I uppgifterna 1 - 20 anges höjdpunkterna för triangeln ABC.
Hitta: 1) längden på sidan AB; 2) ekvationer för sidorna AB och AC och deras vinkelkoefficienter; 3) Inre vinkel A i radianer med en noggrannhet på 0,01; 4) ekvation för höjden på CD och dess längd; 5) ekvationen för en cirkel för vilken höjden CD är diametern; 6) systemet linjära ojämlikheter, definierande triangel ABC.

Längd på triangelsidor:
|AB| = 15
|AC| = 11.18
|BC| = 14.14
Avstånd d från punkt M: d = 10
Koordinaterna för triangelns hörn är givna: A(-5,2), B(7,-7), C(5,7).
2) Längden på triangelns sidor
Avståndet d mellan punkterna M 1 (x 1 ; y 1) och M 2 (x 2 ; y 2) bestäms av formeln:

8) Ekvation för en linje
En rät linje som går genom punkterna A 1 (x 1 ; y 1) och A 2 (x 2 ; y 2) representeras av ekvationerna:

Ekvation för linje AB


eller

eller
y = -3 / 4 x -7 / 4 eller 4y + 3x +7 = 0
Ekvation för linje AC
Linjens kanoniska ekvation:

eller

eller
y = 1/2 x + 9/2 eller 2y -x - 9 = 0
Ekvation för linje BC
Linjens kanoniska ekvation:

eller

eller
y = -7x + 42 eller y + 7x - 42 = 0
3) Vinkel mellan raka linjer
Ekvation för rät linje AB:y = -3 / 4 x -7 / 4
Linjeekvation AC:y = 1 / 2 x + 9 / 2
Vinkel φ mellan två räta linjer, givna ekvationer med vinkelkoefficienter y = k 1 x + b 1 och y 2 = k 2 x + b 2, beräknat med formeln:

Lutningarna på dessa linjer är -3/4 och 1/2. Låt oss använda formeln och dess höger sida ta modulo:

tg φ = 2
φ = arctan(2) = 63,44 0 eller 1,107 rad.
9) Höjdekvation genom vertex C
Den räta linjen som går genom punkten N 0 (x 0 ;y 0) och vinkelrät mot den räta linjen Ax + By + C = 0 har en riktningsvektor (A;B) och representeras därför av ekvationerna:



Denna ekvation kan hittas på ett annat sätt. För att göra detta, låt oss hitta lutningen k 1 för den räta linjen AB.
AB ekvation: y = -3 / 4 x -7 / 4, dvs. k 1 = -3/4
Låt oss hitta vinkelkoefficienten k för perpendikulären från villkoret för vinkelräthet för två räta linjer: k 1 *k = -1.
Genom att ersätta lutningen på denna linje istället för k 1 får vi:
-3 / 4 k = -1, varav k = 4 / 3
Eftersom vinkelrät går genom punkten C(5,7) och har k = 4 / 3, kommer vi att leta efter dess ekvation i formen: y-y 0 = k(x-x 0).
Genom att ersätta x 0 = 5, k = 4 / 3, y 0 = 7 får vi:
y-7 = 4/3 (x-5)
eller
y = 4/3 x + 1/3 eller 3y -4x - 1 = 0
Låt oss hitta skärningspunkten med linjen AB:
Vi har ett system med två ekvationer:
4y + 3x +7 = 0
3y -4x - 1 = 0
Från den första ekvationen uttrycker vi y och ersätter den med den andra ekvationen.
Vi får:
x = -1
y=-1
D(-1;-1)
9) Längden på triangelns höjd tagen från vertex C
Avståndet d från punkten M 1 (x 1 ;y 1) till den räta linjen Ax + By + C = 0 är lika med det absoluta värdet av kvantiteten:

Hitta avståndet mellan punkt C(5;7) och linjen AB (4y + 3x +7 = 0)


Längden på höjden kan beräknas med en annan formel, som avståndet mellan punkt C(5;7) och punkt D(-1;-1).
Avståndet mellan två punkter uttrycks i termer av koordinater med formeln:

5) ekvationen för en cirkel för vilken höjden CD är diametern;
Ekvationen för en cirkel med radien R med centrum i punkten E(a;b) har formen:
(x-a)2+ (y-b)2 = R2
Eftersom CD är diametern på den önskade cirkeln, är dess centrum E mittpunkten av segmentet CD. Med hjälp av formlerna för att dela ett segment på mitten får vi:


Därför är E(2;3) och R = CD / 2 = 5. Med hjälp av formeln får vi ekvationen för den önskade cirkeln: (x-2) 2 + (y-3) 2 = 25

6) ett system av linjära olikheter som definierar triangeln ABC.
Ekvation för linje AB: y = -3 / 4 x -7 / 4
Ekvation för linje AC: y = 1 / 2 x + 9 / 2
Ekvation för linje BC: y = -7x + 42

Hur man lär sig att lösa problem med hjälp av analytisk geometri?
Typiskt problem med en triangel på ett plan

Den här lektionen är skapad om inställningen till ekvatorn mellan planets geometri och rymdens geometri. För närvarande finns det ett behov av att systematisera den ackumulerade informationen och svara på en mycket viktig fråga: hur man lär sig att lösa problem i analytisk geometri? Svårigheten är att du kan komma på ett oändligt antal problem i geometri, och ingen lärobok kommer att innehålla alla de många och mångfalden av exempel. Är inte derivata av en funktion med fem regler för differentiering, en tabell och flera tekniker...

Det finns en lösning! Jag kommer inte att tala högt om det faktum att jag har utvecklat någon form av grandios teknik, men enligt min mening finns det ett effektivt tillvägagångssätt för det aktuella problemet, vilket gör att även en komplett dummy kan uppnå bra och utmärkta resultat. Åtminstone den allmänna lösningsalgoritmen geometriska problem bildades väldigt tydligt i mitt huvud.

VAD DU BEHÖVER VETA OCH KUNNA GÖRA
för att framgångsrikt lösa geometriproblem?

Det finns ingen flykt från detta - för att inte slumpmässigt peta på knapparna med näsan måste du behärska grunderna i analytisk geometri. Därför, om du precis har börjat studera geometri eller helt har glömt det, vänligen börja med lektionen Vektorer för dummies. Förutom vektorer och åtgärder med dem måste du känna till de grundläggande begreppen plangeometri, i synnerhet, ekvation för en linje i ett plan Och . Rummets geometri presenteras i artiklar Planekvation, Ekvationer för en linje i rymden, Grundläggande problem på en rak linje och ett plan och några andra lektioner. Böjda linjer och rumsytor av andra ordningen skiljer sig något åt, och det finns inte så många specifika problem med dem.

Låt oss anta att studenten redan har grundläggande kunskaper och färdigheter i att lösa de enklaste problemen inom analytisk geometri. Men det händer så här: du läser redogörelsen för problemet, och... du vill stänga det hela, slänga det i ett långt hörn och glömma det, som en ond dröm. Dessutom beror detta i grunden inte på nivån på dina kvalifikationer då och då stöter jag på uppgifter där lösningen inte är självklar. Vad ska man göra i sådana fall? Du behöver inte vara rädd för en uppgift som du inte förstår!

för det första, bör installeras - Är detta ett "platt" eller rumsligt problem? Till exempel, om villkoret inkluderar vektorer med två koordinater, så är detta naturligtvis geometrin för ett plan. Och om läraren laddade den tacksamma lyssnaren med en pyramid, så finns det helt klart rymdens geometri. Resultaten av det första steget är redan ganska bra, eftersom vi lyckades skära bort en enorm mängd information som var onödig för denna uppgift!

Andra. Tillståndet kommer vanligtvis att beröra dig med någon geometrisk figur. Gå faktiskt längs korridorerna på ditt hemuniversitet, och du kommer att se många oroliga ansikten.

I "platta" problem, för att inte tala om de uppenbara punkterna och linjerna, är den mest populära figuren en triangel. Vi kommer att analysera det i detalj. Därefter kommer parallellogrammet, och mycket mindre vanliga är rektangeln, kvadraten, romben, cirkeln och andra former.

I rumsliga problem Samma platta figurer + själva planen och vanliga triangulära pyramider med parallellepipeder kan flyga.

Fråga två - Vet du allt om den här figuren? Anta att tillståndet talar om en likbent triangel, och du minns mycket vagt vilken typ av triangel det är. Vi öppnar en skolbok och läser om en likbent triangel. Vad ska man göra... doktorn sa en romb, det betyder en romb. Analytisk geometri är analytisk geometri, men problemet kommer att lösas av figurernas geometriska egenskaper, känd för oss från Läroplanen. Om du inte vet vad summan av vinklarna i en triangel är, kan du lida under lång tid.

Tredje. Försök ALLTID följa ritningen(på utkast/avslutskopia/mentalt), även om detta inte krävs av villkoret. I "platta" problem beordrade Euclid själv att plocka upp en linjal och en penna - och inte bara för att förstå tillståndet, utan också för att självtesta. I det här fallet är den lämpligaste skalan 1 enhet = 1 cm (2 bärbara celler). Låt oss inte prata om slarviga elever och matematiker som snurrar i sina gravar – det är nästan omöjligt att göra fel i sådana problem. För rumsliga uppgifter utför vi en schematisk ritning, som också hjälper till att analysera tillståndet.

En ritning eller schematisk ritning låter dig ofta omedelbart se hur du löser ett problem. Naturligtvis, för detta behöver du känna till den grundläggande geometrin och hacka i egenskaperna geometriska former(se föregående stycke).

Fjärde. Utveckling av en lösningsalgoritm. Många geometriproblem är flerstegs, så lösningen och dess design är mycket bekväm att dela upp i punkter. Ofta kommer algoritmen direkt att tänka på efter att du läst villkoret eller slutfört ritningen. Vid svårigheter börjar vi med uppgiftens FRÅGA. Till exempel, enligt villkoret "du måste konstruera en rak linje ...". Här är den mest logiska frågan: "Vad är tillräckligt att veta för att konstruera denna räta linje?" Antag att "vi vet poängen, vi behöver veta riktningsvektorn." Vi ställer följande fråga: "Hur hittar man denna riktningsvektor? Var?" etc.

Ibland finns det en "bugg" - problemet är inte löst och det är det. Orsakerna till stopp kan vara följande:

– Allvarlig lucka i grundläggande kunskaper. Med andra ord, du vet inte och/eller ser inte någon väldigt enkel sak.

– Okunskap om egenskaperna hos geometriska figurer.

– Uppgiften var svår. Ja, det händer. Det är ingen idé att ånga i timmar och samla tårar i en näsduk. Be om råd från din lärare, medstudenter eller ställ en fråga på forumet. Dessutom är det bättre att göra sitt uttalande konkret - om den del av lösningen som du inte förstår. Ett rop i form av "Hur löser man problemet?" ser inte särskilt bra ut... och framför allt för ditt eget rykte.

Steg fem. Vi bestämmer-kollar, bestämmer-kollar, bestämmer-kollar-ger svar. Det är fördelaktigt att kontrollera varje punkt i uppgiften omedelbart efter att den är klar. Detta hjälper dig att upptäcka felet omedelbart. Naturligtvis är det ingen som förbjuder att snabbt lösa hela problemet, men det finns risk att skriva om allt igen (ofta flera sidor).

Dessa är kanske alla de viktigaste övervägandena som bör följas när man löser problem.

Den praktiska delen av lektionen presenteras i plangeometri. Det kommer bara att finnas två exempel, men det verkar inte tillräckligt =)

Låt oss gå igenom tråden i algoritmen som jag just tittade på i mitt lilla vetenskapliga arbete:

Exempel 1

Tre hörn av ett parallellogram ges. Hitta toppen.

Låt oss börja förstå:

Steg ett: Det är uppenbart att vi talar om ett "platt" problem.

Steg två: Problemet handlar om ett parallellogram. Kommer alla ihåg denna parallellogramfigur? Det finns ingen anledning att le, många människor får sin utbildning vid 30-40-50 år eller äldre, så även enkla fakta kan raderas ur minnet. Definitionen av ett parallellogram finns i exempel nr 3 i lektionen Linjärt (icke) beroende av vektorer. Grund för vektorer.

Steg tre: Låt oss göra en ritning där vi markerar tre kända hörn. Det är roligt att det inte är svårt att omedelbart konstruera den önskade punkten:

Att konstruera det är naturligtvis bra, men lösningen måste formuleras analytiskt.

Steg fyra: Utveckling av en lösningsalgoritm. Det första som kommer att tänka på är att en punkt kan hittas som skärningspunkten mellan linjer. Vi känner inte till deras ekvationer, så vi måste ta itu med denna fråga:

1) Motstående sidor är parallella. Med poäng Låt oss hitta riktningsvektorn för dessa sidor. Detta enklaste uppgiften som diskuterades i klassen Vektorer för dummies.

Notera: det är mer korrekt att säga "ekvationen för en linje som innehåller en sida", men här och längre för korthets skull kommer jag att använda fraserna "ekvation för en sida", "riktningsvektor för en sida" etc.

3) Motstående sidor är parallella. Med hjälp av punkterna hittar vi riktningsvektorn för dessa sidor.

4) Låt oss skapa en ekvation av en rät linje med hjälp av en punkt och en riktningsvektor

I styckena 1-2 och 3-4 löste vi faktiskt samma problem två gånger, det diskuterades i exempel nr 3 i lektionen De enklaste problemen med en rak linje på ett plan. Det var möjligt att ta en längre väg - hitta först ekvationerna för linjerna och först sedan "dra ut" riktningsvektorerna från dem.

5) Nu är linjernas ekvationer kända. Det återstår att konstruera och lösa motsvarande system linjära ekvationer(se exempel nr 4, 5 i samma lektion De enklaste problemen med en rak linje på ett plan).

Poängen har hittats.

Uppgiften är ganska enkel och lösningen är uppenbar, men det finns en kortare väg!

Andra lösningen:

Diagonalerna i ett parallellogram är delade av deras skärningspunkt. Jag markerade poängen, men för att inte belamra ritningen ritade jag inte själva diagonalerna.

Låt oss komponera ekvationen för sidan punkt för punkt :

För att kontrollera bör du mentalt eller på ett utkast ersätta koordinaterna för varje punkt i den resulterande ekvationen. Låt oss nu hitta lutningen. För att göra detta skriver vi om den allmänna ekvationen i form av en ekvation med en lutningskoefficient:

Således är lutningen:

På samma sätt hittar vi sidornas ekvationer. Jag ser inte så mycket mening med att beskriva samma sak, så jag ska genast ge det färdiga resultatet:

2) Hitta längden på sidan. Detta är det enklaste problemet i klassen. Vektorer för dummies. För poäng vi använder formeln:

Med samma formel är det lätt att hitta längden på andra sidor. Kontrollen kan göras mycket snabbt med en vanlig linjal.

Vi använder formeln .

Låt oss hitta vektorerna:

Således:

Förresten, längs vägen hittade vi längderna på sidorna.

Som ett resultat:

Tja, det verkar vara sant för att vara övertygande kan du fästa en gradskiva i hörnet.

Uppmärksamhet! Blanda inte ihop vinkeln på en triangel med vinkeln mellan raka linjer. Vinkeln på en triangel kan vara trubbig, men vinkeln mellan räta linjer kan inte (se sista stycket i artikeln De enklaste problemen med en rak linje på ett plan). Men för att hitta vinkeln på en triangel kan du också använda formlerna från ovanstående lektion, men grovheten är att de formlerna alltid ger en spetsig vinkel. Med deras hjälp löste jag detta problem i utkast och fick resultatet. Och på det sista exemplaret skulle jag behöva skriva ner ytterligare ursäkter, att .

4) Skriv en ekvation för en linje som går genom en punkt parallell med linjen.

Standarduppgift, diskuterad i detalj i exempel nr 2 i lektionen De enklaste problemen med en rak linje på ett plan. Från allmän ekvation hetero Låt oss ta ut guidevektorn. Låt oss skapa en ekvation för en rät linje med hjälp av en punkt och en riktningsvektor:

Hur hittar man höjden på en triangel?

5) Låt oss skapa en ekvation för höjden och hitta dess längd.

Det finns ingen flykt från strikta definitioner, så du måste stjäla från en skolbok:

Triangelhöjd kallas vinkelrät från triangelns spets till linjen som innehåller den motsatta sidan.

Det vill säga, det är nödvändigt att skapa en ekvation för en vinkelrät ritad från spetsen till sidan. Denna uppgift diskuteras i exempel nr 6, 7 i lektionen De enklaste problemen med en rak linje på ett plan. Från Eq. ta bort den normala vektorn. Låt oss komponera höjdekvationen med hjälp av en punkt och en riktningsvektor:

Observera att vi inte känner till punktens koordinater.

Ibland hittas höjdekvationen från förhållandet mellan vinkelkoefficienterna för vinkelräta linjer: . I det här fallet då: . Låt oss komponera höjdekvationen med hjälp av en punkt och en vinkelkoefficient (se början av lektionen Ekvation för en rät linje på ett plan):

Höjdlängden kan hittas på två sätt.

Det finns en omväg:

a) hitta – skärningspunkten mellan höjd och sida;
b) hitta längden på segmentet med hjälp av två kända punkter.

Men i klassen De enklaste problemen med en rak linje på ett plan en lämplig formel för avståndet från en punkt till en linje övervägdes. Punkten är känd: , linjens ekvation är också känd: , Således:

6) Beräkna arean av triangeln. I rymden beräknas arean av en triangel traditionellt med hjälp av vektorprodukt av vektorer, men här får vi en triangel på ett plan. Vi använder skolans formel:
– Arean av en triangel är lika med hälften av produkten av dess bas och dess höjd.

I detta fall:

Hur hittar man medianen för en triangel?

7) Låt oss skapa en ekvation för medianen.

Medianen av en triangel kallas ett segment som förbinder toppen av en triangel med mitten av den motsatta sidan.

a) Hitta punkten - mitten av sidan. Vi använder formler för koordinaterna för ett segments mittpunkt. Koordinaterna för segmentets ändar är kända: , sedan koordinaterna för mitten:

Således:

Låt oss komponera medianekvationen punkt för punkt :

För att kontrollera ekvationen måste du ersätta punkternas koordinater i den.

8) Hitta skärningspunkten för höjden och medianen. Jag tror att alla redan har lärt sig hur man utför denna del av konståkning utan att falla:

Problem 1. Koordinaterna för triangelns ABC:s hörn är givna: A(4; 3), B(16;-6), C(20; 16). Hitta: 1) längden på sidan AB; 2) ekvationer för sidorna AB och BC och deras vinkelkoefficienter; 3) vinkel B i radianer med en noggrannhet på två siffror; 4) ekvation av höjd CD och dess längd; 5) ekvationen för medianen AE och koordinaterna för punkten K för skärningspunkten mellan denna median och höjden CD; 6) ekvationen för en rät linje som går genom punkt K parallellt med sidan AB; 7) koordinater för punkt M, placerade symmetriskt till punkt A relativt rät linje CD.

Lösning:

1. Avståndet d mellan punkterna A(x 1 ,y 1) och B(x 2 ,y 2) bestäms av formeln

Genom att tillämpa (1) finner vi längden på sidan AB:

2. Ekvationen för linjen som går genom punkterna A(x 1 ,y 1) och B(x 2 ,y 2) har formen

(2)

Genom att ersätta koordinaterna för punkterna A och B i (2) får vi ekvationen för sidan AB:

Efter att ha löst den sista ekvationen för y, finner vi ekvationen för sidan AB i form av en rät linjeekvation med en vinkelkoefficient:

var

Genom att ersätta koordinaterna för punkterna B och C med (2), får vi ekvationen för den räta linjen BC:

Eller

3. Det är känt att tangenten för vinkeln mellan två räta linjer, vars vinkelkoefficienter är lika, beräknas med formeln

(3)

Den önskade vinkeln B bildas av räta linjer AB och BC, vars vinkelkoefficienter finns: Genom att tillämpa (3) får vi

Eller glad.

4. Ekvationen för en rät linje som går genom en given punkt i en given riktning har formen

(4)

Höjden CD är vinkelrät mot sidan AB. För att hitta lutningen på höjden CD använder vi villkoret för vinkelräta linjer. Sedan dess Genom att ersätta (4) koordinaterna för punkt C och den hittade vinkelkoefficienten för höjd får vi

För att hitta längden på höjden CD bestämmer vi först koordinaterna för punkt D - skärningspunkten för räta linjer AB och CD. Att lösa systemet tillsammans:

vi hittar de där. D(8;0).

Med formeln (1) hittar vi längden på höjd-CD:n:

5. För att hitta ekvationen för medianen AE bestämmer vi först koordinaterna för punkt E, som är mitten av sidan BC, med hjälp av formlerna för att dela ett segment i två lika delar:

(5)

Därav,

Genom att ersätta koordinaterna för punkterna A och E med (2), finner vi ekvationen för medianen:

För att hitta koordinaterna för skärningspunkten mellan höjden CD och medianen AE löser vi tillsammans ekvationssystemet

Vi hittar.

6. Eftersom den önskade räta linjen är parallell med sidan AB, kommer dess vinkelkoefficient att vara lika med vinkelkoefficienten för den räta linjen AB. Genom att ersätta (4) koordinaterna för den funna punkten K och vinkelkoefficienten får vi

3x + 4y – 49 = 0 (KF)

7. Eftersom den räta linjen AB är vinkelrät mot den räta linjen CD, ligger den önskade punkten M, belägen symmetriskt till punkten A relativt den räta linjen CD, på den räta linjen AB. Dessutom är punkt D mittpunkten av segment AM. Med hjälp av formler (5) hittar vi koordinaterna för den önskade punkten M:

Triangel ABC, höjd CD, median AE, rät linje KF och punkt M är konstruerade i xOy-koordinatsystemet i fig. 1.

Uppgift 2. Skapa en ekvation för platsen för punkter vars avstånd till en given punkt A(4; 0) och till en given linje x=1 är lika med 2.

Lösning:

I xOy-koordinatsystemet konstruerar vi punkten A(4;0) och den räta linjen x = 1. Låt M(x;y) vara en godtycklig punkt för punkternas önskade geometriska placering. Låt oss sänka den vinkelräta MB till den givna linjen x = 1 och bestämma koordinaterna för punkt B. Eftersom punkt B ligger på den givna linjen är dess abskissa lika med 1. Ordinatan för punkt B är lika med ordinatan för punkt M. Därför B(1;y) (Fig. 2).

Enligt villkoren för problemet |MA|: |MV| = 2. Avstånd |MA| och |MB| vi finner från formel (1) i problem 1:

Att kvadrera vänster och höger sida får vi

Den resulterande ekvationen är en hyperbel där den reella halvaxeln är a = 2, och den imaginära halvaxeln är

Låt oss definiera fokus för en hyperbel. För en hyperbel är jämställdheten uppfylld Därför, och – överdriftsknep. Som du kan se är den givna punkten A(4;0) hyperbelns högra fokus.

Låt oss bestämma excentriciteten hos den resulterande hyperbeln:

Ekvationerna för hyperbelasymptoterna har formen och . Därför, eller och är asymptoter av en hyperbel. Innan vi konstruerar en hyperbel konstruerar vi dess asymptoter.

Problem 3. Skapa en ekvation för platsen för punkter på samma avstånd från punkten A(4; 3) och den räta linjen y = 1. Reducera den resulterande ekvationen till sin enklaste form.

Lösning: Låt M(x; y) vara en av punkterna för den önskade geometriska punkten. Låt oss släppa den vinkelräta MB från punkt M till denna räta linje y = 1 (Fig. 3). Låt oss bestämma koordinaterna för punkt B. Uppenbarligen är abskissan för punkt B lika med abskissan för punkt M, och ordinatan för punkt B är lika med 1, d.v.s. B(x; 1). Enligt villkoren för problemet |MA|=|MV|. Följaktligen gäller följande likhet för varje punkt M(x;y) som hör till den önskade geometriska platsen för punkter:

Den resulterande ekvationen definierar en parabel med ett vertex i punkten För att få parabelekvationen till sin enklaste form, låt oss ställa in och y + 2 = Y, då tar parabelekvationen formen:

Övning 1

57. Topparna av triangeln ABC är givna. Hitta

) längden på sidan AB;

) ekvationer för sidorna AB och AC och deras vinkelkoefficienter;

) inre vinkel A;

) ekvation för medianen tagen från vertex B;

) höjdekvationen CD och dess längd;

) ekvationen för en cirkel för vilken höjden CD är diametern och skärningspunkterna för denna cirkel med sidan AC;

) ekvation för bisektrisen för den inre vinkeln A;

) area av triangel ABC;

) ett system av linjära olikheter som definierar triangeln ABC.

Gör en ritning.

A(7,9); B(-2, -3); C(-7, 7)

Lösning:

1) Låt oss hitta längden på vektorn

= (x b - x a )2+ (y b -y a )2 = ((-2)-7)2 + (-3 - 9)2 = 92 + 122 = 225

= = 15 - längd på sidan AB

2) Låt oss hitta ekvationen för sidan AB

Ekvation för en linje som går genom punkter

Åh A ; på V ) och B(x A ; på V ) V allmän syn

Låt oss ersätta koordinaterna för punkterna A och B i denna ekvation av den räta linjen

=

=

=

S AB = (- 3, - 4) kallas riktningsvektorn för den räta linjen AB. Denna vektor är parallell med linjen AB.

4(x - 7) = - 3(y - 9)

4x + 28 = - 3y + 27

4x + 3y + 1 = 0 - linje ABs ekvation

Om ekvationen skrivs i formen: y = X - då kan vi isolera dess vinkelkoefficient: k 1 =4/3

Vektor N AB = (-4, 3) kallas normalvektorn för linjen AB.

Vektor N AB = (-4, 3) är vinkelrät mot linjen AB.

På samma sätt hittar vi ekvationen för sidan AC

=

=

=

S AC = (- 7, - 1) - riktningsvektor för AC-sidan

(x - 7) = - 7(y - 9)

x + 7 = - 7y + 63

x + 7y - 56 = 0 - ekvation för sidan AC

y = = x + 8 varifrån lutningen k 2 = 1/7

Vektor N A.C. = (- 1, 7) - normalvektor för linje AC.

Vektor N A.C. = (- 1, 7) är vinkelrät mot linjen AC.

3) Låt oss hitta vinkel A

Låt oss skriva ner formeln för skalärprodukten av vektorer Och

* = *för ∟A

För att hitta vinkel A räcker det att hitta cosinus för denna vinkel. Från föregående formel skriver vi uttrycket för cosinus för vinkel A

cos ∟A =

Hitta skalärprodukten av vektorer Och

= (x V - X A ; på V - y A ) = (- 2 - 7; - 3 - 9) = (-9, -12)

= (x Med - X A ; på Med - y A ) = (- 7 - 7; 7 - 9) = (-14; -2)

9*(-14) + (-12)*(-2) = 150

Vektor längd = 15 (hittades tidigare)

Låt oss hitta längden på vektorn

= (x MED - x A )2+ (y Med -y a )2 = (-14)2 + (-2)2 = 200

= = 14,14 - sidolängd AC

Sedan cos ∟A = = 0,7072

∟A = 45 0

4) Låt oss hitta ekvationen för medianen BE från punkt B till sidan AC

Medianekvationen i allmän form

Nu måste du hitta riktningsvektorn för den räta linjen BE.

Låt oss bygga triangel ABC till parallellogram ABCD, så att sidan AC är dess diagonal. Diagonalerna i ett parallellogram är delade på mitten, dvs AE = EC. Därför ligger punkt E på linje BF.

Vektorn BE kan tas som riktningsvektor för den räta linjen BE , som vi kommer att hitta.

= +

= (x c - X b ; på c - y b ) = (- 7- (-2); 7 - (-3)) = (-5. 10)

= + = (-5 + 9; 10 + 12) = (4; 22)

Låt oss byta in i ekvationen

Låt oss ersätta koordinaterna för punkt C (-7; 7)

(x + 7) = 2(y - 7)

x + 77 = 2y - 14

x - 2y + 91 = 0 - ekvation av median BE

Eftersom punkt E är mitten av sidan AC, dess koordinater

X e = (x A + x Med )/2 = (7 - 7)/2 = 0

på e = (y A + y Med )/2 = (9 + 7)/2 = 8

Koordinater för punkt E (0; 8)

5) Låt oss hitta ekvationen för höjden CD och dess längd

Allmän ekvation

Det är nödvändigt att hitta riktningsvektorn för den räta linjen CD

Den räta linjen CD är vinkelrät mot den räta linjen AB, därför är riktningsvektorn för den räta linjen CD parallell med normalvektorn för den räta linjen AB

CD ‖AB

Det vill säga, normalvektorn för den räta linjen AB kan tas som riktningsvektorn för den räta linjen CD

Vektor AB hittad tidigare: AB (-4, 3)

Låt oss ersätta koordinaterna för punkt C, (- 7; 7)

(x + 7) = - 4(y - 7)

x + 21 = - 4y + 28

x + 4y - 7 = 0 - höjdekvation C D

Punkt D-koordinater:

Punkt D tillhör linje AB, därför är koordinaterna för punkt D(x d . y d ) måste uppfylla ekvationen för den räta linjen AB som hittats tidigare

Punkt D tillhör linjen CD, därför är koordinaterna för punkt D(x d . y d ) måste uppfylla ekvationen för den räta linjen CD,

Låt oss skapa ett ekvationssystem baserat på detta

Koordinater D(1; 1)

Hitta längden på CD med rak linje

= (x d - x c )2+ (y d -y c )2 = (1 + 7)2 + (1 - 7)2 = 64 +36 = 100

= = 10 - längd av rak linje CD

6) Hitta ekvationen för en cirkel med diameter CD

Det är uppenbart att rät linje CD passerar genom origo för koordinater eftersom dess ekvation är -3x - 4y = 0, därför kan en cirkels ekvation skrivas i formen

(x - a) 2 + (y - b) 2= R 2- ekvation av en cirkel med centrum i punkt (a; b)

Här är R = СD/2 = 10 /2 = 5

(x - a) 2 + (y - b) 2 = 25

Mitten av cirkeln O (a; b) ligger i mitten av segmentet CD. Låt oss hitta dess koordinater:

X 0= a = = = - 3;

y 0= b = = = 4

Cirkelekvation:

(x + 3) 2 + (y - 4) 2 = 25

Låt oss hitta skärningspunkten mellan denna cirkel och sidan AC:

punkten K tillhör både cirkeln och linjen AC

x + 7y - 56 = 0 - ekvationen för den räta linjen AC som hittats tidigare.

Låt oss skapa ett system

Därmed får vi andragradsekvationen

på 2- 750у +2800 = 0

på 2- 15у + 56 = 0

=

på 1 = 8

på 2= 7 - punkt som motsvarar punkt C

därför koordinaterna för punkt H:

x = 7*8 - 56 = 0