Transformation av rektangulära koordinater på ett plan. Transformation av kartesiska rektangulära koordinater på planet och i rymden. I. Privalov "Analytisk geometri"
Kapitel I. Vektorer på planet och i rymden
§ 13. Övergång från ett rektangulärt kartesiskt koordinatsystem till ett annat
Det här ämnet Vi föreslår att du överväger två alternativ.
1) Enligt läroboken av I.I. Analytisk geometri"(lärobok för högre teknisk läroanstalter 1966)
I.I. Privalov "Analytisk geometri"
§ 1. Koordinattransformationsproblem.
Positionen för en punkt på ett plan bestäms av två koordinater i förhållande till något koordinatsystem. Koordinaterna för punkten kommer att ändras om vi väljer ett annat koordinatsystem.
Uppgiften att transformera koordinater är så att, genom att känna till koordinaterna för en punkt i ett koordinatsystem, hitta dess koordinater i ett annat system.
Detta problem kommer att lösas om vi upprättar formler som förbinder koordinaterna för en godtycklig punkt i två system, och koefficienterna för dessa formler kommer att inkludera konstanta kvantiteter som bestämmer den relativa positionen för systemen.
Låt två kartesiska koordinatsystem ges xOy Och XO 1 Y(Fig. 68).
Placering av det nya systemet XO 1 Y i förhållande till det gamla systemet xOy kommer att fastställas om koordinaterna är kända A Och b ny början O 1 enligt det gamla systemet och vinkeln α mellan axlar Åh Och O 1 X. Låt oss beteckna med X Och på koordinaterna för en godtycklig punkt M relativt det gamla systemet, genom X- och Y-koordinaterna för samma punkt relativt det nya systemet. Vår uppgift är att se till att det gamla samordnar X Och på uttryckt i termer av nya X och Y. De resulterande transformationsformlerna bör uppenbarligen inkludera konstanter a, b Och α .
Lösningen på detta gemensam uppgift erhåller vi från att överväga två specialfall.
1. Ursprunget för koordinaterna ändras, men axlarnas riktningar förblir oförändrade ( α = 0).
2. Axlarnas riktningar ändras, men koordinaternas ursprung förblir oförändrat ( a = b = 0).
§ 2. Överföring av koordinaters ursprung.
Låt två system av kartesiska koordinater med olika ursprung anges O Och O 1 och samma riktningar för axlarna (fig. 69).
Låt oss beteckna med A Och b koordinater för den nya början O 1 i det gamla systemet och genom x, y Och X, Y-koordinater för en godtycklig punkt M i det gamla respektive nya systemet. Utskjutande punkt M på axeln O 1 X Och Åh, liksom poängen O 1 per axel Åh, vi kommer på axeln Åh tre prickar Åh, Ah Och R. Segmentstorlekar OA, AR Och ELLERär relaterade av följande förhållande:
| OA| + | AR | = | ELLER |. (1)
Lägger märke till att | OA| = A , | ELLER | = X , | AR | = | OiR1 | = X, vi skriver om jämlikhet (1) i formen:
A + X = x eller x = X + A . (2)
På samma sätt designar M och O 1 på ordinataaxeln får vi:
y = Y + b (3)
Så, den gamla koordinaten är lika med den nya plus koordinaten för det nya ursprunget enligt det gamla systemet.
Från formlerna (2) och (3) kan de nya koordinaterna uttryckas genom de gamla:
X = x - a , (2")
Y = y - b . (3")
§ 3. Rotation av koordinataxlar.
Låt två kartesiska koordinatsystem med samma ursprung anges HANDLA OM och olika riktningar på axlarna (fig. 70).
Låta α det finns en vinkel mellan axlarna Åh Och ÅH. Låt oss beteckna med x, y Och X, Y koordinater för en godtycklig punkt M i det gamla respektive nya systemet:
X = | ELLER | , på = | PM | ,
X= | ELLER 1 |, Y= | P 1 M |.
Tänk på en bruten linje ELLER 1 MP och ta dess projektion på axeln Åh. Notera att projektionen av den streckade linjen är lika med projektionen av det avslutande segmentet (kapitel I, § 8) har vi:
ELLER 1 MP = | ELLER |. (4)
Å andra sidan är projektionen av en streckad linje lika med summan av projektionerna av dess länkar (kapitel I, § 8); därför kommer likhet (4) att skrivas på följande sätt:
etc ELLER 1+ pr P 1 M+ pr MP= | ELLER | (4")
Eftersom projektionen av ett riktat segment är lika med dess storlek multiplicerat med cosinus för vinkeln mellan projektionsaxeln och den axel på vilken segmentet ligger (kapitel I, § 8), så
etc ELLER 1 = X cos α
etc P 1 M = Y cos (90° + α ) = - Y synd α ,
pr MP= 0.
Därför ger jämställdhet (4") oss:
x = X cos α - Y synd α . (5)
På samma sätt projicerar samma polylinje på axeln OU, får vi ett uttryck för på. Faktum är att vi har:
etc ELLER 1+ pr P 1 M+ pr MP= sid ELLER = 0.
Märker det
etc ELLER 1 = X för( α - 90°) = X synd α ,
etc P 1 M = Y cos α ,
pr MP = - y ,
kommer att ha:
X synd α + Y cos α - y = 0,
y = X synd α + Y cos α . (6)
Från formlerna (5) och (6) får vi nya koordinater X Och Y uttryckt genom gamla X Och på , om vi löser ekvationerna (5) och (6) med avseende på X Och Y.
Kommentar. Formlerna (5) och (6) kan erhållas på olika sätt.
Från fig. 71 vi har:
X = ELLER = OM cos ( α + φ ) = OM cos α cos φ - OM synd α synd φ ,
på = RM = OM sin ( α + φ ) = OM synd α cos φ + OM cos α synd φ .
Eftersom (1 kap. 11 §) OM cos φ = X, OM synd φ =Y, Den där
x = X cos α - Y synd α , (5)
y = X synd α + Y cos α . (6)
§ 4. Allmänt fall.
Låt två kartesiska koordinatsystem med olika ursprung och olika riktningar på axlarna anges (fig. 72).
Låt oss beteckna med A Och b koordinater för den nya början HANDLA OM, enligt det gamla systemet, genom α - rotationsvinkeln för koordinataxlarna och slutligen genom x, y Och X, Y- koordinater för en godtycklig punkt M enligt det gamla respektive nya systemet.
Att uttrycka X Och på genom X Och Y, låt oss införa ett extra koordinatsystem x 1 O 1 y 1, vars början kommer att placeras vid den nya början HANDLA OM 1, och ta axlarnas riktningar så att de sammanfaller med riktningarna för de gamla axlarna. Låta x 1 och y 1 indikerar koordinaterna för punkt M i förhållande till detta hjälpsystem. När vi flyttar från det gamla koordinatsystemet till det extra har vi (§ 2):
X = X 1 + a , y = y 1 +b .
X 1 = X cos α - Y synd α , y 1 = X synd α + Y cos α .
Byter ut X 1 och y 1 i de föregående formlerna med deras uttryck från de sista formlerna, finner vi slutligen:
x = X cos α - Y synd α + a
y = X synd α + Y cos α + b (jag)
Formlerna (I) innehåller båda specialfall formler 2 och 3 §§. Så, med α = 0 formler (I) blir till
x = X + A , y = Y + b ,
och när a = b = 0 vi har:
x = X cos α - Y synd α , y = X synd α + Y cos α .
Från formlerna (I) får vi nya koordinater X Och Y uttryckt genom gamla X Och på , om ekvation (I) är lösbar med avseende på X Och Y.
Låt oss notera en mycket viktig egenskap hos formlerna (I): de är linjära med avseende på X Och Y, dvs formen:
x = AXE + BY + C, y = A 1 X+B 1 Y+C 1 .
Det är lätt att kontrollera att de nya koordinaterna är det X Och Y kommer att uttryckas genom gamla X Och på även genom formler av första graden angående X Och u.
G.N.Yakovlev "Geometri"
§ 13. Övergång från ett rektangulärt kartesiskt koordinatsystem till ett annat
Genom att välja ett rektangulärt kartesiskt koordinatsystem upprättas en en-till-en överensstämmelse mellan punkter i planet och ordnade par riktiga nummer. Det betyder att varje punkt i planet motsvarar ett enda par av tal, och varje ordnat par av reella tal motsvarar en enda punkt.
Valet av ett eller annat koordinatsystem är inte begränsat på något sätt och bestäms i varje enskilt fall endast av bekvämlighetsskäl. Ofta måste samma uppsättning beaktas i olika koordinatsystem. Samma punkt i olika system har uppenbarligen olika koordinater. En uppsättning punkter (särskilt en cirkel, en parabel, en rät linje) i olika koordinatsystem ges av olika ekvationer.
Låt oss ta reda på hur koordinaterna för punkter på planet omvandlas när vi flyttar från ett koordinatsystem till ett annat.
Låt två rektangulära koordinatsystem ges på planet: O, I j och om", I j" (Fig. 41).
Det första systemet med början vid punkt O och basvektorer i Och j låt oss komma överens om att kalla det den gamla, den andra - med början vid punkt O" och basvektorerna jag" Och j" - ny.
Vi kommer att överväga det nya systemets position i förhållande till det gamla kända: låt punkt O" i det gamla systemet ha koordinater ( a;b ), en vektor jag" former med vektor i hörn α . Hörn α Vi räknar i motsatt riktning mot medursrörelsen.
Låt oss betrakta en godtycklig punkt M. Låt oss beteckna dess koordinater i det gamla systemet med ( x;y ), i den nya - genom ( x";y" ). Vår uppgift är att fastställa förhållandet mellan de gamla och nya koordinaterna för punkt M.
Låt oss koppla ihop punkterna O och O", O" och M, O och M. Med hjälp av triangelregeln får vi
OM > = OO" > + O"M > . (1)
Låt oss utöka vektorerna OM> och OO"> efter basvektorer i Och j , och vektorn O"M> efter basvektorer jag" Och j" :
OM > = x i+ y j , OO" > = a i+b j , O"M > = x" i"+y" j "
Nu kan likhet (1) skrivas så här:
x i+ y j = (a i+b j ) + (x" i"+y" j "). (2)
Nya grundvektorer jag" Och j" utökas enligt de gamla basvektorerna i Och j på följande sätt:
jag" =cos α i + synd α j ,
j" =cos( π / 2 + α ) i +synd( π / 2 + α ) j = - synd α i +cos α j .
Ersätter de hittade uttrycken för jag" Och j" i formel (2) får vi vektorlikheten
x i+ y j = a i+b j + X"(cos α i + synd α j ) + y"(-synd α i +cos α j )
motsvarar två numeriska likheter:
|
x = a + X" cos α
- y" synd α
, |
Formler (3) ger de nödvändiga uttrycken för de gamla koordinaterna X Och på pekar genom sina nya koordinater X" Och y". För att hitta uttryck för nya koordinater i termer av gamla räcker det att lösa ekvationssystemet (3) med avseende på de okända X" Och y".
Så koordinaterna för punkterna när origo för koordinater överförs till punkten ( A; b ) och vrida axlarna med en vinkel α omvandlas enligt formlerna (3).
Om bara ursprunget för koordinater ändras och axlarnas riktningar förblir desamma, då, med antagande i formler (3) α = 0, vi får
Formler (5) kallas rotationsformler.
Uppgift 1. Låt koordinaterna för den nya början i det gamla systemet vara (2; 3), och koordinaterna för punkt A i det gamla systemet (4; -1). Hitta koordinaterna för punkt A i det nya systemet om axlarnas riktningar förblir desamma.
Enligt formlerna (4) har vi
Svar. A(2;-4)
Uppgift 2. Låt koordinaterna för punkt P i det gamla systemet vara (-2; 1), och i det nya systemet, vars axelriktningar är desamma, koordinaterna för denna punkt (5; 3). Hitta koordinaterna för den nya början i det gamla systemet.
A Från formlerna (4) får vi
|
-
2= a + 5 |
var A = - 7, b = - 2.
Svar. (-7; -2).
Uppgift 3. Koordinater för punkt A i det nya systemet (4; 2). Hitta koordinaterna för denna punkt i det gamla systemet om origo förblir detsamma och det gamla systemets koordinataxlar roteras med en vinkel α = 45°.
Med hjälp av formler (5) hittar vi
Uppgift 4. Koordinater för punkt A i det gamla systemet (2 √3 ; - √3 ). Hitta koordinaterna för denna punkt i det nya systemet om origo för det gamla systemet flyttas till punkt (-1;-2) och axlarna roteras med en vinkel α = 30°.
Enligt formlerna (3) har vi
Efter att ha löst detta ekvationssystem för X" Och y", vi hittar: X" = 4, y" = -2.
Svar. A (4; -2).
Uppgift 5. Linjens ekvation är given på = 2X - 6. Hitta ekvationen för samma linje i det nya koordinatsystemet, som erhålls från det gamla systemet genom att rotera axlarna med en vinkel α = 45°.
Rotationsformlerna i detta fall har formen
Ersätter den räta linjen i ekvationen på = 2X - 6 gamla variabler X Och på ny får vi ekvationen
√ 2 / 2 (x" + y") = 2 √ 2 / 2 (x" - y") - 6 ,
som efter förenklingar tar formen y" = x" / 3 - 2√2
Kapitel 1. Tillägg. Transformation av kartesiska rektangulära koordinater på planet och i rymden. Särskilda koordinatsystem på planet och i rymden.
Reglerna för att konstruera koordinatsystem på ett plan och i rymden diskuteras i huvuddelen av kapitel 1. Bekvämligheten med att använda rektangulära koordinatsystem noterades. På praktisk användning Med hjälp av analytisk geometri finns det ofta ett behov av att transformera det antagna koordinatsystemet. Detta dikteras vanligtvis av bekvämlighetsöverväganden: geometriska bilder förenklas, analytiska modeller och algebraiska uttryck som används i beräkningar blir tydligare.
Konstruktionen och användningen av speciella koordinatsystem: polära, cylindriska och sfäriska dikteras av geometrisk känsla problemet löses. Modellering med speciella koordinatsystem underlättar ofta utveckling och användning av analytiska modeller för att lösa praktiska problem.
Resultaten som erhålls i bilagan till kapitel 1 kommer att användas i linjär algebra, de flesta av dem i matematisk analys och i fysik.
Transformation av kartesiska rektangulära koordinater på planet och i rymden.
När man överväger problemet med att konstruera ett koordinatsystem på ett plan och i rymden, noterades att koordinatsystemet bildas av numeriska axlar som skär varandra i en punkt: två axlar krävs på planet, tre i rymden. I samband med konstruktionen av analytiska modeller av vektorer, införandet av den skalära produkten av vektoroperation och lösningen av problem med geometriskt innehåll, visades det att användningen av rektangulära koordinatsystem är mest att föredra.
Om vi betraktar problemet med att transformera ett specifikt koordinatsystem abstrakt, så skulle det i det allmänna fallet vara möjligt att tillåta godtycklig rörelse av koordinataxlar i ett givet utrymme med rätt att godtyckligt byta namn på axlarna.
Vi kommer att utgå från det primära konceptet referenssystem , accepterad i fysik. Genom att observera kroppars rörelse upptäcktes att rörelsen hos en isolerad kropp inte kan bestämmas av sig själv. Du måste ha minst en kropp till i förhållande till vilken rörelse observeras, det vill säga en förändring i den relativ bestämmelser. För att få analytiska modeller, lagar och rörelse kopplades ett koordinatsystem till denna andra kropp, som ett referenssystem, och på ett sådant sätt att koordinatsystemet var fast !
Sedan godtycklig rörelse fast från en punkt i rymden till en annan kan representeras av två oberoende rörelser: translationell och roterande, då var alternativen för att transformera koordinatsystemet begränsade till två rörelser:
1). Parallell överföring: vi följer bara en punkt - punkten.
2). Rotation av koordinatsystemets axlar i förhållande till en punkt: som en stel kropp.
Konvertera kartesiska rektangulära koordinater på ett plan.
Låt oss ha koordinatsystem på planet: , och . Koordinatsystemet erhålls genom parallell translation av systemet. Koordinatsystemet erhålls genom att rotera systemet genom en vinkel, och den positiva rotationsriktningen anses vara en moturs rotation av axeln.
Låt oss bestämma grundvektorerna för de antagna koordinatsystemen. Eftersom systemet erhölls genom parallell överföring av systemet, accepterar vi för båda dessa system basvektorerna: , och enhet ettor och sammanfaller i riktning med koordinataxlarna , respektive. För systemet kommer vi som basvektorer att ta enhetsvektorer som sammanfaller i riktning med axlarna , .
Låt ett koordinatsystem anges och en punkt = definieras i det. Vi kommer att anta att vi före transformationen har sammanfallande koordinatsystem och . Låt oss tillämpa parallell translation på koordinatsystemet, definierat av vektorn. Det krävs för att definiera koordinattransformationen för en punkt. Låt oss använda vektorlikheten: = + , eller:
Låt oss illustrera transformationen av parallell translation med ett exempel känt inom elementär algebra.
Exempel D–1 : Parabelns ekvation ges: = = . Reducera ekvationen för denna parabel till dess enklaste form.
Lösning:
1). Låt oss använda tekniken markera en hel fyrkant : = , som enkelt kan representeras som: –3 = .
2). Låt oss tillämpa koordinattransformationen - parallell överföring := . Efter detta tar parabelns ekvation formen: . Denna transformation i algebra definieras enligt följande: parabel = erhålls genom att flytta den enklaste parabeln åt höger med 2, och upp med 3 enheter.
Svar: Den enklaste formen av en parabel är: .
Låt ett koordinatsystem anges och en punkt = definieras i det. Vi kommer att anta att vi före transformationen har sammanfallande koordinatsystem och . Låt oss tillämpa en rotationstransformation på koordinatsystemet så att det i förhållande till dess ursprungliga position, det vill säga i förhållande till systemet, visar sig vara roterat med en vinkel . Det krävs för att definiera koordinattransformationen för punkten =. Låt oss skriva vektorn i koordinatsystemen och : = . (2) =1. Av teorin om andra ordningens linjer följer att den enklaste (kanoniska!) ekvationen för ellipsen har erhållits.
Svar: den enklaste formen av en given linje: =1 är den kanoniska ekvationen för en ellips.
Ämne 5. Linjära transformationer.
Koordinatsystemär en metod som gör att man entydigt kan bestämma en punkts position i förhållande till en viss punkt med hjälp av siffror. geometrisk figur. Exempel är ett koordinatsystem på en rät linje - en koordinataxel och rektangulära kartesiska koordinatsystem, respektive på ett plan och i rymden.
Låt oss gå över från ett xy-koordinatsystem på planet till ett annat system, dvs. Låt oss ta reda på hur de är anslutna kartesiska koordinater samma punkt i dessa två system.
Låt oss överväga först parallell överföring rektangulärt kartesiskt koordinatsystem xy, det vill säga fallet när axlarna och det nya systemet är parallella med motsvarande axlar x och y i det gamla systemet och har samma riktningar med dem.
Om koordinaterna för punkterna M (x; y) och (a; b) i xy-systemet är kända, så har (Fig. 15) i systemet punkt M koordinater: .
Låt segmentet OM med längden ρ bilda en vinkel med axeln och. Sedan (fig. 16) bildar segmentet OM en vinkel med x-axeln och koordinaterna för punkt M i xy-systemet är lika 
, 
.
Med tanke på att i systemet är koordinaterna för punkt M lika med och , får vi
När vi vrider med en vinkel "medurs", får vi respektive: 
Problem 0,54. Bestäm koordinaterna för punkt M(-3; 7) i det nya koordinatsystemet x / y /, vars origo 0 / är beläget i punkt (3; -4), och axlarna är parallella med axlarna för det gamla koordinatsystem och har samma riktningar som dem.
Lösning. Låt oss ersätta kända koordinater punkter M och O / i formeln: x / = x-a, y / = y-b.
Vi får: x / = -3-3 = -6, y / = 7-(-4) = 11. Svar M/(-6; 11).
§2. Begreppet linjär transformation, dess matris.
Om varje element x i mängden X, enligt någon regel f, motsvarar ett och endast ett element y i mängden Y, så säger vi att den givna visa f av mängden X till mängden Y, och mängden X anropas definitionsdomän display f . Om i synnerhet elementet x 0 Î X motsvarar elementet y 0 Î Y, skriv då y 0 = f (x 0). I detta fall anropas elementet y 0 sätt element x 0 och element x 0 - prototyp element vid 0. Delmängden Y 0 av mängden Y, som består av alla bilder, kallas uppsättning betydelser display f.
Om, i en mappning f, olika element i mängden X motsvarar olika element i mängden Y, så kallas mappningen f reversibel.
Om Y 0 = Y, så kallas mappningen f en mappning av mängden X på setY.
En inverterbar avbildning av en mängd X till en mängd Y kallas en till en.
Speciella fall av konceptet att kartlägga en mängd till en mängd är konceptet numerisk funktion och koncept geometrisk kartläggning.
Om en mappning f till varje element i en mängd X associerar ett enda element i samma mängd X, kallas en sådan mappning omvandling sätter X.
Låt en uppsättning n-dimensionella vektorer av linjärt rymd Ln ges.
En transformation f av ett n-dimensionellt linjärt utrymme Ln kallas linjär omvandling om
för alla vektorer från L n och eventuella reella tal α och β. Med andra ord kallas en transformation linjär om en linjär kombination av vektorer går in i Linjär kombination deras bilder med samma koefficienter.
Om en vektor ges i en viss bas och transformationen f är linjär, var är per definition bilderna av basvektorerna.
Därför är den linjära transformationen fullständigt definierad, om bilderna av basvektorerna för det linjära utrymmet i fråga ges:
(12)
Matris 
där den k:te kolumnen är vektorns koordinatkolumn 
i grunden, kallas matris linjär omvandling f i denna grund.
Determinanten det L kallas determinanten för transformationen f och Rg L kallas rangordningen för den linjära transformationen f.
Om matrisen för en linjär transformation är icke-singular, är själva transformationen icke-singular. Den förvandlar utrymmet L n en-till-en till sig själv, d.v.s. varje vektor från Ln är bilden av dess unika vektor.
Om matrisen för en linjär transformation är singular, så är själva transformationen singular. Den omvandlar det linjära rummet Ln till någon del av det.
Sats.Som ett resultat av att tillämpa en linjär transformation f med matris L på vektorn 
det visar sig vara en vektor 
Så att .
Siffrorna skrivna inom parentes är vektorns koordinater enligt grunden:
|
Genom definitionen av kan systemet (13) ersättas med en matris
jämlikhet 
, vilket var det som behövde bevisas.
Exempellinjära transformationer.
1. Sträckningen längs x-axeln med k 1 gånger, och längs y-axeln med k 2 gånger på xy-planet bestäms av matrisen och khar formen: x / = k 1 x; y / = k 2 y.
2. Spegelreflektionen relativt y-axeln på xy-planet bestäms av matrisen och khar formen: x / = -x, y / = y.
Låt två godtyckliga kartesiska rektangulära koordinatsystem ges på planet. Den första bestäms av början av O och basvektorerna i j , den andra – mitten HANDLA OM' och basvektorer i ’ j ’ .
Låt oss sätta målet att uttrycka xy-koordinaterna för någon punkt M i förhållande till det första koordinatsystemet genom x’ Och y’ – koordinater för samma punkt i förhållande till det andra systemet.
Lägg märke till att
Låt oss beteckna koordinaterna för punkt O' relativt det första systemet med a och b:
Låt oss utöka vektorerna i ’ Och j ’ på grundval i j :
(*)
Dessutom har vi: 
. Låt oss här introducera expansionen av vektorer med avseende på basen i
’
j
’
:
härifrån 
Vi kan dra slutsatsen: oavsett vilka två godtyckliga kartesiska system på planet, så är koordinaterna för vilken punkt som helst på planet i förhållande till det första systemet linjära funktioner av koordinaterna för samma punkt i förhållande till det andra systemet.
Låt oss först multiplicera ekvationen (*) skalärt med i , sen på j :
Låt oss beteckna med vinkeln mellan vektorerna i Och i ’ . Koordinatsystem i j kan kombineras med systemet i ’ j ’ genom parallell translation och efterföljande rotation genom en vinkel . Men här är också ett bågalternativ möjligt: vinkeln mellan basvektorerna i i ’ även , och vinkeln mellan basvektorerna j ’ j ’ lika med - . Dessa system kan inte kombineras med parallell translation och rotation. Det är också nödvändigt att ändra riktningen på axeln på till motsatsen.
Från formeln (**) får vi i det första fallet:
I det andra fallet
Konverteringsformlerna är:
Vi kommer inte att överväga det andra fallet. Låt oss komma överens om att betrakta båda systemen som rätt.
De där. slutsats: oavsett de två högra koordinatsystemen kan det första av dem kombineras med det andra genom parallell translation och efterföljande rotation runt origo med en viss vinkel .
Formler för parallellöverföring: 
Formler för axelrotation: 
Omvända konverteringar:
Transformation av kartesiska rektangulära koordinater i rymden.
I rymden, resonerande på liknande sätt, kan vi skriva:
(***)
Och för koordinaterna får:
(****)
Så, vilka två godtyckliga koordinatsystem som helst i rymden, är x y z-koordinaterna för någon punkt i förhållande till det första systemet linjära funktioner av koordinaterna x’ y’ z’ samma punkt i förhållande till det andra koordinatsystemet.
Multiplicera var och en av likheterna (***) skalärt med i ’ j ’ k ’ vi får:
I 
Låt oss klargöra den geometriska betydelsen av transformationsformlerna (****). För att göra detta, anta att båda systemen har en gemensam början: a
=
b
=
c
= 0
.
Låt oss ta hänsyn till tre vinklar som helt karakteriserar placeringen av det andra systemets axlar i förhållande till det första.
Den första vinkeln bildas av x-axeln och u-axeln, som är skärningspunkten mellan xOy- och x'Oy-planen. Vinkelns riktning är det kortaste varvet från x- till y-axeln. Låt oss beteckna vinkeln med . Den andra vinkeln är vinkeln som inte överstiger mellan Oz och Oz’ axlar. Slutligen är den tredje vinkeln vinkeln mellan u-axeln och Ox’, mätt från u-axeln i riktningen för den kortaste svängen från Ox’ till Oy’. Dessa vinklar kallas Euler-vinklar.
Omvandlingen av det första systemet till det andra kan representeras som en följd av tre rotationer: med en vinkel relativt Oz-axeln; med vinkeln relativt oxens axel; och med en vinkel i förhållande till Oz’ axel.
Siffrorna ij kan uttryckas i termer av Euler-vinklar. Vi kommer inte att skriva ner dessa formler eftersom de är besvärliga.
Själva transformationen är en överlagring av parallell translation och tre på varandra följande rotationer genom Euler-vinklar.
Alla dessa argument kan föras fram för fallet när båda systemen är vänsterorienterade eller har olika inriktning.
Om vi har två godtyckliga system, så kan vi generellt sett kombinera dem genom parallell translation och en rotation i rymden runt en viss axel. Vi kommer inte att leta efter henne.
1) Övergång från ett kartesiskt rektangulärt koordinatsystem på ett plan till ett annat kartesiskt rektangulärt system med samma orientering och samma ursprung.
Låt oss anta att två kartesiska rektangulära koordinatsystem introduceras på planet xOy och med ett gemensamt ursprung HANDLA OM, med samma orientering (Fig. 145). Låt oss beteckna enhetsvektorerna för axlarna Åh Och OU respektive genom och , och enhetsvektorerna för axlarna och genom och . Låt slutligen vara vinkeln från axeln Åh till axeln. Låta X Och på– koordinater för en godtycklig punkt M i systemet xOy, och och är koordinaterna för samma punkt M i systemet.
Eftersom vinkeln från axeln Åh till vektorn är lika med , då koordinaterna för vektorn
Vinkel från axel Åh till vektor är lika med ; därför är vektorns koordinater lika.
Formler (3) § 97 har formen
Övergångsmatris från en kartesisk xOy rektangulärt koordinatsystem till ett annat rektangulärt system med samma orientering har formen
En matris kallas ortogonal om summan av kvadraterna av elementen i varje kolumn är lika med 1, och summan av produkterna av motsvarande element i olika kolumner är lika med noll, dvs. Om
Således är övergångsmatrisen (2) från ett rektangulärt koordinatsystem till ett annat rektangulärt system med samma orientering ortogonal. Observera också att determinanten för denna matris är +1:
Omvänt, om en ortogonal matris (3) med en determinant lika med +1 ges, och ett kartesiskt rektangulärt koordinatsystem introduceras på planet xOy, då i kraft av relationer (4) är vektorerna både enhetliga och inbördes vinkelräta, därför är vektorns koordinater i systemet xOyär lika med och , där är vinkeln från vektor till vektor, och eftersom vektorn är enhet och vi får från vektorn genom att rotera med , sedan antingen , eller .
Den andra möjligheten är utesluten, eftersom om vi hade , då ges det till oss att .
Detta betyder , och matrisen A ser ut som
de där. är övergångsmatrisen från ett rektangulärt koordinatsystem xOy till ett annat rektangulärt system med samma orientering, och vinkeln .
2. Övergång från ett kartesiskt rektangulärt koordinatsystem på ett plan till ett annat kartesiskt rektangulärt system med motsatt orientering och med samma ursprung.
Låt två kartesiska rektangulära koordinatsystem introduceras på planet xOy och med ett gemensamt ursprung HANDLA OM, men med motsatt orientering, låt oss beteckna vinkeln från axeln Åh till axeln genom (vi ställer in orienteringen av planet av systemet xOy).
Eftersom vinkeln från axeln Åh till vektorn är lika med , då är vektorns koordinater lika:
Nu är vinkeln från vektor till vektor lika stor (fig. 146), så vinkeln från axeln Åh till vektorn är lika (enligt Chasles sats för vinklar) och därför är vektorns koordinater lika:
Och formlerna (3) § 97 tar formen
Övergångsmatris
ortogonal, men dess determinant är –1. (7)
Omvänt specificerar vilken ortogonal matris som helst med en determinant lika med –1 transformationen av ett rektangulärt koordinatsystem på planet till ett annat rektangulärt system med samma ursprung men motsatt orientering. Så, om två kartesiska rektangulära koordinatsystem xOy och ha en gemensam början alltså
Var X, på– koordinater för valfri punkt i systemet xOy; och är koordinaterna för samma punkt i systemet, och
ortogonal matris.
Tillbaka om
godtycklig ortogonal matris, sedan relationerna
uttrycker omvandlingen av ett kartesiskt rektangulärt koordinatsystem till ett kartesiskt rektangulärt systemet med samma ursprung; - koordinater i systemet xOy en enhetsvektor som ger den positiva riktningen för axeln; - koordinater i systemet xOy enhetsvektor som ger axelns positiva riktning.
koordinatsystem xOy och har samma orientering, och i det här fallet, motsatsen.
3. Allmän transformation av ett kartesiskt rektangulärt koordinatsystem på ett plan till ett annat rektangulärt system.
Baserat på punkterna 1) och 2) i denna paragraf, samt på grundval av § 96, drar vi slutsatsen att om rektangulära koordinatsystem införs på planet xOy och sedan koordinaterna X Och på godtycklig punkt M plan i systemet xOy med koordinater för samma punkt M i systemet är sammankopplade av relationer - koordinaterna för ursprunget till koordinatsystemet i systemet xOy.
Observera att gamla och nya koordinater X, på och , vektorer under den allmänna transformationen av det kartesiska rektangulära koordinatsystemet är relaterade av relationerna
i fall systemen xOy och har samma inriktning och relationer
om dessa system har motsatt orientering, eller i formen
ortogonal matris. Transformationer (10) och (11) kallas ortogonala.
