तीन नंबरों के कैलकुलेटर नोड्स। तीन या अधिक संख्याओं के नोड्स ढूँढना। जीसीडी और एनओसी खोजने के लिए कैलकुलेटर

एक लाभांश जो किसी दिए गए भाजक द्वारा बिना शेष भाग के विभाज्य होता है, उसे भी कहा जाता है विभिन्न. उदाहरण के लिए, 48, 8 का गुणज है, 48 गुणज है, और 8 भाजक है।

एक संख्या एक नहीं, बल्कि एक साथ कई संख्याओं का गुणज हो सकती है, ऐसी संख्या कहलाती है सामान्य बहु. उदाहरण के लिए, संख्या 77 संख्याओं का एक सामान्य गुणक है: 1, 7, 11, 77।

एक और उदाहरण। संख्या 3 12, 15, 24, 27, 30, आदि का गुणज है। संख्या 5, 10, 15, 25, 30, 35, आदि का गुणज है। संख्या 3 और 5 में 15 और 30 के सामान्य गुणज हैं। .

कई संख्याओं का एक सामान्य गुणक खोजना काफी सरल है, आप बस इन संख्याओं को गुणा कर सकते हैं, परिणामस्वरूप, इन संख्याओं का गुणनफल उनका सामान्य गुणक होगा।

अनापत्ति प्रमाण पत्र

दी गई संख्याओं के लिए सभी सामान्य गुणकों में से, सबसे छोटा सामान्य गुणक विशेष रुचि का होता है।

न्यूनतम समापवर्तककई दी गई संख्याओं का (संक्षिप्त LCM) वह छोटी से छोटी संख्या है जो दी गई प्रत्येक संख्या से समान रूप से विभाजित होती है।

उदाहरण के लिए, तीन संख्याओं: 3, 5 और 12 के लिए, सबसे छोटा सामान्य गुणक संख्या 60 है, क्योंकि 60 से कम कोई अन्य संख्या 3, 5 या 12 से समान रूप से विभाज्य नहीं है।

आमतौर पर सबसे छोटा सामान्य गुणक इस तरह लिखा जाता है: LCM ( ए, बी, ...) = एक्स.

इसके अनुसार, हम संख्याओं 3, 5 और 12 का लघुत्तम समापवर्त्य लिखते हैं:

एलसीएम (3, 5, 12) = 60।

एनओसी कैलकुलेटर

यह कैलकुलेटर आपको संख्याओं का सबसे छोटा सामान्य गुणक खोजने में मदद करेगा। बस रिक्त स्थान या अल्पविराम से अलग की गई संख्या दर्ज करें और एलसीएम की गणना करें बटन पर क्लिक करें।

आइए समस्या का समाधान करें। हमारे पास दो तरह की कुकीज हैं। कुछ चॉकलेट हैं और कुछ सादे हैं। चॉकलेट के 48 टुकड़े हैं, और 36 साधारण हैं। इन कुकीज़ से उपहारों की अधिकतम संभव संख्या बनाना आवश्यक है, और उन सभी का उपयोग किया जाना चाहिए।

सबसे पहले, आइए इन दोनों संख्याओं में से प्रत्येक के सभी भाजक को लिख लें, क्योंकि ये दोनों संख्याएँ उपहारों की संख्या से विभाज्य होनी चाहिए।

हम पाते हैं

• 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.
• 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

आइए भाजक में से वे उभयनिष्ठ ज्ञात करें जिनमें पहली और दूसरी दोनों संख्याएँ हों।

सामान्य भाजक होंगे: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

सभी का सबसे बड़ा सामान्य भाजक 12 है। इस संख्या को 36 और 48 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक कहा जाता है।

परिणाम के आधार पर, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि सभी कुकीज़ से 12 उपहार बनाए जा सकते हैं। ऐसे ही एक उपहार में 4 चॉकलेट कुकीज और 3 नियमित कुकीज होंगी।

सबसे बड़ा सामान्य भाजक ढूँढना

• वह सबसे बड़ी प्राकृत संख्या जिससे दो संख्याएँ a और b शेषफल के बिना विभाज्य हों, इन संख्याओं का सबसे बड़ा उभयनिष्ठ भाजक कहलाती है।

कभी-कभी संक्षिप्त नाम GCD का उपयोग प्रविष्टि को संक्षिप्त करने के लिए किया जाता है।

संख्याओं के कुछ युग्मों में एक उनका सबसे बड़ा सामान्य भाजक होता है। ऐसी संख्याओं को कहा जाता है कोप्राइम नंबर।उदाहरण के लिए, संख्या 24 और 35. GCD = 1 है।

सबसे बड़ा सामान्य भाजक कैसे खोजें

सबसे बड़ा सामान्य भाजक खोजने के लिए, इन संख्याओं के सभी भाजक को लिखना आवश्यक नहीं है।

आप अन्यथा कर सकते हैं। सबसे पहले, दोनों संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में गुणनखंड करें।

• 48 = 2*2*2*2*3,
• 36 = 2*2*3*3.

अब, पहली संख्या के विस्तार में शामिल कारकों में से, हम उन सभी को हटा देते हैं जो दूसरी संख्या के विस्तार में शामिल नहीं हैं। हमारे मामले में, ये दो ड्यूस हैं।

• 48 = 2*2*2*2*3 ,
• 36 = 2*2*3 *3.

गुणनखंड 2, 2 और 3 रहते हैं। उनका गुणनफल 12 है। यह संख्या 48 और 36 की संख्या का सबसे बड़ा सामान्य भाजक होगी।

इस नियम को तीन, चार, आदि के मामले में बढ़ाया जा सकता है। संख्याएं।

सबसे बड़ा सामान्य भाजक खोजने की सामान्य योजना

• 1. संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में अपघटित करें।
• 2. इनमें से किसी एक संख्या के प्रसार में शामिल गुणनखंडों में से उन संख्याओं को काट दीजिए जो अन्य संख्याओं के विस्तार में शामिल नहीं हैं।
• 3. शेष कारकों के उत्पाद की गणना करें।

ऑनलाइन कैलकुलेटर आपको दो या किसी अन्य संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक और सबसे छोटा सामान्य गुणक खोजने की अनुमति देता है।

जीसीडी और एनओसी खोजने के लिए कैलकुलेटर

जीसीडी और एनओसी खोजें

GCD और NOC मिला: 12197

कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

• इनपुट क्षेत्र में नंबर दर्ज करें
• गलत वर्ण दर्ज करने की स्थिति में, इनपुट फ़ील्ड को लाल रंग में हाइलाइट किया जाएगा
• बटन दबाएं "जीसीडी और एनओसी खोजें"

नंबर कैसे दर्ज करें

• संख्याओं को रिक्त स्थान, बिंदु या अल्पविराम द्वारा अलग करके दर्ज किया जाता है
• दर्ज संख्याओं की लंबाई सीमित नहीं है, इसलिए लंबी संख्याओं का gcd और lcm ज्ञात करना कठिन नहीं होगा

एनओडी और एनओके क्या है?

महत्तम सामान्य भाजकअनेक संख्याओं का वह सबसे बड़ा प्राकृत पूर्णांक है जिससे सभी मूल संख्याएँ बिना किसी शेषफल के विभाज्य होती हैं। सबसे बड़ा सामान्य भाजक संक्षिप्त रूप में है जीसीडी.
न्यूनतम समापवर्तकअनेक संख्याएँ वह छोटी से छोटी संख्या है जो बिना किसी शेषफल के मूल संख्याओं में से प्रत्येक से विभाज्य होती है। लघुत्तम समापवर्त्य का संक्षिप्त रूप इस प्रकार है अनापत्ति प्रमाण पत्र.

कैसे जांचें कि कोई संख्या शेष के बिना किसी अन्य संख्या से विभाज्य है या नहीं?

यह पता लगाने के लिए कि क्या एक संख्या शेष के बिना दूसरी संख्या से विभाज्य है, आप संख्याओं की विभाज्यता के कुछ गुणों का उपयोग कर सकते हैं। फिर, उन्हें मिलाकर, उनमें से कुछ और उनके संयोजनों द्वारा विभाज्यता की जांच की जा सकती है।

संख्याओं की विभाज्यता के कुछ लक्षण

1. किसी संख्या की 2 . से विभाज्यता का चिह्न
यह निर्धारित करने के लिए कि क्या कोई संख्या दो से विभाज्य है (चाहे वह सम हो), इस संख्या के अंतिम अंक को देखने के लिए पर्याप्त है: यदि यह 0, 2, 4, 6 या 8 के बराबर है, तो संख्या सम है, जिसका अर्थ है कि यह 2 से विभाज्य है।
उदाहरण:निर्धारित करें कि क्या संख्या 34938 2 से विभाज्य है।
समाधान:अंतिम अंक देखें: 8 का अर्थ है कि संख्या दो से विभाज्य है।

2. किसी संख्या की 3 . से विभाज्यता का चिह्न
एक संख्या 3 से विभाज्य होती है जब उसके अंकों का योग 3 से विभाज्य होता है। इस प्रकार, यह निर्धारित करने के लिए कि क्या कोई संख्या 3 से विभाज्य है, आपको अंकों के योग की गणना करने और यह जांचने की आवश्यकता है कि क्या यह 3 से विभाज्य है। भले ही अंकों का योग बहुत बड़ा निकला हो, आप उसी प्रक्रिया को दोहरा सकते हैं। फिर व।
उदाहरण:निर्धारित करें कि क्या संख्या 34938 3 से विभाज्य है।
समाधान:हम अंकों का योग गिनते हैं: 3+4+9+3+8 = 27. 27, 3 से विभाज्य है, जिसका अर्थ है कि संख्या तीन से विभाज्य है।

3. किसी संख्या की 5 . से विभाज्यता का चिह्न
एक संख्या 5 से विभाज्य होती है जब उसका अंतिम अंक शून्य या पांच होता है।
उदाहरण:निर्धारित करें कि क्या संख्या 34938 5 से विभाज्य है।
समाधान:अंतिम अंक देखें: 8 का अर्थ है कि संख्या पांच से विभाज्य नहीं है।

4. किसी संख्या की 9 . से विभाज्यता का चिह्न
यह चिन्ह तीन से विभाज्यता के चिन्ह के समान है: एक संख्या 9 से विभाज्य होती है जब उसके अंकों का योग 9 से विभाज्य होता है।
उदाहरण:निर्धारित करें कि क्या संख्या 34938 9 से विभाज्य है।
समाधान:हम अंकों के योग की गणना करते हैं: 3+4+9+3+8 = 27. 27, 9 से विभाज्य है, जिसका अर्थ है कि संख्या नौ से विभाज्य है।

दो संख्याओं का GCD और LCM कैसे ज्ञात करें

दो संख्याओं का GCD कैसे ज्ञात करें

दो संख्याओं के सबसे बड़े सामान्य भाजक की गणना करने का सबसे सरल तरीका उन संख्याओं के सभी संभावित भाजक को खोजना और उनमें से सबसे बड़ा चुनना है।

GCD(28, 36) खोजने के उदाहरण का उपयोग करके इस विधि पर विचार करें:

1. हम दोनों संख्याओं का गुणनखंड करते हैं: 28 = 1 2 2 7 , 36 = 1 2 2 3 3
2. हम उभयनिष्ठ गुणनखंड पाते हैं, अर्थात् वे जिनमें दोनों संख्याएँ हैं: 1, 2 और 2।
3. हम इन कारकों के उत्पाद की गणना करते हैं: 1 2 2 \u003d 4 - यह संख्या 28 और 36 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक है।

दो संख्याओं का एलसीएम कैसे ज्ञात करें

दो संख्याओं का सबसे छोटा गुणज ज्ञात करने के दो सबसे सामान्य तरीके हैं। पहला तरीका यह है कि आप दो संख्याओं के पहले गुणज लिख सकते हैं, और फिर उनमें से एक ऐसी संख्या चुन सकते हैं जो दोनों संख्याओं के लिए समान हो और साथ ही सबसे छोटी हो। और दूसरा इन नंबरों की GCD ज्ञात करना है। आइए बस इस पर विचार करें।

एलसीएम की गणना करने के लिए, आपको मूल संख्याओं के गुणनफल की गणना करनी होगी और फिर इसे पहले मिली जीसीडी से विभाजित करना होगा। आइए समान संख्या 28 और 36 के लिए LCM ज्ञात करें:

1. संख्या 28 और 36 का गुणनफल ज्ञात कीजिए: 28 36 = 1008
2. gcd(28, 36) पहले से ही 4 . के रूप में जाना जाता है
3. एलसीएम(28, 36) = 1008/4 = 252।

एकाधिक संख्याओं के लिए जीसीडी और एलसीएम ढूँढना

सबसे बड़ा सामान्य भाजक कई संख्याओं के लिए पाया जा सकता है, न कि केवल दो के लिए। इसके लिए, सबसे बड़े सामान्य भाजक के लिए खोजी जाने वाली संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित किया जाता है, फिर इन संख्याओं के सामान्य अभाज्य गुणनखंडों का गुणनफल मिलता है। साथ ही, कई संख्याओं की GCD ज्ञात करने के लिए, आप निम्न संबंध का उपयोग कर सकते हैं: जीसीडी (ए, बी, सी) = जीसीडी (जीसीडी (ए, बी), सी).

इसी तरह का संबंध संख्याओं के कम से कम सामान्य गुणकों पर भी लागू होता है: एलसीएम (ए, बी, सी) = एलसीएम (एलसीएम (ए, बी), सी)

उदाहरण:संख्या 12, 32 और 36 के लिए GCD और LCM ज्ञात कीजिए।

1. सबसे पहले, आइए संख्याओं का गुणनखंड करें: 12 = 1 2 2 3 , 32 = 1 2 2 2 2 2 , 36 = 1 2 2 3 3।
2. आइए सामान्य गुणनखंड खोजें: 1, 2 और 2।
3. उनका उत्पाद जीसीडी देगा: 1 2 2 = 4
4. अब आइए एलसीएम खोजें: इसके लिए हम सबसे पहले एलसीएम(12, 32): 12 32/4 = 96 पाते हैं।
5. तीनों संख्याओं का एलसीएम खोजने के लिए, आपको जीसीडी (96, 36): 96 = 1 2 2 2 2 2 3, 36 = 1 2 2 3 3, जीसीडी = 1 2 2 3 = 12 खोजने की जरूरत है।
6. एलसीएम(12, 32, 36) = 96 36/12 = 288।

सबसे बड़ा सामान्य भाजक और सबसे छोटा सामान्य गुणक प्रमुख अंकगणितीय अवधारणाएं हैं जो आपको साधारण अंशों के साथ आसानी से संचालित करने की अनुमति देती हैं। एलसीएम और अक्सर कई भिन्नों के सामान्य भाजक को खोजने के लिए उपयोग किया जाता है।

मूल अवधारणा

एक पूर्णांक X का भाजक एक अन्य पूर्णांक Y है जिससे X बिना किसी शेषफल के विभाज्य है। उदाहरण के लिए, 4 का भाजक 2 है, और 36 4, 6, 9 है। पूर्णांक X का एक गुणज एक संख्या Y है जो बिना शेष के X से विभाज्य है। उदाहरण के लिए, 3 15 का गुणज है, और 6 12 का गुणज है।

संख्याओं के किसी भी युग्म के लिए, हम उनके उभयनिष्ठ भाजक और गुणज ज्ञात कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, 6 और 9 के लिए, सामान्य गुणक 18 है, और सामान्य भाजक 3 है। जाहिर है, जोड़े में कई भाजक और गुणक हो सकते हैं, इसलिए GCD का सबसे बड़ा भाजक और LCM का सबसे छोटा गुणक गणना में उपयोग किया जाता है। .

सबसे छोटे भाजक का कोई मतलब नहीं है, क्योंकि किसी भी संख्या के लिए यह हमेशा एक होता है। सबसे बड़ा गुणक भी अर्थहीन है, क्योंकि गुणकों का क्रम अनंत की ओर जाता है।

जीसीडी ढूँढना

सबसे बड़ा सामान्य भाजक खोजने की कई विधियाँ हैं, जिनमें से सबसे प्रसिद्ध हैं:

• भाजक की क्रमिक गणना, एक जोड़े के लिए सामान्य का चयन और उनमें से सबसे बड़े की खोज;
• अविभाज्य कारकों में संख्याओं का अपघटन;
• यूक्लिड का एल्गोरिथ्म;
• बाइनरी एल्गोरिथम।

आज, शैक्षिक संस्थानों में, प्रमुख कारकों और यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म में अपघटन के सबसे लोकप्रिय तरीके हैं। उत्तरार्द्ध, बदले में, डायोफैंटाइन समीकरणों को हल करने में उपयोग किया जाता है: जीसीडी की खोज को पूर्णांक में हल करने की संभावना के लिए समीकरण की जांच करने की आवश्यकता होती है।

एनओसी का पता लगाना

कम से कम सामान्य गुणक भी पुनरावृत्त गणना या अविभाज्य कारकों में गुणन द्वारा निर्धारित किया जाता है। इसके अलावा, यदि सबसे बड़ा भाजक पहले ही निर्धारित किया जा चुका है, तो एलसीएम को खोजना आसान है। संख्या X और Y के लिए, LCM और GCD निम्नलिखित संबंध से संबंधित हैं:

एलसीएम (एक्स, वाई) = एक्स × वाई / जीसीएम (एक्स, वाई)।

उदाहरण के लिए, यदि gcd(15,18) = 3, तो LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90। LCM का सबसे स्पष्ट उपयोग सामान्य भाजक को खोजने के लिए है, जो कि सबसे कम सामान्य गुणक है। अंश दिए।

कोप्राइम नंबर

यदि संख्याओं के एक युग्म का कोई उभयनिष्ठ भाजक नहीं है, तो ऐसे जोड़े को सहअभाज्य कहते हैं। ऐसे युग्मों के लिए GCM हमेशा एक के बराबर होता है, और भाजक और गुणकों के कनेक्शन के आधार पर, coprime के लिए GCM उनके उत्पाद के बराबर होता है। उदाहरण के लिए, संख्याएँ 25 और 28 सहअभाज्य हैं, क्योंकि उनके पास कोई उभयनिष्ठ भाजक नहीं है, और LCM(25, 28) = 700, जो उनके उत्पाद से मेल खाती है। कोई भी दो अविभाज्य संख्याएँ सदैव सहअभाज्य होंगी।

सामान्य भाजक और एकाधिक कैलकुलेटर

हमारे कैलकुलेटर से आप किसी भी संख्या में से चुनने के लिए जीसीडी और एलसीएम की गणना कर सकते हैं। सामान्य भाजक और गुणकों की गणना के लिए कार्य ग्रेड 5, 6 के अंकगणित में पाए जाते हैं, हालाँकि, GCD और LCM - प्रमुख धारणाएँगणित और संख्या सिद्धांत, ग्रहमिति और संचार बीजगणित में उपयोग किया जाता है।

वास्तविक जीवन के उदाहरण

भिन्नों का सामान्य भाजक

कई भिन्नों के सामान्य भाजक को खोजने के लिए सबसे कम सामान्य गुणक का उपयोग किया जाता है। मान लीजिए कि एक अंकगणितीय समस्या में 5 भिन्नों का योग करना आवश्यक है:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

भिन्नों को जोड़ने के लिए, व्यंजक को एक सामान्य हर में घटाया जाना चाहिए, जो LCM को खोजने की समस्या को कम करता है। ऐसा करने के लिए, कैलकुलेटर में 5 संख्याओं का चयन करें और उपयुक्त कक्षों में हर मान दर्ज करें। कार्यक्रम एलसीएम (8, 9, 12, 15, 18) = 360 की गणना करेगा। अब आपको प्रत्येक अंश के लिए अतिरिक्त कारकों की गणना करने की आवश्यकता है, जिन्हें एलसीएम के हर के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है। तो अतिरिक्त गुणक इस तरह दिखेगा:

• 360/8 = 45
• 360/9 = 40
• 360/12 = 30
• 360/15 = 24
• 360/18 = 20.

उसके बाद, हम सभी भिन्नों को संगत अतिरिक्त गुणनखंड से गुणा करते हैं और प्राप्त करते हैं:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

हम ऐसे भिन्नों को आसानी से जोड़ सकते हैं और परिणाम 159/360 के रूप में प्राप्त कर सकते हैं। हम भिन्न को 3 से कम करते हैं और अंतिम उत्तर देखते हैं - 53/120।

रैखिक डायोफैंटाइन समीकरणों का समाधान

रैखिक डायोफैंटाइन समीकरण ax + by = d के रूप के व्यंजक हैं। यदि अनुपात d / gcd(a, b) एक पूर्णांक है, तो समीकरण पूर्णांक में हल करने योग्य है। आइए एक पूर्णांक समाधान की संभावना के लिए कुछ समीकरणों की जाँच करें। सबसे पहले, समीकरण 150x + 8y = 37 की जाँच करें। कैलकुलेटर का उपयोग करके, हम gcd (150.8) = 2 पाते हैं। 37/2 = 18.5 को विभाजित करें। संख्या एक पूर्णांक नहीं है, इसलिए समीकरण में पूर्णांक मूल नहीं होते हैं।

आइए समीकरण 1320x + 1760y = 10120 की जाँच करें। gcd(1320, 1760) = 440 खोजने के लिए एक कैलकुलेटर का उपयोग करें। 10120/440 = 23 को विभाजित करें। परिणामस्वरूप, हमें एक पूर्णांक मिलता है, इसलिए, डायोफैंटाइन समीकरण पूर्णांक गुणांक में हल करने योग्य है। .

निष्कर्ष

जीसीडी और एलसीएम संख्या सिद्धांत में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं, और अवधारणाएं स्वयं गणित के विभिन्न क्षेत्रों में व्यापक रूप से उपयोग की जाती हैं। किसी भी संख्या के सबसे बड़े भाजक और सबसे छोटे गुणज की गणना करने के लिए हमारे कैलकुलेटर का उपयोग करें।

सामान्य भाजकअनेक संख्याओं का वह संख्या है जिससे दी गई प्रत्येक संख्या विभाज्य होती है। उदाहरण के लिए, दो संख्याएँ दी गई हैं: 6 और 9। संख्या 6 में 1, 2, 3, 6 के भाजक हैं। संख्या 9 में 1, 3, 9 के भाजक हैं। हम देखते हैं कि संख्या 6 और 9 में समान भाजक 1 और 3 हैं।

महत्तम सामान्य भाजक(संक्षिप्त जीसीडी) कई संख्याओं के, वे सबसे बड़े सामान्य भाजक कहते हैं जिसके द्वारा इनमें से प्रत्येक संख्या शेष के बिना विभाज्य है।

इस प्रकार, 6 और 9 के सभी सामान्य भाजक में से सबसे बड़ा सामान्य भाजक 3 है।

आमतौर पर सबसे बड़ा सामान्य भाजक इस तरह लिखा जाता है: gcd ( ए, बी, ...) = एक्स.

इसके अनुसार, हम संख्या 6 और 9 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक लिखते हैं:

जीसीडी (6, 9) = 3.

वे संख्याएँ जिनका gcd एक के बराबर होता है, कहलाती हैं सह अभाज्य संख्या. उदाहरण के लिए, संख्याएँ 14 और 15 अपेक्षाकृत अभाज्य हैं: gcd(14, 15) = 1।

जीसीडी कैलकुलेटर

यह कैलकुलेटर आपको संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक खोजने में मदद करेगा। बस रिक्त स्थान या अल्पविराम द्वारा अलग किए गए नंबर दर्ज करें और GCD की गणना करें बटन पर क्लिक करें।