Annonsering på portalen

Avstånd från en punkt till ett plan. Detaljerad teori med exempel (2020) metod. Vector metod

PROBLEM C2 I UNIFORM STATENS EXAMEN I MATEMATIK FÖR ATT FINNA AVSTÅNDET FRÅN EN PUNKT TILL ETT PLAN

Kulikova Anastasia Yurievna

5:e årsstudent, Matematikavdelningen. analys, algebra och geometri EI KFU, Ryska federationen, Republiken Tatarstan, Elabuga

Ganeeva Aigul Rifovna

vetenskaplig handledare, Ph.D. ped. Vetenskaper, docent EI KFU, Ryska federationen, Republiken Tatarstan, Elabuga

Under de senaste åren har uppgifter om att beräkna avståndet från en punkt till ett plan dykt upp i Unified State Examination-uppgifter i matematik. I den här artikeln, med hjälp av exemplet på ett problem, övervägs olika metoder för att hitta avståndet från en punkt till ett plan. Den mest lämpliga metoden kan användas för att lösa olika problem. Efter att ha löst ett problem med en metod kan du kontrollera resultatets riktighet med en annan metod.

Definition. Avståndet från en punkt till ett plan som inte innehåller denna punkt är längden på det vinkelräta segmentet ritat från denna punkt till det givna planet.

Uppgift. Givet en rektangulär parallellepiped ABMEDD.A. 1 B 1 C 1 D 1 med sidor AB=2, FÖRE KRISTUS.=4, A.A. 1 = 6. Hitta avståndet från punkten D att flyga ACD 1 .

1 sätt. Använder sig av definition. Hitta avståndet r( D, ACD 1) från punkt D att flyga ACD 1 (fig. 1).

Figur 1. Första metoden

Låt oss genomföra D.H.⊥AC, därför genom satsen om tre perpendikulära D 1 H⊥AC Och (DD 1 H)⊥AC. Låt oss genomföra direkt D.T. vinkelrät D 1 H. Hetero D.T. ligger i ett plan DD 1 H, därav D.T.⊥A.C.. Därav, D.T.⊥ACD 1.

ADC låt oss hitta hypotenusan AC och höjd D.H.

Från en rätvinklig triangel D 1 D.H. låt oss hitta hypotenusan D 1 H och höjd D.T.

Svar: .

Metod 2.Volymmetod (användning av en hjälppyramid). Ett problem av denna typ kan reduceras till problemet med att beräkna höjden på en pyramid, där höjden på pyramiden är det erforderliga avståndet från en punkt till ett plan. Bevisa att denna höjd är det nödvändiga avståndet; hitta volymen av denna pyramid på två sätt och uttryck denna höjd.

Observera att med denna metod finns det inget behov av att konstruera en vinkelrät från en given punkt till ett givet plan.

En kuboid är en parallellepiped vars alla ytor är rektanglar.

AB=CD=2, FÖRE KRISTUS.=AD=4, A.A. 1 =6.

Det erforderliga avståndet är höjden h pyramider ACD 1 D, sänkt från toppen D på basen ACD 1 (Fig. 2).

Låt oss beräkna pyramidens volym ACD 1 D två sätt.

Vid beräkning tar vi på det första sättet ∆ som bas ACD 1 då

Vid beräkning på det andra sättet tar vi ∆ som bas ACD, Då

Låt oss likställa de högra sidorna av de två sista likheterna och få

Figur 2. Andra metoden

Från räta trianglar ACD, LÄGG TILL 1 , CDD 1 hitta hypotenusan med Pythagoras sats

ACD

Beräkna arean av triangeln ACD 1 med Herons formel

Svar: .

3 sätt. Koordinatmetod.

Låt en poäng ges M(x 0 ,y 0 ,z 0) och plan α , ges av ekvationen yxa+förbi+cz+d=0 i ett rektangulärt kartesiskt koordinatsystem. Avstånd från punkt M till planet kan α beräknas med formeln:

Låt oss introducera ett koordinatsystem (Fig. 3). Ursprung för koordinater vid en punkt I;

Hetero AB- axel X, hetero Sol- axel y, hetero BB 1 - axel z.

Figur 3. Tredje metoden

B(0,0,0), A(2,0,0), MED(0,4,0), D(2,4,0), D 1 (2,4,6).

Låta ax+förbi+ cz+ d=0 – planekvation ACD 1 . Ersätter koordinaterna för punkterna i den A, C, D 1 får vi:

Planekvation ACD 1 kommer att ta formen

Svar: .

4 sätt. Vector metod.

Låt oss presentera grunden (Fig. 4), .

Figur 4. Fjärde metoden

, Tävling "Presentation för lektionen"

Klass: 11

Presentation för lektionen
















Tillbaka framåt

Uppmärksamhet! Förhandsvisningar av bilder är endast i informationssyfte och representerar kanske inte alla funktioner i presentationen. Om du är intresserad av detta arbete, ladda ner den fullständiga versionen.

Mål:

  • generalisering och systematisering av elevers kunskaper och färdigheter;
  • utveckling av färdigheter för att analysera, jämföra, dra slutsatser.

Utrustning:

  • multimediaprojektor;
  • dator;
  • ark med problemtexter

KLASSENS FRAMSTEG

I. Organisatoriskt ögonblick

II. Kunskapsuppdateringsstadiet(bild 2)

Vi upprepar hur avståndet från en punkt till ett plan bestäms

III. Föreläsning(bilder 3-15)

I den här lektionen kommer vi att titta på olika sätt att hitta avståndet från en punkt till ett plan.

Första metoden: steg-för-steg beräkning

Avstånd från punkt M till plan α:
– lika med avståndet till planet α från en godtycklig punkt P som ligger på en rät linje a, som går genom punkten M och är parallell med planet α;
– är lika med avståndet till planet α från en godtycklig punkt P som ligger på planet β, som går genom punkten M och är parallell med planet α.

Vi kommer att lösa följande problem:

№1. I kub A...D 1, hitta avståndet från punkt C 1 till plan AB 1 C.

Det återstår att beräkna värdet på längden på segmentet O 1 N.

№2. I ett regelbundet hexagonalt prisma A...F 1, vars alla kanter är lika med 1, hitta avståndet från punkt A till planet DEA 1.

Nästa metod: volymmetoden.

Om volymen av pyramiden ABCM är lika med V, så beräknas avståndet från punkt M till planet α som innehåller ∆ABC med formeln ρ(M; α) = ρ(M; ABC) =
När vi löser problem använder vi likadana volymer av en figur, uttryckt på två olika sätt.

Låt oss lösa följande problem:

№3. Kanten AD på pyramiden DABC är vinkelrät mot basplanet ABC. Hitta avståndet från A till planet som passerar genom mittpunkterna på kanterna AB, AC och AD, om.

När man löser problem koordinatmetod avståndet från punkt M till plan α kan beräknas med formeln ρ(M; α) = , där M(x 0; y 0; z 0), och planet ges av ekvationen ax + by + cz + d = 0

Låt oss lösa följande problem:

№4. I en enhetskub A...D 1, hitta avståndet från punkt A 1 till plan BDC 1.

Låt oss introducera ett koordinatsystem med origo i punkt A, y-axeln kommer att löpa längs kanten AB, x-axeln längs kanten AD och z-axeln längs kanten AA 1. Därefter koordinaterna för punkterna B (0; 1; 0) D (1; 0; 0;) C 1 (1; 1; 1)
Låt oss skapa en ekvation för ett plan som passerar genom punkterna B, D, C 1.

Då – dx – dy + dz + d = 0 x + y – z – 1= 0. Därför är ρ =

Följande metod som kan användas för att lösa problem av denna typ är metod för stödproblem.

Tillämpningen av denna metod består i att använda kända referensproblem, som är formulerade som satser.

Låt oss lösa följande problem:

№5. I en enhetskub A...D 1, hitta avståndet från punkt D 1 till plan AB 1 C.

Låt oss överväga ansökan vektor metod.

№6. I en enhetskub A...D 1, hitta avståndet från punkt A 1 till plan BDC 1.

Så vi tittade på olika metoder som kan användas för att lösa den här typen av problem. Valet av en eller annan metod beror på den specifika uppgiften och dina preferenser.

IV. Grupparbete

Försök att lösa problemet på olika sätt.

№1. Kanten på kuben A...D 1 är lika med . Ta reda på avståndet från vertex C till plan BDC 1.

№2. I en vanlig tetraeder ABCD med en kant, hitta avståndet från punkt A till planet BDC

№3. I ett regelbundet triangulärt prisma ABCA 1 B 1 C 1 vars alla kanter är lika med 1, hitta avståndet från A till planet BCA 1.

№4. I en vanlig fyrsidig pyramid SABCD, vars alla kanter är lika med 1, hitta avståndet från A till planet SCD.

V. Lektionssammanfattning, läxor, reflektion

Att upprätthålla din integritet är viktigt för oss. Av denna anledning har vi tagit fram en integritetspolicy som beskriver hur vi använder och lagrar din information. Läs igenom vår sekretesspraxis och låt oss veta om du har några frågor.

Insamling och användning av personlig information

Med personuppgifter avses uppgifter som kan användas för att identifiera eller kontakta en specifik person.

Du kan bli ombedd att lämna din personliga information när som helst när du kontaktar oss.

Nedan finns några exempel på de typer av personlig information vi kan samla in och hur vi kan använda sådan information.

Vilken personlig information samlar vi in:

  • När du skickar in en ansökan på webbplatsen kan vi samla in olika uppgifter, inklusive ditt namn, telefonnummer, e-postadress, etc.

Hur vi använder din personliga information:

  • De personuppgifter vi samlar in gör att vi kan kontakta dig med unika erbjudanden, kampanjer och andra evenemang och kommande evenemang.
  • Från tid till annan kan vi använda din personliga information för att skicka viktiga meddelanden och kommunikationer.
  • Vi kan även använda personuppgifter för interna ändamål, såsom att utföra revisioner, dataanalyser och olika undersökningar för att förbättra de tjänster vi tillhandahåller och ge dig rekommendationer angående våra tjänster.
  • Om du deltar i en prisdragning, tävling eller liknande kampanj kan vi använda informationen du tillhandahåller för att administrera sådana program.

Utlämnande av information till tredje part

Vi lämnar inte ut informationen från dig till tredje part.

Undantag:

  • Om nödvändigt - i enlighet med lagen, rättsligt förfarande, i rättsliga förfaranden och/eller på grundval av offentliga förfrågningar eller förfrågningar från statliga organ i Ryska federationen - att avslöja din personliga information. Vi kan också komma att avslöja information om dig om vi fastställer att ett sådant avslöjande är nödvändigt eller lämpligt för säkerhet, brottsbekämpning eller andra syften av allmän betydelse.
  • I händelse av en omorganisation, sammanslagning eller försäljning kan vi komma att överföra den personliga information vi samlar in till tillämplig efterträdande tredje part.

Skydd av personlig information

Vi vidtar försiktighetsåtgärder - inklusive administrativa, tekniska och fysiska - för att skydda din personliga information från förlust, stöld och missbruk, såväl som obehörig åtkomst, avslöjande, ändring och förstörelse.

Respektera din integritet på företagsnivå

För att säkerställa att din personliga information är säker kommunicerar vi sekretess- och säkerhetsstandarder till våra anställda och tillämpar strikt sekretesspraxis.

Låt oss betrakta ett visst plan π och en godtycklig punkt M 0 i rymden. Låt oss välja för planet enhet normal vektor n med början vid någon punkt M 1 ∈ π, och låt p(M 0 ,π) vara avståndet från punkten M 0 till planet π. Sedan (bild 5.5)

р(М 0 ,π) = | pr n M 1 M 0 | = |nM 1 M0 |, (5,8)

sedan |n| = 1.

Om π-planet ges in rektangulärt koordinatsystem med dess allmänna ekvation Ax + By + Cz + D = 0, då är dess normalvektor vektorn med koordinater (A; B; C) och vi kan välja

Låt (x 0 ; y 0 ; z 0) och (x 1 ; y 1 ; z 1) vara koordinaterna för punkterna M 0 och M 1 . Då gäller likheten Ax 1 + By 1 + Cz 1 + D = 0, eftersom punkten M 1 tillhör planet, och koordinaterna för vektorn M 1 M 0 kan hittas: M 1 M 0 = (x 0 - x 1; yo-yi; Inspelning skalär produkt nM 1 M 0 i koordinatform och transformerande (5.8), får vi


eftersom Axe 1 + By 1 + Cz 1 = - D. Så, för att beräkna avståndet från en punkt till ett plan, måste du ersätta punktens koordinater i planets allmänna ekvation och sedan dividera det absoluta värdet av resultatet av en normaliseringsfaktor lika med längden av motsvarande normalvektor.