Aksiomatski pristup konstrukciji sistema prirodnih brojeva. Aksiomatske metode u matematici. Osnovni pojmovi i definicije
Polisemija
Polisemija, odnosno višeznačnost riječi, proizilazi iz činjenice da je jezik sistem koji je ograničen u poređenju sa beskonačnom raznolikošću stvarnosti, tako da je, po riječima akademika Vinogradova, „jezik prinuđen da nosi bezbrojni skup značenja u jednu ili drugu rubriku osnovnih pojmova." (Vinogradov "Ruski jezik" 1947). Potrebno je razlikovati različitu upotrebu riječi u jednoj leksiko-semantičkoj varijanti i stvarnu razliku riječi. Tako, na primjer, riječ (das)Ol može označavati niz različitih ulja, osim kravljeg (za koje postoji riječ puter). Međutim, iz ovoga ne proizlazi da će, označavajući različita ulja, riječ Ol svaki put imati drugačije značenje: u svim slučajevima značenje će joj biti isto, odnosno ulje (sve osim kravlje). Kao i, na primjer, značenje riječi Tisch table, bez obzira na to kakav stol u ovom konkretnom slučaju riječ označava. Drugačija je situacija kada riječ Ol znači ulje. Ovdje više ne dolazi do izražaja sličnost ulja po liniji mazivosti sa raznim vrstama ulja, već poseban kvalitet ulja – zapaljivost. A u isto vrijeme, riječi koje označavaju različite vrste goriva već će korelirati s riječju Ol: Kohl, Holz, itd. To nam daje priliku da razlikujemo dva značenja od riječi Ol (ili, drugim riječima, dvije leksičko-semantičke varijante): 1) ulje (ne životinja) 2) ulje.
Obično nova značenja nastaju prenošenjem jedne od postojećih riječi na novi predmet ili pojavu. Tako se formiraju transferne vrijednosti. Oni se zasnivaju ili na sličnosti objekata, ili na povezanosti jednog objekta s drugim. Poznato je nekoliko vrsta prijenosa imena. Najvažnija od njih je metafora ili metonimija.
U metafori, prijenos se temelji na sličnosti stvari u boji, obliku, pokretu itd. Uz sve metaforičke promjene, ostaje neki znak prvobitnog koncepta
homonimija
Polisemija riječi je toliko veliki i višestruki problem da su najrazličitiji problemi leksikologije nekako povezani s njom. Konkretno, problem homonimije također dolazi u dodir sa ovim problemom u nekim svojim aspektima.
Homonimi su riječi koje zvuče isto, ali imaju različita značenja. Homonimi u nekim slučajevima proizlaze iz njihove polisemije, koja je prošla proces uništenja. Ali homonimi mogu nastati i kao rezultat slučajnih zvučnih podudarnosti. Ključ koji otvara vrata, i ključ - opruga ili kosa - frizura i kosa - poljoprivredni alat - ove riječi imaju različita značenja i različito porijeklo, ali se slučajno poklapaju u svom zvuku.
Homonimi razlikuju leksičke (odnose se na jedan dio govora, na primjer, ključ - za otvaranje brave i ključ - opruga. izvor) morfološke (odnose se na različite dijelove govora, na primjer, tri - broj, tri - glagol u imperativnom načinu), leksiko-gramatički, koji nastaju kao rezultat konverzije, kada data riječ prelazi u drugi dio govora. na primjer na eng. pogledaj-izgledaj i pogledaj-izgledaj. U engleskom jeziku ima posebno mnogo leksičkih i gramatičkih homonima.
Homofoni i homografi moraju se razlikovati od homonima. Različite riječi nazivaju se homofoni, koji se, razlikuju po svom pisanju, podudaraju u izgovoru, na primjer: luk - livada, Seite - stranica i Saite - struna.
Homografi su toliko različite riječi koje se poklapaju u pravopisu, iako se različito izgovaraju (i po zvučnom sastavu i po mjestu naglaska u riječi), na primjer Dvorac – zamak.
Sinonimija
Sinonimi su slični po značenju, ali različito zvuče riječi koje izražavaju nijanse istog pojma.
Postoje tri vrste sinonima:
1. Konceptualni ili ideografski. One se međusobno razlikuju po leksičkom značenju. Ova razlika se manifestuje u različitom stepenu naznačenog znaka (mraz - hladan, jak, moćan, moćan), u prirodi njegove oznake (prošivena jakna - prošivena jakna - prošivena jakna), u obimu izraženog koncepta (baner - zastava, drsko - podebljano), u stepenu povezanosti leksičkih vrijednosti (smeđe - smeđe, crno - crno).
2. Sinonimi su stilski ili funkcionalni. Razlikuju se jedni od drugih u sferi upotrebe, na primjer, oči - oči, lice - lice, čelo - čelo. Sinonimi emocionalno - evaluativno. Ovi sinonimi otvoreno izražavaju odnos govornika prema naznačenoj osobi, predmetu ili pojavi. Na primjer, dijete se može svečano nazvati djetetom, od milja dječakom i dječačićem, prezrivo dječakom i naivčinom, a isto tako naglašeno - prezrivo štenetom, naivčinom, kretenom.
3. Antonimi - kombinacije riječi koje su suprotne po svom leksičkom značenju, na primjer: gore - dolje, bijelo - crno, govoriti - ćuti, glasno - tiho.
Antonimija
Postoje tri vrste antonima:
1. Antonimi postupnih i usklađenih suprotnosti, na primjer, bijelo - crno, tiho - glasno, blisko - udaljeno, ljubazno - zao, i tako dalje. Ovi antonimi imaju zajedničko značenje, što omogućava njihovu suprotnost. Dakle, koncepti crne i bijele označavaju suprotne koncepte boja.
2. Antonimi komplementarnih i pretvorbenih suprotnosti: rat - mir, muž - žena, oženjen - samac, mogu - ne mogu, zatvoriti - otvoriti.
3. Antonimi dihotomne podjele pojmova. Često su riječi istog korijena: narodni - anti-narod, legalno - nezakonito, humano - neljudsko.
Kamata je i tzv. antonimija unutar riječi, kada se suprotstavljaju značenja riječi koje imaju istu materijalnu ljusku. Na primjer, u ruskom jeziku glagol posuditi novac nekome znači "posuditi", a pozajmiti novac od nekoga već znači pozajmiti od nekoga. Opozicija značenja unutar riječi naziva se enantiosemija.
6. Aksiomatska konstrukcija sistema prirodnih brojeva. Aksiomatska metoda za konstruisanje matematičke teorije. Zahtevi za sistem aksioma: doslednost, nezavisnost, potpunost. Peanova aksiomatika. Koncept prirodnog broja iz aksiomatskih pozicija. Modeli sistema Peanovih aksioma. Zbrajanje i množenje prirodnih brojeva iz aksiomatskih pozicija. Uređenje skupa prirodnih brojeva. Svojstva skupa prirodnih brojeva. Oduzimanje i dijeljenje skupa prirodnih brojeva iz aksiomatskih pozicija. Metoda matematičke indukcije. Uvođenje nule i konstrukcija skupa nenegativnih cijelih brojeva. Teorema dijeljenja s ostatkom.
Osnovni pojmovi i definicije
Broj - to je izraz određene količine.
Prirodni broj element neograničeno kontinuiranog niza.
Prirodni brojevi (prirodni brojevi) - brojevi koji nastaju prirodno pri brojanju (i u smislu nabrajanja i u smislu računanja).
Postoje dva pristupa definiciji prirodnih brojeva - brojevi koji se koriste u:
nabrajanje (numeracija) stavki (prva, druga, treća, ...);
oznaka broja artikala (bez stavki, jedan artikl, dva artikla, ...).
aksiom - to su osnovna polazišta (samorazumljivi principi) određene teorije, iz kojih se dedukcijom, odnosno čisto logičkim sredstvima, izvlači sav ostali sadržaj ove teorije.
Broj koji ima samo dva djelitelja (sam broj i jedan) naziva se - jednostavan broj.
Kompozitni broj je broj koji ima više od dva djelitelja.
§2. Aksiomatika prirodnog broja
Prirodni brojevi se dobijaju prebrojavanjem predmeta i merenjem veličina. Ali ako se tokom mjerenja pojavljuju drugi brojevi osim prirodnih, onda proračun vodi samo do prirodnih brojeva. Da biste nastavili računati, potreban vam je niz brojeva koji počinje s jednim i koji vam omogućava da prelazite s jednog broja na drugi i onoliko puta koliko je potrebno. Drugim riječima, potreban nam je segment prirodnog niza. Stoga je pri rješavanju problema utemeljenja sistema prirodnih brojeva prije svega bilo potrebno odgovoriti na pitanje šta je broj kao element prirodnog niza. Odgovor na ovo je dat u radovima dvojice matematičara - njemački Grassmann i talijanski Peano. Predložili su aksiomatiku u kojoj prirodni broj je opravdan kao element niza koji se neograničeno nastavlja.
Aksiomatska konstrukcija sistema prirodnih brojeva izvodi se prema formulisanim pravilima.
Pet aksioma se mogu posmatrati kao aksiomatska definicija osnovnih pojmova:
1 je prirodan broj;
Sljedeći prirodni broj je prirodan broj;
1 ne prati nijedan prirodni broj;
Ako je prirodan broj A slijedi prirodni broj b i za prirodan broj With, To b I With identičan;
Ako je bilo koja propozicija dokazana za 1 i ako iz pretpostavke da je tačna za prirodan broj n, proizilazi da je tačno za sljedeće n prirodni broj, onda je ovaj prijedlog istinit za sve prirodne brojeve.
Jedinica je prvi broj prirodnog niza , kao i jedna od cifara u dekadnom brojevnom sistemu.
Vjeruje se da se oznaka jedinice bilo koje kategorije s istim znakom (prilično bliskim modernom) prvi put pojavila u starom Babilonu otprilike 2 tisuće godina prije Krista. e.
Stari Grci, koji su samo prirodne brojeve smatrali brojevima, smatrali su svaki od njih skupom jedinica. Samoj jedinici je dato posebno mjesto: nije se smatrala brojem.
I. Newton je napisao: „... pod brojem ne mislimo toliko na skup jedinica, već na apstraktni omjer jedne količine prema drugoj količini, koju mi konvencionalno prihvaćamo kao jedinicu.“ Tako je jedinica već zauzela svoje mjesto među ostalim brojkama.
Aritmetičke operacije nad brojevima imaju različita svojstva. Mogu se opisati riječima, na primjer: "Zbroj se ne mijenja od promjene mjesta pojmova." Može se pisati slovima: a+b = b+a. Može se izraziti posebnim terminima.
Mi primjenjujemo osnovne zakone aritmetike često iz navike, a da toga nismo svjesni:
1) komutativni zakon (komutativnost), - svojstvo sabiranja i množenja brojeva, izraženo identitetima:
a+b = b+a a*b = b*a;
2) asocijativni zakon (asocijativnost), - svojstvo sabiranja i množenja brojeva, izraženo identitetima:
(a+b)+c = a+(b+c) (a*b)*c = a*(b*c);
3) distributivni zakon (distributivnost), - svojstvo koje povezuje sabiranje i množenje brojeva i izražava se identitetima:
a*(b+c) = a*b+a*c (b+c) *a = b*a+c*a.
Nakon dokazivanja komutativnog, asocijativnog i distributivnog (u pogledu sabiranja) zakona djelovanja množenja, dalja izgradnja teorije aritmetičkih operacija nad prirodnim brojevima ne predstavlja fundamentalne poteškoće.
Trenutno, u mislima ili na komadu papira, radimo samo najjednostavnije proračune, sve češće povjeravajući složenije računske poslove kalkulatorima, kompjuterima. Međutim, rad svih računara – jednostavnih i složenih – zasniva se na najjednostavnijoj operaciji – sabiranju prirodnih brojeva. Ispada da se najsloženiji proračuni mogu svesti na zbrajanje, samo što se ova operacija mora obaviti milione puta.
Aksiomatske metode u matematici
Jedan od glavnih razloga za razvoj matematičke logike je rasprostranjenost aksiomatska metoda u izgradnji raznih matematičkih teorija, prije svega geometrije, a zatim aritmetike, teorije grupa itd. Aksiomatska metoda može se definirati kao teorija koja je izgrađena na unaprijed odabranom sistemu nedefiniranih pojmova i odnosa među njima.
U aksiomatskoj konstrukciji matematičke teorije preliminarno se bira određeni sistem nedefinisanih pojmova i odnosa među njima. Ovi koncepti i odnosi se nazivaju osnovnim. Sljedeći su predstavljeni aksiome one. glavne odredbe razmatrane teorije, prihvaćene bez dokaza. Sav dalji sadržaj teorije logički je izveden iz aksioma. Po prvi put, aksiomatsku konstrukciju matematičke teorije preduzeo je Euklid u konstrukciji geometrije.
Aksiomatska metoda u matematici.
Osnovni pojmovi i odnosi aksiomatske teorije prirodnih nizova. Definicija prirodnog broja.
Sabiranje prirodnih brojeva.
Množenje prirodnih brojeva.
Svojstva skupa prirodnih brojeva
Oduzimanje i dijeljenje prirodnih brojeva.
Aksiomatska metoda u matematici
U aksiomatskoj konstrukciji bilo koje matematičke teorije, određena pravila:
1. Neki koncepti teorije su odabrani kao major i prihvaćen bez definicije.
2. Formulisano aksiome, koji su u ovoj teoriji prihvaćeni bez dokaza, otkrivaju svojstva osnovnih pojmova.
3. Dat je svaki koncept teorije koji nije sadržan u listi osnovnih definicija, objašnjava njegovo značenje uz pomoć glavnog i prethodnog ovog pojma.
4. Svaka rečenica teorije koja nije sadržana u listi aksioma mora biti dokazana. Takvi prijedlozi se nazivaju teoreme i dokazati ih na osnovu aksioma i teorema koje prethode razmatranom.
Sistem aksioma bi trebao biti:
a) dosljedan: moramo biti sigurni da, izvodeći sve vrste zaključaka iz datog sistema aksioma, nikada nećemo doći do kontradikcije;
b) nezavisni: nijedan aksiom ne bi trebao biti posljedica drugih aksioma ovog sistema.
V) kompletan, ako je u njegovom okviru uvijek moguće dokazati ili dati iskaz ili njegovu negaciju.
Euklidovo predstavljanje geometrije u njegovim "Elementima" (3. vek pne) može se smatrati prvim iskustvom aksiomatske konstrukcije teorije. Značajan doprinos razvoju aksiomatske metode za konstruisanje geometrije i algebre dao je N.I. Lobačevskog i E. Galoa. Krajem 19. vijeka Italijanski matematičar Peano razvio je sistem aksioma za aritmetiku.
Osnovni pojmovi i odnosi aksiomatske teorije prirodnih brojeva. Definicija prirodnog broja.
Kao osnovni (nedefinisani) pojam u određenom skupu N je izabran stav , teorije skupova, kao i pravila logike.
Element koji odmah slijedi element A, odrediti A".
Odnos "odmah slijedi" zadovoljava sljedeće aksiome:
Peanovi aksiomi:
Aksiom 1. u mnoštvu N postoji element, direktno ne sljedeći za bilo koji element ovog skupa. Hajde da ga pozovemo jedinica i simbolizuju 1 .
Aksiom 2. Za svaki element A od N postoji samo jedan element A" odmah nakon toga A .
Aksiom 3. Za svaki element A od N postoji najviše jedan element koji odmah slijedi A .
Aksiom 4. Bilo koji podskup M setovi N poklapa se sa N , ako ima svojstva: 1) 1 sadržano u M ; 2) od čega A sadržano u M , slijedi da i A" sadržano u M.
Definicija 1. Gomila N , za čije se elemente uspostavlja odnos “direktno pratiti» koji zadovoljava aksiome 1-4 se zove skup prirodnih brojeva, a njegovi elementi su prirodni brojevi.
Ova definicija ne govori ništa o prirodi elemenata skupa N . Tako da ona može biti bilo šta. Biranje u kompletu N neki određeni skup na kojem je data određena "direktno prateća" relacija koja zadovoljava aksiome 1-4, dobijamo model ovog sistema aksiome.
Standardni model sistema Peanovih aksioma je niz brojeva koji je nastao u procesu istorijskog razvoja društva: 1,2,3,4, ... Prirodni niz počinje brojem 1 (aksiom 1); nakon svakog prirodnog broja odmah slijedi jedan prirodni broj (aksiom 2); svaki prirodni broj odmah slijedi najviše jedan prirodni broj (aksiom 3); počevši od broja 1 i krećući se prema prirodnim brojevima koji odmah slijede jedan za drugim, dobijamo cijeli skup ovih brojeva (aksiom 4).
Dakle, započeli smo aksiomatsku konstrukciju sistema prirodnih brojeva izborom glavnog "direktno pratiti" odnos i aksiome koji opisuju njegova svojstva. Dalja izgradnja teorije uključuje razmatranje poznatih svojstava prirodnih brojeva i operacija nad njima. Treba ih otkriti u definicijama i teoremama, tj. izvedeno na čisto logičan način iz relacije "odmah slijedi", i aksioma 1-4.
Prvi koncept koji uvodimo nakon definicije prirodnog broja je stav "odmah prethodi" , koji se često koristi kada se razmatraju svojstva prirodnog niza.
Definicija 2. Ako je prirodan broj b direktno sledi prirodni broj A, taj broj A pozvao neposredno prethodi(ili prethodni) broj b .
Odnos "prije" ima u blizini imanja.
Teorema 1. Jedan nema prethodni prirodni broj.
Teorema 2. Svaki prirodan broj A, osim 1, ima jedan prethodni broj b, takav da b"= A.
Aksiomatska konstrukcija teorije prirodnih brojeva ne razmatra se ni u osnovnoj ni u srednjoj školi. Međutim, ta svojstva relacije "direktno prate", koja se ogledaju u Peanovim aksiomima, predmet su proučavanja u početnom kursu matematike. Već u prvom razredu, kada se razmatraju brojevi prve desetice, ispada kako se svaki broj može dobiti. Koriste se izrazi “pratiti” i “prije”. Svaki novi broj djeluje kao nastavak proučavanog segmenta prirodnog niza brojeva. Učenici se uvjeravaju da iza svakog broja slijedi sljedeći, i to samo jedan, da je prirodni niz brojeva beskonačan.
Sabiranje prirodnih brojeva
Prema pravilima za konstruisanje aksiomatske teorije, definicija sabiranja prirodnih brojeva mora se uvesti koristeći samo relaciju "direktno pratiti", i koncepti "prirodni broj" I "prethodni broj".
Hajde da uvodimo definiciju sabiranja sa sljedećim razmatranjima. Ako za bilo koji prirodan broj A dodamo 1, dobijamo broj A", odmah nakon toga A, tj. A+ 1= a" i stoga dobijamo pravilo dodavanja 1 bilo kojem prirodnom broju. Ali kako dodati broj A prirodni broj b, razlikuje od 1? Upotrijebimo sljedeću činjenicu: ako je poznato da je 2 + 3 = 5, onda je zbir 2 + 4 = 6, koji odmah slijedi iza broja 5. To se događa jer je u zbiru 2 + 4 drugi član odmah broj nakon broja 3. Dakle 2 + 4 = 2+3 " =(2+3)". Generalno, imamo , .
Ove činjenice leže u osnovi definicije sabiranja prirodnih brojeva u aksiomatskoj teoriji.
Definicija 3. Sabiranje prirodnih brojeva je algebarska operacija koja ima sljedeća svojstva:
Broj a + b pozvao zbir brojeva A I b , i sami brojevi A I b - uslovi.
Kao osnovni koncept za
aksiomatska konstrukcija aritmetike
odnos prirodnih brojeva
"odmah slijedi" dato na
neprazan skup N.
Element koji odmah slijedi
element a, označiti a".
element koji ne slijedi odmah
za koji element ovog skupa. Mi ćemo
nazovite to jedinicom.
Aksiom 2. Za svaki element a od N
postoji samo jedan element a
odmah nakon a. Aksiom 3. Za svaki element a od N
postoji najviše jedan element
koji odmah slijedi a.
Aksiom 4. Bilo koji podskup M
skup N, ima sljedeća svojstva:
1) jedinica pripada skupu M;
2) iz činjenice da je a sadržano u M slijedi da
da je a" sadržano u M, tada se M poklapa sa
mnogi N.
Definicija prirodnog broja
Skup N za čije se elemente uspostavlja relacija"odmah slijedi" zadovoljava aksiome 1-4,
naziva se skup prirodnih brojeva, a njegovi elementi su prirodni brojevi.
Dodatak
Definicija. Zove se sabiranje prirodnih brojevaalgebarska operacija sa svojstvima:
1) (Ɐa ∈ N) a + 1 = a",
2) (Ɐa, b ∈ N) a + b"=(a+b)".
Broj a + b naziva se zbir brojeva a i b, te brojeva a i b
uslovi.
Složimo se oko sljedećeg zapisa:
1" = 2; 2" = 3; 3" = 4; 4" = 5, itd.
Svojstva sabiranja
Teorema 3. Sabiranje prirodnih brojeva postoji i tosamo
Teorema 4. (Ɐ a, b, c ∈ N)(a + b) + c = a + (b + c)
Teorema 5. (Ɐ a, b ∈ N) a+b = b+a
Množenje
Množenje prirodnih brojeva naziva se algebarskimoperacija koja ima sljedeća svojstva:
1)(Ɐ a ∈ N) a 1 =a;
2)(Ɐ a, b ∈ N) a b" = a b + a.
Broj a b naziva se proizvod brojeva a i b i brojeva a i b
b - množitelji
Svojstva množenja
Teorema 7. Množenje prirodnih brojeva postoji, i tosamo.
Teorema 8. (Ɐ a, b, c ∈ N)(a + b) c = ac + b c - distributivnost
desno u pogledu dodavanja.
Teorema 9. (Ɐ a, b, c ∈ N) a (b + c) = + a c - lijeva distributivnost
u vezi sa dodavanjem.
Teorema 10. (Ɐ a, b, c ∈ N) (a b) c = a (b c) - asocijativnost
množenje.
Teorema 11. (Ɐ a, b ∈ N) a b = a b - komutativnost množenja
Pitanja za samoispitivanje
1. Može li se aksiom 3 formulisati na sljedeći način: „Za svaki elementa od N postoji jedinstveni element, nakon čega odmah
treba a"?
2. Nastavite definiciju prirodnog broja: „Prirodni broj
naziva se element skupa ...."
3. Da li je tačno da se svaki prirodan broj dobija iz prethodnog
dodavanje jednog?
4. Koja svojstva množenja se mogu koristiti za pronalaženje
vrijednosti izraza:
a) 5 (10 + 4); b) 125 15 6; c) (8 379) 125?
Književnost
Stoilova L.P.Matematika: Udžbenik za studente. viši ped. udžbenik ustanove.
M.: Izdavački centar "Akademija". 2002. - 424 str.
GOUVPO
Državni pedagoški univerzitet u Tuli
nazvan po Lavu Tolstoju
NUMERIČKI SISTEMI
Tula 2008
Numerički sistemi
Priručnik je namijenjen studentima matematičkih specijalnosti pedagoškog univerziteta i razvijen je u skladu sa državnim standardom za predmet "Numerički sistemi". Prikazan je teorijski materijal. Analiziraju se rješenja tipičnih zadataka. Date su vježbe za rješavanje na praktičnoj nastavi.
Sastavio -
Kandidat fizičko-matematičkih nauka, vanredni profesor na Katedri za algebru i geometriju, Avicenna TSPU L. N. Tolstoj Yu. A. Ignatov
Recenzent -
Kandidat fizičko-matematičkih nauka, profesor Katedre za matematičku analizu TSPU im. L. N. Tolstoj I. V. Denisov
Edukativno izdanje
Numerički sistemi
Kompajler
IGNATOV Jurij Aleksandrovič
© Yu. Ignatov, 2008
NUMERIČKI SISTEMI
Ovaj kurs se bavi osnovama matematike. Daje strogu aksiomatsku konstrukciju osnovnih brojevnih sistema: prirodnog, celobrojnog, racionalnog, realnog, kompleksnog, a takođe i kvaterniona. Zasniva se na teoriji formalnih aksiomatskih sistema, razmatranih u okviru matematičke logike.
U svakom pododjeljku teoreme su prve numerirane. Ako je potrebno pozivati se na teoremu iz druge tačke, koristi se postupno numerisanje: broj tačke se stavlja ispred broja teoreme. Na primjer, teorema 1.2.3 je teorema 3 u odjeljku 1.2.
Integers
Aksiomatska teorija prirodnih brojeva
Aksiomatsku teoriju definiraju sljedeći elementi:
Skup konstanti;
Skup funkcijskih simbola za označavanje operacija;
Skup predikatnih simbola za označavanje odnosa;
Lista aksioma koji se odnose na gore navedene elemente.
Za formalnu aksiomatsku teoriju navedena su i pravila zaključivanja uz pomoć kojih se teoreme dokazuju. U ovom slučaju, svi iskazi se pišu u obliku formula čije značenje nije bitno, a te formule se transformišu prema datim pravilima. U smislenoj aksiomatskoj teoriji, pravila zaključivanja nisu specificirana. Dokazi se izvode na osnovu običnih logičkih konstrukcija, uzimajući u obzir značenje iskaza koji se dokazuju.
U ovom kursu se grade smislene teorije glavnih brojevnih sistema.
Najvažniji zahtjev za aksiomatsku teoriju je njena konzistentnost. Dokaz konzistentnosti se izvodi konstruisanjem modela teorije u drugoj teoriji. Tada se konzistentnost teorije koja se razmatra svodi na konzistentnost teorije u kojoj je model izgrađen.
Za sistem celih brojeva model se gradi u okviru sistema prirodnih brojeva, za racionalne - u sistemu celih brojeva itd. Ispada lanac aksiomatskih teorija, u kojima se svaka teorija oslanja na prethodnu. Ali za prvu teoriju u ovom lancu, odnosno teoriju prirodnih brojeva, nema gdje izgraditi model. Dakle, za sistem prirodnih brojeva treba konstruisati teoriju za koju je postojanje modela van sumnje, iako je to nemoguće rigorozno dokazati.
Teorija bi trebala biti vrlo jednostavna. U tu svrhu, sistem prirodnih brojeva razmatramo samo kao alat za brojanje objekata. Operacije sabiranja, množenja i relacije reda moraju biti definirane nakon što je teorija u naznačenom obliku izgrađena.
Za potrebe brojanja, sistem prirodnih brojeva mora biti niz u kojem je definiran prvi element (jedan), a za svaki element sljedeći nakon njega. Shodno tome, dobijamo sledeću teoriju.
Konstantno: 1 (jedan).
simbol funkcije: "¢". Označava unarnu operaciju "prati", tj. A¢ je broj koji slijedi A. Istovremeno, broj A pozvao prethodni Za A¢.
Nema posebnih predikatnih simbola. Koriste se uobičajena relacija jednakosti i relacija teorije skupova. Aksiomi za njih neće biti naznačeni.
Skup na kojem je teorija izgrađena je označen N.
Aksiomi:
(N1)(" a) a¢ ¹ 1 (jedan ne prati nijedan broj).
(N2)(" a)("b) (a¢ = b¢ ® a = b) (svaki broj ima najviše jedan prethodni broj).
(N3) M Í N, 1O M, ("a)(aÎ M ® a¢Î M) Þ M = N(aksiom matematičke indukcije).
Gornju aksiomatiku predložio je (sa manjim izmenama) italijanski matematičar Peano krajem 19. veka.
Lako je izvesti neke teoreme iz aksioma.
Teorema 1. (Metoda matematičke indukcije). Neka R(n) je predikat definiran na skupu N. Neka bude istina R(1) i (" n)(P(n)® P(n¢)). Onda R(n) je identično istinit predikat na N.
Dokaz. Neka M- skup prirodnih brojeva n, za koji R(n) istina je. Zatim 1O M prema teoremi. Dalje, ako nÎ M, To P(n) je tačno po definiciji M, P(n¢) je tačno prema hipotezi teoreme, i n¢Î M a-priorat M. Sve premise aksioma indukcije su zadovoljene, dakle, M = N. Po definiciji M, to znači R(n) vrijedi za sve brojeve iz N. Teorema je dokazana.
Teorema 2. Bilo koji broj A¹ 1 ima prethodnik, i to samo jedan.
Dokaz. Neka M je skup prirodnih brojeva koji sadrži 1 i sve brojeve koji imaju prethodni. Zatim 1O M. Ako aÎ M, To a¢Î M, jer a¢ ima prethodni (uslov se ovdje čak ni ne koristi aÎ M). Dakle, po aksiomu indukcije M = N. Teorema je dokazana.
Teorema 3. Bilo koji broj se razlikuje od sljedećeg.
Vježbajte. Definisanjem prirodnih brojeva 1¢ = 2, 2¢ = 3, 3¢ = 4, 4¢ = 5, 5¢ = 6, dokazati da je 2 ¹ 6.
Sabiranje prirodnih brojeva
Sljedeća rekurzivna definicija data je za sabiranje prirodnih brojeva.
Definicija. Sabiranje prirodnih brojeva je binarna operacija koja A I b odgovara broju a+b, koji ima svojstva:
(S1) A + 1 = A¢ za bilo koji A;
(S2) a+b¢ = ( a+b)¢ za bilo koji A I b.
Potrebno je dokazati da je ova definicija tačna, odnosno da postoji operacija koja zadovoljava data svojstva. Ovaj zadatak izgleda vrlo jednostavan: dovoljno je izvršiti indukciju na b counting A fiksno. Za ovo je potreban skup M vrijednosti b, za koju je operacija a+b je definisan i zadovoljava uslove (S1) i (S2). Izvodeći induktivni prijelaz, moramo pretpostaviti da za b operaciju i dokazati da je izvršena za b¢. Ali u svojstvu (S2) to mora biti istina za b, već postoji link za a+b¢. Dakle, ovo svojstvo automatski pretpostavlja postojanje operacije i za a+b¢, a time i za naredne brojeve: uostalom, za a+b¢ svojstvo (S2) također mora postojati. Moglo bi se pomisliti da to samo olakšava zadatak tako što induktivni korak čini trivijalnim: tvrdnja koja se dokazuje jednostavno ponavlja induktivnu pretpostavku. Ali poteškoća je ovdje u dokazu za bazu indukcije. Za vrijednost b= 1, svojstva (S1) i (S2) također moraju vrijediti. Ali svojstvo (S2), kao što je prikazano, implicira postojanje operacije za sve vrijednosti nakon 1. Dakle, provjera baze indukcije podrazumijeva dokaz ne za jedinstvo, već za sve brojeve, a indukcija gubi svoj značenje: baza indukcije se poklapa sa tvrdnjom koja se dokazuje.
Gornje obrazloženje ne znači da su rekurzivne definicije netačne ili da zahtijevaju pažljivo opravdanje svaki put. Da bismo ih opravdali, potrebno je koristiti svojstva prirodnih brojeva, koja se u ovoj fazi tek utvrđuju. Kada se one uspostave, valjanost rekurzivnih definicija se može dokazati. U međuvremenu dokazujemo postojanje sabiranja indukcijom na A: u formulama (S1) i (S2) nema veze između sabiranja za A I A¢.
Teorema 1. Sabiranje prirodnih brojeva je uvijek izvodljivo i jedinstveno.
Dokaz. a) Prvo dokazujemo jedinstvenost. Hajde da popravimo A. Zatim rezultat operacije a+b postoji funkcija iz b. Pretpostavimo da postoje dvije takve funkcije f(b) I g(b) sa svojstvima (S1) i (S2). Dokažimo da su jednaki.
Neka M– skup vrijednosti b, za koji f(b) = g(b). Po svojstvu (S1)
f(1) = A + 1 = A¢ i g(1) = A + 1 = A¢ znači f(1) = g(1) i 1O M.
Pusti sada bÎ M, to je f(b) = g(b). Po svojstvu (S2)
f(b¢) = a+b¢ = ( a+b)¢= f(b)¢, g(b¢) = a+b¢ = ( a+b)¢= g(b)¢ = f(b¢),
znači, b¢Î M. Po aksiomu indukcije M = N. Jedinstvenost je dokazana.
b) Sada indukcijom dalje A dokazati postojanje operacije a+b. Neka M je skup tih vrijednosti A, za koju je operacija a+b sa svojstvima (S1) i (S2) je definirana za sve b.
Neka A= 1. Dajemo primjer takve operacije. Po definiciji, postavljamo 1 + b== b¢. Pokažimo da svojstva (S1) i (S2) vrijede za ovu operaciju. (S1) ima oblik 1 + 1 = 1¢, što odgovara definiciji. Provjera (S2): 1 +b¢ =( b¢)¢ =
= (1+b)¢, i (S2) je zadovoljeno. Dakle, 1O M.
Pusti sada AÎ M. Dokažimo to A¢Î M. Pretpostavljamo po definiciji
a¢ +b = (a + b)¢. Onda
a¢ + 1 = (a+ 1)¢ = ( A¢)¢,
a¢ +b¢ = ( a + b¢)¢ = (( a + b)¢)¢ = ( a¢ +b)¢,
a svojstva (S1) i (S2) vrijede.
dakle, M = N, a zbrajanje je definirano za sve prirodne brojeve. Teorema je dokazana.
Teorema 2. Sabiranje prirodnih brojeva je asocijativno, tj.
(a+b) + c = a + (b+c).
Dokaz. Hajde da popravimo A I b i izvršite indukciju na With. Neka M- skup tih brojeva With, za koje je tačna jednakost. Po svojstvima (S1) i (S2) imamo:
(a+b) + 1 = (a+b)¢ = ( a+b¢) = a +(b+ 1) Þ 1O M.
Pusti sada WithÎ M. Onda
(a+b) + c¢ = (( a+b) + c)¢ = ( a +(b + c))¢ = a +(b + c)¢ = a +(b + c¢),
I c¢Î M. Po aksiomu (N3) M = N. Teorema je dokazana.
Teorema 3. Sabiranje prirodnih brojeva je komutativno, tj.
a + b = b + a. (1)
Dokaz. Hajde da popravimo A i izvršite indukciju na b.
Neka b= 1, odnosno potrebno je dokazati jednakost
A + 1 = 1 + A. (2)
Ovu jednakost dokazujemo indukcijom na A.
At A= 1 jednakost je trivijalna. Neka se to uradi za A, mi ćemo to dokazati za A¢. Imamo
A¢ + 1 = ( A + 1) + 1 = (1 + A) + 1 = (1 + A)¢ = 1 + A¢.
Induktivni prijelaz je završen. Po principu matematičke indukcije, jednakost (2) vrijedi za sve A. Ovo dokazuje tvrdnju o bazi indukcije na b.
Neka je sada formula (1) zadovoljena za b. Dokažimo to za b¢. Imamo
a +b¢ = ( a +b)¢ = ( b + a)¢ = b + a¢ = b + (a + 1) = b + (1 + a) = (b + 1) + a = b¢ + a.
Po principu matematičke indukcije, teorema je dokazana.
Teorema 4.a + b ¹ b.
Dokaz je kao vježba.
Teorema 5. Za bilo koje brojeve A I b javlja se jedno i samo jedno od sljedećeg:
1) a = b.
2) Postoji broj k takav da a = b + k.
3) Postoji broj l takav da b = a + l.
Dokaz. Iz teoreme 4 proizilazi da se odigra najviše jedan od ovih slučajeva, pošto se očigledno slučajevi 1) i 2), kao i 1) i 3) ne mogu pojaviti istovremeno. Ako su se slučajevi 2) i 3) dogodili istovremeno, onda a = b + k=
= (A + l) + k = A+ (l + k),
što je opet u suprotnosti sa teoremom 4. Dokažimo da se barem jedan od ovih slučajeva uvijek odvija.
Neka se odabere broj A I M - mnogi od njih b, za svaki od kojih je dato a slučaj 1), 2) ili 3).
Neka b= 1. Ako a= 1, onda imamo slučaj 1). Ako A¹ 1, onda prema teoremi 1.1.2 imamo
a = k" = k + 1 = 1 + k,
odnosno imamo slučaj 2) za b= 1. Dakle, 1 pripada M.
Neka b pripada M. Tada su mogući sljedeći slučajevi:
- A = b, znači, b" = b + 1 = A+ 1, odnosno imamo slučaj 3) za b";
- A = b+k, i ako k= 1, onda A = b + 1 = b", odnosno slučaj 1) za b";
ako k¹ 1, dakle k = t" I
a \u003d b + t" \u003d b + (t + 1)= b + (1+ m) = (b + 1)+ m = b¢ +m,
odnosno postoji slučaj 2) za b";
- b = a + l, i b" =(a + l)¢ = A + l¢, odnosno imamo slučaj 3) za b".
U svim slučajevima b" pripada M. Teorema je dokazana.
Vježbajte. Dokažite iz definicije zbira da je 1 + 1 = 2, 1 + 2 = 3, 2 + 2 = 4, 2 + 3 = 5, 2 + 4 = 3 + 3 = 6.
Množenje prirodnih brojeva
Definicija. Množenje prirodnih brojeva naziva se binarna operacija, a to su prirodni brojevi A I b odgovara broju ab(ili a×b) koji ima sljedeća svojstva:
(P1) A×1 = A za bilo koga A;
(P2) ab" = ab + a za bilo koji A I b.
Što se tiče definicije množenja, ostaju na snazi sve primjedbe koje su date u prethodnom stavu u vezi sa definicijom sabiranja. Konkretno, iz njega još nije jasno da postoji podudaranje s podacima u definiciji svojstva. Stoga je sljedeća teorema, analogna teoremi 1.2.1, od velike fundamentalne važnosti.
Teorema 1. Postoji samo jedno množenje prirodnih brojeva. Drugim riječima, množenje je uvijek izvodljivo i jedinstveno.
Dokaz je prilično sličan dokazu teoreme 1.2.1 i nudi se kao vježba.
Lako je dokazati svojstva množenja formulirana u sljedećim teoremama. Dokaz svake teoreme zasniva se na prethodnim.
Teorema 2.(Zakon o pravoj distribuciji): ( a+b)c = ac + bc.
Teorema 3. Množenje je komutativno: ab=ba.
Teorema 4.(Levi zakon distributivnosti): c(a+b)= ca + cb.
Teorema 5. Množenje je asocijativno: a(bc) = (ab)c.
Definicija. Poluprsten je sistem, gdje su + i × binarne operacije sabiranja i množenja koje zadovoljavaju aksiome:
(1) je komutativna polugrupa, odnosno sabiranje je komutativno i asocijativno;
(2) je polugrupa, odnosno množenje je asocijativno;
(3) držanje distributivnosti desne i lijeve strane.
Sa algebarske tačke gledišta, sistem prirodnih brojeva u odnosu na sabiranje i množenje čini poluprsten.
Vježbajte. Dokažite to na osnovu definicije proizvoda
2x2 = 4, 2x3 = 6.
Vježbe
Dokažite identitete:
1.
1 2 + 2 2 + ... + n 2 = 
.
2. 1 3 + 2 3 + ... + n 3 = .
Pronađite iznos:
3.
.
4.
.
5.
.
6. 1×1! + 2×2! + ... + n×n!.
Dokažite nejednakosti:
7. n 2 < 2n для n > 4.
8. 2n < n! Za n³ 4.
9. (1 + x)n³ 1 + nx, Gdje x > –1.
10. at n > 1.
11.
at n > 1.
12.
.
13.
Indukcijom pronađite grešku u dokazu da su svi brojevi jednaki. Dokazujemo ekvivalentnu tvrdnju: u bilo kojem skupu od n brojevi, svi brojevi su jednaki. At n= 1 izjava je tačna. Neka je istina za n = k, mi ćemo to dokazati za n = k+ 1. Uzmite skup proizvoljnih
(k+ 1) brojevi. Uklonimo jedan broj iz njega A. lijevo k brojeva, prema induktivnoj hipotezi oni su jednaki. Konkretno, dva broja su jednaka b I With. Sada uklonimo broj iz skupa With i uključite A. U rezultirajućem setu, kao i ranije, k brojevi, pa su i oni međusobno jednaki. posebno, a = b. znači, a=b=c, i sve ( k+ 1) brojevi su jednaki. Induktivni korak je završen i tvrdnja je dokazana.
14. Dokažite jak princip matematičke indukcije:
Neka A(n) je predikat na skupu prirodnih brojeva. Neka A(1) istinito i od istine A(k) za sve brojeve k < m prati istinu A(m). Onda A(n) važi za sve n.
Naručeni setovi
Podsjećamo na glavne definicije vezane za odnos poretka.
Definicija. Relacija f ("viša") na skupu M pozvao odnos poretka, ili jednostavno u redu ako je ovaj odnos tranzitivan i antisimetričan. Sistem a M, fñ se zove naručeni set.
Definicija. strogi red, ako je antirefleksivan, i loose order, ako refleksno.
Definicija. Relacija reda f naziva se relacija linearni poredak, ako je povezan, tj a ¹ bÞ a f bÚ b f a. Poziva se red koji nije linearan djelomično.
Definicija. Neka a M A- podset M. Element T setovi A pozvao najmanje ako je manji od svih ostalih elemenata skupa A, to je
("XÎ A)(X ¹ T® X f T).
Definicija. Neka a M, fñ je uređen skup, A- podset M. Element T setovi A pozvao minimalno, ako je u kompletu A nema manjeg elementa, tj. (" XÎ A)(X ¹ T® Ø T f X).
Maksimalni i maksimalni elementi definirani su na sličan način.
Vježbe
1. Dokažite da je tranzitivna i antirefleksivna relacija relacija reda.
2. Dokazati da je relacija djeljivosti M na skupu N je odnos parcijalnog poretka.
3. Dokazati da skup može imati najviše jedan najveći i najviše jedan najmanji element.
4. Pronađite sve minimalne, maksimalne, najveće i najmanje elemente u skupu (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) za omjer djeljivosti.
5. Dokažite da ako skup ima najmanji element, onda je to jedini minimalni element.
6. Na koliko načina se linearni poredak može definirati na skupu od tri elementa? linearno i strogo? linearni i nestrogi?
7. Neka a M, fñ je linearno uređen skup. Dokazati da je relacija > određena uslovom
a > b Û a f b & a¹ b
je odnos strogog linearnog poretka.
8. Neka a M, fñ je linearno uređen skup. Dokazati da je relacija ³ definirana uvjetom
a ³ b Û a f b Ú a= b,
je relacija nestrogog linearnog poretka.
Definicija. Linearno uređen skup á M, fñ, u kojem svaki neprazan podskup ima najmanji element, se poziva prilično uredno. Relacija f u ovom slučaju naziva se relacija kompletna narudžba.
Prema teoremi 1.4.6, sistem prirodnih brojeva je dobro uređen skup.
Definicija. Neka a M Interval odvojen elementom a, naziva se skup R a svi elementi ispod A i drugačiji od A, to je
R a = {x Î Mï a f x, x¹ a}.
Konkretno, ako A je onda minimalni element R a = Æ.
Teorema 1.(Princip transfinite indukcije). Neka a M, fñ je dobro uređen skup, i A Í M. Neka za svaki element A od M od pripadnosti A svi elementi intervala R a sledi to AÎ A. Onda A = M.
Dokaz.
Neka A" = M\A je teorijska razlika skupova M I A. Ako A"= Æ, dakle A = M, i tvrdnja teoreme je zadovoljena. Ako A"¹ Æ , onda, jer M je dobro uređen skup, zatim skup A" sadrži najmanji element T. U ovom slučaju, svi prethodni elementi T i drugačiji od T, ne pripadaju A" i stoga pripadaju A. dakle, P m Í A. Dakle, po hipotezi teoreme T Î A, i stoga T Ï A", suprotno pretpostavci.
Neka a A; fñ je uređen skup. Pretpostavićemo to A je konačan skup. Sa svakim elementom A setovi A uporedi bilo koju tačku T (A) date ravni tako da ako je element A odmah slijedi element b, onda pokažite T (a) će se nalaziti iznad tačke T(b) i povežite ih linijom. Kao rezultat, dobijamo graf koji odgovara datom uređenom skupu.
Vježbe
9. Neka a M, fñ je dobro uređen skup, b Î GospođaÎ M. Dokažite da ili Pb = R s, ili Pb Ì R s, ili R s Ì Pb.
10.
Neka a M, f 1 s i a L, f 2 s su dobro uređeni skupovi takvi da
M Ç L=Æ .
u mnoštvu M È L definišemo binarnu relaciju f sledećim uslovima:
1) ako a, bÎ M, to, a f b Û a f1 b;
2) ako a, bÎ L to, a f b Û a f2 b;
3) ako AÎ M, bÎ L to, a f b.
Dokazati da je sistem á MÈ L, fñ je dobro uređen skup.
Naređene polugrupe
Definicija.polugrupa naziva se algebra á A, *ñ, gdje je * asocijativna binarna operacija.
Definicija. Polugrupa á A, *ñ se naziva polugrupa poništavanja ako zadovoljava svojstva
a*c = b*c Þ a = b;c*a = c*b Þ a = b.
Definicija.naređena polugrupa naziva se sistem á A, +, fñ, gdje je:
1) sistem á A, +ñ je polugrupa;
2) sistem á A, fñ je uređen skup;
3) relacija f je monotona u odnosu na operaciju polugrupe, tj.
a f b Þ a+c f b+c, c+a f c+b.
Uređena polugrupa á A, +, fñ se pozivaju naređena grupa, ako je sistem á A, +ñ je grupa.
U skladu sa tipovima odnosa naloga, linearno uređena polugrupa, linearno uređena grupa, djelomično uređena polugrupa, strogo uređena polugrupa itd.
Teorema 1. U uređenoj polugrupi á A, +, fñ nejednakosti se mogu dodati, tj. a f b, c f d Þ a+c f b+d.
Dokaz. Imamo
a f b Þ a+c f b + c, c f d Þ b+c f b + d
odakle tranzitivnošću a+c f b+d. Teorema je dokazana.
Vježba 1. Dokazati da je sistem prirodnih brojeva djelimično uređena polugrupa s obzirom na množenje i djeljivost.
Lako je vidjeti da je sistem á N, +, >ñ je jako uređena polugrupa, á N, +, ³ñ je nestrogo uređena polugrupa. Može se dati primjer takvog uređenja polugrupe á N, +ñ, u kojem redoslijed nije ni strog ni nestrog.
Vježba 2. Definiramo red f u sistemu prirodnih brojeva na sljedeći način: a f b Û a ³ b & a¹ 1. Dokazati da je á N, +, fñ je uređena polugrupa u kojoj poredak nije ni strog ni nestrog.
Primjer 1 Neka A- skup prirodnih brojeva koji nije jednak jedinici. Hajde da definišemo relaciju f in A na sljedeći način:
a f b Û ($ kÎ N)(a = b+k) & b¹ 3.
Dokazati da je sistem á A, +, fñ je djelomično i strogo uređena polugrupa.
Dokaz. Provjerimo tranzitivnost:
a f b, b f c Þ a = b + k, b№ 3, b = c + l, c¹ 3 a = c +(k+l), c¹ 3 a f c.
Jer a f b Þ a > b, tada važi antirefleksivnost. Iz vježbe 2.1.1 slijedi da je f relacija strogog reda. Redoslijed je djelomičan, jer elementi 3 i 4 nisu ni u kakvom odnosu.
Zadovoljena je monotonost relacije f u odnosu na sabiranje. Zaista, uslov a f b Þ a+c f b+c mogao biti slomljen samo kada
b+c= 3. Ali zbir može biti jednak 3, jer u A nema jedinice.
Grupa od dva elementa ne može biti linearno i strogo uređena. Zaista, neka su 0 i 1 njegovi elementi (0 je nula grupe). Pretpostavimo da je 1 > 0. Tada dobijamo 0 = 1 + 1 > 0 + 1 = 1.
Teorema 2. Bilo koja linearno uređena polugrupa poništavanja može biti linearno i strogo uređena.
Dokaz. Neka a A, +, fñ je uređena polugrupa. Odnos strogog reda > je definiran kao u vježbi 2.1.5: a > b Û a f b & a¹ b. Pokažimo da je uslov 3) iz definicije uređene polugrupe zadovoljen.
a > b Þ a f b, a¹ bÞ a+c f b+c.
Ako a+c = b+c onda, smanjivanjem, dobijamo a = b, što je u suprotnosti sa uslovom
A > b. znači, a+c ¹ b+c, And a+c > b+c. Slično se provjerava i drugi dio uvjeta 3), čime se dokazuje teorema.
Teorema 3. Ako a A, +, fñ je linearno i strogo uređena polugrupa, tada:
1) A + With = b + c Û a = b Û c + a = With + b;
2) A + With f b + c Û A f b Û With + a f With + b.
Dokaz. Neka A + With = b + c. Ako a ¹ b, zatim zbog veze A f b ili
b f a. Ali onda shodno tome A + With f b+ c ili b + With f a+ c, što je u suprotnosti sa uslovom A + With = b + c. Drugi slučajevi se rješavaju slično.
Dakle, svaka linearno i strogo uređena polugrupa je poništavajuća polugrupa.
Definicija. Neka a A, +, fñ je uređena polugrupa. Element A setovi A naziva se pozitivnim (negativnim) ako a + a¹ A I a + a f A(odnosno A f a + a).
Primjer 2 Dokažite da element uređene komutativne poništavajuće polugrupe veći od pozitivnog elementa nije nužno pozitivan.
Rješenje. Koristimo primjer 1. Imamo 2 + 2 f 2, tako da je 2 pozitivan element. 3 = 2 + 1, dakle 3 f 2. Istovremeno, relacija 3 + 3 f 3 ne vrijedi, tako da 3 nije pozitivan element.
Teorema 4. Zbir pozitivnih elemenata komutativne polugrupe sa poništavanjem je pozitivan.
Dokaz. Ako a + a f A I b+b f b, zatim teoremom 1
a + a+ b+b f a + b Þ ( a + b)+ (a+b)f a + b.
Ostaje provjeriti da li ( a + b)+ (a+b)¹ a + b. Imamo:
b+b f b Þ a+b+b f a+b(1)
pretvarajmo se da ( a + b)+ (a+b)=a + b. Zamjenom u (1) dobijamo
a+b+b f a+b+a+b Þ a f a + a.
Zbog antisimetrije a = a + a. Ovo je u suprotnosti sa činjenicom da je element A pozitivno.
Teorema 5. Ako A je pozitivan element linearne i strogo uređene polugrupe, tada za bilo koju b imamo a+b f b, b+a f b.
Dokaz. Imamo a + a f A Þ a+ a+ b f a + b. Ako to nije istina a + b f b, tada, zbog linearnosti, a+b=b ili b f a + b. Dodavanje na lijevoj strani A, dobijamo, respektivno a+ a+ b= a + b ili a + b f a + a + b. Ovi uslovi su u suprotnosti sa antisimetrijom i strogošću odnosa poretka.
Teorema 6. Neka a A, +, fñ je linearno i strogo uređena polugrupa, AÎ A I A+ A¹ a. Zatim elementi:
A, 2*A, 3*A, ...
svi su različiti. Ako je, pored toga, sistem á A, +, fñ je grupa, tada su svi elementi različiti:
0, A,–A, 2*A, - 2*a, 3*a, –3*A, ...
(ispod k*a, kÎ N , aÎ A, što znači zbir a+ …+ a koji sadrži k uslovi)
Dokaz. Ako a + A f A, To a + A + A f a + a, itd. Kao rezultat, dobijamo lanac … f ka f… f 4 A f3 A f2 A f A. Zbog tranzitivnosti i antisimetrije, svi elementi u njemu su različiti. U grupi, lanac se može nastaviti u drugom smjeru dodavanjem elementa - A.
Posljedica. Konačna poništavajuća polugrupa, ako je broj njenih elemenata najmanje 2, ne može biti linearno uređena.
Teorema 7. Neka a A, +, fñ je linearno uređena grupa. Onda
a f a Û b f b.
Dokaz je kao vježba.
Dakle, svaka linearno uređena grupa je ili strogo ili nije strogo uređena. Za označavanje ovih redoslijeda koristit ćemo znakove > i ³, respektivno.
Vježbe
3. Dokazati da je zbir pozitivnih elemenata linearno i jako uređene polugrupe pozitivan.
4. Dokazati da je svaki element linearno i strogo uređene polugrupe veći od pozitivnog elementa sam po sebi pozitivan.
5. Dokažite da je uređena polugrupa linearno uređena ako i samo ako bilo koji konačni skup njenih elemenata ima i samo jedan najveći element.
6. Dokažite da skup pozitivnih elemenata linearno uređene grupe nije prazan.
7. Neka a A, +, fñ je linearno i strogo uređena grupa. Dokazati da je element A sistemima A je pozitivan ako i samo ako A > 0.
8. Dokazati da postoji samo jedan linearan i strog red u aditivnoj polugrupi prirodnih brojeva u kojem skup pozitivnih elemenata nije prazan.
9. Dokažite da multiplikativna polugrupa cijelih brojeva ne može biti linearno uređena.
Naručeno prstenje
Definicija. Sistem a A, +, ×, fñ se poziva naručio semiring, Ako
1) sistem á A, +, ×ñ je poluprsten;
2) sistem á A, +, fñ je uređena polugrupa s nepraznim skupom A+ pozitivni elementi;
3) monotonost je zadovoljena u odnosu na množenje pozitivnim elementima, odnosno ako WithÎ A+ i A f b, To ac f bc, ca f cb.
pozitivan element naručio semiring A je bilo koji pozitivan element uređene polugrupe á A, +, fñ.
Naručeni poluring á A, +, ×, fñ se poziva naručio prsten (polje) ako je polukrug á A, +, ×ñ je prsten (odnosno, polje).
Definicija. Neka a A, +, ×, fñ je uređeni poluprsten. Red f sistema A pozvao Arhimedov, i sistem A - Arhimedov je naredio, ako, bez obzira na pozitivne elemente A I b sistemima A, možete odrediti takav prirodan broj P,Šta N / A f b.
Primjer 1 Polukrug prirodnih brojeva sa omjerom > (većim od) je linearno, striktno i arhimedovski uređeni polukrug.
Za linearno uređeni prsten á A, +, ×, 0, fñ sistem á A, +, 0, fñ je linearno uređena grupa. Ovo implicira, prema teoremi 2.2.7, da je red f ili strog ili nestrog. u mnoštvu A može se uvesti (vežbe 2.1.5 i 2.1.6) novi linearni poredak, koji će biti strog ako je red f nestrog, i nestrog ako je red f strog. U vezi sa ovom napomenom, u linearno uređenom prstenu A obično razmatraju dvije relacije binarnog reda, od kojih je jedna, stroga, označena znakom >, i drugi, nestrogi, znak ³.
Za ono što slijedi, korisno je podsjetiti da je u linearno uređenom prstenu element A je pozitivan ako i samo ako A> 0 (vežba 2.2.7).
Teorema 1. Neka je sistem á A, +, ×, 0, >ñ je linearno uređen prsten. Zatim za bilo koji element A od A ili A = 0, ili A> 0, ili - A > 0.
Dokaz. Zbog linearnosti i strogosti između elemenata
a + a I A jedna i jedina relacija važi a + a>a, a+ a = a, a+ a < a. U prvom slučaju A je pozitivan element. U drugom dodajemo oba dijela - A i dobijamo A= 0. U trećem slučaju dodajemo oba dijela - a - a - a i dobijamo -a < -aa, gdje -a je pozitivan element.
Teorema 2. Zbir i proizvod pozitivnih elemenata linearno uređenog prstena su pozitivni.
Dokaz je kao vježba.
Teorema 3. U linearno uređenom prstenu kvadrat bilo kojeg elementa koji nije nula je pozitivan.
Dokaz je kao vježba.
Teorema 4. U linearno uređenom polju, ako a> 0, onda a –1 > 0.
Dokaz je kao vježba.
Teorema 5. ( Kriterijum narudžbe) . Prsten a A, +, ×, 0ñ ako i samo tada se može linearno i strogo poredati (tj. uvesti linearni i strogi poredak) ako je skup A ima podskup A+ , zadovoljavajući uslove:
1) AÎ A + Þ A¹ 0 & – AÏ A + ;
A¹ 0 Þ AÎ A + Ú – AÎ A + ;
2)a, bÎ A + Þ a + bÎ A + & abÎ A + .
Dokaz. Neka prvo á A, +, ×, 0, >ñ je linearno uređen prsten. Kao željeni podskup A+ u ovom slučaju, na osnovu teorema 1 i 2, može postojati skup pozitivnih elemenata sistema A.
Pusti sada A+ je podskup prstena á A, +, ×, 0ñ zadovoljava uslove teoreme. Pokušajmo uvesti linearni red > u prsten á A, +, ×, 0ñ. Hajde da definišemo ovaj odnos ovako:
A > b Û a - b Î A + .
Lako je provjeriti da je odnos koji smo uveli povezan, antirefleksivan, antisimetričan, tranzitivan, monoton pri sabiranju i množenju bilo kojim elementom iz A + .
Gomila A+ sa svojstvima spomenutim u uvjetu teoreme 4 se zove pozitivni dio prstena á A, +, ×, 0ñ. U budućnosti, prilikom uvođenja reda u neki ring, u njemu ćemo tražiti „pozitivan dio“. Ako takav dio postoji u prstenu, onda se prsten može naručiti, ako ne, onda je nemoguće, ako postoji nekoliko takvih nepodudarnih pozitivnih dijelova, onda se može naručiti na više načina.
Iz rečenog proizilazi da se pri definiranju linearno uređenog prstena kao osnovne relacije umjesto binarne relacije > može uzeti unarna relacija "pozitivni dio".
Teorema 6. ( Kriterijum za jedinstvenost linearnog reda) . Neka A+ i A++ su pozitivni dijelovi prstena á A, +, ×, 0ñ. Onda
A + = A ++ Û A + Í A ++ .
Zahtjevi za sistem aksioma, Peanoovi aksiomi. U aksiomatskoj konstrukciji svake matematičke teorije poštuju se određena pravila: 1) neki koncepti teorije se biraju kao osnovni i prihvataju bez definicije; 2) svakom konceptu teorije, koji nije sadržan u listi osnovnih, data je definicija. Svoje značenje objašnjava uz pomoć osnovnih i prethodnih pojmova. 3) formulišu se aksiomi, odnosno rečenice koje su prihvaćene u ovoj teoriji bez dokaza. Svojstva osnovnih pojmova otkrivaju se u aksiomima. 4) svaka rečenica teorije koja nije sadržana u listi aksioma mora biti dokazana. Takve propozicije se nazivaju teoremi. Oni se dokazuju na osnovu aksioma i teorema koje prethode ovoj.
TO. aksiomatska metoda konstruisanja matematičke teorije prolazi kroz nekoliko faza: 1) uvođenje osnovnih nedefinisanih pojmova (na primer: skup, element skupa u teoriji skupova). 2) uvođenje osnovnih relacija (npr. relacija pripadnosti u teoriji skupova). 3) kroz navođenje osnovnih pojmova i osnovnih relacija uvodi se definicija drugih pojmova i odnosa (npr. u teoriji skupova pojmovi unije, preseka, razlike, komplementa).
U aksiomatskoj konstrukciji teorije, svi iskazi se izvode dokazivanjem iz aksioma. Osnova takve teorije je sistem aksioma, a na sistem aksioma se postavljaju posebni zahtjevi: 1) sistem aksioma mora biti konzistentan. Za sistem aksioma se kaže da je konzistentan ako se iz njega ne mogu logički izvesti dvije međusobno isključive tvrdnje. Drugim riječima, nemoguće je zaključiti prijedlog i negaciju date propozicije tako da su obje istinite u isto vrijeme. Da bismo bili sigurni da je sistem aksioma konzistentan, dovoljno je izgraditi model ovog sistema. 2) sistem aksioma mora biti nezavisan. Sistem aksioma se naziva nezavisnim ako nijedan od aksioma ovog sistema nije posledica drugih aksioma. Drugim riječima, svaki aksiom ovog sistema ne može se izvesti iz ostalih aksioma. Da bi se dokazala nezavisnost sistema aksioma, dovoljno je konstruisati model ovog sistema. 3) sistem aksioma mora biti potpun, tj. broj izabranih aksioma u datoj teoriji treba da bude dovoljan za uvođenje novih pojmova, odnosa, dokazivanja teorema, za izgradnju cijele teorije.
U aksiomatskoj konstrukciji iste teorije mogu se koristiti različiti sistemi aksioma, ali oni moraju biti ekvivalentni. Kao osnovni koncept u aksiomatskoj konstrukciji sistema prirodnih brojeva uzima se relacija "direktno slijede". Koncepti "skup", "element skupa", pravilo logike takođe se smatraju dobro poznatim. Element neposredno iza elementa a označava se prostim brojem.
Suština odnosa “direktno slijedi” otkriva se u sljedećim aksiomima: 1) u skupu prirodnih brojeva postoji element koji ne slijedi odmah nijedan element ovog skupa, ovaj element je 1 (jedan). 2) za svaki element a iz skupa prirodnih brojeva (N) postoji jedinstveni element a? , odmah nakon a. 3) za svaki element a od N, postoji najviše jedan element iza kojeg odmah slijedi a. 4) bilo koji podskup M skupa N koji ima svojstva: 1 M, a iz činjenice da je a sadržano u M, šta znači a? sadržano je u M, poklapa se sa skupom N.
Navedeni sistemi aksioma nazivaju se Peanovi aksiomi. TO. skup brojeva za koji je uspostavljena direktna sljedeća relacija, koja zadovoljava Peanoove aksiome, naziva se skup prirodnih brojeva, a njegov element se naziva prirodnim brojem. Četvrti aksiom opisuje beskonačnost prirodnog niza brojeva i naziva se aksiomom indukcije. Na osnovu toga se metodom matematičke indukcije dokazuju različiti iskazi, a to je: da bi se dokazalo da je data tvrdnja tačna za bilo koji prirodan broj, potrebno je: 1) dokazati da je ta tvrdnja tačna za jedinstvo, 2) iz propozicije da je tvrdnja tačna za proizvoljan broj k, dokazati da je tačna za sledeći broj k?.
Definicija skupa N ne govori ništa o prirodi ovog skupa, što znači da može biti bilo šta. Odabirom kao skup N bilo koji skup na kojem je data relacija direktnog praćenja i koji zadovoljava Peanoove aksiome, dobijamo model ovog sistema aksioma. Može se uspostaviti korespondencija jedan na jedan između svih takvih modela. Ovi modeli će se razlikovati samo po prirodi elemenata, nazivu i oznaci. Broj: 1, 2, 3, 4, 5… 0,00,000,0000,00000, … S, 1/3, j, 1/5,
