Hantverk

Hur löser man ett system av differentialekvationer med den operativa metoden? Operationell metod för att lösa linjära differentialekvationer och deras system Lösa differentialekvationssystem med Laplace-metoden

Låt oss överväga den operativa metoden för att lösa differentialekvationer med hjälp av exemplet på en tredje ordningens ekvation.

Antag att vi behöver hitta en speciell lösning på en linjär differentialekvation av tredje ordningen med konstanta koefficienter

som uppfyller de ursprungliga villkoren:

c 0, c 1, c 2 - givna siffror.

Med hjälp av egenskapen för differentiering av originalet skriver vi:

I ekvation (6.4.1), låt oss gå från original till bilder

Den resulterande ekvationen kallas operatör eller en ekvation i bilder. Lös det i förhållande till Y.

Algebraiska polynom i en variabel R.

Likheten kallas för differentialekvationens operatorlösning (6.4.1).

Att hitta originalet y(t), motsvarande den hittade bilden, får vi en speciell lösning på differentialekvationen.

Exempel: Med hjälp av operationskalkylmetoden, hitta en speciell lösning på en differentialekvation som uppfyller de givna initiala villkoren

Låt oss gå från original till bilder

Låt oss skriva den ursprungliga ekvationen i bilder och lösa den för Y

För att hitta originalet till den resulterande bilden faktoriserar vi bråkets nämnare och skriver det resulterande bråket som summan av enkla bråk.

Låt oss hitta koefficienterna A, B, Och MED.

Med hjälp av tabellen spelar vi in originalet av den resulterande bilden

Särskild lösning av den ursprungliga ekvationen.

Den operativa metoden tillämpas på liknande sätt för att lösa system av linjära differentialekvationer med konstanta koefficienter

Okända funktioner.

Låt oss gå vidare till bilderna

Vi får ett system för att representera ekvationer

Vi löser systemet med Cramers metod. Vi hittar bestämningsfaktorerna:

Att hitta en lösning på bildsystemet X(p), Y(p), Z(p).

Vi fick den nödvändiga lösningen av systemet

Med hjälp av operationskalkyl kan du hitta lösningar på linjära differentialekvationer med variabla koefficienter och partiella differentialekvationer; beräkna integraler. Samtidigt förenklas problemlösningen avsevärt. Det används för att lösa problem med matematiska fysikekvationer.

Frågor för självkontroll.

1. Vilken funktion kallas originalet?

2. Vilken funktion kallas originalets bild?

3. Heaviside funktion och dess image.

4. Skaffa en bild för originalens funktioner med hjälp av bilddefinitionen: f(t) =t , .

5. Skaffa bilder för funktioner med hjälp av egenskaperna hos Laplace-transformer.

6. Hitta originalens funktioner med hjälp av bildtabellen: ;

7. Hitta en speciell lösning på en linjär differentialekvation med hjälp av operationella kalkylmetoder.

Litteratur: s. 411-439, s. 572-594.

Exempel: s. 305-316.

LITTERATUR

1. Danko P.E. Högre matematik i övningar och problem. I 2 delar Del I: Lärobok. manual för högskolor/P.E. Danko, A.G. Popov, T.Ya. Kozhevnikova - M.: Högre. skola, 1997.– 304 sid.

2. Danko P.E. Högre matematik i övningar och problem. I 2 delar Del II: Lärobok. manual för högskolor/P.E. Danko, A.G. Popov, T.Ya. Kozhevnikova - M.: Högre. skola, 1997.– 416 sid.

3. Kaplan I.A. Praktiska klasser i högre matematik. Del 4./ I.A. Kaplan - Kharkov State University Publishing House, 1966, 236 sid.

4. Piskunov N.S. Differential- och integralkalkyl. I 2 volymer, volym 1: lärobok. manual för högskolor./ N.S. Piskunov - M.: red. ”Science”, 1972. – 456 sid.

5. Piskunov N.S. Differential- och integralkalkyl för högskolor. I 2 volymer, volym 2: lärobok. En manual för högskolor../ N.S. Piskunov – M.: red. ”Science”, 1972. – 456 sid.

6. Skrivet D.T. Föreläsningsanteckningar om högre matematik: komplett kurs.–4:e uppl./ D.T. Skriven – M.: Iris-press, 2006.–608 s. - (Högre utbildning).

7. Slobodskaya V.A. Kort kurs i högre matematik. Ed. 2:a, omarbetad och ytterligare Lärobok manual för högskolor./ V.A. Slobodskaya - M.: Högre. skola, 1969.– 544 sid.

Föreläsningsanteckningar Högre matematik

för elever i riktning 6.070104 "Sjö- och flodtransport"

specialitet "Drift av fartygskraftverk"

heltids- och deltidskurser 2:a år

Upplaga______ kopior Signerad för publicering ______________

Beställningsnr.__________. Volym__2,78__p.l.

Förlaget "Kerch State Marine Technological University"

98309 Kerch, Ordzhonikidze, 82

Det är en varm tid ute, poppelludden flyger och det här vädret bidrar till avkoppling. Under läsåret har alla samlat på sig trötthet, men förväntan på sommarlov/semester borde inspirera dem att klara prov och prov. Lärarna är förresten också tråkiga under säsongen, så snart ska jag också ta en time out för att lasta av hjärnan. Och nu finns det kaffe, systemenhetens rytmiska surrande, några döda myggor på fönsterbrädan och ett helt fungerande skick... ...åh, fan... den jävla poeten.

Till poängen. Vem bryr sig, men idag är det den 1 juni för mig, och vi ska titta på ett annat typiskt problem med komplex analys - hitta en speciell lösning på ett system av differentialekvationer med hjälp av operationskalkylmetoden. Vad behöver du veta och kunna för att lära dig att lösa det? För det första, rekommenderas starkt hänvisa till lektionen. Vänligen läs den inledande delen, förstå det allmänna uttalandet av ämnet, terminologi, notation och minst två eller tre exempel. Faktum är att med diffusorsystem blir allt nästan detsamma och ännu enklare!

Självklart måste du förstå vad det är system av differentialekvationer, vilket innebär att hitta en generell lösning på systemet och en speciell lösning på systemet.

Låt mig påminna dig om att systemet med differentialekvationer kan lösas på det "traditionella" sättet: genom eliminering eller med hjälp av den karakteristiska ekvationen. Metoden för operationskalkyl som kommer att diskuteras är tillämplig på fjärrkontrollsystemet när uppgiften är formulerad enligt följande:

Hitta en speciell lösning på ett homogent system av differentialekvationer , motsvarande de ursprungliga villkoren .

Alternativt kan systemet vara heterogent - med "tilläggsvikter" i form av funktioner och på höger sidor:

Men i båda fallen måste du vara uppmärksam på två grundläggande punkter i tillståndet:

1) Det handlar om bara om en privat lösning.
2) Inom parentes av initiala villkor är strikt nollor, och ingenting annat.

Den allmänna kursen och algoritmen kommer att vara mycket lik lösa en differentialekvation med den operativa metoden. Från referensmaterialet behöver du detsamma tabell över original och bilder.

Exempel 1

, ,

Lösning: Början är trivial: att använda Laplace transform tabeller Låt oss gå vidare från originalen till motsvarande bilder. I ett problem med fjärrkontrollsystem är denna övergång vanligtvis enkel:

Med hjälp av tabellformler nr 1, 2, med hänsyn till initialtillståndet, får vi:

Vad ska man göra med "spelen"? Ändra "X" i tabellen mentalt till "Jag". Genom att använda samma transformationer nr 1, 2, med hänsyn till initialtillståndet, finner vi:

Låt oss ersätta de hittade bilderna i den ursprungliga ekvationen :

Nu i de vänstra delarna ekvationer måste samlas in Allt termer där eller är närvarande. Till de rätta delarna ekvationer måste "formaliseras" Övrig villkor:

Därefter, på vänster sida av varje ekvation, utför vi bracketing:

I det här fallet bör följande placeras i de första positionerna och i de andra positionerna:

Det resulterande ekvationssystemet med två okända löses vanligtvis enligt Cramers formler. Låt oss beräkna huvuddeterminanten för systemet:

Som ett resultat av beräkningen av determinanten erhölls ett polynom.

Viktig teknik! Detta polynom är bättre Genast försök att faktorisera det. För dessa ändamål bör man försöka lösa andragradsekvationen , men det kommer många läsare med tränat andraårsöga att märka .

Därför är vår huvudsakliga bestämningsfaktor för systemet:

Ytterligare demontering av systemet, tack Kramer, är standard:

Som ett resultat får vi operatörslösning av systemet:

Fördelen med uppgiften i fråga är att bråken oftast visar sig vara enkla, och att hantera dem är mycket lättare än med bråk i problem hitta en speciell lösning på en DE med hjälp av den operativa metoden. Din föraning bedrog dig inte - den gamla goda metod för osäkra koefficienter, med hjälp av vilken vi sönderdelar varje fraktion i elementära fraktioner:

1) Låt oss ta itu med den första bråkdelen:

Således:

2) Vi bryter ner den andra fraktionen enligt ett liknande schema, men det är mer korrekt att använda andra konstanter (odefinierade koefficienter):

Således:

Jag råder dummies att skriva ner den nedbrutna operatörslösningen i följande form:
- detta kommer att göra det sista steget tydligare - den omvända Laplace-transformen.

Använd den högra kolumnen i tabellen och låt oss gå från bilderna till motsvarande original:

Enligt reglerna för gott matematiskt sätt kommer vi att städa upp resultatet lite:

Svar:

Svaret kontrolleras enligt ett standardschema, som diskuteras i detalj i lektionen. Hur löser man ett system av differentialekvationer? Försök alltid att slutföra det för att ge ett stort plus till uppgiften.

Exempel 2

Använd operationskalkyl för att hitta en speciell lösning på ett system av differentialekvationer som motsvarar de givna initialvillkoren.
, ,

Detta är ett exempel för dig att lösa på egen hand. Ett ungefärligt exempel på problemets slutliga form och svaret i slutet av lektionen.

Att lösa ett icke-homogent system av differentialekvationer är algoritmiskt inte annorlunda, förutom att det tekniskt kommer att vara lite mer komplicerat:

Exempel 3

Använd operationskalkyl för att hitta en speciell lösning på ett system av differentialekvationer som motsvarar de givna initialvillkoren.
, ,

Lösning: Med hjälp av Laplace-transformtabellen, med hänsyn till de initiala förhållandena , låt oss gå från originalen till motsvarande bilder:

Men det är inte allt, det finns ensamma konstanter på höger sida av ekvationerna. Vad ska man göra i de fall konstanten är helt ensam på egen hand? Detta diskuterades redan i klassen. Hur man löser en DE med den operativa metoden. Låt oss upprepa: enkla konstanter ska mentalt multipliceras med en, och följande Laplace-transform ska tillämpas på enheterna:

Låt oss ersätta de hittade bilderna i det ursprungliga systemet:

Låt oss flytta termerna som innehåller , till vänster och placera de återstående termerna på höger sida:

På de vänstra sidorna kommer vi att utföra bracketing, dessutom kommer vi att föra den högra sidan av den andra ekvationen till en gemensam nämnare:

Låt oss beräkna huvuddeterminanten för systemet och inte glömma att det är lämpligt att omedelbart försöka faktorisera resultatet:
, vilket innebär att systemet har en unik lösning.

Låt oss gå vidare:

Således är operatörslösningen för systemet:

Ibland kan en eller till och med båda fraktionerna reduceras, och ibland så framgångsrikt att det praktiskt taget inte finns något behov av att expandera något! Och i vissa fall får du en freebie direkt, förresten, följande exempel på lektionen kommer att vara ett vägledande exempel.

Med metoden för obestämda koefficienter får vi summan av elementära bråk.

Låt oss bryta ner den första bråkdelen:

Och vi uppnår den andra:

Som ett resultat får operatörslösningen den form vi behöver:

Använder den högra kolumnen tabeller med original och bilder Vi utför den omvända Laplace-transformen:

Låt oss ersätta de resulterande bilderna med operatörslösningen för systemet:

Svar: privat lösning:

Som du kan se är det i ett heterogent system nödvändigt att utföra mer arbetsintensiva beräkningar jämfört med ett homogent system. Låt oss titta på ytterligare ett par exempel med sinus och cosinus, och det räcker, eftersom nästan alla typer av problemet och de flesta av lösningens nyanser kommer att övervägas.

Exempel 4

Med hjälp av operationskalkylmetoden, hitta en speciell lösning på ett system av differentialekvationer med givna initiala villkor,

Lösning: Jag kommer också att analysera det här exemplet själv, men kommentarerna kommer bara att gälla speciella ögonblick. Jag antar att du redan är väl insatt i lösningsalgoritmen.

Låt oss gå vidare från originalen till motsvarande bilder:

Låt oss ersätta de hittade bilderna med det ursprungliga fjärrkontrollsystemet:

Låt oss lösa systemet med Cramers formler:
, vilket innebär att systemet har en unik lösning.

Det resulterande polynomet kan inte faktoriseras. Vad ska man göra i sådana fall? Absolut ingenting. Den här kommer också att göra.

Som ett resultat är operatörslösningen för systemet:

Här är den lyckliga biljetten! Det finns inget behov av att använda metoden med obestämda koefficienter alls! Det enda är, för att tillämpa tabelltransformationer, skriver vi om lösningen i följande form:

Låt oss gå vidare från bilderna till motsvarande original:

Låt oss ersätta de resulterande bilderna med operatörslösningen för systemet:

Heaviside expansionsformel

Låt bilden av funktionen vara en bråkdel rationell funktion.

Sats. Låt, var och är differentierbara funktioner. Låt oss introducera funktionens båda poler, dvs. rötter (nollor) av dess nämnare. Sedan, om vi får Heaviside-formeln:

Vi utför beviset för fallet när och är polynom av grader T Och P följaktligen medan T P. Då är det en ordentlig rationell bråkdel. Låt oss presentera det som en summa av enkla bråk:

Härifrån hittar vi koefficienterna från identitet (17.2) och skriver om den i formen

Låt oss multiplicera båda sidorna av den sista likheten med och gå till gränsen vid. Med tanke på det och, vi får

varifrån följer (17.1). Teoremet är bevisat.

Anteckning 1. Om koefficienterna för polynom är reella, är polynomets komplexa rötter parvis konjugerade. Följaktligen kommer de komplexa konjugerade kvantiteterna i formel (17.1) att vara termerna som motsvarar polynomets komplexa konjugerade rötter, och Heaviside-formeln kommer att ha formen

där den första summan utökas till alla reella rötter i polynomet, den andra - till alla dess komplexa rötter med positiva imaginära delar.

Anteckning 2. Varje term i formeln (17.1) representerar en oscillation skriven i komplex form, där. Sålunda motsvarar reella rötter () aperiodiska svängningar, komplexa rötter med negativa reella delar motsvarar dämpade svängningar och rent imaginära rötter motsvarar odämpade harmoniska svängningar.

Om nämnaren inte har rötter med positiva reella delar, får vi för tillräckligt stora värden ett stabilt tillstånd:

Rent imaginära rötter av ett polynom med positiva imaginära delar.

Svängningar som motsvarar rötter med negativa reella delar avklingar exponentiellt vid och går därför inte in i det stationära tillståndet.

Exempel 1. Hitta originalbilden

Lösning. Vi har. Låt oss skriva ner rötterna till polynomet: .

Enligt formel (17.1)

Här, eftersom talen är rötterna till ekvationen. Därav,

Exempel 2. Hitta originalbilden

Var A 0; .

Lösning. Här har funktionen, förutom den uppenbara roten, oändligt många rötter, som är nollor till funktionen. När vi löser ekvationen kommer vi vart

Sålunda har nämnarens rötter formen och, var

Med formeln (17.3) hittar vi originalet

Operatörsmetod för att lösa differentialekvationer

Differentialekvationer. Betrakta Cauchy-problemet för en linjär differentialekvation

(här) med initiala villkor

Övergång till bilder i (18.1), på grund av linjäriteten i Laplace-transformen, kommer vi att ha

Med hjälp av sats 3 i § 16 och initiala villkor (18.2) skriver vi bilderna av derivator i formen

Genom att ersätta (18.4) med (18.3), efter enkla transformationer får vi operatorekvationen

där (karakteristiskt polynom); .

Från ekvation (18.5) finner vi operatorlösningen

Lösningen på Cauchy-problemet (18.1), (18.2) är den ursprungliga operatörslösningen (18.6):

För Cauchy-problemet kan vi skriva i den accepterade notationen

Operatorekvationen har formen

Låt oss sönderdela operatorlösningen i enkla fraktioner:

Med hjälp av formlerna som erhålls i § 15 får vi originalen:

Således kommer lösningen på Cauchy-problemet att ha formen

Exempel 1. Lös Cauchy-problemet för en differentialekvation med initiala villkor, där.

Lösning.

Dess lösning har formen

Med hjälp av sats 2 i § 16 finner vi konsekvent:

Exempel 2. Lös Cauchy-problemet för en differentialekvation med noll initiala villkor, där är stegimpulsfunktionen.

Lösning. Låt oss skriva operatorekvationen

och hans beslut

Av sats 2 i § 16 följer

i enlighet med retardationssatsen (§ 15)

Till sist,

Exempel 3. Per poängmassa T, fäst vid fjädern genom en styvhet Med och placerad på ett jämnt horisontellt plan verkar en periodiskt föränderlig kraft. Vid ett ögonblick utsattes spetsen för en stöt som bar en impuls. Om du försummar motstånd, hitta rörelselagen för en punkt om den vid det första ögonblicket var i vila vid koordinaternas ursprung.

Lösning. Vi skriver rörelseekvationen i formen

var är elastisk kraft; - Dirac-funktion. Låt oss lösa operatorekvationen

Om (fall av resonans), alltså

Genom fördröjningssatsen

Till sist,

Duhamels integral (formel). Låt oss betrakta Cauchy-problemet för ekvation (18.1) under initiala förhållanden. Operatörslösningen har i detta fall formen

Låt viktfunktionen vara originalet för. sedan genom sats 1 i § 16 erhåller vi

Relation (18.7) kallas Duhamels integral (formel).

Kommentar. För initiala förhållanden som inte är noll är Duhamels formel inte direkt tillämplig. I det här fallet är det nödvändigt att först omvandla det ursprungliga problemet till ett problem med homogena (noll) initiala villkor. För att göra detta introducerar vi en ny funktion, förutsatt

var är startvärdena för den önskade lösningen.

Hur lätt det är att se, och därför .

Funktionen är alltså en lösning till ekvation (18.1) med den högra sidan erhållen genom att ersätta (18.8) i (18.1), med noll initialdata.

Med hjälp av (18.7) hittar vi och.

Exempel 4. Använd Duhamel-integralen för att hitta en lösning på Cauchy-problemet

med initiala villkor.

Lösning. Initialdata är icke-noll. Vi antar, i enlighet med (18.8), . Sedan, för definitionen, får vi en ekvation med homogena initiala villkor.

För det aktuella problemet, ett karakteristiskt polynom, en viktfunktion. Enligt Duhamels formel

Till sist,

System av linjära differentialekvationer med konstanta koefficienter. Cauchy-problemet för ett system av linjära differentialekvationer i matrisnotation har formen

var är vektorn för de nödvändiga funktionerna; - vektor av höger sidor; - koefficientmatris; - vektor av initiala data.

Självklart måste du förstå vad det är system av differentialekvationer, vilket innebär att hitta en generell lösning på systemet och en speciell lösning på systemet.

Hitta en speciell lösning på ett homogent system av differentialekvationer , motsvarande de ursprungliga villkoren .

Alternativt kan systemet vara heterogent - med "tilläggsvikter" i form av funktioner och på höger sidor:

Men i båda fallen måste du vara uppmärksam på två grundläggande punkter i tillståndet:

1) Det handlar om bara om en privat lösning.
2) Inom parentes av initiala villkor är strikt nollor, och ingenting annat.

Exempel 1

, ,

Med hjälp av tabellformler nr 1, 2, med hänsyn till initialtillståndet, får vi:

Vad ska man göra med "spelen"? Ändra "X" i tabellen mentalt till "Jag". Genom att använda samma transformationer nr 1, 2, med hänsyn till initialtillståndet, finner vi:

Låt oss ersätta de hittade bilderna i den ursprungliga ekvationen :

Nu i de vänstra delarna ekvationer måste samlas in Allt termer där eller är närvarande. Till de rätta delarna ekvationer måste "formaliseras" Övrig villkor:

Därefter, på vänster sida av varje ekvation, utför vi bracketing:

I det här fallet bör följande placeras i de första positionerna och i de andra positionerna:

Det resulterande ekvationssystemet med två okända löses vanligtvis enligt Cramers formler. Låt oss beräkna huvuddeterminanten för systemet:

Som ett resultat av beräkningen av determinanten erhölls ett polynom.

Därför är vår huvudsakliga bestämningsfaktor för systemet:

Ytterligare demontering av systemet, tack Kramer, är standard:

Som ett resultat får vi operatörslösning av systemet:

1) Låt oss ta itu med den första bråkdelen:

Således:

2) Vi bryter ner den andra fraktionen enligt ett liknande schema, men det är mer korrekt att använda andra konstanter (odefinierade koefficienter):

Således:

Jag råder dummies att skriva ner den nedbrutna operatörslösningen i följande form:
- detta kommer att göra det sista steget tydligare - den omvända Laplace-transformen.

Använd den högra kolumnen i tabellen och låt oss gå från bilderna till motsvarande original:

Enligt reglerna för gott matematiskt sätt kommer vi att städa upp resultatet lite:

Svar:

Exempel 2

Använd operationskalkyl för att hitta en speciell lösning på ett system av differentialekvationer som motsvarar de givna initialvillkoren.
, ,

Detta är ett exempel för dig att lösa på egen hand. Ett ungefärligt exempel på problemets slutliga form och svaret i slutet av lektionen.

Att lösa ett icke-homogent system av differentialekvationer är algoritmiskt inte annorlunda, förutom att det tekniskt kommer att vara lite mer komplicerat:

Exempel 3

Använd operationskalkyl för att hitta en speciell lösning på ett system av differentialekvationer som motsvarar de givna initialvillkoren.
, ,

Lösning: Med hjälp av Laplace-transformtabellen, med hänsyn till de initiala förhållandena , låt oss gå från originalen till motsvarande bilder:

Låt oss ersätta de hittade bilderna i det ursprungliga systemet:

Låt oss flytta termerna som innehåller , till vänster och placera de återstående termerna på höger sida:

På de vänstra sidorna kommer vi att utföra bracketing, dessutom kommer vi att föra den högra sidan av den andra ekvationen till en gemensam nämnare:

Låt oss beräkna huvuddeterminanten för systemet och inte glömma att det är lämpligt att omedelbart försöka faktorisera resultatet:
, vilket innebär att systemet har en unik lösning.

Låt oss gå vidare:

Således är operatörslösningen för systemet:

Med metoden för obestämda koefficienter får vi summan av elementära bråk.

Låt oss bryta ner den första bråkdelen:

Och vi uppnår den andra:

Som ett resultat får operatörslösningen den form vi behöver:

Använder den högra kolumnen tabeller med original och bilder Vi utför den omvända Laplace-transformen:

Låt oss ersätta de resulterande bilderna med operatörslösningen för systemet:

Svar: privat lösning:

Exempel 4

Med hjälp av operationskalkylmetoden, hitta en speciell lösning på ett system av differentialekvationer med givna initiala villkor,

Lösning: Jag kommer också att analysera det här exemplet själv, men kommentarerna kommer bara att gälla speciella ögonblick. Jag antar att du redan är väl insatt i lösningsalgoritmen.

Låt oss gå vidare från originalen till motsvarande bilder:

Låt oss ersätta de hittade bilderna med det ursprungliga fjärrkontrollsystemet:

Låt oss lösa systemet med Cramers formler:
, vilket innebär att systemet har en unik lösning.

Det resulterande polynomet kan inte faktoriseras. Vad ska man göra i sådana fall? Absolut ingenting. Den här kommer också att göra.

Som ett resultat är operatörslösningen för systemet:

Låt oss gå vidare från bilderna till motsvarande original:

Låt oss ersätta de resulterande bilderna med operatörslösningen för systemet:

Hur man löser en differentialekvation
operationell kalkylmetod?

I den här lektionen kommer en typisk och utbredd uppgift med komplex analys att diskuteras i detalj - hitta en speciell lösning på en 2:a ordningens DE med konstanta koefficienter med hjälp av operationskalkylmetoden. Gång på gång befriar jag dig från förförståelsen att materialet är ofattbart komplext och otillgängligt. Det är roligt, men för att bemästra exemplen kanske du inte kan särskilja, integrera och ens inte veta vad det är komplexa tal. Applikationsförmåga krävs metod för osäkra koefficienter, som diskuteras i detalj i artikeln Integration av bråk-rationella funktioner. Faktum är att grundstenen i uppdraget är enkla algebraiska operationer, och jag är övertygad om att materialet är tillgängligt även för en gymnasieelev.

Först, kortfattad teoretisk information om det avsnitt av matematisk analys som övervägs. Huvudsaken operativ kalkylär som följer: funktion giltig variabel med hjälp av den så kallade Laplace transformation visas i fungera omfattande variabel :

Terminologi och beteckningar:
funktionen kallas original;
funktionen kallas bild;
stor bokstav betecknar Laplace transformation.

Enkelt uttryckt måste en verklig funktion (original) enligt vissa regler omvandlas till en komplex funktion (bild). Pilen indikerar just denna transformation. Och det är de "vissa reglerna" själva Laplace transformation, som vi endast formellt kommer att överväga, vilket kommer att vara ganska tillräckligt för att lösa problem.

Den omvända Laplace-transformen är också möjlig när bilden omvandlas till originalet:

Varför behövs allt detta? I ett antal högre matematikproblem kan det vara mycket fördelaktigt att byta från original till bilder, eftersom i det här fallet är lösningen på problemet avsevärt förenklad (bara skojar). Och vi kommer att överväga bara ett av dessa problem. Om du har levt för att se operationell kalkyl, bör formuleringen vara mycket bekant för dig:

Hitta en speciell lösning på en andra ordningens inhomogen ekvation med konstanta koefficienter för givna initiala villkor.

Notera: ibland kan differentialekvationen vara homogen: , för det i ovanstående formulering är metoden för operationskalkyl också tillämplig. Dock i praktiska exempel homogen DE av andra ordningenär extremt sällsynt, och vidare kommer vi att prata om inhomogena ekvationer.

Och nu kommer den tredje metoden att diskuteras - att lösa differentialekvationer med hjälp av operationskalkyl. Än en gång betonar jag det faktum att vi talar om att hitta en speciell lösning, Förutom, de initiala villkoren har strikt formen("X" är lika med nollor).

Förresten, om "X:en". Ekvationen kan skrivas om enligt följande:
, där "x" är en oberoende variabel och "y" är en funktion. Det är ingen slump att jag pratar om detta, eftersom andra bokstäver oftast används i det aktuella problemet:

Det vill säga, rollen för den oberoende variabeln spelas av variabeln "te" (istället för "x"), och rollen för funktionen spelas av variabeln "x" (istället för "y")

Jag förstår att det är obekvämt, naturligtvis, men det är bättre att hålla sig till notationerna som finns i de flesta problemböcker och utbildningsmanualer.

Så vårt problem med andra bokstäver är skrivet så här:

Hitta en speciell lösning på en andra ordningens inhomogen ekvation med konstanta koefficienter för givna initiala villkor .

Innebörden av uppgiften har inte förändrats alls, bara bokstäverna har ändrats.

Hur löser man detta problem med hjälp av operationskalkylmetoden?

Först och främst behöver du tabell över original och bilder. Detta är ett viktigt lösningsverktyg, och du kan inte klara dig utan det. Försök därför om möjligt att skriva ut referensmaterialet som tillhandahålls. Låt mig omedelbart förklara vad bokstaven "pe" betyder: en komplex variabel (istället för det vanliga "z"). Även om detta faktum inte är särskilt viktigt för att lösa problem, är "pe" "pe".

Med hjälp av tabellen måste originalen konverteras till några bilder. Vad som följer är en serie typiska åtgärder, och den omvända Laplace-transformen används (även i tabellen). Således kommer den önskade specifika lösningen att hittas.

Alla problem, vilket är trevligt, löses enligt en ganska strikt algoritm.

Exempel 1

, ,

Lösning: I det första steget kommer vi att flytta från originalen till motsvarande bilder. Vi använder vänster sida.

Låt oss först titta på den vänstra sidan av den ursprungliga ekvationen. För Laplace-transformen har vi linjäritetsregler, därför ignorerar vi alla konstanter och arbetar separat med funktionen och dess derivator.

Med hjälp av tabellformel nr 1 transformerar vi funktionen:

Enligt formel nr 2 , med hänsyn till initialtillståndet, transformerar vi derivatan:

Med hjälp av formel nr 3, med hänsyn till de initiala förhållandena, transformerar vi den andra derivatan:

Bli inte förvirrad av tecknen!

Jag erkänner att det är mer korrekt att inte säga "formler", utan "transformationer", men för enkelhetens skull kommer jag då och då att kalla innehållet i tabellformlerna.

Låt oss nu titta på höger sida, som innehåller polynomet. På grund av detsamma linjäritetsregler Laplace transform, vi arbetar med varje term för sig.

Låt oss titta på den första termen: - detta är den oberoende variabeln "te" multiplicerad med en konstant. Vi ignorerar konstanten och, med hjälp av punkt nr 4 i tabellen, utför transformationen:

Låt oss titta på den andra termen: –5. När en konstant hittas ensam kan den inte längre hoppas över. Med en enda konstant gör de detta: för tydlighetens skull kan den representeras som en produkt: , och transformationen kan tillämpas på enhet:

Således, för alla element (original) i differentialekvationen, hittades motsvarande bilder med hjälp av tabellen:

Låt oss ersätta de hittade bilderna i den ursprungliga ekvationen:

Nästa uppgift är att uttrycka operatörslösning genom allt annat, nämligen genom en bråkdel. I det här fallet är det tillrådligt att följa följande procedur:

Öppna först fästena på vänster sida:

Vi presenterar liknande termer på vänster sida (om de finns). I det här fallet lägger vi till siffrorna –2 och –3. Jag rekommenderar starkt att tekannor inte hoppar över detta steg:

Till vänster lämnar vi termerna som innehåller , och flyttar de återstående termerna till höger med ett teckenbyte:

På vänster sida sätter vi operatörslösningen utanför parentes, på höger sida reducerar vi uttrycket till en gemensam nämnare:

Polynomet till vänster bör faktoriseras (om möjligt). Lösa andragradsekvationen:

Således:

Vi återställer till nämnaren på höger sida:

Målet har uppnåtts - operatörslösningen uttrycks i termer av en bråkdel.

Akt två. Använder sig av metod för osäkra koefficienter, operatorlösningen för ekvationen bör expanderas till en summa av elementära bråk:

Låt oss likställa koefficienterna vid motsvarande potenser och lösa systemet:

Om du har några problem med snälla ta reda på artiklarna Integrering av en bråk-rationell funktion Och Hur löser man ett ekvationssystem? Detta är mycket viktigt eftersom fraktioner i huvudsak är den viktigaste delen av problemet.

Så koefficienterna hittas: , och operatörslösningen visas framför oss i demonterad form:

Observera att konstanter inte skrivs i bråktäljare. Denna form av inspelning är mer lönsam än . Och det är mer lönsamt, eftersom den slutliga åtgärden kommer att ske utan förvirring och fel:

Det sista steget i problemet är att använda den omvända Laplace-transformen för att flytta från bilderna till motsvarande original. Använder den högra kolumnen tabeller med original och bilder.

Kanske inte alla förstår omvandlingen. Formeln för punkt nr 5 i tabellen används här: . I mer detalj: . Faktiskt, för liknande fall kan formeln ändras: . Och alla tabellformler i punkt nr 5 är mycket lätta att skriva om på liknande sätt.

Efter den omvända övergången erhålls den önskade partiella lösningen av DE på ett silverfat:

Var:

Blev:

Svar: privat lösning:

Om du har tid är det alltid lämpligt att göra en kontroll. Testet utförs enligt standardschemat, som redan har diskuterats i klassen. Inhomogena differentialekvationer av 2:a ordningen. Låt oss upprepa:

Låt oss kontrollera uppfyllandet av det ursprungliga villkoret:
- Gjort.

Låt oss hitta den första derivatan:

Låt oss kontrollera uppfyllandet av det andra initiala villkoret:
- Gjort.

Låt oss hitta den andra derivatan:

Låt oss ersätta , och till vänster om den ursprungliga ekvationen:

Den högra sidan av den ursprungliga ekvationen erhålls.

Slutsats: uppgiften genomfördes korrekt.

Ett litet exempel på din egen lösning:

Exempel 2

Med hjälp av operationskalkyl, hitta en speciell lösning på en differentialekvation under givna initiala förhållanden.

Ett ungefärligt urval av den slutliga uppgiften i slutet av lektionen.

Den vanligaste gästen i differentialekvationer, som många länge har märkt, är exponentialer, så låt oss överväga några exempel med dem, deras släktingar:

Exempel 3

, ,

Lösning: Med hjälp av Laplace-transformationstabellen (vänster sida av bordet) går vi från originalen till motsvarande bilder.

Låt oss först titta på vänster sida av ekvationen. Det finns ingen första derivata där. Än sen då? Bra. Mindre jobb. Med hänsyn till de initiala förhållandena, med hjälp av tabellformler nr 1, 3 hittar vi bilderna:

Titta nu på höger sida: – produkten av två funktioner. För att kunna utnyttja linjäritetsegenskaper Laplace transform, du måste öppna fästena: . Eftersom konstanterna finns i produkterna glömmer vi bort dem, och med hjälp av grupp nr 5 med tabellformler hittar vi bilderna:

Låt oss ersätta de hittade bilderna i den ursprungliga ekvationen:

Låt mig påminna dig om att nästa uppgift är att uttrycka operatörslösningen i termer av en enstaka bråkdel.

På vänster sida lämnar vi termerna som innehåller , och flyttar de återstående termerna till höger sida. Samtidigt börjar vi på höger sida att sakta reducera bråken till en gemensam nämnare:

Till vänster tar vi det ur parentes, till höger tar vi uttrycket till en gemensam nämnare:

På vänster sida får vi ett polynom som inte kan faktoriseras. Om polynomet inte kan faktoriseras, måste den stackars mannen omedelbart kastas till botten av höger sida, med benen betongda i bassängen. Och i täljaren öppnar vi parenteserna och presenterar liknande termer:

Det mest mödosamma skedet har kommit: metod för obestämda koefficienter Låt oss expandera operatorlösningen av ekvationen till en summa av elementära bråk:

Således:

Lägg märke till hur fraktionen sönderdelas: , jag ska snart förklara varför det är så.

Slutför: låt oss gå från bilderna till motsvarande original, använd den högra kolumnen i tabellen:

I de två lägre transformationerna användes formlerna nr 6 och 7 i tabellen, och fraktionen förexpanderades bara för att "passa" den till tabelltransformationerna.

Som ett resultat, en speciell lösning:

Svar: den specifika lösningen som krävs:

Ett liknande exempel för en gör-det-själv-lösning:

Exempel 4

Hitta en speciell lösning på en differentialekvation med hjälp av operationskalkylmetoden.

En kort lösning och svar i slutet av lektionen.

I exempel 4 är ett av initialvillkoren noll. Detta förenklar verkligen lösningen, och det mest idealiska alternativet är när båda initiala villkoren är noll: . I det här fallet konverteras derivaten till bilder utan svansar:

Som redan nämnts är den svåraste tekniska aspekten av problemet expansionen av fraktionen metod för obestämda koefficienter, och jag har ganska arbetskrävande exempel till mitt förfogande. Jag kommer dock inte att skrämma någon med monster; låt oss överväga ett par mer typiska varianter av ekvationen:

Exempel 5

Med hjälp av operationskalkylmetoden, hitta en speciell lösning på differentialekvationen som uppfyller de givna initialvillkoren.
, ,

Lösning: Med hjälp av Laplace-transformationstabellen flyttar vi från originalen till motsvarande bilder. Med tanke på de ursprungliga förutsättningarna :

Det är inga problem med höger sida heller:

(Kom ihåg att multiplikatorkonstanter ignoreras)

Låt oss ersätta de resulterande bilderna i den ursprungliga ekvationen och utföra standardåtgärder, som jag hoppas att du redan har fungerat bra:

Vi tar konstanten i nämnaren utanför bråket, det viktigaste är att inte glömma det senare:

Jag funderade på om jag skulle ta bort ytterligare två från täljaren, men efter att ha inventerat kom jag till slutsatsen att detta steg praktiskt taget inte skulle förenkla det ytterligare beslutet.

Det speciella med uppgiften är den resulterande bråkdelen. Det verkar som att dess nedbrytning kommer att vara lång och svår, men utseendet är vilseledande. Naturligtvis finns det svåra saker, men i alla fall - framåt, utan rädsla och tvivel:

Det faktum att vissa odds visade sig vara bråkdelar borde inte vara förvirrande denna situation är inte ovanlig. Om bara datortekniken inte misslyckades. Dessutom finns det alltid möjlighet att kontrollera svaret.

Som ett resultat är operatörslösningen: