Duž. Osnovni koncepti. Paralelne linije. Vizuelni vodič (2020) Šta su paralelne prave

Ovaj članak je o paralelnim linijama i o paralelnim linijama. Prvo se daje definicija paralelnih pravih u ravni i u prostoru, uvode se oznake, daju se primjeri i grafičke ilustracije paralelnih pravih. Dalje se analiziraju znaci i uslovi paralelnosti pravih linija. U zaključku, prikazana su rješenja tipičnih zadataka dokazivanja paralelizma pravih, koja su data nekim jednačinama prave u pravokutnom koordinatnom sistemu na ravni i u trodimenzionalnom prostoru.

Navigacija po stranici.

Paralelne linije - osnovne informacije.

Definicija.

Zovu se dvije prave u ravni paralelno ako nemaju zajedničke tačke.

Definicija.

Zovu se dvije linije u tri dimenzije paralelno ako leže u istoj ravni i nemaju zajedničkih tačaka.

Imajte na umu da je klauzula "ako leže u istoj ravni" u definiciji paralelnih pravih u prostoru veoma važna. Razjasnimo ovu tačku: dvije prave u trodimenzionalnom prostoru koje nemaju zajedničkih tačaka i ne leže u istoj ravni nisu paralelne, već su nagnute.

Evo nekoliko primjera paralelnih linija. Suprotne ivice lista sveske leže na paralelnim linijama. Prave linije duž kojih ravnina zida kuće siječe ravnine stropa i poda su paralelne. Željezničke pruge na ravnom terenu također se mogu smatrati paralelnim linijama.

Simbol "" se koristi za označavanje paralelnih linija. To jest, ako su prave a i b paralelne, onda možete ukratko napisati a b.

Imajte na umu da ako su prave a i b paralelne, onda možemo reći da je prava a paralelna pravoj b, kao i da je prava b paralelna pravoj a.

Recimo izjavu koja igra važnu ulogu u proučavanju paralelnih pravih u ravni: kroz tačku koja ne leži na datoj pravoj prolazi jedina prava paralelna datoj. Ova tvrdnja se prihvata kao činjenica (ne može se dokazati na osnovu poznatih aksioma planimetrije), a naziva se aksiomom paralelnih pravih.

Za slučaj u prostoru, teorema je tačna: kroz bilo koju tačku u prostoru koja ne leži na datoj pravoj, prolazi jedna prava paralelna sa datom. Ova teorema se lako može dokazati korištenjem aksioma paralelnih pravih koji je gore dat (dokaz možete pronaći u udžbeniku geometrije za 10-11 razred, koji je naveden na kraju članka u bibliografiji).

Za slučaj u prostoru, teorema je tačna: kroz bilo koju tačku u prostoru koja ne leži na datoj pravoj, prolazi jedna prava paralelna sa datom. Ova teorema se lako dokazuje korištenjem aksioma paralelnih pravih koji je dat gore.

Paralelnost pravih - znaci i uslovi paralelizma.

Znak paralelnih pravih je dovoljan uslov za paralelne prave, odnosno takav uslov čije ispunjenje garantuje paralelne prave. Drugim riječima, ispunjenje ovog uslova je dovoljno da se konstatuje činjenica da su prave paralelne.

Takođe postoje neophodni i dovoljni uslovi za paralelne prave u ravni i u trodimenzionalnom prostoru.

Objasnimo značenje izraza "neophodan i dovoljan uslov za paralelne prave".

Već smo se bavili dovoljnim uslovom za paralelne prave. A koji je "nužan uslov za paralelne prave"? Pod nazivom "neophodno" jasno je da je ispunjenje ovog uslova neophodno da bi prave bile paralelne. Drugim riječima, ako nužni uvjet za paralelne prave nije zadovoljen, tada prave nisu paralelne. dakle, neophodan i dovoljan uslov da prave budu paralelne je uslov čije je ispunjenje neophodno i dovoljno za paralelne prave. To jest, s jedne strane, ovo je znak paralelnih pravih, a s druge strane, ovo je svojstvo koje imaju paralelne prave.

Prije nego što navedemo neophodan i dovoljan uvjet da prave budu paralelne, korisno je podsjetiti se na nekoliko pomoćnih definicija.

sekantna linija je prava koja siječe svaku od dvije date nepodudarne prave.

Na presjeku dvije linije sekante formira se osam neraspoređenih. tzv ležeći poprečno, odgovarajući I jednostrani uglovi. Pokažimo ih na crtežu.

Teorema.

Ako se dvije prave na ravni presecaju sekantom, tada je za njihov paralelizam potrebno i dovoljno da su poprečni uglovi jednaki, ili odgovarajući uglovi jednaki, ili je zbir jednostranih uglova jednak 180 stepeni. .

Pokažimo grafičku ilustraciju ovog neophodnog i dovoljnog uslova za paralelne prave u ravni.

Dokaze za ove uslove za paralelne prave možete pronaći u udžbenicima geometrije za 7-9 razred.

Imajte na umu da se ovi uvjeti mogu koristiti i u trodimenzionalnom prostoru - glavna stvar je da dvije linije i sekansa leže u istoj ravni.

Evo još nekoliko teorema koje se često koriste u dokazivanju paralelizma pravih.

Teorema.

Ako su dvije prave u ravni paralelne s trećom pravom, onda su one paralelne. Dokaz ove karakteristike slijedi iz aksioma paralelnih pravih.

Sličan uslov postoji i za paralelne linije u trodimenzionalnom prostoru.

Teorema.

Ako su dvije prave u prostoru paralelne s trećom linijom, onda su paralelne. Dokaz ove osobine razmatra se u nastavi geometrije u 10. razredu.

Hajde da ilustrujemo izražene teoreme.

Navedimo još jednu teoremu koja nam omogućava da dokažemo paralelizam pravih u ravni.

Teorema.

Ako su dvije prave u ravni okomite na treću pravu, onda su paralelne.

Postoji slična teorema za linije u prostoru.

Teorema.

Ako su dvije prave u trodimenzionalnom prostoru okomite na istu ravan, onda su paralelne.

Nacrtajmo slike koje odgovaraju ovim teoremama.

Sve gore formulisane teoreme, predznaci i potrebni i dovoljni uslovi savršeno su pogodni za dokazivanje paralelizma pravih metodama geometrije. Odnosno, da bi se dokazala paralelnost dviju zadanih pravih, potrebno je pokazati da su one paralelne s trećom pravom, ili pokazati jednakost poprečno ležećih uglova itd. Mnogi od ovih problema rješavaju se na časovima geometrije u srednjoj školi. Međutim, treba napomenuti da je u mnogim slučajevima zgodno koristiti metodu koordinata za dokazivanje paralelnosti pravih u ravni ili u trodimenzionalnom prostoru. Formulirajmo potrebne i dovoljne uslove za paralelnost pravih koje su date u pravougaonom koordinatnom sistemu.

Paralelizam pravih u pravougaonom koordinatnom sistemu.

U ovom dijelu članka ćemo formulirati neophodni i dovoljni uslovi za paralelne prave u pravougaonom koordinatnom sistemu, u zavisnosti od vrste jednačina koje određuju ove prave, a daćemo i detaljna rešenja tipičnih problema.

Počnimo sa uslovom paralelnosti dve prave na ravni u pravougaonom koordinatnom sistemu Oxy . Njegov dokaz se zasniva na definiciji usmjeravajućeg vektora prave i definiciji vektora normale prave na ravni.

Teorema.

Da bi dvije nepodudarne prave bile paralelne u ravni, potrebno je i dovoljno da vektori smjera ovih pravih budu kolinearni, ili da su vektori normale ovih pravi kolinearni, ili da je vektor smjera jedne prave okomit na normalu vektor druge linije.

Očigledno, uvjet paralelizma dvije prave u ravni svodi se na (vektori pravca prava ili normalni vektori pravih) ili na (vektor smjera jedne prave i vektor normale druge linije). Dakle, ako su i vektori smjera linija a i b, i I su normalni vektori pravih a i b, redom, onda se neophodan i dovoljan uslov za paralelne prave a i b može zapisati kao , ili , ili , gdje je t neki realni broj. Zauzvrat, koordinate usmjeravajućih i (ili) normalnih vektora pravih a i b nalaze se iz poznatih jednačina pravih linija.

Konkretno, ako prava a u pravougaonom koordinatnom sistemu Oxy na ravni definiše opštu jednačinu prave oblika , a prava b - , tada normalni vektori ovih pravih imaju koordinate i respektivno, a uslov paralelnosti pravih a i b će biti zapisan kao .

Ako prava linija a odgovara jednačini prave linije sa koeficijentom nagiba oblika . Dakle, ako su prave linije na ravni u pravougaonom koordinatnom sistemu paralelne i mogu se dati jednačinama pravih linija sa koeficijentima nagiba, tada će koeficijenti nagiba pravih biti jednaki. I obrnuto: ako se nepodudarne prave na ravni u pravougaonom koordinatnom sistemu mogu dati jednačinama prave linije sa jednakim koeficijentima nagiba, onda su takve prave paralelne.

Ako prava a i prava b u pravokutnom koordinatnom sistemu definiraju kanonske jednadžbe prave na ravni oblika I , ili parametarske jednadžbe prave linije na ravni oblika I respektivno, tada vektori smjera ovih linija imaju koordinate i , a uvjet paralelnosti linija a i b zapisuje se kao .

Pogledajmo nekoliko primjera.

Primjer.

Jesu li linije paralelne? i ?

Rješenje.

Prepisujemo jednadžbu prave u segmentima u obliku opšte jednačine prave: . Sada je jasno da je to normalni vektor prave linije , i je normalni vektor prave linije. Ovi vektori nisu kolinearni, jer ne postoji pravi broj t za koji je jednakost ( ). Shodno tome, nužan i dovoljan uslov za paralelnost pravih na ravni nije zadovoljen, pa date prave nisu paralelne.

odgovor:

Ne, prave nisu paralelne.

Primjer.

Da li su prave i paralele?

Rješenje.

Kanoničku jednačinu prave dovodimo do jednačine prave sa nagibom: . Očigledno je da jednačine pravih i nisu iste (u ovom slučaju date prave bi bile iste) i nagibi su jednaki, dakle, originalne prave su paralelne.

U ravni se prave nazivaju paralelnim ako nemaju zajedničkih tačaka, odnosno ne seku. Za označavanje paralelizma koristite posebnu ikonu || (paralelne prave a || b).

Za prave koje leže u prostoru nije dovoljan zahtjev da nema zajedničkih tačaka - da bi bile paralelne u prostoru, moraju pripadati istoj ravni (inače će biti nagnute).

Za primjerima paralelnih linija ne morate ići daleko, one nas prate svuda, u prostoriji su to linije presjeka zida sa stropom i podom, na listu sveske su suprotne ivice itd.

Sasvim je očigledno da će, ako imamo dvije paralelne i treću pravu paralelnu s jednom od prve dvije, ona biti paralelna s drugom.

Paralelne prave u ravni su povezane tvrdnjom koja se ne može dokazati pomoću aksioma planimetrije. Prihvaćeno je kao činjenica, kao aksiom: za bilo koju tačku na ravni koja ne leži na pravoj, postoji jedna prava linija koja prolazi kroz nju paralelno sa datom. Svaki učenik šestog razreda zna ovaj aksiom.

Njegova prostorna generalizacija, odnosno tvrdnja da za bilo koju tačku u prostoru koja ne leži na pravoj, postoji jedinstvena prava koja prolazi kroz nju paralelno sa datom, lako se dokazuje korištenjem već poznatog aksioma paralelizma u avion.

Svojstva paralelnih pravih

• Ako je bilo koja od dvije paralelne prave paralelna s trećom, onda su one međusobno paralelne.

Paralelne prave imaju ovo svojstvo i u ravni i u prostoru.
Kao primjer, razmotrite njegovo opravdanje u stereometriji.

Neka su prave b paralelne sa pravom a.

Slučaj kada sve linije leže u istoj ravni biće prepušten planimetriji.

Pretpostavimo da a i b pripadaju betta ravni, a gama je ravan kojoj pripadaju a i c (prema definiciji paralelizma u prostoru, prave moraju pripadati istoj ravni).

Ako pretpostavimo da su betta i gama ravnine različite i označimo određenu tačku B na pravoj b iz betta ravni, tada ravan povučena kroz tačku B i prava c moraju seći betta ravan u pravoj liniji (označavamo to b1).

Ako bi rezultujuća prava b1 presekla gama ravan, tada bi, s jedne strane, tačka preseka morala da leži na a, pošto b1 pripada betta ravni, a sa druge strane, takođe mora da pripada c, pošto b1 pripada trećoj ravni.
Ali paralelne prave a i c ne smiju se sijeći.

Dakle, prava b1 mora pripadati betta ravni i, u isto vrijeme, nema zajedničkih tačaka sa a, dakle, prema aksiomu paralelizma, poklapa se sa b.
Dobili smo pravu b1 koja se poklapa sa pravom b, koja pripada istoj ravni sa pravom c i ne siječe je, odnosno b ​​i c su paralelne

• Kroz tačku koja ne leži na datoj pravoj paralelnoj sa datom pravom može proći samo jedna prava.

• Dvije prave koje leže na ravni okomitoj na treću su paralelne.

• Ako jedna od dvije paralelne prave siječe ravan, druga prava siječe istu ravan.

• Odgovarajući i unakrsno ležeći unutrašnji uglovi formirani presekom paralelnih dviju linija treće su jednaki, zbir unutrašnjih jednostranih uglova formiranih u ovom slučaju je 180 °.

Tačne su i suprotne tvrdnje, koje se mogu uzeti kao znaci paralelizma dvije prave.

Stanje paralelnih pravih

Gore formulisana svojstva i znaci su uslovi za paralelnost pravih, a mogu se dokazati metodama geometrije. Drugim riječima, da bi se dokazala paralelnost dvije postojeće prave, dovoljno je dokazati njihovu paralelnost s trećom linijom ili jednakost uglova, bilo da odgovaraju ili leže poprečno, itd.

Za dokaz uglavnom koriste metodu "kontradikcijom", odnosno uz pretpostavku da prave nisu paralelne. Na osnovu ove pretpostavke lako se može pokazati da se u ovom slučaju krše dati uslovi, na primjer, poprečno ležeći unutrašnji uglovi ispadaju nejednaki, što dokazuje netačnost postavljene pretpostavke.

1. Ako su dvije prave paralelne s trećom linijom, onda su paralelne:

Ako a||c I b||c, To a||b.

2. Ako su dvije prave okomite na treću pravu, onda su paralelne:

Ako a⊥c I b⊥c, To a||b.

Preostali znaci paralelizma pravih zasnovani su na uglovima koji se formiraju na preseku dve prave sa trećinom.

3. Ako je zbir unutrašnjih jednostranih uglova 180°, tada su prave paralelne:

Ako je ∠1 + ∠2 = 180°, onda a||b.

4. Ako su odgovarajući uglovi jednaki, tada su prave paralelne:

Ako je ∠2 = ∠4, onda a||b.

5. Ako su unutrašnji poprečni uglovi jednaki, tada su prave paralelne:

Ako je ∠1 = ∠3, onda a||b.

Svojstva paralelnih pravih

Izjave koje su inverzne znakovima paralelizma pravih su njihova svojstva. Oni se zasnivaju na svojstvima uglova nastalih presekom dve paralelne prave sa trećom linijom.

1. Kada se dvije paralelne prave sijeku s trećom linijom, zbir unutrašnjih jednostranih uglova koje formiraju iznosi 180°:

Ako a||b, tada ∠1 + ∠2 = 180°.

2. Kada se dvije paralelne prave seku s trećom pravom, odgovarajući uglovi formirani od njih su jednaki:

Ako a||b, tada je ∠2 = ∠4.

3. Na presjeku dvije paralelne prave sa trećom pravom, uglovi koji se formiraju od njih poprečno su jednaki:

Ako a||b, tada je ∠1 = ∠3.

Sljedeće svojstvo je poseban slučaj svakog prethodnog:

4. Ako je prava na ravni okomita na jednu od dvije paralelne prave, ona je također okomita na drugu:

Ako a||b I c⊥a, To c⊥b.

Peto svojstvo je aksiom paralelnih pravih:

5. Kroz tačku koja ne leži na datoj pravoj, može se povući samo jedna prava paralelna datoj pravoj.

Uputstvo

Prije nego započnete dokaz, uvjerite se da prave leže u istoj ravni i da se na njoj mogu nacrtati. Najjednostavniji način dokazivanja je metoda mjerenja ravnalom. Da biste to učinili, pomoću ravnala izmjerite razmak između pravih linija na nekoliko mjesta što je više moguće. Ako rastojanje ostane isto, date prave su paralelne. Ali ova metoda nije dovoljno precizna, pa je bolje koristiti druge metode.

Nacrtajte treću liniju tako da siječe obje paralelne prave. Sa njima formira četiri vanjska i četiri unutrašnja ugla. Razmotrite unutrašnje uglove. Oni koji leže kroz sekuntnu liniju nazivaju se unakrsno ležećim. One koje leže na jednoj strani nazivaju se jednostranim. Koristeći kutomjer, izmjerite dva unutrašnja dijagonalna ugla. Ako su jednake, tada će prave biti paralelne. Ako ste u nedoumici, izmjerite jednostrane unutrašnje uglove i zbrojite rezultirajuće vrijednosti. Prave će biti paralelne ako je zbir jednostranih unutrašnjih uglova jednak 180º.

Ako nemate kutomjer, koristite kvadrat od 90º. Koristite ga za konstruiranje okomite na jednu od linija. Nakon toga, nastavite ovu okomicu na način da siječe drugu liniju. Koristeći isti kvadrat, provjerite pod kojim uglom je seče ova okomita. Ako je i ovaj ugao jednak 90º, tada su linije paralelne jedna s drugom.

U slučaju da su linije date u Dekartovom koordinatnom sistemu, pronađite njihove vodilice ili normalne vektore. Ako su ovi vektori, respektivno, kolinearni jedan s drugim, tada su linije paralelne. Dovedite jednadžbu linija u opći oblik i pronađite koordinate vektora normale svake od linija. Njegove koordinate su jednake koeficijentima A i B. U slučaju da je odnos odgovarajućih koordinata vektora normale isti, oni su kolinearni, a prave paralelne.

Na primjer, prave su date jednadžbama 4x-2y+1=0 i x/1=(y-4)/2. Prva jednačina je opšteg oblika, druga je kanonska. Dovedite drugu jednačinu u opći oblik. Za ovo koristite pravilo konverzije proporcija i na kraju ćete dobiti 2x=y-4. Nakon svođenja na opšti oblik, dobijete 2x-y + 4 = 0. Pošto je opšta jednačina za bilo koju pravu liniju zapisana Ax+By+C=0, onda je za prvu pravu liniju: A=4, B=2, a za drugu pravu A=2, B=1. Za prvu direktnu koordinatu vektora normale (4;2), a za drugu - (2;1). Pronađite omjer odgovarajućih koordinata vektora normale 4/2=2 i 2/1=2. Ovi brojevi su jednaki, što znači da su vektori kolinearni. Pošto su vektori kolinearni, prave su paralelne.

Oni se ne ukrštaju, bez obzira koliko dugo traju. Paralelnost linija u pisanju je naznačena na sljedeći način: AB|| WITHE

Mogućnost postojanja takvih linija dokazuje se teoremom.

Teorema.

Kroz bilo koju tačku izvan date prave može se povući paralela sa ovom pravom..

Neka AB ovu liniju i WITH neka tačka izvučena izvan toga. To je potrebno dokazati WITH možete nacrtati pravu liniju paralelnoAB. Spustimo se AB iz tačke WITH okomitoWITHD a onda ćemo WITHE^ WITHD, šta je moguće. Pravo CE paralelno AB.

Za dokaz pretpostavljamo suprotno, tj CE seče AB u nekom trenutku M. Onda iz tačke M na pravu liniju WITHD imali bismo dvije različite okomice MD I GOSPOĐA, što je nemoguće. znači, CE ne može se ukrštati sa AB, tj. WITHE paralelno AB.

Posljedica.

Dvije okomice (CEID.B.) na jednu pravu liniju (SD) su paralelne.

Aksiom paralelnih pravih.

Kroz istu tačku nemoguće je povući dvije različite prave paralelne sa istom pravom.

Dakle, ako je prava linija WITHD, povučen kroz tačku WITH paralelno sa pravom linijom AB, zatim bilo koji drugi red WITHE kroz istu tačku WITH, ne može biti paralelno AB, tj. nastavlja ona presecati With AB.

Pokazalo se da je dokaz ove ne sasvim očigledne istine nemoguć. Prihvaća se bez dokaza kao neophodna pretpostavka (postulatum).

Posljedice.

1. Ako ravno(WITHE) seče sa jednim od paralelno(SW), zatim se siječe s drugim ( AB), jer inače kroz istu tačku WITH dvije različite ravne, paralelne AB, što je nemoguće.

2. Ako svaki od njih direktno (AIB) su paralelne sa istom trećom linijom ( WITH) , onda oni su paralelne između sebe.

Zaista, ako to pretpostavimo A I B seku u nekom trenutku M, tada bi dvije različite prave, paralelne jedna s drugom, prolazile kroz ovu tačku. WITH, što je nemoguće.

Teorema.

Ako prava linija je okomita na jednu od paralelnih pravih, onda je ona okomita na drugu paralelno.

Neka AB || WITHD I EF ^ AB.To je potrebno dokazati EF ^ WITHD.

OkomitoEF, ukrštanje sa AB, sigurno će se presjeći i WITHD. Neka je tačka preseka H.

Pretpostavimo sada to WITHD nije okomito na EH. Onda neka druga linija, na primjer HK, bit će okomita na EH a time i kroz istu tačku H dva ravna paralela AB: jedan WITHD, po stanju i drugo HK kao što je ranije dokazano. Pošto je to nemoguće, ne može se ni pretpostaviti SW nije bila okomita na EH.