Hur man hittar längden på ett segment om koordinaterna är kända. Hitta koordinaterna för mitten av segmentet, exempel, lösningar. Metod för koordinater i rymden

I den här artikeln kommer vi att prata om att hitta koordinaterna för mitten av ett segment från koordinaterna för dess ändar. Först kommer vi att ge de nödvändiga begreppen, sedan kommer vi att få formler för att hitta koordinaterna för mitten av ett segment, och avslutningsvis kommer vi att överväga lösningar på typiska exempel och problem.

Sidnavigering.

Konceptet med mitten av ett segment.

För att introducera begreppet mittpunkt i ett segment behöver vi definitioner av ett segment och dess längd.

Begreppet segment ges i matematiklektionerna i femte klass på gymnasiet enligt följande: om vi tar två godtyckliga icke sammanfallande punkter A och B, fäst en linjal på dem och drar en linje från A till B (eller från B) till A), då får vi segment AB(eller segment B A). Punkterna A och B kallas ändarna av segmentet. Vi bör komma ihåg att segment AB och segment BA är samma segment.

Om segmentet AB är oändligt förlängt i båda riktningarna från ändarna, då får vi rak linje AB(eller direkt VA). Segment AB är den del av den räta linjen AB som är innesluten mellan punkterna A och B. Segmentet AB är alltså föreningen av punkterna A, B och mängden av alla punkter på den räta linjen AB placerade mellan punkterna A och B. Om vi ​​tar en godtycklig punkt M på den räta linjen AB som ligger mellan punkterna A och B, så säger de att punkten M lögner på segment AB.

Segmentets längd AB är avståndet mellan punkterna A och B på en given skala (segment av längdenhet). Längden på segmentet AB kommer att betecknas som .

Definition.

Punkt C kallas mitten av segmentet AB om det ligger på segmentet AB och är på samma avstånd från dess ändar.

Det vill säga om punkt C är mittpunkten av segmentet AB, så ligger den på den och.

Vidare blir vår uppgift att hitta koordinaterna för mitten av segmentet AB om koordinaterna för punkterna A och B anges på koordinatlinjen eller i ett rektangulärt koordinatsystem.

Koordinaten för segmentets mittpunkt på koordinatlinjen.

Låt oss ges en koordinatlinje Ox och två icke-sammanfallande punkter A och B på den, som motsvarar reella tal och . Låt punkt C vara mittpunkten av segment AB. Låt oss hitta koordinaten för punkten C.

Eftersom punkt C är mittpunkten av segmentet AB, så är likheten sann. I avsnittet om avståndet från en punkt till en punkt på en koordinatlinje visade vi att avståndet mellan punkter är lika med modulen för skillnaden mellan deras koordinater, därför . Sedan eller . Från jämlikhet hitta koordinaten för mittpunkten av segmentet AB på koordinatlinjen: - det är lika med halva summan av koordinaterna för segmentets ändar. Från den andra jämställdheten vi får , vilket är omöjligt, eftersom vi tog icke-sammanfallande punkterna A och B.

Så, formeln för att hitta koordinaten för mittpunkten av segmentet AB med ändar och har formen .

Koordinater för mittpunkten av ett linjesegment.

Låt oss introducera ett rektangulärt kartesiskt koordinatsystem Оxyz på planet. Låt oss ges två poäng och och vi vet att punkten C är mittpunkten av segmentet AB. Låt oss hitta koordinaterna och punkterna C.

Genom konstruktion, rak parallella såväl som parallella linjer , därför av Thales teorem från jämlikheten mellan segmenten AC och CB följer jämlikheten för segmenten och , samt segmenten och . Därför är punkten segmentets mittpunkt och segmentets mittpunkt. Sedan, i kraft av föregående stycke i denna artikel Och .

Med hjälp av dessa formler kan man även beräkna koordinaterna för mitten av segmentet AB i de fall då punkterna A och B ligger på en av koordinataxlarna eller på en rät linje vinkelrät mot en av koordinataxlarna. Låt oss lämna dessa fall utan kommentarer och ge grafiska illustrationer.

På det här sättet, mittpunkten av segment AB på ett plan med slutar vid punkter och har koordinater .

Koordinater för mitten av segmentet i rymden.

Låt ett rektangulärt koordinatsystem Oxyz introduceras i tredimensionellt rum och två punkter ges Och . Vi får formler för att hitta koordinaterna för punkten C, som är mittpunkten av segmentet AB.

Låt oss överväga det allmänna fallet.

Låt och vara projektionerna av punkterna A, B och C på koordinataxlarna Ox, Oy respektive Oz.

Enligt Thales sats är därför punkterna segmentens mittpunkter respektive. Sedan (se första stycket i denna artikel). Så vi fick formler för att beräkna koordinaterna för mitten av ett segment från koordinaterna för dess ändar i rymden.

Dessa formler kan också användas i de fall där punkterna A och B ligger på en av koordinataxlarna eller på en rät linje vinkelrät mot en av koordinataxlarna, och även om punkterna A och B ligger i ett av koordinatplanen eller i en plan parallellt med en av koordinataxlarna plan.

Koordinaterna för mitten av segmentet genom koordinaterna för radievektorerna för dess ändar.

Formler för att hitta koordinaterna för mitten av ett segment är lätta att få genom att hänvisa till vektorernas algebra.

Låt ett rektangulärt kartesiskt koordinatsystem Oxy ges på planet och punkt C vara mittpunkten av segmentet AB, med och .

Enligt den geometriska definitionen av operationer på vektorer, jämlikheten (Punkt C är skärningspunkten för diagonalerna i ett parallellogram byggt på vektorer och , det vill säga punkt C är mittpunkten på parallellogrammets diagonal). I artikelkoordinaterna för en vektor i ett rektangulärt koordinatsystem fick vi reda på att koordinaterna för radievektorn för en punkt är lika med koordinaterna för denna punkt, därför . Sedan, efter att ha utfört motsvarande operationer på vektorer i koordinater, har vi . Hur kan vi dra slutsatsen att punkt C har koordinater .

Helt på samma sätt kan koordinaterna för mitten av segmentet AB hittas genom koordinaterna för dess ändar i rymden. I det här fallet, om C är mittpunkten av segmentet AB och , då har vi .

Hitta koordinaterna för mitten av segmentet, exempel, lösningar.

I många problem måste man använda formler för att hitta koordinaterna för mitten av ett segment. Låt oss överväga lösningar på de mest karakteristiska exemplen.

Låt oss börja med ett exempel som bara behöver tillämpa en formel.

Exempel.

Koordinaterna för två punkter anges på planet . Hitta koordinaterna för mittpunkten av segmentet AB.

Lösning.

Låt punkt C vara mittpunkten av segment AB. Dess koordinater är lika med halvsummor av motsvarande koordinater för punkterna A och B:

Således har mittpunkten av segmentet AB koordinater.

Om du rör ett anteckningsblock med en välvässad penna kommer ett spår att finnas kvar som ger en uppfattning om poängen. (Fig. 3).

På ett pappersark markerar vi två punkter A och B. Dessa punkter kan kopplas samman med olika linjer (bild 4). Och hur man kopplar ihop punkterna A och B med den kortaste linjen? Detta kan göras med hjälp av en linjal ( fig. 5). Den resulterande raden kallas segmentet.

Punkt och linje - exempel geometriska former.

Punkterna A och B kallas ändarna av segmentet.

Det finns ett enda segment vars ändar är punkterna A och B. Därför betecknas ett segment genom att skriva ner de punkter som är dess ändar. Till exempel är segmentet i figur 5 betecknat på ett av två sätt: AB eller BA. Läs: "segment AB" eller "segment BA".

Figur 6 visar tre segment. Längden på segmentet AB är lika med 1 cm. Det placeras exakt tre gånger i segmentet MN och exakt 4 gånger i segmentet EF. Vi kommer att säga det segmentets längd MN är 3 cm och längden på segment EF är 4 cm.

Det är också vanligt att säga: "segment MN är 3 cm", "segment EF är 4 cm". De skriver: MN = 3 cm, EF = 4 cm.

Vi mätte längden på segmenten MN och EF enda segment, vars längd är 1 cm. För att mäta segment kan du välja andra längdenheter, till exempel: 1 mm, 1 dm, 1 km. I figur 7 är segmentets längd 17 mm. Det mäts av ett enda segment, vars längd är 1 mm, med hjälp av en linjal med divisioner. Med hjälp av en linjal kan du också bygga (rita) ett segment med en given längd (se fig. 7).

Alls, att mäta ett segment innebär att räkna hur många enhetssegment som ryms i det.

Längden på ett segment har följande egenskap.

Om punkt C är markerad på segment AB, är längden på segment AB lika med summan av längderna av segmenten AC och CB(Fig. 8).

De skriver: AB = AC + CB.

Figur 9 visar två segment AB och CD. Dessa segment kommer att sammanfalla när de överlagras.

Två segment kallas lika om de sammanfaller när de överlagras.

Därför är segmenten AB och CD lika. De skriver: AB = CD.

Lika segment har lika långa.

Av de två ojämna segmenten kommer vi att betrakta det med den längre längden som större. Till exempel, i figur 6, är segment EF större än segment MN.

Längden på segment AB kallas distans mellan punkterna A och B.

Om flera segment är arrangerade som visas i figur 10, erhålls en geometrisk figur, som kallas avbruten linje. Observera att alla segment i figur 11 inte bildar en streckad linje. Man tror att segment bildar en streckad linje om slutet av det första segmentet sammanfaller med slutet av det andra, och den andra änden av det andra segmentet sammanfaller med slutet av det tredje, etc.

Punkterna A, B, C, D, E − polyline hörn ABCDE, punkterna A och E − brutna linje slutar, och segmenten AB, BC, CD, DE är dess länkar(se fig. 10).

Längden på den brutna linjenär summan av längderna av alla dess länkar.

Figur 12 visar två streckade linjer, vars ändar sammanfaller. Sådana brutna linjer kallas stängd.

Exempel 1 . Segment BC är 3 cm mindre än segment AB, vars längd är 8 cm (fig. 13). Hitta längden på segmentet AC.

Lösning. Vi har: BC \u003d 8 - 3 \u003d 5 (cm).

Med hjälp av egenskapen för längden av ett segment kan vi skriva AC = AB + BC. Följaktligen AC = 8 + 5 = 13 (cm).

Svar: 13 cm.

Exempel 2 . Det är känt att MK = 24 cm, NP = 32 cm, MP = 50 cm (Fig. 14). Hitta längden på segmentet NK.

Lösning. Vi har: MN = MP − NP.

Därav MN = 50 − 32 = 18 (cm).

Vi har: NK = MK − MN.

Därför NK = 24 − 18 = 6 (cm).

Svar: 6 cm.

Längden, som redan noterats, indikeras av modultecknet.

Om två punkter i planet och ges, kan längden på segmentet beräknas med formeln

Om två punkter i rymden och ges, kan längden på segmentet beräknas med formeln

Notera:Formlerna kommer att förbli korrekta om motsvarande koordinater byts ut: och , men det första alternativet är mer standard

Exempel 3

Lösning: enligt motsvarande formel:

Svar:

För tydlighetens skull kommer jag att göra en ritning

Sektion - det är inte en vektor, och du kan naturligtvis inte flytta den någonstans. Dessutom, om du slutför ritningen i skalen: 1 enhet. \u003d 1 cm (två tetradceller), då kan svaret kontrolleras med en vanlig linjal genom att direkt mäta segmentets längd.

Ja, lösningen är kort, men det finns ett par viktiga punkter i den som jag skulle vilja förtydliga:

Först, i svaret ställer vi in ​​dimensionen: "enheter". Villkoret säger inte VAD det är, millimeter, centimeter, meter eller kilometer. Därför kommer den allmänna formuleringen att vara en matematiskt kompetent lösning: "enheter" - förkortat "enheter".

För det andra, låt oss upprepa skolmaterialet, vilket inte bara är användbart för det övervägda problemet:

uppmärksamma viktigt tekniskt knep – tar ut multiplikatorn under roten. Som ett resultat av beräkningarna fick vi resultatet och en bra matematisk stil innebär att man tar ut multiplikatorn under roten (om möjligt). Processen ser ut så här mer i detalj: Naturligtvis kommer det inte att vara ett misstag att lämna svaret i formuläret - men det är definitivt ett fel och ett tungt vägande argument för nitpicking från lärarens sida.

Här är andra vanliga fall:

Ofta erhålls ett tillräckligt stort antal under roten till exempel. Hur ska man vara i sådana fall? På kalkylatorn kontrollerar vi om talet är delbart med 4:. Ja, det var helt uppdelat, alltså: . Eller kanske talet kan delas med 4 igen? . På det här sättet: . Den sista siffran i numret är udda, så att dividera med 4 för tredje gången är helt klart inte möjligt. Försöker dividera med nio: . Som ett resultat:
Redo.

Produktion: om vi under roten får ett helt icke extraherbart tal, så försöker vi ta ut faktorn under roten - på kalkylatorn kontrollerar vi om talet är delbart med: 4, 9, 16, 25, 36, 49, etc.

När du löser olika problem hittar du ofta rötter, försök alltid ta fram faktorer under roten för att undvika lägre poäng och onödiga problem med att slutföra dina lösningar enligt lärarens anmärkning.

Låt oss upprepa kvadreringen av rötterna och andra krafter samtidigt:

Reglerna för handlingar med examina i allmän form finns i en skolbok om algebra, men jag tror att allt eller nästan allt redan framgår av de givna exemplen.

Uppgift för en oberoende lösning med ett segment i rymden:

Exempel 4

Givet poäng och . Hitta längden på segmentet.

Lösning och svar i slutet av lektionen.

Längden på ett segment kan bestämmas på olika sätt. För att ta reda på hur man hittar längden på ett segment räcker det att ha en linjal tillgänglig eller känna till speciella formler för beräkning.

Linjelängd med linjal

För att göra detta applicerar vi en linjal med millimeterindelningar på segmentet byggt på planet, och startpunkten måste vara i linje med nollpunkten på linjalskalan. Sedan bör du markera platsen för slutpunkten för detta segment på denna skala. Det resulterande antalet hela divisioner av skalan kommer att vara segmentets längd, uttryckt i cm och mm.

Plankoordinatmetod

Om koordinaterna för segmentet (x1; y1) och (x2; y2) är kända, bör dess längd beräknas enligt följande. Från koordinaterna på den andra punktens plan ska koordinaterna för den första punkten subtraheras. Resultatet ska vara två siffror. Vart och ett av dessa tal måste kvadreras och sedan hitta summan av dessa kvadrater. Från det resulterande talet bör kvadratroten extraheras, vilket kommer att vara avståndet mellan punkterna. Eftersom dessa punkter är ändarna på segmentet kommer detta värde att vara dess längd.

Betrakta ett exempel på hur man kan hitta längden på ett segment genom koordinater. Det finns koordinater för två punkter (-1;2) och (4;7). När vi hittar skillnaden i punkternas koordinater får vi följande värden: x = 5, y = 5. De resulterande siffrorna kommer att vara koordinaterna för segmentet. Sedan kvadrerar vi varje tal och hittar summan av resultaten, det är 50. Från detta tal extraherar vi kvadratroten. Resultatet är: 5 rötter av 2. Detta är längden på segmentet.

Metod för koordinater i rymden

För att göra detta, överväg hur man hittar längden på en vektor. Det är han som kommer att vara ett segment i det euklidiska rymden. Det finns på nästan samma sätt som längden av ett segment på ett plan. Konstruktionen av vektorn sker i olika plan. Hur hittar man längden på en vektor?

1. Hitta koordinaterna för vektorn, för detta, från koordinaterna för dess slutpunkt, måste du subtrahera koordinaterna för dess startpunkt.
2. Efter det måste du kvadratisera varje koordinat för vektorn.
3. Lägg sedan till kvadraterna på koordinaterna.
4. För att hitta längden på en vektor måste du ta kvadratroten av summan av kvadraterna på koordinaterna.

Låt oss överväga beräkningsalgoritmen med ett exempel. Det är nödvändigt att hitta koordinaterna för vektorn AB. Punkterna A och B har följande koordinater: A (1;6;3) och B (3;-1;7). Början av vektorn ligger vid punkt A, slutet är belägen vid punkt B. För att hitta dess koordinater är det alltså nödvändigt att subtrahera koordinaterna för punkt A från koordinaterna för punkt B: (3 - 1; -1 - 6; 7 - 3) = (2; - 3) 7; 4).

Nu kvadrerar vi varje koordinat och adderar dem: 4+49+16=69. Extraherar slutligen kvadratroten av det givna talet. Det är svårt att extrahera det, så vi skriver resultatet på detta sätt: längden på vektorn är lika med roten av 69.

Om det inte är viktigt för dig att själv beräkna längden på segment och vektorer, men du behöver bara resultatet, kan du använda en online-kalkylator, till exempel den här.

Nu, efter att ha studerat dessa metoder och övervägt de presenterade exemplen, kan du enkelt hitta längden på segmentet i alla problem.

segmentet kalla den del av en rät linje som består av alla punkter på denna linje som ligger mellan dessa två punkter - de kallas ändarna på segmentet.

Låt oss överväga det första exemplet. Låt ett visst segment ges i koordinatplanet med två punkter. I det här fallet kan vi hitta dess längd genom att tillämpa Pythagoras sats.

Så, i koordinatsystemet, rita ett segment med de givna koordinaterna för dess ändar(x1; y1) Och (x2; y2) . på axeln X Och Y släpp vinkelräta från ändarna av segmentet. Markera med rött de segment som är projektioner från det ursprungliga segmentet på koordinataxeln. Efter det överför vi projektionssegmenten parallellt med segmentens ändar. Vi får en triangel (rektangulär). Hypotenusan för denna triangel kommer att vara själva segmentet AB, och dess ben är de överförda projektionerna.

Låt oss beräkna längden på dessa projektioner. Alltså på axeln Y projektionslängden är y2-y1 , och på axeln X projektionslängden är x2-x1 . Låt oss tillämpa Pythagoras sats: |AB|² = (y2 - y1)² + (x2 - x1)² . I detta fall |AB| är längden på segmentet.

Om du använder det här schemat för att beräkna längden på ett segment, kan du inte ens bygga ett segment. Nu beräknar vi vad som är längden på segmentet med koordinater (1;3) Och (2;5) . Genom att tillämpa Pythagoras sats får vi: |AB|² = (2 - 1)² + (5 - 3)² = 1 + 4 = 5 . Och detta betyder att längden på vårt segment är lika med 5:1/2 .

Överväg följande metod för att hitta längden på ett segment. För att göra detta behöver vi känna till koordinaterna för två punkter i något system. Överväg detta alternativ med ett tvådimensionellt kartesiskt koordinatsystem.

Så i ett tvådimensionellt koordinatsystem ges koordinaterna för segmentets extrempunkter. Om vi ​​ritar raka linjer genom dessa punkter måste de vara vinkelräta mot koordinataxeln, då får vi en rätvinklig triangel. Det ursprungliga segmentet kommer att vara hypotenusan för den resulterande triangeln. Triangelns ben bildar segment, deras längd är lika med projektionen av hypotenusan på koordinataxlarna. Baserat på Pythagoras sats drar vi slutsatsen: för att hitta längden på ett givet segment måste du hitta längderna på projektionerna på två koordinataxlar.

Hitta projektionslängderna (X och Y) det ursprungliga segmentet till koordinataxlarna. Vi beräknar dem genom att hitta skillnaden i koordinaterna för punkter längs en separat axel: X=X2-X1, Y=Y2-Y1 .

Beräkna längden på segmentet MEN , för detta hittar vi kvadratroten:

A = √(X²+Y²) = √((X2-X1)²+(Y2-Y1)²) .

Om vårt segment är beläget mellan punkter vars koordinater 2;4 Och 4;1 , då är dess längd, respektive, lika med √((4-2)²+(1-4)²) = √13 ≈ 3,61 .