कोटैंजेंट x का व्युत्पन्न. त्रिकोणमितीय कार्यों के व्युत्पन्न: स्पर्शरेखा, साइन, कोसाइन और अन्य। त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए व्युत्पन्न सूत्र

चर x के संबंध में x के कोटैंजेंट से व्युत्पन्न, x के ज्या वर्ग से विभाजित शून्य से एक के बराबर है:
(सीटीजी x)′ =.

कोटैंजेंट व्युत्पन्न सूत्र की व्युत्पत्ति

कोटैंजेंट के व्युत्पन्न का सूत्र प्राप्त करने के लिए, हम निम्नलिखित गणितीय तथ्यों का उपयोग करेंगे:
1) कोटैंजेंट को कोज्या और ज्या के रूप में व्यक्त करना:
(1) ;
2) कोज्या व्युत्पन्न का मान:
(2) ;
3) साइन व्युत्पन्न का मूल्य:
(3) ;
4) भागफल व्युत्पन्न सूत्र:
(4) ;
5) त्रिकोणमितीय सूत्र:
(5) .

हम इन सूत्रों और नियमों को कोटैंजेंट के व्युत्पन्न पर लागू करते हैं।

.

इस प्रकार, हमें कोटैंजेंट के अवकलज का सूत्र प्राप्त हुआ।

व्युत्पन्न अंश सूत्र (4) चर x के उन मानों के लिए मान्य है जिनके लिए कार्यों के व्युत्पन्न हैं और जिनके लिए अंश का हर गायब नहीं होता है:
.
हमारे मामले में
, . चूँकि कोसाइन और साइन के व्युत्पन्न को चर x के सभी मानों के लिए परिभाषित किया गया है, कोटैंजेंट के व्युत्पन्न का सूत्र सभी x के लिए मान्य है, उन बिंदुओं को छोड़कर जिन पर साइन शून्य के बराबर है। यानी बिंदुओं को छोड़कर
,
पूर्णांक कहाँ है.
फ़ंक्शन स्वयं y = सीटीजी एक्सबिंदुओं को छोड़कर सभी x के लिए परिभाषित
.
इसीलिए कोटैंजेंट के व्युत्पन्न को कोटैंजेंट फ़ंक्शन की परिभाषा के संपूर्ण डोमेन पर परिभाषित किया गया है.

उच्च क्रम डेरिवेटिव

कोटैंजेंट y = के nवें क्रम अवकलज के लिए एक सरल सूत्र सीटीजी एक्स, नहीं। लेकिन उच्च क्रम डेरिवेटिव की गणना को सरल बनाया जा सकता है। प्रक्रिया को ही कम किया जा सकता है एक बहुपद का विभेदन.

ऐसा करने के लिए, हम कोटैंजेंट के व्युत्पन्न को कोटैंजेंट के माध्यम से ही व्यक्त करते हैं:
.
तो हमने पाया:
(6) .

आइए समीकरण (6) के बाएँ और दाएँ पक्षों के अवकलज खोजें और एक जटिल फलन को विभेदित करने के लिए नियम लागू करें। हम पाते हैं दूसरे क्रम का व्युत्पन्न:
.
आइए स्थानापन्न करें (6):
(7) .

आइए तीसरे क्रम का व्युत्पन्न खोजें. ऐसा करने के लिए, हम समीकरण (7) को अलग करते हैं, एक जटिल फ़ंक्शन को अलग करने के लिए नियम लागू करते हैं और पहले व्युत्पन्न के लिए अभिव्यक्ति (6) का उपयोग करते हैं:
.

इसी तरह हम पाते हैं चौथे और पांचवें क्रम के व्युत्पन्न:

;

.

सामान्य रूप में, nवाँ क्रम व्युत्पन्न, कोटैंजेंट फ़ंक्शन के चर x में, कोटैंजेंट की शक्तियों में एक बहुपद के रूप में दर्शाया जा सकता है:
.
इस बहुपद के गुणांक पुनरावृत्ति संबंध से संबंधित हैं:
,
कहाँ
; ;
.

सामान्य सूत्र

आइए एक सूत्र के साथ विभेदन प्रक्रिया की कल्पना करें। ऐसा करने के लिए, उस पर ध्यान दें
.
तब कोटैंजेंट के nवें व्युत्पन्न का निम्नलिखित रूप होता है:
,
कहाँ ।

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यह देखकर कि मेरे सहकर्मी को फर्जी डिप्लोमा के कारण कितनी शर्मिंदगी से बाहर निकाल दिया गया, उसके उदाहरण का अनुसरण करना डरावना था। यदि वह गॉडमदर न होती जिसने आपसे आदेश दिया होता, तो मैं जोखिम नहीं उठाता। उन्होंने आश्वस्त किया कि यहां सब कुछ सुचारू है और जहां भी जरूरत होगी मेरा नाम होगा। मेरे पास सब कुछ करने के लिए 4 दिन थे। आपकी गति के लिए धन्यवाद - हमने इसे 3 में पूरा कर लिया, और जाली दस्तावेजों के तरीकों का सावधानीपूर्वक अध्ययन करने में भी कामयाब रहे, लेकिन आपका फॉर्म नकली के रूप में योग्य नहीं है, जिसका अर्थ है कि यह मूल के रूप में पारित हो जाएगा।

एंड्री:

मैंने कभी नहीं सोचा था कि मुझे डिप्लोमा खरीदना पड़ेगा। स्कूल के बाद, मेरी बेटी काम करने के लिए पोलैंड चली गई; जब वह 5 साल बाद वापस लौटी, तो वह एक स्थानीय फैशन हाउस में कपड़े डिजाइनर के रूप में नौकरी करना चाहती थी। बिना डिप्लोमा के कोई भी उसे नौकरी पर नहीं रखना चाहता था। वह समझ गया कि अगर उसे यह नौकरी नहीं मिली तो वह फिर छोड़ देगा। मैंने शाम इंटरनेट पर सर्फिंग में बिताई, और सुबह मैं अपनी बेटी के दस्तावेज़ों के साथ पहले से ही कार्यालय में था। एक सप्ताह बाद, वह उसका डिप्लोमा अपने साथ ले गया, और अंततः वह अपने शहर में वांछित पद पर काम करने के लिए रुक गई। आपको अंदाज़ा नहीं है कि मैं आपका कितना आभारी हूँ!

ज्यामिति और गणित के पाठ्यक्रम से, स्कूली बच्चे इस तथ्य के आदी हो गए हैं कि व्युत्पन्न की अवधारणा उन्हें एक आकृति के क्षेत्र, अंतर, कार्यों की सीमाओं के साथ-साथ सीमाओं के माध्यम से बताई जाती है। आइए व्युत्पन्न की अवधारणा को एक अलग कोण से देखने का प्रयास करें, और निर्धारित करें कि व्युत्पन्न और त्रिकोणमितीय कार्यों को कैसे जोड़ा जा सकता है।

तो, आइए कुछ मनमाने वक्र पर विचार करें जो अमूर्त फ़ंक्शन y = f(x) द्वारा वर्णित है।

आइए कल्पना करें कि अनुसूची एक पर्यटक मार्ग का मानचित्र है। चित्र में वृद्धि ∆x (डेल्टा x) पथ की एक निश्चित दूरी है, और ∆y समुद्र तल से पथ की ऊंचाई में परिवर्तन है।
फिर यह पता चलता है कि अनुपात ∆x/∆y मार्ग के प्रत्येक खंड पर मार्ग की जटिलता को चित्रित करेगा। इस मूल्य को जानने के बाद, आप आत्मविश्वास से कह सकते हैं कि क्या चढ़ाई/उतरन तीव्र है, क्या चढ़ाई के उपकरण की आवश्यकता होगी, और क्या पर्यटकों को कुछ शारीरिक प्रशिक्षण की आवश्यकता है। लेकिन यह सूचक केवल एक छोटे अंतराल ∆x के लिए मान्य होगा।

यदि यात्रा का आयोजक पथ के आरंभ और समाप्ति बिंदुओं के लिए मान लेता है, अर्थात, ∆x मार्ग की लंबाई के बराबर है, तो वह कठिनाई की डिग्री पर वस्तुनिष्ठ डेटा प्राप्त नहीं कर पाएगा यात्रा का. इसलिए, एक और ग्राफ़ बनाना आवश्यक है जो पथ में परिवर्तनों की गति और "गुणवत्ता" को चित्रित करेगा, दूसरे शब्दों में, मार्ग के प्रत्येक "मीटर" के लिए अनुपात ∆x/∆y निर्धारित करेगा।

यह ग्राफ़ एक विशिष्ट पथ के लिए एक दृश्य व्युत्पन्न होगा और रुचि के प्रत्येक अंतराल पर इसके परिवर्तनों का निष्पक्ष रूप से वर्णन करेगा। इसे सत्यापित करना बहुत आसान है; ∆x/∆y का मान x और y के विशिष्ट मान के लिए लिए गए अंतर से अधिक कुछ नहीं है। आइए हम विभेदन को विशिष्ट निर्देशांकों पर नहीं, बल्कि समग्र रूप से फ़ंक्शन पर लागू करें:

व्युत्पन्न और त्रिकोणमितीय कार्य

त्रिकोणमितीय फलन व्युत्पन्नों के साथ अटूट रूप से जुड़े हुए हैं। इसे निम्नलिखित चित्र से समझा जा सकता है। निर्देशांक अक्ष का चित्र फ़ंक्शन Y = f (x) - नीला वक्र दिखाता है।

K (x0; f (x0)) एक मनमाना बिंदु है, x0 + ∆x OX अक्ष के साथ वृद्धि है, और f (x0 + ∆x) एक निश्चित बिंदु L पर OY अक्ष के साथ वृद्धि है।

आइए बिंदु K और L से होकर एक रेखा खींचें और एक समकोण त्रिभुज KLN बनाएं। यदि आप मानसिक रूप से खंड LN को ग्राफ Y = f (x) के साथ ले जाते हैं, तो बिंदु L और N मान K (x0; f (x0)) की ओर प्रवृत्त होंगे। आइए इस बिंदु को ग्राफ़ की सशर्त शुरुआत कहें - सीमा; यदि फ़ंक्शन अनंत है, कम से कम एक अंतराल पर, यह प्रवृत्ति भी अनंत होगी, और इसका सीमित मान 0 के करीब है।

इस प्रवृत्ति की प्रकृति को चयनित बिंदु y = kx + b के स्पर्शरेखा द्वारा या मूल फ़ंक्शन डाई - हरी सीधी रेखा के व्युत्पन्न के ग्राफ़ द्वारा वर्णित किया जा सकता है।

लेकिन यहाँ त्रिकोणमिति कहाँ है?! सब कुछ बहुत सरल है, समकोण त्रिभुज KLN पर विचार करें। किसी विशिष्ट बिंदु K के लिए अंतर मान कोण α या ∠K की स्पर्शरेखा है:

इस प्रकार, हम व्युत्पन्न के ज्यामितीय अर्थ और त्रिकोणमितीय कार्यों के साथ उसके संबंध का वर्णन कर सकते हैं।

त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए व्युत्पन्न सूत्र

व्युत्पन्न का निर्धारण करते समय साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के परिवर्तनों को याद रखना चाहिए।

अंतिम दो सूत्र कोई त्रुटि नहीं हैं, मुद्दा यह है कि एक साधारण तर्क के व्युत्पन्न और एक ही क्षमता में एक फ़ंक्शन को परिभाषित करने के बीच अंतर है।

आइए साइनस, कोसाइन, स्पर्शज्या और कोटैंजेंट के व्युत्पन्नों के सूत्रों के साथ एक तुलनात्मक तालिका देखें:

आर्क्साइन, आर्ककोसाइन, आर्कटैंजेंट और आर्ककोटेंजेंट के व्युत्पन्नों के लिए भी सूत्र निकाले गए हैं, हालांकि इनका उपयोग बहुत ही कम किया जाता है:

यह ध्यान देने योग्य है कि उपरोक्त सूत्र विशिष्ट यूएसई कार्यों को सफलतापूर्वक हल करने के लिए स्पष्ट रूप से पर्याप्त नहीं हैं, जो त्रिकोणमितीय अभिव्यक्ति के व्युत्पन्न को खोजने के एक विशिष्ट उदाहरण को हल करते समय प्रदर्शित किया जाएगा।

व्यायाम: फ़ंक्शन का व्युत्पन्न ज्ञात करना और π/4 के लिए इसका मान ज्ञात करना आवश्यक है:

समाधान: 'y' को खोजने के लिए मूल फ़ंक्शन को व्युत्पन्न में परिवर्तित करने के लिए मूल सूत्रों को याद करना आवश्यक है।