आयामी विश्लेषण और सादृश्य विधि. देशकोवस्की ए., कोइफ़मैन यू.जी. समस्याओं को हल करने में आयामों की विधि एक मानदंड समीकरण के स्थिरांक का प्रायोगिक निर्धारण

वे भौतिक राशियाँ जिनका संख्यात्मक मान चुने गए इकाई पैमाने पर निर्भर नहीं करता, आयामहीन कहलाती हैं। आयामहीन मात्राओं के उदाहरण हैं कोण (चाप की लंबाई और त्रिज्या का अनुपात), पदार्थ का अपवर्तनांक (निर्वात में प्रकाश की गति और पदार्थ में प्रकाश की गति का अनुपात)।

वे भौतिक राशियाँ जो इकाइयों के पैमाने में परिवर्तन होने पर अपना संख्यात्मक मान बदल लेती हैं, आयामी कहलाती हैं। आयामी मात्राओं के उदाहरण लंबाई, बल आदि हैं। किसी भौतिक मात्रा की इकाई की मूल इकाइयों के माध्यम से अभिव्यक्ति को उसका आयाम (या आयाम सूत्र) कहा जाता है। उदाहरण के लिए, जीएचएस और एसआई प्रणालियों में बल का आयाम सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है

भौतिक समस्याओं को हल करते समय प्राप्त उत्तरों की शुद्धता की जांच करने के लिए आयामी विचारों का उपयोग किया जा सकता है: परिणामी अभिव्यक्तियों के दाएं और बाएं हिस्सों के साथ-साथ प्रत्येक भाग में अलग-अलग शब्दों का आयाम समान होना चाहिए।

आयामी विधि का उपयोग सूत्रों और समीकरणों को प्राप्त करने के लिए भी किया जा सकता है जब हम जानते हैं कि वांछित मात्रा किन भौतिक मापदंडों पर निर्भर हो सकती है। विधि का सार विशिष्ट उदाहरणों से समझना सबसे आसान है।

आयामी विधि के अनुप्रयोग.आइए एक समस्या पर विचार करें जिसका उत्तर हम अच्छी तरह से जानते हैं: यदि वायु प्रतिरोध की उपेक्षा की जा सकती है तो ऊंचाई से प्रारंभिक गति के बिना स्वतंत्र रूप से गिरने वाला शरीर किस गति से जमीन पर गिरेगा? गति के नियमों के आधार पर सीधी गणना के बजाय हम इस प्रकार तर्क करेंगे।

आइए विचार करें कि आवश्यक गति किस पर निर्भर हो सकती है। जाहिर है, यह प्रारंभिक ऊंचाई और गुरुत्वाकर्षण के त्वरण पर निर्भर होना चाहिए, हम अरस्तू का अनुसरण करते हुए मान सकते हैं कि यह द्रव्यमान पर भी निर्भर करता है। चूँकि केवल समान आयाम की मात्राएँ जोड़ी जा सकती हैं, वांछित गति के लिए निम्नलिखित सूत्र प्रस्तावित किया जा सकता है:

जहां C कुछ आयामहीन स्थिरांक (संख्यात्मक गुणांक) है, और x, y और z अज्ञात संख्याएं हैं जिन्हें निर्धारित किया जाना चाहिए।

इस समानता के दाएं और बाएं पक्षों के आयाम समान होने चाहिए, और यह वह स्थिति है जिसका उपयोग (2) में घातांक x, y, z को निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है। वेग का आयाम ऊंचाई का आयाम है; गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण का आयाम बराबर है, और अंत में, द्रव्यमान का आयाम एम के बराबर है। चूंकि स्थिरांक सी आयाम रहित है, सूत्र (2) निम्नलिखित समानता से मेल खाता है। आयाम:

चाहे संख्यात्मक मान कुछ भी हों, यह समानता कायम रहनी चाहिए। इसलिए, हमें समानता के बाएँ और दाएँ पक्षों पर और M के घातांकों को बराबर करना चाहिए (3):

समीकरणों की इस प्रणाली से हमें सूत्र (2) प्राप्त होता है

गति का वास्तविक मान, जैसा कि ज्ञात है, बराबर है

इसलिए, उपयोग किए गए दृष्टिकोण ने निर्भरता को सही ढंग से निर्धारित करना संभव बना दिया और मूल्य का पता लगाना संभव नहीं बनाया

आयामहीन स्थिरांक C. हालाँकि हम एक व्यापक उत्तर प्राप्त करने में सक्षम नहीं थे, फिर भी हमें बहुत महत्वपूर्ण जानकारी प्राप्त हुई। उदाहरण के लिए, हम पूरी निश्चितता के साथ कह सकते हैं कि यदि प्रारंभिक ऊंचाई चौगुनी कर दी जाए, तो गिरने के समय गति दोगुनी हो जाएगी और, अरस्तू की राय के विपरीत, यह गति गिरते हुए पिंड के द्रव्यमान पर निर्भर नहीं करती है।

पैरामीटर का चयन करना.आयामी पद्धति का उपयोग करते समय, सबसे पहले उन मापदंडों की पहचान करनी चाहिए जो विचाराधीन घटना को निर्धारित करते हैं। यदि इसका वर्णन करने वाले भौतिक नियम ज्ञात हों तो ऐसा करना आसान है। कुछ मामलों में, घटना को निर्धारित करने वाले पैरामीटर तब भी निर्दिष्ट किए जा सकते हैं जब भौतिक नियम अज्ञात हों। एक नियम के रूप में, आपको गति के समीकरण लिखने की तुलना में आयामी विश्लेषण पद्धति का उपयोग करने के बारे में कम जानने की आवश्यकता है।

यदि अध्ययन की जा रही घटना को निर्धारित करने वाले मापदंडों की संख्या उन बुनियादी इकाइयों की संख्या से अधिक है, जिन पर इकाइयों की चयनित प्रणाली बनाई गई है, तो, निश्चित रूप से, वांछित मूल्य के लिए प्रस्तावित सूत्र में सभी घातांक निर्धारित नहीं किए जा सकते हैं। इस मामले में, पहले चयनित मापदंडों के सभी स्वतंत्र आयाम रहित संयोजनों को निर्धारित करना उपयोगी है। फिर वांछित भौतिक मात्रा (2) जैसे सूत्र द्वारा निर्धारित नहीं की जाएगी, बल्कि पैरामीटर के कुछ (सबसे सरल) संयोजन के उत्पाद द्वारा निर्धारित की जाएगी जिसमें आवश्यक आयाम (यानी, मांगी गई मात्रा का आयाम) के कुछ फ़ंक्शन द्वारा होगा आयामहीन पैरामीटर मिले।

यह देखना आसान है कि ऊंचाई से गिरने वाले पिंड के उपरोक्त उदाहरण में, मात्राओं से आयामहीन संयोजन नहीं बनाया जा सकता है। इसलिए, वहां सूत्र (2) सभी संभावित मामलों को समाप्त कर देता है।

आयामहीन पैरामीटर.आइए अब निम्नलिखित समस्या पर विचार करें: आइए एक पर्वत की ऊंचाई पर स्थित बंदूक से प्रारंभिक गति के साथ क्षैतिज दिशा में दागे गए प्रक्षेप्य की क्षैतिज उड़ान सीमा निर्धारित करें

वायु प्रतिरोध की अनुपस्थिति में, मापदंडों की संख्या जिस पर वांछित सीमा निर्भर हो सकती है, चार है: आदि। चूँकि मूल इकाइयों की संख्या तीन है, तो संपूर्ण समाधानआयामी विधि का उपयोग कर समस्याओं का समाधान करना असंभव है। आइए सबसे पहले सभी स्वतंत्र आयाम रहित पैरामीटर y खोजें, जो और से बने हो सकते हैं

यह अभिव्यक्ति आयामों की निम्नलिखित समानता से मेल खाती है:

यहां से हमें समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त होती है

जो वांछित आयाम रहित पैरामीटर देता है और उसके लिए हमें प्राप्त होता है

यह देखा जा सकता है कि विचाराधीन समस्या में एकमात्र स्वतंत्र आयाम रहित पैरामीटर है अब यह किसी भी पैरामीटर को खोजने के लिए पर्याप्त है जिसमें लंबाई का आयाम है, उदाहरण के लिए, क्षैतिज उड़ान सीमा के लिए एक सामान्य अभिव्यक्ति लिखने के लिए पैरामीटर को स्वयं लें एक प्रक्षेप्य के रूप में

आयाम रहित पैरामीटर का एक अभी तक अज्ञात फ़ंक्शन कहां है आयामों की विधि (प्रस्तुत संस्करण में) इस फ़ंक्शन को निर्धारित करने की अनुमति नहीं देती है। लेकिन अगर हम कहीं से जानते हैं, उदाहरण के लिए अनुभव से, कि वांछित सीमा प्रक्षेप्य की क्षैतिज गति के समानुपाती होती है, तो फ़ंक्शन का रूप तुरंत निर्धारित हो जाता है: गति को इसमें पहली शक्ति में प्रवेश करना चाहिए, अर्थात।

अब प्रक्षेप्य उड़ान सीमा के लिए (5) से हमें प्राप्त होता है

जो सही उत्तर से मेल खाता है

हम इस बात पर जोर देते हैं कि फ़ंक्शन के प्रकार को निर्धारित करने की इस पद्धति के साथ, हमारे लिए उड़ान रेंज की प्रयोगात्मक रूप से स्थापित निर्भरता की प्रकृति को सभी मापदंडों पर नहीं, बल्कि उनमें से केवल एक पर जानना पर्याप्त है।

लंबाई की वेक्टर इकाइयाँ.लेकिन सीमा (7) को केवल आयामी विचारों से निर्धारित करना संभव है, यदि बुनियादी इकाइयों की संख्या जिसके माध्यम से पैरामीटर आदि व्यक्त किए जाते हैं, चार तक बढ़ जाती है, अब तक, आयामी सूत्र लिखते समय, इकाइयों के बीच कोई अंतर नहीं किया गया है क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर दिशाओं में लंबाई की। हालाँकि, इस तरह का अंतर इस तथ्य के आधार पर पेश किया जा सकता है कि गुरुत्वाकर्षण केवल लंबवत रूप से कार्य करता है।

आइए क्षैतिज दिशा में लंबाई के आयाम को द्वारा और ऊर्ध्वाधर दिशा में द्वारा निरूपित करें, फिर क्षैतिज उड़ान सीमा का आयाम ऊंचाई का आयाम होगा, क्षैतिज गति का आयाम होगा त्वरण के लिए

मुक्त गिरावट हमें मिलती है अब, सूत्र (5) को देखते हुए, हम देखते हैं कि दाईं ओर सही आयाम प्राप्त करने का एकमात्र तरीका आनुपातिक मान लेना है हम फिर से सूत्र (7) पर आते हैं।

बेशक, चार बुनियादी इकाइयाँ और एम होने से, चार मापदंडों से सीधे आवश्यक आयाम का मान बनाना संभव है

बाएं और के आयामों की समानता सही भागकी तरह लगता है

x, y, z और के लिए समीकरणों की प्रणाली मान देती है और हम फिर से सूत्र (7) पर आते हैं।

यहां प्रयुक्त परस्पर लंबवत दिशाओं में लंबाई की विभिन्न इकाइयों को कभी-कभी लंबाई की वेक्टर इकाइयां कहा जाता है। उनके उपयोग से आयामी विश्लेषण पद्धति की क्षमताओं में काफी विस्तार होता है।

आयामी विश्लेषण पद्धति का उपयोग करते समय, कौशल को इस हद तक विकसित करना उपयोगी होता है कि आपको वांछित सूत्र में घातांक के लिए समीकरणों की एक प्रणाली नहीं बनानी पड़ती है, बल्कि उन्हें सीधे चुनना पड़ता है। आइए इसे निम्नलिखित समस्या से स्पष्ट करें।

काम

अधिकतम सीमा. किसी पत्थर को उसकी क्षैतिज उड़ान दूरी अधिकतम करने के लिए क्षितिज से किस कोण पर फेंका जाना चाहिए?

समाधान। आइए मान लें कि हम सभी गतिकी सूत्रों को "भूल गए" हैं और आयामी विचारों से उत्तर प्राप्त करने का प्रयास करते हैं। पहली नज़र में, ऐसा लग सकता है कि आयामों की विधि यहां बिल्कुल भी लागू नहीं है, क्योंकि उत्तर में कुछ शामिल होना चाहिए त्रिकोणमितीय फलनफेंकने का कोण. इसलिए, कोण a के बजाय, आइए दूरी के लिए एक अभिव्यक्ति खोजने का प्रयास करें। यह स्पष्ट है कि हम यहां लंबाई की वेक्टर इकाइयों के बिना नहीं कर सकते।

ऐसे मामलों में जहां अध्ययन के तहत प्रक्रियाओं को अंतर समीकरणों द्वारा वर्णित नहीं किया जाता है, उनका विश्लेषण करने का एक तरीका प्रयोग है, जिसके परिणाम सामान्यीकृत रूप में (आयामहीन परिसरों के रूप में) सबसे उपयुक्त रूप से प्रस्तुत किए जाते हैं। ऐसे संकुलों को संकलित करने की विधि है आयामी विश्लेषण विधि.

किसी भी भौतिक राशि का आयाम उसके और उन भौतिक राशियों के बीच संबंध से निर्धारित होता है जिन्हें बुनियादी (प्राथमिक) के रूप में स्वीकार किया जाता है। इकाइयों की प्रत्येक प्रणाली की अपनी मूल इकाइयाँ होती हैं। उदाहरण के लिए, इंटरनेशनल सिस्टम ऑफ़ यूनिट्स (SI) में, लंबाई, द्रव्यमान और समय के माप की इकाइयाँ क्रमशः मीटर (m), किलोग्राम (kg), और सेकंड (s) हैं। अन्य भौतिक राशियों की माप की इकाइयाँ, तथाकथित व्युत्पन्न मात्राएँ (द्वितीयक), इन इकाइयों के बीच संबंध स्थापित करने वाले कानूनों के आधार पर अपनाई जाती हैं। इस संबंध को तथाकथित आयाम सूत्र के रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है।

आयामों का सिद्धांत दो सिद्धांतों पर आधारित है।

• 1. किसी भी मात्रा के दो संख्यात्मक मानों का अनुपात माप की मूल इकाइयों के लिए पैमाने की पसंद पर निर्भर नहीं करता है (उदाहरण के लिए, दो रैखिक आयामों का अनुपात उन इकाइयों पर निर्भर नहीं करता है जिनमें उन्हें मापा जाएगा) .
• 2. आयामी मात्राओं के बीच किसी भी संबंध को आयामहीन मात्राओं के बीच संबंध के रूप में तैयार किया जा सकता है। यह कथन तथाकथित का प्रतिनिधित्व करता है पी-प्रमेय आयामी सिद्धांत में.

पहली स्थिति से यह निष्कर्ष निकलता है कि भौतिक राशियों के आयाम के सूत्रों में शक्ति-कानून निर्भरता का रूप होना चाहिए

बुनियादी इकाइयों के आयाम कहां हैं.

पी-प्रमेय की गणितीय अभिव्यक्ति निम्नलिखित विचारों के आधार पर प्राप्त की जा सकती है। चलो कुछ आयामी मूल्य ए 1 एक दूसरे से स्वतंत्र कई आयामी मात्राओं का एक फलन है, अर्थात।

यह इस प्रकार है कि

आइए मान लें कि बुनियादी आयामी इकाइयों की संख्या जिसके माध्यम से सभी को व्यक्त किया जा सकता है पी चर, बराबर है टी। पी-प्रमेय कहता है कि यदि सब कुछ पी चर को बुनियादी इकाइयों के माध्यम से व्यक्त किया जाता है, फिर उन्हें आयाम रहित पी-शब्दों में समूहीकृत किया जा सकता है, अर्थात

इस मामले में, प्रत्येक पी-टर्म में एक परिवर्तनीय मान होगा।

जल यांत्रिकी समस्याओं में, पी-शब्दों में शामिल चर की संख्या चार होनी चाहिए। उनमें से तीन निर्णायक होंगे (आमतौर पर विशेषता लंबाई, द्रव प्रवाह की गति और उसका घनत्व) - वे प्रत्येक पी-शब्दों में शामिल हैं। एक पी-टर्म से दूसरे में जाने पर इनमें से एक वेरिएबल (चौथा) अलग होता है। मानदंड को परिभाषित करने की डिग्री के संकेतक (हम उन्हें निरूपित करते हैं एक्स, वाई , z ) अज्ञात हैं. सुविधा के लिए, हम चौथे चर के घातांक को -1 के बराबर मानते हैं।

पी-शब्दों के लिए संबंधों का स्वरूप होगा

पी-शब्दों में शामिल चर को मुख्य आयामों के माध्यम से व्यक्त किया जा सकता है। चूँकि ये पद आयामहीन हैं, इसलिए प्रत्येक मुख्य आयाम के घातांक शून्य के बराबर होने चाहिए। परिणामस्वरूप, प्रत्येक पी-शब्द के लिए तीन स्वतंत्र समीकरण (प्रत्येक आयाम के लिए एक) बनाना संभव है, जो उनमें शामिल चर के घातांक से संबंधित हैं। समीकरणों की परिणामी प्रणाली को हल करने से अज्ञात घातांकों के संख्यात्मक मान ज्ञात करना संभव हो जाता है एक्स , पर , जेड परिणामस्वरूप, प्रत्येक पी-शब्द को उपयुक्त डिग्री तक विशिष्ट मात्राओं (पर्यावरण मापदंडों) से बने सूत्र के रूप में परिभाषित किया गया है।

एक विशिष्ट उदाहरण के रूप में, हम अशांत द्रव प्रवाह के दौरान घर्षण के कारण दबाव हानि का निर्धारण करने की समस्या का समाधान पाएंगे।

सामान्य विचारों से हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि पाइपलाइन में दबाव का नुकसान निम्नलिखित मुख्य कारकों पर निर्भर करता है: व्यास डी , लंबाई एल , दीवार का खुरदरापन क, माध्यम का घनत्व ρ और चिपचिपाहट µ, औसत प्रवाह गति वी , प्रारंभिक कतरनी तनाव, यानी

(5.8)

समीकरण (5.8) में शामिल है एन=7 सदस्य, लेकिन बुनियादी आयामी इकाइयों की संख्या। पी-प्रमेय के अनुसार, हमें आयामहीन पी-शब्दों से युक्त एक समीकरण प्राप्त होता है:

(5.9)

ऐसे प्रत्येक पी-टर्म में 4 चर होते हैं। व्यास को मुख्य चर के रूप में लेना डी , रफ़्तार वी , घनत्व और उन्हें समीकरण (5.8) में शामिल अन्य चर के साथ संयोजित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

पहले पी-टर्म के लिए आयाम समीकरण की रचना करते हुए, हमारे पास होगा

समान आधारों वाले घातांकों को जोड़ने पर, हम पाते हैं

आयाम के लिए पी 1 1 के बराबर था ( पी 1 एक आयामहीन मात्रा है), यह आवश्यक है कि सभी घातांक शून्य के बराबर हों, अर्थात।

(5.10)

प्रणाली बीजगणितीय समीकरण(5.10) में तीन अज्ञात मात्राएँ हैं एक्स 1, य 1,जेड 1. समीकरणों की इस प्रणाली का समाधान हम पाते हैं एक्स 1 = 1; पर 1=1; जेड 1= 1.

घातांक के इन मानों को पहले पी-टर्म में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

इसी प्रकार, शेष पी-शर्तों के लिए हमारे पास होगा

परिणामी P-शब्दों को समीकरण (5.9) में प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं

आइए P4 के लिए इस समीकरण को हल करें:

आइए इसे यहां से व्यक्त करें:

यह मानते हुए कि घर्षण शीर्ष हानि पीज़ोमेट्रिक शीर्षों में अंतर के बराबर है, हमारे पास होगा

सम्मिश्र को वर्गाकार कोष्ठकों में निरूपित करते हुए, हम अंततः प्राप्त करते हैं

अंतिम अभिव्यक्ति प्रसिद्ध डार्सी-वेइबैक सूत्र का प्रतिनिधित्व करती है, जहां

घर्षण के गुणांक की गणना के लिए सूत्र को पैराग्राफ 6.13, 6.14 में चर्चा की गई है।

भौतिकी में... भ्रमित विचारों के लिए कोई जगह नहीं है...
वास्तव में प्रकृति को समझना
यह या वह घटना बुनियादी होनी चाहिए
आयाम के विचार से कानून. ई. फर्मी

किसी विशेष समस्या का वर्णन, सैद्धांतिक और प्रायोगिक मुद्दों की चर्चा इस कार्य द्वारा दिए जाने वाले प्रभाव के गुणात्मक विवरण और मूल्यांकन से शुरू होती है।

किसी समस्या का वर्णन करते समय, सबसे पहले, अपेक्षित प्रभाव के परिमाण के क्रम, सरल सीमित मामलों और इस घटना का वर्णन करने वाली मात्राओं के कार्यात्मक कनेक्शन की प्रकृति का मूल्यांकन करना आवश्यक है। इन प्रश्नों को भौतिक स्थिति का गुणात्मक विवरण कहा जाता है।

सबसे ज्यादा प्रभावी तरीकेऐसा विश्लेषण आयामी विधि है।

यहां आयामी पद्धति के कुछ फायदे और अनुप्रयोग दिए गए हैं:

• अध्ययन के तहत घटना के पैमाने का त्वरित मूल्यांकन;
• गुणात्मक और कार्यात्मक निर्भरता प्राप्त करना;
• परीक्षा में भूले हुए फॉर्मूलों की बहाली;
• कुछ USE कार्यों को पूरा करना;
• समस्या समाधान की शुद्धता की जाँच करना।

न्यूटन के समय से ही भौतिकी में आयामी विश्लेषण का उपयोग किया जाता रहा है। यह न्यूटन ही थे जिन्होंने आयामों की निकटतम संबंधित विधि तैयार की समानता का सिद्धांत (सादृश्य)।

11वीं कक्षा के भौतिकी पाठ्यक्रम में थर्मल विकिरण का अध्ययन करते समय छात्रों को पहली बार आयामी विधि का सामना करना पड़ता है:

किसी पिंड के तापीय विकिरण की वर्णक्रमीय विशेषता है वर्णक्रमीय चमक घनत्व आर वी - एक इकाई आवृत्ति अंतराल में किसी पिंड के एक इकाई सतह क्षेत्र से प्रति इकाई समय में उत्सर्जित विद्युत चुम्बकीय विकिरण की ऊर्जा।

ऊर्जावान चमक के वर्णक्रमीय घनत्व की इकाई जूल प्रति है वर्ग मीटर(1 जे/एम2)। किसी काले पिंड की तापीय विकिरण ऊर्जा तापमान और तरंग दैर्ध्य पर निर्भर करती है। आयाम J/m 2 के साथ इन मात्राओं का एकमात्र संयोजन kT/ 2 (= c/v) है। 1900 में शास्त्रीय तरंग सिद्धांत के ढांचे के भीतर रेले और जीन्स द्वारा की गई एक सटीक गणना ने निम्नलिखित परिणाम दिया:

जहाँ k बोल्ट्ज़मान स्थिरांक है।

जैसा कि अनुभव से पता चला है, यह अभिव्यक्ति केवल पर्याप्त रूप से कम आवृत्तियों के क्षेत्र में प्रयोगात्मक डेटा से सहमत है। उच्च आवृत्तियों के लिए, विशेष रूप से स्पेक्ट्रम के पराबैंगनी क्षेत्र में, रेले-जीन्स फॉर्मूला गलत है: यह प्रयोग से तेजी से भिन्न होता है। काले शरीर के विकिरण की विशेषताओं को समझाने के लिए शास्त्रीय भौतिकी के तरीके अपर्याप्त साबित हुए। इसलिए, शास्त्रीय तरंग सिद्धांत और प्रयोग के परिणामों के बीच विसंगति देर से XIXवी इसे "पराबैंगनी आपदा" कहा जाता है।

आइए हम एक सरल और अच्छी तरह से समझे गए उदाहरण का उपयोग करके आयामी विधि के अनुप्रयोग को प्रदर्शित करें।

चित्र 1

पूरी तरह से काले शरीर का थर्मल विकिरण: पराबैंगनी आपदा - थर्मल विकिरण और अनुभव के शास्त्रीय सिद्धांत के बीच विसंगति।

आइए कल्पना करें कि द्रव्यमान m का एक पिंड एक स्थिर बल F की क्रिया के तहत सीधी रेखा में चलता है। यदि शरीर की प्रारंभिक गति शून्य है, और लंबाई s के पथ के पार किए गए खंड के अंत में गति v के बराबर है, तब हम गतिज ऊर्जा के बारे में प्रमेय लिख सकते हैं: मात्राओं F, m, v और s के बीच एक कार्यात्मक संबंध है।

आइए मान लें कि गतिज ऊर्जा के बारे में प्रमेय भूल गया है, और हम समझते हैं कि v, F, m और s के बीच कार्यात्मक संबंध मौजूद है और इसमें एक शक्ति-कानून चरित्र है।

यहाँ x, y, z कुछ संख्याएँ हैं। आइए उन्हें परिभाषित करें. चिह्न ~ का अर्थ है कि सूत्र का बायाँ भाग दाएँ पक्ष के समानुपाती है, अर्थात, जहाँ k एक संख्यात्मक गुणांक है, इसमें माप की कोई इकाई नहीं है और यह आयामी विधि का उपयोग करके निर्धारित नहीं किया जाता है।

संबंध के बाएँ और दाएँ पक्ष (1) के आयाम समान हैं। मात्राओं v, F, m और s के आयाम इस प्रकार हैं: [v] = m/s = ms -1, [F] = H = kgms -2, [m] = kg, [s] = m। (प्रतीक [ए] मात्रा ए के आयाम को दर्शाता है।) आइए संबंध के बाएं और दाएं पक्षों पर आयामों की समानता लिखें (1):

m c -1 = kg x m x c -2x kg y m Z = kg x+y m x+z c -2x।

समीकरण के बाईं ओर कोई किलोग्राम नहीं है, इसलिए दाईं ओर कोई भी नहीं होना चाहिए।

यह मतलब है कि

दाईं ओर, मीटर x+z की घात में हैं, और बाईं ओर - 1 की घात में हैं

इसी प्रकार सेकेण्ड में घातांकों की तुलना से यह निष्कर्ष निकलता है

परिणामी समीकरणों से हमें संख्याएँ x, y, z ज्ञात होती हैं:

x = 1/2, y = -1/2, z = 1/2.

अंतिम सूत्र है

इस संबंध के बाएँ और दाएँ पक्षों का वर्ग करने पर, हमें वह प्राप्त होता है

अंतिम सूत्र गतिज ऊर्जा पर प्रमेय का गणितीय प्रतिनिधित्व है, हालांकि संख्यात्मक गुणांक के बिना।

न्यूटन द्वारा प्रतिपादित समानता सिद्धांत यह है कि अनुपात v 2/s सीधे अनुपात F/m के समानुपाती होता है। उदाहरण के लिए, अलग-अलग द्रव्यमान m 1 और m 2 वाले दो पिंड; हम उन पर अलग-अलग बलों F 1 और F 2 के साथ कार्य करेंगे, लेकिन इस तरह से कि अनुपात F 1 / m 1 और F 2 / m 2 समान होंगे। इन बलों के प्रभाव में, शरीर हिलना शुरू कर देंगे। यदि प्रारंभिक वेग शून्य हैं, तो लंबाई s के पथ खंड पर पिंडों द्वारा अर्जित वेग बराबर होंगे। यह समानता का नियम है, जो हम सूत्र के दाएं और बाएं पक्षों के आयामों की समानता के विचार की सहायता से आए हैं, जो अंतिम गति के मूल्य और मूल्यों के बीच शक्ति-कानून संबंध का वर्णन करता है बल, द्रव्यमान और पथ की लंबाई का।

आयामी विधि को शास्त्रीय यांत्रिकी की नींव के निर्माण के दौरान पेश किया गया था, लेकिन भौतिक समस्याओं को हल करने के लिए इसका प्रभावी उपयोग पिछली सदी के अंत में - हमारी सदी की शुरुआत में शुरू हुआ। इस पद्धति को बढ़ावा देने और इसके साथ दिलचस्प और महत्वपूर्ण समस्याओं को हल करने का अधिकांश श्रेय उत्कृष्ट भौतिक विज्ञानी लॉर्ड रेले को जाता है। 1915 में रेले ने लिखा: “ मुझे अक्सर इस बात पर आश्चर्य होता है कि समानता के महान सिद्धांत पर बहुत ही प्रतिष्ठित वैज्ञानिकों द्वारा भी इतना कम ध्यान दिया गया है। अक्सर ऐसा होता है कि श्रमसाध्य शोध के परिणामों को नए खोजे गए "कानूनों" के रूप में प्रस्तुत किया जाता है, जो, फिर भी, कुछ ही मिनटों में प्राथमिकता प्राप्त किया जा सकता है।

आजकल, भौतिकविदों पर समानता के सिद्धांत और आयामों की विधि की उपेक्षा या अपर्याप्त ध्यान देने का आरोप नहीं लगाया जा सकता है। आइए शास्त्रीय रेले समस्याओं में से एक पर विचार करें।

एक डोरी पर गेंद के दोलन के बारे में रेले की समस्या।

मान लीजिए बिंदु A और B के बीच एक डोरी खींची गई है। डोरी का तनाव बल F है। इस डोरी के मध्य बिंदु C पर एक भारी गेंद है। खंड AC (और, तदनुसार, CB) की लंबाई 1 के बराबर है। गेंद का द्रव्यमान M, स्ट्रिंग के द्रव्यमान से बहुत अधिक है। डोरी को पीछे खींचकर छोड़ दिया जाता है। यह बिल्कुल स्पष्ट है कि गेंद दोलन करेगी। यदि इन x कंपनों का आयाम स्ट्रिंग की लंबाई से बहुत कम है, तो प्रक्रिया हार्मोनिक होगी।

आइए डोरी पर गेंद के कंपन की आवृत्ति ज्ञात करें। मान लीजिए कि मात्राएँ, F, M और 1 एक शक्ति नियम से संबंधित हैं:

घातांक x, y, z वे संख्याएँ हैं जिन्हें हमें निर्धारित करने की आवश्यकता है।

आइए हम एसआई प्रणाली में उन मात्राओं के आयामों को लिखें जिनमें हमारी रुचि है:

सी -1, [एफ] = केजीएम एस -2, [एम] = किग्रा, = एम।

यदि सूत्र (2) एक वास्तविक भौतिक पैटर्न व्यक्त करता है, तो इस सूत्र के दाएं और बाएं हिस्सों के आयाम मेल खाने चाहिए, यानी समानता संतुष्ट होनी चाहिए

s -1 = kg x m x c -2x kg y m z = kg x + y m x + z c -2x

इस समानता के बाईं ओर मीटर और किलोग्राम बिल्कुल भी शामिल नहीं हैं, और सेकंड - 1 की शक्तियों में शामिल हैं। इसका मतलब है कि x, y और z के लिए समीकरण संतुष्ट हैं:

x+y=0, x+z=0, -2x= -1

इस प्रणाली को हल करने पर, हम पाते हैं:

x=1/2, y= -1/2, z= -1/2

इस तरह,

~एफ 1/2 एम -1/2 1 -1/2

आवृत्ति का सटीक सूत्र केवल एक कारक (2 = 2F/(M1)) द्वारा पाए गए सूत्र से भिन्न होता है।

इस प्रकार, न केवल गुणात्मक, बल्कि एफ, एम और 1 के मूल्यों पर निर्भरता का एक मात्रात्मक अनुमान भी प्राप्त किया गया था, परिमाण के क्रम के संदर्भ में, पाया गया पावर-लॉ संयोजन सही आवृत्ति मूल्य देता है। परिमाण के क्रम में अनुमान हमेशा रुचिकर होता है। साधारण समस्याओं में, जिन गुणांकों को आयामी विधि द्वारा निर्धारित नहीं किया जा सकता है उन्हें अक्सर क्रम एक की संख्या माना जा सकता है। यह कोई सख्त नियम नहीं है.

तरंगों का अध्ययन करते समय, मैं आयामी विश्लेषण की विधि का उपयोग करके ध्वनि की गति की गुणात्मक भविष्यवाणी पर विचार करता हूं। हम ध्वनि की गति को गैस में संपीड़न और विरल तरंगों के प्रसार की गति के रूप में देखते हैं। विद्यार्थियों को गैस में ध्वनि की गति की गैस के घनत्व और उसके दबाव p पर निर्भरता के बारे में कोई संदेह नहीं है।

हम इस रूप में उत्तर ढूंढ रहे हैं:

जहाँ C एक आयामहीन कारक है, जिसका संख्यात्मक मान आयामी विश्लेषण से नहीं पाया जा सकता है। (1) आयामों की समानता की ओर बढ़ना।

मी/से = (किलो/मी 3) x पा y,

एम/एस = (किग्रा/एम 3) एक्स (किग्रा एम/(एस 2 एम 2)) वाई,

m 1 s -1 = kg x m -3x kg y m y c -2y m -2y ,

m 1 s -1 = kg x+y m -3x + y-2y c -2y ,

m 1 s -1 = kg x+y m -3x-y c -2y .

समानता के बाएँ और दाएँ पक्षों पर आयामों की समानता देती है:

x + y = 0, -3x-y = 1, -2y= -1,

x= -y, -3+x = 1, -2x = 1,

एक्स = -1/2 , वाई = 1/2 .

इस प्रकार, गैस में ध्वनि की गति

C=1 पर सूत्र (2) सबसे पहले I. न्यूटन द्वारा प्राप्त किया गया था। लेकिन इस सूत्र के मात्रात्मक निष्कर्ष बहुत जटिल थे।

हवा में ध्वनि की गति का प्रायोगिक निर्धारण 1738 में पेरिस एकेडमी ऑफ साइंसेज के सदस्यों के एक सामूहिक कार्य में किया गया था, जिसमें एक तोप के गोले की आवाज को 30 किमी की दूरी तय करने में लगने वाला समय मापा गया था .

11वीं कक्षा में इस सामग्री को दोहराते हुए, छात्रों का ध्यान इस तथ्य की ओर आकर्षित होता है कि परिणाम (2) मेंडेलीव-क्लैपेरॉन समीकरण और घनत्व की अवधारणा का उपयोग करके ध्वनि प्रसार की इज़ोटेर्मल प्रक्रिया के एक मॉडल के लिए प्राप्त किया जा सकता है:

– ध्वनि प्रसार की गति.

छात्रों को आयामी विधि से परिचित कराने के बाद, मैंने उन्हें एक आदर्श गैस के लिए बुनियादी एमकेटी समीकरण प्राप्त करने के लिए इस विधि का उपयोग करने दिया।

छात्र समझते हैं कि एक आदर्श गैस का दबाव एक आदर्श गैस के व्यक्तिगत अणुओं के द्रव्यमान, प्रति इकाई आयतन में अणुओं की संख्या - n (गैस अणुओं की सांद्रता) और अणुओं की गति की गति - पर निर्भर करता है।

इस समीकरण में शामिल मात्राओं के आयामों को जानने पर, हमारे पास है:

,

,

,

इस समानता के बाएँ और दाएँ पक्षों के आयामों की तुलना करने पर, हमारे पास है:

इसलिए, मूल एमकेटी समीकरण का निम्नलिखित रूप है:

- यह संकेत करता है

छायांकित त्रिभुज से यह देखा जा सकता है

उत्तर: बी).

हमने आयाम विधि का उपयोग किया।

आयामी विधि, समस्याओं को हल करने और कुछ यूएसई कार्यों को करने की शुद्धता का पारंपरिक सत्यापन करने के अलावा, विभिन्न भौतिक मात्राओं के बीच कार्यात्मक निर्भरता खोजने में मदद करती है, लेकिन केवल उन स्थितियों के लिए जहां ये निर्भरताएं शक्ति-कानून हैं। प्रकृति में ऐसी कई निर्भरताएँ हैं, और आयामी विधि ऐसी समस्याओं को हल करने में एक अच्छी सहायक है।

इस बात पर जोर दिया जाना चाहिए कि विचाराधीन मामले में अंतिम लक्ष्य एक ही है: समानता संख्याएं ढूंढना जिनका उपयोग मॉडलिंग के लिए किया जाना चाहिए, लेकिन इसे प्रक्रिया की प्रकृति के बारे में काफी कम मात्रा में जानकारी के साथ हल किया जाता है।

चीजों को स्पष्ट करने के लिए, आइए संक्षेप में कुछ बुनियादी अवधारणाओं पर नजर डालें। एक विस्तृत प्रस्तुति ए.एन. लेबेडेव की पुस्तक "वैज्ञानिक और तकनीकी अनुसंधान में मॉडलिंग" में पाई जा सकती है। - एम.: रेडियो और संचार। 1989.-224 पी.

किसी भी भौतिक वस्तु में कई गुण होते हैं जिन्हें मात्रात्मक रूप से व्यक्त किया जा सकता है। इसके अलावा, प्रत्येक गुण को एक निश्चित भौतिक मात्रा के आकार की विशेषता होती है। कुछ भौतिक राशियों की इकाइयों को मनमाने ढंग से चुना जा सकता है, और उनकी मदद से अन्य सभी की इकाइयों का प्रतिनिधित्व किया जा सकता है। भौतिक इकाइयाँ, मनमाने ढंग से चुने गए, बुलाए जाते हैं मुख्य. अंतर्राष्ट्रीय प्रणाली में (यांत्रिकी के संबंध में) ये किलोग्राम, मीटर और सेकंड हैं। इन तीनों के माध्यम से व्यक्त शेष मात्राएँ कहलाती हैं डेरिवेटिव.

आधार इकाई को या तो संबंधित मात्रा के प्रतीक द्वारा या किसी विशेष प्रतीक द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, लंबाई की इकाइयाँ हैं एल, द्रव्यमान की इकाइयाँ - एम, समय की इकाई - टी. अथवा, लंबाई की इकाई मीटर (m), द्रव्यमान की इकाई किलोग्राम (kg), समय की इकाई सेकंड (s) है।

आयाम को एक पावर मोनोमियल के रूप में एक प्रतीकात्मक अभिव्यक्ति (कभी-कभी सूत्र भी कहा जाता है) के रूप में समझा जाता है जो व्युत्पन्न मात्रा को मूल मात्रा से जोड़ता है। सामान्य फ़ॉर्मइस पैटर्न का स्वरूप है

कहाँ एक्स, य, जेड- आयामी संकेतक.

उदाहरण के लिए, गति आयाम

एक आयामहीन मात्रा के लिए, सभी संकेतक , और इसलिए ।

निम्नलिखित दो कथन बिल्कुल स्पष्ट हैं और इसके लिए किसी विशेष प्रमाण की आवश्यकता नहीं है।

दो वस्तुओं के आकार का अनुपात एक स्थिर मूल्य है, भले ही उन्हें जिन इकाइयों में व्यक्त किया गया हो। इसलिए, उदाहरण के लिए, यदि खिड़कियों के कब्जे वाले क्षेत्र और दीवारों के क्षेत्रफल का अनुपात 0.2 है, तो यह परिणाम अपरिवर्तित रहेगा यदि क्षेत्रों को मिमी 2, एम 2 या किमी 2 में व्यक्त किया जाता है।

दूसरी स्थिति इस प्रकार तैयार की जा सकती है। कोई भी सही शारीरिक संबंध आयामी रूप से सजातीय होना चाहिए। इसका मतलब यह है कि दाएं और बाएं दोनों हिस्सों में शामिल सभी सदस्यों का आयाम समान होना चाहिए। यह सरल नियम रोजमर्रा की जिंदगी में स्पष्ट रूप से लागू होता है। हर कोई जानता है कि मीटर को केवल मीटर में ही जोड़ा जा सकता है, किलोग्राम या सेकंड में नहीं। यह स्पष्ट रूप से समझना आवश्यक है कि सबसे जटिल समीकरणों पर विचार करने पर भी नियम वैध रहता है।

आयामी विश्लेषण की विधि तथाकथित -प्रमेय (पढ़ें: पाई-प्रमेय) पर आधारित है। -प्रमेय आयामी मापदंडों के माध्यम से व्यक्त एक फ़ंक्शन और आयाम रहित रूप में एक फ़ंक्शन के बीच संबंध स्थापित करता है। प्रमेय को इस प्रकार अधिक पूर्ण रूप से तैयार किया जा सकता है:

आयामी मात्राओं के बीच किसी भी कार्यात्मक संबंध को बीच के संबंध के रूप में दर्शाया जा सकता है एनइन मात्राओं से बने आयामहीन सम्मिश्र (संख्याएँ)। इन संकुलों की संख्या , कहाँ एन- बुनियादी इकाइयों की संख्या. जैसा कि ऊपर बताया गया है, द्रव यांत्रिकी में (किलो, मी, सेक)।

मान लीजिए, उदाहरण के लिए, मात्रा एपाँच आयामी मात्राओं का एक फलन है (), अर्थात्।

(13.12)

-प्रमेय से यह निष्कर्ष निकलता है कि इस निर्भरता को दो संख्याओं वाली निर्भरता में बदला जा सकता है ( )

(13.13)

जहां और आयामी मात्राओं से बने आयामहीन परिसर हैं।

इस प्रमेय का श्रेय कभी-कभी बकिंघम को दिया जाता है और इसे बकिंघम का प्रमेय कहा जाता है। वास्तव में, कई प्रमुख वैज्ञानिकों ने इसके विकास में योगदान दिया, जिनमें फूरियर, रयाबुशिंस्की और रेले शामिल हैं।

प्रमेय का प्रमाण पाठ्यक्रम के दायरे से परे है। यदि आवश्यक हो, तो इसे एल.आई. सेडोव की पुस्तक "मैकेनिक्स में समानता और आयामों के तरीके" में पाया जा सकता है - एम.: नौका, 1972. - 440 पी। विधि का विस्तृत औचित्य वी.ए. वेनिकोव और जी.वी. वेनिकोव की पुस्तक "समानता और मॉडलिंग का सिद्धांत" में भी दिया गया है - एम.: हायर स्कूल, 1984. -439 पी। इस पुस्तक की एक विशेष विशेषता यह है कि इसमें समानता से संबंधित प्रश्नों के अलावा, एक प्रयोग स्थापित करने और उसके परिणामों को संसाधित करने की पद्धति के बारे में जानकारी शामिल है।

विशिष्ट समस्याओं को हल करने के लिए आयामी विश्लेषण का उपयोग करना व्यावहारिक समस्याएँप्रपत्र (13.12) के एक कार्यात्मक संबंध को संकलित करने की आवश्यकता से जुड़ा है, जिसे अगले चरण में विशेष तकनीकों के साथ संसाधित किया जाता है जो अंततः संख्याओं (समानता संख्या) के उत्पादन की ओर ले जाता है।

मुख्य पहनने वाला रचनात्मक चरित्र, पहला चरण है, क्योंकि प्राप्त परिणाम इस बात पर निर्भर करते हैं कि शोधकर्ता की समझ कितनी सही और पूर्ण है भौतिक प्रकृतिप्रक्रिया। दूसरे शब्दों में, कार्यात्मक निर्भरता (13.12) किस हद तक अध्ययन की जा रही प्रक्रिया को प्रभावित करने वाले सभी मापदंडों को सही ढंग से और पूरी तरह से ध्यान में रखती है। यहां कोई भी गलती अनिवार्य रूप से गलत निष्कर्षों की ओर ले जाती है। तथाकथित "रेले त्रुटि" विज्ञान के इतिहास में जानी जाती है। इसका सार यह है कि अशांत प्रवाह में गर्मी हस्तांतरण की समस्या का अध्ययन करते समय, रेले ने प्रवाह चिपचिपाहट के प्रभाव को ध्यान में नहीं रखा, अर्थात। इसे निर्भरता (13.12) में शामिल नहीं किया। परिणामस्वरूप, उनके द्वारा प्राप्त अंतिम संबंधों में रेनॉल्ड्स समानता संख्या शामिल नहीं थी, जो गर्मी हस्तांतरण में अत्यंत महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है।

विधि का सार समझने के लिए, एक उदाहरण पर विचार करें: समस्या के प्रति सामान्य दृष्टिकोण और समानता संख्याएँ प्राप्त करने की विधि दोनों का चित्रण.

एक प्रकार की निर्भरता स्थापित करना आवश्यक है जो गोल पाइपों में अशांत प्रवाह के दौरान दबाव या दबाव हानि का निर्धारण करने की अनुमति देता है।

याद रखें कि इस समस्या पर पहले ही धारा 12.6 में विचार किया जा चुका है। इसलिए, यह स्थापित करना स्पष्ट रुचि है कि आयामी विश्लेषण का उपयोग करके इसे कैसे हल किया जा सकता है और क्या यह समाधान कोई नई जानकारी प्रदान करता है।

यह स्पष्ट है कि चिपचिपे घर्षण की ताकतों पर काबू पाने के लिए ऊर्जा व्यय के कारण पाइप के साथ दबाव में गिरावट, इसकी लंबाई के व्युत्क्रमानुपाती होती है, इसलिए, चर की संख्या को कम करने के लिए, इस पर विचार करने की सलाह नहीं दी जाती है, लेकिन , अर्थात। प्रति इकाई पाइप लंबाई में दबाव हानि। आइए याद करें कि वह संबंध, जहां दबाव में कमी होती है, हाइड्रोलिक ढलान कहलाता है।

प्रक्रिया के भौतिक सार के बारे में विचारों से, यह माना जा सकता है कि परिणामी नुकसान इस पर निर्भर होना चाहिए: कार्यशील माध्यम का औसत प्रवाह वेग (v); पाइपलाइन के आकार पर, उसके व्यास द्वारा निर्धारित ( डी); से भौतिक गुणपरिवहन माध्यम, इसकी घनत्व () और चिपचिपाहट () द्वारा विशेषता; और, अंत में, यह मान लेना उचित है कि नुकसान किसी तरह पाइप की आंतरिक सतह की स्थिति से संबंधित होना चाहिए, अर्थात। खुरदरेपन के साथ ( क) इसकी दीवारें। इस प्रकार, विचाराधीन मामले में निर्भरता (13.12) का रूप है

(13.14)

यह आयामी विश्लेषण के पहले और, इस पर जोर दिया जाना चाहिए, सबसे महत्वपूर्ण चरण का समापन करता है।

-प्रमेय के अनुसार, निर्भरता में शामिल प्रभावित करने वाले मापदंडों की संख्या है। नतीजतन, आयामहीन परिसरों की संख्या, अर्थात्। उचित प्रसंस्करण के बाद (13.14) फॉर्म लेना चाहिए

(13.15)

संख्याएँ ज्ञात करने के कई तरीके हैं। हम रेले द्वारा प्रस्तावित विधि का उपयोग करेंगे।

इसका मुख्य लाभ यह है कि यह एक प्रकार का एल्गोरिदम है जो किसी समस्या को हल करने की ओर ले जाता है।

(13.15) में शामिल मापदंडों में से, आपको कोई तीन चुनना होगा, लेकिन ताकि उनमें बुनियादी इकाइयां शामिल हों, यानी। मीटर, किलोग्राम और सेकंड। उन्हें वी होने दो, डी, . यह सत्यापित करना आसान है कि वे बताई गई आवश्यकता को पूरा करते हैं।

(13.14) में शेष मापदंडों में से किसी एक को गुणा करके चयनित मापदंडों से संख्याएं पावर मोनोमियल के रूप में बनाई जाती हैं।

; (13.16)

; (13.17)

; (13.18)

अब समस्या सभी घातांकों को खोजने की है। इसके अलावा, उन्हें चुना जाना चाहिए ताकि संख्याएँ आयामहीन हों।

इस समस्या को हल करने के लिए, हम पहले सभी मापदंडों के आयाम निर्धारित करते हैं:

; ;

श्यानता , अर्थात। .

पैरामीटर , और .

और अंत में...

इस प्रकार, संख्याओं का आयाम होगा

अन्य दो के समान

धारा 13.3 की शुरुआत में यह पहले से ही नोट किया गया था कि किसी भी आयामहीन मात्रा के लिए आयाम संकेतक . इसलिए, उदाहरण के लिए, किसी संख्या के लिए हम लिख सकते हैं

घातांकों को बराबर करने पर, हमें तीन अज्ञात के साथ तीन समीकरण मिलते हैं

हम इसे कहां से पाते हैं? ; .

इन मानों को (13.6) में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

(13.19)

इसी तरह आगे बढ़ते हुए, यह दिखाना आसान है

और ।

इस प्रकार, निर्भरता (13.15) का रूप ले लेती है

(13.20)

चूँकि एक गैर-परिभाषित समानता संख्या (यूलर संख्या) है, तो (13.20) को एक कार्यात्मक निर्भरता के रूप में लिखा जा सकता है

(13.21)

यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि आयामी विश्लेषण इसकी सहायता से प्राप्त संबंधों में मौलिक रूप से कोई संख्यात्मक मान नहीं देता है और न ही दे सकता है। इसलिए, इसे परिणामों के विश्लेषण और, यदि आवश्यक हो, सामान्य भौतिक अवधारणाओं के आधार पर उनके सुधार के साथ समाप्त होना चाहिए। आइए इन स्थितियों से अभिव्यक्ति (13.21) पर विचार करें। दाईं ओर गति का वर्ग शामिल है, लेकिन यह प्रविष्टि इस तथ्य के अलावा कुछ भी व्यक्त नहीं करती है कि गति का वर्ग है। हालाँकि, यदि आप इस मान को दो से विभाजित करते हैं, अर्थात। , फिर, जैसा कि हाइड्रोमैकेनिक्स से ज्ञात है, यह एक महत्वपूर्ण भौतिक अर्थ प्राप्त करता है: विशिष्ट गतिज ऊर्जा, और - औसत गति के कारण गतिशील दबाव। इसे ध्यान में रखते हुए फॉर्म में (13.21) लिखने की सलाह दी जाती है

(13.22)

यदि अब, जैसा कि (12.26) में है, हम अक्षर से निरूपित करते हैं, तो हम डार्सी के सूत्र पर पहुंचते हैं

(13.23)

(13.24)

हाइड्रोलिक घर्षण गुणांक कहां है, जो (13.22) के अनुसार, रेनॉल्ड्स संख्या और सापेक्ष खुरदरापन का एक कार्य है ( के/डी). इस निर्भरता का प्रकार केवल प्रयोगात्मक रूप से पाया जा सकता है।

साहित्य

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1. द्रव यांत्रिकी में प्रयुक्त गणितीय उपकरण.................................................. ....................................................... ............... ......3

1.1. वेक्टर और उन पर संचालन................................................... ...... ......4

1.2. प्रथम क्रम संचालन (विभेदक क्षेत्र विशेषताएँ)। .................................................. ................................................... ............ ......5

1.3. दूसरे क्रम के संचालन....................................................... ................... ......... 6

1.4. क्षेत्र सिद्धांत के अभिन्न संबंध................................... 7

1.4.1. वेक्टर फ़ील्ड प्रवाह................................................. ............ 7

1.4.2. फ़ील्ड वेक्टर परिसंचरण....................................................... ....7

1.4.3. स्टोक्स सूत्र................................................. ............ 7

1.4.4. गॉस-ओस्ट्रोग्रैडस्की सूत्र................................... 7

2. तरल के बुनियादी भौतिक गुण और पैरामीटर। बल और तनाव...................................................... .................................... 8

2.1. घनत्व................................................. ................................... 8

2.2. श्यानता................................................. .................................................. 9

2.3. बलों का वर्गीकरण................................................. .... ................... 12

2.3.1. जनशक्तियाँ................................................... ............ 12

2.3.2. सतही बल................................................. ... ....12

2.3.3. तनाव तानिका................................................ ........ ......13

2.3.4. तनाव में गति का समीकरण.................................. 16

3. हाइड्रोस्टैटिक्स................................................... ...... ..................................18

3.1. द्रव संतुलन समीकरण....................................................... ....18

3.2. विभेदक रूप में हाइड्रोस्टैटिक्स का मूल समीकरण। .................................................. ................................................... ............ ......19

3.3. समविभव सतहें और समान दबाव की सतहें। .................................................. ................................................... ............ .....20

3.4. गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में एक सजातीय असम्पीडित द्रव का संतुलन। पास्कल का नियम. दाब वितरण का द्रवस्थैतिक नियम...20

3.5. किसी पिंड की सतह पर तरल दबाव के बल का निर्धारण....22

3.5.1. सपाट सतह................................................ .... 24

4. किनेमैटिक्स................................................... .... ................................... 26

4.1. स्थिर एवं अस्थिर द्रव गति......26

4.2. निरंतरता का समीकरण (निरंतरता)................................................. .......27

4.3. स्ट्रीमलाइन और प्रक्षेपवक्र................................................... ............29

4.4. वर्तमान ट्यूब (वर्तमान सतह).................................................. ...... ...29

4.5. जेट प्रवाह मॉडल................................................................. ............ ............ 29

4.6. एक धारा के लिए निरंतरता समीकरण................................................... .......30

4.7. किसी तरल कण का त्वरण...................................................... ...................... ....... 31

4.8. तरल कण की गति का विश्लेषण................................................. .........32

4.8.1. कोणीय विकृतियाँ................................................. ... ...32

4.8.2. रैखिक विकृतियाँ................................................. ... .36

5. द्रव की भंवर गति.................................................. ........ .38

5.1. भंवर गति की गतिकी................................................... ......38

5.2. भंवर तीव्रता................................................. ................... 39

5.3. स्पीड सर्कुलेशन................................................... ...... ...............41

5.4. स्टोक्स प्रमेय....................................................... .... ................................... 42

6. संभावित द्रव संचलन................................................... .......44

6.1. गति क्षमता................................................. .......................44

6.2. लाप्लास का समीकरण................................................. ... ................... 46

6.3. संभावित क्षेत्र में वेग परिसंचरण..................................47

6.4. समतल प्रवाह धारा फ़ंक्शन................................................... ...... .47

6.5. वर्तमान फ़ंक्शन का हाइड्रोमैकेनिकल अर्थ................................... 49

6.6. गति क्षमता और वर्तमान फ़ंक्शन के बीच संबंध..................................49

6.7. संभावित प्रवाह की गणना के लिए तरीके................................... 50

6.8. संभावित स्ट्रीम ओवरले................................................... .........54

6.9. एक वृत्ताकार सिलेंडर के चारों ओर गैर-परिसंचारी प्रवाह................................... 58

6.10. एक आदर्श तरल पदार्थ के समतल प्रवाह के अध्ययन के लिए एक जटिल चर के कार्यों के सिद्धांत का अनुप्रयोग...................................... .................................. 60

6.11. अनुरूप मानचित्रण................................................. ........ ...... 62

7. एक आदर्श द्रव की जलगतिकी................................... 65

7.1. एक आदर्श द्रव की गति के समीकरण................................... 65

7.2. ग्रोमेका-मेमना परिवर्तन...................................................... ......66

7.3. ग्रोमेका-लैम्ब रूप में गति का समीकरण................................... 67

7.4. स्थिर प्रवाह के लिए गति के समीकरण का एकीकरण................................................. ........... ....................................... .................. .......... 68

7.5. बर्नौली के समीकरण की सरलीकृत व्युत्पत्ति...................................... 69

7.6. बर्नौली समीकरण का ऊर्जा अर्थ................................... 70

7.7. दबावों के रूप में बर्नौली का समीकरण................................................... .........71

8. एक चिपचिपे तरल पदार्थ की जलगतिकी................................................... ............ 72

8.1. एक चिपचिपे तरल पदार्थ का मॉडल................................................... ............ .......... 72

8.1.1. रैखिकता परिकल्पना................................................. ... ...72

8.1.2. समरूपता परिकल्पना................................................. ...74

8.1.3. आइसोट्रॉपी परिकल्पना................................................. ... .74

8.2 किसी श्यान द्रव की गति का समीकरण। (नेवियर-स्टोक्स समीकरण) .................................................. .................................................... ........... .......... 74

9. असंपीड्य द्रव का एक-आयामी प्रवाह (हाइड्रोलिक्स के मूल सिद्धांत)................................... ............... ................................... .................. ................. 77

9.1. प्रवाह दर और औसत गति................................................... ....... 77

9.2. हल्के से विकृत प्रवाह और उनके गुण..................................78

9.3. चिपचिपे द्रव प्रवाह के लिए बर्नौली का समीकरण................................. 79

9.4. कोरिओलिस गुणांक का भौतिक अर्थ................................... 82

10. तरल प्रवाह का वर्गीकरण. यातायात स्थिरता................................................. .................. .................................. .............. 84

11. गोल पाइपों में लेमिनर प्रवाह व्यवस्था के नियम................................................... ........... ....................................... .................. .......... 86

12. अशांत गति के बुनियादी नियम। .................................................. ................................................... ............ ............... 90

12.1. सामान्य जानकारी....................................................................... 90

12.2. रेनॉल्ड्स समीकरण................................................. ... ........... 92

12.3. अशांति के अर्ध-अनुभवजन्य सिद्धांत................................... 93

12.4. पाइपों में अशांत प्रवाह................................................... ......95

12.5. वेग वितरण के शक्ति नियम................................... 100

12.6. पाइपों में अशांत प्रवाह के दौरान दबाव (दबाव) का नुकसान। .................................................. ................................................... ............ ..... 100

13. समानता और मॉडलिंग के सिद्धांत के मूल सिद्धांत...................... 102

13.1. निरीक्षण विश्लेषण विभेदक समीकरण..... 106

13.2. आत्म-समानता की अवधारणा................................................. ............... .110

13.3. आयामी विश्लेषण................................................ ............ 111

साहित्य………………………………………………………….118

1

लेख में आयामी विधि के सिद्धांत और भौतिकी में इस विधि के अनुप्रयोग पर चर्चा की गई है। आयामी विधि की परिभाषा स्पष्ट की गई है। इस पद्धति की क्षमताएँ सूचीबद्ध हैं। आयामी सिद्धांत का उपयोग करते हुए, उन घटनाओं पर विचार करते समय विशेष रूप से मूल्यवान निष्कर्ष प्राप्त करना संभव है जो बड़ी संख्या में मापदंडों पर निर्भर करते हैं, लेकिन साथ ही इस तरह से कि कुछ मामलों में इनमें से कुछ पैरामीटर महत्वहीन हो जाते हैं। विचाराधीन विधि में, वांछित पैटर्न को भौतिक मात्राओं के शक्ति कार्यों के उत्पाद के रूप में दर्शाया जा सकता है, जिस पर वांछित विशेषता निर्भर करती है। आयामी सिद्धांत पद्धति विभिन्न घटनाओं के मॉडलिंग में विशेष रूप से महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है। इस प्रकार, आयामी विश्लेषण का उद्देश्य विभिन्न घटनाओं से जुड़ी मापनीय मात्राओं के बीच मौजूद संबंधों के बारे में कुछ जानकारी प्राप्त करना है।

आयाम

आयामी विधि

भौतिक मात्रा

1. अलेक्सेव्निना ए.के. भौतिक अवधारणाओं से भाषण संस्कृति तक // बुनियादी अनुसंधान. – 2014. – नंबर 6-4. - पृ. 807-811.

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हर दिन हमारा सामना विभिन्न आयामों से होता है। देर न करने के लिए, हम अलार्म सेट करते हैं (समय तय करते हैं), अपने आहार की निगरानी करते हैं (हम भोजन का वजन करते हैं, कैलोरी गिनते हैं)। माप की इकाइयाँ हर किसी से परिचित हैं, उदाहरण के लिए, गति की गति को एसआई प्रणाली में एम/एस में मापा जाता है, और दूसरे में - किमी/घंटा में। माप की इकाइयों का आविष्कार ऐतिहासिक रूप से लोगों द्वारा किया गया था, यह समाज के विकास, वैज्ञानिक और तकनीकी प्रक्रिया, व्यापार आदि से जुड़ा है।

विज्ञान में, पैटर्न, अर्थात्, एक भौतिक मात्रा के दूसरे के साथ संबंध के समीकरणों का विश्लेषण उन इकाइयों की मदद से नहीं किया जाना चाहिए जो पूरी तरह से किसी व्यक्ति पर निर्भर करती हैं, बल्कि किसी व्यक्ति से स्वतंत्र कुछ अन्य अवधारणाओं की मदद से। क्योंकि प्राकृतिक पैटर्न स्वयं मनुष्यों पर निर्भर नहीं होते हैं।

भौतिक मात्राओं के बीच संबंध के समीकरणों का विश्लेषण माप की इकाइयों की मदद से नहीं, बल्कि कुछ अन्य अवधारणाओं की मदद से किया जाता है जो समान मात्रा के लिए स्पष्ट हैं। इस प्रयोजन के लिए, "आयाम" की अवधारणा पेश की गई थी। आयाम, मूल मात्राओं के अनुरूप कारकों की शक्तियों के उत्पाद के रूप में, सिस्टम की मूल मात्राओं पर एक मात्रा की निर्भरता की एक अभिव्यक्ति (संख्यात्मक गुणांक के बिना) है। प्रत्येक आयाम का अपना पदनाम प्रतीक होता है, और उनकी व्यवस्था का क्रम सख्ती से विनियमित होता है। उदाहरण के लिए, किसी भी पिंड का आयतन L3 निर्दिष्ट है, पिंड की यांत्रिक गति की गति LT-1 है।

यह तथ्य कि भौतिक संबंध प्रकृति में अदिश, सदिश या टेंसर होते हैं, अपरिवर्तनशीलता के गुण को दर्शाते हैं भौतिक नियमसमन्वय प्रणाली के सापेक्ष.

दूसरी ओर, किसी भी भौतिक मात्रा का मान निर्धारित करने के लिए, उसकी माप की इकाइयाँ और, सामान्यतया, माप की इकाइयों की एक प्रणाली निर्धारित करना आवश्यक है। जाहिर है, शारीरिक संबंधों का अर्थ माप इकाइयों की प्रणाली की पसंद पर निर्भर नहीं होना चाहिए।

इस मामले में, प्रत्येक भौतिक मात्रा के लिए माप की एक विशेष इकाई निर्दिष्ट करने की कोई आवश्यकता नहीं है भौतिक परिभाषाएँ और संबंध कुछ भौतिक राशियों के आयामों को दूसरों के संदर्भ में व्यक्त करना संभव बनाते हैं।

उदाहरण के लिए, गति की परिभाषा आपको विस्थापन डीएस और समय डीटी के आयामों के माध्यम से गति v = ds/dt के आयाम को व्यक्त करने की अनुमति देती है।

इकाइयों की किसी भी प्रणाली में, माप की बुनियादी इकाइयाँ पेश की जाती हैं। उन्हें मानकों का उपयोग करके अनुभव से परिचित कराया जाता है। उदाहरण के लिए, SI में मूल इकाइयाँ मीटर, सेकंड, किलोग्राम, एम्पीयर, केल्विन, मोल, कैंडेला हैं।

माप की मूल इकाइयों के माध्यम से माप की एक मनमानी इकाई की अभिव्यक्ति को आयाम कहा जाता है। प्रत्येक मूल मात्रा के लिए, एक पदनाम पेश किया गया है: एल - लंबाई, एम - द्रव्यमान, टी-समय, आदि।

किसी भी मनमाने आयाम को संबंधित मान से वर्गाकार कोष्ठकों द्वारा दर्शाया जाता है। उदाहरण के लिए, [v] गति का आयाम है, [E] ऊर्जा का आयाम है, आदि।

आयाम सूत्र. आयाम सिद्धांत में, यह सिद्ध है कि किसी भी मात्रा का आयाम [N] = LlTtMm... रूप के पावर मोनोमियल द्वारा दर्शाया जाता है और इसे आयाम सूत्र कहा जाता है। कभी-कभी आयामी सूत्रों में वे मूल मात्राओं के प्रतीकों का नहीं, बल्कि उनकी माप की इकाइयों का उपयोग करते हैं [v] = ms-1, [E] = kg m2s2, आदि।

आयामी विधि सबसे दिलचस्प गणना विधियों में से एक है। इसका सार भौतिक मात्राओं के बीच विभिन्न संबंधों को बहाल करने की क्षमता में निहित है। लाभ: अध्ययन के तहत घटना के पैमाने का त्वरित मूल्यांकन; गुणात्मक और कार्यात्मक निर्भरता प्राप्त करना; परीक्षा, एकीकृत राज्य परीक्षा में भूले हुए फॉर्मूलों की पुनर्प्राप्ति। आयामों की पद्धति का उपयोग करके विशेष कार्यों के साथ-साथ, यह सोच और भाषण संस्कृति के विकास में योगदान देता है।

आयामी विधि आवश्यक भौतिक मात्राओं की एक सूची संकलित करने पर आधारित है जो किसी दी गई समस्या में प्रक्रिया को निर्धारित करती है। यह केवल जागरूक और गहरी समझ के साथ-साथ भौतिक स्थिति का विश्लेषण करने के लिए एक खोजपूर्ण, रचनात्मक दृष्टिकोण के साथ ही किया जा सकता है। इसका मतलब यह है कि आयामी पद्धति का उपयोग भौतिकी पाठों में छात्रों की सोच के विकास में योगदान देता है। स्कूल भौतिकी पाठ्यक्रम की अधिकांश समस्याएं विचाराधीन पद्धति के दृष्टिकोण से अपेक्षाकृत सरल हैं, इससे शिक्षण में इसके उपयोग में काफी सुविधा होती है।

आइए आयामी पद्धति के कुछ लाभों और अनुप्रयोगों पर विचार करें:

अध्ययन के तहत घटना के पैमाने का त्वरित मूल्यांकन;

गुणात्मक और कार्यात्मक निर्भरता प्राप्त करना;

परीक्षा में भूले हुए फॉर्मूले पुनः प्राप्त करना;

कुछ USE कार्यों को पूरा करना;

समस्या समाधान की शुद्धता की जाँच करना।

आधुनिक भौतिक विज्ञान में आयामी विधि एक सामान्य एवं अपेक्षाकृत सरल विधि है। यह आपको कम प्रयास और समय में जांच करने की अनुमति देता है:

1) समस्या समाधान की शुद्धता;

2) इस प्रक्रिया को दर्शाने वाली भौतिक मात्राओं के बीच एक कार्यात्मक संबंध स्थापित करना;

3) अपेक्षित संख्यात्मक परिणाम का अनुमान लगाएं। इसके अलावा, भौतिकी शिक्षक के पास यह अवसर है:

क) पाठ के दौरान प्रश्नोत्तरी बड़ी संख्याछात्र;

बी) भौतिक मात्राओं के मापन के सूत्रों और इकाइयों का ज्ञान प्राप्त करना;

ग) नई सामग्री समझाते समय समय बचाएं। कक्षाओं में आयामों की पद्धति का उपयोग करने से विषय के अधिक गहन अध्ययन को बढ़ावा मिलेगा, छात्रों के क्षितिज का विस्तार होगा और अंतःविषय संबंध मजबूत होंगे।

भौतिकी में एक अत्यंत उपयोगी गणितीय प्रक्रिया है जिसे आयामी विश्लेषण कहा जाता है।

के लिए सही सेटिंगऔर प्रयोगों का प्रसंस्करण, जिसके परिणाम हमें स्थापित करने की अनुमति देंगे सामान्य पैटर्नऔर उन मामलों पर लागू किया जा सकता है जिनमें प्रयोग सीधे तौर पर नहीं किया गया था, अध्ययन किए जा रहे मुद्दे के सार में गहराई से जाना और एक सामान्य गुणात्मक विश्लेषण देना आवश्यक है।

ऐसे प्रारंभिक गुणात्मक सैद्धांतिक विश्लेषण और आयाम रहित मात्राओं को परिभाषित करने की एक प्रणाली के चयन की संभावना आयाम के सिद्धांत द्वारा प्रदान की जाती है, जो सिद्धांत और व्यवहार दोनों में कई लाभ लाती है। इस सिद्धांत का उपयोग करके प्राप्त किए गए सभी परिणाम हमेशा बहुत सरलता से, प्राथमिक रूप से और लगभग बिना किसी कठिनाई के प्राप्त होते हैं। लेकिन नई समस्याओं के लिए इस सिद्धांत के अनुप्रयोग के लिए घटना के सार के अनुभव और समझ की आवश्यकता होती है।

भौतिकी में प्रत्येक समीकरण एक ऐसे संबंध को व्यक्त करता है जो प्रकृति में वस्तुनिष्ठ रूप से मौजूद होता है, इस समीकरण को लिखने वाले की इच्छा की परवाह किए बिना। और, निःसंदेह, समीकरण के दोनों पक्षों को समान इकाइयों में मापी गई मात्राओं में व्यक्त किया जाना चाहिए।

आयामी विश्लेषण का व्यापक रूप से भौतिकी में उन समीकरणों का विश्लेषण करने के लिए उपयोग किया जाता है जो F = ma जितने सरल नहीं हैं और जिनके बारे में संदेह है कि क्या वे सही हैं। यदि कम से कम एक आयाम की शक्तियां मेल नहीं खातीं, तो इसका मतलब यह होगा कि समीकरण गलत है, इसकी सौ प्रतिशत गारंटी होगी।

समस्याओं को हल करते समय और, तदनुसार, परीक्षण बडा महत्वगणना सूत्रों में शब्दों के रूप में शामिल मात्राओं के आयामों को स्थापित करने पर नियंत्रण होता है। यह बिल्कुल स्पष्ट है कि "3m-2kg" जैसी अभिव्यक्ति का कोई मतलब नहीं है, इसलिए यदि समाधान के परिणामस्वरूप, ऐसे शब्द सामने आते हैं जिनके अलग-अलग आयाम हैं, तो यह एक स्पष्ट संकेत है कि एक त्रुटि हुई है (अक्सर यह होता है) अंकगणितीय प्रकृति का)। इसे समझते हुए, किसी परीक्षण या समस्या को हल करते समय समय-समय पर आयामी विश्लेषण का सहारा लेना आवश्यक है।

आयामों का उपयोग करने के लाभ आयामी विश्लेषण प्रक्रिया तक सीमित नहीं हैं। आयामी विधि का उपयोग भौतिक मात्राओं को व्यवस्थित करने के लिए भी किया जाता है।

आपको बस उस आयाम को याद रखने की आवश्यकता है जब भौतिक मात्राओं को व्यवस्थित करना अभी भी एक सहायक अवधारणा है। यह समस्या को हल करने में मदद करता है, लेकिन अकेले आयामों का उपयोग करके समस्या को हल करना संभव नहीं है। और इस तरह के दृष्टिकोण के लिए प्रयास करना शायद ही इसके लायक है। भौतिक मात्राओं को व्यवस्थित करने की समस्या केवल परिभाषित समीकरणों की तुलना करके हल की जाती है, और आयामों का उपयोग इस समाधान को एक निश्चित स्पष्टता देता है।

बदले में, भौतिक मात्राएँ आयामी और आयामहीन हो सकती हैं। वे मात्राएँ जिनका संख्यात्मक मान स्वीकृत पैमानों पर, अर्थात माप की इकाइयों की प्रणाली पर निर्भर करता है, आयामी या नामित मात्राएँ कहलाती हैं, उदाहरण के लिए: लंबाई, समय, बल, ऊर्जा, बल का क्षण, आदि। वे मात्राएँ जिनका संख्यात्मक मान नहीं होता प्रणाली पर निर्भर माप की प्रयुक्त इकाइयों को आयामहीन या अमूर्त मात्राएँ कहा जाता है, उदाहरण के लिए: दो लंबाई का अनुपात, एक लंबाई के वर्ग का एक क्षेत्र से अनुपात, ऊर्जा के एक क्षण के बल का अनुपात, आदि। यह अवधारणा सशर्त है, और इसलिए कुछ मात्राओं को कुछ मामलों में आयामी माना जा सकता है, और अन्य में - आयामहीन के रूप में।

विभिन्न भौतिक राशियाँ कुछ संबंधों द्वारा आपस में जुड़ी हुई हैं। इसलिए, यदि उनमें से कुछ को मूल मान लिया जाए और उनके लिए माप की कुछ इकाइयाँ स्थापित कर दी जाएँ, तो शेष मात्राओं की माप की इकाइयाँ मूल मात्राओं की माप की इकाइयों के माध्यम से एक निश्चित तरीके से व्यक्त की जाएंगी। मूल मात्राओं के लिए अपनाई गई माप की इकाइयों को मूल या प्राथमिक कहा जाता है, और बाकी को व्युत्पन्न या माध्यमिक कहा जाता है।

वर्तमान में, भौतिक और तकनीकी प्रणालियाँमाप की इकाइयां। में भौतिक प्रणालीमाप की मूल इकाइयाँ सेंटीमीटर, ग्राम-द्रव्यमान और सेकंड (सीजीएस प्रणाली) हैं।

आयामी विधि परिमाण के आदेशों की एक बहुत विस्तृत श्रृंखला में काम करती है, यह आपको ब्रह्मांड के आकार और परमाणु नाभिक की विशेषताओं का अनुमान लगाने, सितारों में प्रवेश करने और विज्ञान कथा लेखकों में त्रुटियां ढूंढने, सतह पर तरंगों का अध्ययन करने की अनुमति देती है। पहाड़ों में सुरंग बनाते समय विस्फोटकों की मात्रा की गणना करें।

आयामी सिद्धांत का मुख्य लाभ माप की इकाइयों की प्रणालियों की पसंद से स्वतंत्र, आयाम रहित रूप में भौतिक कानूनों का अध्ययन करने की संभावना से जुड़ा है। आयामहीन रूप में समस्या का विश्लेषण करने के परिणाम तुरंत घटना के पूरे वर्ग पर लागू होते हैं।

उपरोक्त सभी को सारांशित करते हुए, हम निम्नलिखित निष्कर्ष निकाल सकते हैं:

1. यदि वांछित मात्रा को पावर फ़ंक्शन के रूप में दर्शाया जा सकता है तो आयामी विधि का उपयोग किया जा सकता है।

2. आयामी विधि आपको समस्या को गुणात्मक रूप से हल करने और संख्यात्मक गुणांक के लिए सटीक उत्तर प्राप्त करने की अनुमति देती है

3. कुछ मामलों में, समस्या को हल करने और कम से कम उत्तर का अनुमान लगाने का एकमात्र तरीका आयामी विधि है।

4. आयामी विधि का उपयोग करके समस्याओं को हल करना अतिरिक्त या है सहायक विधि, जिससे हमें मात्राओं की परस्पर क्रिया और एक दूसरे पर उनके प्रभाव को बेहतर ढंग से समझने में मदद मिलती है।

5. आयामी विधि गणितीय रूप से बहुत सरल है।

इस विधि की आवश्यकता है विशेष ध्यान. छात्रों को सौंपी गई समस्याओं को हल करने में आयाम पद्धति के सचेत और उद्देश्यपूर्ण उपयोग के लिए, इस पद्धति को स्कूल भौतिकी पाठ्यक्रम में पेश करने के उद्देश्य से एक अधिक विशिष्ट और विस्तृत अध्ययन।

ग्रंथ सूची लिंक

पोलुनिना एम.एम., मार्कोवा एन.ए. भौतिकी में आयामों की विधि // अंतर्राष्ट्रीय छात्र वैज्ञानिक बुलेटिन। - 2017. - नंबर 4-5.;
यूआरएल: http://eduherald.ru/ru/article/view?id=17494 (पहुँच तिथि: 01/05/2020)। हम आपके ध्यान में प्रकाशन गृह "अकादमी ऑफ नेचुरल साइंसेज" द्वारा प्रकाशित पत्रिकाएँ लाते हैं।