Oglašavanje na portalu

Čvorovi kalkulatora od tri broja. Pronalaženje čvorova od tri ili više brojeva. Kalkulator za pronalaženje GCD i NOC

Također se naziva dividenda koja je djeljiva datim djeliteljem bez ostatka višestruko. Na primjer, 48 je višekratnik 8, 48 je višekratnik, a 8 je djelitelj.

Broj može biti višekratnik ne jednog, već nekoliko brojeva odjednom, takav broj se zove zajednički višestruki. Na primjer, broj 77 je zajednički višekratnik brojeva: 1, 7, 11, 77.

Još jedan primjer. Broj 3 je višekratnik 12, 15, 24, 27, 30 itd. Broj 5 je višekratnik 10, 15, 25, 30, 35, itd. Brojevi 3 i 5 imaju zajedničke višekratnike 15 i 30 .

Pronalaženje zajedničkog višekratnika nekoliko brojeva je prilično jednostavno, možete jednostavno pomnožiti ove brojeve, kao rezultat toga, proizvod ovih brojeva će biti njihov zajednički višekratnik.

NOC

Od svih zajedničkih višekratnika za date brojeve, najmanji zajednički višekratnik je od posebnog interesa.

Najmanji zajednički višekratnik(skraćeno LCM) od nekoliko datih brojeva je najmanji broj koji je jednako djeljiv sa svakim od datih brojeva.

Na primjer, za tri broja: 3, 5 i 12, najmanji zajednički višekratnik je broj 60, jer nijedan drugi broj manji od 60 nije potpuno djeljiv sa 3, 5 i 12.

Obično se najmanji zajednički višekratnik piše ovako: LCM ( a, b, ...) = x.

Prema ovome pišemo najmanji zajednički umnožak brojeva 3, 5 i 12:

LCM (3, 5, 12) = 60.

NOC kalkulator

Ovaj kalkulator će vam pomoći da pronađete najmanji zajednički višekratnik brojeva. Samo unesite brojeve odvojene razmacima ili zarezima i kliknite na dugme Izračunaj LCM.

Hajde da rešimo problem. Imamo dvije vrste kolačića. Neki su čokoladni, a neki obični. Čokolada ima 48 komadića, a jednostavnih 36. Od ovih kolačića potrebno je napraviti što veći broj poklona i svi se moraju iskoristiti.

Prvo, zapišimo sve djelitelje svakog od ova dva broja, jer oba ova broja moraju biti djeljiva brojem darova.

Dobijamo

  • 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.
  • 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

Nađimo zajedničke djelitelje koje imaju i prvi i drugi broj.

Uobičajeni djelitelji će biti: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Najveći zajednički djelitelj svih je 12. Ovaj broj se zove najveći zajednički djelitelj 36 i 48.

Na osnovu rezultata možemo zaključiti da se od svih kolačića može napraviti 12 poklona. Jedan takav poklon će sadržavati 4 čokoladna kolačića i 3 obična kolačića.

Pronalaženje najvećeg zajedničkog djelitelja

  • Najveći prirodni broj kojim su dva broja a i b djeljiva bez ostatka naziva se najveći zajednički djelitelj ovih brojeva.

Ponekad se skraćenica GCD koristi za skraćenje unosa.

Neki parovi brojeva imaju jedan kao najveći zajednički djelitelj. Takvi brojevi se nazivaju koprosti brojevi. Na primjer, brojevi 24 i 35. Imaju GCD =1.

Kako pronaći najveći zajednički djelitelj

Da bismo pronašli najveći zajednički djelitelj, nije potrebno ispisati sve djelitelje ovih brojeva.

Možete i drugačije. Prvo, razdijelite oba broja u proste faktore.

  • 48 = 2*2*2*2*3,
  • 36 = 2*2*3*3.

Sada, iz faktora koji su uključeni u proširenje prvog broja, brišemo sve one koji nisu uključeni u proširenje drugog broja. U našem slučaju to su dvije dvojke.

  • 48 = 2*2*2*2*3 ,
  • 36 = 2*2*3 *3.

Ostaće faktori 2, 2 i 3. Njihov proizvod je 12. Ovaj broj će biti najveći zajednički djelitelj brojeva 48 i 36.

Ovo pravilo se može proširiti na slučaj tri, četiri i tako dalje. brojevi.

Opća shema za pronalaženje najvećeg zajedničkog djelitelja

  • 1. Rastaviti brojeve na proste faktore.
  • 2. Od faktora uključenih u proširenje jednog od ovih brojeva precrtajte one koji nisu uključeni u proširenje drugih brojeva.
  • 3. Izračunajte proizvod preostalih faktora.

Online kalkulator vam omogućava da brzo pronađete najveći zajednički djelitelj i najmanji zajednički višekratnik dva ili bilo kojeg drugog broja brojeva.

Kalkulator za pronalaženje GCD i NOC

Pronađite GCD i NOC

GCD i NOC pronađeni: 12197

Kako koristiti kalkulator

  • Unesite brojeve u polje za unos
  • U slučaju unosa pogrešnih znakova, polje za unos će biti istaknuto crvenom bojom
  • pritisnite dugme "Pronađi GCD i NOC"

Kako unositi brojeve

  • Brojevi se unose odvojeni razmacima, tačkama ili zarezima
  • Dužina unesenih brojeva nije ograničena, tako da pronalaženje gcd i lcm dugih brojeva neće biti teško

Šta je NOD i NOK?

Najveći zajednički djelitelj od nekoliko brojeva je najveći prirodni cijeli broj kojim su svi originalni brojevi djeljivi bez ostatka. Najveći zajednički djelitelj je skraćeno GCD.
Najmanji zajednički višekratnik nekoliko brojeva je najmanji broj koji je djeljiv sa svakim od originalnih brojeva bez ostatka. Najmanji zajednički višekratnik je skraćeno NOC.

Kako provjeriti da li je broj djeljiv sa drugim brojem bez ostatka?

Da biste saznali da li je jedan broj djeljiv drugim bez ostatka, možete koristiti neka svojstva djeljivosti brojeva. Zatim se njihovim kombinovanjem može provjeriti djeljivost po nekima od njih i njihovim kombinacijama.

Neki znakovi djeljivosti brojeva

1. Znak djeljivosti broja sa 2
Da bismo utvrdili da li je broj djeljiv sa dva (da li je paran), dovoljno je pogledati posljednju cifru ovog broja: ako je jednak 0, 2, 4, 6 ili 8, onda je broj paran, što znači da je djeljiv sa 2.
primjer: utvrdi da li je broj 34938 djeljiv sa 2.
Rješenje: pogledajte posljednju cifru: 8 znači da je broj djeljiv sa dva.

2. Znak djeljivosti broja sa 3
Broj je djeljiv sa 3 kada je zbir njegovih cifara djeljiv sa 3. Dakle, da biste utvrdili da li je broj djeljiv sa 3, morate izračunati zbir cifara i provjeriti da li je djeljiv sa 3. Čak i ako se zbir cifara pokaže vrlo velikim, možete ponoviti isti postupak opet.
primjer: utvrdi da li je broj 34938 djeljiv sa 3.
Rješenje: računamo zbir cifara: 3+4+9+3+8 = 27. 27 je djeljiv sa 3, što znači da je broj djeljiv sa tri.

3. Znak djeljivosti broja sa 5
Broj je djeljiv sa 5 kada je njegova zadnja cifra nula ili pet.
primjer: utvrdi da li je broj 34938 djeljiv sa 5.
Rješenje: pogledajte posljednju cifru: 8 znači da broj NIJE djeljiv sa pet.

4. Znak djeljivosti broja sa 9
Ovaj znak je vrlo sličan znaku djeljivosti sa tri: broj je djeljiv sa 9 kada je zbir njegovih cifara djeljiv sa 9.
primjer: utvrdi da li je broj 34938 djeljiv sa 9.
Rješenje: izračunavamo zbir cifara: 3+4+9+3+8 = 27. 27 je djeljivo sa 9, što znači da je broj djeljiv sa devet.

Kako pronaći GCD i LCM dva broja

Kako pronaći GCD dva broja

Najjednostavniji način da izračunate najveći zajednički djelitelj dva broja je da pronađete sve moguće djelitelje tih brojeva i odaberete najveći od njih.

Razmotrimo ovu metodu koristeći primjer pronalaženja GCD(28, 36) :

  1. Faktoriziramo oba broja: 28 = 1 2 2 7 , 36 = 1 2 2 3 3
  2. Pronalazimo zajedničke faktore, odnosno one koje imaju oba broja: 1, 2 i 2.
  3. Izračunavamo proizvod ovih faktora: 1 2 2 \u003d 4 - ovo je najveći zajednički djelitelj brojeva 28 i 36.

Kako pronaći LCM dva broja

Postoje dva najčešća načina da se pronađe najmanji višekratnik dva broja. Prvi način je da možete napisati prve višekratnike dva broja, a zatim među njima izabrati broj koji će biti zajednički za oba broja i istovremeno najmanji. A drugi je pronaći GCD ovih brojeva. Hajde da to samo razmotrimo.

Da biste izračunali LCM, morate izračunati proizvod originalnih brojeva, a zatim ga podijeliti s prethodno pronađenim GCD. Nađimo LCM za iste brojeve 28 i 36:

  1. Pronađite proizvod brojeva 28 i 36: 28 36 = 1008
  2. Za gcd(28, 36) se već zna da je 4
  3. LCM(28, 36) = 1008 / 4 = 252 .

Pronalaženje GCD i LCM za više brojeva

Najveći zajednički djelitelj se može naći za nekoliko brojeva, a ne samo za dva. Za to se brojevi za traženje najvećeg zajedničkog djelitelja razlažu na proste faktore, zatim se pronalazi proizvod zajedničkih prostih faktora ovih brojeva. Također, da biste pronašli GCD nekoliko brojeva, možete koristiti sljedeći odnos: gcd(a, b, c) = gcd(gcd(a, b), c).

Sličan odnos vrijedi i za najmanji zajednički višekratnik brojeva: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

primjer: pronađite GCD i LCM za brojeve 12, 32 i 36.

  1. Prvo, hajde da faktorizujemo brojeve: 12 = 1 2 2 3 , 32 = 1 2 2 2 2 2 , 36 = 1 2 2 3 3 .
  2. Nađimo zajedničke faktore: 1, 2 i 2.
  3. Njihov proizvod će dati gcd: 1 2 2 = 4
  4. Sada pronađimo LCM: za ovo prvo pronađemo LCM(12, 32): 12 32 / 4 = 96 .
  5. Da biste pronašli LCM sva tri broja, morate pronaći GCD(96, 36): 96 = 1 2 2 2 2 2 3 , 36 = 1 2 2 3 3 , GCD = 1 2. 2 3 = 12 .
  6. LCM(12, 32, 36) = 96 36 / 12 = 288 .

Najveći zajednički djelitelj i najmanji zajednički višekratnik su ključni aritmetički koncepti koji vam omogućavaju da lako radite s običnim razlomcima. LCM i najčešće se koriste za pronalaženje zajedničkog nazivnika nekoliko razlomaka.

Osnovni koncepti

Delitelj cijelog broja X je drugi cijeli broj Y kojim je X djeljiv bez ostatka. Na primjer, djelitelj broja 4 je 2, a 36 je 4, 6, 9. Višekratnik cijelog broja X je broj Y koji je djeljiv sa X bez ostatka. Na primjer, 3 je višekratnik od 15, a 6 je višekratnik od 12.

Za bilo koji par brojeva možemo pronaći njihove zajedničke djelitelje i višekratnike. Na primjer, za 6 i 9, zajednički višekratnik je 18, a zajednički djelitelj je 3. Očigledno, parovi mogu imati nekoliko djelitelja i višekratnika, tako da se u proračunima koriste najveći djelitelj GCD-a i najmanji djelitelj LCM-a. .

Najmanji djelitelj nema smisla, jer je za bilo koji broj uvijek jedan. Najveći umnožak je također besmislen, jer niz višekratnika teži beskonačnosti.

Pronalaženje GCD

Postoji mnogo metoda za pronalaženje najvećeg zajedničkog djelitelja, od kojih su najpoznatije:

  • sekvencijalno nabrajanje djelitelja, odabir zajedničkih za par i traženje najvećeg od njih;
  • dekompozicija brojeva na nedjeljive faktore;
  • Euklidov algoritam;
  • binarni algoritam.

Danas su u obrazovnim institucijama najpopularnije metode dekompozicije na proste faktore i Euklidov algoritam. Potonji se, pak, koristi u rješavanju Diofantovih jednadžbi: traženje GCD-a je potrebno kako bi se provjerila mogućnost rješavanja jednadžbe u cijelim brojevima.

Pronalaženje NOC-a

Najmanji zajednički višekratnik je također tačno određen iterativnim nabrajanjem ili faktorizacijom u nedjeljive faktore. Osim toga, lako je pronaći LCM ako je najveći djelitelj već određen. Za brojeve X i Y, LCM i GCD su povezani sljedećom relacijom:

LCM(X,Y) = X × Y / GCM(X,Y).

Na primjer, ako je gcd(15,18) = 3, onda je LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. Najočiglednija upotreba LCM je da se pronađe zajednički nazivnik, koji je najmanji zajednički umnožak dati razlomci.

Koprosti brojevi

Ako par brojeva nema zajedničke djelitelje, onda se takav par naziva koprostor. GCM za takve parove je uvijek jednak jedinici, a na osnovu veze djelitelja i višekratnika, GCM za koprime jednak je njihovom proizvodu. Na primjer, brojevi 25 i 28 su međusobno prosti, jer nemaju zajedničkih djelitelja, a LCM(25, 28) = 700, što odgovara njihovom proizvodu. Bilo koja dva nedjeljiva broja uvijek će biti koprosta.

Zajednički djelitelj i višestruki kalkulator

Pomoću našeg kalkulatora možete izračunati GCD i LCM za bilo koji broj brojeva koje možete izabrati. Zadaci za izračunavanje zajedničkih djelitelja i višekratnika nalaze se u aritmetici razreda 5, 6, međutim, GCD i LCM - ključni koncepti matematike i koriste se u teoriji brojeva, planimetriji i komunikativnoj algebri.

Primjeri iz stvarnog života

Zajednički nazivnik razlomaka

Najmanji zajednički višekratnik se koristi kada se pronađe zajednički nazivnik nekoliko razlomaka. Pretpostavimo da je u aritmetičkom zadatku potrebno zbrojiti 5 razlomaka:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

Za dodavanje razlomaka, izraz se mora svesti na zajednički nazivnik, što se svodi na problem pronalaženja LCM. Da biste to učinili, odaberite 5 brojeva u kalkulatoru i unesite vrijednosti nazivnika u odgovarajuće ćelije. Program će izračunati LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Sada morate izračunati dodatne faktore za svaki razlomak, koji su definisani kao omjer LCM i nazivnika. Dakle, dodatni množitelji bi izgledali ovako:

  • 360/8 = 45
  • 360/9 = 40
  • 360/12 = 30
  • 360/15 = 24
  • 360/18 = 20.

Nakon toga, pomnožimo sve razlomke odgovarajućim dodatnim faktorom i dobijemo:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

Lako možemo sabrati takve razlomke i dobiti rezultat u obliku 159/360. Smanjujemo razlomak za 3 i vidimo konačan odgovor - 53/120.

Rješenje linearnih diofantovih jednačina

Linearne Diofantove jednadžbe su izrazi oblika ax + by = d. Ako je omjer d/gcd(a, b) cijeli broj, onda je jednadžba rješiva ​​u cijelim brojevima. Provjerimo nekoliko jednačina za mogućnost cjelobrojnog rješenja. Prvo provjerite jednačinu 150x + 8y = 37. Koristeći kalkulator, nalazimo gcd (150,8) = 2. Podijelite 37/2 = 18,5. Broj nije cijeli broj, dakle, jednadžba nema cjelobrojne korijene.

Provjerimo jednačinu 1320x + 1760y = 10120. Koristite kalkulator da nađete gcd(1320, 1760) = 440. Podijelite 10120/440 = 23. Kao rezultat, dobijamo cijeli broj, dakle, Diofantov koeficijent je sof. .

Zaključak

GCD i LCM igraju važnu ulogu u teoriji brojeva, a sami koncepti se široko koriste u različitim oblastima matematike. Koristite naš kalkulator za izračunavanje najvećih djelitelja i najmanjih višekratnika bilo kojeg broja brojeva.

zajednički djelitelj od nekoliko brojeva je broj kojim je svaki od datih brojeva djeljiv. Na primjer, data su dva broja: 6 i 9. Broj 6 ima djelioce 1, 2, 3, 6. Broj 9 ima djelitelje 1, 3, 9. Vidimo da brojevi 6 i 9 imaju zajedničke djelitelje 1 i 3.

Najveći zajednički djelitelj(skraćeno GCD) nekoliko brojeva, oni nazivaju najveći zajednički djelitelj kojim je svaki od ovih brojeva djeljiv bez ostatka.

Dakle, od svih zajedničkih djelitelja 6 i 9, najveći zajednički djelitelj je 3.

Obično se najveći zajednički djelitelj piše ovako: gcd ( a, b, ...) = x.

Prema ovome pišemo najveći zajednički djelitelj brojeva 6 i 9:

gcd(6, 9) = 3.

Pozivaju se brojevi čiji je gcd jednak jedan koprosti brojevi. Na primjer, brojevi 14 i 15 su relativno prosti: gcd(14, 15) = 1.

GCD kalkulator

Ovaj kalkulator će vam pomoći da pronađete najveći zajednički djelitelj brojeva. Samo unesite brojeve odvojene razmacima ili zarezima i kliknite na dugme Izračunaj GCD.