Priprema za školu

Enciklopedija matematike. Matematička enciklopedija Aksiomi i metode dokazivanja

Preuzmite knjigu Matematička enciklopedija u 5 tomova potpuno besplatno.

Da biste besplatno preuzeli knjigu sa usluga hostinga datoteka, kliknite na linkove odmah iza opisa besplatne knjige.

Dragi čitaoci, ako vam nije pošlo za rukom

preuzmi Matematičku enciklopediju u 5 tomova

pišite o tome u komentarima i sigurno ćemo vam pomoći.

Nadamo se da vam se knjiga dopala i da ste uživali u čitanju. Kao zahvalu, možete ostaviti link do naše web stranice na forumu ili blogu :) EBook Matematička enciklopedija u 5 tomova namijenjena je isključivo za pregled prije kupovine papirne knjige i nije konkurencija štampanim publikacijama.

Sadržaj članka

MATEMATIKA. Matematika se obično definiše navođenjem imena nekih njenih tradicionalnih grana. Prije svega, to je aritmetika, koja se bavi proučavanjem brojeva, odnosa između njih i pravila za rad brojeva. Činjenice aritmetike su podložne različitim specifičnim tumačenjima; na primjer, relacija 2 + 3 = 4 + 1 odgovara tvrdnji da dvije i tri knjige čine onoliko knjiga koliko četiri i jedna. Bilo koja relacija kao što je 2 + 3 = 4 + 1, tj. odnos između čisto matematičkih objekata bez pozivanja na bilo kakvu interpretaciju iz fizičkog svijeta naziva se apstraktnim. Apstraktna priroda matematike omogućava da se najviše koristi u rješavanju različiti problemi. Na primjer, algebra, koja se bavi operacijama nad brojevima, može riješiti probleme koji nadilaze aritmetiku. Specifičnija grana matematike je geometrija, čiji je glavni zadatak proučavanje veličina i oblika objekata. Kombinacija algebarskih metoda s geometrijskim vodi, s jedne strane, do trigonometrije (prvobitno posvećene proučavanju geometrijskih trokuta, a sada pokriva mnogo širi spektar pitanja), as druge strane, do analitičke geometrije, u kojoj geometrijska tijela i figure proučavaju se algebarskim metodama. Postoji nekoliko grana više algebre i geometrije koje imaju viši stepen apstrakcije i ne bave se proučavanjem običnih brojeva i običnih brojeva. geometrijski oblici; najapstraktnija od geometrijskih disciplina naziva se topologija.

Matematička analiza se bavi proučavanjem veličina koje se mijenjaju u prostoru ili vremenu, a bazira se na dva osnovna koncepta - funkcije i granice, koji se ne nalaze u elementarnijim granama matematike. U početku se matematička analiza sastojala od diferencijalnog i integralnog računa, ali sada uključuje i druge dijelove.

Postoje dvije glavne grane matematike - čista matematika, koja naglašava deduktivno zaključivanje, i primijenjena matematika. Termin "primijenjena matematika" ponekad se odnosi na one grane matematike koje su stvorene posebno da zadovolje potrebe i zahtjeve nauke, a ponekad na one dijelove raznih nauka (fizika, ekonomija, itd.) koji koriste matematiku kao sredstvo rješavanja njihove zadatke. Mnoge uobičajene zablude o matematici proizlaze iz brkanja ova dva tumačenja "primijenjene matematike". Aritmetika može biti primjer primijenjene matematike u prvom smislu, a računovodstva u drugom.

Suprotno popularnom mišljenju, matematika nastavlja da brzo napreduje. Časopis Mathematical Review objavljuje cca. 8.000 kratkih sažetaka članaka koji sadrže najnovije rezultate - nove matematičke činjenice, nove dokaze starih činjenica, pa čak i informacije o potpuno novim područjima matematike. Trenutni trend u obrazovanju matematike je upoznavanje učenika sa modernim, apstraktnijim matematičkim idejama ranije u nastavi matematike. vidi takođe ISTORIJA MATEMATIKE. Matematika je jedan od kamena temeljaca civilizacije, ali vrlo malo ljudi ima predstavu o trenutnom stanju stvari u ovoj nauci.

Matematika je doživjela ogromne promjene u posljednjih stotinu godina, kako u svom predmetu tako iu svojim istraživačkim metodama. U ovom članku ćemo pokušati dati opću ideju o glavnim fazama u evoluciji moderne matematike, čiji se glavni rezultati mogu smatrati, s jedne strane, povećanje jaza između čiste i primijenjene matematike, i s druge strane, potpuno preispitivanje tradicionalnih područja matematike.

RAZVOJ MATEMATIČKE METODE

Rođenje matematike.

Oko 2000. pne uočeno je da je u trouglu sa stranicama od 3, 4 i 5 jedinica dužine jedan od uglova 90° (ovo zapažanje je olakšalo konstruisanje pravog ugla za praktične potrebe). Da li ste tada primijetili omjer 5 2 = 3 2 + 4 2? Nemamo nikakvih informacija o tome. Nekoliko vekova kasnije otkriven je opšte pravilo: u bilo kojem trouglu ABC sa pravim uglom na vrhu A i stranke b = AC I c = AB, između kojih je ovaj ugao zatvoren, i suprotne strane a = B.C. odnos je validan a 2 = b 2 + c 2. Možemo reći da nauka počinje kada se masa pojedinačnih zapažanja objasni jednim opštim zakonom; stoga se otkriće "Pitagorine teoreme" može smatrati jednim od prvih poznatih primjera istinski naučnog dostignuća.

Ali još važnije za nauku uopšte i za matematiku posebno je to, zajedno sa formulacijom common law postoje pokušaji da se to dokaže, tj. pokazuju da to nužno slijedi iz drugih geometrijskih svojstava. Jedan od istočnjačkih "dokaza" posebno je jasan u svojoj jednostavnosti: četiri trokuta jednaka ovom upisana su u kvadrat BCDE kao što je prikazano na crtežu. Kvadratna površina a 2 ispada podijeljeno na četiri jednaka trokuta ukupne površine 2 bc i kvadrat AFGH područje ( b – c) 2 . dakle, a 2 = (b – c) 2 + 2bc = (b 2 + c 2 – 2bc) + 2bc = b 2 + c 2. Poučno je otići korak dalje i preciznije saznati koja bi „prethodna” svojstva trebala biti poznata. Najočitija činjenica je da od trouglova BAC I BEF tačno, bez praznina ili preklapanja, "uklopljeno" duž strana B.A. I B.F., to znači da su dva vrha ugla B I WITH u trouglu ABC zajedno čine ugao od 90° i stoga je zbir sva tri njegova ugla jednak 90° + 90° = 180°. Gornji "dokaz" također koristi formulu ( bc/2) za površinu trougla ABC sa uglom od 90° na vrhu A. U stvari, korišćene su i druge pretpostavke, ali dovoljno je i ovo što je rečeno da se jasno vidi suštinski mehanizam matematičkog dokaza – deduktivno rezonovanje, koje omogućava korišćenjem čisto logičkih argumenata (na osnovu pravilno pripremljenog materijala, u našem primeru – dijeljenje kvadrata) za zaključak poznati rezultati nova svojstva po pravilu ne slijede direktno iz dostupnih podataka.

Aksiomi i metode dokazivanja.

Jedna od temeljnih karakteristika matematičke metode je proces stvaranja, koristeći pažljivo konstruirane čisto logičke argumente, lanac iskaza u kojem je svaka sljedeća karika povezana s prethodnim. Prvo prilično očigledno razmatranje je da u svakom lancu mora postojati prva karika. Ova okolnost postala je očigledna Grcima kada su počeli da sistematizuju korpus matematičkih argumenata u 7. veku. BC. Za realizaciju ovog plana Grcima je bilo potrebno cca. Prije 200 godina, a sačuvani dokumenti daju samo grubu predstavu o tome kako su točno funkcionirali. Tačne informacije imamo samo o konačnom rezultatu istraživanja - poznatom Počeci Euklid (oko 300. pne). Euklid počinje nabrajanjem početnih pozicija, iz kojih su svi ostali izvedeni čisto logički. Ove odredbe se nazivaju aksiomi ili postulati (termini su praktično zamjenjivi); izražavaju ili vrlo opća i pomalo nejasna svojstva objekata bilo koje vrste, na primjer, "cjelina je veća od dijela", ili neka specifična matematička svojstva, na primjer, da za bilo koje dvije točke postoji jedinstvena ravna linija koja ih povezuje . Nemamo informacija o tome da li su Grci pridavali neko dublje značenje ili značaj „istini“ aksioma, iako postoje neki nagoveštaji da su Grci o njima raspravljali neko vreme pre nego što su prihvatili određene aksiome. Kod Euklida i njegovih sljedbenika, aksiomi su predstavljeni samo kao polazne tačke za izgradnju matematike, bez ikakvog komentara o njihovoj prirodi.

Što se tiče metoda dokazivanja, one su se, po pravilu, svodile na direktnu upotrebu prethodno dokazanih teorema. Ponekad se, međutim, pokazalo da je logika rasuđivanja složenija. Ovdje ćemo spomenuti Euklidovu omiljenu metodu, koja je postala dio svakodnevne matematičke prakse – indirektni dokaz, ili dokaz kontradikcijom. Kao elementarni primjer kontradiktornog dokaza, pokazat ćemo da šahovska ploča iz koje su izrezana dva kutna polja, smještena na suprotnim krajevima dijagonale, ne može biti prekrivena dominama, od kojih je svaka jednaka dva polja. (Pretpostavlja se da svako polje na šahovskoj tabli treba biti pokriveno samo jednom.) Pretpostavimo da je suprotna („suprotna“) izjava tačna, tj. da se ploča može prekriti dominama. Svaka pločica pokriva jedan crni i jedan bijeli kvadrat, tako da bez obzira na to kako su domine raspoređene, pokrivaju jednak broj crnih i bijelih kvadrata. Međutim, pošto su dva kutna polja uklonjena, šahovska ploča (koja je prvobitno imala isto toliko crnih polja koliko i bijela) ima dva polja više jedne boje nego polja druge boje. To znači da naša početna pretpostavka ne može biti istinita, jer vodi u kontradikciju. A pošto propozicije koje su jedna drugoj u suprotnosti ne mogu istovremeno biti lažne (ako je jedna od njih lažna, onda je suprotna tačna), naša početna pretpostavka mora biti istinita, jer pretpostavka koja joj je u suprotnosti je lažna; dakle, šahovska tabla sa dva ugaona polja izrezana dijagonalno ne može biti prekrivena dominama. Dakle, da bismo dokazali određenu tvrdnju, možemo pretpostaviti da je ona lažna i iz ove pretpostavke izvesti kontradikciju sa nekom drugom tvrdnjom, čija je istinitost poznata.

Odličan primjer dokaza kontradikcijom, koji je postao jedna od prekretnica u razvoju starogrčke matematike, je dokaz da nije racionalan broj, tj. nije moguće predstaviti kao razlomak str/q, Gdje str I q- cijeli brojevi. Ako , tada je 2 = str 2 /q 2, odakle str 2 = 2q 2. Pretpostavimo da postoje dva cijela broja str I q, za koji str 2 = 2q 2. Drugim riječima, pretpostavljamo da postoji cijeli broj čiji je kvadrat dvostruko veći od kvadrata drugog cijelog broja. Ako bilo koji cijeli brojevi zadovoljavaju ovaj uvjet, onda jedan od njih mora biti manji od svih ostalih. Hajde da se fokusiramo na najmanji od ovih brojeva. Neka to bude broj str. Od 2 q 2 je paran broj i str 2 = 2q 2, zatim broj str 2 mora biti paran. Pošto su kvadrati svih neparnih brojeva neparni, a kvadrat str 2 je paran, što znači sam broj str mora biti ravnomerno. Drugim riječima, broj str dvostruko veći od nekog cijelog broja r. Jer str = 2r I str 2 = 2q 2, imamo: (2 r) 2 = 4r 2 = 2q 2 i q 2 = 2r 2. Posljednja jednakost ima isti oblik kao i jednakost str 2 = 2q 2, i možemo, ponavljajući isto razmišljanje, pokazati da je broj q je paran i da postoji takav cijeli broj s, Šta q = 2s. Ali onda q 2 = (2s) 2 = 4s 2, i, pošto q 2 = 2r 2, zaključujemo da je 4 s 2 = 2r 2 ili r 2 = 2s 2. Ovo nam daje drugi cijeli broj koji zadovoljava uvjet da je njegov kvadrat dvostruko veći od kvadrata drugog cijelog broja. Ali onda str ne može biti najmanji takav broj (pošto r = str/2), iako smo u početku pretpostavili da je to najmanji od takvih brojeva. Dakle, naša početna pretpostavka je pogrešna, jer vodi u kontradikciju, pa stoga nema takvih cijelih brojeva str I q, za koji str 2 = 2q 2 (tj. takav da ). To znači da broj ne može biti racionalan.

Od Euklida do početka 19. stoljeća.

Tokom ovog perioda matematika se značajno promijenila kao rezultat tri inovacije.

(1) U procesu razvoja algebre izumljena je metoda simboličke notacije koja je omogućila da se u skraćenom obliku prikažu sve složeniji odnosi između veličina. Kao primjer neugodnosti koje bi nastajale da nije bilo takvog "kurzivnog pisanja", pokušajmo riječima prenijeti odnos ( a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2: „Površina kvadrata čija je stranica jednaka zbroju strana dva data kvadrata jednaka je zbroju njihovih površina plus dvostruka površina pravokutnika čije su stranice jednake stranicama kvadrata dati kvadrati.”

(2) Stvaranje u prvoj polovini 17. vijeka. analitičke geometrije, što je omogućilo da se svaki problem klasične geometrije svede na neki algebarski problem.

(3) Stvaranje i razvoj u periodu od 1600. do 1800. infinitezimalnog računa, koji je omogućio da se lako i sistematski rješavaju stotine problema vezanih za pojmove granice i kontinuiteta, od kojih je samo nekoliko riješeno s velikim poteškoćama. od strane starogrčkih matematičara. Ove grane matematike su detaljnije obrađene u člancima ALGEBRA; ANALITIČKA GEOMETRIJA ; MATEMATIČKA ANALIZA ; GEOMETRY REVIEW.

Od 17. veka. Pitanje, koje je do sada ostalo nerešivo, postepeno postaje jasnije. Šta je matematika? Prije 1800. odgovor je bio prilično jednostavan. U to vrijeme nije bilo jasnih granica između različitih nauka matematika je bila dio “; prirodna filozofija“- sistematsko proučavanje prirode koristeći metode koje su predložili veliki reformatori renesanse i početka 17. – Galileo (1564–1642), F. Bacon (1561–1626) i R. Descartes (1596–1650). Vjerovalo se da matematičari imaju svoje polje proučavanja – brojeve i geometrijske objekte – i da matematičari nisu koristili eksperimentalnu metodu. Međutim, Newton i njegovi sljedbenici su uz pomoć proučavali mehaniku i astronomiju aksiomatska metoda po analogiji sa načinom na koji je geometriju predstavio Euklid. U više uopšteno govoreći priznato je da svaka nauka u kojoj se rezultati eksperimenta mogu predstaviti pomoću brojeva ili sistema brojeva postaje područje primjene matematike (u fizici je ova ideja uspostavljena tek u 19. stoljeću).

Polja eksperimentalne nauke koja su podvrgnuta matematičkom tretmanu često se nazivaju "primijenjena matematika"; Ovo je vrlo nesretan naziv, jer, ni po klasičnim ni po modernim standardima, u ovim aplikacijama nema (u strogom smislu) istinski matematičkih argumenata, budući da su predmet proučavanja u njima nematematički objekti. Jednom kada se eksperimentalni podaci prevedu na jezik brojeva ili jednačina (takvo “prevođenje” često zahtijeva veliku snalažljivost od strane “primijenjenog” matematičara), postaje moguća široka primjena matematičkih teorema; rezultat se zatim nazad prevodi i poredi sa zapažanjima. Činjenica da se termin "matematika" primjenjuje na proces ove vrste jedan je od izvora beskrajnih nesporazuma. U „klasičnim“ vremenima o kojima je sada reč, ova vrsta nesporazuma nije postojala, jer su isti ljudi bili i „primenjeni“ i „čisti“ matematičari, koji su istovremeno radili na problemima matematička analiza ili teorija brojeva i problemi dinamike ili optike. Međutim, povećana specijalizacija i tendencija razdvajanja „čiste“ i „primenjene“ matematike značajno su oslabili dosadašnju tradiciju univerzalnosti, a naučnici koji su, poput J. von Neumanna (1903–1957), bili u stanju da sprovedu aktivnu naučna djelatnost kako u primijenjenoj tako i u čistoj matematici, postali su prije izuzetak nego pravilo.

Kakva je priroda matematičkih objekata – brojeva, tačaka, pravih, uglova, površina, itd., čije postojanje uzimamo zdravo za gotovo? Šta znači pojam „istina“ u odnosu na takve objekte? U klasičnom periodu na ova pitanja davani su sasvim određeni odgovori. Naravno, naučnici tog doba jasno su shvatili da u svetu naših senzacija ne postoje stvari kao što su „beskonačno produžena prava linija“ ili „bezdimenzionalna tačka“ Euklida, kao što ne postoje „čisti metali“, „monohromatski“. svjetlo“, „toplotno izolirani sistemi“ itd. .d., kojima eksperimentatori rade u svom zaključivanju. Svi ovi koncepti su “platonske ideje”, tj. svojevrsni generativni modeli empirijskih koncepata, iako radikalno drugačije prirode. Ipak, prešutno se pretpostavljalo da fizičke “slike” ideja mogu biti onoliko bliske koliko se želi samim idejama. U mjeri u kojoj se bilo šta može reći o blizini objekata idejama, za "ideje" se kaže da su, da tako kažem, "ograničavajući slučajevi" fizičkih objekata. Sa ove tačke gledišta, Euklidovi aksiomi i teoreme izvedene iz njih izražavaju svojstva “idealnih” objekata kojima moraju odgovarati predvidljive eksperimentalne činjenice. Na primjer, mjerenje optičkim metodama uglova trokuta formiranog od tri tačke u prostoru, u “idealnom slučaju” bi trebalo da dobije zbir jednak 180°. Drugim riječima, aksiomi se postavljaju na isti nivo kao i fizički zakoni, pa se njihova „istina“ percipira na isti način kao i istina. fizički zakoni; one. logičke posljedice aksioma podliježu provjeri upoređivanjem s eksperimentalnim podacima. Naravno, slaganje se može postići samo u granicama greške povezane i sa „nesavršenom” prirodom mernog instrumenta i „nesavršenom prirodom” mernog objekta. Međutim, uvijek se pretpostavlja da ako su zakoni „tačni“, onda poboljšanja u mjernim procesima u principu mogu učiniti grešku mjerenja onoliko manjom koliko se želi.

Kroz 18. vijek. bilo je sve više dokaza da su sve posledice dobijene iz osnovnih aksioma, posebno u astronomiji i mehanici, u skladu sa eksperimentalnim podacima. A kako su se te posljedice dobijale pomoću matematičkog aparata koji je tada postojao, postignuti uspjesi doprinijeli su jačanju mišljenja o istinitosti Euklidovih aksioma, koja je, kako je rekao Platon, „svima jasna“ i nije predmet rasprave.

Sumnje i nove nade.

Neeuklidska geometrija.

Među postulatima koje je dao Euklid, jedan je bio toliko neočigledan da su ga čak i prvi učenici velikog matematičara smatrali slabom tačkom u sistemu. Poceo. Aksiom o kojem je riječ kaže da se kroz tačku koja leži izvan date prave može povući samo jedna prava paralelna datoj pravoj. Većina geometara je vjerovala da se paralelni aksiom može dokazati drugim aksiomima i da je Euklid formulirao paralelnu tvrdnju kao postulat jednostavno zato što nije mogao doći do takvog dokaza. Ali, mada najbolji matematičari pokušao da reši problem paralela, nijedna od njih nije uspela da nadmaši Euklida. Konačno, u drugoj polovini 18. vijeka. Pokušali su da se Euklidov postulat o paralelama dokaže kontradikcijom. Sugerirano je da je paralelni aksiom netačan. A priori, Euklidov postulat bi se mogao pokazati lažnim u dva slučaja: ako je nemoguće povući jednu paralelnu pravu kroz tačku izvan date prave; ili ako se kroz njega može povući nekoliko paralelnih. Pokazalo se da je prva apriorna mogućnost isključena drugim aksiomima. Pošto su usvojili novi aksiom umjesto tradicionalnog aksioma o paralelama (da se kroz tačku izvan date prave može povući nekoliko pravih paralelnih datoj), matematičari su pokušali iz njega izvesti tvrdnju koja je bila u suprotnosti s drugim aksiomima, ali nisu uspjeli: ne koliko god pokušavali da izvuku konsekvence iz novog „antieuklidskog“ ili „neeuklidskog“ aksioma, kontradikcija se nikada nije pojavila. Konačno, nezavisno jedan od drugog, N. I. Lobačevski (1793–1856) i J. Bolyai (1802–1860) su shvatili da je Euklidov postulat o paralelama nedokaziv, ili, drugim rečima, da se neće pojaviti kontradikcija u „neeuklidskoj geometriji. ”

S pojavom neeuklidske geometrije odmah se pojavilo nekoliko filozofskih problema. Pošto je tvrdnja o apriornoj neophodnosti aksioma nestala, jedini način da se proveri njihova „istina“ bio je eksperimentalni. Ali, kao što je A. Poincaré (1854–1912) kasnije primijetio, u opisu bilo kojeg fenomena krije se toliko fizičkih pretpostavki da ni jedan eksperiment ne može pružiti uvjerljiv dokaz istinitosti ili neistinitosti matematičkog aksioma. Štaviše, čak i ako pretpostavimo da je naš svijet „neeuklidski“, da li iz toga slijedi da je sva euklidska geometrija lažna? Koliko je poznato, nijedan matematičar nikada nije ozbiljno razmatrao takvu hipotezu. Intuicija je sugerirala da su i euklidska i neeuklidska geometrija primjeri punopravne matematike.

Matematička "čudovišta".

Neočekivano, do istih zaključaka došlo se iz sasvim drugog pravca – otkriveni su objekti koji su šokirali matematičare 19. stoljeća. šokirani i prozvani "matematičkim čudovištima". Ovo otkriće je direktno povezano sa veoma suptilnim pitanjima matematičke analize koja su se pojavila tek sredinom 19. veka. Poteškoće su se pojavile prilikom pokušaja da se pronađe tačan matematički analog eksperimentalnog koncepta krive. Ono što je bila suština koncepta "neprekidnog kretanja" (na primjer, vrh olovke za crtanje koji se kreće po listu papira) podlijegalo je preciznoj matematičkoj definiciji, a ovaj cilj je postignut kada je koncept kontinuiteta dobio strogu matematičku značenje ( cm. Također KRIVINA). Intuitivno se činilo da „kriva“ u svakoj od svojih tačaka ima pravac, tj. u opštem slučaju, u blizini svake svoje tačke, kriva se ponaša skoro isto kao i prava linija. (S druge strane, nije teško zamisliti da kriva ima konačan broj uglovnih tačaka, “kiksova”, poput poligona.) Ovaj zahtjev bi se mogao formulirati matematički, naime, postojanje tangente na krivu je bilo pretpostavljeno, i sve do sredine 19. veka. vjerovalo se da "kriva" ima tangentu u gotovo svim svojim tačkama, možda sa izuzetkom nekih "posebnih" tačaka. Stoga je otkriće "krivulja" koje ni u jednom trenutku nisu imale tangentu izazvalo pravi skandal ( cm. Također TEORIJA FUNKCIJE). (Čitalac upoznat s trigonometrijom i analitičkom geometrijom može lako provjeriti da li je kriva data jednadžbom y = x grijeh(1/ x), nema tangentu u ishodištu, ali je mnogo teže definirati krivu koja nema tangentu ni u jednoj tački.)

Nešto kasnije, dobiven je mnogo „patološkiji“ rezultat: bilo je moguće konstruirati primjer krivulje koja u potpunosti ispunjava kvadrat. Od tada su izmišljene stotine takvih „čudovišta“, suprotno „zdravom razumu“. Treba naglasiti da postojanje ovakvih neobičnih matematičkih objekata proizilazi iz osnovnih aksioma jednako strogo i logički besprijekorno kao što je postojanje trokuta ili elipse. Zato što matematička "čudovišta" ne mogu odgovarati nijednom eksperimentalnom objektu, a jedini mogući zaključak je da je svijet matematičkih "ideja" mnogo bogatiji i neobičniji nego što bi se moglo očekivati, a samo malo njih ima korespondencije u svijetu našeg senzacije. Ali ako matematička "čudovišta" logički slijede iz aksioma, onda se aksiomi i dalje mogu smatrati istinitim?

Novi objekti.

Navedeni rezultati su potvrđeni sa još jedne strane: u matematici, uglavnom u algebri, jedan za drugim su se počeli pojavljivati novi matematički objekti, koji su predstavljali generalizaciju pojma broja. Obični cijeli brojevi su prilično „intuitivni“ i uopće nije teško doći do eksperimentalnog koncepta razlomka (iako se mora priznati da je operacija dijeljenja jedinice na nekoliko jednakih dijelova i odabira nekoliko njih različita po prirodi iz procesa prebrojavanja). Jednom kada je otkriveno da se broj ne može predstaviti kao razlomak, Grci su bili primorani da razmatraju iracionalne brojeve, čije ispravno određivanje pomoću beskonačnog niza aproksimacija racionalnim brojevima pripada najvišim dostignućima ljudskog uma, ali teško da odgovara bilo čemu stvarnom u našem fizičkom svijetu (gdje je svako mjerenje uvijek povezano s greškama). Ipak, do uvođenja iracionalnih brojeva došlo je manje-više u duhu “idealizacije” fizičkih koncepata. Šta reći o negativnim brojevima, koji su polako, nailazeći na veliki otpor, počeli da ulaze u naučnu upotrebu u vezi sa razvojem algebre? Može se sa sigurnošću tvrditi da nije bilo gotovih fizičkih objekata od kojih bismo, koristeći proces direktne apstrakcije, mogli razviti koncept negativnog broja, a u nastavi osnovnog predmeta algebre moramo uvesti mnogo pomoćnih i dovoljno složeni primjeri(orijentisani segmenti, temperature, dugovi, itd.) objasniti šta negativni brojevi. Ova situacija je veoma daleko od koncepta „jasan svima“, kako je Platon zahtevao od ideja koje su u osnovi matematike, a često se susrećemo sa diplomcima fakulteta za koje je vladavina znakova još uvek misterija (- a)(–b) = ab. vidi takođe BROJ .

Situacija je još gora sa "imaginarnim" ili "složenim" brojevima, jer oni uključuju "broj" i, takav da i 2 = –1, što je jasno kršenje pravila znaka. Ipak, matematičari s kraja 16.st. ne ustručavajte se izvoditi proračune sa kompleksnim brojevima kao da „imaju smisla“, iako prije 200 godina nisu mogli definirati ove „objekte“ niti ih tumačiti pomoću bilo kakve pomoćne konstrukcije, kao što su, na primjer, tumačeni pomoću usmjerenih segmenata negativnih brojeva . (Nakon 1800. predloženo je nekoliko tumačenja kompleksni brojevi, najpoznatiji je korištenje vektora na ravni.)

Moderna aksiomatika.

Revolucija se dogodila u drugoj polovini 19. veka. I iako to nije bilo popraćeno donošenjem zvaničnih saopštenja, u stvarnosti se radilo o proglašenju svojevrsne „deklaracije nezavisnosti“. Konkretnije, o de facto deklaraciji o nezavisnosti matematike od vanjskog svijeta.

Sa ove tačke gledišta, matematički „objekti“, ako uopšte ima smisla govoriti o njihovom „postojanju“, su čiste kreacije uma, i da li imaju ikakve „korespondencije“ i da li dopuštaju bilo kakvu „interpretaciju“ u fizičkom svetu , jer je matematika nevažna (iako je ovo pitanje samo po sebi zanimljivo).

“Istiniti” iskazi o takvim “objektima” su iste logične posljedice aksioma. Ali sada aksiome treba smatrati potpuno proizvoljnim, i stoga nema potrebe da budu „očigledni“ ili izvodljivi iz svakodnevnog iskustva „idealizacijom“. U praksi je potpuna sloboda ograničena raznim razmatranjima. Naravno, "klasični" objekti i njihovi aksiomi ostaju nepromijenjeni, ali sada se ne mogu smatrati jedinim predmetima i aksiomima matematike, a navika izbacivanja ili mijenjanja aksioma kako bi ih bilo moguće koristiti je postala dio svakodnevne prakse. Različiti putevi, kao što je učinjeno tokom prelaska sa euklidske na neeuklidsku geometriju. (Na taj način su dobijene brojne varijante „neeuklidske“ geometrije, različite od euklidske geometrije i od geometrije Lobačevskog-Boljaja; na primer, postoje neeuklidske geometrije u kojima nema paralelnih linija.)

Posebno bih istakao jednu okolnost koja proizlazi iz novog pristupa matematičkim „objektima“: svi dokazi moraju biti zasnovani isključivo na aksiomima. Ako se prisjetimo definicije matematičkog dokaza, onda takva izjava može izgledati kao da se ponavlja. Međutim, ovo pravilo se rijetko poštovalo u klasičnoj matematici zbog "intuitivne" prirode njenih objekata ili aksioma. Čak i unutra Počeci Euklid, i pored svoje prividne „strogosti“, mnogi aksiomi nisu eksplicitno navedeni i mnoga svojstva se ili prećutno pretpostavljaju ili uvode bez dovoljnog opravdanja. Da bi se euklidska geometrija postavila na čvrstu osnovu, bila je potrebna kritička revizija samih njenih principa. Teško da je vrijedno reći da je pedantna kontrola najsitnijih detalja dokaza posljedica pojave “čudovišta” koja su moderne matematičare naučila da budu oprezni u svojim zaključcima. Najbezazlenija i "samorazumljiva" izjava o klasičnim objektima, na primjer, izjava da kriva koja povezuje tačke smještene duž različite strane od prave, svakako siječe ovu pravu, u modernoj matematici je potreban strogi formalni dokaz.

Može izgledati paradoksalno reći da moderna matematika upravo zbog svog pridržavanja aksioma služi kao jasan primjer onoga što bi svaka nauka trebala biti. Međutim, ovaj pristup ilustruje karakteristična karakteristika Jedan od najosnovnijih procesa naučnog mišljenja je dobijanje tačnih informacija u situaciji nepotpunog znanja. Naučno istraživanje određene klase predmeta pretpostavlja da se osobine koje omogućavaju razlikovanje jednog predmeta od drugog namjerno predaju zaboravu, a da su sačuvane samo opće karakteristike dotičnih predmeta. Ono što matematiku izdvaja od opšteg spektra nauka jeste striktno pridržavanje ovog programa u svim njegovim tačkama. Za matematičke objekte se kaže da su potpuno određeni aksiomima koji se koriste u teoriji tih objekata; ili, Poincaréovim riječima, aksiomi služe kao “prikrivene definicije” objekata na koje se odnose.

SAVREMENA MATEMATIKA

Iako je postojanje bilo kojih aksioma teoretski moguće, do sada je predložen i proučavan samo mali broj aksioma. Obično se tokom razvoja jedne ili više teorija uočava da se određeni obrasci dokazivanja ponavljaju pod više ili manje sličnim uslovima. Jednom kada se otkriju svojstva korištena u općim shemama dokaza, ona se formuliraju kao aksiomi, a njihove posljedice se ugrađuju u opću teoriju koja nema direktnu vezu sa specifičnim kontekstima iz kojih su aksiomi apstrahovani. Opće teoreme dobijene na ovaj način primjenjive su na bilo koju matematičku situaciju u kojoj postoje sistemi objekata koji zadovoljavaju odgovarajuće aksiome. Ponavljanje istih shema dokaza u različitim matematičkim situacijama ukazuje da imamo posla s različitim specifikacijama iste opće teorije. To znači da nakon odgovarajuće interpretacije, aksiomi ove teorije postaju teoreme u svakoj situaciji. Bilo koje svojstvo izvedeno iz aksioma će vrijediti u svim ovim situacijama, ali nema potrebe za posebnim dokazom za svaki slučaj. U takvim slučajevima, za matematičke situacije se kaže da dijele istu matematičku "strukturu".

Ideju strukture koristimo na svakom koraku Svakodnevni život. Ako termometar pokazuje 10°C, a prognoza predviđa porast temperature od 5°C, bez ikakvih proračuna očekujemo temperaturu od 15°C , ne ustručavamo se otvoriti na 15. stranici, ne računajući srednje stranice. U oba slučaja smatramo da sabiranje brojeva daje ispravan rezultat, bez obzira na njihovu interpretaciju - kao temperatura ili brojevi stranica. Ne moramo učiti jednu aritmetiku za termometre, a drugu za brojeve stranica (iako koristimo posebnu aritmetiku kada radimo sa satovima, u kojima je 8 + 5 = 1, pošto satovi imaju drugačiju strukturu od stranica knjige). Strukture koje zanimaju matematičare su nešto složenije, što je lako vidjeti iz primjera koji se razmatraju u naredna dva odjeljka ovog članka. Jedan od njih će govoriti o teoriji grupa i matematičkim konceptima struktura i izomorfizama.

Teorija grupa.

Da biste bolje razumjeli proces koji je gore opisan u generalni nacrt, uzmimo si slobodu da zavirimo u laboratoriju modernog matematičara i pobliže pogledamo jedno od njegovih glavnih oruđa - teoriju grupa ( cm. Također APSTRAKTNA ALGEBRA). Grupa je skup (ili “skup”) objekata G, na kojem je definirana operacija koja odgovara bilo koja dva objekta ili elementa a, b od G, uzeti navedenim redoslijedom (prvi je element a, drugi je element b), treći element c od G prema strogo definisanom pravilu. Radi kratkoće označavamo ovaj element a*b; Zvezdica (*) označava rad kompozicije dva elementa. Ova operacija, koju ćemo nazvati grupnim množenjem, mora zadovoljiti sljedeće uslove:

(1) za bilo koja tri elementa a, b, c od G svojstvo asocijativnosti vrijedi: a* (b*c) = (a*b) *c;

(2) in G postoji takav element e, što za bilo koji element a od G postoji veza e*a = a*e = a; ovaj element e naziva se singularnim ili neutralnim elementom grupe;

(3) za bilo koji element a od G postoji takav element a¢, koji se naziva obrnutim ili simetričnim do elementa a, Šta a*aў = aў* a = e.

Ako se ova svojstva uzmu kao aksiomi, onda njihove logičke posljedice (nezavisne od drugih aksioma ili teorema) zajedno čine ono što se obično naziva teorijom grupa. Izvođenje ovih posljedica jednom za svagda pokazalo se vrlo korisnim, budući da se grupe široko koriste u svim granama matematike. Od hiljada mogućih primjera grupa izdvojit ćemo samo nekoliko najjednostavnijih.

(a) Razlomci str/q, Gdje str I q– proizvoljni cijeli brojevi i1 (sa q= 1 dobijamo obične cijele brojeve). Razlomci str/q formirajte grupu pod grupnim množenjem ( str/q) *(r/s) = (pr)/(qs). Svojstva (1), (2), (3) slijede iz aksioma aritmetike. Zaista, [( str/q) *(r/s)] *(t/u) = (prt)/(qsu) = (str/q)*[(r/s)*(t/u)]. Jedinični element je broj 1 = 1/1, budući da (1/1)*( str/q) = (1H str)/(1H q) = str/q. Konačno, element inverzan razlomku str/q, je razlomak q/str, jer ( str/q)*(q/str) = (pq)/(pq) = 1.

(b) Smatrati kao G skup od četiri cijela broja 0, 1, 2, 3 i as a*b- ostatak divizije a + b na 4. Rezultati ovako uvedene operacije prikazani su u tabeli. 1 (element a*b stoji na raskrsnici linije a i kolona b). Lako je provjeriti da su svojstva (1)–(3) zadovoljena, a element identiteta je broj 0.

(c) Hajde da izaberemo kao G skup brojeva 1, 2, 3, 4 i as a*b- ostatak divizije ab(obični proizvod) za 5. Kao rezultat, dobijamo tabelu. 2. Lako je provjeriti da su svojstva (1)–(3) zadovoljena, a da je element identiteta 1.

(d) Četiri objekta, kao što su četiri broja 1, 2, 3, 4, mogu se poredati u niz na 24 načina. Svaki aranžman se može vizuelno predstaviti kao transformacija koja transformiše „prirodni“ aranžman u dati; na primjer, raspored 4, 1, 2, 3 proizlazi iz transformacije

S: 1 ® 4, 2 ® 1, 3 ® 2, 4 ® 3,

koji se može napisati u pogodnijem obliku

Za bilo koje dvije takve transformacije S, T mi ćemo odrediti S*T kao transformacija koja je rezultat sekvencijalnog izvršavanja T, i onda S. Na primjer, ako , onda . Sa ovom definicijom, sve 24 moguće transformacije čine grupu; njegov jedinični element je , a element inverzan na S, dobijeno zamjenom strelica u definiciji S na suprotno; na primjer, ako , onda .

To je lako vidjeti u prva tri primjera a*b = b*a; u takvim slučajevima se kaže da je grupno ili grupno množenje komutativno. S druge strane, u posljednjem primjeru i stoga T*S razlikuje se od S*T.

Grupa iz primjera (d) je poseban slučaj tzv. simetrične grupe, čije primjene uključuju, između ostalog, metode rješavanja algebarskih jednadžbi i ponašanje linija u spektrima atoma. Grupe u primjerima (b) i (c) igraju važnu ulogu u teoriji brojeva; u primjeru (b) broj 4 se može zamijeniti bilo kojim cijelim brojem n, a brojevi od 0 do 3 – brojevi od 0 do n– 1 (sa n= 12 dobijamo sistem brojeva koji se nalaze na brojčanicima sata, kao što smo pomenuli gore); u primjeru (c) broj 5 se može zamijeniti bilo kojim prost broj R, i brojevi od 1 do 4 - brojevi od 1 do str – 1.

Strukture i izomorfizam.

Prethodni primjeri pokazuju koliko može biti raznolika priroda objekata koji čine grupu. Ali zapravo se u svakom slučaju sve svodi na isti scenario: od svojstava skupa objekata razmatramo samo ona koja ovaj skup pretvaraju u grupu (evo primjera nepotpunog znanja!). U takvim slučajevima se kaže da razmatramo strukturu grupe koju smo odabrali.

Drugi primjer strukture je tzv. struktura naloga. Gomila E obdaren strukturom reda, ili poredan između elemenata a è b, pripada E, data je određena relacija koju označavamo R (a,b). (Ova relacija mora imati smisla za bilo koji par elemenata iz E, ali općenito je netačan za neke parove i istinit za druge, na primjer, relacija 7

(1) R (a,a) važi za sve A, u vlasništvu E;

(2) od R (a,b) I R (b,a) slijedi to a = b;

(3) od R (a,b) I R (b,c) trebalo bi R (a,c).

Navedimo nekoliko primjera iz ogromnog broja raznolikih uređenih skupova.

(A) E sastoji se od svih cijelih brojeva R (a,b) – odnos “ A manje ili jednako b».

(b) E sastoji se od svih cijelih brojeva >1, R (a,b) – odnos “ A deli b ili jednaki b».

Kao konačni primjer strukture, spomenimo strukturu metričkog prostora; takva struktura je definirana na skupu E, ako je svaki par elemenata a I b pripada E, možete uskladiti broj d (a,b) i 0, koji zadovoljava sljedeća svojstva:

(1) d (a,b) = 0 ako i samo ako a = b;

(2) d (b,a) = d (a,b);

(3) d (a,c) Ј d (a,b) + d (b,c) za bilo koja tri data elementa a, b, c od E.

Navedimo primjere metričkih prostora:

(a) običan "trodimenzionalni" prostor, gdje d (a,b) – obična (ili “euklidska”) udaljenost;

(b) površina sfere, gdje d (a,b) – dužina najmanjeg luka kružnice koja spaja dvije tačke a I b na sferi;

Precizna definicija pojma strukture je prilično teška. Ne ulazeći u detalje, to možemo reći za mnoge E struktura određenog tipa je specificirana između elemenata skupa E(a ponekad i drugi objekti, na primjer brojevi koji igraju pomoćnu ulogu) određuju se odnosi koji zadovoljavaju određeni fiksni skup aksioma koji karakteriziraju strukturu tipa koji se razmatra. Iznad smo predstavili aksiome tri vrste struktura. Naravno, postoje mnoge druge vrste struktura čije su teorije u potpunosti razvijene.

Mnogi apstraktni koncepti su usko povezani sa konceptom strukture; Navedimo samo jedan od najvažnijih – koncept izomorfizma. Prisjetite se primjera grupa (b) i (c) datih u prethodnom dijelu. To je lako provjeriti iz tabele. 1 do stola 2 se može kretati korištenjem podudaranja

0 ® 1, 1 ® 2, 2 ® 4, 3 ® 3.

U ovom slučaju kažemo da su ove grupe izomorfne. Generalno, dvije grupe G I G u su izomorfni ako između elemenata grupe G i grupnih elemenata G u moguće je uspostaviti takvu korespondenciju jedan na jedan a « a u, šta ako c = a*b, To cў = aў* b u za odgovarajuće elemente Gŭ. Bilo koja izjava iz teorije grupa koja je važeća za grupu G, ostaje važeći za grupu G u, i obrnuto. Algebarski grupe G I G u indistinguishable.

Čitalac može lako vidjeti da se na potpuno isti način mogu definirati dva izomorfna uređena skupa ili dva izomorfna metrička prostora. Može se pokazati da se koncept izomorfizma proteže na strukture bilo kojeg tipa.

KLASIFIKACIJA

Stare i nove klasifikacije matematike.

Koncept strukture i drugi srodni koncepti zauzeli su centralno mjesto u modernoj matematici, kako sa čisto "tehničke" tako i sa filozofske i metodološke tačke gledišta. Opće teoreme glavnih tipova konstrukcija služe kao izuzetno moćni alati matematičke "tehnike". Kad god matematičar uspije pokazati da predmeti koje proučava zadovoljavaju aksiome određene vrste strukture, on time dokazuje da sve teoreme teorije strukture ovog tipa važe za konkretne objekte koje proučava (bez ovih općih teorema on bi vrlo vjerovatno propustio izgubio bi iz vida njihove specifične opcije ili bi bio prisiljen opteretiti svoje rasuđivanje nepotrebnim pretpostavkama). Slično, ako se dokaže da su dvije strukture izomorfne, tada se broj teorema odmah udvostručuje: svaka dokazana teorema za jednu od struktura odmah daje odgovarajuću teoremu za drugu. Stoga ne čudi što postoje vrlo složene i teške teorije, na primjer „teorija polja klasa“ u teoriji brojeva, čiji je glavni cilj dokazivanje izomorfizma struktura.

Sa filozofske tačke gledišta, široko rasprostranjena upotreba struktura i izomorfizama pokazuje glavnu karakteristiku moderne matematike - činjenicu da „priroda“ matematičkih „objekata“ nije bitna, već su značajni samo odnosi između objekata (neka vrsta princip nepotpunog znanja).

Konačno, ne možemo ne spomenuti da je koncept strukture omogućio da se grane matematike klasificiraju na nov način. Sve do sredine 19. veka. varirale su prema predmetu istraživanja. Aritmetika (ili teorija brojeva) bavila se cijelim brojevima, geometrija pravim linijama, uglovima, poligonima, krugovima, površinama itd. Algebra se bavila gotovo isključivo metodama za rješavanje numeričkih jednačina ili sistema jednačina, analitička geometrija razvijene metode konverzije geometrijski problemi u ekvivalentne algebarske probleme. Opseg interesovanja druge važne grane matematike, nazvane "matematička analiza", uključivao je uglavnom diferencijalni i integralni račun i njihove različite primjene na geometriju, algebru, pa čak i teoriju brojeva. Broj ovih aplikacija se povećavao, a povećavao se i njihov značaj, što je dovelo do fragmentacije matematičke analize na podsekcije: teorija funkcija, diferencijalne jednadžbe (obične i parcijalne derivacije), diferencijalna geometrija, varijacijski račun itd.

Za mnoge moderne matematičare ovaj pristup podsjeća na povijest klasifikacije životinja od strane ranih prirodoslovaca: nekada su se i morska kornjača i tuna smatrale ribama jer su živjele u vodi i imale slične karakteristike. Savremeni pristup nas je naučio da vidimo ne samo ono što leži na površini, već i da pogledamo dublje i pokušamo prepoznati temeljne strukture koje se kriju iza varljivog izgleda matematičkih objekata. Sa ove tačke gledišta, važno je proučiti najvažnije tipove konstrukcija. Malo je vjerovatno da imamo na raspolaganju potpunu i konačnu listu ovih tipova; neki od njih su otkriveni u posljednjih 20 godina, a ima razloga očekivati nova otkrića u budućnosti. Međutim, mi već imamo razumijevanje mnogih osnovnih "apstraktnih" tipova struktura. (Oni su “apstraktni” u poređenju sa “klasičnim” predmetima matematike, iako se čak i oni teško mogu nazvati “konkretnim”; to je više pitanje stepena apstrakcije.)

Poznate strukture mogu se klasificirati prema odnosima koje sadrže ili prema njihovoj složenosti. S jedne strane, postoji opsežan blok “algebarskih” struktura, čiji je poseban slučaj, na primjer, grupna struktura; Među ostalim algebarskim strukturama nazivamo prstenove i polja ( cm. Također APSTRAKTNA ALGEBRA). Grana matematike koja se bavi proučavanjem algebarskih struktura naziva se "moderna algebra" ili "apstraktna algebra", za razliku od obične ili klasične algebre. Značajan dio euklidske geometrije, neeuklidske geometrije i analitičke geometrije također je uključen u novu algebru.

Na istom nivou uopštenosti nalaze se još dva bloka struktura. Jedna od njih, nazvana opća topologija, uključuje teorije tipova struktura, čiji je poseban slučaj struktura metričkog prostora ( cm. TOPOLOGIJA ; APSTRAKTNI PROSTORI). Treći blok se sastoji od teorija struktura reda i njihovih proširenja. “Proširenje” strukture sastoji se od dodavanja novih aksioma postojećim. Na primjer, ako aksiomima grupe dodamo svojstvo komutativnosti kao četvrti aksiom a*b = b*a, tada dobijamo strukturu komutativne (ili Abelove) grupe.

Od ova tri bloka, posljednja dva su donedavno bila u relativno stabilnom stanju, a blok “moderne algebre” je brzo rastao, ponekad u neočekivanim smjerovima (na primjer, razvila se čitava grana nazvana “homološka algebra”). Izvan tzv „čisti“ tipovi struktura leže na drugom nivou – „mešovite“ strukture, na primer algebarske i topološke, zajedno sa novim aksiomima koji ih povezuju. Proučavane su mnoge takve kombinacije, od kojih većina spada u dva široka bloka - "topološka algebra" i "algebarska topologija".

Uzeti zajedno, ovi blokovi čine veoma značajno „apstraktno“ polje nauke. Mnogi matematičari se nadaju da će koristiti nove alate kako bi bolje razumjeli klasične teorije i riješili teške probleme. Zaista, uz odgovarajuću razinu apstrakcije i generalizacije, problemi starih mogu se pojaviti u novom svjetlu, što će omogućiti pronalaženje njihovih rješenja. Ogromni komadi klasičnog materijala došli su pod uticaj nove matematike i transformisani su ili spojeni sa drugim teorijama. Ostaju ogromna područja u kojima savremenim metodama nije otišao tako duboko. Primjeri uključuju teoriju diferencijalne jednadžbe i značajan dio teorije brojeva. Vrlo je vjerovatno da će se značajan napredak u ovim oblastima postići kada se otkriju i temeljno prouče nove vrste građevina.

FILOZOFSKE TEŠKOĆE

Čak su i stari Grci jasno shvatili da matematička teorija treba da bude oslobođena kontradikcija. To znači da je nemoguće izvesti kao logičku posljedicu iz aksioma iskaz R a njegovo poricanje nije P. Međutim, budući da se vjerovalo da matematički objekti imaju korespondencije u stvarnom svijetu, a aksiomi su bili “idealizacije” zakona prirode, niko nije sumnjao u konzistentnost matematike. Na prelazu sa klasične matematike na matematiku savremeni problem konzistentnost je dobila drugačije značenje. Sloboda izbora aksioma bilo koje matematičke teorije mora biti očigledno ograničena uslovom konzistentnosti, ali može li se biti siguran da će ovaj uslov biti ispunjen?

Već smo spomenuli koncept skupa. Ovaj koncept se oduvijek manje-više eksplicitno koristio u matematici i logici. U drugoj polovini 19. veka. djelimično su sistematizovana elementarna pravila za rukovanje pojmom skupa, a dobijeni su i važni rezultati koji su činili sadržaj tzv. teorija skupova ( cm. Također TEORIJA SKUPOVA), koja je takoreći postala supstrat svih ostalih matematičkih teorija. Od antike do 19. veka. bilo je zabrinutosti oko beskonačnih skupova, na primer, što se ogleda u čuvenim paradoksima Zenona od Elejaca (5. vek pre nove ere). Ove zabrinutosti su bile dijelom metafizičke prirode, a dijelom uzrokovane poteškoćama povezanim s konceptom mjerenja veličina (na primjer, dužina ili vrijeme). Te poteškoće je bilo moguće otkloniti tek nakon 19. vijeka. osnovni koncepti matematičke analize bili su strogo definisani. Do 1895. svi strahovi su raspršeni i činilo se da matematika počiva na nepokolebljivim temeljima teorije skupova. Ali u sljedećoj deceniji pojavili su se novi argumenti koji su, čini se, pokazali unutrašnju nedosljednost teorije skupova (i ostatka matematike).

Novi paradoksi su bili vrlo jednostavni. Prvi od njih, Russell-ov paradoks, može se smatrati u jednostavnoj verziji poznatoj kao berberov paradoks. U nekom gradu brijač brije sve stanovnike koji se ne briju sami. Ko sam brije berberina? Ako se brijač sam brije, onda brije ne samo one stanare koji se ne briju sami, već i jednog stanara koji se brije; ako se on sam ne brije, onda ne brije sve stanovnike grada koji se ne briju sami. Paradoks ovog tipa nastaje kad god se razmatra koncept „skupa svih skupova“. Iako se ovaj matematički objekt čini vrlo prirodnim, razmišljanje o njemu brzo dovodi do kontradikcija.

Berryjev paradoks još više otkriva. Razmotrite skup svih ruskih fraza koje ne sadrže više od sedamnaest riječi; Broj riječi u ruskom jeziku je konačan, pa je broj takvih fraza konačan. Odaberimo među njima one koji jedinstveno definiraju neki cijeli broj, na primjer: „Najveći neparan broj, manje od deset." Broj takvih fraza je također konačan; stoga je skup cijelih brojeva određen njima konačan. Označimo konačan skup ovih brojeva sa D. Iz aksioma aritmetike slijedi da postoje cijeli brojevi koji ne pripadaju D, i da je među tim brojevima najmanji broj n. Ovaj broj n je jedinstveno definisan izrazom: "Najmanji cijeli broj koji se ne može definirati frazom koja se sastoji od najviše sedamnaest ruskih riječi." Ali ova fraza sadrži tačno sedamnaest riječi. Dakle, on određuje broj n, koji bi trebao pripadati D, i dolazimo do paradoksalne kontradikcije.

Intuicionisti i formalisti.

Šok izazvan paradoksima teorije skupova izazvao je niz reakcija. Neki matematičari su bili prilično odlučni i iznijeli mišljenje da se matematika od samog početka razvijala u pogrešnom smjeru i da bi se trebala zasnivati na sasvim drugim osnovama. Nije moguće sa bilo kakvom preciznošću opisati gledište takvih „intuicionista“ (kako su sami sebe počeli da nazivaju), jer su odbijali da svoje stavove svedu na čisto logičku šemu. Sa stajališta intuicionista, pogrešno je primjenjivati logičke procese na intuitivno nereprezentativne objekte. Jedini intuitivno jasni objekti su prirodni brojevi 1, 2, 3,... i konačni skupovi prirodni brojevi, „sagrađena“ po tačno određenim pravilima. Ali čak i na takve objekte, intuicionisti nisu dopuštali da se primjene sve dedukcije klasične logike. Na primjer, oni to nisu prepoznali ni za jednu izjavu R istina bilo R, ili ne R. S tako ograničenim sredstvima lako su izbjegli „paradokse“, ali su istovremeno izbacili ne samo svu modernu matematiku, već i značajan dio rezultata klasične matematike, a za one koji su ostali, bilo je potrebno pronaći nove , složeniji dokazi.

Velika većina modernih matematičara nije se složila sa argumentima intuicionista. Matematičari neintuicionisti su primijetili da se argumenti koji se koriste u paradoksima značajno razlikuju od onih koji se koriste u običnom matematičkom radu s teorijom skupova, te stoga takve argumente treba isključiti kao nezakonite bez ugrožavanja postojećih matematičkih teorija. Drugo zapažanje je bilo da u "naivnoj" teoriji skupova, koja je postojala prije pojave "paradoksa", značenje pojmova "skup", "svojstvo", "odnos" nije dovedeno u pitanje - baš kao što je u klasičnoj geometriji "intuitivno" nije dovedena u pitanje priroda uobičajenog geometrijski koncepti. Shodno tome, može se postupiti na isti način kao što je to bilo u geometriji, odnosno odbaciti sve pokušaje pozivanja na „intuiciju“ i uzeti sistem precizno formulisanih aksioma kao polaznu tačku teorije skupova. Nije očito, međutim, kako riječi kao što su "vlasništvo" ili "odnos" mogu biti lišene njihovog uobičajenog značenja; ipak to se mora učiniti ako želimo isključiti takve argumente kao što je Berryjev paradoks. Metoda se sastoji u suzdržavanju od upotrebe običnog jezika u formulisanju aksioma ili teorema; samo su propozicije konstruisane u skladu sa eksplicitnim sistemom rigidnih pravila dozvoljene kao „osobine” ili „relacije” u matematici i ulaze u formulaciju aksioma. Ovaj proces se zove "formalizacija" matematički jezik(da bi se izbjegli nesporazumi koji proizlaze iz nejasnoća običnog jezika, preporučuje se napraviti još jedan korak i zamijeniti same riječi posebnim simbolima u formaliziranim rečenicama, na primjer, zamijeniti vezno “i” simbolom &, vezno “ili ” sa simbolom ʺ̱, “postoji” sa simbolom $, itd.). Matematičari koji su odbacili metode koje su predložili intuicionisti počeli su se nazivati "formalistima".

Međutim, na prvobitno pitanje nikada nije odgovoreno. Da li je “aksiomatska teorija skupova” oslobođena kontradikcija? D. Hilbert (1862–1943) i njegova škola su 1920-ih godina pokušali dokazati konzistentnost “formaliziranih” teorija i nazvani su “metamatematika”. U suštini, metamatematika je grana "primijenjene matematike", gdje su objekti na koje se primjenjuje matematičko rezonovanje prijedlozi formalizirane teorije i njihov raspored unutar dokaza. Ove rečenice treba posmatrati samo kao materijalne kombinacije simbola proizvedenih prema određenim utvrđenim pravilima, bez ikakvog upućivanja na moguće "značenje" ovih simbola (ako ih ima). Dobra analogija je igra šaha: simboli odgovaraju figurama, rečenice odgovaraju različitim pozicijama na tabli, a logički zaključci odgovaraju pravilima za pomicanje figura. Da bi se utvrdila konzistentnost formalizirane teorije, dovoljno je pokazati da se u ovoj teoriji niti jedan dokaz ne završava tvrdnjom 0 br. 0. Međutim, može se prigovoriti korištenju matematičkih argumenata u „metamatematičkom“ dokazu. konzistentnosti matematičke teorije; ako bi matematika bila nekonzistentna, onda bi matematički argumenti izgubili svu snagu, a mi bismo se našli u situaciji začaranog kruga. Da bi odgovorio na ove prigovore, Hilbert je dozvolio vrlo ograničeno matematičko rezonovanje tipa koje intuicionisti smatraju prihvatljivim za upotrebu u metamatematici. Međutim, K. Gödel je ubrzo pokazao (1931) da se konzistentnost aritmetike ne može dokazati tako ograničenim sredstvima ako je zaista dosljedna (opseg ovog članka ne dopušta nam da ocrtamo genijalni metod kojim je dobiven ovaj izvanredan rezultat, i kasnija istorija metamatematike).

Sumirajući trenutnu problematičnu situaciju sa formalističke tačke gledišta, moramo priznati da je daleko od kraja. Upotreba koncepta skupa bila je ograničena rezervama koje su posebno uvedene kako bi se izbjegli poznati paradoksi, i nema garancije da se novi paradoksi neće pojaviti u aksiomatiziranoj teoriji skupova. Ipak, ograničenja aksiomatske teorije skupova nisu spriječila rađanje novih održivih teorija.

MATEMATIKA I PRAVI SVIJET

Uprkos tvrdnjama o nezavisnosti matematike, niko neće poreći da su matematika i fizički svet međusobno povezani. Naravno, matematički pristup rješavanju problema klasične fizike ostaje na snazi. Istina je i da je u veoma važnoj oblasti matematike, odnosno u teoriji diferencijalnih jednadžbi, običnih i parcijalnih izvoda, proces međusobnog obogaćivanja fizike i matematike prilično plodan.

Matematika je korisna u tumačenju fenomena mikrosvijeta. Međutim, nove „aplikacije“ matematike značajno se razlikuju od klasičnih. Jedan od najvažnijih alata fizike postala je teorija vjerovatnoće, koja se ranije koristila uglavnom u teoriji kockanja i osiguranja. Matematički objekti koje fizičari povezuju sa "atomskim stanjima" ili "prijelazima" vrlo su apstraktne prirode i matematičari su ih uveli i proučavali mnogo prije pojave kvantne mehanike. Treba dodati da su se nakon prvih uspjeha pojavile ozbiljne poteškoće. To se dogodilo u vrijeme kada su fizičari pokušavali primijeniti matematičke ideje na suptilnije aspekte kvantna teorija; Ipak, mnogi fizičari i dalje s nadom gledaju na nove matematičke teorije, vjerujući da će im one pomoći u rješavanju novih problema.

Da li je matematika nauka ili umetnost?

Čak i ako uključimo teoriju vjerovatnoće ili matematičku logiku u „čistu” matematiku, ispada da manje od 50% poznatih matematičkih rezultata trenutno koriste druge nauke. Šta da mislimo o preostaloj polovini? Drugim riječima, koji su motivi iza onih područja matematike koja nisu vezana za rješavanje fizičkih problema?

Već smo spomenuli iracionalnost broja kao tipičnog predstavnika ove vrste teorema. Drugi primjer je teorema koju je dokazao J.-L. Lagrange (1736–1813). Teško da postoji matematičar koji to ne bi nazvao “važnim” ili “lijepim”. Lagrangeov teorem kaže da se svaki cijeli broj veći ili jednak jedan može predstaviti kao zbir kvadrata najviše četiri broja; na primjer, 23 = 3 2 + 3 2 + 2 2 + 1 2. S obzirom na trenutno stanje, nezamislivo je da bi ovaj rezultat mogao biti koristan u rješavanju bilo kojeg eksperimentalni zadatak. Istina je da se fizičari danas mnogo češće bave cijelim brojevima nego u prošlosti, ali cijeli brojevi s kojima rade uvijek su ograničeni (rijetko prelaze nekoliko stotina); stoga, teorema kao što je Lagrangeova može biti "korisna" samo ako se primjenjuje na cijele brojeve unutar neke granice. Ali čim ograničimo formulaciju Lagrangeove teoreme, ona odmah prestaje biti zanimljiva za matematičara, jer cjelokupna privlačna snaga ove teoreme leži u njenoj primjenjivosti na sve cijele brojeve. (Postoji mnogo izjava o cijelim brojevima koje računari mogu provjeriti na vrlo veliki brojevi; ali, pošto nije pronađen nikakav opšti dokaz, oni ostaju hipotetički i nisu od interesa za profesionalne matematičare.)

Fokusiranje na teme koje su daleko od neposredne primjene nije neobično za naučnike koji rade u bilo kojoj oblasti, bilo da se radi o astronomiji ili biologiji. Međutim, dok se eksperimentalni rezultat može poboljšati i poboljšati, matematički dokaz je uvijek konačan. Zato je teško odoljeti iskušenju da se matematika, ili barem onaj njen dio koji nema veze sa „stvarnošću“, smatra umjetnošću. Matematički problemi nisu nametnuti izvana, a ako gledamo sa moderne tačke gledišta, potpuno smo slobodni u izboru materijala. Prilikom vrednovanja nekih matematičkih radova, matematičari nemaju “objektivne” kriterije i primorani su da se oslanjaju na vlastiti “ukus”. Ukusi se jako razlikuju ovisno o vremenu, zemlji, tradiciji i pojedincima. U modernoj matematici postoje moda i "škole". Trenutno postoje tri takve „škole“, koje ćemo zbog pogodnosti nazvati „klasicizam“, „modernizam“ i „apstrakcionizam“. Da bismo bolje razumjeli razlike između njih, analizirajmo različite kriterije koje matematičari koriste kada procjenjuju teoremu ili grupu teorema.

(1) Prema opštem mišljenju, „lep” matematički rezultat treba da bude netrivijalan, tj. ne bi trebalo da bude očigledna posledica aksioma ili prethodno dokazanih teorema; dokaz mora koristiti neku vrstu nova ideja ili se stare ideje pametno primjenjuju. Drugim riječima, matematičaru nije važan sam rezultat, već proces prevazilaženja poteškoća s kojima se susreo u njegovom dobivanju.

(2) Svaki matematički problem ima svoju istoriju, takoreći „pedigre“, koji prati isti opšti obrazac po kojem se razvija istorija svake nauke: nakon prvih uspeha može proći određeno vreme pre nego što se dobije odgovor na postavljeno pitanje je pronađeno. Kada se dobije rješenje, priča se tu ne završava, jer počinju poznati procesi širenja i generalizacije. Na primjer, gore spomenuta Lagrangeova teorema dovodi do pitanja predstavljanja bilo kojeg cijelog broja kao sume kocke, četvrtog, petog stepena, itd. Tako nastaje “problem ratovanja” koji još nije dobio konačno rješenje. Štaviše, ako budemo imali sreće, ispostaviće se da je problem koji rešavamo povezan sa jednom ili više fundamentalnih struktura, a to će zauzvrat dovesti do novih problema vezanih za ove strukture. Čak i ako originalna teorija na kraju umre, obično za sobom ostavlja brojne žive izdanke. Savremeni matematičari suočeni su sa tako širokim spektrom problema da bi, čak i kada bi se prekinula svaka komunikacija sa eksperimentalnom naukom, njihovo rešavanje trajalo još nekoliko vekova.

(3) Svaki matematičar će se složiti da kada se pred njim pojavi novi problem, njegova je dužnost da ga riješi na svaki mogući način. Kada se problem odnosi na klasične matematičke objekte (klasicisti se rijetko bave drugim tipovima objekata), klasicisti pokušavaju da ga riješe koristeći samo klasična sredstva, dok drugi matematičari uvode „apstraktnije“ strukture kako bi koristili opće teoreme relevantne za zadatak. Ova razlika u pristupu nije nova. Od 19. vijeka. matematičari se dijele na "taktičare" koji nastoje pronaći čisto nasilno rješenje problema i "stratege" koji su skloni zaobilaznim manevrima koji omogućavaju da se neprijatelj razbije malim snagama.

(4) Suštinski element “ljepote” teoreme je njena jednostavnost. Naravno, potraga za jednostavnošću je karakteristična za svu naučnu misao. Ali eksperimentatori su spremni podnijeti “ružna rješenja” samo ako se problem riješi. Slično tome, u matematici, klasicisti i apstrakcionisti nisu mnogo zabrinuti zbog pojave „patoloških“ rezultata. S druge strane, modernisti idu toliko daleko da u pojavi „patologija” teorije vide simptom koji ukazuje na nesavršenost temeljnih koncepata.

Mathematical Encyclopedia

Mathematical Encyclopedia- Sovjetska enciklopedijska publikacija u pet tomova posvećena matematičkim temama. Objavljeno 1985. godine u izdavačkoj kući "Sovjetska enciklopedija". Glavni urednik: akademik I. M. Vinogradov.

Ovo je temeljna ilustrovana publikacija o svim glavnim granama matematike. Knjiga predstavlja obiman materijal na tu temu, biografije poznatih matematičara, crteže, grafikone, dijagrame i dijagrame.

Ukupan obim: oko 3000 stranica. Distribucija članaka po obimu:

Svezak 1: Abakus - Hajgensov princip, 576 str.
Volume 2: D'Alembert operator - Co-op igra, 552 str.
Svezak 3: Koordinate - monom, 592 str.
Svezak 4: Oko teoreme - Kompleksna funkcija, 608 str.
Svezak 5: Slučajna varijabla - ćelija, 623 str.
Dodatak 5. svesci: indeks, lista uočenih grešaka u kucanju.

Linkovi

Opće i posebne priručnike i enciklopedije iz matematike na portalu “Svijet matematičkih jednačina”, gdje možete preuzeti enciklopediju u elektronskom obliku.

Kategorije:

Knjige po abecednom redu
Matematička literatura
Encyclopedias
Knjige izdavačke kuće "Sovjetska enciklopedija"
Enciklopedije SSSR-a

Wikimedia fondacija. 2010.

Matematička hemija
Matematičke osnove kvantne mehanike

Pogledajte šta je "Matematička enciklopedija" u drugim rječnicima:

Matematička logika- (teorijska logika, simbolička logika) grana matematike koja proučava dokaze i pitanja osnova matematike. “Predmet moderne matematičke logike je raznolik.” Prema definiciji P. S. Poretskog, „matematički ... ... Wikipedia

Encyclopedia- (nova latinska enciklopedija (ne ranije od 16. veka) iz drugih grčkih ἐγκύκλιος παιδεία „učenje u punom krugu”, κύκλος krug i παιδεία učenje/paideia) uneta u sistem o ...

ENCIKLOPEDIJA- (od grčkog enkyklios payeia obuka u čitav niz znanja), naučni. ili naučni popularna referentna publikacija koja sadrži sistematizovane informacije. korpus znanja. Građa u E. je raspoređena abecedno ili sistematski. princip (prema granama znanja)...... Prirodna nauka. enciklopedijski rječnik

MATEMATIČKA LOGIKA- jedno od imena moderne logike koje se pojavilo u drugom. sprat. 19 početak 20ti vijek zamijeniti tradicionalnu logiku. Termin simbolička logika se takođe koristi kao drugi naziv za savremenu fazu u razvoju nauke o logici. Definicija… … Philosophical Encyclopedia

MATEMATIČKI BESKRAJ- uobičajeni naziv za razlaganje. implementacije ideje beskonačnosti u matematici. Iako između značenja pojma M. b. i drugim značenjima u kojima se koristi izraz beskonačnost, ne postoji čvrsta granica (pošto svi ovi koncepti u konačnici odražavaju vrlo ... ... Philosophical Encyclopedia

MATEMATIČKA INDUKCIJA- potpuna matematička indukcija (u matematici se često naziva jednostavno potpuna indukcija; u ovom slučaju ovaj koncept treba razlikovati od koncepta potpune indukcije koji se razmatra u nematematičkoj formalnoj logici), - metoda dokazivanja općih tvrdnji u ... . .. Philosophical Encyclopedia

MATEMATIČKA HIPOTEZA- pretpostavljena promjena oblika, vrste, prirode jednačine koja izražava zakon proučavanog područja pojava, s ciljem da se ono proširi na novo, još neistraženo područje kao svojstveni zakon. M. g. se široko koristi u modernim vremenima. teorijski...... Philosophical Encyclopedia

MATEMATIČKA ŠKOLA POLITIČKE EKONOMIJE- Engleski matematička škola političke ekonomije; njemački mathematische Schule in der politischen Okonomie. Pravac u politici, ekonomiji, koji je nastao u drugoj polovini 19. veka, dali su predstavnici (L. Walras, V. Pareto, O. Jevons, itd.) ... ... Enciklopedija sociologije

MATEMATIČKA ŠKOLA SOCIOLOGIJE- Engleski matematička škola sociologije; njemački mathematische Schule in der Soziologie. Trend u sociologiji koji je nastao u prvoj polovini 20. veka, osnivači sociologije (A. Zipf, E. Dodd, itd.) smatrali su da teorije sociologa dosežu nivo... ... Enciklopedija sociologije

Matematički model zgrada i objekata- Matematički (kompjuterski) model zgrada i objekata - predstavljanje zgrada i objekata u obliku dijagrama konačnih elemenata za izvođenje numeričkih proračuna pri rješavanju skupa problema koji nastaju prilikom projektovanja, izgradnje i... ... Enciklopedija pojmova, definicija i objašnjenja građevinskih materijala

Knjige

Matematička enciklopedija (komplet od 5 knjiga), . Matematička enciklopedija - zgodna referentna publikacija o svim granama matematike. Enciklopedija je zasnovana na člancima posvećenim najvažnijim oblastima matematike. Princip lokacije...

Matematička enciklopedija - referentna publikacija o svim granama matematike. Enciklopedija je zasnovana na preglednim člancima posvećenim najvažnijim oblastima matematike. Glavni zahtjev za članke ovog tipa je moguća potpunost pregleda trenutnog stanja teorije uz maksimalnu dostupnost izlaganja; Ovi članci su uglavnom dostupni studentima viših razreda matematike, diplomiranim studentima i specijalistima iz srodnih oblasti matematike, au određenim slučajevima - stručnjacima iz drugih oblasti znanja koji u svom radu koriste matematičke metode, inženjerima i nastavnicima matematike. Nadalje, daju se članci srednje veličine o pojedinačnim specifičnim problemima i metodama matematike; Ovi članci su namijenjeni užoj čitalačkoj publici i stoga mogu biti manje dostupni. Konačno, druga vrsta članka su kratke reference i definicije. Na kraju posljednjeg toma Enciklopedije nalazi se predmetni indeks, koji će uključivati ne samo naslove svih članaka, već i mnoge pojmove, čije će definicije biti date u člancima prve dvije vrste, kao i kao najvažniji rezultati spomenuti u člancima. Većinu članaka Enciklopedije prati lista referenci sa serijskim brojevima za svaki naslov, što omogućava njihovo citiranje u tekstovima članaka. Na kraju članaka (u pravilu) navodi se autor ili izvor ako je članak već ranije objavljen (uglavnom su to članci u Velikoj sovjetskoj enciklopediji). Imena stranih (osim drevnih) naučnika koja se pominju u člancima popraćena su latiničnim pravopisom (ako nema veze na listu referenci).

Preuzmite i pročitajte Matematičku enciklopediju, tom 3, Vinogradov I.M., 1982.

Preuzmite i pročitajte Matematičku enciklopediju, tom 2, Vinogradov I.M., 1979.

Preuzmite i pročitajte Matematičku enciklopediju, tom 1, Vinogradov I.M., 1977.

Algebra je prvobitno bila grana matematike koja se bavila rješavanjem jednačina. Za razliku od geometrije, aksiomatska konstrukcija algebre nije postojala sve do sredine 19. veka, kada se pojavio suštinski novi pogled na predmet i prirodu algebre. Istraživanja su se počela sve više fokusirati na proučavanje takozvanih algebarskih struktura. Ovo je imalo dvije prednosti. S jedne strane, razjašnjene su oblasti za koje vrijede pojedine teoreme, s druge strane, postalo je moguće koristiti iste dokaze u potpuno različitim područjima. Ova podjela algebre trajala je do sredine 20. vijeka i odrazila se u pojavi dva naziva: „klasična algebra“ i „moderna algebra“. Potonje je bolje okarakterizirano drugim imenom: „apstraktna algebra“. Činjenica je da je ovaj odjeljak - po prvi put u matematici - karakterizirala potpuna apstrakcija.

Preuzmite i pročitajte Malu matematičku enciklopediju, Fried E., Pastor I., Reiman I., Reves P., Ruzsa I., 1976.

“Vjerovatnoća i matematička statistika” je referentna publikacija o teoriji vjerovatnoće, matematičkoj statistici i njihovoj primjeni u različitim oblastima nauke i tehnologije. Enciklopedija ima dva dijela: glavni sadrži pregledne članke, članke posvećene pojedinačnim specifičnim problemima i metodama, kratke reference koje daju definicije osnovnih pojmova, najvažnije teoreme i formule. Znatan prostor posvećen je primijenjenim temama - teorija informacija, teorija queuing, teorija pouzdanosti, eksperimentalno planiranje i srodne oblasti - fizika, geofizika, genetika, demografija i pojedine grane tehnologije. Većina članaka je popraćena bibliografijom najvažnijih radova o ovoj problematici. Naslovi članaka su također prevedeni engleski jezik. Drugi dio – “Antologija o teoriji vjerovatnoće i matematičkoj statistici” sadrži članke pisane za domaće enciklopedije iz prošlosti, kao i enciklopedijske materijale ranije objavljene u drugim radovima. Enciklopedija je popraćena opsežnom listom časopisa, periodičnih publikacija i tekućih publikacija koje pokrivaju teme iz teorije vjerovatnoće i matematičke statistike.
Materijal sadržan u Enciklopediji je neophodan studentima osnovnih studija, postdiplomcima i istraživačima iz oblasti matematike i drugih nauka koji koriste probabilističke metode u svom istraživačkom i praktičnom radu.

Matematička enciklopedija - referentna publikacija o svim granama matematike. Enciklopedija je zasnovana na preglednim člancima posvećenim najvažnijim oblastima matematike. Glavni zahtjev za članke ovog tipa je moguća potpunost pregleda trenutnog stanja teorije uz maksimalnu dostupnost izlaganja; Ovi članci su uglavnom dostupni studentima viših razreda matematike, diplomiranim studentima i specijalistima iz srodnih oblasti matematike, au određenim slučajevima - stručnjacima iz drugih oblasti znanja koji u svom radu koriste matematičke metode, inženjerima i nastavnicima matematike. Nadalje, daju se članci srednje veličine o pojedinačnim specifičnim problemima i metodama matematike; Ovi članci su namijenjeni užoj čitalačkoj publici i stoga mogu biti manje dostupni. Konačno, druga vrsta članka su kratke reference i definicije. Neke definicije date su unutar prve dvije vrste članaka. Većinu članaka Enciklopedije prati lista referenci sa serijskim brojevima za svaki naslov, što omogućava njihovo citiranje u tekstovima članaka. Na kraju članaka (u pravilu) navodi se autor ili izvor ako je članak već ranije objavljen (uglavnom su to članci u Velikoj sovjetskoj enciklopediji). Imena stranih (osim drevnih) naučnika koja se pominju u člancima popraćena su latiničnim pravopisom (ako nema veze na listu referenci).

Princip rasporeda članaka u Enciklopediji je abecedni. Ako je naslov članka pojam koji ima sinonim, onda se potonji navodi iza glavnog. U mnogim slučajevima, naslovi članaka se sastoje od dvije ili više riječi. U ovim slučajevima, termini su dati ili u njihovom najčešćem obliku, ili se prvo mjesto daje riječi s najvažnijim značenjem. Ako naslov članka sadrži vlastiti naziv, on se stavlja na prvo mjesto (lista referenci za takve članke, po pravilu, sadrži primarni izvor koji objašnjava naziv pojma). Naslovi članaka daju se prvenstveno u jednini.

Enciklopedija naširoko koristi sistem linkova na druge članke, gdje će čitalac pronaći dodatne informacije o temi koja se razmatra. Definicija ne sadrži referencu na termin koji se pojavljuje u naslovu članka.

Kako bi se uštedio prostor, u člancima se koriste uobičajene skraćenice nekih riječi za enciklopedije.

Radio na tom 1

Uredništvo matematike izdavačke kuće "Sovjetska enciklopedija" - V. I. BITYUTSKOV (urednik redakcije), M. I. VOITSEHOVSKY (naučni urednik), Y. A. GORBKOV (naučni urednik), A. B. IVANOV (viši naučni urednik), O A. IVANOVA (viši naučni urednik) , T. Y. POPOVA (znanstveni urednik), S. A. RUKOVA (viši znanstveni urednik), E. G. SOBOLEVSKAYA (urednik), L. V. SOKOLOVA (mlađi urednik), L. R. HABIB (mlađi urednik).

Osoblje izdavačke kuće: E. P. RYABOVA (književni urednici). E. I. ZHAROVA, A. M. MARTYNOV (bibliografija). A. F. DALKOVSKAYA (transkripcija). N. A. FEDOROVA (odjel za nabavku). 3. A. SUKHOVA (uređene ilustracije). E. I. ALEXEEVA, N. Y. KRUZHALOVA (urednik rječnika). M. V. AKIMOVA, A. F. PROŠKO (lektor). G. V. SMIRNOVA (tehničko izdanje).

Naslovnica umetnika R. I. MALANICHEV.

Dodatne informacije o tom 1

Izdavačka kuća "Sovjetska enciklopedija"

Enciklopedije, rječnici, priručnici

Naučno-uređivačko vijeće izdavačke kuće

A. M. PROKHOROV (predsjedavajući), I. V. ABASHIDZE, P. A. AZIMOV, A. P. ALEXANDROV, V. A. AMBARTSUMYAN, I. I. ARTOBOLEVSKY, A. V. ARTSIKHOVSKY, M. S. ASIMOV, M. P. JAŽBA N. B., N LYUBOV, P. U. BROVKA, Y. V. BROMLEY, B. E. BYKHOVSKY, V. X. VASILENKO , L M. VOLODARSKY, V. V. VOLSKY, B. M. VUL, B. G. GAFUROV, S. R. GERSHBERG, M. S. GILYAROV, V. P. GLUSHKO, V. M. GLUSHKOV, G. N. GOLIKOV, D. B. GULIEV., S. B. GULIEV. EMELJANOV, E. M. ZHUKOV, A. A. IMSHENETSKY, N. N. INOZEMTSEV, M. I. KABACHNIK, S. V. KALESNIK, G. A. KARAVAEV, K. K. KARAKEEV, M. K. KARATAEV, B. M. KEDROV, G. V. KELDYSH, V. I. KIRUTIL, M. P. L LOZA, Y. E. MAKSAREV , P. A. MARKOV, A. I. MARKUSHEVICH, Y. Y. MATULIS, G. I. NAAN, G. D. OBIČKIN, B. E. PATON, V. M. POLEVOY, M. A. PROKOFIEV, Y. V. PROKHOROV, N. F. ROSTOVCEV, A. ROSTOVCEV, A. ROSTOVCEV, M. R. V. I. SLADKOVSKY, V. I. SMIRNOV, D. N. SOLOVIEV (zam. predsjedavajući), V. G. SOLODOVNIKOV, V. N. STOLETOV, B. I. STUCALIN, A. A. SURKOV, M. L. TERENTJEV, S. A. TOKAREV, V. A. TRAPEZNIKOV, E. K. FEDOROV, M. B. KHRAPCHENKO, E. I. NJ.Č. I. YUTKEVICH. Sekretar Vijeća L.V.KIRILLOVA.

Moskva 1977

Matematička enciklopedija. svezak 1 (A - D)

Glavni i odgovorni urednik I. M. VINOGRADOV

Urednički tim

S. I. ADYAN, P. S. ALEXANDROV, N. S. BAKHVALOV, V. I. BITYUTSKOV (zamjenik glavnog i odgovornog urednika), A. V. BITSADZE, L. N. BOLSHEV, A. A. GONCHAR, N. V EFIMOV, V. A. ILYIN, A. ILYIN, A. L. A., A. K. K. MARZHANISHVILI, E. F. MISHCHENKO, S. P. NOVIKOV, E. G. POZNYAK, Y. V. PROKHOROV (zamjenik glavnog urednika), A. G. SVESHNIKOV, A. N. TIKHONOV, P. L. ULYANOV, A. I. SHIRSHOV, S. V. YABLONSKY

Mathematical Encyclopedia. Ed. tabla: I. M. Vinogradov (glavni urednik) [i drugi] T. 1 - M., “ Sovjetska enciklopedija“, 1977

(Enciklopedije. Rečnici. Priručnici), tom 1. A - G. 1977. 1152 stb. od ill.

Predat na montažu 9. juna 1976. Potpisan za štampu 18. februara 1977. Štampanje teksta sa matrica izrađenih u Prvoj uzornoj štampariji po imenu. A. A. Ždanova. Orden Crvene zastave rada izdavačka kuća "Sovjetska enciklopedija". 109817. Moskva, Ž - 28, Pokrovski bulevar, 8. T - 02616 Tiraž 150.000 primjeraka. Narudžba br. 418. Papir za štampu br. 1. Format papira 84xl08 1/14. Sveska 36 fizička. p.l. ; 60, 48 konvencionalno p.l. tekst. 101, 82 akademski. - ed. l. Cijena knjige je 7 rubalja. 10 k.

Orden Crvene zastave rada Moskovska štamparija br. 1 "Sojuzpoligraprom" u Državni komitet Savjet ministara SSSR-a za izdavaštvo, štampariju i trgovinu knjigama, Moskva, I - 85, Prospekt Mira, 105. Naredba br. 865.