Särskilda fall av att föra ett godtyckligt rumsligt kraftsystem till centrum. Att föra kraftsystemet till dess enklaste form Centrum av parallella krafter

Om, efter att ha fört det rumsliga kraftsystemet till det valda centrumet O, är huvudvektorn och huvudmomentet lika med noll, dvs.

Kraftsystemet är balanserat. Under påverkan av ett sådant kraftsystem kommer den fasta kroppen att vara i jämvikt. Uppenbarligen, i det allmänna fallet, motsvarar två vektorekvationer (4.1) sex skalära ekvationer, vilket återspeglar lika med noll av projektionerna för dessa vektorer på axlarna för det valda koordinatsystemet (till exempel kartesiska).

Om, efter att ha fört det rumsliga kraftsystemet till det valda centrumet O, är huvudvektorn lika med noll, och huvudmomentet är inte lika med noll, d.v.s.

Ett resulterande kraftpar verkar på kroppen och tenderar att rotera den. Observera att i detta fall påverkar valet av reduktionscenter inte resultatet.

Om, efter att ha fört det rumsliga kraftsystemet till det valda centrumet O, är huvudvektorn inte lika med noll, och huvudmomentet är lika med noll, dvs.

Kroppen påverkas av det resulterande systemet av krafter som passerar genom reduktionens centrum och tenderar att förflytta kroppen längs dess verkningslinje. Det är uppenbart att relationer (4.3.) är giltiga för alla punkter i resultantens handlingslinje.

Observera att verkan av ett system av konvergerande krafter reduceras till detta fall om skärningspunkten för kraftlinjerna för systemets krafter tas som centrum för reduktion (eftersom kraftmomenten i förhållande till denna punkt är lika till noll).

Om, efter att ha fört det rumsliga kraftsystemet till det valda centrumet O, är huvudvektorn och huvudmomentet inte lika med noll, och deras riktningar bildar en rät vinkel, d.v.s.

då kan ett sådant kraftsystem också reduceras till en resultant, men passera genom ett annat reduktionscentrum - punkten. För att utföra denna operation överväger vi först de ekvivalenta kraftsystemen som visas i fig. 4.2.b och fig. 4.1. Uppenbarligen, om vi ändrar notationen (punkt B kallas centrum O, punkt A kallas centrum), kräver uppgiften vi står inför att utföra operationen omvänd till den som utförs i lemma vid parallell överföring av kraft. Med hänsyn till ovanstående måste punkten för det första vara belägen i ett plan vinkelrätt mot vektorn för huvudmomentet som passerar genom centrum O, och för det andra ligga på en linje parallell med verkningslinjen för huvudvektorn av krafter och separerade från den på ett avstånd h lika med

Av de två hittade linjerna bör du välja den för vars punkter vektorn för huvudmomentet är lika med noll (momentet för huvudvektorn av krafter i förhållande till det nya centrumet ska vara lika i storlek och motsatt i riktning mot kraftsystemets huvudmoment i förhållande till punkt O).

I det allmänna fallet, efter att ha fört det rumsliga kraftsystemet till det valda centrumet O, bildar huvudvektorn och huvudmomentet, som inte är lika med noll, inte en rät vinkel med varandra (fig. 4.5.a).

Om huvudmomentet delas upp i två komponenter - längs huvudkraftvektorn och vinkelrätt mot den, kan man i enlighet med (4.5) hitta ett reduktionscentrum för vilket den vinkelräta komponenten av huvudmomentet blir lika med noll, och storleken och riktningarna för huvudvektorn och de första komponenterna i huvudmomentet förblir desamma (fig. 4.5.b). Samlingen av vektorer kallas kraftskruv eller dynamo.

Ytterligare förenkling är inte möjlig.

Eftersom med en sådan förändring i reduktionscentrum endast projektionen av huvudmomentet ändras till riktningen vinkelrät mot kraftsystemets huvudvektor, förblir värdet på skalärprodukten av dessa vektorer oförändrat, d.v.s.

Detta uttryck kallas andra invariant

statik.

Exempel 4.1. Topparna av en rektangulär parallellepiped med sidor och är föremål för krafter och (se Fig. 4.6). Ta ursprunget till koordinaterna för det kartesiska koordinatsystemet som anges i figuren som centrum för reduktion av kraftsystemet, skriv ner uttryck för projektionerna av huvudvektorn och huvudmomentet.

Låt oss skriva ner trigonometriska relationer för att bestämma vinklar:

Nu kan vi skriva uttryck för projektionerna av huvudvektorn och systemets kraftmoment:

Obs: kunskap om vektorprojektionerna på koordinataxlarna gör det möjligt att vid behov beräkna dess magnitud och riktnings cosinus.

Ett plan kraftsystem reduceras också till en kraft lika med både applicerad vid ett godtyckligt valt centrum O och ett par med ett moment

i detta fall kan vektorn bestämmas antingen geometriskt genom att konstruera en kraftpolygon (se punkt 4), eller analytiskt. Alltså för ett plan kraftsystem

R x =F kx , R y = F ky ,

där alla moment i den sista likheten är algebraiska och summan är också algebraisk.

Låt oss ta reda på vilken enklast form ett givet platt kraftsystem som inte är i jämvikt kan reduceras. Resultatet beror på värdena för R och MO.

• 1. Om för ett givet kraftsystem R=0, en M O ?0, så reduceras den till ett par med ett moment M O , vars värde inte beror på valet av centrum O.
• 2. Om för ett givet kraftsystem R?0, så reduceras den till en kraft, d.v.s. till resultanten. I det här fallet är två fall möjliga:
  • a) R=O, MO=0. I detta fall reduceras systemet, vilket är omedelbart uppenbart, till den resulterande R som passerar genom centrum O;
  • b) R^O, MO^O. I det här fallet kan ett par med ett moment MO representeras av två krafter R" och R", med R"=R och R"= - R. Dessutom, om d=OC är parets arm, då bör vara Rd=|M O |.

Efter att nu ha förkastat krafterna R och R" som balanserade, finner vi att hela kraftsystemet ersätts av den resulterande R" = R som passerar genom punkt C. Positionen för punkt C bestäms av två villkor: 1) avståndet OC = d () måste uppfylla likheten Rd = | M O |. 2) tecknet för momentet i förhållande till centrum O för kraften R" som appliceras i punkt C, dvs. tecknet för m O (R") måste sammanfalla med tecknet för MO.

Att föra ett kraftsystem i centrum

Frågor

Föreläsning 6

3. Jämviktsförhållanden för ett godtyckligt kraftsystem

1. Betrakta ett godtyckligt system av krafter. Låt oss välja en godtycklig punkt HANDLA OM bakom reduktionscentrum och med hjälp av satsen om parallell kraftöverföring överför vi alla krafter i systemet till en given punkt, utan att glömma att lägga till ett associerat kraftpar när vi överför varje kraft.

Det resulterande systemet med konvergerande krafter kommer att ersättas av en kraft lika med huvudvektorn för det ursprungliga kraftsystemet. Systemet av kraftpar som bildas under överföringen kommer att ersättas av ett par med ett moment lika med den geometriska summan av momenten för alla kraftpar (dvs den geometriska summan av momenten för det ursprungliga kraftsystemet i förhållande till centrum HANDLA OM).

Detta ögonblick kallas kraftsystemets huvudmoment i förhållande till centrum O (Fig. 1.30).

Ris. 1.30. Att föra ett kraftsystem i centrum

Så, vilket kraftsystem som helst kan alltid ersättas av bara två kraftfaktorer - huvudvektor och huvudmoment i förhållande till ett godtyckligt valt reduktionscentrum . Uppenbarligen är kraftsystemets huvudvektor inte beroende av valet av reduktionscentrum (huvudvektorn sägs vara invariant med avseende på valet av reduktionscentrum). Det är också uppenbart att huvudmomentet inte har denna egenskap, så det är alltid nödvändigt att ange i förhållande till vilket centrum huvudmomentet bestäms.

2. Att föra kraftsystemet till dess enklaste form

Möjligheten till ytterligare förenkling av godtyckliga kraftsystem beror på värdet av deras huvudvektor och huvudmoment, såväl som på det framgångsrika valet av reduktionscentrum. Följande fall är möjliga:

a) , . I detta fall reduceras systemet till ett kraftpar med ett moment, vars värde inte beror på valet av reduktionscentrum.

b) , . Systemet reduceras till en resultant lika med , vars handlingslinje går genom mitten HANDLA OM.

c) och är inbördes vinkelräta. Systemet reduceras till en resultant som är lika med men inte passerar genom mitten HANDLA OM(Fig. 1.31).

Ris. 1.31. Att föra ett kraftsystem till en resultant

Låt oss ersätta huvudmomentet med ett par krafter, som visas i fig. 1.31. Låt oss definiera R från villkoret att MO = Rh. Sedan, baserat på statikens andra axiom, låt oss förkasta ett balanserat system med två krafter som appliceras vid en punkt HANDLA OM.

d) och parallella. Systemet drivs av en dynamisk skruv, med en axel som går genom mitten HANDLA OM(Fig. 1.32).

Ris. 1,32. Dynamisk skruv

e) och är inte lika med noll, och samtidigt är huvudvektorn och huvudmomentet inte parallella och inte vinkelräta mot varandra. Systemet drivs av en dynamisk skruv, men axeln går inte genom mitten HANDLA OM(Fig. 1.33).

Ris. 1,33. Det mest allmänna fallet med att reducera ett kraftsystem

Fall av reduktion till enklaste form

Föra till ett par

Låt, som ett resultat av att föra krafterna till centrum O, visar det sig att huvudvektorn är lika med noll, och huvudmomentet skiljer sig från noll: . Då kan vi, i kraft av statikens grundsats, skriva

Det betyder att det ursprungliga kraftsystemet i detta fall är ekvivalent med ett kraftpar med ett moment.

Parets moment beror inte på vilken punkt som väljs som momentcentrum vid beräkning av parets moment. Följaktligen bör huvudpoängen i detta fall inte bero på valet av reduktionscentrum. Men det är just den slutsatsen som relationen leder till

koppla samman huvudpunkterna angående två olika centra. När tilläggstermen också är lika med noll får vi

Reduktion till resulterande

Låt nu huvudvektorn inte är lika med noll, och huvudmomentet är lika med noll: . I kraft av statikens grundläggande sats har vi

det vill säga kraftsystemet visar sig vara ekvivalent med en kraft - huvudvektorn. Följaktligen, i detta fall, reduceras det ursprungliga kraftsystemet till en resultant, och denna resultant sammanfaller med huvudvektorn som appliceras i reduktionens centrum: .

Kraftsystemet reduceras till en resultant i det fall då huvudvektorn och huvudmomentet båda inte är lika med noll, utan inbördes vinkelräta: . Beviset utförs med hjälp av följande sekvens av åtgärder.

Genom reduktionens centrum O ritar vi ett plan vinkelrätt mot huvudmomentet (fig. 50, a). I figuren är detta plan kombinerat med ritplanet, och huvudvektorn är belägen i den. I detta plan bygger vi ett par med ett moment, och vi väljer att krafterna i paret ska vara lika stora som huvudvektorn; då kommer parets hävstång att vara lika med . Därefter flyttar vi paret i dess plan så att en av krafterna i paret appliceras i mitten av reduktionen O mittemot den huvudsakliga; den andra kraften hos paret kommer att appliceras vid punkt C, på avstånd från centrum O i den önskade riktningen, bestämd av riktningen, på ett avstånd OS lika med armen på paret h (fig. 50, b). Om vi ​​nu förkastar de balanserade krafterna R och - applicerade vid punkt O, kommer vi fram till en kraft som appliceras vid punkt C (fig. 50, c). Det kommer att tjäna som resultatet av detta kraftsystem.

Det kan ses att reaktionskraften fortfarande är lika med huvudvektorn, men skiljer sig från huvudvektorn i sin tillämpningspunkt. Om huvudvektorn appliceras vid reduktionscentrum O, är resultanten vid punkt C, vars position kräver en speciell definition. Den geometriska metoden för att hitta punkt C är synlig från konstruktionen ovan.

För ögonblicket för resultanten i förhållande till reduktionens centrum O kan vi skriva (se fig. 50):

eller, utelämna mellanvärden:

Om vi ​​projicerar denna vektorlikhet på någon axel som går genom punkt O, får vi motsvarande likhet i projektioner:

När vi kommer ihåg att projektionen av kraftmomentet relativt en punkt på en axel som passerar genom denna punkt är kraftmomentet relativt axeln, skriver vi om denna likhet enligt följande:

De resulterande likheterna uttrycker Varignons sats i dess allmänna form (i föreläsning 2 formulerades satsen endast för konvergerande krafter): om ett kraftsystem har en resultant, då momentet för denna resultant (relativt till en punkt, relativt en axel) är lika med summan av momenten för alla givna krafter - komponenter (relativt samma punkt, samma axel). Det är tydligt att i fallet med en punkt är summeringen av moment vektoriell, i fallet med en axel är den algebraisk.

Minskning till dynamik

Dynamia eller dynamisk skruv är kombinationen av ett par krafter och en kraft riktad vinkelrätt mot parets verkningsplan. Det kan visas att i det allmänna fallet med reduktion, när och inte är vinkelrät, är det ursprungliga kraftsystemet ekvivalent med viss dynamik.

Låt flera kraftpar med moment verkande i olika plan appliceras samtidigt på en stel kropp. Är det möjligt att reducera detta system av par till en enklare form? Det visar sig att det är möjligt, och svaret föreslås av följande sats om addition av två par.

Sats. Två kraftpar som verkar i olika plan är ekvivalenta med ett kraftpar med ett moment lika med den geometriska summan av momenten för de givna paren.

Låt paren definieras av deras moment och (Fig. 36, a). Låt oss konstruera två plan vinkelräta mot dessa vektorer (verkningsplanet för paren) och genom att välja ett visst segment AB på skärningslinjen för planen för axeln som är gemensam för båda paren, kommer vi att konstruera motsvarande par: (Fig. 36, b).

I enlighet med definitionen av ögonblicket för ett par, kan vi skriva

Vid punkterna A och B har vi konvergerande krafter. Genom att tillämpa regeln för parallellogram av krafter (axiom 3), kommer vi att ha:

De givna paren visar sig vara ekvivalenta med två krafter, som också bildar ett par. Därmed är den första delen av satsen bevisad. Den andra delen av satsen bevisas genom direkt beräkning av momentet för det resulterande paret:

Om det finns ett antal par kan valfritt antal par reduceras till ett par genom att addera dem i par i enlighet med denna sats. Som ett resultat kommer vi till följande slutsats: en uppsättning (system) av kraftpar som appliceras på en absolut stel kropp kan reduceras till ett par med ett moment lika med den geometriska summan av momenten för alla givna par.

Matematiskt kan detta skrivas så här:

I fig. Figur 37 ger en geometrisk illustration av den resulterande slutsatsen.

För jämvikt mellan kraftpar krävs att momentet för det resulterande paret är lika med noll, vilket leder till likheten

Detta tillstånd kan uttryckas i geometrisk och analytisk form. Geometriskt villkor för jämvikten mellan kraftpar: för att ett system av kraftpar ska vara i jämvikt är det nödvändigt och tillräckligt att vektorpolygonen som är konstruerad från momenten för alla par är stängd.

Analytiskt villkor för jämvikten av kraftpar: för att ett system av kraftpar ska vara i jämvikt är det nödvändigt och tillräckligt att de algebraiska summorna av projektionerna av momentvektorerna för alla par på godtyckligt valda koordinataxlar Oxyz är lika med noll:

Om alla par ligger i samma plan, det vill säga de bildar ett platt parsystem, erhålls endast ett analytiskt jämviktstillstånd - summan av parens algebraiska moment är lika med noll.

Självtestfrågor

1. Vad är kraftpolygonregeln? Vad används kraftpolygonen till?

2. Hur kan man hitta resultanten av konvergerande krafter analytiskt?

3. Vilket är det geometriska villkoret för jämvikten mellan konvergerande krafter? Hur formuleras samma tillstånd analytiskt?

4. Ange trekraftssatsen.

5. Vilka statiska problem kallas statiskt definierade och vilka kallas statiskt obestämda? Ge ett exempel på ett statiskt obestämt problem.

6. Vad kallas ett kraftpar?

7. Vad kallas momentet (vektormomentet) för ett kraftpar? Vilken är riktningen, storleken och tillämpningspunkten för ögonblicket?

8. Vad kallas det algebraiska momentet för ett par?

9. Formulera en regel för att lägga till par godtyckligt placerade i rymden.

10. Vilka är de vektormässiga, geometriska och analytiska förutsättningarna för jämvikten i ett kraftpar?