Tongue Twisters

Četvorodimenzionalna kocka. Cybercube - prvi korak u četvrtu dimenziju Kako se zove kocka sa različitim stranama

Teserakt je četverodimenzionalna hiperkocka - kocka u četverodimenzionalnom prostoru.
Prema Oksfordskom rječniku, riječ teserakt je skovao i koristio 1888. Charles Howard Hinton (1853-1907) u svojoj knjizi Novo doba misli. Kasnije su neki ljudi istu figuru nazvali tetrakub (grčki τετρα - četiri) - četverodimenzionalna kocka.
Običan teserakt u euklidskom četvorodimenzionalnom prostoru se definiše kao konveksni omotač tačaka (±1, ±1, ±1, ±1). Drugim riječima, može se predstaviti kao sljedeći skup:
[-1, 1]^4 = ((x_1,x_2,x_3,x_4) : -1 = Teserakt je ograničen sa osam hiperravnina x_i= +- 1, i=1,2,3,4, čiji presek sa samim teseraktom definira trodimenzionalna lica (koje su obične kocke) Svaki par neparalelnih trodimenzionalnih lica se seku da bi formirali dvodimenzionalna lica (kvadrate), i tako dalje, teserakt ima 8 trodimenzionalnih lica, 24 dvodimenzionalna lica, 32 ivice i 16 vrhova.
Popularni opis
Pokušajmo zamisliti kako će hiperkocka izgledati bez napuštanja trodimenzionalnog prostora.
U jednodimenzionalnom “prostoru” - na pravoj - biramo segment AB dužine L. Na dvodimenzionalnoj ravni na udaljenosti L od AB, nacrtamo segment DC paralelan s njim i spojimo njihove krajeve. Rezultat je kvadratni CDBA. Ponavljajući ovu operaciju sa ravninom, dobijamo trodimenzionalnu kocku CDBAGHFE. I pomjeranjem kocke u četvrtoj dimenziji (upravno na prve tri) za razmak L, dobijamo hiperkocku CDBAGHFEKLJOPNM.
Jednodimenzionalni segment AB služi kao stranica dvodimenzionalnog kvadrata CDBA, kvadrat - kao stranica kocke CDBAGHFE, koja će zauzvrat biti stranica četverodimenzionalne hiperkocke. Pravi segment ima dvije granične točke, kvadrat ima četiri vrha, kocka ima osam. U četvorodimenzionalnoj hiperkocki, tako će postojati 16 vrhova: 8 vrhova originalne kocke i 8 vrhova one pomerene u četvrtoj dimenziji. Ima 32 ivice - po 12 daje početnu i konačnu poziciju originalne kocke, a još 8 ivica "crta" njenih osam vrhova, koji su se pomerili u četvrtu dimenziju. Isto razmišljanje se može učiniti za lica hiperkocke. U dvodimenzionalnom prostoru postoji samo jedan (sam kvadrat), kocka ih ima 6 (dva lica pomaknutog kvadrata i još četiri koje opisuju njegove stranice). Četvorodimenzionalna hiperkocka ima 24 kvadratna lica - 12 kvadrata originalne kocke u dvije pozicije i 12 kvadrata od njenih dvanaest rubova.
Kao što su stranice kvadrata 4 jednodimenzionalna segmenta, a stranice (lice) kocke su 6 dvodimenzionalnih kvadrata, tako su za "četvorodimenzionalnu kocku" (teserakt) stranice 8 trodimenzionalnih kocki . Prostori suprotnih parova teserakt kocki (tj. trodimenzionalni prostori kojima te kocke pripadaju) su paralelni. Na slici su to kocke: CDBAGHFE i KLJIOPNM, CDBAKLJI i GHFEOPNM, EFBAMNJI i GHDCOPLK, CKIAGOME i DLJBHPNF.
Slično, možemo nastaviti sa rasuđivanjem za hiperkocke više dimenzijama, ali mnogo je zanimljivije vidjeti kako će nam, stanovnicima trodimenzionalnog prostora, izgledati četverodimenzionalna hiperkocka. Za to ćemo koristiti već poznatu metodu analogija.
Uzmimo žičanu kocku ABCDHEFG i pogledajmo je jednim okom sa strane ivice. Vidjet ćemo i možemo nacrtati dva kvadrata na ravni (njene bliske i dalje ivice), povezana sa četiri linije - bočnim rubovima. Slično, četvorodimenzionalna hiperkocka u trodimenzionalnom prostoru će izgledati kao dve kubične „kutije“ umetnute jedna u drugu i povezane sa osam ivica. U ovom slučaju, same "kutije" - trodimenzionalna lica - projiciraju se na "naš" prostor, a linije koje ih povezuju protežu se u smjeru četvrte ose. Također možete pokušati zamisliti kocku ne u projekciji, već u prostornoj slici.
Baš kao što trodimenzionalnu kocku formira kvadrat pomeren za dužinu njegovog lica, kocka pomerena u četvrtu dimenziju će formirati hiperkocku. Ograničen je sa osam kockica, koje će u budućnosti izgledati kao neka lijepa složena figura. Sama četvorodimenzionalna hiperkocka se sastoji od beskonačnog broja kocki, baš kao što se trodimenzionalna kocka može "iseći" na beskonačan broj ravnih kvadrata.
Rezanjem šest lica trodimenzionalne kocke možete je razložiti u ravnu figuru - razvoj. Imat će kvadrat na svakoj strani originalnog lica plus još jedan - lice nasuprot njemu. A trodimenzionalni razvoj četverodimenzionalne hiperkocke sastojat će se od originalne kocke, šest kocki koje „rastu“ iz nje, plus još jedna - konačno „hiperface“.
Svojstva teserakta su proširenje svojstava geometrijski oblici manje dimenzije u četvorodimenzionalni prostor.

Poeni (±1, ±1, ±1, ±1). Drugim riječima, može se predstaviti kao sljedeći skup:

Teserakt je ograničen sa osam hiperplana, čiji presek sa samim teseraktom definiše njegove trodimenzionalne površine (koje su obične kocke). Svaki par neparalelnih 3D lica seku se da bi formirali 2D lica (kvadrate) i tako dalje. Konačno, teserakt ima 8 3D lica, 24 2D lica, 32 ivice i 16 vrhova.

Popularni opis

Pokušajmo zamisliti kako će hiperkocka izgledati bez napuštanja trodimenzionalnog prostora.

Konstrukcija teserakta na ravni

Jednodimenzionalni segment AB služi kao stranica dvodimenzionalnog kvadrata CDBA, kvadrat - kao stranica kocke CDBAGHFE, koja će zauzvrat biti stranica četverodimenzionalne hiperkocke. Pravi segment ima dvije granične točke, kvadrat ima četiri vrha, kocka ima osam. U četvorodimenzionalnoj hiperkocki, tako će postojati 16 vrhova: 8 vrhova originalne kocke i 8 vrhova one pomerene u četvrtoj dimenziji. Ima 32 ivice - po 12 daje početnu i konačnu poziciju originalne kocke, a još 8 ivica "crta" njenih osam vrhova, koji su se pomerili u četvrtu dimenziju. Isto razmišljanje se može učiniti za lica hiperkocke. U dvodimenzionalnom prostoru postoji samo jedan (sam kvadrat), kocka ih ima 6 (dva lica pomaknutog kvadrata i još četiri koje opisuju njegove stranice). Četvorodimenzionalna hiperkocka ima 24 kvadratna lica - 12 kvadrata originalne kocke u dvije pozicije i 12 kvadrata od njenih dvanaest rubova.

Kao što su stranice kvadrata 4 jednodimenzionalna segmenta, a stranice (lice) kocke su 6 dvodimenzionalnih kvadrata, tako su za "četvorodimenzionalnu kocku" (teserakt) stranice 8 trodimenzionalnih kocki . Prostori suprotnih parova teserakt kocki (tj. trodimenzionalni prostori kojima te kocke pripadaju) su paralelni. Na slici su to kocke: CDBAGHFE i KLJIOPNM, CDBAKLJI i GHFEOPNM, EFBAMNJI i GHDCOPLK, CKIAGOME i DLJBHPNF.

Na sličan način možemo nastaviti razmišljanje o hiperkockama većeg broja dimenzija, ali je mnogo zanimljivije vidjeti kako će četverodimenzionalna hiperkocka izgledati za nas, stanovnike trodimenzionalnog prostora. Za to ćemo koristiti već poznatu metodu analogija.

Uzmimo žičanu kocku ABCDHEFG i pogledajmo je jednim okom sa strane ivice. Vidjet ćemo i možemo nacrtati dva kvadrata na ravni (njene bliske i dalje ivice), povezana sa četiri linije - bočnim rubovima. Slično, četvorodimenzionalna hiperkocka u trodimenzionalnom prostoru će izgledati kao dve kubične „kutije“ umetnute jedna u drugu i povezane sa osam ivica. U ovom slučaju, same "kutije" - trodimenzionalna lica - projiciraju se na "naš" prostor, a linije koje ih povezuju protežu se u smjeru četvrte ose. Također možete pokušati zamisliti kocku ne u projekciji, već u prostornoj slici.

Baš kao što trodimenzionalnu kocku formira kvadrat pomeren za dužinu njegovog lica, kocka pomerena u četvrtu dimenziju formiraće hiperkocku. Ograničen je sa osam kockica, koje će u perspektivi izgledati kao neka prilično složena figura. Sama četvorodimenzionalna hiperkocka se sastoji od beskonačnog broja kocki, baš kao što se trodimenzionalna kocka može "iseći" na beskonačan broj ravnih kvadrata.

Rezanjem šest lica trodimenzionalne kocke možete je razložiti u ravnu figuru - razvoj. Imat će kvadrat na svakoj strani originalnog lica plus još jedan - lice nasuprot njemu. A trodimenzionalni razvoj četverodimenzionalne hiperkocke sastojat će se od originalne kocke, šest kocki koje „rastu“ iz nje, plus još jedna - konačno „hiperface“.

Svojstva teserakta predstavljaju nastavak svojstava geometrijskih figura niže dimenzije u četverodimenzionalni prostor.

Projekcije

U dvodimenzionalni prostor

Ovu strukturu je teško zamisliti, ali je moguće projektirati teserak u dvodimenzionalni ili trodimenzionalni prostor. Osim toga, projektiranje na ravan olakšava razumijevanje lokacije vrhova hiperkocke. Na ovaj način moguće je dobiti slike koje više ne odražavaju prostorne odnose unutar teserakta, ali koje ilustriraju strukturu veze vrhova, kao u sljedećim primjerima:

Treća slika prikazuje teserakt u izometriji, u odnosu na tačku konstrukcije. Ova reprezentacija je od interesa kada se koristi teserakt kao osnova za topološku mrežu za povezivanje više procesora u paralelnom računarstvu.

U trodimenzionalni prostor

Jedna od projekcija teserakta na trodimenzionalni prostor predstavlja dvije ugniježđene trodimenzionalne kocke, čiji su odgovarajući vrhovi povezani segmentima. Unutrašnja i vanjska kocka imaju različite veličine u trodimenzionalnom prostoru, ali u četverodimenzionalnom prostoru su jednake kocke. Da bi se razumjela jednakost svih teserakt kocki, kreiran je rotirajući model teserakta.

Šest skraćenih piramida duž ivica teserakta su slike jednakih šest kocki. Međutim, ove kocke su za teserak kao što su kvadrati (lice) za kocku. Ali u stvari, teserakt se može podijeliti na beskonačan broj kocki, baš kao što se kocka može podijeliti na beskonačan broj kvadrata, ili kvadrat na beskonačan broj segmenata.

Još jedna zanimljiva projekcija teserakta na trodimenzionalni prostor je rombični dodekaedar sa četiri dijagonale koje spajaju parove suprotnih vrhova pod velikim uglovima rombova. U ovom slučaju, 14 od 16 vrhova teserakta se projektuje u 14 vrhova rombičnog dodekaedra, a projekcije preostala 2 se poklapaju u njegovom centru. U takvoj projekciji na trodimenzionalni prostor očuvana je jednakost i paralelizam svih jednodimenzionalnih, dvodimenzionalnih i trodimenzionalnih strana.

Stereo par

Stereo par teserakta prikazan je kao dvije projekcije na trodimenzionalni prostor. Ova slika teserakta je dizajnirana da predstavi dubinu kao četvrtu dimenziju. Stereo par se gleda tako da svako oko vidi samo jednu od ovih slika, pojavljuje se stereoskopska slika koja reproducira dubinu teserakta.

Tesseract unwrapping

Površina teserakta može se rasklopiti u osam kocki (slično kao što se površina kocke može rasklopiti u šest kvadrata). Postoji 261 različit dizajn teserakta. Razmatranje teserakta može se izračunati iscrtavanjem povezanih uglova na graf.

Teserakt u umjetnosti

U "New Abbott Plain" Edwine A., hiperkocka djeluje kao narator.
U jednoj epizodi Avanture Džimija Neutrona, "dečak genije" Džimi izume četvorodimenzionalnu hiperkocku identičnu preklopnoj kutiji iz romana Glory Road (1963) Roberta Hajnlajna.
Robert E. Heinlein je spomenuo hiperkocke u najmanje tri naučnofantastične priče. U "Kući četiri dimenzije" ("The House That Teal Built") opisao je kuću sagrađenu kao neumotani teserak, a zatim se, usled zemljotresa, "sklopila" u četvrtu dimenziju i postala "pravi" teserakt .
Heinleinov roman Glory Road opisuje kutiju hiper-veličine koja je bila veća iznutra nego spolja.
Priča Henryja Kuttnera "Svi Tenali Borogov" opisuje edukativnu igračku za djecu iz daleke budućnosti, sličnu strukturi teseratu.
U romanu Alexa Garlanda (), izraz "teserakt" se koristi za trodimenzionalno odvijanje četverodimenzionalne hiperkocke, a ne same hiperkocke. Ovo je metafora osmišljena da pokaže da kognitivni sistem mora biti širi od spoznatljivog.
Radnja Kocke 2: Hiperkocka se usredsređuje na osam stranaca zarobljenih u "hiperkocki" ili mreži povezanih kocki.
Televizijska serija Andromeda koristi teseraktne generatore kao uređaj za zaplet. Oni su prvenstveno dizajnirani da manipulišu prostorom i vremenom.
Slika “Raspeće” (Corpus Hypercubus) Salvadora Dalija ().
Nextwave strip prikazuje vozilo koje uključuje 5 teserakt zona.
Na albumu Voivod Nothingface jedna od kompozicija se zove “U mojoj hiperkocki”.
U romanu Anthony Pearcea Route Cube, jedan od orbitalnih mjeseca Međunarodno udruženje razvoj se naziva teseraktom, koji je komprimiran u 3 dimenzije.
U seriji “Škola crnih rupa” u trećoj sezoni nalazi se epizoda “Tesseract”. Lucas pritisne tajno dugme i škola počinje da "poprimi oblik kao matematički teserak".
Izraz "teserakt" i njegov derivat "teserakt" nalaze se u priči Madeleine L'Engle "Bora u vremenu".
TesseracT je naziv britanskog dent benda.
U seriji filmova Marvel Cinematic Universe, Tesseract je ključni element radnje, kosmički artefakt u obliku hiperkocke.
U priči Roberta Šeklija “Gospođica miš i četvrta dimenzija”, ezoterični pisac, poznanik autora, pokušava da vidi teserak zureći satima u uređaj koji je dizajnirao: loptu na nozi sa šipkama zabodenim u nju, na koje su kocke montirane, zalijepljene svim vrstama ezoteričnih simbola. U priči se spominje Hintonov rad.
U filmovima Prvi osvetnik, Osvetnici. Teserakt - energija cijelog univerzuma

Druga imena

Hexadecachoron Hexadecachoron)
oktohoron (engleski) Octachoron)
Tetracube
4-Cube
Hiperkocka (ako broj dimenzija nije naveden)

Bilješke

Književnost

Charles H. Hinton. Četvrta dimenzija, 1904. ISBN 0-405-07953-2
Martin Gardner, Mathmatical Carnival, 1977. ISBN 0-394-72349-X
Ian Stewart, Koncepti moderne matematike, 1995. ISBN 0-486-28424-7

Linkovi

Na ruskom

Program Transformator4D. Formiranje modela trodimenzionalnih projekcija četverodimenzionalnih objekata (uključujući hiperkocku).
Program koji implementira konstrukciju teserakta i sve njegove afine transformacije, sa izvornim kodom u C++.

Na engleskom

Mushware Limited - teseraktni izlazni program ( Tesseract Trainer, licenca kompatibilna s GPLv2) i pucačina iz prvog lica u četverodimenzionalnom prostoru ( Adanaxis; grafika je uglavnom trodimenzionalna; Postoji GPL verzija u OS spremištima).

Poliedri

Tačno
(platonska tijela)

zvjezdani dodekaedar zvjezdani ikosidodekaedar zvjezdani ikosaedar zvjezdani poliedar zvjezdani oktaedar

Konveksna

Arhimedova čvrsta tela	Kubooktaedar Ikozidodekaedar Skraćeni oktaedar Skraćeni ikosaedar Skraćeni dodekaedar Rombokuboktaedar Rombički skraćeni kuboktaedar Truncated icosahedron Skraćeni dodekaedar Rombikokuboktaedar Rombički skraćeni kuboktaedar Skraćeni ikosaedar S ktaedar skraćeni ikozidodekaedar Regularna prizma Antiprizma
Katalonska tijela	Rombododekaedar Rombothriacontahedron Triakisthetrahedron Tetrakishexahedron Pentakisdodecahedron Triakisoctahedron Triakisicosahedron Deltoidal icositetrahedron Deltoidal hexexontahedron Pentagonal icositetrahedron Pentagonal Dishexeronda
Bez potpune prostorne simetrije	Piramida Prizma Bipiramida Antiprizma Zonohedron Paralelepiped Romboedar Prizmatoid Krnja piramida
Pentagondodekaedar Paraleloedar

formule,
teoreme,
teorije

Ostalo

Čim sam nakon operacije mogao da držim predavanja, prvo pitanje koje su studenti postavili bilo je:

Kada ćete nam nacrtati 4-dimenzionalnu kocku? Ilyas Abdulkhaevich nam je obećao!

Sjećam se da moji dragi prijatelji ponekad vole trenutak matematičke edukativne aktivnosti. Stoga ću ovdje napisati dio svog predavanja za matematičare. I pokušaću da ne bude dosadno. U nekim momentima sam predavanje čitao strože, naravno.

Hajde da se prvo dogovorimo. 4-dimenzionalni, a još više 5-6-7- i općenito k-dimenzionalni prostor nije nam dat u senzornim senzacijama.
“Jadni smo jer smo samo trodimenzionalni”, rekao je moj učitelj u nedjeljnoj školi, koji mi je prvi rekao šta je 4-dimenzionalna kocka. Nedjeljna škola je, naravno, bila izrazito religiozno-matematička. Tada smo proučavali hiper-kocke. Sedmicu prije toga, matematička indukcija, sedmicu nakon toga, Hamiltonovi ciklusi u grafovima - prema tome, ovo je 7. razred.

Ne možemo dodirnuti, pomirisati, čuti ili vidjeti 4-dimenzionalnu kocku. Šta možemo s tim? Možemo to zamisliti! Zato što je naš mozak mnogo složeniji od naših očiju i ruku.

Dakle, da bismo razumjeli šta je 4-dimenzionalna kocka, hajde da prvo shvatimo šta nam je dostupno. Šta je 3-dimenzionalna kocka?

UREDU UREDU! Ne tražim od vas jasnu matematičku definiciju. Zamislite samo najjednostavniju i najobičniju trodimenzionalnu kocku. Uvedeni?

U redu.
Da bismo razumjeli kako generalizirati 3-dimenzionalnu kocku u 4-dimenzionalni prostor, hajde da shvatimo šta je 2-dimenzionalna kocka. Tako je jednostavno - to je kvadrat!

Kvadrat ima 2 koordinate. Kocka ima tri. Kvadratne tačke su tačke sa dve koordinate. Prvi je od 0 do 1. A drugi je od 0 do 1. Tačke kocke imaju tri koordinate. I svaki je bilo koji broj od 0 do 1.

Logično je zamisliti da je 4-dimenzionalna kocka stvar koja ima 4 koordinate i sve je od 0 do 1.

/* Odmah je logično zamisliti 1-dimenzionalnu kocku, koja nije ništa više od jednostavnog segmenta od 0 do 1. */

Dakle, čekajte, kako nacrtati 4-dimenzionalnu kocku? Na kraju krajeva, ne možemo nacrtati 4-dimenzionalni prostor na ravni!
Ali ni mi ne crtamo 3-dimenzionalni prostor na ravni, već ga crtamo projekcija na 2-dimenzionalnu ravan crtanja. Treću koordinatu (z) postavljamo pod uglom, zamišljajući da osa iz ravni crteža ide “prema nama”.

Sada je potpuno jasno kako nacrtati 4-dimenzionalnu kocku. Na isti način na koji smo pozicionirali treću os pod određenim uglom, uzmimo četvrtu os i takođe je postavimo pod određenim uglom.
I - voila! -- projekcija 4-dimenzionalne kocke na ravan.

Šta? Šta je ovo uopšte? Uvek čujem šapat sa zadnjih stolova. Dozvolite mi da objasnim detaljnije šta je ova zbrka redova.
Prvo pogledajte trodimenzionalnu kocku. Šta smo uradili? Uzeli smo kvadrat i povukli ga duž treće ose (z). To je poput mnogih, mnogo papirnih kvadrata zalijepljenih zajedno u hrpu.
Isto je i sa 4-dimenzionalnom kockom. Nazovimo četvrtu osovinu, radi pogodnosti i za naučnu fantastiku, „vremenska os“. Trebamo uzeti običnu trodimenzionalnu kocku i povući je kroz vrijeme od vremena „sada“ do vremena „za jedan sat“.

Imamo "sada" kocku. Na slici je roze.

A sada ga vučemo duž četvrte ose - duž vremenske ose (pokazala sam zeleno). I dobijamo kocku budućnosti - plavu.

Svaki vrh "kocke sada" ostavlja trag u vremenu - segment. Povezivanje njene sadašnjosti sa budućnošću.

Ukratko, bez teksta: nacrtali smo dvije identične trodimenzionalne kocke i spojili odgovarajuće vrhove.
Potpuno isto kao što su uradili sa 3-dimenzionalnom kockom (nacrtajte 2 identične 2-dimenzionalne kocke i povežite vrhove).

Da biste nacrtali 5-dimenzionalnu kocku, morat ćete nacrtati dvije kopije 4-dimenzionalne kocke (4-dimenzionalnu kocku s petom koordinatom 0 i 4-dimenzionalnu kocku s petom koordinatom 1) i povezati odgovarajuće vrhove s rubovima. Istina, na avionu će biti takva zbrka ivica da će biti gotovo nemoguće bilo šta razumjeti.

Jednom kada smo zamislili 4-dimenzionalnu kocku i čak smo je mogli nacrtati, možemo je istraživati na različite načine. Ne zaboravite da ga istražite i u mislima i sa slike.
Na primjer. 2-dimenzionalna kocka je sa 4 strane ograničena jednodimenzionalnim kockama. Ovo je logično: za svaku od 2 koordinate ona ima i početak i kraj.
Trodimenzionalna kocka je sa 6 strana ograničena dvodimenzionalnim kockama. Za svaku od tri koordinate ima početak i kraj.
To znači da 4-dimenzionalna kocka mora biti ograničena sa osam 3-dimenzionalnih kocki. Za svaku od 4 koordinate - s obje strane. Na gornjoj slici jasno vidimo 2 lica koja ga ograničavaju duž "vremenske" koordinate.

Evo dvije kocke (blago su koso jer imaju 2 dimenzije projektovane na ravan pod uglom) koje ograničavaju našu hiperkocku lijevo i desno.

Takođe je lako uočiti „gornji“ i „donji“.

Najteže je vizualno shvatiti gdje su "prednji" i "stražnji". Prednji počinje od prednje ivice “kocke sada” i do prednje ivice “kocke budućnosti” - crvene je boje. Zadnja je ljubičasta.

Najteže ih je primijetiti jer su vam pod nogama zapetljane druge kocke, koje ograničavaju hiperkocku na drugoj projektovanoj koordinati. Ali imajte na umu da su kocke ipak različite! Evo opet slike na kojoj su istaknute “kocka sada” i “kocka budućnosti”.

Naravno, moguće je projektirati 4-dimenzionalnu kocku u 3-dimenzionalni prostor.
Prvi mogući prostorni model je jasan kako izgleda: potrebno je uzeti 2 kockasta okvira i povezati njihove odgovarajuće vrhove s novom ivicom.
Trenutno nemam ovaj model na lageru. Na predavanju pokazujem studentima malo drugačiji 3-dimenzionalni model 4-dimenzionalne kocke.

Znate kako se kocka projektuje na ovakvu ravan.
Kao da gledamo kocku odozgo.

Bliža ivica je, naravno, velika. A dalja ivica izgleda manja, vidimo je kroz bližu.

Ovako možete projektovati 4-dimenzionalnu kocku. Kocka je sada veća, vidimo kocku budućnosti u daljini, tako da izgleda manje.

Na drugoj strani. Sa gornje strane.

Direktno tačno sa strane ivice:

Sa strane rebra:

I zadnji ugao, asimetričan. Iz odjeljka "reci mi da sam mu gledao između rebara."

Pa, onda možeš smisliti bilo šta. Na primjer, kao što postoji razvoj 3-dimenzionalne kocke na ravan (to je kao da izrežete list papira tako da kada se presavije dobijete kocku), isto se događa s razvojem 4-dimenzionalne kocke u prostor. To je kao da izrežete komad drveta tako da savijanjem u 4-dimenzionalni prostor dobijemo teserakt.

Možete proučavati ne samo 4-dimenzionalnu kocku, već n-dimenzionalne kocke općenito. Na primjer, da li je tačno da je polumjer sfere opisane oko n-dimenzionalne kocke manji od dužine ivice ove kocke? Ili evo jednostavnijeg pitanja: koliko vrhova ima n-dimenzionalna kocka? Koliko ivica (1-dimenzionalnih lica)?

Teserakt (od starogrčkog τέσσερες ἀκτῖνες - četiri zraka) je četverodimenzionalna hiperkocka - analog kocke u četverodimenzionalnom prostoru.

Slika je projekcija (perspektiva) četverodimenzionalne kocke na trodimenzionalni prostor.

Prema Oksfordskom rječniku, riječ "teserakt" skovao je i upotrijebio 1888. Charles Howard Hinton (1853–1907) u svojoj knjizi Novo doba misli. Kasnije su neki ljudi istu figuru nazvali "tetrakub".

Geometrija

Običan teserakt u euklidskom četvorodimenzionalnom prostoru se definiše kao konveksni omotač tačaka (±1, ±1, ±1, ±1). Drugim riječima, može se predstaviti kao sljedeći skup:

Teserakt je ograničen sa osam hiperplana, čiji presek sa samim teseraktom definiše njegove trodimenzionalne površine (koje su obične kocke). Svaki par neparalelnih 3D lica seku se da bi formirali 2D lica (kvadrate) i tako dalje. Konačno, teserakt ima 8 3D lica, 24 2D lica, 32 ivice i 16 vrhova.

Popularni opis

Pokušajmo zamisliti kako će hiperkocka izgledati bez napuštanja trodimenzionalnog prostora.

U jednodimenzionalnom “prostoru” - na pravoj - biramo segment AB dužine L. Na dvodimenzionalnoj ravni na udaljenosti L od AB, nacrtamo segment DC paralelan s njim i spojimo njihove krajeve. Rezultat je kvadrat ABCD. Ponavljajući ovu operaciju sa ravninom, dobijamo trodimenzionalnu kocku ABCDHEFG. I pomjeranjem kocke u četvrtoj dimenziji (upravno na prve tri) za razmak L, dobijamo hiperkocku ABCDEFGHIJKLMNOP.
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/ru/1/13/Construction_tesseract.PNG

Jednodimenzionalni segment AB služi kao stranica dvodimenzionalnog kvadrata ABCD, kvadrat - kao stranica kocke ABCDHEFG, koja će zauzvrat biti stranica četverodimenzionalne hiperkocke. Pravi segment ima dvije granične točke, kvadrat ima četiri vrha, a kocka osam. U četvorodimenzionalnoj hiperkocki, tako će postojati 16 vrhova: 8 vrhova originalne kocke i 8 vrhova one pomerene u četvrtoj dimenziji. Ima 32 ivice - po 12 daje početnu i konačnu poziciju originalne kocke, a još 8 ivica "crta" njenih osam vrhova, koji su se pomerili u četvrtu dimenziju. Isto razmišljanje se može učiniti za lica hiperkocke. U dvodimenzionalnom prostoru postoji samo jedan (sam kvadrat), kocka ih ima 6 (dva lica pomaknutog kvadrata i još četiri koje opisuju njegove stranice). Četvorodimenzionalna hiperkocka ima 24 kvadratna lica - 12 kvadrata originalne kocke u dvije pozicije i 12 kvadrata od njenih dvanaest rubova.

Tesseract unwrapping

Uzmimo žičanu kocku ABCDHEFG i pogledajmo je jednim okom sa strane ivice. Vidjet ćemo i možemo nacrtati dva kvadrata na ravni (njene bliske i dalje ivice), povezana sa četiri linije - bočnim rubovima. Slično, četvorodimenzionalna hiperkocka u trodimenzionalnom prostoru će izgledati kao dve kubične „kutije“ umetnute jedna u drugu i povezane sa osam ivica. U ovom slučaju, same "kutije" - trodimenzionalna lica - projektovaće se na "naš" prostor, a linije koje ih povezuju protežu se u četvrtoj dimenziji. Također možete pokušati zamisliti kocku ne u projekciji, već u prostornoj slici.

Baš kao što trodimenzionalnu kocku formira kvadrat pomeren za dužinu njegovog lica, kocka pomerena u četvrtu dimenziju će formirati hiperkocku. Ograničen je sa osam kockica, koje će u perspektivi izgledati kao neka prilično složena figura. Dio koji ostaje u „našem“ prostoru iscrtava se punim linijama, a dio koji je otišao u hiperprostor iscrtan je tačkastim linijama. Sama četvorodimenzionalna hiperkocka se sastoji od beskonačnog broja kocki, baš kao što se trodimenzionalna kocka može "iseći" na beskonačan broj ravnih kvadrata.

Rezanjem šest lica trodimenzionalne kocke možete je razložiti u ravnu figuru - razvoj. Imat će kvadrat na svakoj strani originalnog lica, plus još jedan - lice nasuprot njemu. A trodimenzionalni razvoj četverodimenzionalne hiperkocke sastojat će se od originalne kocke, šest kocki koje „rastu“ iz nje, plus još jedna - konačno „hiperface“.

Svojstva teserakta predstavljaju nastavak svojstava geometrijskih figura niže dimenzije u četverodimenzionalni prostor.

Projekcije

U dvodimenzionalni prostor

Projekcija teserakta na trodimenzionalni prostor predstavlja dvije ugniježđene trodimenzionalne kocke, čiji su odgovarajući vrhovi povezani segmentima. Unutrašnja i vanjska kocka imaju različite veličine u trodimenzionalnom prostoru, ali u četverodimenzionalnom prostoru su jednake kocke. Da bi se razumjela jednakost svih teserakt kocki, kreiran je rotirajući model teserakta.

Šest skraćenih piramida duž ivica teserakta su slike jednakih šest kocki.
Stereo par

Teserakt u umjetnosti

U "New Abbott Plain" Edwine A., hiperkocka djeluje kao narator.
U jednoj epizodi Avanture Džimija Neutrona: "Dečak genije", Džimi izmišlja četvorodimenzionalnu hiperkocku identičnu preklopnoj kutiji iz Hajnlajnovog romana Put slave iz 1963.
Robert E. Heinlein je spomenuo hiperkocke u najmanje tri naučnofantastične priče. U The House of Four Dimensions (The House That Teal Built) (1940.), opisao je kuću izgrađenu kao neumotani teserak.
Heinleinov roman Glory Road opisuje posuđe velike veličine koje je bilo veće iznutra nego spolja.
Priča Henryja Kuttnera "Mimsy Were the Borogoves" opisuje edukativnu igračku za djecu iz daleke budućnosti, sličnu strukturi teseratu.
U romanu Alexa Garlanda (1999.), izraz "teserakt" se koristi za trodimenzionalno odvijanje četverodimenzionalne hiperkocke, a ne same hiperkocke. Ovo je metafora osmišljena da pokaže da kognitivni sistem mora biti širi od spoznatljivog.
Radnja Kocke 2: Hiperkocka se usredsređuje na osam stranaca zarobljenih u "hiperkocki" ili mreži povezanih kocki.
Televizijska serija Andromeda koristi teseraktne generatore kao uređaj za zaplet. Oni su prvenstveno dizajnirani da manipulišu prostorom i vremenom.
Slika “Raspeće” (Corpus Hypercubus) Salvadora Dalija (1954.)
Nextwave strip prikazuje vozilo koje uključuje 5 teserakt zona.
Na albumu Voivod Nothingface jedna od kompozicija se zove “U mojoj hiperkocki”.
U romanu Route Cube Anthonyja Pearcea, jedan od luna Međunarodnog udruženja za razvoj u orbiti naziva se teseraktom koji je komprimiran u 3 dimenzije.
U seriji "Skola" Crna rupa“” u trećoj sezoni postoji epizoda “Tesseract”. Lucas pritisne tajno dugme i škola počinje da se oblikuje kao matematički teserak.
Termin „teserak“ i njegov derivat „teserat“ nalaze se u priči „Bora u vremenu“ Madlen L’Engle.

Evolucija ljudskog mozga odvijala se u trodimenzionalnom prostoru. Stoga nam je teško zamisliti prostore dimenzija većih od tri. Zapravo, ljudski mozak ne može zamisliti geometrijske objekte s dimenzijama većim od tri. A u isto vrijeme, lako možemo zamisliti geometrijske objekte dimenzija ne samo tri, već i dimenzija dva i jedan.

Razlika i analogija između jednodimenzionalnih i dvodimenzionalnih prostora, kao i razlika i analogija između dvodimenzionalnih i trodimenzionalnih prostora omogućavaju nam da malo otvorimo paravan misterije koji nas ograđuje od prostora viših dimenzija. Da biste razumjeli kako se ova analogija koristi, razmotrite vrlo jednostavan četverodimenzionalni objekt - hiperkocku, odnosno četverodimenzionalnu kocku. Da budemo konkretni, recimo da želimo riješiti određeni problem, naime, izbrojati kvadratne površine četverodimenzionalne kocke. Sva daljnja razmatranja će biti vrlo opuštena, bez ikakvih dokaza, čisto po analogiji.

Da biste razumjeli kako se hiperkocka gradi od pravilne kocke, prvo morate pogledati kako se pravilna kocka gradi od pravilnog kvadrata. Radi originalnosti u prezentaciji ovog materijala, ovdje ćemo običan kvadrat nazvati podkockom (i nećemo ga brkati sa sukubusom).

Da biste napravili kocku od potkocke, trebate je produžiti u smjeru okomito na ravan podkocka u pravcu treće dimenzije. U ovom slučaju, sa svake strane početne potkocke će rasti po jedna potkocka, koja je bočna dvodimenzionalna površina kocke, koja će ograničiti trodimenzionalni volumen kocke na četiri strane, dvije okomite na svaki smjer u ravan potkocke. A duž nove treće ose nalaze se i dvije potkube koje ograničavaju trodimenzionalni volumen kocke. Ovo je dvodimenzionalno lice na kojem se prvobitno nalazila naša potkocka i ono dvodimenzionalno lice kocke na koje je potkocka došla na kraju konstrukcije kocke.

Ovo što ste upravo pročitali predstavljeno je preterano detaljno i sa mnogo pojašnjenja. I to sa dobrim razlogom. Sada ćemo napraviti takav trik, neke riječi u prethodnom tekstu ćemo formalno zamijeniti na ovaj način:
kocka -> hiperkocka
potkocka -> kocka
ravan -> volumen
treći -> četvrti
dvodimenzionalni -> trodimenzionalni
četiri -> šest
trodimenzionalni -> četverodimenzionalni
dva -> tri
avion -> prostor

Kao rezultat, dobijamo sljedeći sadržajni tekst, koji više ne izgleda previše detaljan.

Da biste napravili hiperkocku od kocke, morate je produžiti u smjeru okomitom na volumen kocke u smjeru četvrte dimenzije. U ovom slučaju, kocka će rasti sa svake strane originalne kocke, koja je bočna trodimenzionalna površina hiperkocke, koja će ograničiti četverodimenzionalni volumen hiperkocke na šest strana, tri okomite na svaki smjer u prostor kocke. A duž nove četvrte ose nalaze se i dvije kocke koje ograničavaju četverodimenzionalni volumen hiperkocke. Ovo je trodimenzionalno lice na kojem se prvobitno nalazila naša kocka i ono trodimenzionalno lice hiperkocke gdje je kocka došla na kraju konstrukcije hiperkocke.

Zašto smo toliko uvjereni da smo dobili tačan opis konstrukcije hiperkocke? Da, jer potpuno istom formalnom zamjenom riječi dobijamo opis konstrukcije kocke iz opisa konstrukcije kvadrata. (Provjerite sami.)

Sada je jasno da ako još jedna trodimenzionalna kocka treba da raste sa svake strane kocke, onda bi lice trebalo da raste iz svake ivice početne kocke. Ukupno, kocka ima 12 ivica, što znači da će se na onih 6 kocki koje ograničavaju četvorodimenzionalni volumen duž tri ose trodimenzionalnog prostora pojaviti dodatnih 12 novih lica (potkocki). I ostale su još dvije kocke koje ograničavaju ovaj četverodimenzionalni volumen odozdo i odozgo duž četvrte ose. Svaka od ovih kockica ima 6 lica.

Ukupno, nalazimo da hiperkocka ima 12+6+6=24 kvadratna lica.

Sljedeća slika prikazuje logičku strukturu hiperkocke. Ovo je poput projekcije hiperkocke na trodimenzionalni prostor. Ovo proizvodi trodimenzionalni okvir od rebara. Na slici, naravno, vidite projekciju ovog okvira na ravan.

Na ovom okviru, unutrašnja kocka je kao početna kocka od koje je počela konstrukcija i koja ograničava četvorodimenzionalni volumen hiperkocke duž četvrte ose od dna. Ovu početnu kocku razvlačimo prema gore duž četvrte mjerne ose i ona ide u vanjsku kocku. Dakle, vanjske i unutrašnje kocke sa ove slike ograničavaju hiperkocku duž četvrte mjerne ose.

A između ove dvije kocke možete vidjeti još 6 novih kocki, koje dodiruju zajednička lica sa prve dvije. Ovih šest kocki povezuju našu hiperkocku duž tri ose trodimenzionalnog prostora. Kao što vidite, one nisu samo u kontaktu sa prve dvije kocke, koje su unutrašnje i vanjske kocke na ovom trodimenzionalnom okviru, već su i u kontaktu jedna s drugom.

Možete računati direktno na slici i uvjeriti se da hiperkocka zaista ima 24 lica. Ali postavlja se ovo pitanje. Ovaj hiperkockasti okvir u trodimenzionalnom prostoru ispunjen je sa osam trodimenzionalnih kocki bez ikakvih praznina. Da biste napravili pravu hiperkocku od ove trodimenzionalne projekcije hiperkocke, morate ovaj okvir okrenuti iznutra prema van, tako da svih 8 kocki povezuje 4-dimenzionalni volumen.

To se radi ovako. Pozivamo stanara četverodimenzionalnog prostora da nas posjeti i zamolimo ga da nam pomogne. On hvata unutrašnju kocku ovog okvira i pomera je u pravcu četvrte dimenzije, koja je okomita na naš trodimenzionalni prostor. U našem trodimenzionalnom prostoru to doživljavamo kao da je cijeli unutrašnji okvir nestao i da je ostao samo okvir vanjske kocke.

Dalje, naš četvorodimenzionalni asistent nudi svoju pomoć u porodilištima za bezbolan porođaj, ali naše trudnice se plaše mogućnosti da će beba jednostavno nestati iz stomaka i završiti u paralelnom trodimenzionalnom prostoru. Stoga je četverodimenzionalna osoba ljubazno odbijena.

I mi smo zbunjeni pitanjem da li su se neke naše kocke raspale kada smo okvir hiperkocke okrenuli naopačke. Na kraju krajeva, ako neke trodimenzionalne kocke koje okružuju hiperkocku dodiruju svoje susjede na okviru svojim licima, hoće li se i one dodirnuti tim istim plohama ako četverodimenzionalna kocka okrene okvir naopačke?

Vratimo se opet analogiji s prostorima nižih dimenzija. Uporedite sliku okvira hiperkocke sa projekcijom trodimenzionalne kocke na ravan prikazanu na sledećoj slici.

Stanovnici dvodimenzionalnog prostora napravili su okvir na ravni za projekciju kocke na ravan i pozvali nas, trodimenzionalne stanovnike, da ovaj okvir okrenemo naopačke. Uzimamo četiri vrha unutrašnjeg kvadrata i pomeramo ih okomito na ravan. Dvodimenzionalni stanovnici vide potpuni nestanak cijelog unutrašnjeg okvira, a ostaje im samo okvir vanjskog kvadrata. Takvom operacijom svi kvadrati koji su bili u kontaktu sa svojim rubovima nastavljaju da se dodiruju istim rubovima.

Stoga se nadamo da logička shema hiperkocke također neće biti narušena kada se okvir hiperkocke okreće iznutra, a broj kvadratnih površina hiperkocke neće se povećati i i dalje će biti jednak 24. Ovo, naravno, , nije nikakav dokaz, već čisto nagađanje po analogiji.

Nakon svega što ste ovdje pročitali, lako možete nacrtati logički okvir petodimenzionalne kocke i izračunati broj vrhova, ivica, lica, kocki i hiperkocki koje ona ima. Uopšte nije teško.