идеялар? Идеялар көп, бірақ формуласы бар:

Дұрыс n-бұрыштың бұрыштарының қосындысы тең .

Сонымен, дұрыс алтыбұрыштың бұрыштарының қосындысы градусқа тең. Сонда бұрыштардың әрқайсысы тең болады:

Суретке қайта қарайық. Кесінді бұрыштың биссектрисасы екені анық. Сонда бұрыш градус болады. Содан кейін:

Сосын қайда.

Сондықтан оның координаттары бар

б) Енді нүктенің координатасын оңай таба аламыз: .

в) Нүктенің координаталарын табыңыз. Оның абсциссасы кесіндінің ұзындығына сәйкес келетіндіктен, ол тең. Ординатаны табу да онша қиын емес: егер нүктелерді қоссақ және түзудің қиылысу нүктесін белгілесек, үшін айтамыз. (қарапайым құрылысты өзіңіз жасаңыз). Сонда Сонымен, В нүктесінің ординатасы кесінділердің ұзындықтарының қосындысына тең. Үшбұрышқа тағы қарайық. Содан кейін

Содан бері нүктенің координаттары бар

г) Енді нүктенің координаталарын табыңдар. Тіктөртбұрышты қарастырып, нүктенің координаталары:

д) Төбенің координаталарын табу қалды. Оның абсциссасы мен ординатасы нүктенің абсциссасымен және ординатасымен сәйкес келетіні анық. Қолданбаны табайық. Сол уақыттан бері. Тік бұрышты үшбұрышты қарастырайық. Мәселенің шарты бойынша бүйір жиегі. Бұл менің үшбұрышымның гипотенузасы. Сонда пирамиданың биіктігі аяқ болып табылады.

Сонда нүктенің координаттары болады:

Міне, менде мені қызықтыратын барлық нүктелердің координаттары бар. Мен түзулердің бағыттаушы векторларының координаталарын іздеймін:

Осы векторлар арасындағы бұрышты іздейміз:

Жауап:

Тағы да, бұл мәселені шешу кезінде мен дұрыс n-бұрыштың бұрыштарының қосындысының формуласын, сондай-ақ тікбұрышты үшбұрыштың косинусы мен синусын анықтаудан басқа ешқандай күрделі трюктерді қолданбадым.

3. Бізге пирамиданың қырларының ұзындықтары тағы берілмегендіктен, мен оларды бірге тең деп санаймын. Сонымен, бүйірлік шеттері ғана емес, БАРЛЫҚ шеттері бір-біріне тең болғандықтан, пирамида мен мен негізінде шаршы жатыр, ал бүйір беттері дұрыс үшбұрыштар. Есеп мәтінінде берілген барлық мәліметтерді белгілей отырып, мұндай пирамиданы, сондай-ақ оның негізін жазықтықта бейнелейік:

Біз және арасындағы бұрышты іздейміз. Мен нүктелердің координаталарын іздеген кезде өте қысқаша есептеулер жасаймын. Сізге олардың «шифрын шешу» қажет:

б) – кесіндінің ортасы. Оның координаттары:

в) Үшбұрышта Пифагор теоремасын пайдаланып кесіндінің ұзындығын табамын. Мен үшбұрышта Пифагор теоремасы арқылы табамын.

Координаттар:

г) – кесіндінің ортасы. Оның координаталары

д) Векторлық координаталар

f) Векторлық координаталар

g) бұрышты іздеу:

Текше - ең қарапайым фигура. Сіз мұны өзіңіз анықтай алатыныңызға сенімдімін. 4 және 5 есептердің жауаптары келесідей:

Түзу мен жазықтықтың арасындағы бұрышты табу

Қарапайым жұмбақтардың уақыты аяқталды! Енді мысалдар одан да қиын болады. Түзу мен жазықтықтың арасындағы бұрышты табу үшін келесі әрекеттерді орындаймыз:

1. Үш нүктені пайдаланып, жазықтықтың теңдеуін құрастырамыз
   ,
   үшінші ретті анықтауыштың көмегімен.
2. Екі нүкте бойынша түзудің бағыттаушы векторының координаталарын іздейміз:
3. Түзу мен жазықтық арасындағы бұрышты есептеу үшін формуланы қолданамыз:

Көріп отырғаныңыздай, бұл формула біз екі түзудің арасындағы бұрыштарды табу үшін қолданған формулаға өте ұқсас. Оң жақтың құрылымы дәл солай, ал сол жақта біз бұрынғыдай косинус емес, синусты іздейміз. Бір жағымсыз әрекет қосылды - ұшақтың теңдеуін іздеу.

Сөреге тұрмайық мысалдарды шешу:

1. Ос-но-ва-ни-эм тура-менің жүлдем-біз-ла-эт-ся тең-бірақ-кедей-рен-ны үшбұрыш-ник сен-сол жүлдемен-біз теңбіз. Түзу мен жазықтықтың арасындағы бұрышты табыңыз

2. Тіктөртбұрышты па-рал-ле-ле-пи-пе-де батыстан Nai-di-te түзу мен жазықтықтың арасындағы бұрыш.

3. Оң жақ алты көмір призмасында барлық шеттері тең. Түзу мен жазықтықтың арасындағы бұрышты табыңыз.

4. Оң жақ үшбұрышты пи-ра-ми-де қабырғаның батысынан ос-бут-ва-ни-эммен Nai-di-te бұрышы, os-ның ob-ra-zo-van -ny жазықтығы. -но-ва-ния және тура-мый, қабырғалардың се-ре-ди-насынан өтіп, және

5. Оң жақ төртбұрышты пи-ра-ми-ды төбесі бар барлық шеттерінің ұзындықтары бір-біріне тең. Түзу мен жазықтықтың арасындағы бұрышты табыңыз, егер нүкте pi-ra-mi-dy-дің бо-ко-ин-ші шетінде se-re-di-болса.

Тағы да бірінші екі мәселені егжей-тегжейлі шешемін, үшіншісі - қысқаша, ал соңғы екеуін өз беттеріңізше шешуге қалдырамын. Бұған қоса, сіз үшбұрышты және төртбұрышты пирамидалармен айналысуға тура келді, бірақ әлі призмалармен емес.

Шешімдер:

1. Призманы, сонымен қатар оның негізін сал. Оны координаталар жүйесімен біріктіріп, есеп нұсқаулығында берілген барлық мәліметтерді белгілейік:

Мен пропорцияларды сақтамағаным үшін кешірім сұраймын, бірақ мәселені шешу үшін бұл, шын мәнінде, соншалықты маңызды емес. Ұшақ менің призманың «артқы қабырғасы» ғана. Мұндай жазықтықтың теңдеуінің келесі түрге ие екенін болжауға жеткілікті:

Дегенмен, мұны тікелей көрсетуге болады:

Бұл жазықтықта ерікті үш нүктені таңдаймыз: мысалы, .

Жазықтықтың теңдеуін құрайық:

Сізге жаттығу: осы анықтауышты өзіңіз есептеңіз. Сіз сәтті болдыңыз ба? Сонда жазықтықтың теңдеуі келесі түрге ие болады:

Немесе жай

Осылайша,

Мысалды шешу үшін түзудің бағыттаушы векторының координаталарын табу керек. Нүкте координаталар басымен сәйкес келгендіктен, вектордың координаталары нүктенің координаталарымен сәйкес келеді.Ол үшін алдымен нүктенің координаталарын табамыз.

Мұны істеу үшін үшбұрышты қарастырыңыз. Жоғарыдан биіктік (ол да медиана және биссектриса) сызайық. Өйткені, онда нүктенің ординатасы тең болады. Бұл нүктенің абсциссасын табу үшін кесіндінің ұзындығын есептеу керек. Пифагор теоремасы бойынша бізде:

Сонда нүктенің координаттары болады:

Нүкте - бұл нүктедегі "көтерілген":

Сонда вектордың координаталары:

Жауап:

Көріп отырғаныңыздай, мұндай мәселелерді шешуде түбегейлі қиын ештеңе жоқ. Шын мәнінде, призма сияқты фигураның «түздігі» процесті біршама жеңілдетеді. Енді келесі мысалға көшейік:

2. Параллелепипед саламыз, оған жазықтық пен түзу сызамыз, сонымен қатар оның төменгі табанын бөлек саламыз:

Алдымен жазықтықтың теңдеуін табамыз: Ондағы үш нүктенің координаталары:

(алғашқы екі координат айқын түрде алынады және нүктеден суреттен соңғы координатаны оңай табуға болады). Содан кейін жазықтықтың теңдеуін құрастырамыз:

Біз есептейміз:

Бағыт векторының координаталарын іздейміз: Оның координаталары нүктенің координаталарымен сәйкес келетіні анық, солай емес пе? Координаттарды қалай табуға болады? Бұл қолданба осі бойымен бір көтерілген нүктенің координаталары! . Содан кейін біз қажетті бұрышты іздейміз:

Жауап:

3. Кәдімгі алтыбұрышты пирамида сызыңыз, содан кейін оған жазықтық пен түзу сызыңыз.

Мұнда бұл мәселені шешуді айтпағанда, жазықтықты сызу тіпті қиын, бірақ координат әдісі маңызды емес! Оның басты артықшылығы оның жан-жақтылығында!

Жазықтық үш нүкте арқылы өтеді: . Біз олардың координаттарын іздейміз:

бір) . Соңғы екі нүктенің координаталарын өзіңіз көрсетіңіз. Ол үшін алтыбұрышты пирамидамен мәселені шешу керек!

2) Жазықтықтың теңдеуін құрастырамыз:

Вектордың координаталарын іздейміз: . (Үшбұрышты пирамида мәселесін қайта қараңыз!)

3) Біз бұрышты іздейміз:

Жауап:

Көріп отырғаныңыздай, бұл тапсырмаларда табиғаттан тыс қиын ештеңе жоқ. Тек тамырларға өте мұқият болу керек. Соңғы екі мәселеге мен тек жауап беремін:

Көріп отырғаныңыздай, есептерді шығару техникасы барлық жерде бірдей: негізгі міндет - төбелердің координаталарын табу және оларды кейбір формулаларға ауыстыру. Бізге бұрыштарды есептеуге арналған есептердің тағы бір класын қарастыру қалады, атап айтқанда:

Екі жазықтықтың арасындағы бұрыштарды есептеу

Шешу алгоритмі келесідей болады:

1. Үш нүкте үшін бірінші жазықтықтың теңдеуін іздейміз:
2. Қалған үш нүкте үшін біз екінші жазықтықтың теңдеуін іздейміз:
3. Біз формуланы қолданамыз:

Көріп отырғаныңыздай, формула алдыңғы екеуіне өте ұқсас, оның көмегімен біз түзулер арасындағы және түзу мен жазықтық арасындағы бұрыштарды іздедік. Сондықтан мұны есте сақтау сізге қиын болмайды. Мәселеге бірден көшейік:

1. Тік бұрышты үшбұрышты призманың негізіндегі жүз-ро- тең, ал бүйір бетінің диа-гоналы тең. Жүлде табанының жазықтығы мен жазықтығы арасындағы бұрышты табыңыз.

2. Оң жақ төрт-сіз-қайта-көмір-ной пи-ра-ми-де біреудің барлық шеттері тең, жазықтық пен Ко-Сту жазықтығы арасындағы бұрыштың синусын табыңыз, арқылы өтетін нүктесі per-pen-di-ku-lyar-бірақ тура-my.

3. Тұрақты төрт көмірлі призмада ос-но-ва-нияның қабырғалары тең, ал бүйір шеттері тең. Шетінде-ме-че-ден нүктеге, сондықтан. және жазықтықтарының арасындағы бұрышты табыңыз

4. Оң жақ төртбұрышты призмада табандарының қабырғалары тең, ал бүйір қырлары тең. Шетінен-ме-че-нүктеге дейін жазықтықтар арасындағы бұрышты табыңыз және.

5. Кубта және жазықтықтарының арасындағы бұрыштың ко-синусын табыңыз

Мәселені шешу жолдары:

1. Тұрақты (негізінде – теңбүйірлі үшбұрыш) үшбұрышты призманы саламын және оған есеп шартында пайда болатын жазықтықтарды белгілеймін:

Бізге екі жазықтықтың теңдеулерін табу керек: Негізгі теңдеу тривиальды түрде алынған: сіз үш нүкте үшін сәйкес анықтауышты жасай аласыз, бірақ мен теңдеуді бірден жасаймын:

Енді теңдеуді табайық Нүктенің координаттары бар Нүкте - Үшбұрыштың медианасы мен биіктігі болғандықтан, оны үшбұрышта Пифагор теоремасы арқылы табу оңай. Сонда нүктенің координаталары болады: Нүктенің қосымшасын табыңыз Ол үшін тікбұрышты үшбұрышты қарастырыңыз

Сонда келесі координаталарды аламыз: Жазықтықтың теңдеуін құрастырамыз.

Жазықтықтар арасындағы бұрышты есептейміз:

Жауап:

2. Сурет салу:

Ең қиыны – нүкте арқылы перпендикуляр өтетін оның қандай жұмбақ жазықтық екенін түсіну. Ең бастысы, бұл не? Ең бастысы - мұқият болу! Шынында да, түзу перпендикуляр. Түзу де перпендикуляр. Сонда осы екі түзу арқылы өтетін жазықтық түзуге перпендикуляр болады және айтпақшы, нүкте арқылы өтеді. Бұл жазықтық та пирамиданың төбесінен өтеді. Содан кейін қалаған ұшақ - Ал ұшақ бізге қазірдің өзінде берілді. Біз нүктелердің координаталарын іздейміз.

Нүкте арқылы нүктенің координатасын табамыз. Шағын сызбадан нүктенің координаталары келесідей болатынын шығару оңай: пирамида төбесінің координаталарын табу үшін енді нені табу керек? Оның биіктігін әлі де есептеу керек. Бұл бірдей Пифагор теоремасы арқылы жасалады: біріншіден, дәлелдеңіз (негізінде шаршы құрайтын шағын үшбұрыштардан). Шарт бойынша бізде:

Енді бәрі дайын: шыңның координаттары:

Жазықтықтың теңдеуін құрастырамыз:

Сіз детерминанттарды есептеудің маманысыз. Сіз оңай аласыз:

Немесе басқаша (егер екі бөлікті екінің түбіріне көбейтсек)

Енді жазықтықтың теңдеуін табайық:

(Ұшақтың теңдеуін қалай алатынымызды ұмытқан жоқсыз, солай емес пе? Егер бұл минус қайдан шыққанын түсінбесеңіз, онда жазықтық теңдеуінің анықтамасына қайта оралыңыз! Ол әрқашан бұған дейін болатын. Менің ұшағым шығу тегі болған!)

Анықтаушыны есептейміз:

(Жазықтықтың теңдеуі нүктелер арқылы өтетін түзудің теңдеуімен сәйкес келгенін байқаған боларсыз және неге екенін ойланыңыз!)

Енді бұрышты есептейміз:

Бізге синусын табу керек:

Жауап:

3. Күрделі сұрақ: тікбұрышты призма дегеніміз не, сіз қалай ойлайсыз? Бұл сізге белгілі параллелепипед қана! Бірден сурет салу! Сіз тіпті негізді бөлек бейнелей алмайсыз, мұнда оның пайдасы аз:

Жазықтық, бұрын атап өткеніміздей, теңдеу түрінде жазылған:

Енді біз ұшақ жасаймыз

Біз бірден жазықтықтың теңдеуін құрастырамыз:

Бұрыш іздейді

Енді соңғы екі мәселенің жауабы:

Енді үзіліс жасайтын кез келді, өйткені сіз бен біз кереметпіз және тамаша жұмыс жасадық!

Координаттар мен векторлар. Жетілдірілген деңгей

Бұл мақалада біз сіздермен координаталық әдісті қолдану арқылы шешуге болатын басқа есептер класын қарастырамыз: қашықтық есептері. Атап айтқанда, біз келесі жағдайларды қарастырамыз:

1. Қисық сызықтар арасындағы қашықтықты есептеу.

Берілген тапсырмаларды олардың күрделілігі артқан сайын бұйырдым. Ең оңайы - табу нүктеден жазықтыққа дейінгі қашықтықжәне ең қиыны - табу қиылысатын сызықтар арасындағы қашықтық. Дегенмен, әрине, мүмкін емес ештеңе жоқ! Келіңіздер, кейінге қалдырмай, бірден бірінші сыныптағы мәселелерді қарауға көшейік:

Нүктеден жазықтыққа дейінгі қашықтықты есептеу

Бұл мәселені шешу үшін бізге не қажет?

1. Нүкте координаталары

Сонымен, біз барлық қажетті деректерді алғаннан кейін формуланы қолданамыз:

Соңғы бөлімде талдаған алдыңғы есептерден жазықтықтың теңдеуін қалай құрастыратынымызды білуіңіз керек. Бірден іске кірісейік. Схема келесідей: 1, 2 - мен сізге шешім қабылдауға көмектесемін, ал кейбір егжей-тегжейлі, 3, 4 - тек жауап, сіз шешімді өзіңіз қабылдайсыз және салыстырыңыз. Басталды!

Тапсырмалар:

1. Текше берілген. Текшенің шетінің ұзындығы Се-ре-ди-ныдан кесіндіден жалпаққа дейінгі қашықтықты табыңыз

2. Берілген оң-vil-naya four-you-rekh-coal-naya pi-ra-mi-da Bo-ko-voe жиегі жүз-ro-on os-no-va-nia тең. Нүктеден жазықтыққа дейінгі арақашықтықтарды табыңыз, мұндағы - шеттерінде - se-re-di-.

3. Os-but-va-ni-em бар оң жақ үшбұрышты пи-ра-ми-деде екінші жиегі тең, ал жүз-ро-он ос-но-вания тең. Жоғарыдан жазықтыққа дейінгі қашықтықтарды табыңыз.

4. Оң жақ алты көмір призмасында барлық шеттері тең. Нүктеден жазықтыққа дейінгі қашықтықтарды табыңыз.

Шешімдер:

1. Бір шеттері бар текшені сызыңыз, кесінді мен жазықтықты тұрғызыңыз, кесіндінің ортасын әріппен белгілеңіз

.

Алдымен оңайдан бастайық: нүктенің координаталарын табыңыз. Содан бері (сегменттің ортасының координаттарын есте сақтаңыз!)

Енді үш нүктеде жазықтықтың теңдеуін құрастырамыз

\[\сол| (\begin(массив)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end(массив)) \right| = 0\]

Енді мен қашықтықты таба аламын:

2. Біз қайтадан сызбадан бастаймыз, оған біз барлық деректерді белгілейміз!

Пирамида үшін оның негізін бөлек салу пайдалы болар еді.

Тіпті тауықтың табанындай сурет салуым да бұл мәселені оңай шешуге кедергі бола алмайды!

Енді нүктенің координаталарын табу оңай

Нүктенің координаталары болғандықтан

2. а нүктесінің координаталары кесіндінің ортасы болғандықтан, онда

Жазықтықтағы тағы екі нүктенің координаталарын оңай таба аламыз.Жазықтықтың теңдеуін құрастырамыз және оны ықшамдаймыз:

\[\сол| (\left| (\begin(массив)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(массив)) \right|) \right| = 0\]

Нүктенің координаттары бар болғандықтан: , онда қашықтықты есептейміз:

Жауап (өте сирек!):

Ал, түсіндің бе? Менің ойымша, мұнда бәрі алдыңғы бөлімде біз сіздермен қарастырған мысалдардағыдай техникалық. Сондықтан сол материалды меңгерген болсаңыз, қалған екі мәселені шешу сізге қиын болмайтынына сенімдімін. Мен сізге тек жауаптарды беремін:

Түзуден жазықтыққа дейінгі қашықтықты есептеу

Негізі бұл жерде жаңалық жоқ. Түзу мен жазықтықты бір-біріне қатысты қалай орналастыруға болады? Олардың барлық мүмкіндіктері бар: қиылысу немесе түзу жазықтыққа параллель. Берілген түзу қиылысатын түзуден жазықтыққа дейінгі қашықтық қандай деп ойлайсыңдар? Меніңше, мұндай қашықтық нөлге тең болатыны анық сияқты. Қызықсыз жағдай.

Екінші жағдай қиынырақ: мұнда қашықтық нөлге тең емес. Дегенмен, түзу жазықтыққа параллель болғандықтан, түзудің әрбір нүктесі осы жазықтықтан бірдей қашықтықта болады:

Осылайша:

Ал бұл менің тапсырмамның бұрынғыға қысқартылғанын білдіреді: біз түзудің кез келген нүктесінің координаталарын іздейміз, жазықтықтың теңдеуін іздейміз, нүктеден жазықтыққа дейінгі қашықтықты есептейміз. Шындығында, емтихандағы мұндай тапсырмалар өте сирек кездеседі. Мен бір ғана мәселені таба алдым, ондағы деректер координат әдісі оған өте жарамсыз болды!

Енді есептердің басқа, анағұрлым маңызды класына көшейік:

Нүктеден түзуге дейінгі қашықтықты есептеу

Бізге не керек болады?

1. Қашықтықты іздеп жатқан нүктенің координаталары:

2. Түзуде жатқан кез келген нүктенің координаталары

3. Түзудің бағыт векторының координаталары

Қандай формуланы қолданамыз?

Бұл бөлшектің бөлгіші сіз үшін нені білдіреді, сондықтан түсінікті болуы керек: бұл түзудің бағыттаушы векторының ұзындығы. Міне, өте күрделі сан! Өрнек векторлардың векторлық көбейтіндісінің модулін (ұзындығын) білдіреді және векторлық көбейтіндіні қалай есептеу керек, біз жұмыстың алдыңғы бөлігінде зерттедік. Біліміңізді жаңартыңыз, бұл бізге қазір өте пайдалы болады!

Осылайша, есептерді шешу алгоритмі келесідей болады:

1. Біз қашықтықты іздейтін нүктенің координаталарын іздейміз:

2. Біз қашықтықты іздеп жатқан түзудің кез келген нүктесінің координаталарын іздейміз:

3. Векторды құру

4. Түзудің бағыт векторын саламыз

5. Айқас көбейтіндіні есептеңіз

6. Алынған вектордың ұзындығын іздейміз:

7. Қашықтықты есептеңіз:

Бізде жұмыс көп, мысалдар өте күрделі болады! Сондықтан қазір барлық назарыңызды аударыңыз!

1. Дана – төбесі бар оң жақ үшбұрышты пи-ра-ми-да. Жүз-ро-он ос-но-ва-ния пи-ра-ми-ды тең, сен-со-та тең. Бо-ко-ші жиектің се-ре-ди-ныдан түзу сызыққа дейінгі арақашықтықтарды табыңыз, мұндағы нүктелер қабырғалардың се-ре-ди-ны және ко-вет. -ствен-бірақ.

2. Қабырғалардың ұзындықтары және тік бұрыш-no-para-ral-le-le-pi-pe-da сәйкесінше тең, ал Top-shi-ny-дан түз-my-ге дейінгі қашықтықты Find-di-te.

3. Оң жақ алты көмірлі призмада үйірдің барлық шеттері нүктеден түзу сызыққа дейінгі қашықтықты табыңыз.

Шешімдер:

1. Біз ұқыпты сурет саламыз, оған барлық деректерді белгілейміз:

Бізде сіз үшін көп жұмыс бар! Мен алдымен нені және қандай тәртіппен іздейтінімізді сөзбен сипаттағым келеді:

1. Нүктелердің координаталары және

2. Нүктелердің координаталары

3. Нүктелердің координаталары және

4. Векторлардың координаталары және

5. Олардың айқаспалы туындысы

6. Вектор ұзындығы

7. Векторлық көбейтіндінің ұзындығы

8. дейінгі қашықтық

Ал, бізде көп жұмыс бар! Ендеше жеңді түріп көрейік!

1. Пирамида биіктігінің координаталарын табу үшін нүктенің координаталарын білу керек.Оның қосымшасы нөлге тең, ал ордината абсциссасына тең. Соңында біз координаттарды алдық:

Нүкте координаттары

2. - сегменттің ортасы

3. - сегменттің ортасы

ортаңғы нүкте

4. Координаталар

Векторлық координаталар

5. Векторлық көбейтіндіні есептеңіз:

6. Вектордың ұзындығы: ең оңай жолы кесінді үшбұрыштың ортаңғы сызығы екенін ауыстыру, яғни табанының жартысына тең. Сондықтан.

7. Векторлық көбейтіндінің ұзындығын қарастырамыз:

8. Соңында қашықтықты табыңыз:

Фу, бәрі осы! Шынымды айтсам, мен сізге айтамын: бұл мәселені дәстүрлі әдістермен (конструкциялар арқылы) шешу әлдеқайда жылдамырақ болар еді. Бірақ мұнда мен бәрін дайын алгоритмге дейін қысқарттым! Менің ойымша, шешім алгоритмі сізге түсінікті ме? Сондықтан қалған екі мәселені өз күштеріңізбен шешуіңізді сұраймын. Жауаптарды салыстырыңыз?

Тағы да қайталап айтамын: бұл есептерді координаталық әдіске жүгінгеннен гөрі конструкциялар арқылы шешу оңайырақ (тезірек). Мен сізге «ештеңені аяқтамауға» мүмкіндік беретін әмбебап әдісті көрсету үшін ғана шешудің бұл әдісін көрсеттім.

Соңында, мәселелердің соңғы класын қарастырыңыз:

Қисық сызықтар арасындағы қашықтықты есептеу

Мұнда есептерді шешу алгоритмі алдыңғыға ұқсас болады. Бізде не бар:

3. Бірінші және екінші түзудің нүктелерін қосатын кез келген вектор:

Түзулер арасындағы қашықтықты қалай табамыз?

Формула:

Алым – аралас көбейтіндінің модулі (біз оны алдыңғы бөлімде енгізген болатынбыз), ал бөлгіш – алдыңғы формуладағыдай (түзулердің бағыттаушы векторларының векторлық көбейтіндісінің модулі, олардың арасындағы қашықтық үшін).

Мен мұны еске саламын

содан кейін қашықтық формуласын келесідей қайта жазуға болады:

Осы анықтауышты анықтауышқа бөл! Шынымды айтсам, бұл жерде әзіл-қалжыңға көнбеймін! Бұл формула, шын мәнінде, өте қиын және өте күрделі есептеулерге әкеледі. Егер мен сенің орнында болсам, мен оны тек соңғы шара ретінде қолданар едім!

Жоғарыдағы әдісті пайдаланып, бірнеше мәселені шешуге тырысайық:

1. Оң жақ үшбұрышты призмада барлық шеттері қандай да бір түрде тең, түзулердің арасындағы қашықтықты табыңыз және.

2. Оң жақ алдыңғы пішінді үшбұрышты призма берілген болса, біреудің ос-но-ва-ниясының барлық шеттері Се-че-цияға тең, басқа қабырғадан өтетін және се-ре-ди-ну қабырғалары болады. yav-la-et-sya квадрат-ра-том. Find-di-te dis-sto-I-nie арасындағы тікелей-we-mi және

Біріншісін мен шешемін, соған қарап сен екіншісін шешесің!

1. Призманы сызып, және сызықтарын белгілеймін

С нүктесінің координаттары: онда

Нүкте координаттары

Векторлық координаталар

Нүкте координаттары

Векторлық координаталар

Векторлық координаталар

\[\left((B,\overrighterrow (A(A_1)) \overrighterrow (B(C_1)) ) \right) = \left| (\begin(массив)(*(20)(l))(\begin(массив)(*(20)(c))0&1&0\end(массив))\\(\begin(массив)(*(20)) (c))0&0&1\end(массив))\\(\begin(массив)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\соңы(массив))\соңы(массив)) \оң| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

және векторларының арасындағы айқас туындыны қарастырамыз

\[\overrighterrow (A(A_1)) \cdot \overrighterrow (B(C_1)) = \left| \begin(массив)(l)\begin(массив)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(массив)\\\begin(массив) )(*(20)(c))0&0&1\end(массив)\\\begin(массив)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\соңы(массив)\соңы(массив) \оң| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\overrightarrow k + \frac(1)(2)\overrightarrow i \]

Енді оның ұзындығын қарастырамыз:

Жауап:

Енді екінші тапсырманы мұқият орындауға тырысыңыз. Оған жауап:.

Координаттар мен векторлар. Қысқаша сипаттама және негізгі формулалар

Вектор бағытталған кесінді. - вектордың басы, - вектордың соңы.
Вектор немесе арқылы белгіленеді.

Абсолютті мәнвектор – векторды бейнелейтін кесіндінің ұзындығы. ретінде белгіленген.

Векторлық координаталар:

,
\displaystyle a векторының ұштары қайда орналасқан.

Векторлардың қосындысы: .

Векторлардың көбейтіндісі:

Векторлардың нүктелік көбейтіндісі:

Векторлардың скаляр көбейтіндісі олардың абсолютті мәндері мен олардың арасындағы бұрыштың косинусының көбейтіндісіне тең:

ҚАЛҒАН 2/3 МАҚАЛАЛАР ТЕК СІЗДЕРДІҢ КӨЛЕМДІ СТУДЕНТТЕРІНЕ ЖЕТІЛЕДІ!

YouClever студенті болыңыз,

OGE-ге дайындалыңыз немесе математикада «айына бір кесе кофе» бағасымен ПАЙДАЛАНЫҢЫЗ,

Сондай-ақ, «YouClever» оқулығына, «100gia» оқу бағдарламасына (шешімдер кітабы), шексіз USE және OGE сынақ нұсқасына, шешімдерді талдауы бар 6000 тапсырмаға және басқа YouClever және 100gia қызметтеріне шексіз қол жеткізіңіз.

Төмендегі мақалада бастапқы деректер ретінде оның шеткі нүктелерінің координаталары болған кезде сегменттің ортасының координаталарын табу мәселелері қарастырылады. Бірақ, мәселені зерттеуге кіріспес бұрын, біз бірқатар анықтамаларды енгіземіз.

Анықтама 1

Бөлім- кесіндінің ұштары деп аталатын екі ерікті нүктені қосатын түзу. Мысал ретінде бұл A және B нүктелері және сәйкесінше A B кесіндісі болсын.

А В кесіндісін А және В нүктелерінен екі бағытта жалғастырса, А В түзуін аламыз. Сонда A B кесіндісі алынған түзудің А және В нүктелерімен шектелген бөлігі болып табылады. A B кесіндісі оның ұштары болып табылатын A және B нүктелерін, сондай-ақ олардың арасында жатқан нүктелер жиынын біріктіреді. Мысалы, А және В нүктелерінің арасында жататын кез келген еркін К нүктесін алсақ, К нүктесі А В кесіндісінде жатыр деп айта аламыз.

Анықтама 2

Ұзындығын кесіңізберілген масштабтағы кесіндінің ұштары арасындағы қашықтық (бірлік ұзындық сегменті). А В кесіндісінің ұзындығын былай белгілейміз: A B .

Анықтама 3

ортаңғы нүктеТүзу кесіндісіндегі оның ұштарынан бірдей қашықтықта орналасқан нүкте. Егер A B сегментінің ортасы С нүктесімен белгіленсе, онда теңдік ақиқат болады: A C \u003d C B

Бастапқы деректер: O x координаталық сызығы және ондағы сәйкес келмейтін нүктелер: A және B . Бұл нүктелер нақты сандарға сәйкес келеді x A және x B . С нүктесі – А В кесіндісінің ортасы: координатаны анықтау керек x C .

С нүктесі А В кесіндісінің ортасы болғандықтан, теңдік ақиқат болады: | A C | = | C B | . Нүктелер арасындағы қашықтық олардың координаталары арасындағы айырмашылық модулімен анықталады, яғни.

| A C | = | C B | ⇔ x C - x A = x B - x C

Сонда екі теңдік болуы мүмкін: x C - x A = x B - x C және x C - x A = - (x B - x C)

Бірінші теңдіктен C нүктесінің координатасының формуласын аламыз: x C \u003d x A + x B 2 (кесінді ұштарының координаттарының қосындысының жартысы).

Екінші теңдіктен аламыз: x A = x B , бұл мүмкін емес, өйткені бастапқы деректерде - сәйкес келмейтін нүктелер. Осылайша, А (х А) және ұштары бар A B кесіндісінің ортаңғы нүктесінің координаталарын анықтау формуласы B(xB):

Алынған формула жазықтықтағы немесе кеңістіктегі кесіндінің орта нүктесінің координаталарын анықтауға негіз болады.

Бастапқы деректер: O x y жазықтығындағы тікбұрышты координаталар жүйесі, A x A, y A және B x B , y B координаталары берілген екі ерікті сәйкес келмейтін нүктелер. С нүктесі А В сегментінің орта нүктесі болып табылады. С нүктесі үшін x C және y C координаталарын анықтау қажет.

Талдау үшін А және В нүктелері сәйкес келмейтін және бір координаталық түзуде немесе осьтердің біріне перпендикуляр түзуде жатпайтын жағдайды алайық. A x, A y; B x , B y және C x , C y - координаталық осьтердегі A , B және C нүктелерінің проекциялары (O x және O y түзулері).

Құрылысы бойынша A A x , B B x , C C x түзулері параллель; сызықтар да бір-біріне параллель. Осымен бірге, Фалес теоремасы бойынша AC \u003d CB теңдігінен теңдіктер шығады: A x C x \u003d C x B x және A y C y \u003d C y B y, және олар өз кезегінде, C x нүктесі - A x B x кесіндісінің ортасы, ал C y A y B y кесіндісінің ортасы екенін көрсетіңіз. Содан кейін, бұрын алынған формулаға сүйене отырып, біз аламыз:

x C = x A + x B 2 және y C = y A + y B 2

А және В нүктелері бір координаталық түзуде немесе осьтердің біріне перпендикуляр түзуде жатқан жағдайда бірдей формулаларды қолдануға болады. Біз бұл жағдайға егжей-тегжейлі талдау жасамаймыз, оны тек графикалық түрде қарастырамыз:

Жоғарыда айтылғандардың барлығын қорытындылай келе, ұштарының координаталары бар жазықтықтағы А В кесіндісінің ортасының координаталары A (x A , y A) Және B(x B, y B) ретінде анықталады:

(x A + x B 2 , y A + y B 2)

Бастапқы деректер: О x y z координаталар жүйесі және берілген A (x A , y A , z A) және B (x B , y B , z B) координаталары бар екі ерікті нүкте. А В кесіндісінің ортасы болып табылатын С нүктесінің координаталарын анықтау қажет.

A x , A y , A z ; B x , B y , B z және C x , C y , C z - барлық берілген нүктелердің координаталар жүйесінің осьтеріндегі проекциялары.

Фалес теоремасы бойынша теңдіктер ақиқат: A x C x = C x B x , A y C y = C y B y , A z C z = C z B z.

Демек, C x , C y , C z нүктелері сәйкесінше A x B x , A y B y , A z B z кесінділерінің ортаңғы нүктелері болып табылады. Содан кейін, Кеңістіктегі кесіндінің ортасының координаталарын анықтау үшін келесі формулалар дұрыс:

x C = x A + x B 2 , y c = y A + y B 2 , z c = z A + Z B 2

Алынған формулалар А және В нүктелері координаталық түзулердің бірінде жатқан жағдайларда да қолданылады; осьтердің біріне перпендикуляр түзуде; бір координаталық жазықтықта немесе координаталық жазықтықтардың біріне перпендикуляр жазықтықта.

Сегменттің ортасының координаталарын оның ұштарының радиус векторларының координаталары арқылы анықтау

Сегменттің ортасының координаталарын табу формуласын векторлардың алгебралық интерпретациясына сәйкес шығаруға болады.

Бастапқы деректер: тік бұрышты декарттық координаталар жүйесі O x y , берілген координаталары бар нүктелер A (x A , y A) және B (x B , x B) . С нүктесі А В сегментінің орта нүктесі болып табылады.

Векторлардағы әрекеттердің геометриялық анықтамасы бойынша келесі теңдік ақиқат болады: O C → = 1 2 · O A → + O B → . Бұл жағдайда С нүктесі O A → және O B → векторларының негізінде салынған параллелограммның диагональдарының қиылысу нүктесі болып табылады, яғни. диагональдардың ортасының нүктесі.Нүктенің радиус векторының координаталары нүктенің координаталарына тең болса, онда теңдіктер ақиқат болады: OA → = (x A , y A) , OB → = (x B) , у B) . Координаталардағы векторларға бірнеше амалдар орындап, мынаны аламыз:

O C → = 1 2 O A → + O B → = x A + x B 2 , y A + y B 2

Сондықтан С нүктесінің координаттары бар:

x A + x B 2 , y A + y B 2

Аналогия бойынша кеңістіктегі сегменттің орта нүктесінің координаталарын табу формуласы анықталады:

C (x A + x B 2 , y A + y B 2 , z A + z B 2)

Кесіндінің ортасының координаталарын табуға есептер шығару мысалдары

Жоғарыда алынған формулаларды қолданумен байланысты тапсырмалардың ішінде кесіндінің ортасының координаталарын есептеуге тікелей сұрақ қойылатындар да, берілген шарттарды осы сұраққа келтіруді көздейтіндер де бар: «медиана» термині жиі пайдаланылады, мақсаты кесіндінің ұштарынан біреуінің координаталарын табу, сонымен қатар симметрия бойынша есептерді табу, жалпы алғанда оларды шешу де осы тақырыпты оқығаннан кейін қиындық тудырмауы керек. Типтік мысалдарды қарастырайық.

1-мысал

Бастапқы деректер:жазықтықта - берілген координаталары бар нүктелер A (- 7, 3) және B (2, 4) . А В кесіндісінің ортаңғы нүктесінің координаталарын табу керек.

Шешім

А В кесіндісінің ортасын С нүктесімен белгілейік. Оның координаталары сегмент ұштарының координаталарының қосындысының жартысы ретінде анықталады, яғни. А және В нүктелері.

x C = x A + x B 2 = - 7 + 2 2 = - 5 2 y C = y A + y B 2 = 3 + 4 2 = 7 2

Жауап: A B кесіндісінің ортасының координаталары - 5 2, 7 2.

2-мысал

Бастапқы деректер: A B C үшбұрышының координаталары белгілі: A (- 1 , 0) , B (3 , 2) , C (9 , - 8) . A M медианасының ұзындығын табу керек.

Шешім

1. Есептің шарты бойынша A M медиана болып табылады, бұл M B C сегментінің орта нүктесі екенін білдіреді. Ең алдымен, біз кесіндінің ортасының координаталарын табамыз B C , яғни. M ұпай:

x M = x B + x C 2 = 3 + 9 2 = 6 y M = y B + y C 2 = 2 + (- 8) 2 = - 3

1. Біз енді медиананың екі ұшының координаталарын (A және M нүктелері) білетіндіктен, нүктелер арасындағы қашықтықты анықтау және A M медианасының ұзындығын есептеу үшін формуланы пайдалана аламыз:

A M = (6 - (- 1)) 2 + (- 3 - 0) 2 = 58

Жауап: 58

3-мысал

Бастапқы деректер:параллелепипед A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 үш өлшемді кеңістіктің тікбұрышты координаталар жүйесінде берілген. С 1 (1 , 1 , 0) нүктесінің координаталары берілген, сонымен қатар B D 1 диагоналының ортасы болып табылатын және M (4 , 2 , - 4) координаталары бар М нүктесі де анықталған. А нүктесінің координаталарын есептеу керек.

Шешім

Параллелепипедтің диагональдары бір нүктеде қиылысады, бұл барлық диагональдардың ортасы болып табылады. Осы тұжырымға сүйене отырып, есептің шарттарымен белгілі М нүктесі А С 1 кесіндісінің ортасы екенін есте ұстауға болады. Кеңістіктегі кесіндінің ортасының координаталарын табу формуласына сүйене отырып, А нүктесінің координаталарын табамыз: x M = x A + x C 1 2 ⇒ x A = 2 x M - x C 1 = 2 4 - 1 + 7 y M = y A + y C 1 2 ⇒ y A = 2 y M - y C 1 = 2 2 - 1 = 3 z M = z A + z C 1 2 ⇒ z A = 2 z M - z C 1 = 2 (- 4) - 0 = - 8

Жауап:А нүктесінің координаталары (7, 3, - 8) .

Мәтінде қатені байқасаңыз, оны бөлектеп, Ctrl+Enter пернелерін басыңыз