Әртүрлі дәрежедегі сандардың көбейтіндісі. Дәреже және оның қасиеттері. Толық нұсқаулық (2020). Иррационал дәрежелі дәрежелердің негізгі қасиеттері
Алдыңғы мақалада біз мономдардың не екенін айтқан болатынбыз. Бұл материалда біз мысалдар мен олар қолданылатын есептерді шешу жолдарын талдаймыз. Мұнда бірмүшелерді алу, қосу, көбейту, бөлу және оларды натурал көрсеткішті дәрежеге көтеру сияқты әрекеттерді қарастырамыз. Біз мұндай операциялардың қалай анықталғанын көрсетеміз, оларды орындаудың негізгі ережелерін көрсетеміз және нәтиже қандай болуы керек. Барлық теориялық ережелер, әдеттегідей, шешімдерді сипаттайтын есептердің мысалдарымен суреттелетін болады.
Бір мүшелердің стандартты белгілерімен жұмыс істеу ең ыңғайлы, сондықтан біз мақалада қолданылатын барлық өрнектерді стандартты түрде ұсынамыз. Егер олар бастапқыда басқаша орнатылса, алдымен оларды жалпы қабылданған пішінге келтіру ұсынылады.
Бірмүшелерді қосу және азайту ережелері
Мономиялармен орындалатын қарапайым амалдар – алу және қосу. Жалпы жағдайда бұл әрекеттердің нәтижесі көпмүше болады (кейбір ерекше жағдайларда мономдік мүмкін).
Бірмүшелерді қосқанда немесе азайтқанда алдымен сәйкес қосынды мен айырманы жалпы қабылданған түрде жазамыз, содан кейін алынған өрнекті жеңілдетеміз. Ұқсас терминдер болса, оларды беру керек, жақшаларды ашу керек. Мысалмен түсіндірейік.
1-мысал
Шарты:− 3 · x және 2, 72 · x 3 · y 5 · z мономдіктерін қосыңыз.
Шешім
Бастапқы өрнектердің қосындысын жазып алайық. Жақшаларды қосып, олардың арасына қосу белгісін қойыңыз. Біз келесілерді аламыз:
(− 3 x) + (2 , 72 x 3 y 5 z)
Жақшаларды кеңейткенде, біз аламыз - 3 x + 2 , 72 x 3 y 5 z . Бұл стандартты түрде жазылған көпмүше, ол осы мономдарды қосудың нәтижесі болады.
Жауап:(− 3 x) + (2 , 72 x 3 y 5 z) = − 3 x + 2 , 72 x 3 y 5 z .
Егер бізде үш, төрт немесе одан да көп терминдер берілген болса, біз бұл әрекетті дәл осылай орындаймыз.
2-мысал
Шарты:көпмүшелермен берілген амалдарды дұрыс ретпен орындау
3 a 2 - (- 4 a c) + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c
Шешім
Жақшаларды ашудан бастайық.
3 a 2 + 4 a c + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c
Алынған өрнекті ұқсас терминдерді азайту арқылы жеңілдетуге болатынын көреміз:
3 a 2 + 4 a c + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c = = (3 a 2 + a 2 - 7 a 2) + 4 a c - 2 2 3 ac + 4 9 = = - 3 a 2 + 1 1 3 ac + 4 9
Бізде осы әрекеттің нәтижесі болатын көпмүше бар.
Жауап: 3 a 2 - (- 4 a c) + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c = - 3 a 2 + 1 1 3 a c + 4 9
Негізінде, біз екі мономді қосу және азайтуды кейбір шектеулермен орындай аламыз, осылайша біз мономальды аламыз. Ол үшін терминдер мен азайтылған мономалдарға қатысты кейбір шарттарды сақтау қажет. Мұның қалай жасалатынын біз бөлек мақалада сипаттаймыз.
Бірмүшелерді көбейту ережелері
Көбейту әрекеті көбейткіштерге ешқандай шектеулер қоймайды. Нәтиже моном болуы үшін көбейтілетін мономалдар ешқандай қосымша шарттарға сәйкес келмеуі керек.
Мономияларды көбейту үшін келесі қадамдарды орындау керек:
- Бөлімді дұрыс жазыңыз.
- Алынған өрнектегі жақшаларды кеңейтіңіз.
- Мүмкіндігінше, бірдей айнымалылары бар факторларды және сандық факторларды бөлек топтаңыз.
- Сандармен қажетті әрекеттерді орындаңыз және қалған көбейткіштерге бірдей негіздерімен дәрежелерді көбейту қасиетін қолданыңыз.
Бұл іс жүзінде қалай жасалатынын көрейік.
3-мысал
Шарты:мономалдар 2 · x 4 · y · z және - 7 16 · t 2 · x 2 · z 11 көбейтіңіз.
Шешім
Шығарманың композициясынан бастайық.
Ондағы жақшаларды ашып, біз мынаны аламыз:
2 x 4 y z - 7 16 t 2 x 2 z 11
2 - 7 16 т 2 x 4 x 2 y z 3 z 11
Бізге бірінші жақшадағы сандарды көбейтіп, екіншісіне қуат қасиетін қолдансақ болғаны. Нәтижесінде біз мынаны аламыз:
2 - 7 16 t 2 x 4 x 2 y z 3 z 11 = - 7 8 t 2 x 4 + 2 y z 3 + 11 = = - 7 8 t 2 x 6 y z 14
Жауап: 2 x 4 y z - 7 16 t 2 x 2 z 11 = - 7 8 t 2 x 6 y z 14 .
Егер шартта үш немесе одан да көп көпмүшелік болса, біз оларды дәл сол алгоритм арқылы көбейтеміз. Бірмүшелерді көбейту мәселесін жеке материалда толығырақ қарастырамыз.
Мономиалды қуатқа көтеру ережелері
Бірдей факторлардың белгілі бір санының көбейтіндісі натурал көрсеткішті дәреже деп аталатынын білеміз. Олардың саны индикатордағы санмен көрсетіледі. Бұл анықтамаға сәйкес, мономальды дәрежеге көтеру бірдей мономальдылардың көрсетілген санын көбейтуге тең. Оның қалай жасалғанын көрейік.
4-мысал
Шарты:− 2 · a · b 4 мономін 3-тің дәрежесіне көтеріңіз.
Шешім
Көрсеткішті 3 мономді көбейтумен алмастыруға болады − 2 · a · b 4 . Жазып, қалаған жауабын алайық:
(− 2 a b 4) 3 = (− 2 a b 4) (− 2 a b 4) (− 2 a b 4) = = ((− 2) (− 2) (− 2)) (aaa) (b 4 b 4) b 4) = − 8 a 3 b 12
Жауап:(− 2 a b 4) 3 = − 8 a 3 b 12 .
Бірақ дәреже үлкен көрсеткішке ие болғанда ше? Көбейткіштердің көп санын жазу ыңғайсыз. Содан кейін мұндай мәселені шешу үшін біз дәреженің қасиеттерін, атап айтқанда туындының дәрежесінің қасиетін және дәрежедегі дәреже қасиетін қолдануымыз керек.
Жоғарыда келтірген мәселені көрсетілген жолмен шешейік.
5-мысал
Шарты:− 2 · a · b 4 үшінші дәрежеге көтеріңіз.
Шешім
Дәрежедегі дәреженің қасиетін біле отырып, келесі түрдегі өрнекке көшуге болады:
(− 2 a b 4) 3 = (− 2) 3 a 3 (b 4) 3 .
Осыдан кейін біз - 2 дәрежесіне көтеріп, көрсеткіш қасиетін қолданамыз:
(− 2) 3 (a) 3 (b 4) 3 = − 8 a 3 b 4 3 = − 8 a 3 b 12 .
Жауап:− 2 · a · b 4 = − 8 · a 3 · b 12 .
Сондай-ақ мономалды билікке көтеруге жеке мақала арнадық.
Мономияларды бөлу ережелері
Бұл материалда талдайтын мономалдармен соңғы әрекет - мономді мономға бөлу. Нәтижесінде біз рационал (алгебралық) бөлшекті алуымыз керек (кейбір жағдайларда мономиалды алуға болады). Бірден нөлге бөлу анықталмағанын түсіндірейік, өйткені 0-ге бөлу анықталмаған.
Бөлуді орындау үшін көрсетілген мономдіктерді бөлшек түрінде жазып, мүмкіндігінше азайту керек.
6-мысал
Шарты:мономалды − 9 x 4 y 3 z 7 − 6 p 3 t 5 x 2 y 2-ге бөлеміз.
Шешім
Бір мүшелерді бөлшек түрінде жазудан бастайық.
9 x 4 y 3 z 7 - 6 p 3 t 5 x 2 y 2
Бұл бөлшекті азайтуға болады. Мұны істегеннен кейін біз аламыз:
3 x 2 y z 7 2 p 3 t 5
Жауап:- 9 x 4 y 3 z 7 - 6 p 3 t 5 x 2 y 2 = 3 x 2 y z 7 2 p 3 t 5 .
Бірмүшелерді бөлу нәтижесінде мономалды алу шарттары жеке мақалада берілген.
Мәтінде қатені байқасаңыз, оны бөлектеп, Ctrl+Enter пернелерін басыңыз
Күш формулаларыкүрделі өрнектерді азайту және ықшамдау процесінде, теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуде қолданылады.
Сан вболып табылады n-санның дәрежесі ақашан:
Дәрежелері бар амалдар.
1. Негіздері бірдей дәрежелерді көбейткенде олардың көрсеткіштері қосылады:
а мa n = a m + n .
2. Негіздері бірдей дәрежелерді бөлу кезінде олардың көрсеткіштері шегеріледі:
3. 2 немесе одан да көп факторлардың көбейтіндісінің дәрежесі осы факторлардың дәрежелерінің көбейтіндісіне тең:
(abc…) n = a n b n c n…
4. Бөлшектің дәрежесі дивиденд пен бөлгіштің дәрежелерінің қатынасына тең:
(a/b) n = a n / b n .
5. Дәрежені дәрежеге көтеріп, дәрежелер көбейтіледі:
(am) n = a m n .
Жоғарыдағы әрбір формула солдан оңға және керісінше бағытта дұрыс.
Мысалға. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.
Түбірлермен операциялар.
1. Бірнеше факторлардың көбейтіндісінің түбірі осы факторлардың түбірлерінің көбейтіндісіне тең:
2. Қатынас түбірі дивиденд пен түбірлердің бөлгішінің қатынасына тең:
3. Түбірді дәрежеге көтергенде, түбір санын осы дәрежеге көтеру жеткілікті:
4. Түбірдің дәрежесін арттырсақ nбір рет және бір уақытта дейін көтеріңіз n th дәреже түбір сан болса, онда түбірдің мәні өзгермейді:
5. Түбірдің дәрежесін төмендетсек nбір мезгілде тамыр nрадикалды саннан ші дәрежелі болса, түбірдің мәні өзгермейді:
Теріс көрсеткішті дәреже.Оң емес (бүтін) дәреже көрсеткіші бар белгілі бір санның дәрежесі оң емес көрсеткіштің абсолютті мәніне тең дәрежелі көрсеткіші бар сол санның дәрежесіне бөлінген бір сан ретінде анықталады:
Формула а м:a n = a m - nүшін ғана емес қолдануға болады м> n, бірақ сонымен бірге м< n.
Мысалға. а4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.
Формулаға а м:a n = a m - nәділетті болды m=n, сізге нөлдік дәреженің болуы қажет.
Нөл көрсеткіші бар дәреже.Көрсеткіші нөлге тең кез келген нөлдік емес санның дәрежесі бірге тең.
Мысалға. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.
Бөлшек көрсеткіші бар дәреже.Нақты санды көтеру үшін бірақдәрежеге дейін м/н, түбірін шығарып алу керек nші дәрежесі мосы санның дәрежесі бірақ.
Математикадағы дәреже ұғымы 7-сыныпта-ақ алгебра сабағында енгізіледі. Ал келешекте математиканы оқу барысында бұл ұғым өзінің әр түрлі формаларында белсенді түрде қолданылады. Дәрежелер - бұл құндылықтарды есте сақтауды және дұрыс және жылдам санауды талап ететін өте күрделі тақырып. Математикалық дәрежелермен жылдам және жақсы жұмыс істеу үшін олар дәреженің қасиеттерін ойлап тапты. Олар үлкен есептерді қысқартуға, үлкен мысалды белгілі бір дәрежеде бір санға айналдыруға көмектеседі. Қасиеттер соншалықты көп емес, және олардың барлығын есте сақтау және іс жүзінде қолдану оңай. Сондықтан мақалада дәреженің негізгі қасиеттері, сондай-ақ олардың қайда қолданылатыны қарастырылады.
дәреже қасиеттері
Дәреженің 12 қасиетін, соның ішінде негіздері бірдей дәрежелердің қасиеттерін қарастырамыз және әрбір қасиетке мысал келтіреміз. Бұл қасиеттердің әрқайсысы сізге дәрежелері бар мәселелерді тезірек шешуге көмектеседі, сонымен қатар көптеген есептеу қателерінен сақтайды.
1-ші қасиет.
Көптеген адамдар бұл қасиет туралы жиі ұмытады, қателіктер жібереді, нөлдік дәрежеге дейінгі санды нөлге тең етеді.
2-ші қасиет.
3-ші қасиет.
Бұл сипатты сандарды көбейту кезінде ғана қолдануға болатындығын есте ұстаған жөн, ол қосындымен жұмыс істемейді! Және бұл және келесі қасиеттер тек негізі бірдей дәрежелерге қатысты екенін ұмытпауымыз керек.
4-ші қасиет.
Егер бөлгіштегі сан теріс дәрежеге көтерілсе, онда азайтқанда, әрі қарай есептеулерде белгіні дұрыс ауыстыру үшін бөлгіштің дәрежесі жақшаға алынады.
Сипат алу кезінде емес, бөлу кезінде ғана жұмыс істейді!
5-ші қасиет.
6-шы қасиет.
Бұл сипатты керісінше қолдануға болады. Белгілі бір дәрежеде санға бөлінетін бірлік бұл сан теріс дәрежеге тең.
7-ші қасиет.
Бұл сипатты сомаға және айырмаға қолдануға болмайды! Қосындыны немесе айырманы дәрежеге көтеру кезінде дәреженің қасиеттері емес, қысқартылған көбейту формулалары қолданылады.
8-ші қасиет.
9-қасиет.
Бұл қасиет бірге тең алымы бар кез келген бөлшек дәреже үшін жұмыс істейді, формула бірдей болады, дәреженің бөлгішіне байланысты түбірдің дәрежесі ғана өзгереді.
Сондай-ақ, бұл қасиет көбінесе кері тәртіпте қолданылады. Санның кез келген дәрежесінің түбірін сол санның түбірдің дәрежесіне бөлген бір дәрежесіне тең етіп көрсетуге болады. Бұл қасиет санның түбірі алынбаған жағдайларда өте пайдалы.
10-шы қасиет.
Бұл қасиет тек квадрат түбірмен және екінші дәрежемен ғана жұмыс істемейді. Түбірдің дәрежесі мен бұл түбірдің көтерілу дәрежесі бірдей болса, онда жауап түбегейлі өрнек болады.
11-ші қасиет.
Өзіңізді үлкен есептерден құтқару үшін оны шешкен кезде бұл қасиетті уақытында көре білу керек.
12-ші қасиет.
Бұл қасиеттердің әрқайсысы тапсырмаларда бірнеше рет кездеседі, ол таза түрінде берілуі мүмкін немесе кейбір түрлендірулер мен басқа формулаларды пайдалануды қажет етуі мүмкін. Сондықтан дұрыс шешу үшін тек қасиеттерді білу жеткіліксіз, қалған математикалық білімдерді жаттықтыру және байланыстыру қажет.
Дәрежелерді қолдану және олардың қасиеттері
Олар алгебра мен геометрияда белсенді қолданылады. Математикадағы дәрежелер бөлек, маңызды орын алады. Олардың көмегімен көрсеткіштік теңдеулер мен теңсіздіктер шешіледі, сонымен қатар дәрежелер математиканың басқа бөлімдеріне қатысты теңдеулер мен мысалдарды жиі қиындатады. Көрсеткіштер үлкен және ұзақ есептеулерді болдырмауға көмектеседі, дәрежелерді азайту және есептеу оңайырақ. Бірақ үлкен қуаттармен немесе үлкен сандармен жұмыс істеу үшін сіз тек дәреженің қасиеттерін білуіңіз керек, сонымен қатар тапсырмаңызды жеңілдету үшін негіздермен сауатты жұмыс істеуіңіз керек, оларды ыдырай білуіңіз керек. Ыңғайлы болу үшін, сіз сондай-ақ дәрежеге көтерілген сандардың мағынасын білуіңіз керек. Бұл ұзақ есептеулер қажеттілігін жою арқылы шешуге уақытыңызды қысқартады.
Логарифмдерде дәреже ұғымы ерекше рөл атқарады. Өйткені логарифм мәні бойынша санның дәрежесі болып табылады.
Қысқартылған көбейту формулалары дәрежелерді пайдаланудың тағы бір мысалы болып табылады. Олар градустардың қасиеттерін пайдалана алмайды, олар арнайы ережелер бойынша ыдырайды, бірақ әрбір қысқартылған көбейту формуласында тұрақты түрде градустар болады.
Ғылыми дәрежелер физика мен информатикада да белсенді қолданылады. SI жүйесіндегі барлық аудармалар дәрежелер арқылы орындалады, ал болашақта есептерді шешу кезінде дәреженің қасиеттері қолданылады. Информатикада санаудың ыңғайлылығы және сандарды қабылдауды жеңілдету үшін екінің дәрежелері белсенді түрде қолданылады. Өлшем бірліктерін түрлендіру бойынша әрі қарай есептеулер немесе есептерді есептеу, физикадағы сияқты, дәреже қасиеттерін пайдалану арқылы жүзеге асады.
Дәрежелер астрономияда да өте пайдалы, онда сіз дәреженің қасиеттерін пайдалануды сирек таба аласыз, бірақ дәрежелердің өзі әртүрлі шамалар мен қашықтықтарды жазуды қысқарту үшін белсенді түрде қолданылады.
Күнделікті өмірде аудандарды, көлемді, қашықтықты есептегенде градустар да қолданылады.
Дәрежелердің көмегімен ғылымның кез келген саласында өте үлкен және өте аз мәндер жазылады.
көрсеткіштік теңдеулер мен теңсіздіктер
Дәрежелік қасиеттер көрсеткіштік теңдеулер мен теңсіздіктерде ерекше орын алады. Бұл тапсырмалар мектеп курсында да, емтихандарда да жиі кездеседі. Олардың барлығы дәреже қасиеттерін қолдану арқылы шешіледі. Белгісіз әрқашан дәреженің өзінде болады, сондықтан барлық қасиеттерді біле отырып, мұндай теңдеуді немесе теңсіздікті шешу қиын болмайды.
Сегізінші дәрежеге мән бермесек, мұнда нені көріп отырмыз? 7-сынып бағдарламасына назар аударайық. Сонымен, есіңізде ме? Бұл қысқартылған көбейту формуласы, атап айтқанда квадраттардың айырмасы! Біз алып жатырмыз:
Біз бөлгішке мұқият қараймыз. Бұл сандық факторлардың біріне ұқсайды, бірақ не дұрыс емес? Терминдердің қате реті. Егер олар ауыстырылса, ереже қолданылуы мүмкін.
Бірақ мұны қалай жасауға болады? Бұл өте оңай екені белгілі болды: бұл жерде бөлгіштің біркелкі дәрежесі көмектеседі.
Терминдер сиқырлы түрде орындарын ауыстырды. Бұл «құбылыс» кез келген өрнекке бірдей дәрежеде қатысты: біз жақшадағы белгілерді еркін өзгерте аламыз.
Бірақ есте сақтау маңызды: барлық белгілер бір уақытта өзгереді!
Мысалға қайта оралайық:
Және тағы да формула:
тұтаснатурал сандарды, олардың қарама-қарсы сандарын (яғни «» белгісімен алынған) және санды атаймыз.
оң бүтін сан, және бұл табиғидан еш айырмашылығы жоқ, сонда бәрі алдыңғы бөлімдегідей болады.
Енді жаңа істерді қарастырайық. тең көрсеткіштен бастайық.
Кез келген санның нөлдік дәрежесі бірге тең:
Әдеттегідей, біз өзімізге сұрақ қоямыз: неге бұлай?
Негізмен біраз қуатты қарастырыңыз. Мысалы, мынаны алып, көбейтіңіз:
Сонымен, біз санды көбейттік және ол - сияқты болды. Ештеңе өзгермеуі үшін қандай санға көбейту керек? Дәл солай. білдіреді.
Біз ерікті санмен де солай істей аламыз:
Ережені қайталайық:
Кез келген санның нөлдік дәрежесі бірге тең.
Бірақ көптеген ережелерден ерекшеліктер бар. Міне, ол да бар - бұл сан (негіз ретінде).
Бір жағынан, ол кез келген дәрежеге тең болуы керек – нөлді өзіне қанша көбейтсең де, бәрібір нөл шығады, бұл түсінікті. Бірақ екінші жағынан, нөлдік дәрежеге дейінгі кез келген сан сияқты, ол тең болуы керек. Сонымен, мұның шындығы қандай? Математиктер араласпауға шешім қабылдады және нөлді нөлдік дәрежеге көтеруден бас тартты. Яғни, қазір біз нөлге бөліп қана қоймай, оны нөлдік дәрежеге дейін көтере аламыз.
Әрі қарай жүрейік. Натурал сандар мен сандардан басқа бүтін сандар теріс сандарды қамтиды. Теріс дәреженің не екенін түсіну үшін, өткен жолғыдай әрекет етейік: кейбір қалыпты санды теріс дәрежеде бірдей көбейтеміз:
Осы жерден қалағаныңызды білдіру оңай:
Енді алынған ережені еркін дәрежеге дейін кеңейтеміз:
Ендеше, ережені құрастырайық:
Теріс дәрежелі сан – сол санның оң дәрежесіне кері сан. Бірақ негіз нөл болуы мүмкін емес:(өйткені бөлуге болмайды).
Жинақтау:
I. Өрнек жағдайда анықталмайды. Егер, онда.
II. Кез келген санның нөлдік дәрежесі біреуге тең: .
III. Теріс дәрежеге нөлге тең емес сан оң дәрежеге бірдей санға кері сан болады: .
Тәуелсіз шешуге арналған тапсырмалар:
Әдеттегідей, тәуелсіз шешімнің мысалдары:
Өз бетінше шешу үшін тапсырмаларды талдау:
Білемін, білемін, сандар қорқынышты, бірақ емтиханда сіз бәріне дайын болуыңыз керек! Осы мысалдарды шешіңіз немесе егер сіз оны шеше алмасаңыз, олардың шешімін талдаңыз және емтиханда олармен оңай күресуді үйренесіз!
Көрсеткіш ретінде «қолайлы» сандар шеңберін кеңейтуді жалғастырайық.
Енді ойланыңыз рационал сандар.Қандай сандар рационал деп аталады?
Жауап: бөлшек түрінде беруге болатынның бәрі, мұндағы және бүтін сандар.
Не екенін түсіну үшін «бөлшек дәреже»Бөлшекті қарастырайық:
Теңдеудің екі жағын да дәрежеге көтерейік:
Енді ережені еске түсіріңіз «дәрежеге дейін»:
Алу үшін қандай санды көбейту керек?
Бұл тұжырым – ші дәрежелі түбірдің анықтамасы.
Еске сала кетейін: санның () дәрежесінің түбірі дәрежеге көтерілгенде тең болатын сан.
Яғни, ші дәреженің түбірі дәрежеге шығарудың кері операциясы: .
Солай болады. Әлбетте, бұл ерекше жағдайды ұзартуға болады: .
Енді санды қосыңыз: бұл не? Жауапты қуат-қуат ережесімен алу оңай:
Бірақ негіз кез келген сан болуы мүмкін бе? Өйткені, түбірді барлық сандардан шығару мүмкін емес.
Ешбір!
Ережені есте сақтаңыз: жұп дәрежеге көтерілген кез келген сан оң сан болады. Яғни, теріс сандардан жұп дәрежелі түбірлерді шығару мүмкін емес!
Ал бұл мұндай сандарды жұп бөлімі бар бөлшек дәрежесіне көтеру мүмкін емес дегенді білдіреді, яғни өрнек мағынасы жоқ.
Ал өрнек туралы не деуге болады?
Бірақ бұл жерде мәселе туындайды.
Санды басқа, қысқартылған бөлшектер ретінде көрсетуге болады, мысалы, немесе.
Ал ол бар, бірақ жоқ екені белгілі болды және бұл бір санның екі түрлі жазбасы ғана.
Немесе басқа мысал: бір рет, содан кейін оны жазуға болады. Бірақ индикаторды басқаша жазғанда, біз қайтадан қиындыққа тап боламыз: (яғни, біз мүлдем басқа нәтиже алдық!).
Мұндай парадокстарды болдырмау үшін қарастырыңыз бөлшек көрсеткіші бар тек оң негізгі көрсеткіш.
Сонымен, егер:
- - натурал сан;
- - бүтін сан;
Мысалдар:
Рационал көрсеткішті дәрежелер түбірлері бар өрнектерді түрлендіру үшін өте пайдалы, мысалы:
5 тәжірибелік мысал
Тренингке 5 мысалды талдау
1. Дәрежелердің әдеттегі қасиеттері туралы ұмытпаңыз:
2. . Бұл жерде біз дәрежелер кестесін үйренуді ұмытып кеткенімізді еске түсіреміз:
ақыр соңында - бұл немесе. Шешім автоматты түрде табылады: .
Ал, қазір - ең қиын. Енді талдаймыз иррационал көрсеткіші бар дәреже.
Мұндағы дәрежелердің барлық ережелері мен қасиеттері рационал көрсеткіші бар дәрежелермен бірдей.
Шынында да, анықтамасы бойынша иррационал сандар бөлшек түрінде ұсынылмайтын сандар, мұндағы және бүтін сандар (яғни иррационал сандар рационал сандардан басқа барлық нақты сандар).
Табиғи, бүтін және рационал көрсеткіші бар дәрежелерді оқығанда, біз әр уақытта белгілі бір «бейне», «аналогия» немесе көбірек таныс терминдермен сипаттама жасаймыз.
Мысалы, натурал көрсеткіш дегеніміз өзіне бірнеше есе көбейтілген сан;
...нөлдік қуат- бұл бір рет өзіне көбейтілген сан сияқты, яғни ол әлі көбейтіле бастаған жоқ, бұл санның өзі әлі пайда болған жоқ дегенді білдіреді - демек, нәтиже тек белгілі бір «дайындық» болып табылады. сан», атап айтқанда сан;
...теріс бүтін көрсеткіш- бұл белгілі бір «кері процесс» орын алған сияқты, яғни сан өздігінен көбейтілмейді, бірақ бөлінген.
Айтпақшы, ғылым күрделі көрсеткішті дәрежені жиі пайдаланады, яғни дәреже көрсеткіші тіпті нақты сан да емес.
Бірақ мектепте біз мұндай қиындықтар туралы ойламаймыз, сіз институтта осы жаңа ұғымдарды түсінуге мүмкіндік аласыз.
СІЗДІҢ ҚАЙДА БАРАТЫНЫЗҒА СЕНІМДІМІЗ! (мұндай мысалдарды шешуді үйренсеңіз :))
Мысалға:
Өзіңіз шешіңіз:
Шешімдерді талдау:
1. Дипломды дәрежеге көтерудің үйреншікті ережесінен бастайық:
Енді ұпайға қараңыз. Ол сізге бірдеңені еске түсіре ме? Квадраттардың айырмасын қысқартылған көбейту формуласын еске түсіреміз:
Бұл жағдайда,
Шығарылады:
Жауап: .
2. Көрсеткіштердегі бөлшектерді бірдей пішінге келтіреміз: не ондық немесе екеуі де жай. Біз, мысалы:
Жауабы: 16
3. Ерекше ештеңе жоқ, біз дәрежелердің әдеттегі қасиеттерін қолданамыз:
АРТТЫҚ ДЕҢГЕЙ
Дәреженің анықтамасы
Дәреже пішіннің өрнегі: , мұндағы:
- — дәреже базасы;
- - көрсеткіш.
Натурал көрсеткішті дәреже (n = 1, 2, 3,...)
Санды n натурал дәрежесіне көтеру санды өзіне есе көбейтуді білдіреді:
Бүтін көрсеткішті қуат (0, ±1, ±2,...)
Көрсеткіш болса оң бүтін сансаны:
эрекция нөлге дейін:
Өрнек белгісіз, өйткені, бір жағынан, кез келген дәрежеде бұл, ал екінші жағынан, кез келген дәрежеде бұл.
Көрсеткіш болса бүтін теріссаны:
(өйткені бөлуге болмайды).
Нөлдер туралы тағы бір рет: өрнек жағдайда анықталмаған. Егер, онда.
Мысалдар:
Рационал көрсеткішті дәреже
- - натурал сан;
- - бүтін сан;
Мысалдар:
Дәреженің қасиеттері
Есептерді шешуді жеңілдету үшін түсінуге тырысайық: бұл қасиеттер қайдан пайда болды? Оларды дәлелдеп көрейік.
Көрейік: бұл не және?
Анықтамасы бойынша:
Сонымен, осы өрнектің оң жағында келесі өнім алынады:
Бірақ анықтамасы бойынша бұл көрсеткіші бар санның дәрежесі, яғни:
Q.E.D.
Мысал : Өрнекті жеңілдету.
Шешім : .
Мысал : Өрнекті жеңілдету.
Шешім : Біздің ережеде атап өту маңызды міндетті түрденегізі бірдей болуы керек. Сондықтан біз дәрежелерді негізбен біріктіреміз, бірақ бөлек фактор болып қала береміз:
Тағы бір маңызды ескерту: бұл ереже - тек билік өнімдері үшін!
Ешбір жағдайда мен оны жазбауым керек.
Алдыңғы қасиет сияқты, дәреженің анықтамасына көшейік:
Оны келесідей ретке келтірейік:
Өрнек өзіне бір рет көбейтіледі, яғни анықтама бойынша бұл санның --ші дәрежесі:
Шын мәнінде, мұны «индикаторды жақшаға алу» деп атауға болады. Бірақ сіз мұны ешқашан жасай алмайсыз:!
Қысқартылған көбейту формулаларын еске түсірейік: біз неше рет жазғымыз келді? Бірақ бұл шын емес.
Теріс негізі бар қуат.
Осы уақытқа дейін біз тек не болуы керек екенін талқыладық көрсеткішдәрежесі. Бірақ негіз не болуы керек? бастап градуспен табиғи көрсеткіш негізі болуы мүмкін кез келген сан .
Шынында да, біз кез келген санды бір-біріне көбейте аламыз, олар оң, теріс немесе жұп. Қандай белгілердің («» немесе «») оң және теріс сандар дәрежелері болатынын ойластырайық?
Мысалы, сан оң болады ма, теріс пе? БІРАҚ? ?
Біріншісінде бәрі түсінікті: біз бір-бірімізге қанша оң сандарды көбейтсек те, нәтиже оң болады.
Бірақ теріс жақтары сәл қызықтырақ. Өйткені, біз 6-сыныптағы қарапайым ережені еске түсіреміз: «минусты көбейту минус плюс береді». Яғни, немесе. Бірақ () көбейтсек, - аламыз.
Және т.б. ad infinitum: әрбір келесі көбейту кезінде белгі өзгереді. Сіз мына қарапайым ережелерді тұжырымдай аласыз:
- тіптідәрежесі, - саны оң.
- Теріс сан көтерілді тақдәрежесі, - саны теріс.
- Кез келген дәрежеге оң сан оң сан болады.
- Кез келген дәрежедегі нөл нөлге тең.
Мына өрнектерде қандай белгі болатынын өзіңіз анықтаңыз:
| 1. | 2. | 3. |
| 4. | 5. | 6. |
Сіз басқардыңыз ба? Міне, жауаптар:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
Алғашқы төрт мысалда бәрі түсінікті деп үміттенемін? Біз жай ғана негізге және көрсеткішке қарап, сәйкес ережені қолданамыз.
5-мысалда), бәрі де көрінгендей қорқынышты емес: базаның немен тең екендігі маңызды емес - дәреже біркелкі, яғни нәтиже әрқашан оң болады. Негізі нөлге тең болғаннан басқа. База бірдей емес, солай емес пе? Әлбетте, жоқ, өйткені (өйткені).
6-мысал бұдан былай қарапайым емес. Мұнда қайсысы аз екенін анықтау керек: немесе? Есіңізде болса, бұл анық болады, бұл базаның нөлден аз екенін білдіреді. Яғни, 2-ережені қолданамыз: нәтиже теріс болады.
Біз тағы да дәреженің анықтамасын қолданамыз:
Барлығы әдеттегідей - біз дәрежелердің анықтамасын жазып, оларды бір-біріне бөлеміз, жұптарға бөлеміз және аламыз:
Соңғы ережені талдамас бұрын, бірнеше мысалды шешейік.
Өрнектер мәндерін есептеңіз:
Шешімдер :
Сегізінші дәрежеге мән бермесек, мұнда нені көріп отырмыз? 7-сынып бағдарламасына назар аударайық. Сонымен, есіңізде ме? Бұл қысқартылған көбейту формуласы, атап айтқанда квадраттардың айырмасы!
Біз алып жатырмыз:
Біз бөлгішке мұқият қараймыз. Бұл сандық факторлардың біріне ұқсайды, бірақ не дұрыс емес? Терминдердің қате реті. Егер олар кері қайтарылса, 3-ереже қолданылуы мүмкін.Бірақ мұны қалай жасауға болады? Бұл өте оңай екені белгілі болды: бұл жерде бөлгіштің біркелкі дәрежесі көмектеседі.
Егер сіз оны көбейтсеңіз, ештеңе өзгермейді, солай ма? Бірақ қазір ол келесідей көрінеді:
Терминдер сиқырлы түрде орындарын ауыстырды. Бұл «құбылыс» кез келген өрнекке бірдей дәрежеде қатысты: біз жақшадағы белгілерді еркін өзгерте аламыз. Бірақ есте сақтау маңызды: барлық белгілер бір уақытта өзгереді!Оны бізге тек бір жағымсыз минус өзгерту арқылы ауыстыруға болмайды!
Мысалға қайта оралайық:
Және тағы да формула:
Енді соңғы ереже:
Оны қалай дәлелдейміз? Әрине, әдеттегідей: дәреже ұғымын кеңейтіп, жеңілдетейік:
Ал, енді жақшаларды ашайық. Қанша әріп болады? есе көбейткіштер бойынша – ол неге ұқсайды? Бұл операцияның анықтамасынан басқа ештеңе емес көбейту: барлығы көбейткіштер болып шықты. Яғни, анықтамасы бойынша, көрсеткіші бар санның дәрежесі:
Мысалы:
Иррационал көрсеткішті дәреже
Орташа деңгейге арналған дәрежелер туралы ақпараттан басқа, біз иррационал көрсеткішпен дәрежені талдаймыз. Мұндағы дәрежелердің барлық ережелері мен қасиеттері рационал көрсеткіші бар дәрежелермен бірдей, қоспағанда - түптеп келгенде, анықтамасы бойынша иррационал сандар бөлшек түрінде ұсынылмайтын сандар, мұндағы және бүтін сандар (яғни , иррационал сандар рационал сандардан басқа барлық нақты сандар).
Табиғи, бүтін және рационал көрсеткіші бар дәрежелерді оқығанда, біз әр уақытта белгілі бір «бейне», «аналогия» немесе көбірек таныс терминдермен сипаттама жасаймыз. Мысалы, натурал көрсеткіш дегеніміз өзіне бірнеше есе көбейтілген сан; нөлдік дәрежеге дейінгі сан - бұл өзіне бір рет көбейтілген сан, яғни ол әлі көбейтіле бастаған жоқ, бұл санның өзі әлі пайда болған жоқ дегенді білдіреді - демек, нәтиже тек белгілі бір «санды дайындау», атап айтқанда сан; теріс бүтін саны бар дәреже - бұл белгілі бір «кері процесс» орын алған сияқты, яғни сан өздігінен көбейтілмейді, бірақ бөлінген.
Иррационал көрсеткіші бар дәрежені елестету өте қиын (4 өлшемді кеңістікті елестету қиын сияқты). Керісінше, бұл математиктер дәреже ұғымын сандар кеңістігіне дейін кеңейту үшін жасаған таза математикалық нысан.
Айтпақшы, ғылым күрделі көрсеткішті дәрежені жиі пайдаланады, яғни дәреже көрсеткіші тіпті нақты сан да емес. Бірақ мектепте біз мұндай қиындықтар туралы ойламаймыз, сіз институтта осы жаңа ұғымдарды түсінуге мүмкіндік аласыз.
Сонымен иррационал көрсеткішті көрсек не істейміз? Біз одан құтылуға тырысамыз! :)
Мысалға:
Өзіңіз шешіңіз:
| 1) | 2) | 3) |
Жауаптары:
- Квадраттардың айырмашылығы формуласын есте сақтаңыз. Жауап: .
- Бөлшектерді бір пішінге келтіреміз: не ондықты да, не қарапайым екеуін де. Біз аламыз, мысалы: .
- Ерекше ештеңе жоқ, біз дәрежелердің әдеттегі қасиеттерін қолданамыз:
БӨЛІМНІҢ ҚОРЫТЫНДЫСЫ ЖӘНЕ НЕГІЗГІ ФОРМУЛА
Дәрежетүрінің өрнегі деп аталады: , мұндағы:
Бүтін көрсеткішті дәреже
дәрежесі, оның көрсеткіші натурал сан (яғни бүтін және оң).
Рационал көрсеткішті дәреже
дәрежесі, оның көрсеткіші теріс және бөлшек сандар.
Иррационал көрсеткішті дәреже
көрсеткіші шексіз ондық бөлшек немесе түбір болатын дәреже.
Дәреженің қасиеттері
Дәрежелердің ерекшеліктері.
- Теріс сан көтерілді тіптідәрежесі, - саны оң.
- Теріс сан көтерілді тақдәрежесі, - саны теріс.
- Кез келген дәрежеге оң сан оң сан болады.
- Нөл кез келген қуатқа тең.
- Кез келген санның нөлдік дәрежесі тең болады.
ЕНДІ СІЗДЕ СӨЗ БАР...
Сізге мақала қалай ұнады? Сізге ұнады ма, жоқ па, төмендегі түсініктемелерде маған хабарлаңыз.
Қуат қасиеттерімен тәжірибеңіз туралы айтып беріңіз.
Мүмкін сізде сұрақтар бар. Немесе ұсыныстар.
Түсініктемелерде жазыңыз.
Ал емтихандарыңызға сәттілік!
Сабақтың мазмұныДиплом дегеніміз не?
Дәрежебірнеше бірдей факторлардың туындысы деп аталады. Мысалға:
2×2×2
Бұл өрнектің мәні 8-ге тең
2 x 2 x 2 = 8
Бұл теңдеудің сол жағын қысқартуға болады - алдымен қайталанатын факторды жазып, оның үстіне оның қанша рет қайталанатынын көрсетіңіз. Бұл жағдайда қайталанатын көбейткіш 2. Ол үш рет қайталанады. Сондықтан, екілік үстіне үштік жазамыз:
2 3 = 8
Бұл өрнек келесідей оқылады: екінің үшінші дәрежесі сегізге тең немесе « 2-нің үшінші дәрежесі 8-ге тең.
Бірдей факторлардың көбейтіндісін жазудың қысқаша түрі жиі қолданылады. Сондықтан, егер қандай да бір санның үстіне басқа сан жазылса, бұл бірнеше бірдей факторлардың көбейтіндісі екенін есте ұстауымыз керек.
Мысалы, егер 5 3 өрнегі берілсе, онда бұл өрнек 5 × 5 × 5 жазуға тең екенін есте ұстаған жөн.
Қайталанатын сан шақырылады дәреже базасы. 5 3 өрнегінде дәреженің негізі 5 саны болып табылады.
Ал 5 санының үстіне жазылған сан аталады көрсеткіш. 5 3 өрнегіндегі көрсеткіш 3 саны. Көрсеткіш дәреже негізінің неше рет қайталанатынын көрсетеді. Біздің жағдайда 5 негізі үш рет қайталанады.
Бірдей көбейткіштерді көбейту операциясы деп аталады дәрежеге шығару.
Мысалы, әрқайсысы 2-ге тең төрт бірдей көбейткіштің көбейтіндісін табу керек болса, онда олар 2 санын айтады. төртінші дәрежеге көтерілді:
Төртінші дәрежеге дейінгі 2 саны 16 саны екенін көреміз.
Назар аударыңыз, бұл сабақта біз қарастырамыз натурал көрсеткіші бар градус. Бұл дәреженің бір түрі, оның көрсеткіші натурал сан. Еске салайық, натурал сандар нөлден үлкен бүтін сандар. Мысалы, 1, 2, 3 және т.б.
Жалпы, табиғи көрсеткіші бар дәреженің анықтамасы келесідей:
дәрежесі атабиғи көрсеткішпен nформаның көрінісі болып табылады а п, бұл өнімге тең nкөбейткіштер, олардың әрқайсысы тең а
Мысалдар:
Санды дәрежеге көтеру кезінде абай болыңыз. Көбінесе, зейінсіздік арқылы адам дәреженің негізін көрсеткішке көбейтеді.
Мысалы, екінші дәрежедегі 5 саны әрқайсысы 5-ке тең екі көбейткіштің көбейтіндісі. Бұл көбейтінді 25-ке тең.
Енді біз байқаусызда 5 негізін 2 көрсеткішке көбейттік деп елестетіңіз
Қате болды, өйткені екінші дәрежедегі 5 саны 10-ға тең емес.
Сонымен қатар, көрсеткіші 1 болатын санның дәрежесі санның өзі екенін атап өткен жөн:
Мысалы, бірінші дәрежелі 5 саны 5 санының өзі.
Сәйкесінше, егер санның көрсеткіші болмаса, онда көрсеткіш бірге тең деп есептеуіміз керек.
Мысалы, 1, 2, 3 сандары көрсеткішсіз берілген, сондықтан олардың дәрежелері біреуге тең болады. Бұл сандардың әрқайсысын 1 көрсеткішімен жазуға болады
Ал егер 0-ді қандай да бір дәрежеге көтерсеңіз, онда сіз 0-ді аласыз. Шынында да, ештеңе өздігінен қанша есе көбейтілсе де, ештеңе шықпайды. Мысалдар:
Ал 0 0 өрнегі мағынасы жоқ. Бірақ математиканың кейбір салаларында, атап айтқанда, талдау және жиындар теориясы, 0 0 өрнегі мағынасы болуы мүмкін.
Жаттығу үшін біз сандарды дәрежеге көтерудің бірнеше мысалын шешеміз.
1-мысал 3 санын екінші дәрежеге дейін көтеріңіз.
Екінші дәрежедегі 3 саны әрқайсысы 3-ке тең екі көбейткіштің көбейтіндісі
3 2 = 3 × 3 = 9
2-мысал 2 санын төртінші дәрежеге дейін көтеріңіз.
Төртінші дәрежеге дейінгі 2 саны әрқайсысы 2-ге тең төрт көбейткіштің көбейтіндісі
2 4 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16
3-мысал 2 санын үшінші дәрежеге дейін көтеріңіз.
Үшінші дәрежеге 2 саны үш көбейткіштің көбейтіндісі болып табылады, олардың әрқайсысы 2-ге тең
2 3 = 2 × 2 × 2 = 8
10 санының дәрежеге көтерілуі
10 санын дәрежеге көтеру үшін көрсеткішке тең бірліктен кейінгі нөлдер санын қосу жеткілікті.
Мысалы, 10 санын екінші дәрежеге көтерейік. Алдымен 10 санының өзін жазып, көрсеткіш ретінде 2 санын көрсетеміз
10 2
Енді біз теңдік белгісін қоямыз, бір жазамыз және одан кейін екі нөл жазамыз, өйткені нөлдер саны көрсеткішке тең болуы керек
10 2 = 100
Демек, екінші дәрежеге 10 саны 100 саны. Бұл 10 саны екінші дәрежеге екі көбейткіштің көбейтіндісіне байланысты, олардың әрқайсысы 10-ға тең.
10 2 = 10 × 10 = 100
2-мысал. 10 санын үшінші дәрежеге көтерейік.
Бұл жағдайда біреуден кейін үш нөл болады:
10 3 = 1000
3-мысал. 10 санын төртінші дәрежеге көтерейік.
Бұл жағдайда біреуден кейін төрт нөл болады:
10 4 = 10000
4-мысал. 10 санын бірінші дәрежеге көтерейік.
Бұл жағдайда бір нөлден кейін бір нөл болады:
10 1 = 10
10, 100, 1000 сандарын 10 негізімен дәреже ретінде көрсету
10, 100, 1000 және 10000 сандарын 10 негізімен дәреже ретінде көрсету үшін 10 негізін жазып, көрсеткіш ретінде бастапқы сандағы нөлдер санына тең санды көрсету керек.
10 санын 10 негізімен дәреже ретінде көрсетейік. Оның бір нөлі бар екенін көреміз. Сонымен 10 саны 10 негізі бар дәреже ретінде 10 1 ретінде көрсетіледі
10 = 10 1
2-мысал. 100 санын 10 негізімен дәреже ретінде көрсетейік. 100 санында екі нөл бар екенін көреміз. Сонымен, 10 негізімен 100 саны 10 2 ретінде көрсетіледі
100 = 10 2
3-мысал. 1000 санын 10 негізімен дәреже ретінде көрсетейік.
1 000 = 10 3
4-мысал. 10 000 санын 10 негізімен дәреже ретінде көрсетейік.
10 000 = 10 4
Теріс санды дәрежеге шығару
Теріс санды дәрежеге көтеру кезінде оны жақшаға алу керек.
Мысалы, −2 теріс санын екінші дәрежеге көтерейік. Екінші дәрежеге −2 саны әрқайсысы (−2) тең екі көбейткіштің көбейтіндісі болып табылады.
(−2) 2 = (−2) × (−2) = 4
Егер -2 санын жақшаға алмасақ, онда -2 2 өрнегін есептейтініміз шығады. тең емес 4 . -2² өрнегі -4-ке тең болады. Мұның себебін түсіну үшін кейбір жайттарға тоқталайық.
Оң санның алдына минус қойғанда, біз осылай орындаймыз қарама-қарсы мәнді қабылдау операциясы.
2 саны берілген делік, оған қарама-қарсы санды табу керек. 2 санына қарама-қарсы −2 екенін білеміз. Басқаша айтқанда, 2-ге қарама-қарсы санды табу үшін осы санның алдына минус қою жеткілікті. Санның алдына минус қою қазірдің өзінде математикада толыққанды операция болып саналады. Бұл операция, жоғарыда айтылғандай, қарама-қарсы мәнді алу операциясы деп аталады.
-2 2 өрнегі жағдайында екі амал орындалады: қарама-қарсы мәнді алу операциясы және дәрежеге шығару. Қуатқа дейін көтеру қарама-қарсы мәнді қабылдаудан жоғары басымдықты операция болып табылады.
Сондықтан −2 2 өрнегі екі қадаммен есептеледі. Біріншіден, дәрежеге шығару операциясы орындалады. Бұл жағдайда оң 2 саны екінші дәрежеге көтерілді.
Содан кейін қарама-қарсы мән алынды. Бұл қарама-қарсы мән 4 мәні үшін табылды. Ал 4 үшін қарама-қарсы мән -4
−2 2 = −4
Жақшалар ең жоғары орындалу басымдылығына ие. Сондықтан (−2) 2 өрнегін есептеген жағдайда алдымен қарама-қарсы мән алынады, содан кейін −2 теріс саны екінші дәрежеге көтеріледі. Теріс сандардың көбейтіндісі оң сан болғандықтан, нәтиже 4-тің оң жауабы.
2-мысал. −2 санын үшінші дәрежеге дейін көтеріңіз.
Үшінші дәрежеге −2 саны әрқайсысы (−2) тең болатын үш көбейткіштің көбейтіндісі болып табылады.
(−2) 3 = (−2) × (−2) × (−2) = −8
3-мысал. −2 санын төртінші дәрежеге дейін көтеріңіз.
−2-ден төртінші дәрежеге дейінгі сан төрт көбейткіштің көбейтіндісі болып табылады, олардың әрқайсысы (−2)-ге тең.
(−2) 4 = (−2) × (−2) × (−2) × (−2) = 16
Теріс санды дәрежеге көтеру кезінде оң жауап немесе теріс жауап алуға болатынын көру оңай. Жауаптың белгісі бастапқы дәреже көрсеткішіне байланысты.
Егер көрсеткіш жұп болса, онда жауап иә. Көрсеткіш тақ болса, жауап теріс болады. Мұны −3 санының мысалында көрсетейік
Бірінші және үшінші жағдайда көрсеткіш болды тақсаны, сондықтан жауап болды теріс.
Екінші және төртінші жағдайда көрсеткіш болды тіптісаны, сондықтан жауап болды оң.
7-мысал-5 санын үшінші дәрежеге дейін көтеріңіз.
Үшінші дәрежеге -5 саны үш көбейткіштің көбейтіндісі болып табылады, олардың әрқайсысы -5-ке тең. 3 көрсеткіші тақ сан, сондықтан жауап теріс болады деп алдын ала айта аламыз:
(−5) 3 = (−5) × (−5) × (−5) = −125
8-мысал-4 санын төртінші дәрежеге дейін көтеріңіз.
-4-тен төртінші дәрежеге дейінгі сан төрт көбейткіштің көбейтіндісі болып табылады, олардың әрқайсысы -4-ке тең. Бұл жағдайда 4 көрсеткіш жұп, сондықтан жауап оң болады деп алдын ала айта аламыз:
(−4) 4 = (−4) × (−4) × (−4) × (−4) = 256
Өрнек мәндерін табу
Жақшалары жоқ өрнектердің мәндерін табу кезінде алдымен дәрежеге шығару, содан кейін олардың реті бойынша көбейту және бөлу, содан кейін олардың реті бойынша қосу және азайту орындалады.
1-мысал. 2 + 5 2 өрнегінің мәнін табыңыз
Алдымен дәрежеге шығару орындалады. Бұл жағдайда 5 саны екінші дәрежеге көтеріледі - 25 шығады. Содан кейін бұл нәтиже 2 санына қосылады.
2 + 5 2 = 2 + 25 = 27
10-мысал. −6 2 × (−12) өрнегінің мәнін табыңыз.
Біріншіден, экспоненциалдау орындалады. Назар аударыңыз, −6 саны жақшада емес, сондықтан 6 саны екінші дәрежеге көтеріледі, содан кейін нәтиженің алдына минус қойылады:
−6 2 × (−12) = −36 × (−12)
Мысалды −36-ға (−12) көбейту арқылы аяқтаймыз.
−6 2 × (−12) = −36 × (−12) = 432
11-мысал. −3 × 2 2 өрнегінің мәнін табыңыз
Алдымен дәрежеге шығару орындалады. Содан кейін нәтиже −3 санына көбейтіледі
−3 × 2 2 = −3 × 4 = −12
Егер өрнекте жақшалар болса, онда алдымен осы жақшадағы амалдарды орындау керек, содан кейін дәрежеге шығару, содан кейін көбейту және бөлу, содан кейін қосу және азайту.
12-мысал. (3 2 + 1 × 3) − 15 + 5 өрнектің мәнін табыңыз
Алдымен жақшаларды алайық. Жақшаның ішінде біз бұрын үйренген ережелерді қолданамыз, атап айтқанда, алдымен 3 санын екінші дәрежеге көтереміз, содан кейін 1 × 3 көбейтуді орындаймыз, содан кейін 3 санын дәрежеге көтеру және 1 × 3 көбейту нәтижелерін қосамыз. Содан кейін алу және қосу олардың пайда болу ретімен орындалады. Бастапқы өрнекте әрекетті орындаудың келесі ретін реттейік:
(3 2 + 1 × 3) - 15 + 5 = 12 - 15 + 5 = 2
13-мысал. 2 × 5 3 + 5 × 2 3 өрнегінің мәнін табыңыз
Алдымен сандарды дәрежеге көтереміз, содан кейін көбейтуді орындаймыз және нәтижелерді қосамыз:
2 x 5 3 + 5 x 2 3 = 2 x 125 + 5 x 8 = 250 + 40 = 290
Биліктердің сәйкестендіру түрлендірулері
Қуаттарда әртүрлі бірдей түрлендірулер орындалуы мүмкін, осылайша оларды жеңілдетеді.
(2 3) 2 өрнегін есептеу қажет болды делік. Бұл мысалда екіден үшінші дәрежеге екінші дәрежеге көтеріледі. Басқаша айтқанда, дәреже басқа дәрежеге көтеріледі.
(2 3) 2 – әрқайсысы 2 3-ке тең екі дәреженің көбейтіндісі
Оның үстіне бұл қуаттардың әрқайсысы үш фактордың туындысы болып табылады, олардың әрқайсысы 2-ге тең
2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 көбейтіндісін алдық, ол 64-ке тең. Демек (2 3) 2 өрнектің мәні немесе 64-ке тең.
Бұл мысалды айтарлықтай жеңілдетуге болады. Ол үшін (2 3) 2 өрнегінің көрсеткіштерін көбейтуге болады және бұл көбейтіндіні 2 негізіне жазуға болады.
2 6 алды. Екіден алтыншы дәреже – әрқайсысы 2-ге тең алты көбейткіштің көбейтіндісі. Бұл көбейтінді 64-ке тең.
Бұл қасиет жұмыс істейді, себебі 2 3 2 × 2 × 2 көбейтіндісі, ол өз кезегінде екі рет қайталанады. Сонда 2-база алты рет қайталанады екен. Осы жерден 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 2 6 деп жаза аламыз.
Жалпы, кез келген себеппен акөрсеткіштерімен мЖәне n, келесі теңдік орындалады:
(а п)m = a n × m
Бұл бірдей түрлендіру деп аталады дәрежеге шығару. Оны былай оқуға болады: «Дәрежені дәрежеге көтергенде, негіз өзгеріссіз қалады, ал дәрежелер көбейтіледі» .
Көрсеткіштерді көбейткеннен кейін сіз тағы бір дәреже аласыз, оның мәнін табуға болады.
2-мысал. (3 2) 2 өрнектің мәнін табыңыз
Бұл мысалда негіз 3, ал 2 және 2 сандары дәреже болып табылады. Көрсеткіштік көрсеткіш ережесін қолданайық. Біз негізді өзгеріссіз қалдырамыз және көрсеткіштерді көбейтеміз:
3 4 алды. Ал төртінші дәрежедегі 3 саны 81-ге тең
Қалған түрлендірулерді қарастырайық.
Күшті көбейту
Дәрежелерді көбейту үшін әр дәрежені бөлек есептеп, нәтижелерді көбейту керек.
Мысалы, 2 2 санын 3 3-ке көбейтейік.
2 2 - 4 саны және 3 3 - 27 саны. Біз 4 және 27 сандарын көбейтеміз, біз 108 аламыз
2 2 x 3 3 = 4 x 27 = 108
Бұл мысалда өкілеттіктердің негіздері әртүрлі болды. Егер негіздері бірдей болса, онда бір негізді жазуға болады, ал көрсеткіш ретінде бастапқы дәрежелердің көрсеткіштерінің қосындысын жазуға болады.
Мысалы, 2 2 санын 2 3-ке көбейтіңіз
Бұл мысалда дәрежелердің негізі бірдей. Бұл жағдайда бір негіз 2 жазып, көрсеткіш ретінде 2 2 және 2 3 дәрежелерінің қосындысын жазуға болады. Басқаша айтқанда, негізді өзгеріссіз қалдырып, бастапқы дәрежелердің дәрежелерін қосыңыз. Ол келесідей болады:
25 алды. 2-ден бесінші дәрежеге дейінгі сан 32-ге тең
Бұл қасиет жұмыс істейді, себебі 2 2 2 × 2 көбейтіндісі және 2 3 2 × 2 × 2 көбейтіндісі. Содан кейін әрқайсысы 2-ге тең бес бірдей көбейткіштердің көбейтіндісі алынады. Бұл өнімді 2 5 ретінде көрсетуге болады
Жалпы, кез келген үшін ажәне көрсеткіштер мЖәне nкелесі теңдік орындалады:
Бұл бірдей түрлендіру деп аталады дәреженің негізгі қасиеті. Оны былай оқуға болады: ПНегіздері бірдей дәрежелерді көбейткенде негіз өзгеріссіз қалады, ал дәрежелер қосылады. .
Бұл түрлендіруді кез келген дәреже санына қолдануға болатынын ескеріңіз. Ең бастысы, негізі бірдей.
Мысалы, 2 1 × 2 2 × 2 3 өрнегінің мәнін табайық. Негіз 2
Кейбір есептерде соңғы дәрежені есептемей-ақ сәйкес түрлендіруді орындау жеткілікті болуы мүмкін. Бұл, әрине, өте ыңғайлы, өйткені үлкен қуаттарды есептеу оңай емес.
1-мысал. 5 8 × 25 өрнегін дәреже ретінде көрсетіңіз
Бұл есепте 5 8 × 25 өрнегі орнына бір дәреже алынатын етіп жасау керек.
25 санын 5 2 түрінде көрсетуге болады. Содан кейін біз келесі өрнекті аламыз:
Бұл өрнекте сіз дәреженің негізгі қасиетін қолдана аласыз - 5 негізін өзгеріссіз қалдырып, 8 және 2 көрсеткіштерін қосыңыз:
Шешімін қысқаша жазайық:
2-мысал. 2 9 × 32 өрнегін дәреже ретінде көрсетіңіз
32 санын 2 5 түрінде көрсетуге болады. Сонда 2 9 × 2 5 өрнегін аламыз. Әрі қарай, дәреженің негізгі қасиетін қолдануға болады – 2-базаны өзгеріссіз қалдырып, 9 және 5 көрсеткіштерін қосыңыз. Бұл келесі шешімге әкеледі:
3-мысал. Негізгі қуат қасиетін пайдаланып 3 × 3 көбейтіндісін есептеңіз.
Үш есе үш тоғызға тең екенін бәрі жақсы біледі, бірақ тапсырма шешу барысында дәреженің негізгі қасиетін пайдалануды талап етеді. Бұны қалай істейді?
Естеріңізге сала кетейік, егер сан көрсеткішсіз берілсе, онда көрсеткіш бірге тең деп есептелуі керек. Сонымен 3 және 3 көбейткіштерін 3 1 және 3 1 деп жазуға болады
3 1 × 3 1
Енді біз дәреженің негізгі қасиетін қолданамыз. Біз 3 негізін өзгеріссіз қалдырамыз және 1 және 1 көрсеткіштерін қосамыз:
3 1 × 3 1 = 3 2 = 9
4-мысал. Негізгі қуат қасиетін пайдаланып 2 × 2 × 3 2 × 3 3 көбейтіндісін есептеңіз.
2 × 2 көбейтіндісін 2 1 × 2 1, содан кейін 2 1 + 1, содан кейін 2 2 ауыстырамыз. 3 2 × 3 3 көбейтіндісі 3 2 + 3-ке, содан кейін 3 5-ке ауыстырылады
5-мысал. Көбейтуді орындаңыз x × x
Бұл 1 көрсеткіштері бар екі бірдей алфавиттік фактор. Түсінікті болу үшін біз осы көрсеткіштерді жазамыз. Әрі қарай база xоны өзгеріссіз қалдырып, келесі көрсеткіштерді қосыңыз:
Тақтада отырып, дәл осы жерде көрсетілгендей дәлдікпен бірдей негіздермен дәрежелердің көбейтіндісін жазуға болмайды. Мұндай есептеулер санада жасалуы керек. Егжей-тегжейлі жазба мұғалімді тітіркендіреді және ол бұл үшін бағаны төмендетеді. Мұнда материалды түсінуге мүмкіндігінше қолжетімді болуы үшін егжей-тегжейлі жазба беріледі.
Бұл мысалдың шешімі келесідей жазылуы керек:
6-мысал. Көбейтуді орындаңыз x 2 × x
Екінші фактордың индексі бірге тең. Түсінікті болу үшін жазып алайық. Содан кейін біз негізді өзгеріссіз қалдырып, көрсеткіштерді қосамыз:
7-мысал. Көбейтуді орындаңыз ж 3 ж 2 ж
Үшінші фактордың индексі бірге тең. Түсінікті болу үшін жазып алайық. Содан кейін біз негізді өзгеріссіз қалдырып, көрсеткіштерді қосамыз:
8-мысал. Көбейтуді орындаңыз aa 3 a 2 a 5
Бірінші фактордың индексі бірге тең. Түсінікті болу үшін жазып алайық. Содан кейін біз негізді өзгеріссіз қалдырып, көрсеткіштерді қосамыз:
9-мысал. 3 8-дің дәрежесін негізі бірдей дәрежелердің көбейтіндісі ретінде көрсетіңіз.
Бұл есепте негіздері 3-ке, дәрежелерінің қосындысы 8-ге тең болатын дәрежелердің көбейтіндісін шығару керек. Кез келген көрсеткіштерді пайдалануға болады. 3 8 дәрежесін 3 5 және 3 3 дәрежелерінің көбейтіндісі ретінде көрсетеміз
Бұл мысалда біз тағы да дәреженің негізгі қасиетіне сүйендік. Өйткені, 3 5 × 3 3 өрнегін 3 5 + 3 түрінде жазуға болады, мұндағы 3 8 .
Әрине, 3 8 күшін басқа қуаттардың туындысы ретінде көрсетуге болатын еді. Мысалы, 3 7 × 3 1 түрінде, өйткені бұл көбейтінді де 3 8
Дәрежені бірдей базасы бар күштердің туындысы ретінде көрсету - негізінен шығармашылық жұмыс. Сондықтан тәжірибе жасаудан қорықпаңыз.
10-мысал. Дәрежені жіберу x 12 негіздері бар қуаттардың әртүрлі туындылары ретінде x .
Дәреженің негізгі қасиетін қолданайық. Елестетіңіз x 12 негізі бар бұйымдар ретінде x, ал дәрежелерінің қосындысы 12-ге тең
Түсінікті болу үшін көрсеткіштер сомасы бар құрылыстар жазылды. Көбінесе оларды өткізіп жіберуге болады. Содан кейін біз ықшам шешім аламыз:
Өнімнің экспоненциализациясы
Өнімді қуатқа дейін көтеру үшін осы өнімнің әрбір коэффициентін көрсетілген қуатқа көтеріп, нәтижелерді көбейту керек.
Мысалы, 2 × 3 көбейтіндісін екінші дәрежеге көтерейік. Біз бұл өнімді жақшаға алып, көрсеткіш ретінде 2-ні көрсетеміз
Енді 2 × 3 көбейтіндісінің әрбір көбейткішін екінші дәрежеге көтеріп, нәтижелерді көбейтейік:
Бұл ереженің әрекет ету принципі ең басында берілген дәреженің анықтамасына негізделген.
2 × 3 көбейтіндісін екінші дәрежеге көтеру бұл өнімді екі рет қайталауды білдіреді. Ал егер оны екі рет қайталасаңыз, келесіні алуға болады:
2×3×2×3
Факторлардың орын ауыстыруынан туынды өзгермейді. Бұл бірдей көбейткіштерді топтастыруға мүмкіндік береді:
2×2×3×3
Қайталанатын көбейткіштерді қысқа жазбалармен ауыстыруға болады - дәреже көрсеткіштері бар негіздер. 2 × 2 көбейтіндісін 2 2 , ал 3 × 3 көбейтіндісін 3 2 ге ауыстыруға болады. Сонда 2 × 2 × 3 × 3 өрнегі 2 2 × 3 2 өрнегіне айналады.
Болсын абтүпнұсқа жұмыс. Бұл өнімді қуатқа көтеру үшін n, факторларды бөлек көтеру керек аЖәне ббелгіленген дәрежеге дейін n
Бұл қасиет факторлардың кез келген саны үшін жарамды. Келесі өрнектер де жарамды:
2-мысал. (2 × 3 × 4) 2 өрнектің мәнін табыңыз
Бұл мысалда өнімді 2 × 3 × 4 екінші қуатқа көтеру керек. Мұны істеу үшін сіз осы өнімнің әрбір факторын екінші дәрежеге көтеріп, нәтижелерді көбейтуіңіз керек:
3-мысал. Өнімді үшінші қуатқа көтеріңіз a×b×c
Біз бұл өнімді жақшаға алып, көрсеткіш ретінде 3 санын көрсетеміз
4-мысал. Өнімді үшінші қуатқа көтеріңіз 3 xyz
Біз бұл өнімді жақшаға алып, көрсеткіш ретінде 3-ті көрсетеміз
(3xyz) 3
Осы өнімнің әрбір факторын үшінші дәрежеге көтерейік:
(3xyz) 3 = 3 3 x 3 ж 3 z 3
Үшінші дәрежедегі 3 саны 27 санына тең. Қалғанын өзгеріссіз қалдырамыз:
(3xyz) 3 = 3 3 x 3 ж 3 z 3 = 27x 3 ж 3 z 3
Кейбір мысалдарда дәрежелері бірдей дәрежелердің көбейтіндісін бірдей дәрежелі негіздердің көбейтіндісіне ауыстыруға болады.
Мысалы, 5 2 × 3 2 өрнегінің мәнін есептейік. Әрбір санды екінші дәрежеге көтеріп, нәтижелерді көбейтіңіз:
5 2 x 3 2 = 25 x 9 = 225
Бірақ әр дәрежені бөлек есептей алмайсыз. Оның орнына, бұл дәрежелер көбейтіндісін бір көрсеткіші (5 × 3) 2 болатын көбейтіндімен ауыстыруға болады. Содан кейін жақшадағы мәнді есептеп, нәтижені екінші дәрежеге көтеріңіз:
5 2 × 3 2 = (5 × 3) 2 = (15) 2 = 225
Бұл жағдайда көбейтіндіні дәрежеге көтеру ережесі қайтадан қолданылды. Өйткені, егер (а х б)n = a n × b n , содан кейін a n × b n = (a × b) n. Яғни, теңдеудің сол және оң жақтары кері болады.
Экспоненциалдау
Дәрежелердің бірдей түрлендірулерінің мәнін түсінуге тырысқанда біз бұл түрлендіруді мысал ретінде қарастырдық.
Дәрежені дәрежеге көтерген кезде негіз өзгеріссіз қалады, ал дәрежелер көбейтіледі:
(а п)m = a n × m
Мысалы, (2 3) 2 өрнегі дәрежені дәрежеге көтеру – екіден үшінші дәрежеге екінші дәрежеге көтеріледі. Бұл өрнектің мәнін табу үшін негізін өзгеріссіз қалдыруға болады, ал дәрежелерді көбейтуге болады:
(2 3) 2 = 2 3 × 2 = 2 6
(2 3) 2 = 2 3 × 2 = 2 6 = 64
Бұл ереже алдыңғы ережелерге негізделген: туындының көрсеткіші және дәреженің негізгі қасиеті.
(2 3) 2 өрнекке оралайық. 2 3 жақшадағы өрнек әрқайсысы 2-ге тең үш бірдей көбейткіштердің көбейтіндісі. Сонда (2 3) 2 өрнекте жақша ішіндегі қуатты 2 × 2 × 2 көбейтіндісіне ауыстыруға болады.
(2×2×2) 2
Ал бұл біз бұрын зерттеген өнімнің көрсеткіші. Естеріңізге сала кетейік, өнімді қуатқа көтеру үшін осы өнімнің әрбір коэффициентін көрсетілген қуатқа көтеріп, нәтижелерді көбейту керек:
(2 x 2 x 2) 2 = 2 2 x 2 2 x 2 2
Қазір біз дәреженің негізгі қасиетімен айналысамыз. Біз негізді өзгеріссіз қалдырып, көрсеткіштерді қосамыз:
(2 x 2 x 2) 2 = 2 2 x 2 2 x 2 2 = 2 2 + 2 + 2 = 2 6
Бұрынғыдай біз 2 6 алдық. Бұл дәреженің мәні 64
(2 x 2 x 2) 2 = 2 2 x 2 2 x 2 2 = 2 2 + 2 + 2 = 2 6 = 64
Факторлары қуат болып табылатын өнімді де күшке көтеруге болады.
Мысалы, (2 2 × 3 2) 3 өрнектің мәнін табайық. Мұнда әрбір көбейткіштің көрсеткіштерін жалпы көрсеткіш 3-ке көбейту керек. Әрі қарай, әр дәреженің мәнін тауып, өнімді есептеңіз:
(2 2 x 3 2) 3 = 2 2 x 3 x 3 2 x 3 = 2 6 x 3 6 = 64 x 729 = 46656
Өнімнің қуатын арттыру кезінде шамамен бірдей нәрсе болады. Біз өнімді қуатқа көтерген кезде бұл өнімнің әрбір факторы көрсетілген қуатқа дейін көтерілетінін айттық.
Мысалы, 2 × 4 көбейтіндісін үшінші дәрежеге көтеру үшін келесі өрнекті жазу керек:
Бірақ бұрын сан көрсеткішсіз берілсе, онда көрсеткішті бірге тең деп санау керектігі айтылды. 2 × 4 көбейтіндісінің бастапқыда 1-ге тең дәрежелері бар екені белгілі болды. Бұл 2 1 × 4 1 өрнегі үшінші дәрежеге көтерілгенін білдіреді. Ал бұл дәрежені билікке көтеру.
Шешімді дәрежеге шығару ережесін пайдаланып қайта жазайық. Біз бірдей нәтиже алуымыз керек:
2-мысал. (3 3) 2 өрнектің мәнін табыңыз
Біз негізді өзгеріссіз қалдырамыз және көрсеткіштерді көбейтеміз:
3 6 алды. Алтыншы дәрежеге дейінгі 3 саны 729 саны
3-мысалxy)³
4-мысал. Өрнектегі дәрежені орындаңыз ( abc)⁵
Өнімнің әрбір коэффициентін бесінші дәрежеге көтерейік:
5-мысалбалта) 3
Өнімнің әрбір факторын үшінші дәрежеге көтерейік:
−2 теріс саны үшінші дәрежеге көтерілгендіктен, ол жақшаға алынды.
6-мысал. Өрнектегі дәрежені орындаңыз (10 xy) 2
7-мысал. Өрнекте (−5 x) 3
8-мысал. (−3.) өрнектегі дәрежені көрсетіңіз ж) 4
9-мысал. Өрнекте (−2 abx)⁴
10-мысал. Өрнекті жеңілдету x 5×( x 2) 3
Дәреже x 5 әзірше өзгеріссіз қалады және өрнекте ( x 2) 3 дәрежеге көбейтуді орындаңыз:
x 5 × (x 2) 3 = x 5 × x 2×3 = x 5 × x 6
Енді көбейтуді орындайық x 5 × x 6. Ол үшін дәреженің негізгі қасиетін – базаны пайдаланамыз xоны өзгеріссіз қалдырып, келесі көрсеткіштерді қосыңыз:
x 5 × (x 2) 3 = x 5 × x 2×3 = x 5 × x 6 = x 5 + 6 = x 11
9-мысал. Дәреженің негізгі қасиетін пайдаланып 4 3 × 2 2 өрнегінің мәнін табыңыз.
Бастапқы дәрежелердің негіздері бірдей болса, дәреженің негізгі қасиетін пайдалануға болады. Бұл мысалда негіздер әртүрлі, сондықтан бастапқы өрнекті сәл өзгерту керек, атап айтқанда, дәрежелердің негіздері бірдей болу үшін.
4 3 дәрежесін мұқият қарастырайық. Бұл дәреженің негізі 2 2 түрінде ұсынылатын 4 саны болып табылады. Сонда бастапқы өрнек (2 2) 3 × 2 2 пішінін алады. (2 2) 3 өрнегіндегі дәрежені дәрежеге шығару арқылы біз 2 6 аламыз. Содан кейін бастапқы өрнек 2 6 × 2 2 пішінін алады, оны дәреженің негізгі қасиеті арқылы есептеуге болады.
Осы мысалдың шешімін жазайық:
Биліктерді бөлу
Қуатты бөлуді орындау үшін әрбір дәреженің мәнін табу керек, содан кейін жай сандарды бөлуді орындау керек.
Мысалы, 4 3 санын 2 2-ге бөлейік.
4 3 санын есептесек 64 шығады. 2 2 есептейміз, 4 аламыз. Енді 64-ті 4-ке бөлеміз, 16-ны аламыз.
Егер негіздің дәрежелерін бөлгенде, олар бірдей болып шықса, онда негізді өзгеріссіз қалдыруға болады, ал бөлгіштің көрсеткішін дивидендтің дәрежесінен алуға болады.
Мысалы, 2 3: 2 2 өрнектің мәнін табайық
Біз 2 негізін өзгеріссіз қалдырамыз және дивидендтің көрсеткішінен бөлгіштің көрсеткішін азайтамыз:
Сонымен 2 3: 2 2 өрнегінің мәні 2 болады.
Бұл қасиет негіздері бірдей дәрежелерді көбейтуге немесе бұрын айтқандай дәреженің негізгі қасиетіне негізделген.
Алдыңғы мысалға оралайық 2 3: 2 2 . Мұндағы дивиденд 2 3, ал бөлгіш 2 2.
Бір санды екінші санға бөлу дегеніміз бөлгішке көбейткенде дивиденд беретін санды табу деген сөз.
Біздің жағдайда 2 3-ті 2 2-ге бөлу бөлгіш 2 2-ге көбейтілгенде 2 3 болатын дәрежені табуды білдіреді. 2 3 алу үшін қандай дәрежені 2 2-ге көбейтуге болады? Әлбетте, тек 2 1 дәрежесі. Дәреженің негізгі қасиетінен бізде:
2 3: 2 2 өрнегін тікелей бағалау арқылы 2 3: 2 2 өрнегі 2 1 екенін тексеруге болады. Ол үшін алдымен 2 3 дәрежесінің мәнін табамыз, 8 аламыз. Сонда 2 2 дәрежесінің мәнін табамыз, 4 аламыз. 8-ді 4-ке бөлсек, біз 2 немесе 2 1 аламыз, өйткені 2 = 2 1 .
2 3: 2 2 = 8: 4 = 2
Осылайша, бірдей негізбен өкілеттіктерді бөлу кезінде келесі теңдік орындалады:
Тек негіздер ғана емес, көрсеткіштер де бірдей болуы мүмкін. Бұл жағдайда жауап біреу болады.
Мысалы, 2 2: 2 2 өрнектің мәнін табайық. Әр дәреженің мәнін есептеп, алынған сандарды бөлуді орындаймыз:
2 2: 2 2 мысалын шешкенде, градустарды бірдей негіздермен бөлу ережесін де қолдануға болады. Нәтиже - нөлдік дәрежеге дейінгі сан, өйткені 2 2 және 2 2 дәрежелерінің айырмасы нөлге тең:
Неліктен нөлге дейінгі 2 саны бірге тең, біз жоғарыда білдік. Егер сіз 2 2: 2 2-ні әдеттегідей, градустарды бөлу ережесін қолданбай есептесеңіз, сіз бір аласыз.
2-мысал. 4 12: 4 10 өрнегінің мәнін табыңыз
Біз 4-ті өзгеріссіз қалдырамыз және дивидендтің көрсеткішінен бөлгіштің көрсеткішін алып тастаймыз:
4 12: 4 10 = 4 12 − 10 = 4 2 = 16
3-мысал. Жеке жіберіңіз x 3: xбазасы бар дәреже ретінде x
Билікті бөлу ережесін қолданайық. Негіз xоны өзгеріссіз қалдырып, дивидендтің көрсеткішінен бөлгіштің көрсеткішін азайтыңыз. Бөлінгіштің көрсеткіші біреуге тең. Түсінікті болу үшін жазайық:
4-мысал. Жеке жіберіңіз x 3: x 2 негізі бар қуат ретінде x
Билікті бөлу ережесін қолданайық. Негіз x
Дәрежелерді бөлуді бөлшек түрінде жазуға болады. Сонымен, алдыңғы мысалды келесідей жазуға болады:
Бөлшектің алымы мен бөлімі кеңейтілген түрде, атап айтқанда, бірдей көбейткіштердің көбейтіндісі түрінде жазылуы мүмкін. Дәреже x 3 деп жазуға болады x × x × x, және дәрежесі x 2 ретінде x × x. Содан кейін құрылыс x 3 − 2 өткізіп жіберуге және бөлшекті азайтуды қолдануға болады. Алым мен бөлгіште әрқайсысында екі көбейткішті азайтуға болады x. Нәтиже бір көбейткіш болады x
Немесе одан да қысқа:
Сондай-ақ, дәрежелерден тұратын бөлшектерді жылдам азайта білу пайдалы. Мысалы, бөлшекті азайтуға болады x 2. Бөлшекті азайту үшін x 2 бөлшектің алымы мен бөлімін бөлу керек x 2
Дәрежелердің бөлінуін егжей-тегжейлі сипаттау мүмкін емес. Жоғарыдағы аббревиатураны қысқартуға болады:
Немесе одан да қысқа:
5-мысал. Бөлуді орындау x 12 : x 3
Билікті бөлу ережесін қолданайық. Негіз xоны өзгеріссіз қалдырып, дивидендтің көрсеткішінен бөлгіштің дәрежесін алып тастаңыз:
Бөлшектерді азайту арқылы шешімді жазамыз. Биліктерді бөлу x 12 : x 3 ретінде жазылады. Әрі қарай, біз бұл бөлшекті азайтамыз x 3 .
6-мысал. Өрнектің мәнін табыңыз
Бөлімшеде негіздері бірдей дәрежелерді көбейтуді орындаймыз:
Енді біз бірдей негіздермен қуаттарды бөлу ережесін қолданамыз. Біз 7 негізін өзгеріссіз қалдырамыз және дивидендтің көрсеткішінен бөлгіштің көрсеткішін алып тастаймыз:
Мысалды 7 2 қуатын есептеп аяқтаймыз
7-мысал. Өрнектің мәнін табыңыз
Көрсеткішті алымдағы орындайық. Мұны (2 3) 4 өрнегі арқылы орындау керек
Енді алымдағы негіздері бірдей дәрежелерді көбейтуді орындайық.
