U svim QS-ovima o kojima smo gore govorili, pretpostavljeno je da su svi zahtjevi koji ulaze u sistem homogeni, odnosno da imaju isti zakon raspodjele vremena usluge i da se servisiraju u sistemu prema opštoj disciplini odabira iz reda. Međutim, u mnogim stvarnim sistemima, zahtjevi koji ulaze u sistem su heterogeni kako u distribuciji vremena usluge tako i po svojoj vrijednosti za sistem i, prema tome, pravo na pravo na prioritetnu uslugu u trenutku kada je uređaj pušten. Takvi modeli se proučavaju u okviru teorije prioritetnih sistema čekanja. Ova teorija je prilično dobro razvijena i mnoge monografije su posvećene njenom izlaganju (vidi, na primjer, , , , itd.). Ovdje ćemo se ograničiti na kratak opis sistema prioriteta i razmotriti jedan sistem.

Razmotrimo jednolinijski QS sa čekanjem. Nezavisni najjednostavniji tokovi dolaze na ulaz sistema, tok ima intenzitet . Mi ćemo označiti

Servisna vremena za zahtjeve iz toka karakterizirana su funkcijom distribucije s Laplace-Stieltjes transformacijom i konačnim početnim vremenima

Zahtjevi iz niti će se zvati zahtjevi prioriteta k.

Smatramo da zahtjevi iz niti imaju veći prioritet od zahtjeva iz niti ako se Prioritet manifestuje u činjenici da se u trenutku završetka servisa, zahtjev sa maksimalnim prioritetom bira iz reda sljedećeg za uslugu. Zahtjevi koji imaju isti prioritet biraju se prema utvrđenoj uslužnoj disciplini, na primjer, prema FIFO disciplini.

Različite opcije ponašanja sistema razmatraju se u situaciji kada, dok servisira zahtjev određenog prioriteta, sistem prima zahtjev višeg prioriteta.

Sistem se naziva QS relativnog prioriteta ako dolazak takvog zahtjeva ne prekida uslugu zahtjeva. Ako dođe do takvog prekida, sistem se naziva QS sa apsolutnim prioritetom. U ovom slučaju, međutim, potrebno je razjasniti dalje ponašanje zahtjeva čija je usluga prekinuta. Razlikuju se sljedeće opcije: prekinuti zahtjev napušta sistem i gubi se; prekinuti zahtjev se vraća u red čekanja i nastavlja sa servisiranjem od tačke prekida nakon što svi zahtjevi sa višim prioritetom napuste sistem; prekinuti zahtjev se vraća u red čekanja i ponovo počinje sa servisiranjem nakon što svi zahtjevi sa višim prioritetom napuste sistem. Prekinuti zahtjev se servisira od strane uređaja nakon što svi zahtjevi sa višim prioritetom napuste sistem na vrijeme koje ima istu ili neku drugu distribuciju. Moguće je da je potrebno vrijeme usluge u narednim pokušajima identično vremenu koje je bilo potrebno za potpuno servisiranje danog zahtjeva u prvom pokušaju.

Dakle, postoji prilično veliki broj opcija za ponašanje sistema sa prioritetom, koje se mogu naći u gore navedenim knjigama. Ono što je zajedničko u analizi svih sistema sa prioritetima je korištenje koncepta perioda zauzetosti sistema zahtjevima prioriteta k i više. U ovom slučaju, glavna metoda za proučavanje ovih sistema je metoda uvođenja dodatnog događaja, ukratko opisana u Odjeljku 6.

Ilustrujmo karakteristike pronalaženja karakteristika sistema sa prioritetima na primeru sistema opisanog na početku ovog poglavlja. Pretpostavićemo da se radi o sistemu sa relativnim prioritetom i naći stacionarnu distribuciju vremena čekanja za prioritetni zahtev ako je stigao u sistem u vreme t (tzv. virtuelno vreme čekanja), za sistem sa relativnim prioritetima.

Označimo

Uslov za postojanje ovih granica je ispunjenje nejednakosti

gdje se vrijednost izračunava po formuli:

Označimo i .

Iskaz 21. Laplace-Stieltjesova transformacija stacionarne distribucije virtualnog vremena čekanja prioritetnog zahtjeva k definirana je na sljedeći način:

gdje su funkcije date formulom:

a funkcije se nalaze kao rješenja funkcionalnih jednačina:

Dokaz. Imajte na umu da je funkcija Laplace-Stieltjesova transformacija distribucije dužine perioda zauzetosti sistema sa zahtjevima prioriteta I i više (tj. vremenski interval od trenutka kada zahtjev prioriteta I i više stigne u prazan sistem i do prvog trenutka nakon toga kada je sistem oslobođen od zahtjeva za prisustvom prioriteta I i više). Dokaz da funkcija zadovoljava jednačinu (1.118) gotovo doslovno ponavlja dokaz tvrdnje 13. Napominjemo samo da je vrijednost vjerovatnoća da period kada je sistem zauzet zahtjevima prioriteta I i više počinje dolaskom prioriteta zahtjeva, a vrijednost se tumači kao vjerovatnoća nepostojanja katastrofe i zahtjeva prioriteta I i više, za periode zauzetosti uzrokovane katastrofom, u vrijeme servisiranja prioritetnog zahtjeva koji je započeo ovaj period zauzetosti.

Prvo, umjesto procesa, razmotrimo znatno jednostavniji pomoćni proces - vrijeme tokom kojeg bi zahtjev prioriteta k čekao da počne servisiranje da je stigao u sistem u vrijeme t i nakon toga nije ušao nijedan zahtjev višeg prioriteta. sistem.

Neka je Laplace-Stieltjesova transformacija distribucije slučajne varijable. Pokažimo da je funkcija definirana na sljedeći način:

(1.119)

Verovatnoća da je sistem prazan u jednom trenutku je verovatnoća da je servisiranje prioritetnog zahteva počelo u intervalu

Za dokaz (1.119) primjenjujemo metodu uvođenja dodatnog događaja. Neka stigne najjednostavniji tok katastrofa intenziteta s, bez obzira na rad sistema. Svaki zahtjev ćemo nazvati „lošim“ ako dođe do havarije tokom njegovog servisiranja, a „dobrim“ u suprotnom. Kao što slijedi iz izjava 5 i 6, tok loših zahtjeva prioriteta k i višeg je najjednostavniji sa intenzitetom

Hajde da uvedemo događaj A(s,t) - tokom vremena t sistem nije primio nijedan loš zahtjev prioriteta k ili višeg. Na osnovu izjave 1, vjerovatnoća ovog događaja se izračunava kao:

Izračunajmo ovu vjerovatnoću drugačije. Događaj A(s,t) je unija tri nekompatibilna događaja

Događaj je da nikakve katastrofe nisu stigle ni za vrijeme t ni za vrijeme.U ovom slučaju su, naravno, u vrijeme t u sistem stizali samo dobri zahtjevi prioriteta k i višeg. Verovatnoća događaja je očigledno jednaka

Događaj je da je katastrofa stigla u intervalu, ali je u trenutku dolaska sistem bio prazan, a za to vrijeme nije primljen nijedan loš zahtjev prioriteta k i višeg.

Vjerovatnoća događaja se izračunava na sljedeći način:

Događaj je da je katastrofa stigla u intervalu, ali je u trenutku njenog dolaska sistem servisirao zahtjev prioriteta ispod k, koji je počeo da se servisira u intervalu a tokom vremena t - i nije bilo loših zahtjeva prioriteta k i veće su primljene. Vjerovatnoća događaja se određuje na sljedeći način:

Budući da je događaj zbir tri nekompatibilna događaja, njegova vjerovatnoća je zbir vjerovatnoća ovih događaja. Zbog toga

Izjednačavanjem dva dobijena izraza za vjerovatnoću i množenjem obje strane jednakosti sa, nakon jednostavnih transformacija dobijamo (1.119)

Očigledno, da se katastrofa ne bi dogodila u vremenu čekanja na zahtjev koji stigne u vrijeme t, potrebno je i dovoljno da za to vrijeme ne pristignu nikakve katastrofe i zahtjevi prioriteta i viših, kao što je to u periodima gužve (zahtjevi od prioritet i viši) generirani s njima, dolazi do katastrofe. Iz ovih razmatranja i probabilističke interpretacije Laplace-Stieltjesove transformacije, dobijamo formulu koja daje vezu između transformacija u očiglednom obliku.

Pošaljite svoj dobar rad u bazu znanja je jednostavno. Koristite obrazac ispod

Studenti, postdiplomci, mladi naučnici koji koriste bazu znanja u svom studiranju i radu biće vam veoma zahvalni.

Objavljeno na http://www.allbest.ru/

Projekat kursa

Komparativna analiza performansiprotozoax sistemi čekanja

Uvod

performanse čekanja

U proizvodnim aktivnostima i svakodnevnom životu često se javljaju situacije kada postane izuzetno važno servisirati zahtjeve ili aplikacije koje ulaze u sistem. Često postoje situacije u kojima je izuzetno važno ostati u situaciji čekanja. Primeri za to mogu biti red kupaca na kasama velike prodavnice, grupa putničkih aviona koji čekaju dozvolu za poletanje na aerodromu, veliki broj pokvarenih mašina i mehanizama u redu za popravku u radionici za popravku preduzeća , itd. Ponekad uslužni sistemi imaju ograničen kapacitet da zadovolje potražnju, što rezultira redovima. Tipično, ni vrijeme potrebe za uslugom ni trajanje usluge nisu unaprijed poznati. Najčešće nije moguće izbjeći situaciju čekanja, ali možete smanjiti vrijeme čekanja na neku podnošljivu granicu.

Predmet teorije čekanja su sistemi čekanja (QS). Ciljevi teorije čekanja su analiza i proučavanje pojava koje nastaju u uslužnim sistemima. Jedan od osnovnih zadataka teorije je da odredi takve karakteristike sistema koje obezbeđuju zadati kvalitet rada, na primer, minimum vremena čekanja, minimum prosečne dužine reda čekanja. Svrha proučavanja režima rada servisnog sistema u uslovima gde je faktor slučajnosti značajan je kontrola nekih kvantitativnih pokazatelja funkcionisanja sistema čekanja. Takvi pokazatelji su, posebno, prosječno vrijeme koje klijent provede u redu čekanja ili proporcija vremena tokom kojeg je servisni sistem neaktivan. Štaviše, u prvom slučaju procjenjujemo sistem sa pozicije „klijenta“, dok u drugom slučaju procjenjujemo stepen opterećenosti uslužnog sistema. Promjenom operativnih karakteristika uslužnog sistema može se postići razuman kompromis između zahtjeva "klijenta" i kapaciteta uslužnog sistema.

1. Teorijski dio

1.1 Klasifikacija SMO

Sistemi čekanja (QS) se klasifikuju prema različitim kriterijumima, što je detaljno prikazano na slici 1.1.

Slika 1.1. Klasifikacija SMO

Na osnovu broja servisnih kanala (n), QS se dijele na jednokanalne (n = 1) i višekanalne (n > 2). Jednokanalni QS u trgovini može uključivati ​​gotovo svaku opciju lokalne usluge, na primjer, koju obavlja jedan prodavač, stručnjak za robu, ekonomista ili prodajno osoblje.

U zavisnosti od relativnog položaja kanala, sistemi se dele na QS sa paralelnim i serijskim kanalima. U QS-u sa paralelnim kanalima, ulazni tok zahtjeva za uslugom je uobičajen, pa stoga zahtjevi u redu mogu biti servisirani bilo kojim slobodnim kanalom. U takvim QS-ovima, red za uslugu se može smatrati općim.

U višekanalnom QS-u sa sekvencijalnim rasporedom kanala, svaki kanal se može smatrati zasebnim jednokanalnim QS-om ili servisnom fazom. Očigledno, izlazni tok servisiranih zahtjeva iz jednog QS-a je ulazni tok za sljedeći QS.

U zavisnosti od karakteristika servisnih kanala, višekanalni QS se dele na QS sa homogenim i heterogenim kanalima. Razlika je u tome što se u QS-u sa homogenim kanalima aplikacija može opsluživati ​​bilo kojim slobodnim kanalom, au QS-u sa heterogenim kanalima pojedinačne zahtjeve opslužuju samo kanali koji su posebno dizajnirani za tu svrhu, na primjer, kase za plaćanje jedan ili dva artikla u supermarketu.

U zavisnosti od mogućnosti formiranja reda, QS se dijele na dva glavna tipa: QS sa neuspjesima usluge i QS sa čekanjem (u čekanju) za uslugu.

U QS-u sa kvarovima, uskraćivanje usluge je moguće ako su svi kanali već zauzeti servisom, a nemoguće je formirati red i čekati servis. Primjer takvog CMO-a je sto za naručivanje u trgovini u kojem se narudžbe primaju telefonom.

U QS-u na čekanju, ako zahtjev utvrdi da su svi servisni kanali zauzeti, tada se čeka dok barem jedan od kanala ne bude slobodan.

QS sa čekanjem se dijele na QS sa neograničenim čekanjem ili sa neograničenim redom čekanja i vremenom čekanja Do i QS sa ograničenim čekanjem, u kojima su ograničenja nametnuta ili na maksimalnu moguću dužinu reda (max loch = m), ili na maksimalno moguću vrijeme kada zahtjev može ostati u redu čekanja (max Toch = Togr), ili za vrijeme rada sistema.

U zavisnosti od organizacije toka zahteva, QS se dele na otvorene i zatvorene.

U otvorenom QS-u, izlazni tok servisiranih zahtjeva nije povezan sa ulaznim tokom zahtjeva za uslugu. U zatvorenom QS-u, servisirani zahtjevi, nakon nekog vremenskog kašnjenja Tk, ponovo se primaju na ulaz QS-a i izvor zahtjeva je uključen u QS. U zatvorenom QS-u, isti konačan broj potencijalnih aplikacija kruži, na primjer, posuđe u blagovaonici - kroz prodajni prostor, pranje i distribuciju. Dok potencijalni zahtjev kruži i nije pretvoren u zahtjev za uslugu na QS ulazu, smatra se da je u liniji kašnjenja.

Tipične QS opcije su takođe određene uspostavljenom disciplinom reda, koja zavisi od prednosti u servisu, tj. prioritet. Prioritet za odabir aplikacija za uslugu može biti sljedeći: prvi dođe, prvi uslužen; posljednji dolazi prvi servira; slučajni odabir. Za QS sa uslugom čekanja i prioriteta moguće su sledeće vrste: apsolutni prioritet, na primer, za zaposlene u odeljenju za kontrolu i reviziju, ministar; relativni prioritet, na primjer, za direktora trgovine u njemu podređenim preduzećima; posebna pravila prioriteta prilikom servisiranja aplikacija su navedena u relevantnim dokumentima. Postoje i druge vrste QS: sa prijemom grupnih aplikacija, sa kanalima različite produktivnosti, sa mešovitim tokom aplikacija.

Skupovi QS različitih tipova, kombinovani uzastopno i paralelno, formiraju složenije strukture QS: sekcije, odeljenja prodavnice, supermarketa, trgovinske organizacije itd. Takvo modeliranje nam omogućava da identifikujemo značajne veze u trgovini, primenimo metode i modele teorije čekanja da ih opišemo, procenimo efikasnost usluge i razvijemo preporuke za njeno unapređenje.

1.2 Primjeri QS-a

Primjeri CMO-a uključuju:

telefonske centrale;

radionice za popravke;

blagajne za prodaju karata;

Informacijski pultovi;

trgovine;

frizerski saloni.

Sljedeće se može smatrati jedinstvenim sistemima čekanja:

informacijske i računalne mreže;

Operativni sustavi elektroničkih računala;

Sistemi za prikupljanje i obradu informacija;

automatizirane proizvodne radionice, proizvodne linije;

transportni sistemi;

sistemi protivvazdušne odbrane.

Problemima teorije čekanja bliski su mnogi problemi koji se javljaju prilikom analize pouzdanosti tehničkih uređaja.

Nasumična priroda toka aplikacija i trajanja usluge dovodi do činjenice da će se u QS-u dogoditi neka vrsta slučajnog procesa. Da bi se dale preporuke za racionalnu organizaciju ovog procesa i postavili razumni zahtjevi za QS, potrebno je proučiti slučajni proces koji se odvija u sistemu i matematički ga opisati. To je ono što čini teorija čekanja.

Imajte na umu da se obim primjene matematičkih metoda teorije čekanja kontinuirano širi i sve više nadilazi granice problema povezanih sa uslužnim organizacijama u doslovnom smislu riječi.

Broj modela uslužnih sistema (mreža) koji se koriste u praksi i proučavaju u teoriji je veoma, veoma veliki. Čak i da bi se shematski opisali njihovi glavni tipovi, potrebno je više od desetak stranica. Razmotrićemo samo sisteme sa redom čekanja. U ovom slučaju ćemo pretpostaviti da su ovi sistemi otvoreni za pozive, odnosno da zahtjevi ulaze u sistem izvana (u neki ulazni tok), svaki od njih zahtijeva konačan broj usluga, nakon završetka posljednjeg zahtjev zauvijek napušta sistem; a servisne discipline su takve da u bilo kom trenutku svaki uređaj ne može servisirati više od jednog poziva (drugim riječima, nije dozvoljeno paralelno servisiranje dva ili više zahtjeva od strane jednog uređaja).

U svim slučajevima razgovaraćemo o uslovima koji garantuju stabilan rad sistema.

2 . Proračunski dio

2.1 Prva faza. Sistem sa kvarovima

U ovoj fazi ćemo minimizirati prosječne troškove servisiranja jednog zahtjeva po jedinici vremena za sistem sa kvarovima. Da bismo to uradili, određujemo broj servisnih kanala koji obezbeđuje, u sistemu sa kvarovima, najnižu vrednost parametra - prosečnu cenu servisiranja jednog zahteva po jedinici vremena.

U skladu sa opcijom zadatka, definisani su sledeći sistemski parametri:

intenzitet ulaznog toka (prosečan broj zahteva koji ulaze u sistem po jedinici vremena) 1/jedinica. vrijeme.

prosječno vrijeme za servisiranje jedinica sa jednim zahtjevom. vrijeme;

troškovi rada jednokanalnih jedinica. trošak/kanal;

trošak zastoja jednokanalnih jedinica. trošak/kanal;

trošak rada jednog mjesta u redu čekanja

jedinice cijena/primjena u redu;

trošak gubitaka povezanih sa odlaskom aplikacije iz sistema kojoj je odbijena usluga. cost.unit vrijeme

Postavljanjem vrijednosti (broja servisnih kanala) od jedan do šest, izračunavamo konačne vjerovatnoće i, u skladu s njima, indikatore efikasnosti sistema. Rezultati proračuna su prikazani u Tabeli 2.1 i Tablici 2.2, a prikazani su i na grafovima funkcija prikazanim na slici 2.1.

Izvršimo proračune koristeći formule 2.1.

Vjerovatnoća da je jedan (u ovom slučaju svi) kanali zauzeti je:

Pošto postoji samo jedan kanal, onda.

1/kom vrijeme.

1/kom vrijeme.

Faktor opterećenja je:

jedinice vrijeme.

Kako analizirani sistem sa kvarovima nema red, prosječan broj zahtjeva u redu je nula za bilo koji broj servisnih kanala.

Izračunajmo indikatore efikasnosti za sistem sa kvarovima na.

Vjerovatnoća da su svi kanali besplatni je:

Vjerovatnoća da su dva (u ovom slučaju sva) kanala zauzeta je:

Pošto postoje samo dva kanala, onda.

Vjerovatnoća servisiranja aplikacije jednaka je:

Apsolutna propusnost sistema (prosečan broj usluženih zahteva po jedinici vremena) jednaka je:

1/kom vrijeme.

Intenzitet toka neusluženih aplikacija (prosečan broj aplikacija kojima je odbijena usluga po jedinici vremena) jednak je:

1/kom vrijeme.

Prosječan broj zauzetih kanala je:

Prosječan broj besplatnih kanala je:

Faktor opterećenja je:

Vrijeme kada aplikacija ostaje u sistemu je:

jedinice vrijeme.

Ukupni trošak servisiranja svih zahtjeva po jedinici vremena jednak je:

Prosječna cijena servisiranja jedne aplikacije po jedinici vremena je:

Izračunajmo indikatore efikasnosti za sistem sa kvarovima na.

Vjerovatnoća da su svi kanali besplatni je:

Vjerovatnoća da je jedan kanal zauzet je:

Vjerovatnoća da su tri (u ovom slučaju sva) kanala zauzeta je:

Pošto postoje samo tri kanala, onda.

Vjerovatnoća servisiranja aplikacije jednaka je:

Apsolutna propusnost sistema (prosečan broj usluženih zahteva po jedinici vremena) jednaka je:

1/kom vrijeme.

Intenzitet toka neusluženih aplikacija (prosečan broj aplikacija kojima je odbijena usluga po jedinici vremena) jednak je:

1/kom vrijeme.

Prosječan broj zauzetih kanala je:

Prosječan broj besplatnih kanala je:

Faktor opterećenja je:

Vrijeme kada aplikacija ostaje u sistemu je:

jedinice vrijeme.

Ukupni trošak servisiranja svih zahtjeva po jedinici vremena jednak je:

Prosječna cijena servisiranja jedne aplikacije po jedinici vremena je:

Izračunajmo indikatore efikasnosti za sistem sa kvarovima na.

Vjerovatnoća da su svi kanali besplatni je:

Vjerovatnoća da je jedan kanal zauzet je:

Verovatnoća da su dva kanala zauzeta je:

Vjerovatnoća da su tri kanala zauzeta je:

Vjerovatnoća da su četiri (u ovom slučaju sva) kanala zauzeta je:

Pošto postoje samo četiri kanala, onda.

Vjerovatnoća servisiranja aplikacije jednaka je:

Apsolutna propusnost sistema (prosečan broj usluženih zahteva po jedinici vremena) jednaka je:

1/kom vrijeme.

Intenzitet toka neusluženih aplikacija (prosečan broj aplikacija kojima je odbijena usluga po jedinici vremena) jednak je:

1/kom vrijeme.

Prosječan broj zauzetih kanala je:

Prosječan broj besplatnih kanala je:

Faktor opterećenja je:

Vrijeme kada aplikacija ostaje u sistemu je:

jedinice vrijeme.

Ukupni trošak servisiranja svih zahtjeva po jedinici vremena jednak je:

Prosječna cijena servisiranja jedne aplikacije po jedinici vremena je:

Za i proračuni se izvode slično, tako da nema potrebe davati detalje. Rezultati proračuna su također uključeni u tablicu 2.1 i tabelu 2.2. i prikazani su na slici 2.1.

Tabela 2.1. Rezultati proračuna za QS sa kvarovima

Sistem sa kvarovima 1/kom. vrijeme, jedinice vrijeme	Rezultirajući indikatori

Tabela 2.2. Pomoćni proračuni za QS sa kvarovima

	jedinice Stojimo.	jedinice Stojimo.	jedinice Stojimo.	jedinice Stojimo.	jedinice Stojimo.

Dobijeni proračuni nam omogućavaju da zaključimo da će najoptimalniji broj kanala u sistemu sa kvarovima biti, budući da se time osigurava minimalna vrijednost prosječne cijene servisiranja jednog zahtjeva u jedinici vremena, ekonomski pokazatelj koji karakteriše sistem i od sa stanovišta potrošača i sa stanovišta njegovih operativnih svojstava.

Slika 2.1. Grafovi rezultirajućih indikatora QS-a sa kvarovima

Vrijednosti glavnih pokazatelja performansi optimalnog QS-a s kvarovima:

jedinice vrijeme.

Vrijednost vremena boravka zahtjeva u sistemu koje je prihvatljivo za mješoviti QS izračunava se pomoću formule 2.2.

jedinice vrijeme.

2.2 Druga faza. Mješoviti sistem

U ovoj fazi proučavamo sistem čekanja koji odgovara zadatku sa ograničenjem vremena provedenog u redu čekanja. Osnovni zadatak ove etape je da se reši pitanje mogućnosti da se uvođenjem redosleda smanji vrednost ekonomskog indikatora C koji je optimalan za sistem koji se razmatra i da se poboljšaju drugi pokazatelji efikasnosti sistema koji se proučava.

Postavljanjem vrijednosti parametra (prosječno vrijeme zadržavanja zahtjeva u sistemu) izračunavamo iste pokazatelje efikasnosti kao i za sistem sa kvarovima. Rezultati proračuna su prikazani u Tabeli 2.3 i Tablici 2.4, a prikazani su i na grafovima funkcija prikazanim na slici 2.2.

Da bismo izračunali vjerovatnoće i ključne pokazatelje učinka, koristimo sljedeće formule:

,

,

,

,

,

,

, . 2.3

Izvršimo proračune koristeći formule 2.3.

Vrijednost indikatora je ista za sve.

.

.

Vjerovatnoća da su svi kanali slobodni izračunava se pomoću formula:

,

, . 2.4

Izračunajmo prvih nekoliko članova niza koristeći formule 2.3:

.

.

.

.

.

Izvršimo preostale proračune koristeći formule 2.2.

Izračunajmo konačne vjerovatnoće:

.

.

.

.

Prosječan broj besplatnih kanala je:

Prosječan broj zauzetih kanala je:

.

1/kom vrijeme.

Intenzitet toka neusluženih aplikacija (prosečan broj aplikacija kojima je odbijena usluga po jedinici vremena) jednak je:

1/kom vrijeme.

.

jedinice vrijeme.

Ukupni trošak servisiranja svih zahtjeva po jedinici vremena jednak je:

jedinice Art.

Prosječna cijena servisiranja jedne aplikacije po jedinici vremena je:

jedinice Art.

Budući da je rezultirajuća prosječna cijena servisiranja jednog zahtjeva manja od sličnog parametra optimalnog QS-a sa kvarovima

, treba povećati.

Izračunajmo indikatore efikasnosti QS-a sa ograničenjem na vremenske jedinice boravka u redu. vrijeme.

.

Tačnost potrebna za izračunavanje konačnih vjerovatnoća je 0,01. Da bi se osigurala ova tačnost, dovoljno je izračunati približni zbir beskonačnog niza sa sličnom tačnošću.

Za proračune koristimo i formule 2.2 i formule 2.3.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Prosječan broj besplatnih kanala je:

Prosječan broj zauzetih kanala je:

kanal

Vjerovatnoća usluge je:

.

Apsolutni kapacitet sistema je:

1/kom vrijeme.

Intenzitet toka neusluženih aplikacija (prosečan broj aplikacija kojima je odbijena usluga po jedinici vremena) jednak je:

1/kom vrijeme.

Faktor opterećenja sistema je:

.

Prosječan broj prijava u redu je:

Izračunajmo prosječno vrijeme boravka aplikacije u sistemu, koja mora zadovoljiti jedinicu uslova. vrijeme.

jedinice vrijeme.

Ukupni trošak servisiranja svih zahtjeva po jedinici vremena jednak je:

jedinice Art.

Prosječna cijena servisiranja jedne aplikacije po jedinici vremena je:

jedinice Art.

Kao što se vidi iz proračuna, povećanje dovodi do smanjenja prosječne cijene servisiranja jedne aplikacije. Na sličan način ćemo izvršiti proračune sa povećanjem prosječnog vremena koje aplikacija provodi u redu čekanja; rezultate ćemo unijeti u tablicu 2.3 i tabelu 2.4, te ih također prikazati na slici 2.2.

Tabela 2.3. Rezultati proračuna za mješoviti sistem

Sistem sa ograničenjem vremena provedenog u redu čekanja 1/kom vrijeme, jedinice vrijeme	Rezultirajući indikatori
Sistemski podaci sa kvarovima

Tabela 2.4. Pomoćni proračuni za mješoviti sistem

Ka izračunavanju ukupnih troškova servisiranja aplikacija po jedinici vremena
	jedinice Stojimo.	jedinice Stojimo.	jedinice Stojimo.	jedinice Stojimo.	jedinice Stojimo.
Sistemski podaci sa kvarovima
Sistemski podaci s ograničenjem vremena provedenog u redu čekanja

Dobijeni proračuni nam omogućavaju da zaključimo da treba prihvatiti najoptimalnije prosječno vrijeme boravka aplikacije u redu za sistem sa ograničenjem vremena provedenog u redu, budući da je u ovom slučaju najniža prosječna cijena servisiranja jedne aplikacije, a prosječno vrijeme boravka aplikacije u sistemu ne prelazi dozvoljeno, tada je ispunjen uslov.

Slika 2.2. Grafovi rezultirajućih indikatora mješovitog sistema

Vrijednosti glavnih pokazatelja performansi optimalnog QS-a s ograničenjem vremena kada aplikacija ostaje u redu čekanja:

jedinice vrijeme.

jedinice vrijeme.

Upoređujući indikatore efikasnosti optimalnog sistema sa kvarovima i proučavanog optimalnog mešovitog sistema sa ograničenjem vremena provedenog u redu, može se uočiti, pored smanjenja prosečne cene servisiranja jednog zahteva, i povećanje sistema opterećenje i vjerovatnoću servisiranja aplikacije, što nam omogućava da ocijenimo sistem koji se proučava kao efikasniji. Blago povećanje vremena boravka aplikacije u sistemu ne utiče na evaluaciju sistema, kao što se očekuje kada se uvede red čekanja.

2.3 Treća faza. Utjecaj performansi kanala

U ovoj fazi ispitujemo uticaj performansi servisnog kanala na efikasnost sistema. Performanse uslužnog kanala određuju se prosječnim vremenom usluge jednog zahtjeva. Za predmet istraživanja uzet ćemo mješoviti sistem koji je u prethodnoj fazi prepoznat kao optimalan. Performanse ovog početnog sistema su uporedive sa performansama dve verzije ovog sistema.

Opcija A. Sistem sa smanjenom produktivnošću servisnog kanala udvostručavanjem prosječnog servisnog vremena i sa smanjenim troškovima povezanim s radom i zastojima opreme.

, .

Opcija B. Sistem sa povećanom produktivnošću servisnih kanala prepolovljenjem prosečnog servisnog vremena i sa povećanim troškovima vezanim za rad i zastoje opreme.

, .

Rezultati proračuna prikazani su u tabeli 2.5 i tabeli 2.6.

Izračunajmo indikatore efikasnosti QS-a sa smanjenim performansama uslužnog kanala.

jedinice vrijeme.

.

.

.

.

Izračunajmo vjerovatnoću da su svi kanali slobodni.

Tačnost potrebna za izračunavanje konačnih vjerovatnoća je 0,01. Da bi se osigurala ova tačnost, dovoljno je izračunati približni zbir beskonačnog niza sa sličnom tačnošću.

Izračunajmo prvih nekoliko članova serije:

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Izračunajmo preostale konačne vjerovatnoće:

.

.

.

.

Prosječan broj besplatnih kanala je:

Prosječan broj zauzetih kanala je:

kanal

Vjerovatnoća usluge je:

.

Apsolutni kapacitet sistema je:

1/kom vrijeme.

Intenzitet toka neusluženih aplikacija (prosečan broj aplikacija kojima je odbijena usluga po jedinici vremena) jednak je:

1/kom vrijeme.

Faktor opterećenja sistema je:

.

Prosječan broj prijava u redu je:

aplikacije.

jedinice vrijeme.

Ukupni trošak servisiranja svih zahtjeva po jedinici vremena jednak je:

jedinice Art.

Prosječna cijena servisiranja jedne aplikacije po jedinici vremena je:

jedinice Art.

Izračunajmo indikatore efikasnosti QS-a sa povećanom produktivnošću uslužnih kanala.

jedinice vrijeme.

.

.

.

.

Izračunajmo vjerovatnoću da su svi kanali slobodni.

Tačnost potrebna za izračunavanje konačnih vjerovatnoća je 0,01. Da bi se osigurala ova tačnost, dovoljno je izračunati približni zbir beskonačnog niza sa sličnom tačnošću.

Izračunajmo prvih nekoliko članova serije:

.

.

.

.

.

.

Izračunajmo preostale konačne vjerovatnoće:

.

.

.

.

Prosječan broj besplatnih kanala je:

Prosječan broj zauzetih kanala je:

kanal.

Vjerovatnoća usluge je:

.

Apsolutni kapacitet sistema je:

1/kom vrijeme.

Intenzitet toka neusluženih aplikacija (prosečan broj aplikacija kojima je odbijena usluga po jedinici vremena) jednak je:

1/kom vrijeme.

Faktor opterećenja sistema je:

.

Prosječan broj prijava u redu je:

aplikacije.

Izračunajmo prosječno vrijeme zadržavanja zahtjeva u sistemu.

jedinice vrijeme.

Ukupni trošak servisiranja svih zahtjeva po jedinici vremena jednak je:

jedinice Art.

Prosječna cijena servisiranja jedne aplikacije po jedinici vremena je:

jedinice Art.

Tabela 2.5. Rezultati proračuna treće faze

Određeni mješoviti sistem 1/kom vrijeme, jedinice vrijeme

Rezultat indikatori

Original opcija

Opcija A

Opcija B

Tabela 2.6. Pomoćni proračuni treće faze

Ka izračunavanju ukupnih troškova servisiranja aplikacija po jedinici vremena
		jedinice Stojimo.	jedinice Stojimo.	jedinice Stojimo.	jedinice Stojimo.	jedinice Stojimo.
Original opcija
Opcija A
Opcija B

Dobijeni rezultati pokazuju da nije preporučljivo povećavati ili smanjivati ​​produktivnost uslužnih kanala. Pošto se smanjuje produktivnost servisnih kanala, povećava se prosječno vrijeme boravka zahtjeva u sistemu, iako je opterećenje sistema blizu maksimuma. Sa povećanjem produktivnosti, većina kanala usluga je neaktivna, ali sa stanovišta potrošača, sistem je efikasan, jer je vjerovatnoća usluge blizu jedan, a vrijeme zadržavanja zahtjeva u sistemu kratko. Ovaj proračun pokazuje dvije opcije za sistem, od kojih je prva efikasna sa stanovišta operativnih svojstava i nije efikasna sa stanovišta potrošača, a druga - obrnuto.

Zaključak

Tokom kursa proučavan je i razmatran sistem čekanja sa kvarovima i mešoviti sistem čekanja sa ograničenjem vremena provedenog u redu čekanja i istražen je uticaj performansi uslužnih kanala na efikasnost sistema izabranog kao optimalnog.

Upoređujući optimalni QS sa kvarovima i mešoviti sistem u smislu parametara efikasnosti, mešoviti sistem treba prepoznati kao najbolji. Budući da je prosječna cijena servisiranja jedne aplikacije u mješovitom sistemu manja od sličnog parametra u QS-u sa kvarovima od 9%.

Analizirajući efektivnost u pogledu performansi sistema, mješoviti sistem pokazuje bolje rezultate u odnosu na QS sa kvarovima. Faktor opterećenja i apsolutna propusnost mješovitog sistema su 10% veći od sličnih parametara QS-a sa kvarovima. Iz perspektive potrošača, zaključak nije tako jasan. Vjerovatnoća servisiranja mješovitog sistema je skoro 10% veća, što ukazuje na veću efikasnost mješovitog sistema u odnosu na QS sa kvarovima. Ali postoji i povećanje vremena boravka aplikacije u sistemu za 20%, što karakteriše QS sa kvarovima kao efikasnijim u ovom parametru.

Kao rezultat istraživanja, optimalni mješoviti sistem je prepoznat kao najefikasniji. Ovaj sistem ima sledeće prednosti u odnosu na QS sa kvarovima:

niži troškovi za servisiranje jedne aplikacije;

manje zastoja uslužnih kanala zbog većeg obima posla;

veća profitabilnost, jer je propusnost sistema veća;

Moguće je izdržati neujednačen intenzitet dolaznih aplikacija (povećano opterećenje), zbog prisustva reda.

Studije uticaja performansi uslužnih kanala na efikasnost mešovitog sistema čekanja sa ograničenjem vremena provedenog u redu omogućavaju nam da zaključimo da bi najbolja opcija bio originalni optimalni mešoviti sistem. Od kada se performanse uslužnih kanala smanjuju, sistem uveliko „popušta“ sa stanovišta potrošača. Vrijeme boravka aplikacije u sistemu povećava se za 3,6 puta! A sa povećanjem produktivnosti servisnih kanala, sistem može da se nosi sa opterećenjem tako lako da će 75% vremena biti u stanju mirovanja, što je još jedna, neisplativa, krajnost.

S obzirom na navedeno, optimalni mješoviti sistem je najbolji izbor, jer pokazuje ravnotežu pokazatelja efikasnosti sa stanovišta potrošača i operativnih svojstava, a ima najbolje ekonomske pokazatelje.

BibliografijaI

1 Dvoretsky S.I. Modeliranje sistema: udžbenik za studente. viši udžbenik institucije / M.: Izdavački centar "Akademija". 2009.

2 Labsker L.G. Teorija redova čekanja u ekonomskoj sferi: Udžbenik. priručnik za univerzitete / M.: UNITI. 1998.

3 Samusevich G.A. Teorija čekanja. Najjednostavniji sistemi čekanja. Smjernice za završetak kursnog projekta. / E.: UrTISI SibGUTI. 2015.

Objavljeno na Allbest.ru

Slični dokumenti

Poreklo i istorija nastanka ekonomske analize. Ekonomska analiza u uslovima carske Rusije, u postoktobarskom periodu i tokom prelaska na tržišne odnose. Teorija čekanja, njena primjena i upotreba u donošenju odluka.

test, dodano 11.03.2010


Ekonomski sistem u različitim naučnim školama. Komparativna studija mehanizma funkcionisanja različitih ekonomskih sistema. Odnos plana i tržišta (alokacija resursa). Vrste sistema: moderni, tradicionalni, planski i mješoviti (hibridni).

kurs, dodan 25.12.2014


Proučavanje karakteristika vremenskih i plata po komadu. Opis sistema paušalnog, ugovornog i netarifnog plaćanja. Brigadni oblik organizacije rada. Analiza faktora koji utiču na plate. Pregled uzroka nejednakosti prihoda.

kurs, dodan 28.10.2013


Metodologija za uporedna istraživanja ekonomskih sistema. Razvoj pogleda na predindustrijski ekonomski sistem. Tržišna ekonomija: idejno rješenje i stvarnost. Modeli mješovite ekonomije u zemljama u razvoju.

knjiga, dodana 27.12.2009


Suština masovnog tipa organizacije proizvodnje i opseg njegove primjene, glavni pokazatelji. Glavne karakteristike korištenja masovnog tipa organizacije proizvodnje u određenom poduzeću. Poboljšanje upravljanja masovnom proizvodnjom.

kurs, dodato 04.04.2014


Pristupi proučavanju ekonomije i ekonomskog procesa. Ekonomski mehanizam kao dio privrednog sistema. Vrste ekonomskih sistema. Kapitalizam, socijalizam i mješovita ekonomija u teoriji i praksi. Nacionalni modeli ekonomskih sistema.

kurs, dodato 14.04.2013


Pojam ekonomskih sistema i pristupi njihovoj klasifikaciji. Osnovni modeli razvijenih zemalja u okviru ekonomskih sistema. Glavne karakteristike i karakteristike švedskog, američkog, njemačkog, japanskog, kineskog i ruskog modela tranzicionih ekonomija.

kurs, dodan 03.11.2010


Suština portfolio, budžet, projektni pristupi vrednovanju projekata za implementaciju informacionih tehnologija u preduzeću. Opis tradicionalnih finansijskih i probabilističkih metoda za određivanje efektivnosti korišćenja korporativnih informacionih sistema.

sažetak, dodan 12.06.2010


Koncept proizvodne funkcije i izokvante. Klasifikacija niskoelastične, srednje elastične i visokoelastične robe. Određivanje i korištenje direktnih omjera troškova. Korištenje metode teorije igara u trgovanju. Sistemi čekanja.

praktični rad, dodato 04.03.2010


Pojam i klasifikacija ekonomskih sistema, njihove varijante i uporedni opis. Suština i glavni uslovi postojanja tržišta, obrasci i pravci njegovog razvoja. Pojam subjekta i objekta tržišne ekonomije, principi upravljanja.

2 - queue- zahtjevi koji čekaju uslugu.

Red se procjenjuje prosječna dužina g - broj objekata ili klijenata koji čekaju uslugu.

3 - servisni uređaji(uslužni kanali) - skup radnih mjesta, izvođača, opreme koja servisira zahtjeve koristeći određenu tehnologiju.

4 - odlazni tok zahtjeva co"(r) je tok zahtjeva koji su prošli QS. Generalno, izlazni tok se može sastojati od servisiranih i neservisanih zahtjeva. Primjer neservisanih zahtjeva: nedostatak potrebnog dijela za automobil koji se popravlja.

5 - kratki spoj(moguće) QS - stanje sistema u kojem ulazni tok zahtjeva zavisi od odlaznog toka.

U drumskom saobraćaju, nakon servisiranja (održavanje, popravke), vozilo mora biti tehnički ispravno.

Sistemi čekanja su klasifikovani na sledeći način.

1. Prema ograničenjima dužine reda čekanja:

QS sa gubicima - zahtjev ostavlja QS neuslužen ako su u trenutku njegovog dolaska svi kanali zauzeti;

QS bez gubitaka - zahtjev zauzima red, čak i ako su svi kanali zauzeti;

QS sa ograničenjima dužine reda čekanja T ili vrijeme čekanja: ako postoji ograničenje u redu čekanja, onda novopristigla (/?/ + 1)-ta potražnja ostavlja sistem neiskorišćenim (na primjer, ograničeni kapacitet skladišnog prostora ispred benzinske pumpe).

2. Po broju servisnih kanala n:

Jedan kanal: P= 1;

Višekanalni P^ 2.

3. Po vrsti servisnih kanala:

Isti tip (univerzalni);

Razne vrste (specijalizirane).

4. Redoslijed servisa:

Monofazni - održavanje se vrši na jednom uređaju (post);

Višefazni - zahtjevi se uzastopno prolaze kroz nekoliko servisnih uređaja (na primjer, proizvodne linije za održavanje; linija za sklapanje automobila; linija vanjske njege: čišćenje -> pranje -> sušenje -> poliranje).

5. Po prioritetu usluge:

Bez prioriteta - zahtjevi se servisiraju onim redoslijedom kojim su primljeni
SMO;

Sa prioritetom - zahtjevi se servisiraju u zavisnosti od dodijeljenog
ih po dobijanju ranga prioriteta (na primjer, punjenje automobila
Hitna pomoć na benzinskoj pumpi; prioritetne popravke na ATP vozilima,
donosi najveću dobit na transportu).

6. Po veličini dolaznog toka zahtjeva:

Sa neograničenim dolaznim protokom;

Sa ograničenim dolaznim protokom (na primjer, u slučaju predbilježbe za određene vrste poslova i usluga).

7. Prema strukturi S MO:

Zatvoreno - dolazni tok zahteva, pod svim ostalim jednakim uslovima, zavisi od broja prethodno servisiranih zahteva (kompleksni ATP koji servisira samo sopstvene automobile (5 na slici 6.6));

Otvoreno - dolazni tok potražnje ne zavisi od broja prethodno servisiranih: javne benzinske pumpe, prodavnica rezervnih delova.

8. Prema odnosu servisnih uređaja:

Uz međusobnu pomoć - kapacitet uređaja je promjenjiv i zavisi od popunjenosti ostalih uređaja: timsko održavanje više servisnih mjesta; korištenje "kliznih" radnika;

Bez međusobne pomoći - propusnost uređaja ne zavisi od rada drugih QS uređaja.

Što se tiče tehničkog rada automobila, sve su rasprostranjeni zatvoreni i otvoreni, jednokanalni i višekanalni sistemi čekanja, sa istim tipom ili specijalizovanim servisnim uređajima, sa jednofaznim ili višefaznim servisom, bez gubitaka ili sa ograničenjima na dužina reda ili vrijeme provedeno u njemu.

Kao indikatori performansi QS-a koriste se sljedeći parametri.

Intenzitet usluge

Relativna širina pojasa određuje udio servisiranih zahtjeva od njihovog ukupnog broja.

Verovatnoća da da su svi postovi besplatni R () , karakteriše stanje sistema u kojem su svi objekti u funkciji i ne zahtevaju tehničke intervencije, tj. nema zahtjeva.

Vjerovatnoća uskraćivanja usluge R ogk ima smisla za QS sa gubicima i sa ograničenjem dužine reda ili vremena provedenog u njemu. Prikazuje udio "izgubljenih" zahtjeva za sistem.

Vjerojatnost formiranja reda P ots određuje stanje sistema u kojem su svi servisni uređaji zauzeti, a sljedeći zahtjev „stoji“ u redu s brojem zahtjeva na čekanju r.

Zavisnosti za određivanje imenovanih parametara funkcionisanja QS-a određene su njegovom strukturom.

Prosječno vrijeme provedeno u redu čekanja

Zbog slučajnosti dolaznog toka zahtjeva i trajanja njihovog završetka, uvijek postoji neki prosječan broj vozila u stanju mirovanja. Stoga je potrebno rasporediti broj uslužnih uređaja (posta, poslova, izvođača) između različitih podsistema tako da I - min. Ova klasa problema bavi se diskretnim promjenama parametara, jer se broj uređaja može mijenjati samo na diskretan način. Stoga se pri analizi sistema performansi vozila koriste metode iz operativnog istraživanja, teorije čekanja, linearnog, nelinearnog i dinamičkog programiranja i simulacije.

Primjer. Autotransportno preduzeće ima jednu dijagnostičku stanicu (P= 1). U ovom slučaju, dužina reda čekanja je praktično neograničena. Odredite parametre performansi dijagnostičkog posta ako je trošak vremena mirovanja vozila u redu SA\= 20 rub. (obračunske jedinice) po smjeni, a trošak zastoja postova C 2 = 15 rubalja. Ostatak početnih podataka je isti kao u prethodnom primjeru.

Primjer. U istom auto-transportnom preduzeću broj dijagnostičkih mjesta je povećan na dva (n = 2), tj. kreiran je višekanalni sistem. Budući da su za stvaranje drugog radnog mjesta potrebna kapitalna ulaganja (prostor, oprema itd.), troškovi zastoja opreme za održavanje povećavaju se na C2 = 22 rub. Odredite parametre performansi dijagnostičkog sistema. Ostatak početnih podataka je isti kao u prethodnom primjeru.

Dijagnostički intenzitet i smanjena gustina fluksa ostaju isti:

}