Координаталары белгілі болса, кесіндінің ұзындығын қалай табуға болады. Кесіндінің ортасының координаталарын табу, мысалдар, шешімдер. Кеңістіктегі координаталар әдісі

Бұл мақалада біз сегменттің ортасының координаталарын оның ұштарының координаталарынан табу туралы айтатын боламыз. Алдымен біз қажетті түсініктерді береміз, содан кейін кесіндінің ортасының координаталарын табу формулаларын аламыз, қорытындысында типтік мысалдар мен есептердің шешімдерін қарастырамыз.

Бетті шарлау.

Сегменттің ортасы туралы түсінік.

Кесіндінің ортаңғы нүктесі ұғымын енгізу үшін кесіндінің және оның ұзындығының анықтамалары қажет.

Кесінді ұғымы орта мектептің бесінші сыныбында математика сабағында былай беріледі: егер екі сәйкес келмейтін А және В нүктелерін алсақ, оларға сызғышты бекітіп, А-дан В-ға (немесе В нүктесінен) сызық жүргіземіз. А), содан кейін аламыз AB сегменті(немесе B A сегменті). А және В нүктелері шақырылады сегменттің ұштары. AB сегменті мен BA сегменті бір сегмент екенін есте ұстаған жөн.

Егер АВ кесіндісі ұштарынан екі жаққа да шексіз созылса, онда аламыз түзу АВ(немесе тікелей VA). AB сегменті - А және В нүктелері арасында орналасқан АВ түзуінің бөлігі. Сонымен, АВ кесіндісі А, В нүктелерінің бірігуі және А және В нүктелерінің арасында орналасқан AB түзуінің барлық нүктелерінің жиыны болып табылады. Егер А және В нүктелерінің арасында орналасқан АВ түзуінің ерікті М нүктесін алсақ, онда олар М нүктесі деп айтады. өтірік AB сегментінде.

Сегменттің ұзындығы AB – берілген масштабтағы (бірлік ұзындық сегменті) А және В нүктелерінің арасындағы қашықтық. AB кесіндісінің ұзындығы ретінде белгіленеді.

Анықтама.

Нүкте C деп аталады сегменттің ортасыАВ, егер ол АВ кесіндісінде жатса және оның ұштарынан бірдей қашықтықта болса.

Яғни, егер С нүктесі АВ кесіндісінің ортасы болса, онда ол оның үстінде жатады және.

Әрі қарай, біздің міндетіміз AB кесіндісінің ортасының координаталарын табу болады, егер А және В нүктелерінің координаталары координаталық түзуде немесе тікбұрышты координаталар жүйесінде берілген болса.

Координаталық түзудегі кесіндінің орта нүктесінің координатасы.

Бізге Ox координаталық сызығы және ондағы нақты сандар мен сәйкес келетін екі сәйкес келмейтін А және В нүктесі берілсін. С нүктесі АВ кесіндісінің ортасы болсын. С нүктесінің координатасын табайық.

С нүктесі АВ кесіндісінің ортасы болғандықтан, теңдік ақиқат болады. Координаталық түзудегі нүктеден нүктеге дейінгі қашықтық бөлімінде нүктелер арасындағы қашықтық олардың координаталары арасындағы айырмашылық модуліне тең екенін көрсеттік, демек, . Содан кейін немесе . Теңдіктен координаталық түзудегі АВ кесіндісінің ортаңғы нүктесінің координатасын табыңыз: - ол кесінді ұштарының координаталары қосындысының жартысына тең. Екінші теңдіктен аламыз, бұл мүмкін емес, өйткені біз сәйкес келмейтін А және В нүктелерін алдық.

Сонымен, ұштары бар АВ кесіндісінің орта нүктесінің координатасын табу формуласы және нысаны бар .

Түзу сегментінің ортаңғы нүктесінің координаталары.

Жазықтыққа тікбұрышты декарттық координаталар жүйесін Оxyz енгізейік. Бізге екі нүкте берілсін және біз С нүктесі АВ кесіндісінің ортасы екенін білеміз. Координаталары мен С нүктелерін табайық.

Құрылысы бойынша, түзу параллель және параллель түзулер , сондықтан, арқылы Фалес теоремасы AC және CB кесінділерінің теңдігінен және кесінділерінің теңдігі, сонымен қатар және кесінділері шығады. Демек, нүкте кесіндінің ортасы, ал кесіндінің ортасы. Содан кейін, осы баптың алдыңғы тармағына сәйкес Және .

Осы формулаларды пайдалана отырып, А және В нүктелері координаталар осінің бірінде немесе координаталар осінің біріне перпендикуляр түзуде жатқан жағдайларда АВ кесіндісінің ортасының координаталарын да есептеуге болады. Бұл жағдайларды түсініктемесіз қалдырып, графикалық иллюстрациялар берейік.

Осылайша, АВ кесіндісінің ортаңғы нүктесі нүктелерде аяқталатын және координаталары бар жазықтықта .

Кеңістіктегі кесіндінің ортасының координаталары.

Үш өлшемді кеңістікке және екі нүктеге Oxyz тікбұрышты координаталар жүйесі енгізілсін Және . АВ кесіндісінің ортасы болып табылатын С нүктесінің координаталарын табу формулаларын аламыз.

Жалпы жағдайды қарастырайық.

А, В және С нүктелерінің сәйкесінше Ox, Oy және Oz координаталық осьтерге проекциялары болсын және болсын.

Фалес теоремасы бойынша нүктелер кесінділердің орта нүктелері болып табылады тиісінше. Содан кейін (осы мақаланың бірінші абзацын қараңыз). Сонымен, алдық кесіндінің ортасының координаталарын оның кеңістіктегі ұштарының координаталарынан есептеу формулалары.

Бұл формулаларды А және В нүктелері координаталық осьтердің бірінде немесе координаталар осінің біріне перпендикуляр түзуде жатқан жағдайларда, сондай-ақ А және В нүктелері координаталық жазықтықтардың бірінде немесе бір нүктеде жататын жағдайларда да қолданылуы мүмкін. координаталық осьтердің біріне параллель жазықтық.

Оның ұштарының радиус векторларының координаталары арқылы кесіндінің ортасының координаталары.

Сегменттің ортасының координаталарын табу формулаларын векторлар алгебрасына сілтеме жасау арқылы оңай алуға болады.

Жазықтықта тік бұрышты декарттық координаталар жүйесі Oxy берілсін және С нүктесі АВ кесіндісінің ортаңғы нүктесі болсын, және.

Векторларға амалдардың геометриялық анықтамасы бойынша теңдік (С нүктесі - векторларға салынған параллелограмның диагональдарының қиылысу нүктесі және , яғни С нүктесі - параллелограмм диагоналінің ортасы). Тікбұрышты координаталар жүйесіндегі вектордың координаталары мақаласында біз нүктенің радиус векторының координаталары осы нүктенің координатасына тең болатынын анықтадық, сондықтан . Содан кейін координаталардағы векторларға сәйкес амалдарды орындағаннан кейін бізде . С нүктесінің координаталары бар деп қалай қорытындылауға болады .

Абсолютті ұқсас АВ кесіндісінің ортасының координаталарын оның кеңістіктегі ұштарының координаталары арқылы табуға болады. Бұл жағдайда, егер С AB және кесіндісінің ортасы болса, онда бізде болады .

Кесіндінің ортасының координаталарын табу, мысалдар, шешімдер.

Көптеген есептерде кесіндінің ортаңғы нүктесінің координаталарын табу үшін формулаларды қолдануға тура келеді. Ең сипатты мысалдардың шешімдерін қарастырайық.

Тек формуланы қолдануды қажет ететін мысалдан бастайық.

Мысал.

Жазықтықта екі нүктенің координаталары берілген . АВ кесіндісінің ортаңғы нүктесінің координаталарын табыңыз.

Шешім.

С нүктесі АВ кесіндісінің ортасы болсын. Оның координаталары А және В нүктелерінің сәйкес координаталарының жарты қосындысына тең:

Сонымен, AB кесіндісінің орта нүктесі координаталары бар.

Егер сіз дәптердің парағын жақсы ұшталған қарындашпен түртсеңіз, нүкте туралы түсінік беретін із қалады. (Cурет 3).

Қағаз бетіне екі А және В нүктелерін белгілейміз.Бұл нүктелерді әртүрлі сызықтар арқылы қосуға болады (4-сурет). Ал А және В нүктелерін ең қысқа түзумен қалай қосуға болады? Мұны сызғыштың көмегімен жасауға болады (сурет 5). Алынған сызық деп аталады сегмент.

Нүкте және түзу - Мысалдар геометриялық фигуралар.

А және В нүктелері шақырылады сегменттің ұштары.

Ұштары А және В нүктелері болатын жалғыз кесінді бар. Сондықтан кесінді оның ұштары болып табылатын нүктелерді жазу арқылы белгіленеді. Мысалы, 5-суреттегі сегмент екі жолдың бірімен белгіленеді: AB немесе BA. Оқыңыз: «AB сегменті» немесе «БА сегменті».

6-суретте үш сегмент көрсетілген. АВ кесіндісінің ұзындығы 1 см-ге тең.Ол MN кесіндісінде дәл үш рет, ал EF кесіндісінде дәл 4 рет орналастырылған. Соны айтамыз сегмент ұзындығы MN 3 см, ал EF кесіндісінің ұзындығы 4 см.

Сондай-ақ: «MN сегменті 3 см», «EF сегменті 4 см» деп айту әдетке айналған. Олар былай жазады: MN = 3 см, EF = 4 см.

Біз MN және EF сегменттерінің ұзындықтарын өлшедік бір сегмент, ұзындығы 1 см Сегменттерді өлшеу үшін басқасын таңдауға болады ұзындық бірліктері, мысалы: 1 мм, 1 дм, 1 км. 7-суретте сегменттің ұзындығы 17 мм. Бөлімдері бар сызғышты пайдаланып, ұзындығы 1 мм болатын бір кесіндімен өлшенеді. Сондай-ақ, сызғышты пайдаланып, берілген ұзындықтағы сегментті салуға (сызуға) болады (7-суретті қараңыз).

Мүлде, кесіндіні өлшеу оған қанша бірлік сегменттің сәйкес келетінін санауды білдіреді.

Сегменттің ұзындығы келесі қасиетке ие.

Егер С нүктесі АВ кесіндісінде белгіленген болса, онда АВ кесіндісінің ұзындығы АС және СВ кесінділерінің ұзындықтарының қосындысына тең болады.(Cурет 8).

Олар былай жазады: AB = AC + CB.

9-суретте AB және CD екі сегменті көрсетілген. Бұл сегменттер қабаттасқан кезде сәйкес келеді.

Екі сегмент бір-біріне сәйкес келетін болса, олар тең деп аталады.

Демек, AB және CD кесінділері тең. Олар жазады: AB = CD.

Тең кесінділердің ұзындығы бірдей.

Екі тең емес сегменттің ішінен ұзындығы ұзынды үлкенірек деп қарастырамыз. Мысалы, 6-суретте EF сегменті MN сегментінен үлкен.

АВ кесіндісінің ұзындығы деп аталады қашықтықА және В нүктелерінің арасында.

Егер бірнеше кесінділер 10-суретте көрсетілгендей орналасса, онда геометриялық фигура алынады, ол деп аталады. сынық сызық. 11-суреттегі барлық сегменттер үзік сызықты құрамайтынын ескеріңіз. Егер бірінші сегменттің соңы екіншісінің аяғына сәйкес келсе, ал екінші сегменттің екінші ұшы үшіншінің аяғына сәйкес келсе, сегменттер сынық сызықты құрайды деп саналады.

A, B, C, D, E − нүктелері полисызық төбелері ABCDE, A және E − нүктелері үзілген сызық аяқталады, ал AB, BC, CD, DE сегменттері оның сілтемелер(10-суретті қараңыз).

Сынық сызықтың ұзындығыоның барлық буындарының ұзындықтарының қосындысы болып табылады.

12-суретте ұштары сәйкес келетін екі сынық сызық көрсетілген. Мұндай үзік сызықтар деп аталады жабық.

Мысал 1 . ВС сегменті ұзындығы 8 см болатын АВ сегментінен 3 см кем (13-сурет). AC кесіндісінің ұзындығын табыңыз.

Шешім. Бізде: BC \u003d 8 - 3 \u003d 5 (см).

Кесіндінің ұзындығының қасиетін пайдаланып, АС = AB + BC жазуға болады. Осыдан AC = 8 + 5 = 13 (см).

Жауабы: 13 см.

Мысал 2 . МК = 24 см, NP = 32 см, МП = 50 см екені белгілі (14-сурет). NK кесіндісінің ұзындығын табыңыз.

Шешім. Бізде: MN = MP − NP.

Демек, MN = 50 − 32 = 18 (см).

Бізде: NK = MK − MN.

Осыдан NK = 24 − 18 = 6 (см) болады.

Жауабы: 6 см.

Ұзындық, жоғарыда айтылғандай, модуль белгісімен көрсетіледі.

Егер жазықтықтың екі нүктесі және берілген болса, онда кесіндінің ұзындығын формула бойынша есептеуге болады

Егер кеңістікте екі нүкте және берілген болса, онда кесіндінің ұзындығын формула бойынша есептеуге болады

Ескерту:Сәйкес координаттар ауыстырылса, формулалар дұрыс болып қалады: және , бірақ бірінші опция стандарттырақ

3-мысал

Шешімі:сәйкес формула бойынша:

Жауап:

Түсінікті болу үшін мен сурет саламын

Бөлім - бұл вектор емес, және сіз оны ешқайда жылжыта алмайсыз, әрине. Сонымен қатар, масштабтау үшін сызбаны аяқтасаңыз: 1 бірлік. \u003d 1 см (екі тетрадты ұяшық), содан кейін жауапты сегменттің ұзындығын тікелей өлшеу арқылы кәдімгі сызғышпен тексеруге болады.

Иә, шешім қысқа, бірақ мен түсіндіргім келетін бірнеше маңызды тармақтар бар:

Біріншіден, жауапта біз өлшемді орнаттық: «бірліктер». Шарт оның НЕ екенін, миллиметрді, сантиметрді, метрді немесе километрді айтпайды. Сондықтан жалпы тұжырым математикалық сауатты шешім болады: «бірліктер» - «бірліктер» ретінде қысқартылған.

Екіншіден, қарастырылған мәселеге ғана емес пайдалы мектеп материалын қайталайық:

назар аударыңыз маңызды техникалық трюк – көбейткішті түбір астынан шығару. Есептеулер нәтижесінде біз нәтиже алдық және жақсы математикалық стиль көбейткішті түбірдің астынан шығаруды қамтиды (мүмкіндігінше). Процесс толығырақ келесідей көрінеді: Әрине, жауапты формада қалдыру қате болмайды - бірақ бұл мұғалім тарапынан кемшілік және салмақты дәлел.

Міне, басқа жиі кездесетін жағдайлар:

Көбінесе, мысалы, түбір астында жеткілікті үлкен сан алынады. Мұндай жағдайларда қалай болу керек? Калькуляторда санның 4-ке бөлінетінін тексереміз:. Иә, ол толығымен бөлінді, осылайша: . Немесе санды қайтадан 4-ке бөлуге болады ма? . Осылайша: . Санның соңғы цифры тақ, сондықтан үшінші рет 4-ке бөлу мүмкін емес. Тоғызға бөлуге тырысу: . Нәтижесінде:
Дайын.

Шығару:егер түбірдің астынан шығаруға болмайтын бүтін сан келсе, онда біз түбір астынан көбейткішті шығаруға тырысамыз - калькуляторда санның 4, 9, 16, 25, 36, 49-ға бөлінетінін тексереміз. , т.б.

Әртүрлі есептерді шешу барысында түбірлер жиі кездеседі, мұғалімнің ескертпесі бойынша шешімдеріңізді аяқтай отырып, төмен балл мен қажетсіз қиындықтарды болдырмау үшін әрқашан түбірдің астынан факторларды алуға тырысыңыз.

Түбірлердің және басқа дәрежелердің квадратын бір уақытта қайталайық:

Жалпы нысандағы дәрежелері бар әрекеттердің ережелерін алгебра бойынша мектеп оқулығында табуға болады, бірақ менің ойымша, барлығы немесе барлығы дерлік келтірілген мысалдардан түсінікті.

Кеңістіктегі сегменті бар тәуелсіз шешімге тапсырма:

4-мысал

Берілген ұпайлар және . Кесіндінің ұзындығын табыңыз.

Сабақ соңында шешу және жауап беру.

Сегменттің ұзындығын әртүрлі тәсілдермен анықтауға болады. Сегменттің ұзындығын қалай табуға болатынын білу үшін сызғыштың болуы немесе есептеуге арналған арнайы формулаларды білу жеткілікті.

Сызғышпен сызық ұзындығы

Ол үшін жазықтықта салынған сегментке миллиметрлік бөлімдері бар сызғышты қолданамыз және бастапқы нүкте сызғыш масштабының нөлімен теңестірілуі керек. Содан кейін осы шкалада осы сегменттің соңғы нүктесінің орнын белгілеу керек. Масштабтың бүтін бөлімдерінің нәтижесінде см және мм-де көрсетілген сегменттің ұзындығы болады.

Жазықтық координаталар әдісі

Егер (x1; y1) және (x2; y2) кесіндісінің координаталары белгілі болса, онда оның ұзындығын келесідей есептеу керек. Екінші нүктенің жазықтығындағы координаталардан бірінші нүктенің координаталарын алып тастау керек. Нәтиже екі сан болуы керек. Осы сандардың әрқайсысының квадраты болуы керек, содан кейін осы квадраттардың қосындысын табыңыз. Алынған саннан квадрат түбірін алу керек, ол нүктелер арасындағы қашықтық болады. Бұл нүктелер сегменттің ұштары болғандықтан, бұл мән оның ұзындығы болады.

Координаталар бойынша кесіндінің ұзындығын табудың мысалын қарастырыңыз. Екі нүктенің (-1;2) және (4;7) координаталары бар. Нүктелердің координаталарының айырмасын тапқанда мына мәндерді аламыз: x = 5, y = 5. Алынған сандар сегменттің координаталары болады. Содан кейін әрбір санның квадратын аламыз және нәтижелердің қосындысын табамыз, ол 50. Осы саннан квадрат түбірін шығарамыз. Нәтиже: 2-нің 5 түбірі. Бұл кесіндінің ұзындығы.

Кеңістіктегі координаталар әдісі

Ол үшін вектордың ұзындығын қалай табуға болатынын қарастырыңыз. Ол Евклид кеңістігінде сегмент болады. Ол жазықтықтағы кесіндінің ұзындығы сияқты дерлік табылған. Вектордың құрылысы әртүрлі жазықтықта жүреді. Вектордың ұзындығын қалай табуға болады?

1. Вектордың координаталарын табыңыз, ол үшін оның соңғы нүктесінің координаталарынан оның бастапқы нүктесінің координаталарын алып тастау керек.
2. Осыдан кейін вектордың әрбір координатасының квадратын алу керек.
3. Содан кейін координаталардың квадраттарын қосыңыз.
4. Вектордың ұзындығын табу үшін координаталар квадраттарының қосындысының квадрат түбірін алу керек.

Мысал арқылы есептеу алгоритмін қарастырайық. АВ векторының координаталарын табу керек. А және В нүктелерінің келесі координаталары бар: A (1;6;3) және В (3;-1;7). Вектордың басы А нүктесінде жатыр, соңы В нүктесінде орналасқан.Осылайша оның координаталарын табу үшін В нүктесінің координаталарынан А нүктесінің координаталарын алып тастау керек: (3 - 1; -1 - 6; 7 - 3) = (2; - 3) 7;4).

Енді әрбір координатты квадраттап, оларды қосамыз: 4+49+16=69. Соңында берілген санның квадрат түбірін шығарады. Оны шығару қиын, сондықтан нәтижені былай жазамыз: вектордың ұзындығы 69-ның түбіріне тең.

Егер сіз үшін сегменттер мен векторлардың ұзындығын есептеу маңызды болмаса, бірақ сізге нәтиже қажет болса, онда сіз онлайн калькуляторды пайдалана аласыз, мысалы, осы.

Енді осы әдістерді зерделеп, берілген мысалдарды қарастыра отырып, кез келген есептегі кесіндінің ұзындығын оңай табуға болады.

сегменттүзудің осы екі нүктенің арасында орналасқан осы түзудің барлық нүктелерінен тұратын бөлігін атаймыз – олар кесіндінің ұштары деп аталады.

Бірінші мысалды қарастырайық. Белгілі бір кесінді координаталық жазықтықта екі нүкте арқылы берілсін. Бұл жағдайда оның ұзындығын Пифагор теоремасын қолдану арқылы таба аламыз.

Сонымен, координаталар жүйесінде оның ұштарының берілген координаталары бар кесінді сызыңыз(x1; y1) Және (x2; y2) . осьте X Және Ы кесіндінің ұштарынан перпендикулярларды түсіріңіз. Координат осіндегі бастапқы кесіндінің проекциялары болып табылатын кесінділерді қызыл түспен белгілеңіз. Осыдан кейін біз проекциялық кесінділерді сегменттердің ұштарына параллель ауыстырамыз. Біз үшбұрышты аламыз (тікбұрышты). Бұл үшбұрыштың гипотенузасы АВ кесіндісінің өзі болады, ал оның катеттері берілген проекциялар болады.

Осы проекциялардың ұзындығын есептейік. Сонымен осьте Ы проекция ұзындығы y2-y1 , және осьте X проекция ұзындығы x2-x1 . Пифагор теоремасын қолданайық: |AB|² = (y2 - y1)² + (x2 - x1)² . Бұл жағдайда |AB| кесіндінің ұзындығы болып табылады.

Егер сіз сегменттің ұзындығын есептеу үшін осы схеманы қолдансаңыз, онда сіз тіпті сегментті құра алмайсыз. Енді координаталары бар кесіндінің ұзындығы қандай екенін есептейміз (1;3) Және (2;5) . Пифагор теоремасын қолданып, мынаны аламыз: |AB|² = (2 - 1)² + (5 - 3)² = 1 + 4 = 5 . Және бұл біздің сегменттің ұзындығы тең екенін білдіреді 5:1/2 .

Кесіндінің ұзындығын табудың келесі әдісін қарастырыңыз. Ол үшін қандай да бір жүйедегі екі нүктенің координаталарын білуіміз керек. Бұл опцияны екі өлшемді декарттық координаттар жүйесін пайдаланып қарастырыңыз.

Сонымен, екі өлшемді координаталар жүйесінде кесіндінің шеткі нүктелерінің координаталары берілген. Егер осы нүктелер арқылы түзулер жүргізсек, олар координат осіне перпендикуляр болуы керек, онда тікбұрышты үшбұрыш аламыз. Бастапқы кесінді алынған үшбұрыштың гипотенузасы болады. Үшбұрыштың катеттері кесінділерді құрайды, олардың ұзындығы гипотенузаның координаталық осьтердегі проекциясына тең. Пифагор теоремасы негізінде мынандай қорытынды жасаймыз: берілген кесіндінің ұзындығын табу үшін екі координаталық осьтерге проекциялардың ұзындықтарын табу керек.

Проекциялардың ұзындықтарын табыңыз (X және Y) бастапқы кесіндіні координат осіне. Біз оларды бөлек ось бойындағы нүктелердің координаталарының айырмасын табу арқылы есептейміз: X=X2-X1, Y=Y2-Y1 .

Сегменттің ұзындығын есептеңдер БІРАҚ , ол үшін квадрат түбірін табамыз:

A = √(X²+Y²) = √((X2-X1)²+(Y2-Y1)²) .

Егер біздің сегмент координаталары нүктелер арасында орналасса 2;4 Және 4;1 , онда оның ұзындығы сәйкесінше тең болады √((4-2)²+(1-4)²) = √13 ≈ 3,61 .