Gränspunktssats. Bolzano-Weierstrass teorem. Utvidgning till fallet med ett utrymme av godtycklig dimension

Definition v.7. En punkt x € R på tallinjen kallas en gränspunkt för en sekvens (xn) om det för någon stadsdel U (x) och vilket naturligt tal N som helst N är möjligt att hitta ett element xn som hör till denna grannskap med ett tal större än LG, dvs. x 6 R - gränspunkt if. Med andra ord, en punkt x kommer att vara en gränspunkt för (xn) om någon av dess grannskap innehåller element i denna sekvens med godtyckligt stora tal, även om kanske inte alla element med siffror n > N. Därför är följande påstående ganska uppenbart . Uttalande b.b. Om lim(xn) = 6 6 R, så är b den enda gränspunkten för sekvensen (xn). Faktum är att, i kraft av definition 6.3 av gränsen för en sekvens, faller alla dess element, med början från ett visst antal, i vilken som helst godtyckligt liten grannskap av punkt 6, och därför kan element med godtyckligt stora tal inte hamna i närheten av någon annan punkt . Följaktligen är villkoret i definition 6.7 uppfyllt endast för en enda punkt 6. Emellertid är inte varje gränspunkt (ibland kallad en tunn kondenserad punkt) i en sekvens dess gräns. Följden (b.b) har alltså ingen gräns (se exempel 6.5), men har två gränspunkter x = 1 och x = - 1. Sekvensen ((-1)pp) har två oändliga punkter +oo och som gränspunkter - med den utökade tallinjen, vars förening betecknas med en symbol oo. Det är därför vi kan anta att de oändliga gränspunkterna sammanfaller, och den oändliga punkten oo, enligt (6.29), är gränsen för denna sekvens. Gränspunkter för sekvensnummerlinjen Bevis för Weierstrass-testet och Cauchy-kriteriet. Låt sekvensen (jn) ges och låt talen k bilda en ökande sekvens av positiva heltal. Sedan kallas sekvensen (Vnb där yn = xkn> en undersekvens av den ursprungliga sekvensen. Uppenbarligen, om (i„) har siffran 6 som en gräns, så har vilken som helst av dess undersekvenser samma gräns, eftersom man börjar från ett visst tal alla element i både den ursprungliga sekvensen och någon av dess undersekvenser faller in i valfri vald grannskap av punkt 6. Samtidigt är varje gränspunkt i en undersekvens också en gränspunkt för sekvensen. Sats 9. Från vilken sekvens som helst som har en gränspunkt kan man välja en delsekvens som har denna gränspunkt som sin gräns. Låt b vara gränspunkten för sekvensen (xn), då enligt definition 6. 7 gränspunkt, för varje n finns det ett element som hör till grannskapet U (6, 1/n) av punkt b med radien 1/n. Underföljden som består av punkterna ijtj, ...1 ..., där zjfcn€U(6, 1/n) Vn 6 N, har en gräns vid punkt 6. För ett godtyckligt e > 0 kan man faktiskt välja N Så att. Då kommer alla element i undersekvensen, som börjar med talet km, att falla in i ^-kvarteret U(6, e) i punkt 6, vilket motsvarar villkor 6.3 i definitionen av sekvensens gräns. Den omvända satsen är också sann. Gränspunkter för sekvensnummerlinjen Bevis för Weierstrass-testet och Cauchy-kriteriet. Sats 8.10. Om någon sekvens har en undersekvens med gräns 6, så är b gränspunkten för denna sekvens. Av definition 6.3 av gränsen för en sekvens följer det att, från ett visst antal, faller alla element i undersekvensen med gräns b in i en grannskap U(b, ​​​​e) med godtycklig radie e. Eftersom elementen i undersekvensen är samtidigt element i sekvensen (xn)> element xn faller inom detta område med lika många godtyckligt stora tal, och detta, i kraft av definition 6.7, betyder att b är gränspunkten för sekvensen (n). Anmärkning 0.2. Satserna 6.9 och 6.10 är också giltiga i fallet när gränspunkten är oändlig, om vi, när vi bevisar merto-kvarteret för U(6, 1 /n), betraktar grannskapet (eller grannskapen). Villkoret under vilket en konvergent undersekvens kan isoleras från en sekvens fastställs av följande sats.Sats 6.11 (Bolzano - Weierstrass) Varje avgränsad sekvens innehåller en delsekvens som konvergerar till en ändlig gräns Låt alla element i sekvensen (an) ligga mellan talen a och 6 , dvs xn € [a, b] Vn € N. Dela segmentet [a, b] på mitten. Då kommer åtminstone en av dess halvor att innehålla ett oändligt antal element i sekvensen, eftersom annars hela segmentet [a, b] skulle innehålla ett ändligt antal av dem, vilket är omöjligt. Låt ] vara det för halvorna av segmentet [a , 6], som innehåller en oändlig uppsättning element i sekvensen (zn) (eller om båda halvorna är sådana , sedan någon av dem). På samma sätt, från segmentet som innehåller en oändlig uppsättning element i sekvensen, etc. För att fortsätta denna process kommer vi att konstruera ett system av kapslade segment med bn - an = (6- a)/2P. Enligt principen om kapslade segment finns det en punkt x som hör till alla dessa segment. Denna punkt kommer att vara gränspunkten för sekvensen (xn) - Faktum är att för alla e-kvarter U(x, e) = (xx + e) ​​​​punkt x finns det ett segment C U(x, e) (det räcker bara för att välja n från olikheten (, som innehåller ett oändligt antal element i sekvensen (sn). Enligt definition 6.7 är x gränspunkten för denna sekvens. Sedan, genom sats 6.9, finns det en undersekvens som konvergerar till punkten x. Metoden för resonemang som används för att bevisa detta teorem (det kallas ibland Bolzano-Weyer-Strass-lemmat) och förknippas med den sekventiella uppdelningen av segmenten som övervägs är känd som Bolzano-metoden. Denna sats förenklar i hög grad beviset för många komplexa satser. Det låter dig bevisa ett antal nyckelsatser på ett annat (ibland enklare) sätt. Bilaga 6.2. Bevis för Weierstrass-testet och Cauchy-kriteriet Först bevisar vi påstående 6.1 (Weierstrass-test för konvergens av en avgränsad monoton sekvens). Låt oss anta att sekvensen (jn) är icke-minskande. Då är uppsättningen av dess värden avgränsad ovan och har, av sats 2.1, ett supremum som vi betecknar med sup(xn) som R. På grund av egenskaperna hos supremumet (se 2.7) är sekvensens gränspunkter antalet Bevis för Weierstrass-testet och Cauchy-kriteriet. Enligt definition 6.1 för en icke-minskande sekvens har vi eller Then > Ny och med hänsyn till (6.34) får vi som motsvarar definition 6.3 av sekvensens gräns, d.v.s. 31im(sn) och lim(xn) = 66R. Om sekvensen (xn) är icke-ökande, så är bevisförloppet liknande. Låt oss nu gå vidare till att bevisa tillräckligheten av Kochia-kriteriet för konvergens av en sekvens (se påstående 6.3), eftersom nödvändigheten av kriterievillkoret följer av sats 6.7. Låt sekvensen (jn) vara grundläggande. Enligt definition 6.4, givet en godtycklig € > 0, kan man hitta ett tal N(s) så att m^N och n^N antyder. Sedan, med m - N, för Vn > N erhåller vi € £ Eftersom sekvensen i fråga har ett ändligt antal element med tal som inte överstiger N, följer det av (6.35) att grundsekvensen är avgränsad (för jämförelse, se bevis för sats 6.2 om avgränsningen av en konvergent sekvens ). För en uppsättning värden av en begränsad sekvens finns det infimum och supremum gränser (se sats 2.1). För uppsättningen elementvärden för n > N betecknar vi dessa ytor an = inf xn respektive bgy = sup xn. När N ökar minskar inte det exakta infimumet, och det exakta supremumet ökar inte, d.v.s. . Får jag ett luftkonditioneringssystem? segment Enligt principen om kapslade segment finns det en gemensam punkt som tillhör alla segment. Låt oss beteckna det med b. Således, med From-jämförelse (6. 36) och (6.37) som ett resultat får vi som motsvarar definition 6.3 av gränsen för sekvensen, dvs. 31im(x„) och lim(sn) = 6 6 R. Bolzano började studera fundamentala sekvenser. Men han hade ingen rigorös teori om reella tal, och därför kunde han inte bevisa konvergensen av den grundläggande sekvensen. Cauchy gjorde detta och tog principen om kapslade segment för given, vilket Cantor senare underbyggde. Kriteriet för en sekvenss konvergens ges inte bara namnet Cauchy, utan den grundläggande sekvensen kallas ofta för Cauchy-sekvensen, och principen för kapslade segment är uppkallad efter Cantor. Frågor och uppgifter 8.1. Bevisa att: 6.2. Ge exempel på icke-konvergenta sekvenser med element som hör till mängderna Q och R\Q. 0,3. Under vilka förhållanden bildar termerna för aritmetiska och geometriska progressioner minskande och ökande sekvenser? 6.4. Bevisa sambanden som följer av tabellen. 6.1. 6.5. Konstruera exempel på sekvenser som tenderar mot de oändliga punkterna +oo, -oo, oo, och ett exempel på en sekvens som konvergerar till punkten 6 € R. c.v. Kan en obunden sekvens inte vara b.b.? Om ja, ge ett exempel. klockan 7. Konstruera ett exempel på en divergerande sekvens bestående av positiva element som varken har en ändlig eller oändlig gräns. 6.8. Bevisa konvergensen av sekvensen (jn) som ges av den återkommande formeln sn+i = sin(xn/2) under villkoret “1 = 1. 6.9. Bevisa att lim(xn)=09 om sn+i/xn-»g€ .

Dela segmentet [ a 0 ,b 0 ] på mitten i två lika stora segment. Åtminstone ett av de resulterande segmenten innehåller ett oändligt antal termer i sekvensen. Låt oss beteckna det [ a 1 ,b 1 ] .

I nästa steg kommer vi att upprepa proceduren med segmentet [ a 1 ,b 1 ]: dela upp det i två lika stora segment och välj bland dem den som ett oändligt antal termer i sekvensen ligger på. Låt oss beteckna det [ a 2 ,b 2 ] .

Genom att fortsätta processen får vi en sekvens av kapslade segment

där varje efterföljande är hälften av den föregående och innehåller ett oändligt antal termer i sekvensen ( x k } .

Längden på segmenten tenderar att vara noll:

I kraft av Cauchy-Cantor-principen för kapslade segment finns det en enda punkt ξ som tillhör alla segment:

Genom konstruktion på varje segment [a m ,b m ] det finns ett oändligt antal termer i sekvensen. Låt oss välja sekventiellt

samtidigt som man observerar tillståndet för ökande antal:

Sedan konvergerar undersekvensen till punkten ξ. Detta följer av det faktum att avståndet från till ξ inte överstiger längden på segmentet som innehåller dem [a m ,b m ] , var

Utvidgning till fallet med ett utrymme av godtycklig dimension

Bolzano-Weierstrass-satsen är lätt att generalisera till fallet med ett utrymme av godtycklig dimension.

Låt en sekvens av punkter i rymden ges:

(det nedre indexet är sekvensmedlemsnumret, det övre indexet är koordinatnumret). Om sekvensen av punkter i rymden är begränsad, då var och en av de numeriska koordinatsekvenserna:

också begränsad ( - koordinatnummer).

I kraft av den endimensionella versionen av Bolzano-Weirstrass sats från sekvensen ( x k) kan vi välja en undersekvens av punkter vars första koordinater bildar en konvergent sekvens. Från den resulterande delsekvensen väljer vi återigen en delsekvens som konvergerar längs den andra koordinaten. I detta fall kommer konvergens längs den första koordinaten att bevaras på grund av det faktum att varje undersekvens av en konvergent sekvens också konvergerar. Och så vidare.

Efter n vi får en viss sekvens av steg

som är en undersekvens av , och konvergerar längs var och en av koordinaterna. Det följer att denna efterföljd konvergerar.

Berättelse

Bolzano-Weierstrass teorem (för fallet n= 1) bevisades först av den tjeckiske matematikern Bolzano 1817. I Bolzanos arbete fungerade det som ett lemma i beviset för satsen om mellanvärden för en kontinuerlig funktion, nu känd som Bolzano-Cauchy-satsen. Dessa och andra resultat, bevisade av Bolzano långt före Cauchy och Weierstrass, gick dock obemärkt förbi.

Bara ett halvt sekel senare återupptäckte Weierstrass, oberoende av Bolzano, och bevisade detta teorem. Ursprungligen kallad Weierstrass teorem, innan Bolzanos verk blev känt och accepterat.

Idag bär denna sats namnen Bolzano och Weierstrass. Denna sats kallas ofta Bolzano-Weierstrass lemma, och ibland gränspunktslemma.

Bolzano-Weierstrass sats och begreppet kompakthet

Bolzano-Weierstrass-satsen fastställer följande intressanta egenskap hos en avgränsad mängd: varje sekvens av punkter M innehåller en konvergent undersekvens.

När de bevisar olika propositioner i analys, tillgriper de ofta följande teknik: de bestämmer en sekvens av punkter som har någon önskad egenskap, och väljer sedan en undersekvens från den som också har den, men som redan är konvergent. Till exempel är det så här Weierstrass sats bevisas att en funktion som är kontinuerlig på ett intervall är avgränsad och tar sina största och minsta värden.

Effektiviteten av en sådan teknik i allmänhet, liksom önskan att utöka Weierstrass sats till godtyckliga metriska utrymmen, fick den franske matematikern Maurice Fréchet att introducera konceptet 1906 kompakthet. Egenskapen för avgränsade mängder i , fastställd av Bolzano-Weierstrass sats, är bildligt talat att punkterna i mängden är belägna ganska "nära" eller "kompakt": efter att ha gjort ett oändligt antal steg längs denna mängd, kommer vi att verkligen komma så nära som vi vill någon -någon punkt i rymden.

Frechet introducerar följande definition: set M kallad kompakt, eller kompakt, om varje sekvens av dess punkter innehåller en undersekvens som konvergerar till någon punkt i denna uppsättning. Det antas att på uppsättningen M måttet är definierat, det vill säga det är det

Definition 1. En punkt x på en oändlig linje kallas en gränspunkt för sekvensen (x n) om det i någon e-stadsdel av denna punkt finns oändligt många element i sekvensen (x n).

Lemma 1. Om x är en gränspunkt för sekvensen (x k ), så kan vi från denna sekvens välja en undersekvens (x n k ), som konvergerar till talet x.

Kommentar. Det motsatta påståendet är också sant. Om det från sekvensen (x k) är möjligt att välja en delsekvens som konvergerar till talet x, då är talet x gränspunkten för sekvensen (x k). Faktum är att i varje e-kvarter av punkten x finns det oändligt många element i undersekvensen, och därför av själva sekvensen (x k ).

Av Lemma 1 följer att vi kan ge en annan definition av gränspunkten för en sekvens, motsvarande definition 1.

Definition 2. En punkt x på en oändlig linje kallas en gränspunkt för en sekvens (x k), om det från denna sekvens är möjligt att välja en delsekvens som konvergerar till x.

Lemma 2. Varje konvergent sekvens har bara en gränspunkt, som sammanfaller med gränsen för den sekvensen.

Kommentar. Om sekvensen konvergerar så har den enligt Lemma 2 bara en gränspunkt. Men om (xn) inte är konvergent kan den ha flera gränspunkter (och i allmänhet oändligt många gränspunkter). Låt oss till exempel visa att (1+(-1) n ) har två gränspunkter.

Faktum är att (1+(-1) n )=0,2,0,2,0,2,... har två gränspunkter 0 och 2, eftersom undersekvenser (0)=0,0,0,... och (2)=2,2,2,... av denna sekvens har gränser för siffrorna 0 respektive 2. Denna sekvens har inga andra gränspunkter. Låt x vara en annan punkt på talaxeln än punkterna 0 och 2. Låt oss ta e >0 så

liten så att e - stadsdelar av punkterna 0, x och 2 inte skär varandra. E-kvarteret för punkterna 0 och 2 innehåller alla element i sekvensen och därför kan e-kvarteret för punkt x inte innehålla oändligt många element (1+(-1) n ) och är därför inte en gränspunkt för denna sekvens.

Sats. Varje avgränsad sekvens har minst en gränspunkt.

Kommentar. Inget nummer x som överstiger , är en begränsningspunkt för sekvensen (x n), dvs. - sekvensens största gränspunkt (x n).

Låt x vara valfritt tal större än . Låt oss välja e>0 så liten att

och x 1 О(x), till höger om x 1 finns ett ändligt antal element i sekvensen (x n) eller så finns det inga alls, dvs. x är inte en gränspunkt för sekvensen (x n ).

Definition. Den största gränspunkten för sekvensen (x n) kallas sekvensens övre gräns och betecknas med symbolen. Det följer av anmärkningen att varje avgränsad sekvens har en övre gräns.

På liknande sätt introduceras konceptet med en nedre gräns (som den minsta gränspunkten för sekvensen (xn)).

Så vi har bevisat följande påstående. Varje avgränsad sekvens har övre och nedre gränser.

Låt oss formulera följande teorem utan bevis.

Sats. För att sekvensen (x n) ska vara konvergent är det nödvändigt och tillräckligt att den är avgränsad och att dess övre och nedre gränser sammanfaller.

Resultaten av detta avsnitt leder till följande huvudsats av Bolzano-Weierstrass.

Bolzano-Weierstrass teorem. Från vilken avgränsad sekvens som helst kan man välja en konvergent delsekvens.

Bevis. Eftersom sekvensen (x n ) är begränsad har den minst en gränspunkt x. Sedan kan vi från denna sekvens välja en delsekvens som konvergerar till punkten x (följer av definition 2 av gränspunkten).

Kommentar. Från vilken bunden sekvens som helst kan man isolera en monoton konvergent sekvens.