Spel

Derivatan av en komplex funktion är lika med. Derivat av en komplex funktion. Derivat av en potensexponentiell funktion

Att lösa fysiska problem eller exempel i matematik är helt omöjligt utan kunskap om derivatan och metoder för att beräkna den. Derivatan är ett av de viktigaste begreppen inom matematisk analys. Vi bestämde oss för att ägna dagens artikel till detta grundläggande ämne. Vad är en derivata, vad är dess fysiska och geometriska betydelse, hur beräknar man derivatan av en funktion? Alla dessa frågor kan kombineras till en: hur förstår man derivatan?

Geometrisk och fysisk betydelse av derivata

Låt det finnas en funktion f(x) , specificerad i ett visst intervall (a, b) . Punkterna x och x0 hör till detta intervall. När x ändras ändras själva funktionen. Ändra argumentet - skillnaden i dess värden x-x0 . Denna skillnad skrivs som delta x och kallas argumentökning. En förändring eller ökning av en funktion är skillnaden mellan värdena för en funktion vid två punkter. Definition av derivat:

Derivatan av en funktion vid en punkt är gränsen för förhållandet mellan ökningen av funktionen vid en given punkt och ökningen av argumentet när det senare tenderar till noll.

Annars kan det skrivas så här:

Vad är poängen med att hitta en sådan gräns? Så här är det:

derivatan av en funktion i en punkt är lika med tangenten för vinkeln mellan OX-axeln och tangenten till grafen för funktionen i en given punkt.

Fysisk betydelse av derivatan: derivatan av banan med avseende på tid är lika med hastigheten för rätlinjig rörelse.

Sedan skoltiden vet alla att hastighet är en speciell väg x=f(t) och tid t . Medelhastighet under en viss tidsperiod:

För att ta reda på rörelsehastigheten vid ett ögonblick t0 du måste beräkna gränsen:

Regel ett: sätt en konstant

Konstanten kan tas ut ur derivattecknet. Dessutom måste detta göras. När du löser exempel i matematik, ta det som regel - Om du kan förenkla ett uttryck, se till att förenkla det .

Exempel. Låt oss beräkna derivatan:

Regel två: derivata av summan av funktioner

Derivatan av summan av två funktioner är lika med summan av derivatan av dessa funktioner. Detsamma gäller för derivatan av skillnaden mellan funktioner.

Vi kommer inte att ge ett bevis för denna sats, utan snarare överväga ett praktiskt exempel.

Hitta derivatan av funktionen:

Regel tre: derivata av produkten av funktioner

Derivatan av produkten av två differentierbara funktioner beräknas med formeln:

Exempel: hitta derivatan av en funktion:

Lösning:

Det är viktigt att prata om att beräkna derivator av komplexa funktioner här. Derivatan av en komplex funktion är lika med produkten av derivatan av denna funktion med avseende på det mellanliggande argumentet och derivatan av det mellanliggande argumentet med avseende på den oberoende variabeln.

I exemplet ovan stöter vi på uttrycket:

I det här fallet är det mellanliggande argumentet 8x i femte potensen. För att beräkna derivatan av ett sådant uttryck, beräknar vi först derivatan av den externa funktionen med avseende på det mellanliggande argumentet och multiplicerar sedan med derivatan av själva det mellanliggande argumentet med avseende på den oberoende variabeln.

Regel fyra: derivata av kvoten av två funktioner

Formel för att bestämma derivatan av kvoten av två funktioner:

Vi försökte prata om derivat för dummies från grunden. Det här ämnet är inte så enkelt som det verkar, så var varning: det finns ofta fallgropar i exemplen, så var försiktig när du beräknar derivator.

Vid frågor om detta och andra ämnen kan du kontakta studenttjänsten. På kort tid hjälper vi dig att lösa det svåraste testet och förstå uppgifterna, även om du aldrig tidigare gjort derivatberäkningar.

Väldigt lätt att komma ihåg.

Tja, låt oss inte gå långt, låt oss omedelbart överväga den omvända funktionen. Vilken funktion är inversen av exponentialfunktionen? Logaritm:

I vårt fall är basen numret:

En sådan logaritm (det vill säga en logaritm med en bas) kallas "naturlig", och vi använder en speciell notation för den: vi skriver istället.

Vad är det lika med? Självklart, .

Derivatan av den naturliga logaritmen är också mycket enkel:

Exempel:

Hitta derivatan av funktionen.
Vad är derivatan av funktionen?

Svar: Den exponentiella och naturliga logaritmen är unikt enkla funktioner ur ett derivatperspektiv. Exponentiella och logaritmiska funktioner med vilken annan bas som helst kommer att ha en annan derivata, som vi kommer att analysera senare, efter att vi har gått igenom reglerna för differentiering.

Regler för differentiering

Regler för vad? Återigen en ny mandatperiod, igen?!...

Differentieringär processen att hitta derivatan.

Det är allt. Vad mer kan man kalla denna process med ett ord? Inte derivativ... Matematiker kallar differentialen för samma inkrement av en funktion vid. Denna term kommer från latinets differentia - skillnad. Här.

När vi härleder alla dessa regler kommer vi att använda två funktioner, till exempel och. Vi kommer också att behöva formler för deras inkrement:

Det finns 5 regler totalt.

Konstanten tas ur derivattecknet.

Om - något konstant tal (konstant), då.

Uppenbarligen fungerar denna regel också för skillnaden: .

Låt oss bevisa det. Låt det vara, eller enklare.

Exempel.

Hitta funktionernas derivator:

vid en punkt;
vid en punkt;
vid en punkt;
vid punkten.

Lösningar:

(derivatan är densamma i alla punkter, eftersom det är en linjär funktion, minns du?);

Derivat av produkten

Allt är liknande här: låt oss introducera en ny funktion och hitta dess ökning:

Derivat:

Exempel:

Hitta derivatorna av funktionerna och;
Hitta derivatan av funktionen vid en punkt.

Lösningar:

Derivat av en exponentiell funktion

Nu räcker dina kunskaper för att lära dig hur man hittar derivatan av valfri exponentialfunktion, och inte bara exponenter (har du glömt vad det är ännu?).

Så, var är någon siffra.

Vi känner redan till derivatan av funktionen, så låt oss försöka ta vår funktion till en ny bas:

För att göra detta använder vi en enkel regel: . Sedan:

Tja, det fungerade. Försök nu att hitta derivatan, och glöm inte att denna funktion är komplex.

Hände?

Här, kolla själv:

Formeln visade sig vara mycket lik derivatan av en exponent: som den var förblir den densamma, bara en faktor dök upp, som bara är ett tal, men inte en variabel.

Exempel:
Hitta funktionernas derivator:

Svar:

Det här är bara ett tal som inte går att räkna ut utan en miniräknare, det vill säga det går inte att skriva ner i en enklare form. Därför lämnar vi det i denna form i svaret.

Observera att här är kvoten för två funktioner, så vi tillämpar motsvarande differentieringsregel:

I det här exemplet är produkten av två funktioner:

Derivata av en logaritmisk funktion

Det är liknande här: du känner redan till derivatan av den naturliga logaritmen:

Därför, för att hitta en godtycklig logaritm med en annan bas, till exempel:

Vi måste reducera denna logaritm till basen. Hur ändrar man basen för en logaritm? Jag hoppas att du kommer ihåg denna formel:

Först nu skriver vi istället:

Nämnaren är helt enkelt en konstant (ett konstant tal, utan en variabel). Derivaten erhålls mycket enkelt:

Derivater av exponentiella och logaritmiska funktioner finns nästan aldrig i Unified State Exam, men det kommer inte att vara överflödigt att känna till dem.

Derivat av en komplex funktion.

Vad är en "komplex funktion"? Nej, detta är inte en logaritm och inte en arctangens. Dessa funktioner kan vara svåra att förstå (även om du tycker att logaritmen är svår, läs ämnet "Logaritmer" så kommer du att klara det), men ur en matematisk synvinkel betyder ordet "komplex" inte "svårt".

Föreställ dig ett litet löpande band: två personer sitter och gör några handlingar med några föremål. Till exempel lindar den första en chokladkaka i ett omslag, och den andra binder den med ett band. Resultatet är ett sammansatt föremål: en chokladkaka inlindad och bunden med ett band. För att äta en chokladkaka måste du göra de omvända stegen i omvänd ordning.

Låt oss skapa en liknande matematisk pipeline: först kommer vi att hitta cosinus för ett tal och sedan kvadrera det resulterande talet. Så vi får en siffra (choklad), jag hittar dess cosinus (omslag), och sedan kvadrerar du det jag fick (binder det med ett band). Vad hände? Fungera. Det här är ett exempel på en komplex funktion: när vi, för att hitta dess värde, utför den första åtgärden direkt med variabeln och sedan en andra åtgärd med det som resulterade från den första.

Med andra ord, en komplex funktion är en funktion vars argument är en annan funktion: .

För vårt exempel, .

Vi kan enkelt göra samma steg i omvänd ordning: först kvadrerar du det, och jag letar sedan efter cosinus för det resulterande talet: . Det är lätt att gissa att resultatet nästan alltid blir annorlunda. En viktig egenskap hos komplexa funktioner: när ordningen på åtgärder ändras ändras funktionen.

Andra exemplet: (samma sak). .

Den åtgärd vi gör sist kommer att kallas "extern" funktion, och åtgärden som utfördes först - i enlighet därmed "intern" funktion(detta är informella namn, jag använder dem bara för att förklara materialet på ett enkelt språk).

Försök själv avgöra vilken funktion som är extern och vilken intern:

Svar: Att separera inre och yttre funktioner är mycket likt att ändra variabler: till exempel i en funktion

Vilken åtgärd kommer vi att utföra först? Låt oss först beräkna sinus, och först sedan kubera den. Det betyder att det är en intern funktion, men en extern.
Och den ursprungliga funktionen är deras sammansättning: .
Internt: ; extern: .
Examination:.
Internt: ; extern: .
Examination:.
Internt: ; extern: .
Examination:.
Internt: ; extern: .
Examination:.

Vi ändrar variabler och får en funktion.

Nåväl, nu ska vi extrahera vår chokladkaka och leta efter derivatet. Proceduren är alltid omvänd: först letar vi efter derivatan av den yttre funktionen, sedan multiplicerar vi resultatet med derivatan av den inre funktionen. I förhållande till det ursprungliga exemplet ser det ut så här:

Ett annat exempel:

Så låt oss äntligen formulera den officiella regeln:

Algoritm för att hitta derivatan av en komplex funktion:

Det verkar enkelt, eller hur?

Låt oss kolla med exempel:

Lösningar:

1) Internt: ;

Extern: ;

2) Internt: ;

(Försök bara inte att klippa det nu! Inget kommer ut under kosinus, minns du?)

3) Internt: ;

Extern: ;

Det är omedelbart klart att detta är en komplex funktion på tre nivåer: trots allt är detta redan en komplex funktion i sig själv, och vi extraherar också roten från den, det vill säga vi utför den tredje åtgärden (lägg chokladen i ett omslag och med ett band i portföljen). Men det finns ingen anledning att vara rädd: vi kommer fortfarande att "packa upp" den här funktionen i samma ordning som vanligt: från slutet.

Det vill säga, först differentierar vi roten, sedan cosinus och först sedan uttrycket inom parentes. Och sedan multiplicerar vi allt.

I sådana fall är det bekvämt att numrera åtgärderna. Det vill säga, låt oss föreställa oss vad vi vet. I vilken ordning kommer vi att utföra åtgärder för att beräkna värdet på detta uttryck? Låt oss titta på ett exempel:

Ju senare åtgärden utförs, desto mer "extern" blir motsvarande funktion. Sekvensen av åtgärder är densamma som tidigare:

Här är häckningen i allmänhet 4-nivå. Låt oss bestämma handlingsförloppet.

1. Radikalt uttryck. .

2. Rot. .

3. Sinus. .

4. Fyrkantig. .

5. Lägg ihop allt:

DERIVAT. KORT OM DE VIKTIGASTE SAKERNA

Derivata av en funktion- förhållandet mellan ökningen av funktionen och ökningen av argumentet för en oändlig ökning av argumentet:

Grundläggande derivat:

Regler för differentiering:

Konstanten tas ur derivattecknet:

Derivat av summan:

Derivat av produkten:

Derivat av kvoten:

Derivat av en komplex funktion:

Algoritm för att hitta derivatan av en komplex funktion:

Vi definierar den "interna" funktionen och hittar dess derivata.
Vi definierar den "externa" funktionen och hittar dess derivata.
Vi multiplicerar resultaten av den första och andra punkten.

Exempel ges på att beräkna derivator med hjälp av formeln för derivatan av en komplex funktion.

Innehåll

Se även: Bevis på formeln för derivatan av en komplex funktion

Grundläggande formler

Här ger vi exempel på beräkning av derivator av följande funktioner:
; ; ; ; .

Om en funktion kan representeras som en komplex funktion i följande form:
,
då bestäms dess derivata av formeln:
.
I exemplen nedan kommer vi att skriva den här formeln enligt följande:
.
Var .
Här betecknar de nedsänkta eller , som finns under derivattecknet, de variabler med vilka differentiering utförs.

Vanligtvis, i derivattabeller, ges derivator av funktioner från variabeln x. Men x är en formell parameter. Variabeln x kan ersättas med vilken annan variabel som helst. Därför, när vi differentierar en funktion från en variabel, ändrar vi helt enkelt, i tabellen över derivator, variabeln x till variabeln u.

Enkla exempel

Exempel 1

Hitta derivatan av en komplex funktion
.

Låt oss skriva den givna funktionen i ekvivalent form:
.
I tabellen över derivat finner vi:
;
.

Enligt formeln för derivatan av en komplex funktion har vi:
.
Här .

Exempel 2

Hitta derivatan
.

Vi tar konstanten 5 ur derivattecknet och från derivattabellen finner vi:
.

.
Här .

Exempel 3

Hitta derivatan
.

Vi tar ut en konstant -1 för derivatans tecken och från tabellen över derivator finner vi:
;
Från tabellen med derivator finner vi:
.

Vi tillämpar formeln för derivatan av en komplex funktion:
.
Här .

Mer komplexa exempel

I mer komplexa exempel tillämpar vi regeln för att differentiera en komplex funktion flera gånger. I det här fallet beräknar vi derivatan från slutet. Det vill säga vi delar upp funktionen i dess beståndsdelar och hittar derivatorna av de enklaste delarna med hjälp av tabell över derivat. Vi använder också regler för differentiering av belopp, produkter och fraktioner. Sedan gör vi substitutioner och tillämpar formeln för derivatan av en komplex funktion.

Exempel 4

Hitta derivatan
.

Låt oss välja den enklaste delen av formeln och hitta dess derivata. .

.
Här har vi använt notationen
.

Vi hittar derivatan av nästa del av den ursprungliga funktionen med hjälp av de erhållna resultaten. Vi tillämpar regeln för att differentiera summan:
.

Återigen tillämpar vi regeln om differentiering av komplexa funktioner.

.
Här .

Exempel 5

Hitta derivatan av funktionen
.

Låt oss välja den enklaste delen av formeln och hitta dess derivata från tabellen över derivator. .

Vi tillämpar regeln om differentiering av komplexa funktioner.
.
Här
.

Låt oss skilja nästa del med hjälp av de erhållna resultaten.
.
Här
.

Låt oss skilja nästa del.

.
Här
.

Nu hittar vi derivatan av den önskade funktionen.

.
Här
.

Se även:

Den här lektionen ägnas åt ämnet "Differentiering av komplexa funktioner. Ett problem från praktiken att förbereda sig för Unified State Exam i matematik.” Den här lektionen utforskar olika komplexa funktioner. En tabell med derivator av en komplex funktion kompileras. Dessutom övervägs ett exempel på att lösa ett problem från praktiken att förbereda sig för Unified State Exam i matematik.

Ämne: Derivat

Lektion: Differentiera en komplex funktion. En övningsuppgift för att förbereda sig för Unified State Exam i matematik

Komplexfungera vi har redan differentierat, men argumentet var en linjär funktion, nämligen vi vet hur man differentierar funktionen . Till exempel, . Nu kommer vi på samma sätt att hitta derivator av en komplex funktion, där det istället för en linjär funktion kan finnas en annan funktion.

Låt oss börja med funktionen

Så vi hittade derivatan av sinus från en komplex funktion, där argumentet för sinus var en kvadratisk funktion.

Om du behöver hitta värdet på derivatan vid en specifik punkt, måste denna punkt ersättas med den hittade derivatan.

Så i två exempel såg vi hur regeln fungerar differentiering komplex funktioner.

3. . Låt oss påminna dig om det.

8. .

Därför kommer vi att avsluta tabellen över differentiering av komplexa funktioner i detta skede. Vidare kommer det naturligtvis att generaliseras ännu mer, men låt oss nu gå vidare till specifika problem på derivatan.

I praktiken att förbereda sig för Unified State Exam föreslås följande uppgifter.

Hitta minimum av en funktion .

ODZ: .

Låt oss hitta derivatan. Låt oss komma ihåg att, .

Låt oss likställa derivatan med noll. Punkten ingår i ODZ.

Låt oss hitta intervallen för konstant tecken för derivatan (intervaller av monotoni för funktionen) (se fig. 1).

Ris. 1. Monotonicitetsintervall för en funktion .

Låt oss titta på en punkt och ta reda på om det är en extrempunkt. Ett tillräckligt tecken på ett extremum är att derivatan ändrar tecken när den passerar en punkt. I det här fallet ändrar derivatan tecken, vilket betyder att det är en extrempunkt. Eftersom derivatan ändrar tecken från "-" till "+", så är detta minimipunkten. Låt oss hitta värdet på funktionen vid minimipunkten: . Låt oss rita ett diagram (se fig. 2).

Fig.2. Extremum av funktionen .

På intervallet - minskar funktionen, på - ökar funktionen, extremumpunkten är unik. Funktionen tar sitt minsta värde endast vid punkt .

Under lektionen tittade vi på differentieringen av komplexa funktioner, sammanställde en tabell och tittade på reglerna för att differentiera en komplex funktion, och gav ett exempel på att använda en derivata från praktiken att förbereda för Unified State Exam.

1. Algebra och början av analys, årskurs 10 (i två delar). Lärobok för allmänna läroanstalter (profilnivå), red. A.G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Algebra och början av analys, årskurs 10 (i två delar). Problembok för läroanstalter (profilnivå), red. A.G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebra och matematisk analys för årskurs 10 (lärobok för elever i skolor och klasser med fördjupning i matematik - M.: Prosveshchenie, 1996).

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Fördjupning i algebra och matematisk analys.-M.: Education, 1997.

5. Samling av problem i matematik för sökande till högre läroanstalter (redigerad av M.I. Skanavi - M.: Högre skola, 1992).

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebraisk simulator.-K.: A.S.K., 1997.

7. Zvavich L.I., Shlyapochnik L.Ya., Chinkina Algebra och början av analys. 8-11 årskurser: En manual för skolor och klasser med fördjupning i matematik (didaktiskt material - M.: Bustard, 2002).

8. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Problem med algebra och analysprinciper (en manual för elever i årskurserna 10-11 vid allmänna utbildningsinstitutioner - M.: Prosveshchenie, 2003).

9. Karp A.P. Samling av problem om algebra och principer för analys: lärobok. traktamente för 10-11 årskurser. med djup studerat Matematik.-M.: Utbildning, 2006.

10. Glazer G.I. Matematikens historia i skolan. Årskurs 9-10 (handbok för lärare).-M.: Utbildning, 1983

Ytterligare webbresurser

2. Naturvetenskaplig portal ().

Gör det hemma

Nr 42.2, 42.3 (Algebra och början av analys, årskurs 10 (i två delar). Problembok för allmänna utbildningsinstitutioner (profilnivå) redigerad av A. G. Mordkovich. - M.: Mnemosyne, 2007.)

Om du följer definitionen är derivatan av en funktion vid en punkt gränsen för förhållandet mellan ökningen av funktionen Δ y till argumentökningen Δ x:

Allt verkar vara klart. Men försök använda den här formeln för att beräkna, säg, derivatan av funktionen f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x synd x. Om du gör allt per definition, kommer du helt enkelt att somna efter ett par sidor med beräkningar. Därför finns det enklare och mer effektiva sätt.

Till att börja med noterar vi att vi från hela variationen av funktioner kan urskilja de så kallade elementära funktionerna. Dessa är relativt enkla uttryck, vars derivator länge har beräknats och tabellerats. Sådana funktioner är ganska lätta att komma ihåg - tillsammans med deras derivator.

Derivater av elementära funktioner

Elementära funktioner är alla de som listas nedan. Derivaterna av dessa funktioner måste vara kända utantill. Dessutom är det inte alls svårt att memorera dem - det är därför de är elementära.

Så, derivator av elementära funktioner:

namn	Fungera	Derivat
Konstant	f(x) = C, C ∈ R	0 (ja, noll!)
Makt med rationell exponent	f(x) = x n	n · x n − 1
Sinus	f(x) = synd x	cos x
Cosinus	f(x) = cos x	−synd x(minus sinus)
Tangent	f(x) = tg x	1/cos 2 x
Cotangens	f(x) = ctg x	− 1/synd 2 x
Naturlig logaritm	f(x) = log x	1/x
Godtycklig logaritm	f(x) = log a x	1/(x ln a)
Exponentiell funktion	f(x) = e x	e x(Inget förändrat)

Om en elementär funktion multipliceras med en godtycklig konstant, beräknas också derivatan av den nya funktionen enkelt:

(C · f)’ = C · f ’.

I allmänhet kan konstanter tas ut ur derivatans tecken. Till exempel:

(2x 3)' = 2 · ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Uppenbarligen kan elementära funktioner läggas till varandra, multipliceras, delas - och mycket mer. Så kommer nya funktioner att dyka upp, inte längre särskilt elementära, utan även differentierade enligt vissa regler. Dessa regler diskuteras nedan.

Derivat av summa och skillnad

Låt funktionerna ges f(x) Och g(x), vars derivat är kända för oss. Du kan till exempel ta de elementära funktionerna som diskuterats ovan. Sedan kan du hitta derivatan av summan och skillnaden av dessa funktioner:

(f + g)’ = f ’ + g ’
(f − g)’ = f ’ − g ’

Så, derivatan av summan (skillnaden) av två funktioner är lika med summan (skillnaden) av derivatorna. Det kan finnas fler termer. Till exempel, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Strängt taget finns det inget koncept för "subtraktion" i algebra. Det finns ett koncept av "negativt element". Därför skillnaden f − g kan skrivas om som en summa f+ (−1) · g, och då återstår bara en formel - derivatan av summan.

f(x) = x 2 + sin x; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Fungera f(x) är summan av två elementära funktioner, därför:

f ’(x) = (x 2 + synd x)’ = (x 2)’ + (synd x)’ = 2x+ cos x;

Vi resonerar likadant för funktionen g(x). Bara det finns redan tre termer (ur algebras synvinkel):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Svar:
f ’(x) = 2x+ cos x;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Derivat av produkten

Matematik är en logisk vetenskap, så många tror att om derivatan av en summa är lika med summan av derivator, så är derivatan av produkten strejk">lika med produkten av derivator. Men tråkigt! En produkts derivata beräknas med en helt annan formel. Nämligen:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Formeln är enkel, men den glöms ofta bort. Och inte bara skolbarn, utan också studenter. Resultatet är felaktigt lösta problem.

Uppgift. Hitta derivator av funktioner: f(x) = x 3 cos x; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .

Fungera f(x) är produkten av två elementära funktioner, så allt är enkelt:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3)’ cos x + x 3 (cos x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (−sin x) = x 2 (3cos x − x synd x)

Fungera g(x) den första multiplikatorn är lite mer komplicerad, men det allmänna schemat ändras inte. Uppenbarligen den första faktorn för funktionen g(x) är ett polynom och dess derivata är derivatan av summan. Vi har:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)’ · e x + (x 2 + 7x− 7) ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x· (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

Svar:
f ’(x) = x 2 (3cos x − x synd x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Observera att i det sista steget faktoriseras derivatan. Formellt behöver detta inte göras, men de flesta derivator beräknas inte på egen hand, utan för att undersöka funktionen. Detta innebär att ytterligare kommer derivatan att likställas med noll, dess tecken kommer att bestämmas, och så vidare. För ett sådant fall är det bättre att ha ett uttryck faktoriserat.

Om det finns två funktioner f(x) Och g(x), och g(x) ≠ 0 på den uppsättning vi är intresserade av, vi kan definiera en ny funktion h(x) = f(x)/g(x). För en sådan funktion kan du också hitta derivatan:

Inte svag va? Var kom minuset ifrån? Varför g 2? Och så här! Detta är en av de mest komplexa formlerna - du kan inte räkna ut det utan en flaska. Därför är det bättre att studera det med specifika exempel.

Uppgift. Hitta derivator av funktioner:

Täljaren och nämnaren för varje bråkdel innehåller elementära funktioner, så allt vi behöver är formeln för derivatan av kvoten:

Enligt traditionen faktoriserar vi täljaren - detta kommer att förenkla svaret avsevärt:

En komplex funktion är inte nödvändigtvis en halvkilometer lång formel. Det räcker till exempel att ta funktionen f(x) = synd x och byt ut variabeln x, säg, på x 2 + ln x. Det kommer att lösa sig f(x) = synd ( x 2 + ln x) - detta är en komplex funktion. Den har också en derivata, men det kommer inte att vara möjligt att hitta den med reglerna som diskuterats ovan.

Vad ska jag göra? I sådana fall hjälper det att ersätta en variabel och formel för derivatan av en komplex funktion:

f ’(x) = f ’(t) · t', Om x ersätts av t(x).

Som regel är situationen med att förstå denna formel ännu mer sorglig än med derivatan av kvoten. Därför är det också bättre att förklara det med specifika exempel, med en detaljerad beskrivning av varje steg.

Uppgift. Hitta derivator av funktioner: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = synd ( x 2 + ln x)

Observera att om i funktionen f(x) istället för uttryck 2 x+ 3 blir lätt x, då får vi en elementär funktion f(x) = e x. Därför gör vi en ersättning: låt 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Vi letar efter derivatan av en komplex funktion med formeln:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

Och nu - uppmärksamhet! Vi utför det omvända utbytet: t = 2x+ 3. Vi får:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

Låt oss nu titta på funktionen g(x). Det är klart att det måste bytas ut x 2 + ln x = t. Vi har:

g ’(x) = g ’(t) · t’ = (synd t)’ · t’ = cos t · t ’

Omvänd ersättning: t = x 2 + ln x. Sedan:

g ’(x) = cos ( x 2 + ln x) · ( x 2 + ln x)' = cos ( x 2 + ln x) · (2 x + 1/x).

Det är allt! Som framgår av det sista uttrycket har hela problemet reducerats till att beräkna derivatsumman.

Svar:
f ’(x) = 2 · e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) för ( x 2 + ln x).

Mycket ofta i mina lektioner, istället för termen "derivat", använder jag ordet "prime". Till exempel är summans streck lika med summan av strecken. Är det tydligare? Ja det är bra.

Att beräkna derivatan handlar alltså om att bli av med samma slag enligt reglerna som diskuterats ovan. Som ett sista exempel, låt oss återgå till derivatan med en rationell exponent:

(x n)’ = n · x n − 1

Få människor känner till det i rollen n kan mycket väl vara ett bråktal. Till exempel är roten x 0,5. Tänk om det finns något fint under roten? Återigen blir resultatet en komplex funktion - de ger gärna sådana konstruktioner i prov och tentor.