शिल्प

परिचालन विधि का उपयोग करके विभेदक समीकरणों की प्रणाली को कैसे हल करें? रैखिक अंतर समीकरणों और उनकी प्रणालियों को हल करने के लिए परिचालन विधि लाप्लास विधि द्वारा अंतर समीकरणों की प्रणालियों को हल करना

आइए तीसरे क्रम के समीकरण के उदाहरण का उपयोग करके अंतर समीकरणों को हल करने के लिए परिचालन विधि पर विचार करें।

मान लीजिए कि हमें स्थिर गुणांक वाले तीसरे क्रम के रैखिक अंतर समीकरण का एक विशेष समाधान खोजने की आवश्यकता है

प्रारंभिक शर्तों को पूरा करना:

सी 0, सी 1, सी 2 - दी गई संख्याएँ।

मूल के विभेदीकरण के गुण का उपयोग करते हुए, हम लिखते हैं:

समीकरण (6.4.1) में, आइए मूल से छवियों की ओर बढ़ें

परिणामी समीकरण कहलाता है ऑपरेटरया छवियों में एक समीकरण. इसे Y के सापेक्ष हल करें।

एक चर में बीजगणितीय बहुपद आर।

समानता को अवकल समीकरण (6.4.1) का संचालक समाधान कहा जाता है।

मूल ढूँढना वाई(टी), पाई गई छवि के अनुरूप, हम अंतर समीकरण का एक विशेष समाधान प्राप्त करते हैं।

उदाहरण: ऑपरेशनल कैलकुलस विधि का उपयोग करके, एक अंतर समीकरण का एक विशेष समाधान खोजें जो दी गई प्रारंभिक शर्तों को पूरा करता हो

आइए मूल से छवियों की ओर चलें

आइए छवियों में मूल समीकरण लिखें और इसे हल करें वाई

परिणामी छवि का मूल पता लगाने के लिए, हम भिन्न के हर का गुणनखंड करते हैं और परिणामी भिन्न को साधारण भिन्नों के योग के रूप में लिखते हैं।

आइए गुणांक ज्ञात करें ए, बी,और साथ.

तालिका का उपयोग करके, हम परिणामी छवि का मूल रिकॉर्ड करते हैं

मूल समीकरण का विशेष समाधान.

परिचालन पद्धति को इसी प्रकार स्थिर गुणांक वाले रैखिक अंतर समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए लागू किया जाता है

अज्ञात कार्य.

चलिए छवियों पर चलते हैं

हमें समीकरणों को निरूपित करने की एक प्रणाली प्राप्त होती है

हम क्रैमर विधि का उपयोग करके सिस्टम को हल करते हैं। हम निर्धारक पाते हैं:

इमेजिंग प्रणाली का समाधान ढूँढना एक्स(पी), वाई(पी), जेड(पी).

हमने सिस्टम का आवश्यक समाधान प्राप्त किया

परिचालन कलन का उपयोग करके, आप चर गुणांक और आंशिक अंतर समीकरणों के साथ रैखिक अंतर समीकरणों के समाधान पा सकते हैं; अभिन्नों की गणना करें. साथ ही, समस्याओं का समाधान बहुत सरल हो जाता है। इसका उपयोग गणितीय भौतिकी समीकरणों की समस्याओं को हल करने में किया जाता है।

आत्म-नियंत्रण के लिए प्रश्न.

1. किस फ़ंक्शन को मूल कहा जाता है?

2. किस फ़ंक्शन को मूल की छवि कहा जाता है?

3. हेवीसाइड फ़ंक्शन और इसकी छवि।

4. छवि परिभाषा का उपयोग करके मूल के कार्यों के लिए एक छवि प्राप्त करें: एफ(टी) =टी , .

5. लाप्लास ट्रांसफॉर्म के गुणों का उपयोग करके फ़ंक्शन के लिए छवियां प्राप्त करें।

6. छवियों की तालिका का उपयोग करके मूल के कार्यों का पता लगाएं: ;

7. परिचालन कलन विधियों का उपयोग करके एक रैखिक अंतर समीकरण का एक विशेष समाधान खोजें।

साहित्य: पृ. 411-439, पृ. 572-594.

उदाहरण: पृ. 305-316.

साहित्य

1. डैंको पी.ई. अभ्यास और समस्याओं में उच्च गणित। 2 भागों में: भाग I. कॉलेजों के लिए मैनुअल/पी.ई. डैंको, ए.जी. पोपोव, टी.वाई.ए. कोज़ेवनिकोवा - एम.: उच्चतर। स्कूल, 1997.-304 पी.

2. डैंको पी.ई. अभ्यास और समस्याओं में उच्च गणित। 2 भागों में: पाठ्यपुस्तक। कॉलेजों के लिए मैनुअल./ पी.ई. डैंको, ए.जी. पोपोव, टी.वाई.ए. कोज़ेवनिकोवा - एम.: उच्चतर। स्कूल, 1997.-416 पी.

3. कपलान आई.ए. उच्च गणित में व्यावहारिक कक्षाएं। भाग 4./ आई.ए. कपलान - खार्कोव स्टेट यूनिवर्सिटी पब्लिशिंग हाउस, 1966, 236 पी।

4. पिस्कुनोव एन.एस. विभेदक और अभिन्न कलन. 2 खंडों में, खंड 1: पाठ्यपुस्तक। कॉलेजों के लिए मैनुअल./ एन.एस. पिस्कुनोव - एम.: एड. "विज्ञान", 1972. - 456 पी।

5. पिस्कुनोव एन.एस. कॉलेजों के लिए विभेदक और अभिन्न कलन। 2 खंडों में, खंड 2: पाठ्यपुस्तक। कॉलेजों के लिए एक मैनुअल../ एन.एस. पिस्कुनोव - एम.: एड. "विज्ञान", 1972. - 456 पी।

6. लिखित डी.टी. उच्च गणित पर व्याख्यान नोट्स: संपूर्ण पाठ्यक्रम.-चौथा संस्करण/डी.टी. लिखित - एम.: आइरिस-प्रेस, 2006.-608 पी. - (उच्च शिक्षा)।

7. स्लोबोद्स्काया वी.ए. उच्च गणित का लघु पाठ्यक्रम. ईडी। दूसरा, पुनः कार्य किया गया और अतिरिक्त पाठयपुस्तक कॉलेजों के लिए मैनुअल./ वी.ए. स्लोबोड्स्काया - एम.: उच्चतर। स्कूल, 1969.-544 पी.

व्याख्यान नोट्स उच्च गणित

दिशा 6.070104 के छात्रों के लिए "समुद्र और नदी परिवहन"

विशेषता "जहाज बिजली संयंत्रों का संचालन"

पूर्णकालिक और अंशकालिक पाठ्यक्रम द्वितीय वर्ष

सर्कुलेशन______ प्रतियाँ प्रकाशन के लिए हस्ताक्षरित ______________

आदेश संख्या।__________। वॉल्यूम__2.78__पी.एल.

प्रकाशन गृह "केर्च राज्य समुद्री प्रौद्योगिकी विश्वविद्यालय"

98309 केर्च, ऑर्डोज़ोनिकिड्ज़, 82

बाहर गर्मी का समय है, चिनार का फूल उड़ रहा है और यह मौसम विश्राम के लिए अनुकूल है। स्कूल वर्ष के दौरान, हर किसी ने थकान जमा कर ली है, लेकिन गर्मी की छुट्टियों/छुट्टियों की प्रत्याशा से उन्हें परीक्षा और परीक्षण सफलतापूर्वक पास करने के लिए प्रेरित होना चाहिए। वैसे, सीज़न के दौरान शिक्षक भी सुस्त होते हैं, इसलिए जल्द ही मैं भी अपने दिमाग को तनाव मुक्त करने के लिए समय निकालूंगा। और अब कॉफ़ी है, सिस्टम यूनिट की लयबद्ध गड़गड़ाहट, खिड़की पर कुछ मरे हुए मच्छर और पूरी तरह से काम करने की स्थिति... ...ओह, लानत है,... एक कमबख्त कवि।

मुद्दे पर। कौन परवाह करता है, लेकिन आज मेरे लिए 1 जून है, और हम जटिल विश्लेषण की एक और विशिष्ट समस्या पर नज़र डालेंगे - परिचालन कलन पद्धति का उपयोग करके विभेदक समीकरणों की प्रणाली का एक विशेष समाधान खोजना. इसे हल करने का तरीका जानने के लिए आपको क्या जानने और करने में सक्षम होने की आवश्यकता है? सबसे पहले, अत्यधिक सिफारिश किया जाता हैपाठ का संदर्भ लें. कृपया परिचयात्मक भाग पढ़ें, विषय के सामान्य कथन, शब्दावली, संकेतन और कम से कम दो या तीन उदाहरणों को समझें। तथ्य यह है कि डिफ्यूज़र सिस्टम के साथ सब कुछ लगभग समान और यहां तक कि सरल भी होगा!

बेशक, आपको समझना होगा कि यह क्या है विभेदक समीकरणों की प्रणाली, जिसका अर्थ है सिस्टम का एक सामान्य समाधान और सिस्टम का एक विशेष समाधान खोजना।

मैं आपको याद दिला दूं कि अंतर समीकरणों की प्रणाली को "पारंपरिक" तरीके से हल किया जा सकता है: उन्मूलन द्वाराया विशेषता समीकरण का उपयोग करना. परिचालन गणना की जिस विधि पर चर्चा की जाएगी वह रिमोट कंट्रोल सिस्टम पर लागू होती है जब कार्य निम्नानुसार तैयार किया जाता है:

विभेदक समीकरणों की एक सजातीय प्रणाली के लिए एक विशेष समाधान खोजें , प्रारंभिक स्थितियों के अनुरूप .

वैकल्पिक रूप से, सिस्टम विषम हो सकता है - कार्यों के रूप में और दाईं ओर "एड-ऑन वेट" के साथ:

लेकिन, दोनों ही मामलों में, आपको स्थिति के दो मूलभूत बिंदुओं पर ध्यान देने की आवश्यकता है:

1) इसके बारे में है केवल एक निजी समाधान के बारे में.
2) प्रारंभिक स्थितियों के कोष्ठकों में हैं सख्ती से शून्य, और कुछ न था।

सामान्य पाठ्यक्रम और एल्गोरिदम बहुत समान होंगे परिचालन विधि का उपयोग करके विभेदक समीकरण को हल करना. संदर्भ सामग्री से आपको इसकी आवश्यकता होगी मूल और छवियों की तालिका.

उदाहरण 1

, ,

समाधान:शुरुआत तुच्छ है: उपयोग करना लाप्लास परिवर्तन तालिकाएँआइए मूल से संबंधित छवियों की ओर आगे बढ़ें। रिमोट कंट्रोल सिस्टम की समस्या में, यह संक्रमण आमतौर पर सरल होता है:

सारणीबद्ध सूत्र संख्या 1, 2 का उपयोग करते हुए, प्रारंभिक स्थिति को ध्यान में रखते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

"खेल" का क्या करें? मानसिक रूप से तालिका में "X" को "I" में बदलें। समान परिवर्तन संख्या 1, 2 का उपयोग करते हुए, प्रारंभिक स्थिति को ध्यान में रखते हुए, हम पाते हैं:

आइए पाई गई छवियों को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करें :

अब बाएँ भाग मेंसमीकरण एकत्रित करने की आवश्यकता है सभीजिन शर्तों में या मौजूद है। सही भागों के लिएसमीकरणों को "औपचारिक" बनाने की आवश्यकता है अन्यशर्तें:

इसके बाद, प्रत्येक समीकरण के बाईं ओर हम कोष्ठक लगाते हैं:

इस मामले में, निम्नलिखित को पहले स्थान पर और दूसरे स्थान पर रखा जाना चाहिए:

दो अज्ञात के साथ समीकरणों की परिणामी प्रणाली आमतौर पर हल हो जाती है क्रैमर के सूत्रों के अनुसार. आइए हम सिस्टम के मुख्य निर्धारक की गणना करें:

सारणिक की गणना के परिणामस्वरूप, एक बहुपद प्राप्त हुआ।

महत्वपूर्ण तकनीक!यह बहुपद बेहतर है तुरंतइसे कारक बनाने का प्रयास करें। इन उद्देश्यों के लिए, व्यक्ति को द्विघात समीकरण को हल करने का प्रयास करना चाहिए , लेकिन दूसरे वर्ष की प्रशिक्षित दृष्टि वाले कई पाठक इस पर ध्यान देंगे .

इस प्रकार, प्रणाली का हमारा मुख्य निर्धारक है:

सिस्टम को और अधिक अलग करना, क्रेमर को धन्यवाद, मानक है:

परिणाम हमें मिलता है सिस्टम का ऑपरेटर समाधान:

प्रश्नाधीन कार्य का लाभ यह है कि भिन्न आमतौर पर सरल हो जाते हैं, और उनसे निपटना समस्याओं में भिन्नों की तुलना में बहुत आसान होता है परिचालन पद्धति का उपयोग करके DE के लिए एक विशेष समाधान खोजना. आपके पूर्वाभास ने आपको धोखा नहीं दिया - अच्छे बूढ़े अनिश्चित गुणांक की विधि, जिसकी सहायता से हम प्रत्येक भिन्न को प्रारंभिक भिन्नों में विघटित करते हैं:

1) आइए पहले भिन्न से निपटें:

इस प्रकार:

2) हम दूसरे अंश को एक समान योजना के अनुसार तोड़ते हैं, लेकिन अन्य स्थिरांक (अपरिभाषित गुणांक) का उपयोग करना अधिक सही है:

इस प्रकार:

मैं नौसिखियों को विघटित ऑपरेटर समाधान को निम्नलिखित रूप में लिखने की सलाह देता हूं:
- इससे अंतिम चरण स्पष्ट हो जाएगा - व्युत्क्रम लाप्लास परिवर्तन।

तालिका के दाहिने कॉलम का उपयोग करते हुए, आइए छवियों से संबंधित मूल प्रतियों की ओर बढ़ें:

अच्छे गणितीय शिष्टाचार के नियमों के अनुसार, हम परिणाम को थोड़ा व्यवस्थित करेंगे:

उत्तर:

उत्तर की जाँच एक मानक योजना के अनुसार की जाती है, जिस पर पाठ में विस्तार से चर्चा की गई है। विभेदक समीकरणों की प्रणाली को कैसे हल करें?कार्य में बड़ा लाभ जोड़ने के लिए हमेशा इसे पूरा करने का प्रयास करें।

उदाहरण 2

परिचालन कलन का उपयोग करते हुए, विभेदक समीकरणों की एक प्रणाली का एक विशेष समाधान खोजें जो दी गई प्रारंभिक स्थितियों से मेल खाता हो।
, ,

यह आपके लिए स्वयं हल करने का एक उदाहरण है। समस्या के अंतिम रूप और पाठ के अंत में उत्तर का एक अनुमानित नमूना।

विभेदक समीकरणों की एक गैर-सजातीय प्रणाली को हल करना एल्गोरिथम रूप से अलग नहीं है, सिवाय इसके कि तकनीकी रूप से यह थोड़ा अधिक जटिल होगा:

उदाहरण 3

समाधान:प्रारंभिक स्थितियों को ध्यान में रखते हुए, लाप्लास ट्रांसफ़ॉर्म तालिका का उपयोग करना , चलिए मूल से संबंधित छवियों की ओर बढ़ते हैं:

लेकिन इतना ही नहीं, समीकरणों के दाहिनी ओर एकाकी स्थिरांक भी हैं। ऐसे मामलों में क्या करें जहां स्थिरांक अपने आप में बिल्कुल अकेला है? इस पर कक्षा में पहले ही चर्चा हो चुकी थी। परिचालन पद्धति का उपयोग करके DE को कैसे हल करें. आइए दोहराएँ: एकल स्थिरांक को मानसिक रूप से एक से गुणा किया जाना चाहिए, और निम्नलिखित लाप्लास परिवर्तन को इकाइयों पर लागू किया जाना चाहिए:

आइए पाई गई छवियों को मूल सिस्टम में प्रतिस्थापित करें:

आइए, वाले पदों को बाईं ओर ले जाएं और शेष पदों को दाईं ओर रखें:

बायीं ओर हम कोष्ठक लगाएंगे, इसके अलावा, हम दूसरे समीकरण के दायीं ओर को एक सामान्य हर में लाएंगे:

आइए सिस्टम के मुख्य निर्धारक की गणना करें, यह न भूलें कि परिणाम को तुरंत गुणनखंडित करने का प्रयास करना उचित है:
, जिसका अर्थ है कि सिस्टम के पास एक अद्वितीय समाधान है।

पर चलते हैं:

इस प्रकार, सिस्टम का ऑपरेटर समाधान है:

कभी-कभी एक या दोनों अंशों को भी कम किया जा सकता है, और कभी-कभी, इतनी सफलतापूर्वक कि व्यावहारिक रूप से कुछ भी विस्तारित करने की आवश्यकता नहीं होती है! और कुछ मामलों में, आपको तुरंत मुफ़्त उपहार मिल जाता है, वैसे, पाठ का निम्नलिखित उदाहरण एक सांकेतिक उदाहरण होगा।

अनिश्चित गुणांकों की विधि का उपयोग करके हम प्रारंभिक भिन्नों का योग प्राप्त करते हैं।

आइए पहले अंश को तोड़ें:

और हम दूसरा हासिल करते हैं:

परिणामस्वरूप, ऑपरेटर समाधान वह रूप ले लेता है जिसकी हमें आवश्यकता होती है:

सही कॉलम का उपयोग करना मूल और छवियों की तालिकाएँहम व्युत्क्रम लाप्लास परिवर्तन करते हैं:

आइए परिणामी छवियों को सिस्टम के ऑपरेटर समाधान में प्रतिस्थापित करें:

उत्तर:निजी समाधान:

जैसा कि आप देख सकते हैं, एक विषम प्रणाली में एक सजातीय प्रणाली की तुलना में अधिक श्रम-गहन गणना करना आवश्यक है। आइए साइन और कोसाइन के साथ कुछ और उदाहरण देखें, और यह पर्याप्त है, क्योंकि लगभग सभी प्रकार की समस्या और समाधान की अधिकांश बारीकियों पर विचार किया जाएगा।

उदाहरण 4

परिचालन कलन विधि का उपयोग करके, दी गई प्रारंभिक शर्तों के साथ अंतर समीकरणों की प्रणाली का एक विशेष समाधान खोजें,

समाधान:मैं स्वयं भी इस उदाहरण का विश्लेषण करूंगा, लेकिन टिप्पणियाँ केवल विशेष क्षणों से संबंधित होंगी। मेरा मानना है कि आप पहले से ही समाधान एल्गोरिदम से अच्छी तरह वाकिफ हैं।

आइए मूल से संबंधित छवियों की ओर आगे बढ़ें:

आइए पाई गई छवियों को मूल रिमोट कंट्रोल सिस्टम में प्रतिस्थापित करें:

आइए क्रैमर के सूत्रों का उपयोग करके सिस्टम को हल करें:
, जिसका अर्थ है कि सिस्टम के पास एक अद्वितीय समाधान है।

परिणामी बहुपद का गुणनखंडन नहीं किया जा सकता। ऐसे मामलों में क्या करें? बिल्कुल कुछ भी नहीं। ये भी चलेगा.

परिणामस्वरूप, सिस्टम का ऑपरेटर समाधान है:

यहाँ भाग्यशाली टिकट है! अनिश्चित गुणांकों की विधि का उपयोग करने की बिल्कुल भी आवश्यकता नहीं है! एकमात्र बात यह है कि तालिका परिवर्तनों को लागू करने के लिए, हम समाधान को निम्नलिखित रूप में फिर से लिखते हैं:

आइए छवियों से संबंधित मूल प्रतियों की ओर बढ़ते हैं:

आइए परिणामी छवियों को सिस्टम के ऑपरेटर समाधान में प्रतिस्थापित करें:

भारी विस्तार सूत्र

मान लीजिए कि फलन की छवि एक भिन्नात्मक परिमेय फलन है।

प्रमेय.चलो, कहाँ और भिन्न कार्य हैं। आइए हम फ़ंक्शन के दोनों ध्रुवों का परिचय दें, अर्थात्। इसके हर की जड़ें (शून्य)। फिर, यदि हमें हेविसाइड फॉर्मूला मिलता है:

हम उस मामले के लिए प्रमाण देते हैं जब और डिग्री के बहुपद होते हैं टीऔर पीतदनुसार, जबकि टी पी. तब यह एक उचित परिमेय भिन्न है। आइए इसे सरल भिन्नों के योग के रूप में प्रस्तुत करें:

यहां से हम पहचान (17.2) से गुणांक पाते हैं, इसे फॉर्म में फिर से लिखते हैं

आइए अंतिम समानता के दोनों पक्षों को इससे गुणा करें और सीमा पर जाएँ। उस पर विचार करते हुए, हम पाते हैं

यह कहां से अनुसरण करता है (17.1)। प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

नोट 1।यदि बहुपद के गुणांक वास्तविक हैं, तो बहुपद की जटिल जड़ें जोड़ीदार संयुग्मी होती हैं। नतीजतन, सूत्र (17.1) में जटिल संयुग्मी मात्राएँ बहुपद की जटिल संयुग्मी जड़ों के अनुरूप पद होंगी, और हेविसाइड सूत्र का रूप लेगा

जहां पहला योग बहुपद की सभी वास्तविक जड़ों तक विस्तारित होता है, दूसरा - सकारात्मक काल्पनिक भागों के साथ इसकी सभी जटिल जड़ों तक।

नोट 2।सूत्र का प्रत्येक पद (17.1) जटिल रूप में लिखे गए एक दोलन का प्रतिनिधित्व करता है, जहां। इस प्रकार, वास्तविक जड़ें () एपेरियोडिक दोलनों के अनुरूप होती हैं, नकारात्मक वास्तविक भागों वाली जटिल जड़ें नम दोलनों के अनुरूप होती हैं, और विशुद्ध रूप से काल्पनिक जड़ें अविभाजित हार्मोनिक दोलनों के अनुरूप होती हैं।

यदि हर में सकारात्मक वास्तविक भागों वाली जड़ें नहीं हैं, तो पर्याप्त रूप से बड़े मूल्यों के लिए हमें एक स्थिर स्थिति प्राप्त होती है:

सकारात्मक काल्पनिक भागों वाले बहुपद की विशुद्ध रूप से काल्पनिक जड़ें।

नकारात्मक वास्तविक भागों वाली जड़ों के अनुरूप दोलन तेजी से घटते हैं और इसलिए स्थिर अवस्था में प्रवेश नहीं करते हैं।

उदाहरण 1।मूल छवि ढूंढें

समाधान। हमारे पास है। आइए बहुपद के मूल लिखें: .

सूत्र के अनुसार (17.1)

यहाँ, चूँकि संख्याएँ समीकरण के मूल हैं। इस तरह,

उदाहरण 2.मूल छवि ढूंढें

कहाँ ए 0; .

समाधान। यहां फ़ंक्शन में, स्पष्ट मूल के अलावा, अनंत रूप से कई जड़ें हैं, जो फ़ंक्शन के शून्य हैं। समीकरण को हल करने पर, हम कहाँ पहुँचते हैं

इस प्रकार, हर की जड़ों का रूप और, कहाँ होता है

सूत्र (17.3) का उपयोग करके हम मूल पाते हैं

विभेदक समीकरणों को हल करने के लिए संचालिका विधि

विभेदक समीकरण।रैखिक अवकल समीकरण के लिए कॉची समस्या पर विचार करें

(यहां) प्रारंभिक शर्तों के साथ

(18.1) में छवियों को पार करते हुए, लाप्लास परिवर्तन की रैखिकता के कारण, हमारे पास होगा

§ 16 के प्रमेय 3 और प्रारंभिक शर्तों (18.2) का उपयोग करते हुए, हम डेरिवेटिव की छवियों को फॉर्म में लिखते हैं

(18.4) को (18.3) में प्रतिस्थापित करने पर, सरल परिवर्तनों के बाद हमें ऑपरेटर समीकरण प्राप्त होता है

जहां (विशेषता बहुपद); .

समीकरण (18.5) से हम ऑपरेटर समाधान पाते हैं

कॉची समस्या का समाधान (18.1), (18.2) मूल ऑपरेटर समाधान (18.6) है:

कॉची समस्या के लिए, स्वीकृत संकेतन में हम लिख सकते हैं

ऑपरेटर समीकरण का रूप है

आइए ऑपरेटर समाधान को सरल भिन्नों में विघटित करें:

§ 15 में प्राप्त सूत्रों का उपयोग करके, हम मूल प्राप्त करते हैं:

इस प्रकार, कॉची समस्या के समाधान का स्वरूप होगा

उदाहरण 1।प्रारंभिक स्थितियों के साथ एक अंतर समीकरण के लिए कॉची समस्या को हल करें, जहां।

समाधान।

इसका समाधान रूप है

§ 16 के प्रमेय 2 का उपयोग करते हुए, हम लगातार पाते हैं:

उदाहरण 2.शून्य प्रारंभिक स्थितियों वाले अंतर समीकरण के लिए कॉची समस्या को हल करें, चरण आवेग फ़ंक्शन कहां है।

समाधान। आइए संचालिका समीकरण लिखें

और उसका निर्णय

§ 16 के प्रमेय 2 से यह निम्नानुसार है

विलंब प्रमेय के अनुसार (§ 15)

अंत में,

उदाहरण 3.प्रति बिंदु द्रव्यमान टी, एक कठोरता द्वारा स्प्रिंग से जुड़ा हुआ साथऔर एक चिकने क्षैतिज तल पर स्थित, समय-समय पर बदलता बल कार्य करता है। समय के क्षण में, बिंदु एक आवेग वाले प्रभाव के अधीन था। प्रतिरोध की उपेक्षा करते हुए, किसी बिंदु की गति का नियम ज्ञात कीजिए यदि समय के प्रारंभिक क्षण में वह मूल बिंदु पर आराम की स्थिति में था।

समाधान। हम गति के समीकरण को इस रूप में लिखते हैं

लोचदार बल कहाँ है; - डिराक फ़ंक्शन। आइए ऑपरेटर समीकरण को हल करें

यदि (प्रतिध्वनि का मामला), तो

विलंब प्रमेय द्वारा

अंत में,

डुहामेल का अभिन्न अंग (सूत्र)। आइए प्रारंभिक स्थितियों के तहत समीकरण (18.1) के लिए कॉची समस्या पर विचार करें। इस मामले में ऑपरेटर समाधान का रूप है

वज़न फ़ंक्शन को मूल होने दें। फिर § 16 के प्रमेय 1 से हम प्राप्त करते हैं

संबंध (18.7) को डुहामेल का समाकलन (सूत्र) कहा जाता है।

टिप्पणी।गैर-शून्य प्रारंभिक स्थितियों के लिए, डुहामेल का सूत्र सीधे लागू नहीं होता है। इस मामले में, पहले मूल समस्या को सजातीय (शून्य) प्रारंभिक स्थितियों वाली समस्या में बदलना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, हम यह मानते हुए एक नया फ़ंक्शन प्रस्तुत करते हैं

वांछित समाधान के प्रारंभिक मान कहाँ हैं.

यह देखना कितना आसान है, और इसलिए।

इस प्रकार, फ़ंक्शन शून्य प्रारंभिक डेटा के साथ, (18.8) को (18.1) में प्रतिस्थापित करके दाईं ओर प्राप्त समीकरण (18.1) का एक समाधान है।

(18.7) का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं और।

उदाहरण 4.डुहामेल इंटीग्रल का उपयोग करके, कॉची समस्या का समाधान खोजें

प्रारंभिक शर्तों के साथ.

समाधान। प्रारंभिक डेटा गैर-शून्य है. हम मानते हैं, (18.8) के अनुसार। फिर, परिभाषा के लिए, हम सजातीय प्रारंभिक स्थितियों के साथ एक समीकरण प्राप्त करते हैं।

विचाराधीन समस्या के लिए, एक बहुपद, एक भार फलन विशेषता है। डुहामेल के सूत्र के अनुसार

अंत में,

स्थिर गुणांकों वाले रैखिक अवकल समीकरणों की प्रणालियाँ।मैट्रिक्स नोटेशन में रैखिक अंतर समीकरणों की एक प्रणाली के लिए कॉची समस्या का रूप है

आवश्यक कार्यों का वेक्टर कहां है; - दाईं ओर का वेक्टर; - गुणांक मैट्रिक्स; - प्रारंभिक डेटा का वेक्टर।

उदाहरण 1

, ,

आइए पाई गई छवियों को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करें :

सारणिक की गणना के परिणामस्वरूप, एक बहुपद प्राप्त हुआ।

इस प्रकार, प्रणाली का हमारा मुख्य निर्धारक है:

सिस्टम को और अधिक अलग करना, क्रेमर को धन्यवाद, मानक है:

परिणाम हमें मिलता है सिस्टम का ऑपरेटर समाधान:

1) आइए पहले भिन्न से निपटें:

इस प्रकार:

उत्तर:

उदाहरण 2

उदाहरण 3

आइए पाई गई छवियों को मूल सिस्टम में प्रतिस्थापित करें:

आइए, वाले पदों को बाईं ओर ले जाएं और शेष पदों को दाईं ओर रखें:

पर चलते हैं:

इस प्रकार, सिस्टम का ऑपरेटर समाधान है:

आइए पहले अंश को तोड़ें:

और हम दूसरा हासिल करते हैं:

परिणामस्वरूप, ऑपरेटर समाधान वह रूप ले लेता है जिसकी हमें आवश्यकता होती है:

आइए परिणामी छवियों को सिस्टम के ऑपरेटर समाधान में प्रतिस्थापित करें:

उत्तर:निजी समाधान:

उदाहरण 4

आइए मूल से संबंधित छवियों की ओर आगे बढ़ें:

आइए पाई गई छवियों को मूल रिमोट कंट्रोल सिस्टम में प्रतिस्थापित करें:

परिणामस्वरूप, सिस्टम का ऑपरेटर समाधान है:

आइए छवियों से संबंधित मूल प्रतियों की ओर बढ़ते हैं:

आइए परिणामी छवियों को सिस्टम के ऑपरेटर समाधान में प्रतिस्थापित करें:

विभेदक समीकरण को कैसे हल करें
परिचालन कलन विधि?

इस पाठ में जटिल विश्लेषण के एक विशिष्ट एवं व्यापक कार्य पर विस्तार से चर्चा की जायेगी - परिचालन कलन विधि का उपयोग करके स्थिर गुणांक वाले दूसरे क्रम DE के लिए एक विशेष समाधान खोजना. बार-बार मैं आपको इस पूर्वधारणा से मुक्त करता हूं कि सामग्री अकल्पनीय रूप से जटिल और दुर्गम है। यह मज़ेदार है, लेकिन उदाहरणों में महारत हासिल करने के लिए, आप अंतर करने, एकीकृत करने में सक्षम नहीं हो सकते हैं, और यहां तक कि यह भी नहीं जान पाएंगे कि यह क्या है जटिल आंकड़े. अनुप्रयोग कौशल आवश्यक है अनिश्चित गुणांक की विधि, जिस पर लेख में विस्तार से चर्चा की गई है भिन्नात्मक-तर्कसंगत कार्यों का एकीकरण. वास्तव में, असाइनमेंट की आधारशिला सरल बीजीय संचालन है, और मुझे विश्वास है कि सामग्री हाई स्कूल के छात्र के लिए भी सुलभ है।

सबसे पहले, विचाराधीन गणितीय विश्लेषण के अनुभाग के बारे में संक्षिप्त सैद्धांतिक जानकारी। मुख्य बिंदु परिचालन गणनाइस प्रकार है: function वैधतथाकथित का उपयोग कर चर लाप्लास परिवर्तनमें प्रदर्शित किया गया है समारोह विस्तृतचर :

शब्दावली और पदनाम:
फ़ंक्शन को कॉल किया जाता है मूल;
फ़ंक्शन को कॉल किया जाता है छवि;
बड़े अक्षर से पता चलता है लाप्लास परिवर्तन.

सरल शब्दों में, कुछ नियमों के अनुसार एक वास्तविक फ़ंक्शन (मूल) को एक जटिल फ़ंक्शन (छवि) में परिवर्तित किया जाना चाहिए। तीर सटीक रूप से इसी परिवर्तन को इंगित करता है। और "कुछ नियम" स्वयं हैं लाप्लास परिवर्तन, जिस पर हम केवल औपचारिक रूप से विचार करेंगे, जो समस्याओं के समाधान के लिए काफी पर्याप्त होगा।

जब छवि मूल में बदल जाती है, तो व्युत्क्रम लाप्लास परिवर्तन भी संभव है:

यह सब क्यों आवश्यक है? कई उच्च गणित समस्याओं में, मूल से छवियों पर स्विच करना बहुत फायदेमंद हो सकता है, क्योंकि इस मामले में समस्या का समाधान काफी सरल हो जाता है (मजाक कर रहा हूं)। और हम इनमें से केवल एक समस्या पर विचार करेंगे। यदि आपने ऑपरेशनल कैलकुलस देखा है, तो इसका सूत्रीकरण आपको बहुत परिचित होना चाहिए:

दी गई प्रारंभिक स्थितियों के लिए निरंतर गुणांक वाले दूसरे क्रम के अमानवीय समीकरण का एक विशेष समाधान खोजें।

टिप्पणी: कभी-कभी अंतर समीकरण सजातीय हो सकता है: , इसके लिए उपरोक्त सूत्रीकरण में ऑपरेशनल कैलकुलस की विधि भी लागू होती है। हालाँकि, व्यावहारिक उदाहरणों में दूसरे क्रम का सजातीय DEअत्यंत दुर्लभ है, और आगे हम अमानवीय समीकरणों के बारे में बात करेंगे।

और अब तीसरी विधि पर चर्चा की जाएगी - परिचालन कलन का उपयोग करके अंतर समीकरणों को हल करना। एक बार फिर मैं इस बात पर जोर देता हूं हम एक विशेष समाधान खोजने के बारे में बात कर रहे हैं, अलावा, प्रारंभिक शर्तों का कड़ाई से स्वरूप होता है("X का" शून्य के बराबर है)।

वैसे, "एक्स" के बारे में। समीकरण को इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है:
, जहां "x" एक स्वतंत्र चर है, और "y" एक फ़ंक्शन है। यह कोई संयोग नहीं है कि मैं इस बारे में बात कर रहा हूं, क्योंकि विचाराधीन समस्या में अन्य अक्षरों का सबसे अधिक उपयोग किया जाता है:

अर्थात्, स्वतंत्र चर की भूमिका वेरिएबल "te" ("x" के बजाय) द्वारा निभाई जाती है, और फ़ंक्शन की भूमिका वेरिएबल "x" ("y" के बजाय) द्वारा निभाई जाती है।

मैं समझता हूं कि यह निश्चित रूप से असुविधाजनक है, लेकिन उन टिप्पणियों पर टिके रहना बेहतर है जो अधिकांश समस्या पुस्तकों और प्रशिक्षण मैनुअल में पाए जाते हैं।

तो, अन्य पत्रों के साथ हमारी समस्या इस प्रकार लिखी गई है:

दी गई प्रारंभिक स्थितियों के लिए निरंतर गुणांक वाले दूसरे क्रम के अमानवीय समीकरण का एक विशेष समाधान खोजें .

कार्य का अर्थ बिल्कुल नहीं बदला है, केवल अक्षर बदल गए हैं।

ऑपरेशनल कैलकुलस पद्धति का उपयोग करके इस समस्या को कैसे हल करें?

सबसे पहले, आपको आवश्यकता होगी मूल और छवियों की तालिका. यह एक प्रमुख समाधान उपकरण है, और आप इसके बिना काम नहीं कर सकते। इसलिए, यदि संभव हो तो प्रदान की गई संदर्भ सामग्री का प्रिंट आउट लेने का प्रयास करें। मुझे तुरंत समझाएं कि "पे" अक्षर का क्या अर्थ है: एक जटिल चर (सामान्य "जेड" के बजाय)। हालाँकि यह तथ्य समस्याओं को सुलझाने के लिए विशेष रूप से महत्वपूर्ण नहीं है, "पे" "पे" है।

तालिका का उपयोग करके, मूल को कुछ छवियों में बदलने की आवश्यकता है। निम्नलिखित विशिष्ट क्रियाओं की एक श्रृंखला है, और व्युत्क्रम लाप्लास परिवर्तन का उपयोग किया जाता है (तालिका में भी)। इस प्रकार, वांछित विशेष समाधान मिल जाएगा।

सभी समस्याएं, जो अच्छी हैं, काफी सख्त एल्गोरिथम के अनुसार हल की जाती हैं।

उदाहरण 1

, ,

समाधान:पहले चरण में, हम मूल से संबंधित छवियों की ओर बढ़ेंगे। हम बाईं ओर का उपयोग करते हैं.

सबसे पहले, आइए मूल समीकरण के बाईं ओर देखें। लाप्लास परिवर्तन के लिए हमारे पास है रैखिकता नियम, इसलिए हम सभी स्थिरांकों को अनदेखा करते हैं और फ़ंक्शन और उसके डेरिवेटिव के साथ अलग से काम करते हैं।

सारणीबद्ध सूत्र संख्या 1 का उपयोग करके, हम फ़ंक्शन को रूपांतरित करते हैं:

फार्मूला नंबर 2 के अनुसार , प्रारंभिक स्थिति को ध्यान में रखते हुए, हम व्युत्पन्न को बदलते हैं:

सूत्र संख्या 3 का उपयोग करते हुए, प्रारंभिक स्थितियों को ध्यान में रखते हुए, हम दूसरे व्युत्पन्न को बदलते हैं:

संकेतों से भ्रमित न हों!

मैं मानता हूं कि "सूत्र" के बजाय "परिवर्तन" कहना अधिक सही है, लेकिन सरलता के लिए, समय-समय पर मैं तालिका की सामग्री को सूत्र कहूंगा।

अब आइए दाईं ओर देखें, जिसमें बहुपद है। उसी के कारण रैखिकता नियमलाप्लास परिवर्तन, हम प्रत्येक पद के साथ अलग से काम करते हैं।

आइए पहले पद को देखें: - यह एक स्थिरांक से गुणा किया गया स्वतंत्र चर है। हम स्थिरांक को अनदेखा करते हैं और तालिका के बिंदु संख्या 4 का उपयोग करके परिवर्तन करते हैं:

आइए दूसरे पद पर नजर डालें: -5. जब कोई स्थिरांक अकेला पाया जाता है, तो उसे छोड़ा नहीं जा सकता। एक एकल स्थिरांक के साथ, वे ऐसा करते हैं: स्पष्टता के लिए, इसे एक उत्पाद के रूप में दर्शाया जा सकता है: और परिवर्तन को एकता पर लागू किया जा सकता है:

इस प्रकार, अंतर समीकरण के सभी तत्वों (मूल) के लिए, तालिका का उपयोग करके संबंधित छवियां पाई गईं:

आइए पाई गई छवियों को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करें:

अगला काम है व्यक्त करना ऑपरेटर समाधानबाकी सभी चीज़ों के माध्यम से, अर्थात् एक अंश के माध्यम से। इस मामले में, निम्नलिखित प्रक्रिया का पालन करना उचित है:

सबसे पहले, बाईं ओर के कोष्ठक खोलें:

हम बाईं ओर समान शब्द प्रस्तुत करते हैं (यदि वे मौजूद हैं)। इस स्थिति में, हम संख्याएँ -2 और -3 जोड़ते हैं। मैं दृढ़तापूर्वक अनुशंसा करता हूं कि चायदानी इस चरण को न छोड़ें:

बाईं ओर हम उन शब्दों को छोड़ देते हैं जिनमें शामिल हैं, और शेष शब्दों को चिह्न परिवर्तन के साथ दाईं ओर ले जाते हैं:

बाईं ओर हम ऑपरेटर समाधान को कोष्ठक से बाहर रखते हैं, दाईं ओर हम अभिव्यक्ति को एक सामान्य हर में कम करते हैं:

बाईं ओर के बहुपद को गुणनखंडित किया जाना चाहिए (यदि संभव हो तो)। द्विघात समीकरण को हल करना:

इस प्रकार:

हम दाईं ओर के हर को रीसेट करते हैं:

लक्ष्य प्राप्त कर लिया गया है - ऑपरेटर समाधान एक अंश के रूप में व्यक्त किया गया है।

अधिनियम दो. का उपयोग करते हुए अनिश्चित गुणांक की विधि, समीकरण के संचालिका समाधान को प्रारंभिक भिन्नों के योग में विस्तारित किया जाना चाहिए:

आइए हम संबंधित शक्तियों पर गुणांकों की बराबरी करें और सिस्टम को हल करें:

अगर आपको इससे कोई परेशानी है कृपया लेखों पर ध्यान दें भिन्नात्मक-तर्कसंगत फ़ंक्शन को एकीकृत करनाऔर समीकरणों की प्रणाली को कैसे हल करें?यह बहुत महत्वपूर्ण है क्योंकि भिन्न मूलतः समस्या का सबसे महत्वपूर्ण हिस्सा हैं।

तो, गुणांक पाए जाते हैं: , और ऑपरेटर समाधान हमारे सामने अलग रूप में प्रकट होता है:

कृपया ध्यान दें कि भिन्न अंशों में अचर नहीं लिखे जाते हैं। रिकॉर्डिंग का यह रूप इससे अधिक लाभदायक है . और यह अधिक लाभदायक है, क्योंकि अंतिम कार्रवाई बिना किसी भ्रम और त्रुटियों के होगी:

समस्या का अंतिम चरण छवियों से संबंधित मूल तक जाने के लिए व्युत्क्रम लाप्लास परिवर्तन का उपयोग करना है। सही कॉलम का उपयोग करना मूल और छवियों की तालिकाएँ.

शायद हर कोई रूपांतरण को नहीं समझता। तालिका के बिंदु क्रमांक 5 का सूत्र यहाँ प्रयोग किया गया है: . और अधिक विस्तार में: . दरअसल, ऐसे ही मामलों के लिए सूत्र को संशोधित किया जा सकता है:। और बिंदु संख्या 5 के सभी सारणीबद्ध सूत्रों को इसी तरह से फिर से लिखना बहुत आसान है।

विपरीत संक्रमण के बाद, DE का वांछित आंशिक समाधान चांदी की थाली में प्राप्त होता है:

था:

बन गया:

उत्तर:निजी समाधान:

यदि आपके पास समय है, तो हमेशा जांच करने की सलाह दी जाती है। परीक्षण मानक योजना के अनुसार किया जाता है, जिस पर कक्षा में पहले ही चर्चा की जा चुकी है। दूसरे क्रम के अमानवीय अंतर समीकरण. आइए दोहराएँ:

आइए प्रारंभिक शर्त की पूर्ति की जाँच करें:
- हो गया।

आइए पहला व्युत्पन्न खोजें:

आइए दूसरी प्रारंभिक शर्त की पूर्ति की जाँच करें:
- हो गया।

आइए दूसरा व्युत्पन्न खोजें:

आइए स्थानापन्न करें , और मूल समीकरण के बाईं ओर:

मूल समीकरण का दायाँ पक्ष प्राप्त होता है।

निष्कर्ष: कार्य सही ढंग से पूरा हुआ।

आपके अपने समाधान के लिए एक छोटा सा उदाहरण:

उदाहरण 2

परिचालन कलन का उपयोग करते हुए, दी गई प्रारंभिक स्थितियों के तहत अंतर समीकरण का एक विशेष समाधान खोजें।

पाठ के अंत में अंतिम असाइनमेंट का एक अनुमानित नमूना।

विभेदक समीकरणों में सबसे आम अतिथि, जैसा कि कई लोगों ने लंबे समय से देखा है, घातांक है, तो आइए उनके, उनके रिश्तेदारों के साथ कुछ उदाहरणों पर विचार करें:

उदाहरण 3

, ,

समाधान:लाप्लास परिवर्तन तालिका (तालिका के बाईं ओर) का उपयोग करते हुए, हम मूल से संबंधित छवियों की ओर बढ़ते हैं।

आइए पहले समीकरण के बाईं ओर देखें। वहां कोई प्रथम व्युत्पन्न नहीं है. तो क्या हुआ? महान। कम काम। प्रारंभिक स्थितियों को ध्यान में रखते हुए, सारणीबद्ध सूत्र संख्या 1, 3 का उपयोग करके हम चित्र पाते हैं:

अब दाईं ओर देखें:- दो कार्यों का गुणनफल। फायदा उठाने के लिए रैखिकता गुणलाप्लास परिवर्तन, आपको कोष्ठक खोलने की आवश्यकता है:। चूंकि स्थिरांक उत्पादों में हैं, हम उनके बारे में भूल जाते हैं, और सारणीबद्ध सूत्रों के समूह संख्या 5 का उपयोग करके, हम छवियां पाते हैं:

आइए पाई गई छवियों को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करें:

मैं आपको याद दिला दूं कि अगला कार्य ऑपरेटर समाधान को एकल अंश के रूप में व्यक्त करना है।

बाईं ओर हम उन शब्दों को छोड़ देते हैं जिनमें शामिल हैं, और शेष पदों को दाईं ओर ले जाते हैं। उसी समय, दाईं ओर हम भिन्नों को धीरे-धीरे एक सामान्य हर में कम करना शुरू करते हैं:

बाईं ओर हम इसे कोष्ठक से बाहर निकालते हैं, दाईं ओर हम अभिव्यक्ति को एक सामान्य हर में लाते हैं:

बायीं ओर हमें एक बहुपद प्राप्त होता है जिसका गुणनखंडन नहीं किया जा सकता। यदि बहुपद का गुणनखंडन नहीं किया जा सकता है, तो गरीब व्यक्ति को तुरंत दाहिनी ओर नीचे फेंक दिया जाना चाहिए, उसके पैर बेसिन में ठोस हो जाएंगे। और अंश में हम कोष्ठक खोलते हैं और समान पद प्रस्तुत करते हैं:

सबसे श्रमसाध्य चरण आ गया है: अनिर्धारित गुणांक की विधिआइए हम समीकरण के ऑपरेटर समाधान को प्रारंभिक भिन्नों के योग में विस्तारित करें:

इस प्रकार:

ध्यान दें कि अंश कैसे विघटित होता है: , मैं जल्द ही बताऊंगा कि ऐसा क्यों है।

समाप्त करें: आइए छवियों से संबंधित मूल प्रतियों की ओर बढ़ें, तालिका के दाहिने कॉलम का उपयोग करें:

दो निचले परिवर्तनों में, तालिका के सूत्र संख्या 6 और 7 का उपयोग किया गया था, और अंश को तालिका परिवर्तनों में "फिट" करने के लिए पूर्व-विस्तारित किया गया था।

परिणामस्वरूप, एक विशेष समाधान:

उत्तर:आवश्यक विशेष समाधान:

DIY समाधान के लिए एक समान उदाहरण:

उदाहरण 4

परिचालन कलन विधि का उपयोग करके विभेदक समीकरण का एक विशेष समाधान खोजें।

पाठ के अंत में एक संक्षिप्त समाधान और उत्तर।

उदाहरण 4 में, प्रारंभिक स्थितियों में से एक शून्य है। यह निश्चित रूप से समाधान को सरल बनाता है, और सबसे आदर्श विकल्प वह है जब दोनों प्रारंभिक स्थितियाँ शून्य हों: . इस मामले में, डेरिवेटिव को बिना पूंछ वाली छवियों में परिवर्तित किया जाता है:

जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, समस्या का सबसे कठिन तकनीकी पहलू अंश का विस्तार है अनिर्धारित गुणांक की विधि, और मेरे पास काफी श्रम-गहन उदाहरण हैं। हालाँकि, मैं राक्षसों से किसी को नहीं डराऊँगा, आइए समीकरण के कुछ और विशिष्ट रूपों पर विचार करें:

उदाहरण 5

ऑपरेशनल कैलकुलस विधि का उपयोग करके, अंतर समीकरण का एक विशेष समाधान खोजें जो दी गई प्रारंभिक शर्तों को पूरा करता हो।
, ,

समाधान:लाप्लास ट्रांसफ़ॉर्म तालिका का उपयोग करके, हम मूल से संबंधित छवियों की ओर बढ़ते हैं। प्रारंभिक स्थितियों को ध्यान में रखते हुए :

दाहिनी ओर से भी कोई समस्या नहीं है:

(याद रखें कि गुणक स्थिरांकों को नजरअंदाज कर दिया जाता है)

आइए परिणामी छवियों को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करें और मानक क्रियाएं करें, जो, मुझे आशा है, आपने पहले ही अच्छी तरह से काम कर लिया है:

हम भिन्न के बाहर हर में स्थिरांक लेते हैं, मुख्य बात यह है कि इसके बारे में बाद में न भूलें:

मैं इस बारे में सोच रहा था कि क्या अंश से अतिरिक्त दो हटा दिया जाए, हालांकि, जायजा लेने के बाद, मैं इस निष्कर्ष पर पहुंचा कि यह कदम व्यावहारिक रूप से आगे के निर्णय को सरल नहीं करेगा।

कार्य की ख़ासियत परिणामी अंश है। ऐसा लगता है कि इसका विघटन लंबा और कठिन होगा, लेकिन दिखावे भ्रामक हैं। स्वाभाविक रूप से, कठिन चीजें हैं, लेकिन किसी भी मामले में - बिना किसी डर और संदेह के आगे बढ़ें:

तथ्य यह है कि कुछ अंतर भिन्नात्मक निकले, यह भ्रमित करने वाली बात नहीं है; यह स्थिति असामान्य नहीं है। यदि केवल कंप्यूटिंग तकनीक विफल न होती। इसके अलावा, उत्तर की जांच करने का अवसर हमेशा मिलता है।

परिणामस्वरूप, ऑपरेटर समाधान है: