सीमा बिंदु प्रमेय. बोल्ज़ानो-वीयरस्ट्रैस प्रमेय। मनमाने आयाम के स्थान के मामले में विस्तार

परिभाषा v.7. संख्या रेखा पर एक बिंदु x € R को अनुक्रम (xn) का एक सीमा बिंदु कहा जाता है यदि किसी पड़ोस U (x) और किसी प्राकृतिक संख्या N के लिए इस पड़ोस से अधिक संख्या वाले तत्व xn को ढूंढना संभव है एलजी, यानी x 6 आर - सीमा बिंदु यदि। दूसरे शब्दों में, एक बिंदु x (xn) के लिए एक सीमा बिंदु होगा यदि इसके किसी भी पड़ोस में मनमाने ढंग से बड़ी संख्या वाले इस अनुक्रम के तत्व शामिल हैं, हालांकि शायद संख्या n > N वाले सभी तत्व नहीं हैं। इसलिए, निम्नलिखित कथन काफी स्पष्ट है . वक्तव्य बी.बी. यदि lim(xn) = 6 6 R, तो b अनुक्रम (xn) का एकमात्र सीमा बिंदु है। दरअसल, किसी अनुक्रम की सीमा की परिभाषा 6.3 के आधार पर, उसके सभी तत्व, एक निश्चित संख्या से शुरू होकर, बिंदु 6 के किसी भी मनमाने ढंग से छोटे पड़ोस में आते हैं, और इसलिए मनमाने ढंग से बड़ी संख्या वाले तत्व किसी अन्य बिंदु के पड़ोस में नहीं आ सकते हैं . नतीजतन, परिभाषा 6.7 की शर्त केवल एक बिंदु 6 के लिए संतुष्ट होती है। हालांकि, अनुक्रम का प्रत्येक सीमा बिंदु (कभी-कभी पतला संघनित बिंदु भी कहा जाता है) इसकी सीमा नहीं है। इस प्रकार, अनुक्रम (b.b) की कोई सीमा नहीं है (उदाहरण 6.5 देखें), लेकिन इसके दो सीमा बिंदु x = 1 और x = - 1 हैं। अनुक्रम ((-1)pp) में दो अनंत बिंदु +oo और सीमा बिंदु हैं - विस्तारित संख्या रेखा के साथ, जिसके मिलन को एक प्रतीक oo द्वारा दर्शाया जाता है। इसीलिए हम मान सकते हैं कि अनंत सीमा बिंदु मेल खाते हैं, और अनंत बिंदु oo, (6.29) के अनुसार, इस अनुक्रम की सीमा है। अनुक्रम संख्या रेखा के सीमा बिंदु वीयरस्ट्रैस परीक्षण और कॉची मानदंड का प्रमाण। मान लीजिए कि अनुक्रम (jn) दिया गया है और संख्याओं k को धनात्मक पूर्णांकों का बढ़ता हुआ क्रम बनाने दें। तब अनुक्रम (Vnb जहां yn = xkn> को मूल अनुक्रम का अनुवर्ती कहा जाता है। जाहिर है, यदि (i„) की सीमा के रूप में संख्या 6 है, तो इसके किसी भी अनुवर्ती की सीमा समान है, क्योंकि एक निश्चित संख्या से शुरू करना मूल अनुक्रम और उसके बाद के किसी भी तत्व के सभी तत्व बिंदु 6 के किसी भी चुने हुए पड़ोस में आते हैं। साथ ही, अनुवर्ती का कोई भी सीमा बिंदु भी प्रमेय 9 के लिए एक सीमा बिंदु है। किसी भी अनुक्रम से सीमा बिंदु, कोई ऐसा अनुवर्ती चुन सकता है जिसकी सीमा के रूप में यह सीमा बिंदु हो। परिभाषा 6 के अनुसार, मान लीजिए कि b अनुक्रम का सीमा बिंदु है (xn)। 7 सीमा बिंदु, प्रत्येक n के लिए त्रिज्या 1/n के बिंदु b के पड़ोस U (6, 1/n) से संबंधित एक तत्व है। अंक ijtj, ...1 ... से बना अनुवर्ती, जहां zjfcn€U(6, 1/n) Vn 6 N, बिंदु 6 पर एक सीमा है। वास्तव में, एक मनमाने ढंग से e > 0 के लिए, कोई N चुन सकता है ऐसा है कि। फिर बाद के सभी तत्व, संख्या किमी से शुरू होकर, बिंदु 6 के ^-पड़ोस यू(6, ई) में आ जाएंगे, जो अनुक्रम की सीमा की परिभाषा की स्थिति 6.3 से मेल खाती है। व्युत्क्रम प्रमेय भी सत्य है। अनुक्रम संख्या रेखा के सीमा बिंदु वीयरस्ट्रैस परीक्षण और कॉची मानदंड का प्रमाण। प्रमेय 8.10. यदि किसी अनुक्रम में सीमा 6 वाला अनुवर्ती है, तो b इस अनुक्रम का सीमा बिंदु है। अनुक्रम की सीमा की परिभाषा 6.3 से यह पता चलता है कि, एक निश्चित संख्या से शुरू होकर, सीमा बी के साथ बाद के सभी तत्व मनमानी त्रिज्या ई के पड़ोस यू (बी, ई) में आते हैं अनुक्रम (xn) के तत्व एक साथ हैं> तत्व xn इस पड़ोस में मनमाने ढंग से बड़ी संख्या में आते हैं, और परिभाषा 6.7 के आधार पर इसका मतलब है कि b अनुक्रम (n) का सीमा बिंदु है। टिप्पणी 0.2. प्रमेय 6.9 और 6.10 उस स्थिति में भी मान्य हैं जब सीमा बिंदु अनंत है, यदि, यू(6, 1 /एन) के मेर्टो पड़ोस को साबित करते समय, हम पड़ोस (या पड़ोस) पर विचार करते हैं जिसके तहत एक अभिसरण परिणाम होता है एक अनुक्रम से अलग किया जा सकता है जो निम्नलिखित प्रमेय 6.11 द्वारा स्थापित किया गया है (बोल्ज़ानो - वीयरस्ट्रैस) प्रत्येक परिबद्ध अनुक्रम में एक परिमित सीमा तक अभिसरण होता है। मान लीजिए कि अनुक्रम के सभी तत्व संख्या ए और 6 के बीच हैं , अर्थात xn € [a, b] Vn € N. खंड [a , b] को आधे में विभाजित करें, फिर इसके कम से कम एक हिस्से में अनुक्रम के तत्वों की अनंत संख्या होगी, अन्यथा संपूर्ण खंड [a, बी] में उनकी एक सीमित संख्या होगी, जो असंभव है। मान लीजिए ] खंड के आधे हिस्से में से एक है [ए, 6], जिसमें अनुक्रम (जेडएन) के तत्वों का एक अनंत सेट शामिल है (या यदि दोनों हिस्से ऐसे हैं)। , फिर उनमें से कोई भी) इसी तरह, अनुक्रम के तत्वों के अनंत सेट वाले खंड से, आदि। इस प्रक्रिया को जारी रखते हुए, हम bn - an = (6- a)/2P के साथ नेस्टेड खंडों की एक प्रणाली का निर्माण करेंगे। नेस्टेड खंडों के सिद्धांत के अनुसार, एक बिंदु x है जो इन सभी खंडों से संबंधित है। यह बिंदु अनुक्रम (xn) के लिए सीमा बिंदु होगा - वास्तव में, किसी भी ई-पड़ोस U(x, e) = (xx + e) ​​​​बिंदु x के लिए एक खंड C U(x, e) है (यह असमानता (, जिसमें अनुक्रम (sn) के अनंत संख्या में तत्व शामिल हैं) में से n को चुनने के लिए पर्याप्त है। परिभाषा 6.7 के अनुसार, x इस अनुक्रम का सीमा बिंदु है। फिर, प्रमेय 6.9 के अनुसार, बिंदु x पर एक अनुवर्ती अभिसरण होता है। इस प्रमेय के प्रमाण में प्रयुक्त तर्क की विधि (इसे कभी-कभी बोलजानो-वीयर-स्ट्रैस लेम्मा भी कहा जाता है) और विचाराधीन खंडों के अनुक्रमिक द्विभाजन से जुड़ी हुई है, जिसे बोलजानो विधि के रूप में जाना जाता है। यह प्रमेय कई जटिल प्रमेयों के प्रमाण को बहुत सरल बनाता है। यह आपको कई प्रमुख प्रमेयों को भिन्न (कभी-कभी सरल) तरीके से सिद्ध करने की अनुमति देता है। परिशिष्ट 6.2. वीयरस्ट्रैस परीक्षण और कॉची मानदंड का प्रमाण सबसे पहले, हम कथन 6.1 (एक बंधे हुए मोनोटोनिक अनुक्रम के अभिसरण के लिए वीयरस्ट्रैस परीक्षण) को सिद्ध करते हैं। आइए मान लें कि अनुक्रम (jn) घटता नहीं है। फिर इसके मानों का सेट ऊपर घिरा हुआ है और, प्रमेय 2.1 के अनुसार, एक सर्वोच्च है जिसे हम सुपर (xn) द्वारा निरूपित करते हैं आर। सर्वोच्च के गुणों के कारण (2.7 देखें) अनुक्रम के सीमा बिंदु संख्या हैं वीयरस्ट्रैस परीक्षण और कॉची मानदंड का प्रमाण। एक गैर-घटते अनुक्रम के लिए परिभाषा 6.1 के अनुसार हमारे पास या फिर > NY है और (6.34) को ध्यान में रखते हुए हम प्राप्त करते हैं जो अनुक्रम की सीमा की परिभाषा 6.3 से मेल खाती है, यानी। 31im(sn) और lim(xn) = 66R. यदि अनुक्रम (xn) बढ़ नहीं रहा है, तो प्रमाण का क्रम समान है। अब आइए अनुक्रम के अभिसरण के लिए कोचिया मानदंड की पर्याप्तता साबित करने के लिए आगे बढ़ें (विवरण 6.3 देखें), क्योंकि मानदंड स्थिति की आवश्यकता प्रमेय 6.7 से आती है। अनुक्रम (जेएन) को मौलिक होने दें। परिभाषा 6.4 के अनुसार, एक मनमाना € > 0 दिए जाने पर, कोई एक संख्या N(s) पा सकता है जैसे कि m^N और n^N का अर्थ हो। फिर, वीएन > एन के लिए एम - एन लेने पर हमें € £ मिलता है क्योंकि विचाराधीन अनुक्रम में तत्वों की एक सीमित संख्या होती है जिनकी संख्या एन से अधिक नहीं होती है, यह (6.35) से पता चलता है कि मौलिक अनुक्रम घिरा हुआ है (तुलना के लिए, देखें) अभिसरण अनुक्रम की सीमा पर प्रमेय 6.2 का प्रमाण)। एक बंधे हुए अनुक्रम के मूल्यों के एक सेट के लिए, अनंत और सर्वोच्च सीमाएँ हैं (प्रमेय 2.1 देखें)। n > N के लिए तत्व मानों के सेट के लिए, हम इन चेहरों को क्रमशः a = inf xn और bjy = su xn दर्शाते हैं। जैसे-जैसे एन बढ़ता है, सटीक इन्फ़िमम कम नहीं होता है, और सटीक सुप्रीमम नहीं बढ़ता है, यानी। . क्या मुझे एयर कंडीशनिंग सिस्टम मिलेगा? खंड नेस्टेड खंडों के सिद्धांत के अनुसार, एक सामान्य बिंदु होता है जो सभी खंडों से संबंधित होता है। आइए इसे b से निरूपित करें। इस प्रकार, तुलना से (6. 36) और (6.37) के परिणामस्वरूप हमें वह प्राप्त होता है जो अनुक्रम की सीमा की परिभाषा 6.3 से मेल खाता है, अर्थात। 31im(x„) और lim(sn) = 6 6 R. बोल्ज़ानो ने मौलिक अनुक्रमों का अध्ययन करना शुरू किया। लेकिन उनके पास वास्तविक संख्याओं का कोई कठोर सिद्धांत नहीं था, और इसलिए वे मौलिक अनुक्रम के अभिसरण को साबित करने में असमर्थ थे। कॉची ने नेस्टेड सेगमेंट के सिद्धांत को ध्यान में रखते हुए ऐसा किया, जिसे कैंटर ने बाद में प्रमाणित किया। किसी अनुक्रम के अभिसरण की कसौटी को न केवल कॉची नाम दिया गया है, बल्कि मौलिक अनुक्रम को अक्सर कॉची अनुक्रम कहा जाता है, और नेस्टेड खंडों के सिद्धांत का नाम कैंटर के नाम पर रखा गया है। प्रश्न और कार्य 8.1. सिद्ध करें कि: 6.2. सेट Q और R\Q से संबंधित तत्वों के साथ गैर-अभिसारी अनुक्रमों के उदाहरण दें। 0.3. किन परिस्थितियों में अंकगणित और ज्यामितीय प्रगति के पद घटते और बढ़ते क्रम बनाते हैं? 6.4. तालिका से आने वाले संबंधों को सिद्ध करें। 6.1. 6.5. अनंत बिंदुओं +oo, -oo, oo की ओर रुझान वाले अनुक्रमों के उदाहरण बनाएं और बिंदु 6 € R. c.v पर अभिसरण करने वाले अनुक्रम का एक उदाहरण बनाएं। क्या एक असीमित अनुक्रम बी.बी. नहीं हो सकता? यदि हाँ तो एक उदाहरण दीजिये। 7 बजे। सकारात्मक तत्वों से युक्त एक अपसारी अनुक्रम का एक उदाहरण बनाएं जिसकी न तो कोई परिमित और न ही अनंत सीमा हो। 6.8. स्थिति "1 = 1. 6.9" के तहत आवर्ती सूत्र एसएन+आई = पाप(एक्सएन/2) द्वारा दिए गए अनुक्रम (जेएन) के अभिसरण को साबित करें। सिद्ध करें कि lim(xn)=09 यदि sn+i/xn-»g€ ।

खंड को विभाजित करें [ ए 0 ,बी 0 ] आधे में दो बराबर खंडों में। परिणामी खंडों में से कम से कम एक में अनुक्रम के अनंत पदों की संख्या शामिल है। आइए इसे निरूपित करें [ ए 1 ,बी 1 ] .

अगले चरण में, हम खंड के साथ प्रक्रिया दोहराएंगे [ ए 1 ,बी 1 ]: इसे दो समान खंडों में विभाजित करें और उनमें से वह चुनें जिस पर अनुक्रम के अनंत पद स्थित हों। आइए इसे निरूपित करें [ ए 2 ,बी 2 ] .

प्रक्रिया को जारी रखते हुए हमें नेस्टेड खंडों का एक क्रम प्राप्त होता है

जिसमें प्रत्येक बाद वाला पिछले वाले का आधा होता है, और इसमें अनुक्रम के अनंत पदों की संख्या होती है ( एक्स क } .

खंडों की लंबाई शून्य हो जाती है:

नेस्टेड खंडों के कॉची-कैंटर सिद्धांत के आधार पर, एक एकल बिंदु ξ है जो सभी खंडों से संबंधित है:

प्रत्येक खंड पर निर्माण द्वारा [ए एम ,बी एम ] अनुक्रम में पदों की संख्या अनंत है। आइये क्रमानुसार चयन करें

बढ़ती संख्या की स्थिति का अवलोकन करते हुए:

फिर परिणाम बिंदु ξ पर परिवर्तित हो जाता है। यह इस तथ्य से पता चलता है कि ξ से दूरी उनसे युक्त खंड की लंबाई से अधिक नहीं है [ए एम ,बी एम ] , कहाँ

मनमाने आयाम के स्थान के मामले में विस्तार

बोल्ज़ानो-वीयरस्ट्रैस प्रमेय को मनमाने आयाम के स्थान के मामले में आसानी से सामान्यीकृत किया जाता है।

मान लीजिए कि अंतरिक्ष में बिंदुओं का एक क्रम दिया गया है:

(निचला सूचकांक अनुक्रम सदस्य संख्या है, ऊपरी सूचकांक समन्वय संख्या है)। यदि अंतरिक्ष में बिंदुओं का क्रम सीमित है, तो निर्देशांक का प्रत्येक संख्यात्मक क्रम:

भी सीमित ( - समन्वय संख्या)।

अनुक्रम से बोल्ज़ानो-वेइरस्ट्रैस प्रमेय के एक-आयामी संस्करण के आधार पर ( एक्स क) हम उन बिंदुओं के अनुक्रम का चयन कर सकते हैं जिनके पहले निर्देशांक एक अभिसरण अनुक्रम बनाते हैं। परिणामी अनुवर्ती से, हम एक बार फिर से एक अनुवर्ती का चयन करते हैं जो दूसरे निर्देशांक के साथ अभिसरण करता है। इस मामले में, पहले समन्वय के साथ अभिसरण इस तथ्य के कारण संरक्षित किया जाएगा कि अभिसरण अनुक्रम का प्रत्येक अनुवर्ती भी अभिसरण करता है। और इसी तरह।

बाद एनहमें चरणों का एक निश्चित क्रम मिलता है

जो कि एक अनुवर्ती है, और प्रत्येक निर्देशांक के साथ अभिसरण करता है। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि यह परिणाम अभिसरण होता है।

कहानी

बोल्ज़ानो-वीयरस्ट्रैस प्रमेय (मामले के लिए एन= 1) पहली बार 1817 में चेक गणितज्ञ बोलजानो द्वारा सिद्ध किया गया था। बोलजानो के काम में, यह एक सतत फ़ंक्शन के मध्यवर्ती मूल्यों पर प्रमेय के प्रमाण में एक लेम्मा के रूप में कार्य करता था, जिसे अब बोलजानो-कॉची प्रमेय के रूप में जाना जाता है। हालाँकि, कॉची और वीयरस्ट्रैस से बहुत पहले बोल्ज़ानो द्वारा सिद्ध किए गए ये और अन्य परिणाम, किसी का ध्यान नहीं गए।

केवल आधी शताब्दी के बाद, बोल्ज़ानो से स्वतंत्र, वीयरस्ट्रैस ने इस प्रमेय को फिर से खोजा और सिद्ध किया। बोल्ज़ानो के काम के ज्ञात और स्वीकृत होने से पहले, इसे मूल रूप से वीयरस्ट्रैस का प्रमेय कहा जाता था।

आज इस प्रमेय पर बोल्ज़ानो और वीयरस्ट्रैस का नाम अंकित है। इस प्रमेय को अक्सर कहा जाता है बोल्ज़ानो-वीयरस्ट्रैस लेम्मा, और कभी - कभी सीमा बिंदु प्रमेयिका.

बोल्ज़ानो-वीयरस्ट्रैस प्रमेय और सघनता की अवधारणा

बोल्ज़ानो-वीयरस्ट्रैस प्रमेय एक बंधे हुए सेट की निम्नलिखित दिलचस्प संपत्ति स्थापित करता है: बिंदुओं का प्रत्येक क्रम एमएक अभिसारी परिणाम शामिल है।

विश्लेषण में विभिन्न प्रस्तावों को साबित करते समय, वे अक्सर निम्नलिखित तकनीक का सहारा लेते हैं: वे बिंदुओं का एक अनुक्रम निर्धारित करते हैं जिसमें कुछ वांछित संपत्ति होती है, और फिर उसमें से एक अनुवर्ती का चयन करते हैं जिसमें यह भी होता है, लेकिन पहले से ही अभिसरण होता है। उदाहरण के लिए, वीयरस्ट्रैस का प्रमेय इस प्रकार सिद्ध होता है कि एक अंतराल पर निरंतर एक फ़ंक्शन परिबद्ध होता है और अपने सबसे बड़े और सबसे छोटे मान लेता है।

सामान्य तौर पर ऐसी तकनीक की प्रभावशीलता, साथ ही वीयरस्ट्रैस के प्रमेय को मनमाने मीट्रिक स्थानों तक विस्तारित करने की इच्छा ने, फ्रांसीसी गणितज्ञ मौरिस फ़्रेचेट को 1906 में इस अवधारणा को पेश करने के लिए प्रेरित किया। सघनता. बोलजानो-वेइरस्ट्रैस प्रमेय द्वारा स्थापित, सीमाबद्ध सेट की संपत्ति, लाक्षणिक रूप से बोलती है, कि सेट के बिंदु काफी "निकट" या "कॉम्पैक्टली" स्थित हैं: इस सेट के साथ अनंत संख्या में कदम उठाने के बाद, हम करेंगे निश्चित रूप से हम अंतरिक्ष में किसी बिंदु के जितना चाहें उतना करीब आ सकते हैं।

फ़्रेचेट निम्नलिखित परिभाषा प्रस्तुत करता है: सेट एमबुलाया कॉम्पैक्ट, या कॉम्पैक्ट, यदि इसके बिंदुओं के प्रत्येक अनुक्रम में इस सेट के किसी बिंदु पर अभिसरण करने वाला एक अनुवर्ती शामिल है। ऐसा माना जा रहा है कि सेट पर एममीट्रिक परिभाषित है, अर्थात यह है

परिभाषा 1.किसी अनंत रेखा के बिंदु x को अनुक्रम (x n) का सीमा बिंदु कहा जाता है यदि इस बिंदु के किसी भी ई-पड़ोस में अनुक्रम (x n) के अनंत रूप से कई तत्व हों।

लेम्मा 1.यदि x अनुक्रम (x k ) का एक सीमा बिंदु है, तो इस अनुक्रम से हम संख्या x में परिवर्तित होकर एक अनुवर्ती (x n k ) चुन सकते हैं।

टिप्पणी।विपरीत कथन भी सत्य है. यदि अनुक्रम (x k) से संख्या x में परिवर्तित होने वाले अनुक्रम का चयन करना संभव है, तो संख्या x अनुक्रम (x k) का सीमा बिंदु है। दरअसल, बिंदु x के किसी भी ई-पड़ोस में बाद के अनुक्रम के और इसलिए स्वयं अनुक्रम (x k) के अनंत रूप से कई तत्व होते हैं।

लेम्मा 1 से यह निष्कर्ष निकलता है कि हम किसी अनुक्रम के सीमा बिंदु की परिभाषा 1 के समतुल्य एक और परिभाषा दे सकते हैं।

परिभाषा 2.किसी अनंत रेखा के बिंदु x को अनुक्रम (x k) का सीमा बिंदु कहा जाता है, यदि इस अनुक्रम से x में परिवर्तित होने वाले अनुवर्ती का चयन करना संभव है।

लेम्मा 2.प्रत्येक अभिसरण अनुक्रम में केवल एक सीमा बिंदु होता है, जो उस अनुक्रम की सीमा से मेल खाता है।

टिप्पणी।यदि अनुक्रम अभिसरण करता है, तो लेम्मा 2 द्वारा इसका केवल एक सीमा बिंदु होता है। हालाँकि, यदि (xn) अभिसरण नहीं है, तो इसके कई सीमा बिंदु हो सकते हैं (और, सामान्य तौर पर, अनंत रूप से कई सीमा बिंदु)। उदाहरण के लिए, आइए दिखाते हैं कि (1+(-1) n ) के दो सीमा बिंदु हैं।

दरअसल, (1+(-1) n )=0,2,0,2,0,2,... के दो सीमा बिंदु 0 और 2 हैं, क्योंकि इस अनुक्रम के अनुवर्ती (0)=0,0,0,... और (2)=2,2,2,... में क्रमशः संख्या 0 और 2 हैं। इस अनुक्रम में कोई अन्य सीमा बिंदु नहीं है। वास्तव में, मान लीजिए x अंक 0 और 2 के अलावा संख्या अक्ष पर कोई बिंदु है। आइए हम e >0 लें इसलिए

छोटा ताकि ई-बिंदु 0, x और 2 के पड़ोस प्रतिच्छेद न करें। बिंदु 0 और 2 के ई-पड़ोस में अनुक्रम के सभी तत्व शामिल हैं और इसलिए बिंदु x के ई-पड़ोस में अनंत रूप से कई तत्व (1+(-1) n) नहीं हो सकते हैं और इसलिए यह इस अनुक्रम का एक सीमा बिंदु नहीं है।

प्रमेय.प्रत्येक बंधे हुए अनुक्रम में कम से कम एक सीमा बिंदु होता है।

टिप्पणी।कोई भी संख्या x से अधिक नहीं, अनुक्रम (x n) का एक सीमित बिंदु है, यानी। - अनुक्रम का सबसे बड़ा सीमा बिंदु (x n)।

माना कि x से बड़ी कोई संख्या है। आइए e>0 को इतना छोटा चुनें

और x 1 О(x), x 1 के दाईं ओर अनुक्रम (x n) के तत्वों की एक सीमित संख्या है या कोई भी नहीं है, यानी। x अनुक्रम (x n ) का सीमा बिंदु नहीं है।

परिभाषा।अनुक्रम का सबसे बड़ा सीमा बिंदु (x n) अनुक्रम की ऊपरी सीमा कहलाता है और इसे प्रतीक द्वारा दर्शाया जाता है। इस टिप्पणी से यह पता चलता है कि प्रत्येक बंधे हुए अनुक्रम की एक ऊपरी सीमा होती है।

इसी तरह, निचली सीमा की अवधारणा पेश की गई है (अनुक्रम के सबसे छोटे सीमा बिंदु के रूप में (x n ))।

तो, हमने निम्नलिखित कथन को सिद्ध कर दिया है। प्रत्येक बंधे हुए अनुक्रम की ऊपरी और निचली सीमाएँ होती हैं।

आइए बिना प्रमाण के निम्नलिखित प्रमेय तैयार करें।

प्रमेय.अनुक्रम (x n) के अभिसरण होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि इसे परिबद्ध किया जाए और इसकी ऊपरी और निचली सीमाएं मेल खाती हों।

इस खंड के परिणाम बोल्ज़ानो-वीयरस्ट्रैस के निम्नलिखित मुख्य प्रमेय की ओर ले जाते हैं।

बोल्ज़ानो-वीयरस्ट्रैस प्रमेय।किसी भी बंधे हुए अनुक्रम से कोई अभिसरण अनुवर्ती का चयन कर सकता है।

सबूत।चूँकि अनुक्रम (x n ) परिबद्ध है, इसमें कम से कम एक सीमा बिंदु x है। फिर इस अनुक्रम से हम बिंदु x (सीमा बिंदु की परिभाषा 2 से अनुसरण करता है) पर अभिसरण करने वाले अनुक्रम का चयन कर सकते हैं।

टिप्पणी।किसी भी बंधे अनुक्रम से एक मोनोटोनिक अभिसरण अनुक्रम को अलग किया जा सकता है।