Annonsering på portalen

Pythagoras sats och dess motsats. Matematiklektionsprojekt "sats invers till Pythagoras sats." Lösa praktiska problem med hjälp av Pythagoras sats

Lektionens mål:

Allmän utbildning:

  • testa elevernas teoretiska kunskaper (egenskaper hos en rätvinklig triangel, Pythagoras sats), förmågan att använda dem för att lösa problem;
  • Efter att ha skapat en problematisk situation, led eleverna till "upptäckten" av den omvända Pythagoras sats.

utvecklande:

  • utveckling av färdigheter för att tillämpa teoretisk kunskap i praktiken;
  • utveckla förmågan att formulera slutsatser från observationer;
  • utveckling av minne, uppmärksamhet, observation:
  • utveckling av inlärningsmotivation genom känslomässig tillfredsställelse från upptäckter, genom införande av delar av historien om utvecklingen av matematiska begrepp.

pedagogisk:

  • att odla ett hållbart intresse för ämnet genom studiet av Pythagoras livsaktivitet;
  • främja ömsesidig hjälp och objektiv bedömning av klasskamraters kunskaper genom ömsesidig testning.

Lektionsformat: klass-lektion.

Lektionsplanering:

  • Att organisera tid.
  • Kollar läxor. Uppdaterar kunskap.
  • Lösa praktiska problem med hjälp av Pythagoras sats.
  • Nytt ämne.
  • Primär konsolidering av kunskap.
  • Läxa.
  • Lektionssammanfattning.
  • Självständigt arbete (med individuella kort med att gissa Pythagoras aforismer).

Under lektionerna.

Att organisera tid.

Kollar läxor. Uppdaterar kunskap.

Lärare: Vilken uppgift gjorde du hemma?

Studenter: Använd två givna sidor i en rätvinklig triangel, hitta den tredje sidan och presentera svaren i tabellform. Upprepa egenskaperna för en romb och en rektangel. Upprepa det som kallas villkoret och vad som är slutsatsen av satsen. Förbered rapporter om Pythagoras liv och arbete. Ta med ett rep med 12 knop knutna på.

Lärare: Kontrollera svaren på dina läxor med hjälp av tabellen

(data är markerade i svart, svar är i rött).

Lärare: Uttalanden skrivs på tavlan. Om du håller med dem, sätt "+" på papperslapparna bredvid motsvarande frågenummer om du inte håller med, skriv sedan "–".

Uttalanden är förskrivna på tavlan.

  1. Hypotenusan är längre än benet.
  2. Summan av de spetsiga vinklarna i en rätvinklig triangel är 180 0.
  3. Area av en rätvinklig triangel med ben A Och V beräknas med formeln S=ab/2.
  4. Pythagoras sats gäller för alla likbenta trianglar.
  5. I en rätvinklig triangel är benet mitt emot 30 0-vinkeln lika med halva hypotenusan.
  6. Summan av kvadraterna på benen är lika med kvadraten på hypotenusan.
  7. Benets kvadrat är lika med skillnaden mellan kvadraterna på hypotenusan och det andra benet.
  8. Sidan i en triangel är lika med summan av de två andra sidorna.

Arbetet kontrolleras med ömsesidig verifiering. Uttalanden som har orsakat kontroverser diskuteras.

Nyckeln till teoretiska frågor.

Eleverna betygsätter varandra med följande system:

8 rätt svar "5";
6-7 rätta svar "4";
4-5 rätta svar "3";
mindre än 4 rätta svar "2".

Lärare: Vad pratade vi om i förra lektionen?

Studerande: Om Pythagoras och hans sats.

Lärare: Ange Pythagoras sats. (Flera elever läser formuleringen, vid det här laget bevisar 2-3 elever det vid svarta tavlan, 6 elever vid de första skrivborden på papperslappar).

Matematiska formler skrivs på kort på en magnettavla. Välj de som återspeglar innebörden av Pythagoras sats, var A Och V – ben, Med – hypotenusa.

1) c 2 = a 2 + b 2 2) c = a + b 3) a 2 = från 2 – i 2
4) med 2 = en 2 – i 2 5) i 2 = c 2 – a 2 6) a 2 = c 2 + c 2

Medan eleverna som bevisar satsen vid tavlan och i fält inte är redo, ges ordet till de som har förberett rapporter om Pythagoras liv och arbete.

Skolbarn som arbetar på fältet lämnar in papperslappar och lyssnar på bevisen från dem som arbetat på styrelsen.

Lösa praktiska problem med hjälp av Pythagoras sats.

Lärare: Jag erbjuder dig praktiska problem med att använda satsen som studeras. Vi besöker först skogen, efter stormen, sedan i ett förortsområde.

Problem 1. Efter stormen gick granen sönder. Höjden på den återstående delen är 4,2 m. Avståndet från basen till den nedfallna toppen är 5,6 m. Hitta höjden på granen före stormen.

Problem 2. Husets höjd är 4,4 m. Bredden på gräsmattan runt huset är 1,4 m. Hur lång ska stegen göras så att den inte stör gräsmattan och når husets tak.

Nytt ämne.

Lärare:(musik låter) Blunda, under några minuter kommer vi att kasta oss in i historien. Vi är i det antika Egypten. Här på varven bygger egyptierna sina berömda skepp. Men lantmätare mäter områden vars gränser spolades bort efter Nilfloden. Byggare bygger storslagna pyramider som fortfarande förvånar oss med sin prakt. I alla dessa aktiviteter behövde egyptierna använda räta vinklar. De visste hur man bygger dem med hjälp av ett rep med 12 knop bundna på lika avstånd från varandra. Försök, tänk som de gamla egyptierna, att bygga räta trianglar med dina rep. (För att lösa detta problem arbetar killarna i grupper om 4. Efter ett tag visar någon konstruktionen av en triangel på en surfplatta nära tavlan).

Sidorna på den resulterande triangeln är 3, 4 och 5. Om du knyter ytterligare en knut mellan dessa knutar, blir dess sidor 6, 8 och 10. Om det finns två vardera – 9, 12 och 15. Alla dessa trianglar är rätvinklig eftersom

5 2 = 3 2 + 4 2, 10 2 = 6 2 + 8 2, 15 2 = 9 2 + 12 2, etc.

Vilken egenskap måste en triangel ha för att vara rätvinklig? (Eleverna försöker själva formulera den omvända Pythagoras sats; äntligen lyckas någon).

Hur skiljer sig denna sats från Pythagoras sats?

Studerande: Tillståndet och slutsatsen har bytt plats.

Lärare: Hemma upprepade du vad sådana satser kallas. Så vad har vi träffat nu?

Studerande: Med den omvända Pythagoras sats.

Lärare: Låt oss skriva ner ämnet för lektionen i vår anteckningsbok. Öppna dina läroböcker på sidan 127, läs detta påstående igen, skriv ner det i din anteckningsbok och analysera beviset.

(Efter några minuters självständigt arbete med läroboken, om så önskas, ger en person vid tavlan ett bevis på satsen).

  1. Vad heter en triangel med sidorna 3, 4 och 5? Varför?
  2. Vilka trianglar kallas pythagoras trianglar?
  3. Vilka trianglar arbetade du med i dina läxor? Hur är det med problem med en tall och en stege?

Primär konsolidering av kunskap

.

Denna sats hjälper till att lösa problem där du behöver ta reda på om trianglar är rätvinkliga.

Uppgifter:

1) Ta reda på om en triangel är rätvinklig om dess sidor är lika:

a) 12, 37 och 35; b) 21, 29 och 24.

2) Beräkna höjderna på en triangel med sidorna 6, 8 och 10 cm.

Läxa

.

Sida 127: invers Pythagoras sats. nr 498(a,b,c) nr 497.

Lektionssammanfattning.

 Vad lärde du dig för nytt på lektionen?
  • Hur användes den omvända Pythagoras sats i Egypten?
  • Vilka problem används det för att lösa?
  • Vilka trianglar träffade du?
  • Vad minns du och gillar mest?

    • Självständigt arbete (utförs med individuella kort).

    Lärare: Hemma upprepade du egenskaperna hos en romb och en rektangel. Lista dem (det pågår ett samtal med klassen). I förra lektionen pratade vi om hur Pythagoras var en mångsidig personlighet. Han studerade medicin, musik och astronomi och var även idrottsman och deltog i de olympiska spelen. Pythagoras var också en filosof. Många av hans aforismer är fortfarande relevanta för oss idag. Nu kommer du att arbeta självständigt. För varje uppgift ges flera svarsalternativ, bredvid vilka fragment av Pythagoras aforismer skrivs. Din uppgift är att lösa alla uppgifter, komponera ett uttalande från de mottagna fragmenten och skriva ner det.

    Att granska ämnen i skolans läroplan med hjälp av videolektioner är ett bekvämt sätt att studera och bemästra materialet. Videon hjälper till att fokusera elevernas uppmärksamhet på de huvudsakliga teoretiska begreppen och inte missa viktiga detaljer. Vid behov kan eleverna alltid lyssna på videolektionen igen eller gå tillbaka några ämnen.

    Den här videolektionen för årskurs 8 hjälper eleverna att lära sig ett nytt ämne inom geometri.

    I det föregående ämnet studerade vi Pythagoras sats och analyserade dess bevis.

    Det finns också en sats som är känd som den omvända Pythagoras sats. Låt oss ta en närmare titt på det.

    Sats. En triangel är rätvinklig om den har följande likhet: värdet på en sida av triangeln i kvadrat är detsamma som summan av de andra två sidorna i kvadrat.

    Bevis. Antag att vi får en triangel ABC, där likheten AB 2 = CA 2 + CB 2 gäller. Det är nödvändigt att bevisa att vinkeln C är 90 grader. Betrakta en triangel A 1 B 1 C 1 där vinkeln C 1 är lika med 90 grader, sidan C 1 A 1 är lika med CA och sidan B 1 C 1 är lika med BC.

    Genom att tillämpa Pythagoras sats skriver vi förhållandet mellan sidorna i triangeln A 1 C 1 B 1: A 1 B 1 2 = C 1 A 1 2 + C 1 B 1 2. Om uttrycket ersätts med lika sidor får vi A 1 B 1 2 = CA 2 + CB 2 .

    Från satsens villkor vet vi att AB 2 = CA 2 + CB 2. Då kan vi skriva A 1 B 1 2 = AB 2, varav det följer att A 1 B 1 = AB.

    Vi fann att i trianglarna ABC och A 1 B 1 C 1 är tre sidor lika: A 1 C 1 = AC, B 1 C 1 = BC, A 1 B 1 = AB. Så dessa trianglar är lika. Av trianglarnas likhet följer att vinkeln C är lika med vinkeln C 1 och följaktligen lika med 90 grader. Vi har bestämt att triangeln ABC är rätvinklig och dess vinkel C är 90 grader. Vi har bevisat detta teorem.

    Därefter ger författaren ett exempel. Antag att vi får en godtycklig triangel. Storlekarna på dess sidor är kända: 5, 4 och 3 enheter. Låt oss kontrollera påståendet från satsen invers till Pythagoras sats: 5 2 = 3 2 + 4 2. Påståendet är sant, vilket betyder att denna triangel är rätvinklig.

    I följande exempel kommer trianglar också att vara rätvinkliga trianglar om deras sidor är lika:

    5, 12, 13 enheter; likheten 13 2 = 5 2 + 12 2 är sann;

    8, 15, 17 enheter; likheten 17 2 = 8 2 + 15 2 är sann;

    7, 24, 25 enheter; likheten 25 2 = 7 2 + 24 2 är sann.

    Konceptet med en pytagoreisk triangel är känt. Detta är en rätvinklig triangel vars sidor är lika med heltal. Om benen i den pytagoreiska triangeln betecknas med a och c, och hypotenusan med b, kan värdena på sidorna i denna triangel skrivas med följande formler:

    b = k x (m 2 - n 2)

    c = k x (m 2 + n 2)

    där m, n, k är alla naturliga tal och värdet på m är större än värdet på n.

    Intressant faktum: en triangel med sidorna 5, 4 och 3 kallas också en egyptisk triangel en sådan triangel var känd i det antika Egypten.

    I den här videolektionen lärde vi oss satsen i motsats till Pythagoras sats. Vi granskade bevisen i detalj. Eleverna lärde sig också vilka trianglar som kallas pytagoreiska trianglar.

    Elever kan enkelt bekanta sig med ämnet "Pythagoras omvända sats" på egen hand med hjälp av den här videolektionen.

    Enligt Van der Waerden är det mycket troligt att förhållandet i allmän form var känt i Babylon runt 1700-talet f.Kr. e.

    Omkring 400 f.Kr. BC, enligt Proclus, gav Platon en metod för att hitta pythagoras trillingar, kombinera algebra och geometri. Omkring 300 f.Kr. e. Det äldsta axiomatiska beviset för Pythagoras sats dök upp i Euklids element.

    Formuleringar

    Grundformuleringen innehåller algebraiska operationer - i en rätvinklig triangel, vars längder är lika a (\displaystyle a) Och b (\displaystyle b), och längden på hypotenusan är c (\displaystyle c), är följande relation uppfylld:

    .

    En ekvivalent geometrisk formulering är också möjlig, med hjälp av begreppet area av en figur: i en rätvinklig triangel är arean av kvadraten byggd på hypotenusan lika med summan av arean av kvadraterna byggda på ben. Satsen är formulerad i denna form i Euklids element.

    Omvänd Pythagoras sats- ett påstående om rektanguläriteten hos en triangel, vars längder på sidorna är relaterade av relationen a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)). Som en konsekvens, för varje trippel positiva tal a (\displaystyle a), b (\displaystyle b) Och c (\displaystyle c), Så att a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)), det finns en rätvinklig triangel med ben a (\displaystyle a) Och b (\displaystyle b) och hypotenusa c (\displaystyle c).

    Bevis

    Det finns minst 400 bevis för Pythagoras sats inspelade i den vetenskapliga litteraturen, vilket förklaras av både dess grundläggande betydelse för geometrin och resultatets elementära karaktär. De viktigaste riktningarna för bevis är: algebraisk användning av relationer mellan elementen i en triangel (till exempel den populära metoden för likhet), metoden för områden, det finns också olika exotiska bevis (till exempel genom att använda differentialekvationer).

    Genom liknande trianglar

    Det klassiska beviset för Euklid syftar till att fastställa likheten mellan områden mellan rektanglar som bildas genom att dissekera kvadraten ovanför hypotenusan med höjden av den räta vinkeln med kvadraterna ovanför benen.

    Konstruktionen som används för beviset är som följer: för en rätvinklig triangel med en rät vinkel C (\displaystyle C), rutor över benen och och rutor över hypotenusan A B I K (\displaystyle ABIK) höjd byggs CH och strålen som fortsätter det s (\displaystyle s), dividera kvadraten ovanför hypotenusan i två rektanglar och . Beviset syftar till att fastställa likheten mellan rektangelns ytor A H J K (\displaystyle AHJK) med en fyrkant över benet A C (\displaystyle AC); likheten mellan områdena för den andra rektangeln, som utgör kvadraten ovanför hypotenusan, och rektangeln ovanför det andra benet fastställs på liknande sätt.

    Likhet mellan områden i en rektangel A H J K (\displaystyle AHJK) Och A C E D (\displaystyle ACED) etableras genom kongruensen av trianglar △ A C K​(\displaystyle \triangle ACK) Och △ A B D (\displaystyle \triangle ABD), vars yta är lika med hälften av kvadraternas yta A H J K (\displaystyle AHJK) Och A C E D (\displaystyle ACED) följaktligen, i samband med följande egenskap: arean av en triangel är lika med halva arean av en rektangel om figurerna har en gemensam sida, och triangelns höjd till den gemensamma sidan är den andra sidan av rektangeln. Trianglarnas kongruens följer av likheten mellan två sidor (sidor av kvadrater) och vinkeln mellan dem (som består av en rät vinkel och en vinkel vid A (\displaystyle A).

    Således fastställer beviset att arean av en kvadrat ovanför hypotenusan, sammansatt av rektanglar A H J K (\displaystyle AHJK) Och B H J I (\displaystyle BHJI), är lika med summan av kvadraternas area över benen.

    Bevis på Leonardo da Vinci

    Områdesmetoden innehåller också ett bevis hittat av Leonardo da Vinci. Låt en rätvinklig triangel ges △ A B C (\displaystyle \triangle ABC) med rät vinkel C (\displaystyle C) och rutor A C E D (\displaystyle ACED), B C F G (\displaystyle BCFG) Och A B H J (\displaystyle ABHJ)(se bild). I detta bevis på sidan HJ (\displaystyle HJ) av den senare är en triangel konstruerad på yttersidan, kongruent △ A B C (\displaystyle \triangle ABC) reflekteras dessutom både relativt hypotenusan och relativt höjden till den (det vill säga, J I = B C (\displaystyle JI=BC) Och H I = A C (\displaystyle HI=AC)). Hetero C I (\displaystyle CI) delar kvadraten byggd på hypotenusan i två lika delar, eftersom trianglar △ A B C (\displaystyle \triangle ABC) Och △ J H I (\displaystyle \triangle JHI) lika i konstruktion. Beviset fastställer kongruensen av fyrhörningar C A J I (\displaystyle CAJI) Och D A B G (\displaystyle DABG), vars yta visar sig å ena sidan vara lika med summan av hälften av kvadraterna på benen och arean av den ursprungliga triangeln, å andra sidan hälften av arean av kvadraten på hypotenusan plus arean av den ursprungliga triangeln. Totalt är halva summan av kvadraternas ytor över benen lika med halva kvadratens area över hypotenusan, vilket motsvarar den geometriska formuleringen av Pythagoras sats.

    Bevis med den infinitesimala metoden

    Det finns flera bevis som använder tekniken för differentialekvationer. I synnerhet krediteras Hardy med ett bevis som använder oändligt små steg av ben a (\displaystyle a) Och b (\displaystyle b) och hypotenusa c (\displaystyle c), och bevara likheten med den ursprungliga rektangeln, det vill säga att säkerställa uppfyllandet av följande differentialrelationer:

    d a d c = c a (\displaystyle (\frac (da)(dc))=(\frac (c)(a))), d b d c = c b (\displaystyle (\frac (db)(dc))=(\frac (c)(b))).

    Med hjälp av metoden att separera variabler härleds en differentialekvation från dem c d c = a d a + b d b (\displaystyle c\ dc=a\,da+b\,db), vars integration ger relationen c 2 = a 2 + b 2 + C o n s t (\displaystyle c^(2)=a^(2)+b^(2)+\mathrm (Const) ). Tillämpning av initiala villkor a = b = c = 0 (\displaystyle a=b=c=0) definierar konstanten som 0, vilket resulterar i satsen.

    Det kvadratiska beroendet i den slutliga formeln uppträder på grund av den linjära proportionaliteten mellan triangelns sidor och inkrementen, medan summan är associerad med oberoende bidrag från ökningen av olika ben.

    Variationer och generaliseringar

    Liknande geometriska former på tre sidor

    En viktig geometrisk generalisering av Pythagoras sats gavs av Euklid i elementen, som flyttade från områdena med kvadrater på sidorna till områdena för godtyckliga liknande geometriska figurer: summan av areorna för sådana figurer byggda på benen kommer att vara lika med området för en liknande figur byggd på hypotenusan.

    Huvudidén med denna generalisering är att arean för en sådan geometrisk figur är proportionell mot kvadraten på någon av dess linjära dimensioner och i synnerhet mot kvadraten på längden på vilken sida som helst. Därför för liknande siffror med områden A (\displaystyle A), B (\displaystyle B) Och C (\displaystyle C), byggd på ben med längder a (\displaystyle a) Och b (\displaystyle b) och hypotenusa c (\displaystyle c) Följaktligen gäller följande förhållande:

    A a 2 = B b 2 = C c 2 ⇒ A + B = a 2 c 2 C + b 2 c 2 C (\displaystyle (\frac (A)(a^(2)))=(\frac (B) )(b^(2)))=(\frac (C)(c^(2)))\,\Högerpil \,A+B=(\frac (a^(2))(c^(2) ))C+(\frac (b^(2))(c^(2)))C).

    Eftersom enligt Pythagoras sats a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)), sedan gjort.

    Dessutom, om det är möjligt att bevisa utan att åberopa Pythagoras sats att arean av tre liknande geometriska figurer på sidorna av en rätvinklig triangel uppfyller förhållandet A + B = C (\displaystyle A+B=C), sedan genom att använda det omvända av beviset för Euklids generalisering, kan man härleda ett bevis för Pythagoras sats. Till exempel, om vi på hypotenusan konstruerar en rätvinklig triangel kongruent med den initiala med en area C (\displaystyle C), och på sidorna - två liknande rätvinkliga trianglar med ytor A (\displaystyle A) Och B (\displaystyle B), då visar det sig att trianglar på sidorna bildas som ett resultat av att dividera den initiala triangeln med dess höjd, det vill säga summan av de två mindre områdena av trianglarna är lika med arean av den tredje, alltså A + B = C (\displaystyle A+B=C) och genom att tillämpa relationen på liknande figurer härleds Pythagoras sats.

    Cosinussatsen

    Pythagoras sats är ett specialfall av den mer allmänna cosinussatsen, som relaterar längderna på sidorna i en godtycklig triangel:

    a 2 + b 2 − 2 a b cos ⁡ θ = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)-2ab\cos (\theta )=c^(2)),

    var är vinkeln mellan sidorna a (\displaystyle a) Och b (\displaystyle b). Om vinkeln är 90°, då cos ⁡ θ = 0 (\displaystyle \cos \theta =0), och formeln förenklas till den vanliga Pythagoras sats.

    Gratis triangel

    Det finns en generalisering av Pythagoras sats till en godtycklig triangel, som enbart verkar på förhållandet mellan längderna på sidorna, man tror att den först etablerades av den sabiske astronomen Thabit ibn Qurra. I den, för en godtycklig triangel med sidor, passar en likbent triangel med en bas på sidan in i den c (\displaystyle c), spetsen sammanfaller med spetsen på den ursprungliga triangeln, mittemot sidan c (\displaystyle c) och vinklar vid basen lika med vinkeln θ (\displaystyle \theta ), motsatta sidan c (\displaystyle c). Som ett resultat bildas två trianglar, liknande den ursprungliga: den första - med sidor a (\displaystyle a), sidan längst därifrån av den inskrivna likbenta triangeln, och r (\displaystyle r)- sidodelar c (\displaystyle c); den andra - symmetriskt till den från sidan b (\displaystyle b) med sidan s (\displaystyle s)- motsvarande del av sidan c (\displaystyle c). Som ett resultat är följande förhållande uppfyllt:

    a 2 + b 2 = c (r + s) (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c(r+s)),

    urartar till Pythagoras sats kl θ = π / 2 (\displaystyle \theta =\pi /2). Relationen är en konsekvens av likheten mellan de bildade trianglarna:

    c a = a r , c b = b s ⇒ c r + c s = a 2 + b 2 (\displaystyle (\frac (c)(a))=(\frac (a)(r)),\,(\frac (c) (b))=(\frac (b)(s))\,\Högerpil \,cr+cs=a^(2)+b^(2)).

    Pappus sats om arealer

    Icke-euklidisk geometri

    Pythagoras sats är härledd från den euklidiska geometrins axiom och är inte giltig för icke-euklidisk geometri - uppfyllelsen av Pythagoras sats motsvarar det euklidiska parallellismpostulatet.

    I icke-euklidisk geometri kommer förhållandet mellan sidorna i en rätvinklig triangel nödvändigtvis att ha en annan form än Pythagoras sats. Till exempel, i sfärisk geometri har alla tre sidorna i en rätvinklig triangel, som binder enhetssfärens oktant, en längd π / 2 (\displaystyle \pi /2), vilket motsäger Pythagoras sats.

    Dessutom är Pythagoras sats giltig i hyperbolisk och elliptisk geometri om kravet på att triangeln är rektangulär ersätts av villkoret att summan av triangelns två vinklar måste vara lika med den tredje.

    Sfärisk geometri

    För varje rätvinklig triangel på en sfär med radie R (\displaystyle R)(till exempel om vinkeln i en triangel är rät) med sidor a , b , c (\displaystyle a,b,c) förhållandet mellan sidorna är:

    cos ⁡ (c R) = cos ⁡ (a R) ⋅ cos ⁡ (b R) (\displaystyle \cos \left((\frac (c)(R))\right)=\cos \left((\frac) (a)(R))\höger)\cdot \cos \left((\frac (b)(R))\höger)).

    Denna likhet kan härledas som ett specialfall av den sfäriska cosinussatsen, som är giltig för alla sfäriska trianglar:

    cos ⁡ (c R) = cos ⁡ (a R) ⋅ cos ⁡ (b R) + sin ⁡ (a R) ⋅ sin ⁡ (b R) ⋅ cos ⁡ γ (\displaystyle \cos \left((\frac ( c)(R))\höger)=\cos \left((\frac (a)(R))\right)\cdot \cos \left((\frac (b)(R))\right)+\ sin \left((\frac (a)(R))\right)\cdot \sin \left((\frac (b)(R))\right)\cdot \cos \gamma ). ch ⁡ c = ch ⁡ a ⋅ ch ⁡ b (\displaystyle \operatörsnamn (ch) c=\operatörsnamn (ch) a\cdot \operatörsnamn (ch) b),

    Var ch (\displaystyle \operatörsnamn (ch) )- hyperbolisk kosinus. Denna formel är ett specialfall av hyperbolisk cosinussats, som är giltig för alla trianglar:

    ch ⁡ c = ch ⁡ a ⋅ ch ⁡ b − sh ⁡ a ⋅ sh ⁡ b ⋅ cos ⁡ γ (\displaystyle \operatörsnamn (ch) c=\operatörsnamn (ch) a\cdot \operatörsnamn (ch) b-\operatörsnamn (sh) a\cdot \operatörsnamn (sh) b\cdot \cos \gamma ),

    Var γ (\displaystyle \gamma )- en vinkel vars spets är motsatt sidan c (\displaystyle c).

    Använder Taylor-serien för den hyperboliska cosinus ( ch ⁡ x ≈ 1 + x 2 / 2 (\displaystyle \operatörsnamn (ch) x\approx 1+x^(2)/2)) kan det visas att om en hyperbolisk triangel minskar (det vill säga när a (\displaystyle a), b (\displaystyle b) Och c (\displaystyle c) tenderar till noll), då närmar sig de hyperboliska relationerna i en rätvinklig triangel relationen för den klassiska Pythagoras sats.

    Ansökan

    Avstånd i tvådimensionella rektangulära system

    Den viktigaste tillämpningen av Pythagoras sats är att bestämma avståndet mellan två punkter i ett rektangulärt koordinatsystem: avståndet s (\displaystyle s) mellan punkter med koordinater (a, b) (\displaystyle (a,b)) Och (c, d) (\displaystyle (c,d))är lika med:

    s = (a − c) 2 + (b − d) 2 (\displaystyle s=(\sqrt ((a-c)^(2)+(b-d)^(2)))).

    För komplexa tal ger Pythagoras sats en naturlig formel för att hitta modulen för ett komplext tal - för z = x + y i (\displaystyle z=x+yi) den är lika med längden

    Lektionens mål:

    Utbildning: formulera och bevisa Pythagoras sats och inverssatsen i Pythagoras sats. Visa deras historiska och praktiska betydelse.

    Utvecklingsmässigt: utveckla uppmärksamhet, minne, logiskt tänkande hos eleverna, förmågan att resonera, jämföra och dra slutsatser.

    Pedagogisk: att odla intresse och kärlek till ämnet, noggrannhet, förmågan att lyssna på kamrater och lärare.

    Utrustning: Porträtt av Pythagoras, affischer med uppgifter för konsolidering, lärobok ”Geometry” för årskurs 7-9 (I.F. Sharygin).

    Lektionsplanering:

    I. Organisatoriskt ögonblick – 1 min.

    II. Kontrollera läxor – 7 min.

    III. Inledningsanförande av läraren, historisk bakgrund – 4-5 min.

    IV. Formulering och bevis för Pythagoras sats – 7 min.

    V. Formulering och bevis för satsen i motsats till Pythagoras sats – 5 min.

    Konsoliderar nytt material:

    a) oral – 5-6 min.
    b) skriftligt – 7-10 minuter.

    VII. Läxor – 1 min.

    VIII. Sammanfattning av lektionen – 3 min.

    Under lektionerna

    I. Organisatoriskt ögonblick.

    II. Kollar läxor.

    punkt 7.1, nr 3 (vid tavlan enligt färdig ritning).

    Skick: Höjden på en rätvinklig triangel delar hypotenusan i segment med längden 1 och 2. Hitta benen på denna triangel.

    BC = a; CA = b; BA = c; BD = ai; DA = bi; CD = h C

    Ytterligare fråga: skriv förhållandena i en rätvinklig triangel.

    Avsnitt 7.1, nr 5. Skär den räta triangeln i tre liknande trianglar.

    Förklara.

    ASN ~ ABC ~ SVN

    (uppmärksamma eleverna på att det är korrekt att skriva motsvarande hörn i liknande trianglar)

    III. Inledningsanförande av läraren, historisk bakgrund.

    Sanningen kommer att förbli evig så snart en svag person inser den!

    Och nu är Pythagoras sats sann, som i hans avlägsna tidsålder.

    Det är ingen slump att jag började min lektion med den tyske romanförfattaren Chamissos ord. Vår lektion idag handlar om Pythagoras sats. Låt oss skriva ner ämnet för lektionen.

    Före dig är ett porträtt av den store Pythagoras. Född 576 f.Kr. Efter att ha levt 80 år dog han 496 f.Kr. Känd som en antik grekisk filosof och lärare. Han var son till köpmannen Mnesarchus, som ofta tog honom på sina resor, tack vare vilken pojken utvecklade nyfikenhet och en önskan att lära sig nya saker. Pythagoras är ett smeknamn som han fått för sin vältalighet ("Pythagoras" betyder "övertygande genom tal"). Själv skrev han ingenting. Alla hans tankar registrerades av hans elever. Som ett resultat av den första föreläsningen han höll, förvärvade Pythagoras 2000 elever, som tillsammans med sina fruar och barn bildade en enorm skola och skapade en stat kallad "Stor Grekland", som baserades på Pythagoras lagar och regler, vördad. som gudomliga bud. Han var den förste som kallade sitt resonemang om meningen med livet filosofi (filosofi). Han var benägen till mystifiering och demonstrativt beteende. En dag gömde sig Pythagoras under jorden och fick reda på allt som hände från hans mamma. Sedan, vissnat som ett skelett, förklarade han vid ett offentligt möte att han hade varit i Hades och visade en fantastisk kunskap om jordiska händelser. För detta kände de rörda invånarna igen honom som Gud. Pythagoras grät aldrig och var i allmänhet otillgänglig för passioner och spänning. Han trodde att han kom från ett frö som var bättre än ett mänskligt. Hela Pythagoras liv är en legend som har kommit ner till vår tid och berättat om den mest begåvade mannen i den antika världen.

    IV. Formulering och bevis för Pythagoras sats.

    Du känner till formuleringen av Pythagoras sats från din algebrakurs. Låt oss komma ihåg henne.

    I en rätvinklig triangel är hypotenusans kvadrat lika med summan av benens kvadrater.

    Denna sats var dock känd många år före Pythagoras. 1500 år före Pythagoras visste de forntida egyptierna att en triangel med sidorna 3, 4 och 5 är rektangulär och använde denna egenskap för att konstruera räta vinklar när de planerade tomter och konstruerade byggnader. I det äldsta kinesiska matematiska och astronomiska arbetet som har kommit ner till oss, "Zhiu-bi", skrivet 600 år före Pythagoras, bland andra förslag som rör den räta triangeln, finns Pythagoras sats. Även tidigare var denna sats känd för hinduerna. Pythagoras upptäckte alltså inte denna egenskap hos en rätvinklig triangel, han var förmodligen den förste som generaliserade och bevisade den, att överföra den från praktiken till vetenskapens område.

    Sedan urminnes tider har matematiker hittat fler och fler bevis för Pythagoras sats. Mer än ett och ett halvt hundra av dem är kända. Låt oss komma ihåg det algebraiska beviset för Pythagoras sats, känt för oss från algebrakursen. ("Mathematics. Algebra. Functions. Data analysis" G.V. Dorofeev, M., "Drofa", 2000).

    Be eleverna komma ihåg beviset för teckningen och skriv det på tavlan.

    (a + b) 2 = 4 1/2 a * b + c 2 b a

    a 2 + 2a * b + b 2 = 2a * b + c 2

    a 2 + b 2 = c 2 a a b

    De forntida hinduerna, som detta resonemang tillhör, skrev vanligtvis inte ner det, utan åtföljde teckningen med bara ett ord: "Titta."

    Låt oss i en modern presentation betrakta ett av de bevis som tillhör Pythagoras. I början av lektionen kom vi ihåg satsen om relationer i en rätvinklig triangel:

    h 2 = a 1* b 1 a 2 = a 1* c b 2 = b 1* c

    Låt oss lägga till de två sista likheterna term för term:

    b 2 + a 2 = b 1 * c + a 1 * c = (b 1 + a 1) * c 1 = c * c = c 2; a 2 + b 2 = c 2

    Trots den uppenbara enkelheten i detta bevis är det långt ifrån det enklaste. För detta var det trots allt nödvändigt att rita höjden i en rätvinklig triangel och överväga liknande trianglar. Skriv ner dessa bevis i din anteckningsbok.

    V. Formulering och bevis för satsen vänder sig mot Pythagoras sats.

    Vad är motsatsen till denna sats? (...om villkoret och slutsatsen är omvända.)

    Låt oss nu försöka formulera satsen omvänt till Pythagoras sats.

    Om i en triangel med sidorna a, b och c är likheten c 2 = a 2 + b 2 uppfylld, är denna triangel rätvinklig och den räta vinkeln är motsatt sidan c.

    (Bevis på omvändsatsen på affischen)

    ABC, BC = a,

    AC = b, BA = c.

    a 2 + b 2 = c 2

    Bevisa:

    ABC - rektangulär,

    Bevis:

    Betrakta en rätvinklig triangel A 1 B 1 C 1,

    där C1 = 90°, AiC1 = a, AiC1 = b.

    Sedan, enligt Pythagoras sats, B 1 A 1 2 = a 2 + b 2 = c 2.

    Det vill säga B 1 A 1 = c A 1 B 1 C 1 = ABC på tre sidor ABC är rektangulär

    C = 90°, vilket är vad som behövde bevisas.

    VI. Konsolidering av det studerade materialet (muntligt).

    1. Utifrån en affisch med färdiga ritningar.

    Fig. 1: hitta AD om ВD = 8, ВDA = 30°.

    Fig.2: hitta CD om BE = 5, BAE = 45°.

    Fig.3: hitta BD om BC = 17, AD = 16.

    2. Är en triangel rektangulär om dess sidor uttrycks med siffror:

    5 2 + 6 2 ? 7 2 (nej)

    9 2 + 12 2 = 15 2 (ja)

    15 2 + 20 2 = 25 2 (ja)

    Vad är namnen på tripletter av siffror i de två sista fallen? (Pythagorean).

    VI. Lösa problem (skriftligt).

    Nr 9. Sidan på en liksidig triangel är lika med a. Hitta höjden på denna triangel, radien för den omskrivna cirkeln och radien för den inskrivna cirkeln.

    Nej 14. Bevisa att i en rätvinklig triangel är radien för den omskrivna cirkeln lika med medianen som dras till hypotenusan och lika med halva hypotenusan.

    VII. Läxa.

    Paragraf 7.1, s. 175-177, undersök sats 7.4 (generaliserad Pythagoras sats), nr 1 (oralt), nr 2, nr 4.

    VIII. Lektionssammanfattning.

    Vad lärde du dig för nytt i klassen idag? …………

    Pythagoras var först och främst en filosof. Nu vill jag läsa dig några av hans ordspråk, som fortfarande är relevanta i vår tid för dig och mig.

    • Lyft inte damm på livets väg.
    • Gör bara det som inte kommer att göra dig upprörd senare och inte kommer att tvinga dig att omvända dig.
    • Gör aldrig det du inte kan, utan lär dig allt du behöver veta, så kommer du att leva ett lugnt liv.
    • Blunda inte när du vill sova, utan att ha sorterat ut alla dina handlingar under den gångna dagen.
    • Lär dig att leva enkelt och utan lyx.

    Pythagoras sats säger:

    I en rätvinklig triangel är summan av benens kvadrater lika med kvadraten på hypotenusan:

    a 2 + b 2 = c 2,

    • a Och b– benen bildar en rät vinkel.
    • Med– triangelns hypotenusa.

    Formler för Pythagoras sats

    • a = \sqrt(c^(2) - b^(2))
    • b = \sqrt (c^(2) - a^(2))
    • c = \sqrt (a^(2) + b^(2))

    Bevis för Pythagoras sats

    Arean av en rätvinklig triangel beräknas med formeln:

    S = \frac(1)(2)ab

    För att beräkna arean av en godtycklig triangel är areaformeln:

    • sid– semi-perimeter. p=\frac(1)(2)(a+b+c) ,
    • r– radien för den inskrivna cirkeln. För en rektangel r=\frac(1)(2)(a+b-c).

    Sedan likställer vi de högra sidorna av båda formlerna för arean av triangeln:

    \frac(1)(2) ab = \frac(1)(2)(a+b+c) \frac(1)(2)(a+b-c)

    2 ab = (a+b+c) (a+b-c)

    2 ab = \vänster((a+b)^(2) -c^(2) \höger)

    2 ab = a^(2)+2ab+b^(2)-c^(2)

    0=a^(2)+b^(2)-c^(2)

    c^(2) = a^(2)+b^(2)

    Converse Pythagoras sats:

    Om kvadraten på en sida av en triangel är lika med summan av kvadraterna på de andra två sidorna, är triangeln rätvinklig. Det vill säga för varje trippel av positiva tal a, b Och c, Så att

    a 2 + b 2 = c 2,

    det finns en rätvinklig triangel med ben a Och b och hypotenusa c.

    Pythagoras sats- en av de grundläggande satserna i euklidisk geometri, som fastställer förhållandet mellan sidorna i en rätvinklig triangel. Det bevisades av den lärde matematikern och filosofen Pythagoras.

    Betydelsen av satsen Poängen är att den kan användas för att bevisa andra teorem och lösa problem.

    Ytterligare material: